（基础数学专业论文）涉及分担值的亚纯函数的正规定则.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意。 作者签名： 聋蠡2 竭 日期： 垃坠；生 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子 版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文 进入学校图书馆被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行 检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解 密后适用本规定。 作者签名： 啦逝鹚 日期：2 生：生 致谢 本文自始至终是在导师方明亮教授的亲切关怀和悉心指导下完成的 方老师为本文的完成花费了大量的精力导师富有创造性的见解以及具 体的建议，为作者确定了整个课题的方向导师渊博的知识，严谨的治 学态度，丰富的阅历和诲人不倦的精神使作者终身难忘在此，谨向我 的导师方明亮教授表示最诚挚的感谢! 在学期间，作者得到了陈怀惠教授的热情帮助和指导，他的鼓励让我 受益匪浅，在此一并表示感谢! 回顾在南师多年的生活，我要感谢院系领导在我学习期间给予的关怀 和支持；感谢姚奕老师，孙茂华老师，孙志人老师在我学习和生活上的 关怀；感谢院资料室，复印室老师提供的便利；感谢陈春芳，吴晓荣， 雷春林等同学的帮助和支持 作者特别要感谢生我养我的父母，没有他们含辛茹苦的养育和无私的 奉献，就不会有我今天的一切 陈晓绚 于随园 摘要 本文主要研究亚纯函数的正规性问题。正规性是单复变函数中的一 个重要研究课题，国内外许多学者对此作出了大量卓有成效的研究工 作。在前言中，我们对复变函数及其历史背景以及这些领域的研究成果 作了一番综述全文共分为三章 在第一章中，我们给出本文所要用到的一些基础知识：亚纯函数值分 布理论的方面的基础知识及一些常用的记号，复分析和正规族里的一些 基本结果。 第二章讨论了亚纯函数关于它的微分多项式的几个正规定则，主要 证明了定理2 1 第三章讨论亚纯函数关于分担值的一些正规定则，主要证明了定理 3 l ，定理3 2 和定理3 3 ， 关键词：亚纯函数，全纯函数，分担值，正规族 3 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d yn o r m a lf a m i l i e so fm e r o m o r p h l cf u n c t i o n s w h i c hi sa ni m p o r t a n ts u h j e c ti nc o m p l e xa n a l y s i s m u c hw o r kw a sm a d eo nt h i sr e s p e c t i nt h ep r e f - a c e w eg i v ear e v i e wa b o u tt h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do fc o m p l e x a n a l y s i sa n dr e s e a r c h a c h i e v e m e n t si nt h e s ef i e l d s t h ep r e s e n tp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s i nc h a p t e ro n ew es t a t eaf e wu s u a ln o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n sa n db a s i cr e s u l t si nv a l u e d i s t r i b u t i o nt h e o r ya n dt h et h e o r yo fn o r m a lf a m i l i e so f m e r o m o r p h i cf u n c t i o n i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h en o r m a lf a m i l i e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sc o n c e r n i n g d i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a la n dm a i n l yp r o v et h e o r e m2 1 i nc h a p t e rt h r e e ，w ed i s c u s st h en o r m a lf a m i l i e so f m e r o m o r p h i c f u n c t i o n sc o n c e r n i n g s h a r e dv a l u e sa n dm a i n l yp r o v et h e o r e m3 1 ，t h e o r e m3 2a n dt h e o r e m33 k e y w o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ；h o l o m o r p h i cf u n c t i o n s ；s h a r e dv a l u e s ；n o r m a lf a m i 4 前言 全纯函数与亚纯函数的正规族理论是复分析的一个重要组成部分。从 pm o n t e l 引进正规族，它便与函数取值的问题紧密的联系在一起，以后 的发展也是如此。在证实正规定则时，函数值分布论常常起着关键的作 用。 正规族也是复分析里的一个有力工具。例如从8 0 年代初开始十分活 跃并且正在蓬勃发展的复动力系统，就以正规族作为一个极其基本的概 念。 众所周知，平面上任一无限点集至少存在一个聚点( 有穷或无穷) ，这 就是点集的列紧性，但一族函数就未必具有上述性质。本世纪初，p m o n t e l 引进了正规族的概念他把具有某种列紧性的函数族称为正规族，并且 利用模函数建立了判定函数族正规的一个基本定则：”设 ，( ：) ) 为区 域d 内一全纯函数族，若对于族中每个，( 。) 在d 内恒有，( z ) 0 ，1 ，则 族 ，( z ) 在d 内正规”值得注意的是这个定则把函数族的正规性与 函数的取值问题联系了起来。n e v a n l i n n a 理论的产生促进了正规族理论 的深入发展。在应用n e v a n l i n n a 基本定理重新证明了上述正规定则后不 久，c m i r a n d a 又使用n e v a n l i n n a 理论证实了p m o n t e l 的如下重要猜想： ”设f ，( z ) ) 为区域d 内一全纯函数族，若对于族中每个，( z ) 在d 内恒有 ，( ：) 0 ，fc ( z ) 1 ，则族 ，( z ) ) 在d 内正规。”人们称此为m i r a n d a 定 则。该定则的重要意义在于它把函数族的正规性与函数的导函数的取值 问题联系了起来，从而开辟了正规族理论的新的研究领域。近年来，顾 永兴把m i r a n d a 正规定则推广到亚纯函数族的情形后，关于亚纯函数族 正规定则的研究，在我国颇为活跃。到目前为止，有关全纯函数与亚纯 函数族的正规定则的h a y m a n 猜想已全部被证实，其中不少为我国数学 工作者的成果近期，数学工作者们主要着重于研究把亚纯函数族的正 规性与唯一性结合起来的情形，s c h w i e k 首先研究涉及分担值的亚纯函 数族的正规性问题，随后，许多数学工作者也获得了很多重要成果。 在本文中，作者进一步研究涉及分担值的亚纯函数族的正规性问题， 将全纯函数族的关于分担值的正规定则推广到具有极点重数的亚纯函数 族的情形。第一章简要介绍了本文中所要用到的n e v a n l i n n a 值分布理论和 正规族中的一些基本概念和重要定理第二章论述了亚纯函数及其微分 多项式关于分担值的正规定则：”设为一正整数，6 为一非零常数， 为区域d 上的一族亚纯函数，o 。( z ) ，n z ( z ) ，o 。( z ) 为d 上的全纯函数若 对，中任意函数，在d 内的零点重数至少为k + 2 ，且对y - 中的任意两 个函数，g ，f , g 在d 内分担0 ，a ( z ) 与鲰( z ) 在d 内分担1 ，其中y k ( z ) = ，( 扛) + “1 ( z ) ，( 2 1 ) ( z ) + + n 女( z ) ，( z ) ，g k ( z ) = g 忙) 如) + 0 1 扛) 9 ( 2 1 ) ( z ) + + n ( ：) 9 ( = ) ， 则，在d 内正规”第三章主要将林伟川与杨连中及方明亮与徐炎的关 于全纯函数的正规定则推广到具有极点重数的亚纯函数族的情形，主要 证明了”设，为区域d 内的亚纯函数族，a ，6 为两个互相判别的有穷复 数。若对任意的，的极点重数至少为2 ，且当，( z ) _ o 时，化) = n ， ，( z ) = b 时，协) = b ，则，在d 内正规” 第一章基础知识及本文主要结果 在本章中主要给出文章所要涉及的定义，以及一些已经熟知的结果，以 便在后文中使用在本章的最后列出了本文的主要结果 5 1 1 亚纯函数的n e v a n l i n n a 理论 我们用n ( r ， ) 及n ( r ，) 分别表示在圆上的零点个数及极点个数( 按 重数计算) ，用瓦( r ，) 表示不考虑重级的极点个数( 一个重极点只算作一 个极点) 。对应的，我们可以定义 m = ( r ，万1 ) = z 7 学出m 。) l o g n 狮= ( - 万1 ) = f o 业字幽出嗍0 ) l o s r ， 我们用u ( r ，) ，( r ，) 来表示( r 。，) ，( r ，o 。，) 等等。 我们定义 m ( r ，) 2 爵1 上1 。g + i f ( r e i 8 ) l d 0 ， m ( r ，万1 ) = 磊1 五f 2 | r l 矿而高习碱n 。 其中l o g + z = m a x l o g z ，o n e v a n l i n n a 特征函数：t ( r ，) t ( r ，) = ( n f ) + m ( r ，) 定理1 1 ( 第一基本定理) 设，( 。) 是圆 r ( o r m ) 内的亚纯函数，则对于任意的有穷复数 。和0 r r ，有 t ( r ，击) = 聊 ，) + l o g 川州叩) ， 其中c r 是可芳i 在原点的展开式的第一个非零系数，而 f ( n ，r ) i l o g + l a l + l 0 9 2 7 定理1 2 ( 第二基本定理) 设，( z ) 是圆吲 n ( o r 曼o o ) 内的亚纯函数，又设q 0 = 1 ，2 ，g ) 为 口( 3 ) 个互相判别的复数( 有穷或无穷) 。若，( o ) 0 ，。，a j ( j = 1 2 ，q ) 及 九o ) 0 ，则 ( 一) t 胚娄n n ( r ，去) 一1 ( r ) + s ( r 1 ，n ( g 一2 ) t ( n ，) ( r ，i ) 1 ( r ) + ，n 1 = o j 其中 n l ( r ) = 2 ( n ，) 一( r ，) + ( n ；) ， 余项s ( r ，) 具有如下的性质： 当，( z ) 是有穷级时，s ( r ，) = o ( 1 0 9 r r _ o o 当，( z ) 是无穷级时，s ( r ，) = o ( 1 0 9 ( r t ( r ，) ) ) r _ 。o 至多除去r 的一个线性测度为有穷的集合。 定理1 3 ( c o l l i n g w o o da n dl i t t e r w o o d 定理) 设，( z ) 为 。内的非常数亚纯函数，为一正整数，。2 为口个不同的复数，则 砉m ( r ，击) 曼m ( r ，南) 懈n 定理1 4 ( 对数导数引理) 设，( z ) 是圆吲 r ( 0 r ( 2 0 ) 内的亚纯函数且f ( o ) 0 ，。，则当0 r p r 时，有 m ( n 等) 仇t 1 + l o g + l o g + 丽1 州；1 + l 。g + 忑1 + l o g + p + l o g + t ( p 1 ，) ) ， 其中瓯为与，无关的常数。 定理1 5 ( m i l l o u x 不等式) 设，( 。) 是圆 n ， ( 。) 和，( z ) 在d ( z o ，r ) 内有相同的零点数( 零点按重数计算) 。 定理1 9 ( 儒歇定理) 设c 为一条围线，函数，( 。) 及妒( z ) 满足条件： ( 1 ) 它们在c 的内部均解析，且连续到c ； ( 2 ) 在c 上，i f ( z ) i l 妒( 圳， 则函数，( = ) 与，( = ) 十妒( = ) 在c 的内部有同样多的( 几级算作几个) 的零 点，即n ( f + _ p ，g ) = n ( f ，g ) 在文章中我们还用到以下一些记号。 设g 为一非常数的亚纯函数，n 为一复数。若，( z ) 一n 与9 ( z ) 一。零点 相同( 计重数) ，则我们说，与9c m 分担o 。若，( 。) 一n 与9 ( 。) o 零点 相同( 不计重数) ，则我们称，与9 i m 分担n 。 1 2 正规族 定义1 1 称区域d 内的解析函数序列 ( = ) m = 1 ，2 ，3 ，) 在d 内内闭 一致趋于m ，如果在d 内的任意紧集上i a ( z ) i 一致地趋于+ m 。 定义1 2 设钆现为二复数( 有穷或无穷) ，我们称下面的非负实数为 z ，与力间的球面距离，记作砘| ： 。寸2 网唧 1 + i = 1 1 2 0 o l o o ，0 2 。 z 1 手o o ，z 2 = o o z l 2 o o z 22 。 定义1 3 设 ( z ) 为区域dcg 内的亚纯函数序列，若对任意紧集 e c d 及e 0 ，存在正整数盹。使对任意= e ，都有 ( ，n ( z ) ，( z ) ) e ，o f ( 厶( z ) ，) k + 4 + ；的 正整数若f 0 且) 一1 的零点重数至少为i ，则，为一常数 引理4 ( 1 1 ) 设，为一超越亚纯函数，b 为一非零值，则对每个正整数 k , f 或者严) 一b 有无穷多个零点 引理5 ( 1 2 ，1 3 ) 设，为单位圆盘上的一族亚纯函数且对任意， o 若，在d 内不正规，则对每个a o ，必存在 a ) 实数r ，0 r 1 ， b ) 复数z 。， r ， c ) 函数列 ， d ) 正数加_ o ， 使得簖a ，n ( ：。+ p 。( ) = g n ( ( ) 在开平面的任意紧子集上按球面距离一致 收敛到一个非常数的亚纯函数9 ( e ) ，9 ( ( ) 的零点重数至少为k 5 2 3 定理证明 由于定理1 和定理2 的证明类似，以下我们只证明定理i 设如是d 内任意一定点以下证明，在2 , 0 正规，我们考虑两 种情况 情形1 a ( 知) 1 则存在z o 的邻域d d = p ：i z 一如l j ) 使得在d d 上， a ( 加) i 从而，对任意的9 芦，9 的零点重数至少为+ 2 且鲰1 于是 由引理1 知，在d 6 上正规，即，在z o 正规 情形2 ( 如) = i 则由定理条件，) 0 从而存在z o 的邻域d j = z ：l z 一如i n 使得在风上，0 ，在d 2 = 2 ：0 。o a u 于是，对充分大的n 1 有 。! m 。! i n 。，。( z 。+ ；e t 。) i a i 。， 因为厶为d 5 上的亚纯函数，且a 0 ，则1 在d 6 上全纯，即1 厶在 甄= ( z ：l = 一知兰 ) 上全纯从而有 12 。娥m a x 。* 丙i 丽o,goif = 一 2 故存在( ，n 的子序列在d 上按球面距离局部一致收敛 情形2 2g ；0 则( ，n ) 在d 2 上局部一致收敛到0 从而f 拶) ， “ 也局部一致收敛到0 ，即，n 。( = ) ，( 。( 。) ) 7 也局部一致收敛到0 于是，对充 分大的n ，由辐角原理，我们有 懈，z 以。一，) 一v ( 知志) = i 熹l ：；患咎出l ， 即 ( 知妒，) = ( 知志) 因为 ( 。) 1 的极点重数至少为k + 1 ，所以，凡( 。) 一1 的零点重数也至少 为k + 1 下面再分两种情况讨论： 情形2 2l 存在无限多个正整数n 使得 。( 对一1 = 舻( ：) + o 。( z ) 拶_ 1 ( ：) + + n k ( z ) ( = ) 一1 在z 0 的零点重数大于k + 4 + ；我们说g = ( ，n s ) 在d 上正规事实上，假设g 在d 上不正规则由引理5 ，我们有， g ，d ；，p 。_ 0 + 使得簖 ( z 。+ p 。e ) = 肌( e ) 按球面距离局部一致收 敛到非常数的亚纯函数9 ( e ) 所以， 执h 2 z j + p j 卅吾州巧州) ( z j + p j ( ) 1 j 一。f ( 勺+ n e ) 巧一( 勺+ p i e ) k l 。( 勺+ p j ( ) = 。f ( 勺+ 丹e ) 砖2 西“( e ) l = 1 因为o 0 ( z ) ，o ( z n ，a k - - 1 ( z ) 在d 上解析所以，当j 充分大时有， h ( 勺+ p j ( ) l ( 字，刊) o 。( i 咄”一，自叫 萨 (冉 + 勺 0 m 有并 因为 0 l ( + m ) p ；l 9 ( ( ) 2 = 0 在d 5 = e ： ( 一白i 6 ) 上一致收敛到。 所以 g ；( ) + k - tn f ( z j + p 3 0 , f 。叫( 勺+ 一( ) 一1 i = 1 在d l d ：( ( ：l e 一( 0 l ( 升上局部一致收敛到9 ( 2 ( e ) 一1 即 ( z ) 一1 在 d | 5 ： e ：l 一白l ；d ) 上一致收敛到g ( ( e ) 一1 于是，由h u r w i t z 定理知，g o 且9 ( ) 一l 的零点重数大于+ 4 十；从 而，由引理3 知，9 为常数矛盾所以，存在( ，n ) 的子序列在d ；d 内 按球面距离局部一致收敛 情形2 22 存在无限多个正整数”使得( z ) 一1 = 措( z ) + 。1 ( = ) _ 1 ( z ) + + 。( z ) ( z ) 一l 在= o 的零点重数为t ( k + l f 女+ 4 + ) 我们说g = ( ，n & ) 在d 内正规假设不正规，则由引理5 ，我们有厶g ，z 。d ，p n 。0 + 使得厮吨( + p 。e ) = g n ( ) 按球面距离局部一致收敛到非常数的亚纯函 数g ( e ) 所以， 目；2 ( ( ) 一l = 1 ，；“1 ( 勺+ 乃) + n f ( 刁+ 丹( ) 巧一( 勺+ 野( ) 一1 l l1 = i o k i e a l ( 勺十力c ) 巧一( 勺+ 丹( ) 并有 因为。( = ) ，n 。( z ) ，n 。( z ) 在d 上解析所以，当j 充分大时有 州勺+ 删i m ( 半，n ；( z ) ) 。( 江叭，k _ 1 ) 在d 6 = ( e ： ( 一如l ；以上一致收敛到0 一k 吩 e 冉 + 勺 0 m = ( 一 卜 一p “巧 ( 彤 + 勺 o ( 卜 蠢= 谬 丹 + 勺 0 脚 为因 所以 k l 彰( ( ) + 0 l ( 勺+ 乃 ) 巧一( + 丹 ) 一1 在d ；= ( ：l ( 一矗l ；d ) 上一致收敛到9 ( 1 ( ( ) 一1 即 ( z ) 一1 在d 如= ( ( ： l ( 一白i 0 ，使得g ( 2 ) 在d n = z ： 脚内的极点个数至 少为f + 1 且在垤= z ：i z l = 脚上9 ( o o ，g ( 2 ) 1 。因为g 。在7 r 上一致收 敛到g ，所以，在垤上拶一1 一致收敛到9 ( ) - 1 从而，对充分大的n ， 由儒歇定理( 可知，在d n 内，口( e ) 和g 譬的极点个数相同( i t 重数) 但 9 垆至多有f 个极点，而9 ( ) 却有个l + 1 极点，矛盾 从而有， ( i ) g 0 ： ( i i ) 9 ( ) 一1 只有一个简单零点且重数为f ； ( i i i ) 9 ( ) 至多有 个极点( 计重数) 我们说没有这样的函数存在由引理6 ，我们知道没有满足条件的超 越函数。显然，g 也不能为一多项式下面我们证明没有有理函数满足 条件( i ) ，( i i ) 和( i i i ) 我们分三种情况讨论。 情形2 221k 3 因为k + 1 fsk + 4 + 2 k ，g 只有一个极点。所以 昧) = 瓦知， 其中a 是一个非零常数，o t 是一个常数，m 为一正整数。 显然，g ( 女) 一b 有个m + k 互相判别的零点，这与9 f ”一b 只有一个零点 矛盾。 情形2 2 2 2 k = 2 因为3 f 7 ，g 必为下列形式中的一种： ( 1 ) 9 篮) = 以簿一8 1 ) ( f a 2 ) 2 ，f = 7 ； ( 2 ) 9 旺) = 且一a 1 ) ( f 一口2 ) ，l = 6 ； ( 3 ) g 嬉) = a ( 一a 1 ) m ，f = r n + 2 ，1 n 5 ， 其中a 为一非零常数，。：和啦是互相判别的常数，m 为一正整数。 若9 ( f ) = a f f a 1 ) f f a 2 ) 2 】，男b 么 g ”( ) 一b ：一生堡竖二! 12 f 二尘2 二! ! i 二! ! ! 二! ! ! ! ! ! 二! ! ! = ! ! ! h 型! 二! 1 2 1 竖二! 1 2 ： ( f a 1 ) 3 ( 一n 2 ) 4 。 因为g ”一b 只有一个零点，所以我们有 a f 3 ( f i ) f f n 2 ) 一( 3 一2 a l n 2 ) ( 5 一3 a i 一2 a 2 ) ! + 6 嬉一0 1 ) 3 嬉一口2 ) 4 = 6 ( f c ) 7 ( 2 1 ) 对( 2 1 ) 两边连续求导三次，我们有 幢一0 2 ) p ( ) = 2 1 0 6 ( f c ) 4 ，( 2 2 ) 其中p 为一多项式，c 为一常数。 从而n 。= c 并由( 2 1 ) 式可得到o ，= o 。，矛盾 若g 为形式( 2 ) 或( 3 ) ，我们同样可以得到矛盾。 情形2 2 2 3 k = 1 因为2 蔓z 7 ，g 必为下列形式中的一种： ( 1 ) g ( ) = a f f d 1 ) ( f a 2 ) f f a 3 ) 2 ，z = 7 ； ( 2 ) 9 ( ) = ( 车一口1 ) 幢0 2 ) ( 一。3 ) ，f = 6 ； 2 0 ( 3 ) 9 ( ) = a 嬉一a 1 ) 2 ( 一n 2 ) “，f = m + 4 ，2 m 茎3 ； ( 4 ) 9 睡) = a 佳一1 ) 幢一0 2 ) “，l = m + 3 1 m 4 ； ( 5 ) g ( ) = 4 ( 一0 1 ) “，f = m + 1 ，1 m 6 ， 其中a 为一非零常数，a 们。和a 。是互相判别的常数，m 为一正整数。 若g 嬉) = a ( f a 1 ) ( 一a 2 ) 心一0 3 ) 2 ，习b 么 ，( f ) 一b a ( 2 f a l 0 2 ) 篮n 3 ) + 2 幢一n 1 ) ( f a 2 ) + 6 ( f 0 1 ) 2 ( f n 2 ) 2 ( 一n 3 ) 3 ( 一n 1 ) 2 ( f a 2 ) 2 ( f a 3 ) 3 因为g 一b 只有一个零点，所以我们有 对( 2 3 ) 式两边求导，我们有 ( 23 ) + j 4 ( 8 f 一3 a l 一3 a 2 2 a 3 ) = 7 6 ( 一c ) 6 ( 2 4 ) 在( 24 ) 中令 = a 。，则有 3 a ( 2 a 3 一a l a 2 ) = 7 b ( a 3 一c ) 6 对( 24 ) 式两边求导，我们有 8 a + ( f 0 3 ) p ( f ) = 4 2 b ( f c ) 5 其中p 为一多项式 在( 2 6 ) 中令f = a 3 ，则有 8 a = 4 2 b ( a 3 一c ) 5 从而由( 3 5 ) 式和( 2 7 ) 式我们得到 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 2 0 9 4 +l o 9 4 1 卜 2 3 0 _ ，一2 一 = c 另一方面，对( 2 3 ) 式两端连续求导六次，并令= c ，我们得到 。：堕望掣鱼 f 比较( 2 8 ) 式和( 2 9 ) 式得到0 3 = c ，因为a 0 ，所以这与( 2 ，7 ) 式矛盾。 若g 为其它形式中的一种，我们同样可以得到矛盾。 从而我们可以证得 ，n ) 在功。内正规因此，必存在编) 的某一子 序列在功。内按球面距离局部一致收敛。也就是说，在钿点正规，即 ，在d 内正规那么定理证明完毕。 用引理2 ，我们同样可以得到定理2 的证明。 第三章关于分担值的亚纯函数的正规定则 3 1 引言 s c h w i c k 2 4 证明了若对任意，有，与，分担三个互相判别的值 o 。，o 。，则y - 在d 内正规。p a n g 和z a l c m a n 2 2 改进了这个结果，得到 定理a 设，为区域d 内的亚纯函数族，a ，b ，c 和d 为复数并满足c a 和d b 若对每一个f ，有，( z ) = n 车毒f t ( 2 ) = b ，f ( z ) = c 车： f l ( z ) = d ， 则，在d 内正规 对于解析函数族，c h e na n dh u a 1 8 ，f a n ga n dx u 1 9 】，l i na n dy a , n g 2 0 ， p a n g 2 1 】和x u 2 5 等人证明了如下结果： 定理b ( 2 1 2 5 ) 设，为区域d 内的全纯函数族，a ，b 为两个互相判 别的有穷复数。若对任意的，f 和f ，i m 分担n ，且当，( z ) = b 时 ，( z ) = b ，则，在d 内正规。 定理c ( 1 8 1 1 9 ，2 q ) 设，为区域d 内的全纯函数族，n 为非零有穷复数。 若对任意的，和，i m 分担。，且当，( z ) = n 时严( 。) = n ，严+ - ) = o ， 则，在d 内正规 定理d ( 2 0 ) 设，为区域d 内的全纯函数族，n 为非零有穷复数， o ，一，n 。一- 为常数。若对任意的f ，f 和i m 分担n ，且当，( z ) = o 时，( z ) _ ( z ) = o ，其中l = ，( m + n m - 1 ，( m - 1 ) + + a l f ，则，在d 内正规。 在本节中，我们改进定理b - d ，得到以下定理。 定理3 1 设，为区域d 内的亚纯函数族，n ，b 为两个互相判别的有 穷复数。若对任意的f ，的极点重数至少为2 ，且当，( 。) = a 时 ，( = ) = a ，( = ) = b 时，他) = b ，则，在d 内正规。 定理3 2 设j r 为区域d 内的亚纯函数族，n 为非零有穷复数。若对 任意的，的极点重数至少为z ( k 2 + 一1 ) ，f 和，i m 分担n ， 且当，( z ) = n 时产( z ) = ，( k + l ( 。) = a ，则，在d 内正规。 定理3 3 设，为区域d 内的亚纯函数族，a 为非零有穷复数， n 邶”，a 为常数。若对任意的，的极点重数至少为2 k + 4 ，和工 i m 分担a ，且当，( z ) = o 时，( z ) = ( z ) = a ，其中l = ，( + “一1 ，( 一1 + + n 1 ， 则，在d 内正规。 32 重要引理 为了方便，我们定义 k n d ( r ，) = m ( r f ；) ， t = 1 其中“( 1 蔓i ) 表示，的某种形式的对数导数。 引理1 设，为区域，= p ： r 上的亚纯函数，的极点重数 2 k + 4 ，a 为非零有穷复数，l = ，( + t 2 k - 1 ，( “+ + a l ，置 庐刊，) _ 等一) = 黼庐刊，) _ 并，l p = ) = 棼耥 若a 为，与l 在d 上的i m 公共值，且当f = n 时，= l = o ，则对 0 r r 有 ( i ) t ( r ，一2 l p ) c + l d ( r ，) + l d ( r ，l ) + 1 ) + ( k + 1 ) n ( r ，) ； ( i i ) 当f ( z o ) = n 时， ( z ) 一2 妒( z ) 】一。= 0 。 其中c + 为一常数，在不同的地方它代表的值可能不同。 证明设z 0 为，的a 值点，由引理条件易得z o 为f a 的单零点，工一， 的至少两重零点，于是通过计算得 柏) = 坐与趔川小坐嚎型， ( 3 1 ) 从而有 ( z ) 一2 妒( 训。= 0 。 易知，的极点必为一2 妒的k + 1 重极点，再由( 3 1 ) 式知( z ) 与妒( = ) 在z 0 处解析，结合对数导数引理我们有 t ( r ，咖一2 | p ) = ( 西一2 妒) + 7 n ( r ，乒一2 妒) s c ( l d ( r f ) + l d ( r ，l ) + 1 ) + 陋+ 1 ) ( r f ) 即得引理1 的结论。 引王里2 设f 为区域j = z ： r ) 上的非常数亚纯函数，f 的极点重 数2 k + 4 ，l = 严+ a k - 1 严一l + + 0 1 ，7 ，且，与l 满足定理l 所设的 条件。若，( o ) 0 ，叫o ) 0 及( o ) 一2 妒( o ) 0 ，则对0 r r 有 t ( r ，) 茎g + l a ( n ，) + l a ( n l ) + ，) + ( 2 k - f4 ) l o g l ；器轰i 黼| 证明根据n e v a l i n n a 基本定理，有 m ( n 忐) + m ( n 击) m ( r ，忐) + m ( r ，箬) + m ( r ，兰) + m ( r ，去) 曼r ，) + 叫“) + m ( r ，可1 ) + 伊 于是 t c r ，卅t l ，( n 忐) + ( r ，击) + m ( r ，击) + l a ( r ，f ) + l d ( r ，l ) + l o g i ( f ( o ) 一口) ( l ( 0 ) 一a ) i + g + ( n 击) + v ( n 击) 删啦) + - ( 吖) + g + ( l a ( n ，) + 三a ( n l ) + 1 + l o gi 旦旦! - 二 秽i 注意到，一n 与l o