（基础数学专业论文）一些数论函数的均值估计及包含数论函数的方程求解.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 s m a r a n d a c h e 函数，r i e m a n n z e t a 函数和e u l e r 函数以及一些特殊的函数 和数列在数论研究中占有很重要的地位，研究它们的均值性质和其它方面的性 质具有很大意义许多著名的数论难题都与之密切相关 本文研究了这些算术函数的均值性质和混合均值性质：通过研究函数之间 的关系，构建了几个方程，并完全解决了它：研究了f i b o n a c c i 数的一些性质， 得到了关于它的恒等式。具体说来，本文的主要成果主要包括以下几个方面内 容： 1 研究了s m a r a n d a c h e 可乘函数，( n ) 的均值性质，发现它与s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 有着相同的均值公式；研究了s m a r a n d a c h e 函数对函数( 礼) 的混合 均值，得到了一个有趣的渐近公式 2 研究了函数如( n ) 对几个函数的混合均值问题利用解析方法得到了几 个渐近公式；同时研究了“次幂部分剩余函数 ( 礼) 的性质，用初等方法得到 了它的倒数投函数e 。( n ) 对它的混合均值公式 3 ，通过研究s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) ，e u l e r 函数西( n ) 和半方补数的性 质，构建了方程 ：s ( 硼= n ，s ( n ) = 毋) 和a ( n 1 ) 4 - a ( n 2 ) + + e ( n k ) = 硎“ m - o ( n 1 + n 2 + + ”) ，用巧妙的方法完全解决了它们，并求出全部正整数 解。 4 研究了第一类，第二类c h e b y s h e v 多项式与f i b o n a c c i 数之间的关系， 我们用初等方法得到了f i b o n a c c i 数偶次幂乘积和的恒等式。 关键词：f s m a r a n d a c h e 问题；s m a r a n d a c h e 函数；数论函数：均值；渐近公 式；方程；正整数解；c h e b y s h e v 多项式；f i b o n a c c i 数 a b s t r a c t ( 英文摘要) i t i 8w e l lk n o w ns m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，r i e m a n n - z e t af u n c t i o na n de u l e r f u n c t i o n ，s o m es p e c i a lf u n c t i o n sa n ds e q u e n c e sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d y o fn u m b e rt h e o r y i th a sg r e a ts i g n i f i c a n c et os t u d yt h e i rm e a nv a l u ep r o p e r t y a n dt h eo t h e rp r o p e r t i e s ，t h e yr e l a t et om a n yf a h l o n sn u m b e rt h e o r e t i cp r o b l e m s t h e r e f o r e a n yv i r t u a l i t yp r o g r e s si nt h i s 缸l dw i l lc o n t r i b u t et ot h ed e v e l o p m e n t o fn u m b e rt h e o r y i nt h i sd i s s e r t a t i o n w es t u d i e dt h em e 锄v a l u ea n dt h eh y b r i dm e a nv a l u e p r o p e r t i e so fs o m ea r i t h m e t i cf u n c t i o n s ，a n dg o ta s e r i e so fa s y m p t o t i cf o r m u l a e a b o u tt h e m ；w es e tu ps o m ee q u a t i o n sb ys t u d y i n gt h er e l a t i o no fs o m ef u n c - t i o n s ，a n ds o l v e dt h e mc o m p l e t e l y ；w eo b t a i n e dt h ei d e n t i t i e si n v o l v i n gf i b o n a e c i n u m b e r s t h em a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 w bs t u d i e do nt h em e a nv a l u eo fs m a r a n d a c h em u l t i p l i c a t i v ef u n c t i o n ， a n df o u n dt h a ti th a st h es a m em e a nv a l u ef o r m u l aa 8s m a r a n d a c h ef u n c t i o n s m ) a n dw es t u d i e dt h eh y b r i dm e a nv a l u eo fs m a r a n d a c h ef u n c t i o nt ot h e l e a s tc o m m o nm u l t i p l ef u n c t i o nl ( ，a n do b t a i n e dt h ei n t e r e s t i n ga s y m p t o t i c f o r m u l a 2 u s i n gt h ea n a l y t i cm e t h o d s w es t u d i e dt h eh y b r i dm e 眦v a l u ep r o b l e m s o f f u n c t i o n 以( n ) t os e v e r a la r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s ，a n da s e r i e sa s y m p t o t i cf o r m u l a e h a db eo b t a i n e d m e a n w h i l e , u s i n gt h ee l e m e n t a r ym e t h o d s ，w es t u d i e dt h ep r o p - e r t yo ft h ek - p o w e rp a r tr e s i d u e f u n c t i o na ( 礼) a n dg o tt h ea s y m p t o t i cf o r m u l a e f o rt h er e c i p r o c a lo ff u n c t i o n ( n ) a n df u n c t i o n 唧( ( 竹) ) 3 b ys t u d y i n gt h ep r o p e r t i e so fs m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，e u l e rf u n c t i o na n d t h es q u a r ec o m p l e m e n tn u m b e r s ，w es o tu pt h ee q u a t i o n s ( d ) = n s ( n ) 2 d l - ( n ) a n da ( n t ) + a ( n 2 ) + + a ( n k ) = m a ( n t + n 2 + + n k ) ，a n ds o l v e t h e m c o m p l e t e l y , g o ta l lp o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n sf o rt h e m 4 s t u d y i n gp r o p e r t i e so ft h ef i r s ta n dt h es e c o n dc h e b y s h e vp o l y n o m i a l s ，a c - c o r d i n gt ot h er e l a t i o no fc h e b y s h e vp o l y n o m i a la n df i b o n a c c in u m b e r s ，w e u s e d t h ee l e m e n t a r ym e t h o d st oo b t a i ns o m ei d e n t i t i e si n v o l v i n gf i b o n a c c in u m b e r si n k e y w o r d s ：f s m a r a n d a e h ep r o b l e m ；s m a r a n d a c h ef u n c t i o n ；n u m b e rt h e o r y f u n c t i o n ；m e a nv a l u e ；a s y m p t o t i cf o r m u l a ；e q u a t i o n ；p o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n ； c h e b y s h e vp o l y n o m i a l s ；f i b o n a c c in u m b e r s i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课 题再撰写的文章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：墨垒聋 指导教师签名： 蓼搓墓缉日绔 一1年，月日锄7 年石月争日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：可金葺 妒7 年月厂日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1数论简介与历史 1 ，2 ，3 ，这些简单的正整数，从日常生活以至尖端科学技术都是离不开 的其它的数字，如负数，有理数等等，都是以正整数为基础定义出来的所以研 究正整数的规律非常重要数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整 数论后来整数论又进一步发展，就叫做数论了确切的说，数论就是一门研究整 数性质的学科数论与几何学一样，是最古老的数学分支古希腊人和中国古人 等很早就有了数论知识例如中国古人在公元前1 1 世纪就知道一组勾股数；公 元前4 世纪的欧几里得就把自然数分成1 、素数和复合数 虽然现在属于数论范围的许多著名问题在很早就开始研究，得到了十分丰 富的成果，但奇怪的是，数论作为一门独立的数学分支出现却是迟至十九世 纪初的事人们公认高斯( c f g a u l ) 在1 8 0 1 年发表的天才著作算术研究 ( d i s q u i s i t i o n e sa r i t h m e t i c a e ) 是数论作为一门独立学科诞生的标志。数论 最基本的特有的研究方法就是高斯在这一天才著作中所创立的同余理论 数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是 数学中的皇冠”因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做 “皇冠上的明珠”。以鼓励人们去“摘取”下面简要列出几颗“明珠”：费尔 马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题 数论是最古老的数学分支，又是始终活跃着的前沿数学领域；数论是最典型 的纯粹数学，它又是日益得到广泛直接应用的新“应用数学”分支 虽然古希腊，中国与印度的数学著作中不乏数论问题与结果的记述，但近代 意义的数论研究是从费马开始的。费马提出了一堆定理，这些定理，毋宁说是猜 想，因为费马只对其中个别命题留下了自己的证明这些猜想，使数学家们忙碌 了好几个世纪，有的至今仍为现代数论饶有兴趣的课题，下面是费马提出的部分 “定理” ( 1 ) 费马小定理：如果p 是素数，口与p 互素，则a p 一可以被p 整除 这是费马在1 6 4 0 年1 0 月1 8 日致德贝西( b f r e n i c l ed eb e s s y ) 的一封信中 提出的 ( 2 ) 费马大定理：方程 矿+ 妒= 扩 对任意大于2 的自然数礼无整数解 这是费马在阅读巴歇的丢番图算术时做的页边批注，费马在批注中称： “我己找到了一个奇妙的证明，但书边空白太窄，写不下”1 6 7 0 年费马之子 萨缪尔( s a m u e l ) 连同其父的批注一起出版了巴歇校订的书的第二版，遂使费马 这一猜想公诸于世费马究竟有没有找到证明? 已成为数学史上的千古之谜从 那时起，为了“补出”这条定理的证明，数学家们花费了三个多世纪的心血 第一章绪论 ( 3 ) 平方数问题：( i ) 每个锄+ 1 形的素数和它的平方都只能以一种方式 表示为两个平方数之和；每个轨+ 1 形的素数的三次方和四次方都能以两种 方式；其五次方和六次方都能以三种方式，如此等等，以至无穷如n = 1 时，5 = 2 2 + 1 2 ，5 2 = 3 2 + 4 2 ，5 3 = 2 2 + 1 1 2 = 5 2 4 - 1 0 2 ，等等( i i ) 每个正整数可 表示成四个或少于四个平方数之和 ( 4 ) 费马数：r = 2 护+ 1 ，n = 0 ，1 ，2 ，3 ，费马在1 6 4 0 年给梅森的一封 信中断言“形如2 妒+ 1 的数永远是素数” ( 5 ) 方程铲一a y 2 = 1 当a 是正数但非完全平方数时有无穷多个( 整数) 解这是费马在1 6 5 7 年2 月给德贝西的一封信中提出来向其它数学家挑战的 问题欧拉将这方程归功于英国人佩尔( j p e u ) ，现在就称这类方程为“佩尔方 程”实际上佩尔并没有研究过这类方程 费马还研究过完全数、亲和数等 1 8 世纪的数论研究可以说是受到了费马思想的主宰，这一时期得到的许多 结果，都与证明费马提出的那些“定理”有关 首先是欧拉在1 7 3 2 年推翻了费马关于费马数的结论，他证明，l = 5 时， 见= 2 2 54 - 1 不是素数，它有一个因子是6 4 1 实际上，后来人们发现费马关于费 马数的结论是大错特错，现在知道对从5 到1 6 的所有的，l ，晶都是合数，对其它 许多t l 值亦然1 接着欧拉在1 7 3 6 年证明了费马小定理是正确的 1 7 5 3 年，欧拉在致哥德巴赫( c g o l d b a c h ) 的一封信中宣布证明了n = 3 时 的费马大定理，欧拉的证明后发表在他的代数指南( 1 7 7 0 ) 一书中费马关于 平方和数的上述两个命题先后被欧拉( 1 7 5 4 ) 和拉格朗日( 1 7 7 0 ) 证明了拉格朗 日在1 7 6 6 年证明了佩尔方程解的存在性，而欧拉在这个问题上的尝试却失败了 在所有这些证明中，我们只提一提欧拉对n = 3 时费马大定理的证明这个 证明以所谓“无限下降法”为基础，并依赖于口+ 6 习形式的复数欧拉用到的 一个关键事实是：在由这种口+ 6 ，巧形式的数所形成的数系( 记为 0 + 6 乒习， a ，b 为任意整数) 中，有唯一因子分解定理成立，即每一个整数都可唯一分解为这 个数系中数的乘积后来才知道，对形如 n + b j - ：- - 元 的数系，唯一因子分解定 理并不总是成立的，例如在数系和+ 6 乒d 中，6 = 3 2 = ( 1 + 、习) ( 1 一 = 5 ) ， 有两种分解方式事实上，能保证唯一分解定理成立的数系 口+ b j - = - 元 只有9 种， 口+ b j - ：- 5 恰在其中欧拉当时并不知道这个规律，他对凡= 3 时费马大定 理的证明，多少是靠了运气才没有铸成错误如果将欧拉的方法推广到n = 5 的 情形，自然就要用到f o + b j - 习 这样的数系，他的方法就失效了 至于无限下降法，它是费马的发明费马曾使用这种方法证明了一条定理： 边长为整数的直角三角形其面积不可能是整数的平方这是费马唯一写出了证明 过程的定理 费马在给他的朋友德加卡维( p d ec a r c a v i ) 的一封信中曾宣称他用无限下 降法证明了n = 4 时的费马大定理及其它一些定理，但他没有写出证明过程德 贝西根据费马的提示在1 6 7 6 年给出了n = 4 时费马大定理的无限下降法证明 2 西北大学硕士学位论文 无限下降法在1 8 世纪成为种证明数论问题的有用技巧，欧拉、拉格朗日、勒 让德等都普遍地使用这一方法 1 8 世纪数学家们也提出自己的猜想，其中最著名的就是哥德巴赫猜想与华 林问题德国数学家哥德巴赫与欧拉有长达3 5 年的书信来往，许多重要成果就 是通过这种方式记录下来1 7 4 2 年6 月7 日他在给欧拉的一封信中写道：“我不 相信关注那些虽没有证明但很可能正确的的命题是无用的，即使以后它们被验 证是错误的，也会对发现新的真理有用”然后他说“我也想同样冒险提出一个 假设”哥德巴赫的假设相当于说： 每个偶数时两个素数之和；每个奇数是三个素数之和 这就是著名的哥德巴赫猜想哥德巴赫的原始陈述相当模糊，欧拉将其进一 步明确化，但却未能证明这个命题上述的形式是英国数学家华林( e w a f i n g ) 在 他的代数沉思录( m e d i t a t i o n e sa l g e b r a i c a 1 7 7 0 ) 中首先给出的华林在同一 著作中还提出了他自己的一个猜想： 任意自然数n 可表示成至多r 个数的七次幂之和，即n = 霉1 + 勋o + + 斯 ， 其中z 1 钇，“为自然数，r 不依赖于奄 华林举出了一些特例，如每个自然数或者是4 个平方数之和，等等，但均未 给出证明此猜想后以“华林问题”著称哥德巴赫猜想、华林问题与费马的那 些猜想一样为后世数论研究提供了持久的刺激华林问题1 9 0 9 年才由希尔伯特 首次证明哥德巴赫猜想则至今悬而未决 1 8 世纪数论还有两项深刻的工作需要特别指出，它们都属于欧拉一个是欧 拉在1 7 3 7 年导出的恒等式 荟o o 石1 = 耳 南 i = plrj 其中s 1 ，n 取遍所有的正整数，p 取遍所有素数欧拉是利用算术基本定理证 明这一恒等式的，并且又用这一恒等式证明了素数个数无穷该恒等式在数论与 旦1 分析之间架起了桥梁，是解析数论的肇端右式函数了、之后被黎曼推广到s 取 n _ = ln 5 复值的情形，现称黎曼( 一函数，是现代解析数论的主要工具 欧拉另一项工作是他在1 7 4 3 年发现的二次互反律二次互反律诚如欧拉本 人预言的那样，在1 9 世纪成为数论研究的重要课题并引出了“许多伟大的结 果”，从而开启了数论的一个新领域一代数数论1 8 世纪的数论是一些分散但 却引人入胜的结果与猜想的记录，也许在1 7 、1 8 世纪数学家们提出的数论问题 比解决的更多些，然而我们已经并将进一步看到。1 9 世纪数论两大领域一解析 数论与代数数论的系统发展，都可以在1 8 世纪找到根源 1 2 研究背景与课题意义 数论，是研究数的规律，特别是研究整数性质的数学分支数论形成- - f l 独 3 第一章绪论 立的学科后，随着其他数学分支的发展，研究数论的方法也在不断的发展，现代数 论已经深入到数学的许多分支，在我国，数论也是发展最早的数学分支之 当自变量n 在某个正整数集合中取值，因变量取实数值或复数值的函 数”= ( n ) 称为数论函数，它们在许多数论问题的研究中起着非常重要的作用 尽管很多重要的数论函数的单个取值往往很不规则，然而它们的均值l ( n ) 却 n 1 ，妒( 扎) 定义为不大于t l 并于，l 互素的数的个 数，即 ( n ) = 1 k = l ( 3 ) m s b i u s 函数肛( n ) ： 砌，= 渺，咕； ( 4 ) m a n g o l d t 函数a ( n ) ：对每一个整数n 1 ， 坳，= 渺 t t = p m ，m 1 ； 其它 ( 5 ) l i o u v i l l e 函数a ( 礼) ： a c n ，= 苫，严柏一。佃。， ：三筹，理：碟。 6 西北大学硕士学位论文 2 2 可乘函数 定义2 1 ：设整数集合d 满足条件：若m ，竹d ，则册d 定义在集合d 上的数论函数f ( n ) 称为是可乘函数，如果满足 f ( m n ) = ，( m ) ，( n ) ，( m ，功e1 ，m ，疗d ；( 2 1 ) f ( n ) 称为是完全可来函数，如果满足 f ( m n ) = ，( ，r 1 ) ，( 凡) ，m ，n d ( 2 2 ) 定理2 1 ：设f ( n ) 是不恒为零的数论函数，n 1 时有标准分解式，l = 鳄1 霹那么，( 仃) 是可乘函数的克要条件是f ( 1 ) = 1 及 f ( n ) = ，( 西1 ) ，( 谚2 ) ，( p ) ；( 2 3 ) f ( n ) 是完全可乘的充要条件是f ( 1 ) = 1 及 f ( n ) = 尸1 ( p 1 ) f a 2 慨) 严) ( 2 4 ) 证明：参阅文献 5 1 定理2 1 表明：一个可乘函数完全由它在素数幂p n 上的取值所确定，而完 全可乘函数则完全由它在素数p 上的取值所确定 2 3e u l e r 求和公式 在后面的证明过程中会频繁用到e u l e r 求和公式，在此作一介绍，即下面的 定理2 2 ：设，在区间如，爿上连续可微，其中0 y z ，则有 o z旧 ，( n ) = f ( t ) d t + ( t - t j ) f t ( t ) d t 翟 n s 2 yy + ，( z ) ( m z ) 一，( f ) ( m f ) ，( 2 5 ) 其中嘲表示s t 的最大整数 证明：参阅文献1 2 1 2 4a b e l 恒等式 下面介绍后面要用到的a b e l 恒等式，即下面的 7 第二章预备知识 定理2 3 ：对任一数论函数8 ( n ) ，令a ( = o ( n ) ，其中，当z 1 时，a ( z ) = 竹0 0 ，假设i 在区间扫，叫有连续导数，其中0 y z 则有 嘶) m ) 叫m ( 垆舶) m ) 一f 郇) 巾) 疵 (26)ynz f 证明：参阅文献【2 | 如果我们熟悉r i e m a n n - s t i e l t j e s 积分1 1 】就可以得到定理2 3 的更简短的证 明因为a ( z ) 是一个阶梯函数，而函数，( 佗) 在每一个整数n 上跳跃，所以( 2 6 ) 的和能表示为r i e m a n n - s t i e l t j e s 积分 口( n ) m ) = f ( t ) d a ( t ) z y n 9 由分部积分得 n ( n ) ，( n ) = m ) a ( z ) f n s o = ，( z ) a ( ) i ( y ) a ( y ) i ( y ) a ( y ) a ( t ) d l ( t ) a ( t ) 1 7 ( t ) d t 由( 2 6 ) 也容易推出著名的e u l e r 求和公式( 2 5 ) 实际上，如果对所有n 1 a ( n ) = 1 ，我们发现a ( = m ，则( 2 6 ) 即为 ，( n ) = ，( z ) m 一，( ) m 一嘲，7 ( t ) d t ， n s 。， 由此及分部积分公式 * t y ( t ) d t = z ，( z ) 一，( ) 一* f ( t ) d t ， 我们立刻就可以得出e u l e r 求和公式( 定理2 2 ) 8 广厶厂厶 西北大学硕士学位论文 第三章s m a r a n a d a c h e 函数的均值 3 1 一个包含s m a r a n a d a c h e 函数的混合均值 3 1 1引言 对任意正整数n ，著名的s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 被定义为能够使得h i m ! 成立的最小正整数m 即s ( n ) = m i n m n ：h i m ! 从s ( n ) 的定义和性质我 们很容易推断，如果n = 硝1 赡2 醭为f l 的标准素因数分解式，则有 s ( n ) 21 m “。 s o q ) ) ( 3 1 ) 当然也不难推断，对于素数p 有s ( 力= p ，并且除竹= 4 和t l = p 外有s ( n ) 扎 因此下列关系式显而易见 巾卜+ 量剐， 其中7 r ( z ) 为不超过的素数个数，嘲为不大于z 的最大整数 另外，我们定义函数l ( n ) 为不大于t l 的所有正整数的最小公倍数，即 l ( n ) = 【1 ，2 ，川 关于s ( n ) 的算术性质，在此之前很多人已经研究过p 嘲，吲，【勰1 但是关于复 合函数s ( 工机) ) 的性质，笔者还未曾见过有人研究这部分内容的主要目的是利 用初等方法研究函数s ) ) 的均值性质，并得出一个有趣的渐近公式即就 是证明下面的 定理3 1 ：对任意实数z 1 ，我们有渐近公式 e s ( l ( n ) ) = ；护+ o g 鼢) ， 其中表示任意给定的正数 3 1 2 一个引理 为了完成定理的证明，我们需要一个引理，即为 引理3 1 ：设肌表示第n 个素数，厶= 加+ 1 一肌则有估计式： 厶2 z 嚣押， j h o 其中g 表示任意给定的正数 证明：这是d r h e a t h - b r o w n 的一个著名结果，其证明过程参阅文献 9 第三章s m a r a n a d a c h e 函数的均值 3 1 3 定理的证明 下面我们将完成定理的证明设p l & p 2 & 钆区为l ( n ) 的标准素因数分解 式，考虑到当何 鼽s n 时，岛= 卢慨) = 1 所以有 l ( n ) = 【1 ，2 ，叫= p l p 缸) p 2 口( p 2 ) 如触) = 矿p 砖何何 蛞n 由于a 触) n ，所以对较大的n ，注意到芸“( n ) n ，所以当p 慨) 2 时由函数j s ( ，1 ) 的定义及性质有s ( 帆) 口慨) p 卢慨) 伤sv - 元l n n p 霄，因此结合( 3 1 ) 式，我们立刻推出当t l 较大时函数s ( 扎) ) 满足 s ( l ( ，1 ) ) = 啪x s ( p 1 角) ，s ( p 2 岛) ，s ( 如几) = p 。( 。) 从而我们有 s ( l ( n ) ) = p ，( 帕+ o ( 1 ) = 办( 。) + 似) + + p 霄+ o ( 1 ) n s n p 2翔s n 、，伍，我们可以得到 ，( p ( n ) ) = p m ) ( 3 3 ) 对n ( 1 i 膏) 的其它素因子a ，我们有 ，0 ) = o t i p i 现在我们分三种情形讨论，( 醒) 的上界： ( i ) 如果o t i = 1 ，那么，( 纯) = 仇s 慌 ( i i ) 如果啦= 2 ，那么，( 砰) = 轨2 礼 何 ( i i i ) 如果o t i23 ，那么，( ) ；啦p so r n 者t l 袁器而这里 我们运用了：当r e i n 时，o i i n 石n 结合( i ) 一( i i i ) ，我们很容易得到 ，( 舻) 、，伍( 3 4 ) 从( 3 3 ) 和( 3 4 ) ，我们推断 ，( n ) 2 燃 ，钟) ) = ，( p ( n ) ) = p ( n ) 这就完成了引理3 2 的证明 1 】 第三章s m a r a n a d a c h e 函数的均值 3 2 3定理的证明 利用上述引理，我们用初等的方法来完成定理3 2 的证明 首先我们定义如下的两个集合4 和黟 一4 = n i n z ，e ( n ) 、元) ，b = n i n z ，p ( n ) 、元 应用e u l e r 求和公式，我们有 ，( n ) 何l n n n e an 墨o = r 灿纰斗。( t 圳( m d t + 伽如州) z ；i n 矗 类似地，从a b e l 恒等式我们也有 ，( n ) = p ( 哟= p n b p ( ：君0 n s 归“s p s ； = 磊磊：p + 。睡。量d n s 再 ，殆詈u s 行n 9 s 暑 ( 3 5 ) = 互( 瓢) 一西c 伺一露小，幽) + 0 ( 如必6 ， 这里丌( z ) 表示不超过z 的所有素数的个数注意到 心，= 志+ 。( 去) ， 从( 3 6 ) 我们有 点；p = 瓢) 一面( 伺一c 馋) d s 扣9 i ” =；三一；三一。(蕊x丽2n：lnxn t 。v , - i t - )2 互百u 磊巧而 + 。( 南) + 。( 志一t r z - 万) 因此， 磊志= 互一x 2 + 。乙曩沂未) ( 3 7 ) 西北大学硕士学位论文 和 = 萼兰l a x + 。( 未)2 百一十u i 而 志= 。( 盖) n 乞_ 1 ，我们有渐近公式 薹骗) = 扣2 刖等+ o ( x m - + e ) 其中矗c m ，= 暴垒若蔫翼( + 石鬲譬；品) ，e 是任 意给定的正数，表示对所有与k 互素的素数求积，1 7 表示对所有k 的素因 数求积 1 4 西北大学硕士学位论文 定理4 2 ：设m 和k 是两个给定的正整数那么对任意实数z 1 ，我们有渐近 公式 洲删= 霉熙( 川+ 两1 ) ( 一；) + 。1 m ) ，n 1 ) ，设d i r i c h l e t 级数 第四章一些特殊函数和数列的均值 由e u l e r 乘积公式( 文献 2 1 定理1 1 7 ) 可得 ( 8 ) = 咿掣+ 学+ 竽+ ) 聚弓1 槊( + 等+ 管南+ 嘉+ 茄+ j 2 暴弓1 必+ + 南) ( - + 万1 + 万1 + ) 2 暴弓1 裂耳1 聚( + 等南) 2 暴专耳专娶( 一嘉) 暴( ，+ 等南) 刊脚，票寿( z 一嘉) 疆( ，+ 等南) 为了方便起见，我们设 a=(-+等+南)ptk 、， 那么利用等比数列求和公式可得 a2 暴 - + 南( t 一南) 暴( - + 矿项杀哪 = 揣1 疆蒜1 ( ( 2 ( s + 一m ) ) 苎亡矿+ 1 一”+ 飘( + 酽面哪 ) 一 芝二： 、 p ( m 一1 ) o + 1 ) ( 矿+ 1 1 ) ( 矿+ 1 一“+ 1 ) 一 芝：! 、 p ( m 一1 ) ( 。+ 1 ) ( 矿+ 1 一1 ) ( p 卧1 一”+ 1 ) 西北大学硕士学位论文 把a 的结果代入f ( s ) 中并进行整理，可以得到： m 卜揣槊乒秽矧 暴( ，+ 万孤每哪 一； 芝： 、 p ( m 一1 ) ( ，+ 1 ) ( 矿+ l 一1 ) ( 矿+ 1 一”+ 1 ) 其中( s ) r i e m a n nz e t a , - 函数由m 1 ，可得，( s ) 等在8 = m 处有一阶极 枷数为鬻跏) 鲁其中 跏，= 暴篇觋( + 考等) 应用p e r m 公式( 文献【6 l 定理6 2 ) ，取6 = m + 互1 ， t 2 ，可得 堇，= 熹孙，知。( 孕) 将上式积分线移至r es = m 一+ 处，于是取t = z 可得 萋氏c k c 枷= 去e c m 2 ) 兄c m ，等+ 去仁= 邝弓幽+ 。c z m 一；押， = 跏2 州窨+ 。( 廓一1 话) l 寄d t ) + 0 ( z m 一押) = ( ( m 2 ) r ( m ) 等+ d ( 毛托) ， 注意到( ( 2 ) 2 等及( ( 4 ) 2 斋，在定理中取m = 2 立刻得到推论4 工 下来证明定理4 2 对任意复数岛如果r e ( s ) 1 ，我们定义d i r i c h l e t 级数 。、导民( ( m ，几) ) ) = 攀半 从以( ( m ，n ) ) 的定义和e u l e r 乘积公式( 文献【2 l 定理1 1 7 ) ，我们可以得到 邝，= 妻唑掣 第四章一些特殊函数和数列的均值 = 耳( + 掣+ 哗掣+ ) 2 飘( - + 歹1 + 1 + ) 罪( - + 警+ 学等+ 器+ ) 刊s ，罪( 卜刍) 暴专 罪( - + 嘉+ 南南+ 南+ 南+ ) 聚( 一刍) 叫酣一罪( 则i i 昔( 一刍) + 南) + 南南) 显然，我们有不等式 惭胚i 薹掣l 五1 ， 这里5 1 是s 的实部于是根据p e r r o n 公式( 文献嗍定理6 2 ) ，我们有 等= 丽1 急喁 2 矾i ( s + s o ) 等d sxbb(b+盯o)+so)sds+0 ) + d ( x l - o h ( 2 z ) m i n ( 1 ，丁l o g x ) ) + o 和一“日( ) m i n ( 1 ，1 r 知) ) ， 这里n 为最接近于z 的整数，0 z i l - k 一取印= ，6 = ，= z ，日( z ) = 霉2 ，b ( s ) = 了j 1 ，我们有 n 1 02t 1 这里 乏洲叫) = 副1f ：砘2 + t 等幽+ 0 ( 棚， r ( s ) ：f 矿m ( p ) = l 1 8 ( 一刍) + 南) 西北大学硕士学位论文 为了估计主项 熹e 知 我们从s = 2 4 - i t 到s = 士i t 移动积分线这时，函数 ，( s ) = r ( s ) o 在8 = 1 处有一阶极点，留数为r ( 1 ) x 于是我们有 熹( e + e + z ：+ 仨) 掣踯弓如= 础扣 我们很容易得到估计 l 去( 詹+ z 习刮萼一 。l 熹z 纠眯未i 扣 结合上述估计我们有 三洲删= z 恩( 川+ 习1 ) ( ，一；) + o ) 竹曼2 矿i m 、7、7 于是完成了定理4 2 的证明 现在我们证明定理4 3 事实上我们运用与定理4 1 、定理4 2 相同的证明方 法来证明定理4 3 我们知道如果m 为任意给定的正整数，则 警2 蒜2 南， m l m ，nj ml m ，nj 对任意复数s ，如果r _ e ( 8 ) 1 ，我们定义d i r i c h l e t 级数 邝，：薹掣：壹n = l 掣 从以( 南) 的定义和e u l e r 删( 文献【2 l 定理1 1 7 ) ，我们有 m ，= 小掣+ 掣+ - ) 2 婴( - + 歹1 + 1 + ) 瓢( + ；+ 蒡+ ) 聚( t + 歹1 + + 歹1 + 南+ 岳+ ) 矿l l m 苷1 + 南南1 )一专p ( 口+ 1 p 弓蒿 2 暴巧1 拱巧1 飘( 寄11 ( ，一嘉) + 南) = 舻- ) l - l - l 。- 一寿n l k 参票( 一 ， p t 七( ，一嘉) + 南) 古因? ，2 烹竺急矍薏竺二1 ) 在s = 2 处有一阶极点，我们知道，( s ) 兰8 在8 = 2 处也有一阶极点，留数为 萼娶寿聚筹苦 l l m 根据p e r r o n 公式( 文献【6 】定理6 2 ) ，取即= 0 ，6 ；l ，r = z ，那么我们有 驴删一刍z 孙，知。( 譬) 銎耋我们将积分线从3 = ；士汀移动到s = ；+ 士i e 那么取t = 为我们可 得到 。 薹民( 掣) 5 薹最( 南) = 1 2 票南飘而p 2 a 4 - 1 1 - 1 + 刍z 托+ 一e - 硝l i t ，( s ) 等幽+ 。g ；1 = 萼聚南聚崭+ 。( 西国f 高出) + d ( z ；“) 淼 专椭南 小 西北大学硕士学位论文 = 萼暴南飘崭+ 。 ，o i i m 于是完成了定理4 3 的证明 4 2k 次幂部分剩余函数的均值 4 2 1引言 对于任意正整数n ，s m a r a n d a c h ek 次幂完全数h ( n ) 定义能够使得n b k ( n ) 成为完全七次幂数的最小正整数( 文献嘲的问题2 9 ) 类似于s m a r a n d a c h e k 次幂完全数，徐哲峰蚓定义了可加的k 次幂完全数口i ( n ) ：a k ( n ) 为能够使 得n + a k ( ，1 ) 为完全k 次幂数的最小非负整数 作为f 4 l l 的一般情况，我们将定义k 次幂部分剩余函数a ) 为能够使 得竹一 ( 佗) 为完全七次幂数的最小非负整数例如，如果磨= 2 ，我们有 平方剩余序列 ，2 ) = 1 ，2 ，) ：0 ，1 ，2 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4 ， 5 ，6 ，0 ，1 ，2 ，同时，设p 为素数，唧( 佗) 表示能够被佗整除的幂p 的最大指 数关于e v ( n ) 和 ( 哟的关系，在此之前从来没有人研究过，至少我们没有看见 过任何文献 在这部分内容中，我们运用初等的方法研究函数赤和勺( ( n ) ) 的 均值性质并且得到两个较强的渐近公式即就是，我们将证明的结论： 定理4 4 ：对任意实数z 之3 ，我们有渐近公式 芝而1 而2 竿鼬1 州l n x + q , - k + 1 ) 舢d ( m ) 其中，y 为e u e r 常数 定理4 5 ：对任意实数z 3 ，我们有渐近公式 三啪) = 击卫+ d ( 击扩；) ” 、7 4 2 2 几个引理 为了完成上述定理的证明，我们需要几个简单的引理并作证明 引理4 1 ：对任意实数1 ，我们有 咖) = 击蚪d ( 1 n 2 办 n z 2 1 第四章些特殊函数和数列的均值 证明：见文献【船】 引理4 2 ：设 ( n ) 为非负的算术函数且h ( o ) = 0 那么，对任意实数z 1 ，我 们有渐近公式 ( ( n ) ) = 7 l ( n ) + of h ( n ) i n 匀( | i f ) 其蚓归善k - 1 ( 0 和m