（基础数学专业论文）复反射群的辫子群及分圆hecke代数的同构.pdf

摘要 绝大多数复反射群的不同余表出类都已给出( 见【l 】，【2 】，【6 】，【7 】) 对于给定的 一个复反射群g ，它的每一个表出( s ，j p ) 都会产生一个相应的辫子群g 限n 和一个分 圆h e c k e 代数问题是这些不同余的表出所对应的辫子群之间是否是同构的，对 分圆h e c k e 代数也考虑同样的问题这篇文章的丰要结果是对于复反射群g 7 ，g l l g 1 2 ，g 1 5 ，g 2 4 ，g 2 5 ，g 2 6 ，g 2 7 ，g 3 2 中的每一个群的一些表出对所对应的辫子群是同构 的对于复反射群g 1 2 g 1 5 ，g 2 4 ，g 2 6 ，g 2 7 ，g 3 2 巾的每一个群的些表出对所对应的分 圆h e c k e 代数也证明同构其中的证明利用了同态基本定理，少数证明中利用数学软 件g a p 所需要的命令将在附录巾列出 关键词：复反射群辫子群分圆h e c k e 代数同构 a b s t r a c t t h ec l a s s i f i c a t i o no ft h ep r e s e n t a t i o n si n t oc o n g m e n c eo n e sh a sb e e nc o m p l e t e df o rt h e m o s tc o m p l e xr e a e c t i o ng r o u p s ( s e e 【1 】，【2 】，【6 】，【7 】) e a c hp r e s e n t a t i o n ( s ，p ) o fa c o m p l e x g r o u pgg i v e sd s e t oab r a i dg r o u pg ( s p ) a n da c y c l o t o m i ch e c k ea l g e b r a aq u e s t i o ni st oa s k w h e t i l e rt h eb m i dg r o u p sc o r r e s p o n d i n gt ov 撕o u sp r e s e n t a t i o n s0 fga r ei s o m o 叩h i co rn o t t h es 锄eq u e s t i o nc a nb ea s k e df o rt h ec o 盯e s p o n d i n gc y c l o t o i l l i ch e c k ea l g e b r a f o re a c h c o m p l e xr e f l e c t i o ng r o u p s ( b ，g l i ，g 1 2 ，g 1 5 ，g 2 4 ，g 2 5 ，g 2 6g 2 7 ，g 3 2 ，w eh a v ep m v e db r a i d g r o u p sc o h s p o n d i n gt 0i t ss o m ep r e s e n t a t i o n sa r ci s o m o 叩h i c f u n h e m o r e ，f o rp r e s e n 协 t i o n so fc o m p i e x r e f l e c t i o n 伊o u p sg 1 2 ，g 1 5 ，g 2 4 ，p 2 6 ，g 2 7 ，g 3 2 ，w eh a v ep r o 毕dc y c l o t o r n j c h e c k ea l g e b r ac o r r e s p o n d i n gt oe a c ho ft l l e ma r ei s o m o 叩h i c w 色u s eh o m o m o 叩h i s mb a u s i c t h e o r e mi nt l l ep r o o f s ，a n di naf e wo fp m o f sw eu s em a t h e m a t i c a ls o f t w a r eg a p t h en e c e s s a d rc o m m a n d si ng a p2 l r el i s t e di nt h ea p p e n d i x k e yw o r d s ： c o m p l e xr e f l e c t i o ng r o u p b r a i dg r o u p c y c l o t o m i ch e c k ea l g e b r a i s o m o r p h i c 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文巾作了明确说 明并表示谢意。 作者签名：描烧蕴日期：巡：么z 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家丰管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的 学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：物蛆蕴 日期： 皿z ：z 导师签名 第一章引言 s h e p h a r d 和t b d d 对所有有限复反射群进行了分类，见【l 】，【2 】，【6 】，【7 】c o h e n 又引入 了有限复反射群的根系( r ，力和根图的概念，从而对这些群进行了更系统的描述，见【3 】 迸年来，h o w l e t t 和时俭益教授定义了单根系( e 的概念若g 是一一一个复反射群，我们知 道，其根系在允许相差一个非零常数因子的前提下唯一，但单根系并不唯一例g 3 3 ，g 3 4 ， 我们知道c o x e t e r 群由它的牛成元和关系式来表出有限复反射群g 也同样可以由牛成 元和关系式来表出但对于一般的g 这个表出并不唯一 一般说来，有限复反射群单根系的不唯+ 性决定了其表出的不唯一性时俭益教 授对表出定义了种等价关系：同余，使得这些单根系分成几个不同的等价类在时俭 益教授及其学牛王丽，曾鹏和徐善顶的论文中可以看到这些有限复反射群的不同余的 表出，见【l 】，【2 】，【6 】，【7 】【8 】对于这些不同余的每一个表出，其巾所包含的关系式都可以 有不同的表达形式，进而对应于不同的辫子群对于这些辫子群，有一个自然的问题： 这些辫子群之问是否存在同构的关系呢? 另外，对应于复反射群的不同余表出，我 们考虑相应的分圆h e c k e 代数之间的同构关系 本文的内容安排如下：第一部分为预备知识，主要摘录一些相关定义第二部分( 第 三章) 主要证明了部分复反射群g 7 ，g 1 1 g 1 2 ，g 1 5 ，g 2 4 ，g 2 5 ，g 2 6 ，g 2 7 ，g 3 2 的辫子群的同 构这里面有些证明过程是利用计算机软件g a p 来证明的，主要程序命令会在附录 里给出第三部分( 第四章) 会给出部分复反射群g 1 2 ，g 1 5 ，g 2 4 ，g 2 6 ，g 2 7 ，g 3 2 的相应分 圆h e c k e 代数的同构的证明，其巾部分的证明过程参考辫子群的证明过程 第二章预备知识 弟一早 耿亩刘识 这一章我们给出，。些有关复反射群及其所对应的辫子群和分圆h e c k e 代数的定义 等相关内容 2 1 有关复反射群不同余表出的概念 设，是，z 维复向量空间，y 上的一个反射是y 上的一个恰好有以一1 个特征值为l 的有 限阶线性转换y 上的反射群g 是一个由y 上的反射生成的有限群g 的反射子群是g 的 一个子群并且它又是y 上的一个反射群g 成为实反射群或c 0 e n e r 群，如果存在y 的g 一 不变的尺子空问，使典范映射c 一y 是双射如果不存在这样的一个尺子空问， 则称g 是复反射群 令g 是一个反射群，它的一个表出是指这样一个序对( s ，p ) ，这里： ( 1 ) s 是由生成g 的反射元构成的有限集，并且s 是满足此性质的集合巾元素个数最少的 ( 2 ) p 是s 中元素的关系式集，并且s 中元素的其它关系式均可由这些关系式推出 两个表出( s ，聊，( s o ，p 0 ) 称为同余的，如果存在一个双射，7 ：s s o 满足对任意 的s ，f s 有： 兰 ，即由j ，f 生成的g 的子群同构与由，7 ( j ) ，7 7 ( f ) 牛成的g 的 子群如果不存在这样的双射砀则称着两个表出是非同余的。 2 2 辫子群及分圆h e c k e 代数的定义 令g 是一个复反射群，设一个序对( s ，p ) 是g 的一个表出例如复反射群g 1 2 的一个 表出为：s l = j l ，娩，s 3 l ， p l = 如1 ) ，( 口2 ) 这里s l ，5 2 ，j 3 为生成元 其中关系式0 1 ) ，( 口2 ) 为：( 口1 ) 碍= = 霹= l 2 ) j l j 2 s 3 5 l = s 2 s 3 j l 观= j 3 s l j 2 s 3 2 第二章预备知识 3 那么对应于这个表出有相应的辫子群，记为g ( s 。p ) ，它是由s l ，晚，的生成的，且满足关 系式2 ) 一般地，对于一个给定的复反射群g ，它的一个表出不妨记为( s ，p ) ，则这个表 出所对应的辫子群是由它的牛成元及生成元满足关系式集，所表示的，这里尸，为p 中 的除去牛成元阶数的关系式后的其它所有关系式组成的集合易见辫子群是一个无限 阶群 在复反射群g 1 2 中可以看到有关系式s ；= l ，即s 3 = 5 i 1 ，在关系式( 口2 ) 中用s i l 代替 s 3 ，可以是s 1s 2 s i l s l2s 2 s 3 s l s 22s 3 s l s 2 s 3 ，也可以是s ls 2 s 3 s 1 = 靶一s 1 & 。s 3 s l s 2 s 3 ，这 样( 口2 ) 就不止一种表达形式，但是本质上它们都是同一个关系式所以，复反射群g 1 2 的表出也可以为 j ，只) ，这里s ：= s l ，只= ( 口1 ) ，( 口3 ) l ，这里( 口3 ) 为s l 兜s ；1 s 1 = 眈j 3 j l 观= 如j i & 匀那么对应于表出( s ：，z ) 的辫子群记为g ( s ，只) 是由s i ，晚，旬生成的，并且生成元 满足关系式3 ) 容易看出( s ，p ) 与( s ：，) 是同一个表出，但辫子群g ( s ，即与g ( s ：一) 是完 全不同的两个群一般地，对应于同个复反射群的辫子群并不是唯一的；但是对于每 一个固定形式的表出，所对应的辫子群是唯。的在本文巾把对应于群g 1 2 的所有辫子 群称为g 1 2 型辫子群类似的，对于其它的复反射群g ，所对应的辫子群称为g ，型辫子 群，这里工 7 ，l l ，1 2 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，3 2 1 在这篇文章中，我们只对每个固定形式的表出 所对应的辫子群讨论 复反射群g 1 2 对于其表出( s ，力，生成元为j l ，勋，岛，是互为共轭的定义一个舅上的 结合代数研如下，其中贸= z m ；1 ，时1 】，z 为整数环，p o ，p l 为不定元：以丁1 ，疋，乃为生成 元的贝上的结合代数并满足下列关系式： ( 瓦一p o ) ( 瓦一p 1 ) = 0 ( f - l ，2 ，3 ) ，r l 疋死r l = 疋乃丁1 死，丁l 死乃r l = 乃丁l 疋乃 我们把纠称之为相应于复反射群g 1 2 表出( s ，p ) 的分圆h e c k e 代数对于另外的表 出也有相应的分圆h e c k e 代数，在这里统称为g 1 2 型分圆h e c k e 代数反射群g 上，所对应 的分圆h e c k e 代数称为g ，型分圆h e c k e 代数 对于有二阶和三阶生成元生成的有限复反射群，由于生成元是不共轭的，它的一 个表出对应的分圆h e c k e 代数定义则是有所不同的，例如g 1 5 的一个表出为岱，p ) ：其 中s = s l ，s l l 娩i ，p = 徊1 ) ，( 口2 ) ，如3 ) ，s l 眈，曲为生成元，s “为共轭的 关系式似1 ) ，0 2 ) ，( 口3 ) 如下： 似1 ) = 豸l = 芝l = l ( n 2 ) s l s l l 晚l2s l l 晚l s l ( 口3 ) 5 2 1 s i l s l l l s l i = j 了1 j l l j 2 1 s l l 眈l 相应的分圆h e c k e 代数纠则定义如下：以r l 丁乃l 为生成元的贸上的结合代数，其 中贝= z ；1 ，p ；1 ，带1 ，矸1 ，笸1 】，其中z 为整数环，p o ，l ，如，t l ，a 2 为不定元，并满足下列 第二章顽备知识 关系式： 4 ( 乃一p 1 ) ( 乃一p 2 ) = 0 ( f = l ，l1 ) ， ( 死l 一如) ( 疋l 一1 1 ) ( 乃l a 2 ) = 0 ， 死死l 疋l = 死l 疋1 r l ， 死l 耳1 丁j 1 死1 丁l i = 丁f 1 蜀l 死l 死1 死i 在这篇文章中，我们只对复反射群g 1 2 ，g 1 5 ，g 2 4 ，g 2 6 ，g 2 7 ，g 3 2 对应的分圆h e c k e 代数讨 论 第三章辫子群的同构 这一章我们讨论复反射群g 7 ，g 1 1 ，g 】2 ，g 1 5 ，g 2 4 g 2 5 ，g 2 6 g 2 7 ，g 3 2 所对应的部分 辫子群的同构关系 3 1g 7 型辫子群的同构 由【7 】可知： 命题3 1 1 复反射群6 7 的两个不同余的表出记为( s l ，尸1 ) ，( s 2 ，b ) 这里? s l = i j i ，眈，s 8 l ，p l = 似1 ) ，0 2 ) s 1 ，j 2 ，s 8 为牛成兀 s 2 = s 2 ，5 1 4 ，s l l ， p 2 = ( 易1 ) ，( 6 2 ) ，( 6 3 ) ，s 1 4 ，s l 为生成元 其巾关系式似1 ) ，2 ) ，( 易1 ) ，( 易2 ) ，( 6 3 ) 如下? 0 1 ) 霹= s ；= 司= l ( 口2 ) s 2 s 8 s l = j 8 j l j 2 = j l s 2 s 8( 易1 ) 霹= 元= 司= l ( 6 2 ) j ls 1 4 s 2 = s 2 s 1 4 s l ( 6 3 ) 既j 1 4 s 2 j ls 2 j l = 5 ls 2 j is 2 j 1 4 5 2 相应的转换关系式：s 1 4 = 眈s l 内砖眈，髓= 砰龟j 1 4 & j l 由于在复反射群g 7 中有霹= i = 1 ，即= s j l ，砖= 町1 ，所以可以在表出( s 2 ，p 2 ) 以 及转换关系式作如下改变，改变后的表出记为( s ；，只) ，其中： s 2 = s ；，罡= ( 易1 ) ，( 6 2 ) ，( m ) l ，这里( m ) 为s 2 j 1 4 娩s l s i l 5 l = s l 写1 s l s 2 s 1 4 j 2 ，易见p 2 与哎是 同一组关系式；改变转换关系式为：s 1 4 = s ；1 s l 两5 ；s ；1 ，= s 了1 眈s 1 4 眈5 7 2 ，容易看出改变 后的转换关系式与原来的转换关系式是致的 为了方便，把( s ；，p ；) 中的元素符号作如下形式上的改变：s 乡= m ，如，f 1 4 ，鹾中的关 系式为：( c 1 ) 哇= 牙4 = 碍= 1 ( c 2 ) n “4 f 2 = f 2 f 1 4 f l ( c 3 ) f 2 f 1 4 砭f i e l f l = f l 丐1 f 1 乞f 1 4 f 2 也就是用代替咒，其中f = l ，2 ，1 4 ，( s ；，最) 与( s ! ，鹾) 是本质上同一个表出，且( s l ，p 1 ) 与 岱7 ，彤) 是两个不同余的表出，相应的辫子群分别记为g ( s ， ) ，g ( s ，一) 定理3 1 2 g 7 型辫子群g ( s 。p 1 ) 与g ( s 7 一) 是同构的 5 第二章辫子群的同构 6 证明：首先定义由，生成的自由群f ，则由万l ( ) = 研，( f = 1 ，2 ，8 ) 可以唯一。确 定f 叫g 岱。，尸) 的满同态映射丌卜 在f 的生成元集合m 上定义映射妒l ：m g ( s 羔，巧) 其中肘= ，l ，妒( ) = ，( f = l ，2 ，8 ) ，f b 皇f 丁1 f 2 f 1 4 如f i 2 ；进而唯一扩展到群同态映射妒i ：，叫g ( s 7 ，_ ) 由映 射丌l 的定义可知：映射丌l 的核妇r 丌l 是由元素吒- 1 - 1 吒一，s ：j ；s j s ；- 1 砭- 1 s ，_ l 生成 的f 的正规子群下面我们证明：妇所l 妇却l 即证： ( 1 ) 妒l ( 吐s ：畦_ 1 j ：_ 1 _ 1 ) = l 即妒i ( 吒s i ) = 妒l ( j ：) ( 2 ) 妒l ( 吒一艺_ - 1 ) = l 即妒l ( 吒) = 妒l ( ) 证明过程如下：由g ( s 7 片) 中的关系式可知， 妒l ( s ；s ；) = 妒l ( ) t 亭f l 龟f f l 如f 1 4 f 2 f 了1 f i 1 = f 2 f 1 乏如4 f 2 f f l f - 1 幻 ( 3 。1 1 ) 又因为( c 3 ) r l 巧1 f l 如f 1 4 f 2 = f 2 f 1 4 f 2 f l e l f l 成立，所以( 3 1 1 ) 等价于：“如f 1 4 f 2 百1 = f 2 f i l 红f 1 4 f 2 “丐1 ， 又由于( c 2 ) “f 1 4 匕= 垃f 1 4 f 1 成立，所以( 1 ) 成立对于( 2 ) 式，妒l ( s ：5 j ) = 妒l ( 哎s ；) 等价于 f 2 f 了1 f 2 f 1 4 f 2 一f _ l f l = 矿1 蟛1 4 免，l - 1 f l 一1 f l f 2 ( 3 1 2 ) ，再由前面的证明可知( 3 1 2 ) 等价于： f l 一1 f 2 ，l 一1 1 4 f 2 = f l 一1 龟f 1 4 恕旷f 2 营f l 一1 f 2 f 1 42 “4 如旷1 营f 2 f 1 4 “= f l f l 4 垃营( c 2 ) ，所以( 2 ) 成 立 由群同态基本定理知存在唯一的同态映射妒l ：g ( s 。p i ) 一g ( s 7 ，片) 使得妒l = 驴1 7 r l 且 知：妒i ( j ：) = l 万i ( ) = l ( s 1 ) = “妒i ( 吐) = 1 7 r i ( 呸) = l ( j 2 ) = f 2 妒1 ( s ；) = l 丌l ( ) = 妒l ( s 8 ) = f 8 同理定义由，呸，4 生成的自由群尸，则由丌2 ( ) = 岛，( f = l ，2 ，1 4 ) 可以唯一确 定p g ( s ，一) 的满同态映射丌2 在f 7 生成元集合m 上定义映射忱：m g s ，1 ) 其中m = i 巧，呸，4 ，忱( ) = 毋，( f = l ，2 ，1 4 ) ，j 1 4 兰j i l s l s 8 砰s i l ；进而唯一扩展到群同态映射妒2 ：f 7 _ g ( 5 。尸i ) 由映 射丌2 的定义可知：妇啦是由元素4 呸吒1 4 - 1 呸，吒4 吐呸- 1 吒砭- 1 4 1 呸- 1 吒- 1 砭吒- 1 生成 的，的正规子群下证妇r 砣妇砷2 ，即证： ( 1 ) 忱( 吒吒4 呸巧一1 巧4 1 艺- 1 ) = l 即忱( 吒4 吒) = 妒2 ( 呸4 ) ( 2 ) 勿( 呓。呸呸一1 乏- 1 。- 1 1 - 1 - 1 ) = l 即9 2 ( 呸4 砭一) = 忱( f ：砭一1 呓4 呸) 证明过程如下：由g ( s 中的关系式可知， 妒2 ( 4 呸) = 妒2 ( 呸4 吒) 成立当且仪当妒2 ( - 1 巧4 ) = 妒2 ( 4 f 2 1 ) 成立，当且仪当 妒2 ( 一1 呸一1 f ；4 呓) = 妒z ( 一1 呸巧。呸一1 呸) 成立，兰j 且仅当妒2 ( 呸一1 呸巧4 呓巧一1 ) = 妒2 ( 呸一1 呸4 砭) 成立，当且仅当忱( 呸吒- 1 呸吒4 艺吒- 1 ) = 妒2 ( - 1 吃1 呸4 呸) ( 3 1 3 ) 成立 墼重鳖至壁丝旦笪 7 则( 3 1 3 ) 式成立等价于妒2 ( 呸巧一1 呸4 呸- 1 ) = 仡( 1 呸1 呸- 1 呸) 成立当且仅当 妒2 ( 砭一1 呸4 呸一1 巧一1 巧) = 妒2 ( - 1 乞4 砭巧_ 1 巧- 1 呸) 成立，当且仪当s 2 j 8 s l = s 8 j l j 2 成立 即2 ) 成立可以证明( 3 ) 是成立的又有 妒2 ( 呸4 呸f ；呸一1 ) = 妒2 ( 呸一1 呸4 吒) 成立，当且仅当忱( 巧吒4 呸一1 ) = 忱( 呸巧一1 吒f ；。呸f j 呸一1 ) 成立，当且仪当妒2 ( 吒巧巧- 1 f ；4 ) = 妒2 ( 艺_ 1 呸4 呸吃- 1 ) 成立 再由证明( 3 ) 的过程中可知( 4 ) 是成立的所以七已r 丌2 妇却2 则由群同态基本定理知存在唯一的同态映射2 ：g ( s z ，墨) 一g ( s 。，i ) 使得妒2 = 妒2 丌2 且知：妒2 ( f f ) = 妒2 丌2 ( ) = 晚 ) = 研( f = i ，2 ，1 4 ) 下面说明驴1 与2 互为逆映射，只须在生成元上证明：妒2 妒l ( s j ) = s j ，f - l ，2 ，8 锄1 ( 翻) = 九( f 1 ) = j l ，妒2 l ( 昆) = 九( ，2 ) = 宠 妒2 l ( s 8 ) ：妒2 ( h ) = 九( f l 一1 红f 1 4 f 2 玎2 ) = s 了1 眈s 1 4 娩s 了2 = s i l j 2 j i l j i s 8 霹1 s 2 s i 2 = s 8 妒2 妒l = 以这样就证明了两个辫子群是同构的 3 2 g l l 型辫子群的同构 由【8 】中可知： 命题3 2 1 复反射群g 1 l 两个不同余的表出记为( s l ，p 1 ) ，( s 2 ，p 2 ) 这里? s l = l s l ，j 2 ，j 3 l ，p l = i ( 口1 ) ，( 口2 ) s l ，s 2 ，s 3 为爿e 万宛7 c s 2 = 5 i ，j 2 ， ， p 2 = ( 6 1 ) ，( 6 2 ) ，( 6 3 ) s l ，靶，乳为生成兀 其巾关系式0 1 ) ，0 2 ) ，( 6 1 ) ，( 6 2 ) ，( 易3 ) 如下： ( 口1 ) 砰= 霹= 霹= l ( 口2 ) s l 眈j 3 = 娩的j l = 勋s l s 2( 扫1 ) 砰= s ；= j ：= l ( 易2 ) s l 鼬2 酗j 2 s l ( 易3 ) s ls 2 s 2 = s 2 鼬眈j l 相应的转换关系式? & = 5 ；s ；j 3 = j 2 霹毫 由于在复反射群g l l 中有= l ，= l ，即霹= s ；1 ，= 晤1 ，所以转换关系式也 可以是：趵= j ；j ；1 眈，s 3 = s 2 跞1 ，我们把表出( s l ，尸1 ) ，( s 2 ，p 2 ) 作如下改变，改变后记 为( s ；，一) ，( s ；，呸) ，这里：s l = s ：，q = 1 ) ，似3 ) ，( 甜) ，s 2 = s ：，哎= ( 6 1 ) ，( m ) ，( 6 5 ) ，其中( 口3 ) ，( 西) ，( 鹚) ，( 扫5 ) 为： ( 口3 ) s l j 2 j 3 = 眈s 3 s l ( 口4 ) j i l j i l s 3 s i = s 3 s l 五1 s 三1 ( 易4 ) s 了1 呸1 j i l 鳓= & 贬1 s 三1 j i l ( 弱) 町1 丐1 丐1 s 4 墨1 丐1 = 巧1 s i l 鼬丐1 j i l 町1 ，易见p f ，与p ，( 江l ，2 ) 是同一组关系式 同上一节内容相似，对于表出( s ：，只) 中的元素符号作形式上的改变，即相应的符 号s 改为幺，这样改变后的表出记为( s 兰，鹾) ，与( s ；，最) 是本质上同一个表出，而且易 第= 章辫子群的同构 8 见( s i ，p ；) 与( s ，彤) 是群g i i 不同余的表出然后把相应的辫子群记为g ( s ，q ) ，g ( s z ，墨) 定理3 2 2 g l l 型辫子群g ( s ；，只) 与g ( s ! ，_ ) 是同构的 证明：首先定义由j ：，j ：生成的自由群f ：则由丌l ( s ：) = 毋，( f = l ，2 ，3 ) 可以唯一确 定f g i l 口的同态映射 在f 的牛成元集合膨= ， 上定义映射妒l ：膨叫g ( s ；，) 其中9 l ( 研) = ，( f - l ，2 ，3 ) ，f 3 会如石1 绣；进而唯一扩展到群同态映射妒l ：f 卜g ( s 7 一) 由映射丌l 的定义可 知：映射，r l 的核妇r 丌i 是由元素5 ；j 一- 1 一，1 - 1 5 ；1 1 生成的f 的正规 子群下证妇r 丌l 妇砷l ，即证： ( 1 ) 妒l ( _ 1 1 - 1 ) = l 即妒1 ( 墨) = 妒l ( ) ( 2 ) 妒( 1 s j s ：s ；- 1 弓- 1 ) = l 即妒1 ( _ 1 - 1 s ；) = 妒l ( _ 1 一) 证明过程采用计算机辅助证明，相应程序可以参照附录 由群同态基本定理知存在唯一。的同态映射妒l ：g ( s ：| p ：) 卜g ( s ；，墨) 使得妒i = 1 7 r i 且 知：妒l ( ) = 妒l 丌l ( ) = 妒l ( 毋) = 如，f = l ，2妒l ( 焉) = 1 7 r l ( s ；) = 驴l ( s 3 ) = f 2 巧1 嗟 同理，定义由，艺，瞄牛成的自由群尸，则由砚( ) = ，( f = l ，2 ，4 ) 可以唯一确 定p g ( s ? 。片) 的满同态映射；在尸牛成元集合m = i ，呸，l 上定义映射妒2 ：m g ( s ：，只) 其中妒2 ( 研) = ，( f = l ，2 ，4 ) ，鼬全s 2 2 s ；1 娩；进而唯一扩展到群同态映射忱：，7 _ g ( s ：，一) 由映射丌2 可知：妇r 7 r 2 是元素一1 呸1 呸- 1 呸呸，呸- 1 吒- 1 呸- 1 呸1 巧- 1 呸呸- 1 吒吒生 成的尸的正规子群下证妇阢2 妇仰2 ，即证： ( 1 ) 妒2 ( - 1 呸一呸一1 呸吒。) = l 即忱( 一呸一砭- 1 ) = 妒2 ( 芝。呸一- 1 ) ( 2 ) 妒2 ( 呸- 1 呸一1 呸一1 哇- 1 呸- 1 巧砭吒1 砭呸) = l 即妒2 ( 一呓- 1 呓一1 乞乞- 1 呸一1 ) = 仇( 砭- 1 芝- 1 - 1 呸1 - 1 ) 下面的证明采用计算机软件来进行证明其同构，程序参见附录得到妇吨 妇聊2 后，则由群同态基本定理知存在唯一的同态映射妒2 ：g 岱，彤) 一g ( s 。，p i ) 使 得妒2 = 九丌2 且知： 妒2 ( ) = 2 丌2 ( ) = 2 ( f f ) = 毋，f = l ，2 ，妒2 ( ) = 2 7 r 2 ( ) = s 4 = s i l s 2 = l ( “) 下面说明妒i 与妒2 互为逆映射，只须在生成元上证明：妒2 妒l ( 研) = 毋，f _ l ，2 ，3 即可 。妒2 妒l ( s 1 ) = 妒2 ( f 1 ) = s l 驴2 驴1 ( s 2 ) = 妒2 ( 如) = 娩 妒2 妒l ( s 3 ) = 妒2 ( f 3 ) = 妒2 ( f 2 “一1 磅) = 2 ( f 2 ) 矽2 ( 1 ) 2 ( ) = s 2 巧1 = j 3 驴2 l = 埘这样就证明了两个辫子群是同构的 注解：由 7 】可知，复反射群g l l 有四个不同余的表出，这里我们只给出相应与其中两个表 第二章辫子群的同构 9 出的辫子群的同构 3 3 g 1 2 型辫子群的同构 由【l 】中可知 命题3 3 1 复反射群g 1 2 的三个不同余的表出记为( s l ，p 1 ) ，( s 2 ，b ) ，( s3 ，尸3 ) ? s l = s l ，s 2 ，j 3 ，p l = 1 ) ，向2 ) ls l ，s 2 ，s 3 为牛成元 s 2 = j l ，& ，趵 恐= ( 6 1 ) ，( 易2 ) ，( 易3 ) s l ，s 2 ，s 7 为牛成元 s 3 = h ，观，曲 ，p 2 = i ( c 1 ) ，( c 2 ) ，( c 3 ) s l ，s 2 ，s 8 为牛成元 其中关系式0 1 ) ，( 口2 ) ，( 易1 ) ，( 6 2 ) ，( 6 3 ) ，( c 1 ) ，( c 2 ) ，( c 3 ) 如下? 1 ) 砰= = = l ( 口2 ) s i 娩如s i2 眈勖工i 眈5j 3 s l 岛 ( 易1 ) 蜡2 霹= 霹= l( 易2 ) j l j 2 j 7 s l2j 2 s 1 5 2 研 ( 扫3 ) s 7 s 2 s l 曲= s 2 s 7 s 2 s l ( c 1 ) s i2s i = j i = l ( c 2 ) s 2 s lj 2 s 8 5 225 is 2 j is 2 殛( c 3 ) s 8 j ls 2 5 8 娩2s is 2 豫j 2 j l 其相应的转换关系式? 墨32j 2 j 7 s 2 = j lj 2 s 8 s 2 轧j 8 = j 3 j lj 3 ，研2 靶s 3 s 2 在复反射群g 1 2 中有i = 霹= 霹= 霹= l ，即j i l = s l ，1 = j 2 ，巧1 = 札j i l = j 8 ，对 于等式( 6 2 ) 左右两边同时取逆，再根据上述内容可知有：j l j 7 晚s l = s 7 s 2 s l s 2 ( m ) ； 同理，( c 3 ) 在形式上可变为：s 8 j l s 2 s 8 s i l = s l j 2 盹j i l s l ( 4 ) ；转换关系式形式上可变 为：岛2 丐1 研娩，研= 眈，3 s i l ，鼬2s 3 s i 丐1 ，j 3 = s i 观甄j i l 町1 记表出( s ：，罡) ，其巾s 2 = s ：，e = i ( 6 1 ) ，( m ) ，( 易3 ) 易见( s ；，罡) 与( s 2 ，p 2 ) 本质上是 同一。个表出记表出( s ；，最) ，其中s 3 = s ；，最= p 1 ) ，( c 2 ) ，( 一) l ，易见岱3 ，巳) 与( s ；，只) 本 质上是同一个表出同上一节相似，对于表出( s ；，最) 及( s ：，只) 巾的元素符号作形式上 的改变，即把符号研相应的分别改为f j ，l l i ，这样改变后的表出记为( s 兰，墨) 与( s ；，g ) ( s l ，p 1 ) ，( s ，墨) 与( s ；，) 是三个不同余的表出，相应的辫子群记为g ( s 。， ) ，g ( s 7 墨) ，g ( 5 ；，) 定理3 3 2 g 1 2 型辫子群g 岱。，p 1 ) 与g ( s ；，蹦是同构的 证明：同3 1 ，3 2 中内容类似，首先建立由，吐，s ；生成的自由群，与g ( s 。， ) 之间的 典范满同态映射7 r l 这里丌l ( s ；) = 毋，f = l ，2 ，3 ，再去构造同态映射妒l ：，叫g ( s ? ，一) ，这 里妒l ( ) = 岛，f = l ，2 ，3 其中f 3 全1 f 7 f 2 ，若我们已经证明妇所l 妇仰l ，则由群同态基 本定理知存在唯一的同态映射l ：g 哂。 p 。) _ g 岱? ，_ ) 使得妒l = 1 丌l ，并且有，妒i ( ) = 妒l 丌l ( ) = l ( 毋) = f i ，f = l ，2妒l ( ) = 驴l 丌l ( ) = 妒l ( j 3 ) = f 3 = 巧1 f 7 f 2 然后建立由 ，f ；生成的自由群p 与g ( s ? ，一) 之间的典范满同态映射丌2 几( 巧) = ，f = l ，2 ，7 ，再去构造同态映射仡：尸_ g ( s 。，p 1 ) 这里仇( 鑫) = 毋，f = l ，2 ，7 其 第= 章辫子群的同构1 0 中s 7 兰s 2 j 3 j ；1 ，若我们已经证明妇m 妇嘞，则由群同态基本定理知存在唯一的同态 映射2 ：g ( s ，_ ) g ( s i ，p i ) 使得妒2 = 2 丌2 并且有，妒2 ( ) = 妒2 丌2 ( ) = 2 ( ) = 毋，f = l ，2 仇( 弓) = 2 砸( 弓) = 九( 巧) = 研= & & 啄1 证明妇趼lg 妇印i 及妇，恐妇坤2 如下：由映 射丌- 的定义可知：映射丌- 的核妇所- 是由元素- 1 1 _ 1 s ；，1 - 1 - 1 墨- 1 生成的f 的正规子群由映射丌2 的定义可知：映射丌2 的核妇耽是由元素弓噬巧一1 呸一1 一1 ，；， 弓呸f ；一- 1 巧一f ；- 1 呸 1 生成的f 7 的正规子群即证： ( 1 ) 妒，( s ：) = 妒，( j ；) ( 3 ) 妒2 ( f ；呓) = 忱( 弓呸呸) 证明过程如下： ( 2 ) 妒l ( 墨) = 妒i ( j ；) ( 4 ) 妒2 ( f ；呸f ；) = 妒2 ( 呸f ；呸) 忱( f ；呸) = s 1 眈如丐1 娩s l = s l 眈j 3 鳓， 妒2 ( f ；弓砭) = 晚的j i 眈j i 眨= 眈酌s l 娩 妒2 ( f ；砭f ；) = j 2 趵s i ls 2 s 15 2 s 3 j i l2 观j 3 5 l & s 3 j 三1 = 5 2 s 2 跖s ls 2 s i l = 勋s 2 s 3 s l 妒2 ( 呸弓呸f ；) = 也- 娩& 靶丐1 j l = - 沈j 2 s 3 5 l ，妒l ( ) = 砭1 f 7 如f l f 2 = ，7 如f l f 2 妒l ( j j s i j ；) = f l 如丐1 f 7 f 2 “= f l 幻如f l 妒l ( s ；s j s ：s ；) = 巧1 f 7 如，l 垃巧1 幻f 2 = e 。r 7 f 2 f l 巧f 2 = e r 2 幻f 2 f l f 2 = 幻f 2 “f 2 分别由g ( s p 。) ，g ( s 7 _ ) 中的关系式可知( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 是成立的下面说明l 与2 互为逆 映射，只须在生成元上证明：2 l ( 研) = 研，f _ l ，2 ，3 即可 矽2 妒l ( j 1 ) = 驴2 ( “) = j l 驴2 庐i ( s 2 ) = 赴( 如) = s 2 2 妒l ( s 3 ) = 妒2 ( 幻) = 九( e 1 f 7 垃) = 妒2 ( e 1 ) 2 ( 幻) 驴2 ( f 2 ) = s 三1 s 7 = 1 s 2 s 3 s i l j 2 = j 3 也l = 趔这样就证明了- 两个辫子群是同构的 定理3 3 3 g 1 2 型辫子群g ( s 。 ) 与- g ( s f _ ) 是司构的 证明：同3 1 ，3 2 中内容类似，首先建立由，生成的自由群f 与g 岱l p 。) 之间的典 范满同态映射丌l ，这里丌l ( ) = s ，f = l ，2 ，3 ，再去构造同态映射妒l ：，一g ( s 7 _ ) ，这 里妒l ( ) = 蛳，f = l ，2 ，3 其巾h 3 全砧1 比2 “8 “i 1 m i l ，若我们已经证明妇所l 妇憎l ，则存在 唯一的同态映射庐l ：g ( s i ，p 1 ) hg ( s ? ，_ ) 使得妒i = 1 7 r l 且知，妒l ( j ；) = 妒l 丌l ( ) = l ( s f ) = “f ，f = 1 ，2 妒l ( ) = 妒l 丌i ( ) = 庐l ( j 3 ) = 3 = “i “2 “8 h i l “i 1 然后建立由“；，“；，“；生成的自由群，7 与g ( s ；，墨) 之间的典范满同态映射7 r 2 ，这 里万l ( 比：) = l l i ，f _ l ，2 ，8 再去构造同态映射忱：f 7 一g ( s 。，n ) 这里妒2 ( “：) = & ，f = l ，2 ，8 其 中s 8 全s 3 s l 丐1 ，若我们已经证明妇所2g 妇呐，则由群同态基本定理知存在唯一的同态 映射妒2 ：g ( s ；片) g ( s 。p 1 ) 使得忱= 妒2 丌2 且知，妒2 ( 比；) = 妒1 7 r l ( h ：) = l ( 研) = ，f = l ，2 ， 妒2 ( 掰；) = l 丌i ( “；) = l ( s 8 ) = 鼯= j 3 j l s ；1 第= 章辫子群的同构 l l 下面证明妇所l 妇叩l 及七p ，丌2 缸讹：首先由映射丌l 的定义可知：映射丌l 的 核妇所是元素5 ；s “s 一- 1 - 1 j ：，s j j ；5 弼s ，s ：一1 s ：_ 1 - 1 生成的f 的正规子群由 映射恐的定义可知：映射丌2 的核七p 力r 2 是元素麒；雎；“； ；比；比：1 秘；- 1 “，- l “，- 1 和元素 “；“j “：“：“：- 1 “：- 1 “：7 “m ：- 1 “i 1 生成的f 的正规子群即证： ( 1 ) 妒l ( s ；s ；) = 妒l ( s ；s ；j ：) ( 2 ) 妒i ( s ：) = 妒l ( j ；j ；) ( 3 ) 妒2 ( “；“；“；h ；h ；) = 妒l ( 比：“；“j “：“；)( 4 ) 妒2 ( “；“；h ：m ；z l ；一1 ) = 妒2 ( “：“；“；“；一1 m ；) 过程如下：由g ( s ? ，一) 中关系式可知： 妒l ( j ：s ；j ；s ；) = “l “2 “l “2 “8 h i l “了1 “1 = “l “2 h l “2 h 8 “i 。“2 比l “2 “8 妒l ( s ；) = “2 “；“2 “8 “i 1 “i 1 h l 地= “2 h l “2 “8 = 妒l ( 墨) 妒i ( 巧s j s ；) = 雒l “2 裾8 掰三1 比i - 1 王f i 掰2 据i “2 “8 秘i 1 醒了1 = 嚣i 掰2 掰8 甜l 拦2 醒s 啄1 “i 1 = 拓i “2 工f 8 甜；一1 “l “2 甜8 嚣i 1 = 比l “2 h l “s 2 比8 比；1 = 比2 “l 雎2 “8 = 比i “2 h 3 “l = 妒l ( 呸巧) 所以( 1 ) ，( 2 ) 式是成立的再由g ( s ，| p 。) 巾关系式可知： 5 晚( “：h ：“：“；比；) = s 2 s l j 2 j 3 s l j i l 圪2s 2 s 3 s l s 2 s 3 s i l j 22 现s 3 s l s 2 s 22j l j 2 s 3 j l s 2 仇( h j “；h ；“；h ；) = s i 靶j i j 2 s 3 s l s ；1 = s l s 2 5 3 s 1 5 2 s 3 j ；1 = j l j 2 s 3 j i 靶= 妒2 ( h ；m ；“；“；“；) 妒2 ( h ；“j “：埘；“：一1 ) = j 3 j l s ；1 s l j 了1 s 3 j l = j 3 5 i s l 妒2 ( 听m ：“；“一“i ) = j l s i l s 3 s l s l = s 3 s l s l = 妒2 ( “：h ：h ：“；“：- 1 ) 则( 3 ) ，( 4 ) 式是成立的 下面说明l 与妒2 互为逆映射，只须在生成元上证明：欢i ( 毋) = 毋，f = l ，2 ，3 即可 2 l ( s 1 ) = 2 ( “1 ) = s l ，妒2 驴l ( j 2 ) = 2 ( 比2 ) =