（基础数学专业论文）紧量子度量空间中的提升问题.pdf

- j d i s s e r t a t i o nf o r m a s t e rd e g r e e ，2 0 1 0 c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 r e g i s t e rn u m b e r ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 2 3 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y o nl i f to fs o m ee l e m e n t si nc o m p a c tq u a n t u mm e t r i cs p a c e s d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r ： s u b j e c t ： p u r em a t h e m a t i c s o p e r a t o ra l g e b r a s u p e r v i s o r ： w e iw u n a m e ： z h a n g d ih u m a y 2 0 1 0 s h a n g h a i 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文 紧量子度量空间中的提升问题，是在华东 师范大学攻读硕士学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢 意。 作者签名：氇塑造 日期：椰年月，日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 紧量子度量空间中的提升问题系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师 指导下完成的硕士学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有。本人同意华 东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家 图书馆、中信所和“知网送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华 东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕 士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影 印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。不保密，适用上述授权。 导师签名：本人签名：氇堑丝 日期：w ，o 年6 月日 碰硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 套联翻主身石扫争琵叹淳尧学吾 主席 第薯署础重劈面叼午镢专趁韵、 确善立弛重匆舀。辛琵天警尧留。 ， 摘要 若a 和曰都是矿一代数，l l 和如分别是其上的幸一半范数，妒是a 到b 上的母同 态，本文主要讨论在何种半范数下，任取妒( a ，) 中的元素，在中都能找到保范的提 升元，并得出了如下的结论：当上q 同时是l e i b n i z 和连续的，任取州) 中的自伴元， 正元及正的可逆元，在中都相应地能找到保范提升元而当厶和厶都是下半连续 的强l e i b n i z 时，任取妒( ) 中的谱不全在单位圆环上的酉元，则在中都能找到提 升元此外，本文还给出了所有保范提升都是l 有限的充要条件 关键词：c 代数，半范数，提升 l e taa n dbb ec * - a l g e b r a sw i t hc o r r e s p o n d i n g , - s e m i n o r m s 厶a n d 如a n d 妒b e a 柱h o m o m o r p h i s mf r o ma i n t ob ，t h i sp a p e rm a i n l yd e a l sw i t ht h ef o l l o w i n gp r o b l e m ： f o re v e r ye l e m e n ti n 氟a ，) ，u n d e rw h a tk i n do fs e m i n o r mc a nw ef i n dal i f ti na yw h i c h p e r s e r v e st h en o r m s a n dw eg e tt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ：w h e n 厶i sl e i b n i za n dc o n t i n u o u s f o re v e r ye l e m e n ti n 妒似，) w h i c hi ss e l f - a d j o i n t , p o s i t i v eo rp o s i t i v ea n di n v e r f i b l e 。t h e r e e x i s t st h ec o r r e s p o n d i n gl i f ti na w h i c hp e r s e r v e st h en o r m s ；w h e n 厶a n d 2a l e s t r o n g l y l e i b n i za n dl o w e rs e m i c o n t i n u o u s ，f o re v e r yu n i t a r ye l e m e n tui n 鲋，) w i t hs p ( u ) t t h e r ee x i s t sal i f ti na ，b e s i d e s ，w el i s tt h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n s0 1 1w h i c ht l l e l i f t sp e r s e r v i n gt h en o r m sa r ea 1 1s e m i n o r m f i n i t e k e yw o r d s ：c - a l g e b r a ，s e m i n o r m ，l i f t 中文摘要 英文摘要 目录 第一章基础知识介绍1 1 1 引言1 1 2 一些基本概念2 1 3 引理及部分证明3 第二章主要结果7 2 1 自伴元7 2 2 正元1 1 2 3 酉元1 2 2 4 正的可逆元1 3 第三章应用及推广1 5 3 1 应用1 5 3 2 推广1 5 参考文献1 7 致谢1 8 n l 华东师范大学硕士论文紧量子度量空间中的提升问题 第一章基础知识介绍 1 1 引言 假设j d ) 为一个紧的度量空间，则利用度量p 可以定义c ( 的上的一个 l i p s c h i t z 半范数： 一 岛0 9 = s u p l l f ( x ) 一f ( y ) l p ( x , y ) ：工) ，) 而利用厶又可以重新得到p ： p ( 五) ，) = s u p l l f ( x ) 一，( y ) i ：l j 更进一步，k a n t o r o v i c h 在文献【1 0 】，【1 1 】中再利用0 定义了s ( c ( 的) 上的度量： p t ( u ，1 ，) = s u p l u ( f ) 一v i ：厶1 ) 并且k a n t o r o v i c h 还证明了由度量p l 诱导的s ( c ( x ) ) 上的拓扑和s ( c ( ) 上 的弱+ 拓扑一致通过以上的说明，可以发现紧的度量空间x 上的度量与交换 的e 代数c 上的半范数可以相互转化而得到则自然地就会想到，若给一 个非交换的p 代数及其上合适的半范数，是否同样能刻画某个度量r i e f f e l 通过上述观察引入了紧的量子度量空间的概念【2 】它是由一个序单位空间a 和其上的l i p 范数匕组成后来，在此基础上他还将l i p 范数厶特殊化而提 出了p 度量代数的概念【4 】此外，在【4 】中，r i e f f e l 还对a 上的l i p 范数厶一 般化，即考虑一般的能取值+ 的半范数他通过观察c ( 的上的l i p s c h i t z 半 范数发现，有些性质如：l e i b n i z 性或强l e i b n i z 性，连续性或下半连续性在研究 过程中是非常重要的，故其将这些性质赋予半范数单独加以研究而r r d a m 曾对一般p 代数的提升问题进行过讨论，并得出定理1 3 1 0 1 9 本文则讨论 在紧的量子度量空间或是更一般地，带半范数的p 一代数中的提升问题而当 给元素赋以半范数时，只有讨论半范数有限的元素才是有意义的故本文主要 讨论当像的半范数有限的时候，给半范数l 赋予某些特殊性质，能否找出保范 的半范数有限的提升元，同时还给出了所有保范的提升元都是半范数有限的 充要条件最后，本文再在一类特殊的c 代数：c 度量代数下讨论像与原像 的半范数的关系 本文安排如下：第一章将介绍一些背景，用到的基本概念，及所用到的定 理，引理的证明，第二章中，我们将分自伴元，正元，酉元及可逆元四节来讨论 华东师范大学硕士论文 紧量子度量空间中的提升问题 当半范数满足何种条件时存在l 有限的保范的提升元，第三章中，我们将在 p 度量代数的情形下讨论像与原像的半范数的关系本文的主要结果如下： 定理1 1 1 设a 和b 是两个c 一代数，厶和厶分别是其上的木一半范数妒是a 到b 上的冰同态，则： 1 任取妒( ) 中的自伴元b ，若厶同时是l e i b n i z 和连续的，则在a 中都能 找到l 有限的自伴元a ，使得9 ( 口) = b ，且0al i - i ibi i 2 任取妒( ) 中的正元b ，若厶同时是l e i b n i z 和连续的，则在a 中都能找 到l 有限的正元a ，使得妒( 口) = b ，且ai i = 1 ib1 1 3 若a 和b 都是有单位元的c 代数，任取妒( ) 中的酉元b ，且s p ( b ) t ， 若厶和厶都是下半连续的强l e i b n i z 的半范数，则在a 中都能找到l 有 限的酉元a ，使得妒( 口) = b 4 若a 和b 都是有单位元的c 叫弋数，妒是保单位元的，任取妒( ) 中的正 的可逆元b ，若厶同时是l e i b n i z 和连续的，则在a 中都能找到l 有限的 正的可逆元a ，使得妒( 口) = b ，且al i = 1 lbi | - 1 2 一些基本概念 下面的半范数都定义为在某些元素上取值+ o o 的半范数 定义1 2 1 【4 】若a 是一个9 一代数，l 是a 上的半范数我们定义： 1 a r = a a ：l ( a ) ) ，即是a 中所有半范数有限的元素的集合 2 l 称为是半有限的，若在a 中是稠密的 3 如果对于所有的a ，b a ，l 满足不等式 l ( a b ) - i iai l 6 ) + b l ) 则称l 为a 上的l e i b n i z 半范数 4 假设a 是有单位元的c 代数，如果是l e i b n i z 的，并且l 还满足： l ( 1 ) = 0 ，并且对于a 中任意的可逆元素a ，有 l ( a 一1 ) 0 ，集合 a a ：l ( a ) s 厂) 在a 中是范数闭的，则称l 是下半 连续的 7 如果l ( a ) = l ( a ) ，y a a ，则称l 是一个幸一伴范数 定义1 2 2 【1 】a 是一个有单位元的e 代数，l 是其上的半范数，若l 满足 1 l ( 1 ) = 0 ，其中1 a 是a 的单位元， 2 l ( 口) = l ( a + ) ， c a a ， 3 定义在s ( a ) 上的度量凡 p 己( 5 d ，渺) = s u p l 妒( 口) 一砂( 以) i ：l ( 口) 1 l 所诱导的拓扑和s ( a ) 上的弱+ 拓扑一致 则称l 是a 上的l f p 一范数 r i e f f e l 在上面定义的基础上引入了p 度量代数的概念 定义1 2 3 【4 】一个c + 一度量代数是一个二元组( a ，d ，由一个有单位元的 p 代数a 和a 上的l e i b n i z 的l i p 半范数l 组成 通常我们说妒是一个木一同态，是指同态妒满足：9 ( 订) = t p * ( 口) ，而在c 一度 量代数的基础上，吴畏引入了书一同态的概念此处，我们将其扩充到一般的带 半范数的c 代数基础上 定义1 2 4 “8 】设a l 和a 2 是两个c 一代数，厶和厶分别是其上的木一半范数 若从a l 到a 2 的木一同态r 满足t ( a l ，) a 2 ，则称丁是从( a 1 ，l 1 ) 到( a 2 ，如) 的木一同态映射口：a l a 2 称是l i p s c h i t z 的，若存在常数a 0 ，使得 如( 口0 ) ) g l l ) ，v a a l ， 1 3引理及部分证明 引理1 3 1 a 是代数，是其上的半范数，且l 是l e i b n i z 的，则有 以矿) n a 旷1l ( 口) 3 华东师范大学硕士论文紧量子度量空间中的提升问题 证明? 1 当n = 2 时，l ( a 2 ) 0ai i 以口) + 烈口) 口= 2i i 口l ( 口) 2 假设当，l = k 时，结论成立，则有l ( a 七) kl l 口旷一1 ( 口) ，则当n = k + 1 时 以矿+ 1 ) = 口矿) a l ( 扩) + l ( a ) i l 铲 口ki l 口。一1l ( 口) + l ( 口) 口i 芒 = k 口i rl ( 口) + 口i rl ( a ) = ( 七4 - 1 ) 以i rl ( 口) 综合以上1 ，2 可知结论成立 口 根据这个引理，我们很容易得出：若l 是l e i b n i z 的，口a f ，e n ( 力是多项式 函数，则有r ( 口) a f 引理1 3 2 a 是c 代数，l 是a 上的木一半范数，则是a 的赋范线性子空间 若l 还是l e i b n i z 的，则是a 的子代数 证局吼先证前一部分，若口，b ，k c ，则有l ( a + b ) l ( 口) + j 乙( 易) o o ，l ( k a ) = i k l l ( a ) 0 0 ，故显然是a 的赋范线性子空间 再证后一部分，若a ，b ，则有l ( a b ) 口l c b ) + 0b l ( a ) 则是 a 的子代数 口 引理1 3 3 a 是c 代数，l 是a 上连续的半范数若a s ，且- a ，则 d a t i 正g q ：由_ 口，可知, d n - - a _ o 而l 连续，可知l ( 锄一口) - - , o 取互1 ，则存 在足够大的自然数，使得l ( a n - a ) 三，则l ( 口) 以口) + l ( a n - - a ) 0 ， 可以找到代数多项式p ( 曲，使得：m a xi 厂( 曲一p ( 曲i s 骺l a 1 3 i 4 华东师范大学硕士论文紧量子度量空间中的提升问题 根据以上的引理1 3 3 ，引理1 3 1 及定理1 3 4 可知，若l 是l e i b n i z 和连续 的，a a f ，( 劝c ( c 广( 口) ) ，贝 j 有厂( 口) a f 而r i e f f e l 曾对元素的解析函数演算进行过讨论，得出如下的定理 定理1 3 5 【4 】设a 是一个有单位元的b a n a c h 代数，l 是a 上的下半连续的 强l e i b n i z 的半范数令a f = a a ；l ( a ) j ，则a ，在a 的解析函数演算下 是闭的 我们发现针对一类特殊的解析函数八功= 扩，半范数只要是下半连续的 l e i b n i z 的就行了，而不一定非要是强l e i b n i z 的，即如下的结论 引理1 3 6 若a 是c 代数，是a 上的下半连续的l e i b n i z 的半范数，则 a a f 穹沙a f 证跚根据泰勒展式, e f x - 盖譬= 一1 i m 。z 釜譬而 桫一喜譬i i t 0 ，故a l + , t l a 是可逆的即b 中的可逆正元b 有可逆 的正原像a l + , t l a 令a 2 = a l + a 1 a ，作 厂c 功= 兰6 ”x 石茎 吕l f i i i i i f 2 ”1 i 工l u ，口l 令a = f ( a 2 ) ，则易知a 是正元，且9 ( a ) = b ，al i - - i ibi i 又由0 垡s p ( a ) 可知a 是可逆的故a 是b 的保范的可逆正原像 口 下面再添上半范数加以讨论 定理2 4 2 给定妒( ) 中的可逆元b ，且b 是正的，我们有如下结果： 1 若厶是l e i b n i z 的，则存在a 中的保范可逆正元e ，使得9 ( e ) = b ，且存在 一列e 疗a f ，使得靠_ e 若厶同时是l e i b n i z 和连续的，则存在中的 保范可逆正元e ，使得9 ( p ) = b 2 若存在保范可逆正元g a s ，使得妒 ) = b ，则 易的保范可逆正原像全在中k e r 9 n t ：h ge a + ) n t ：t + gi i = 1 i b n t ：t + g 是可逆的jc a f 证明： 1 若厶是l e i b n i z 的，由上定理的证明可知，b a 1 曰是曰中的正元由 b 妒( a 7 ) ，, t l 口= 妒q l ) 可知b - a 1 b 妒( a ，) 不妨设妒( 力= b - l l b ，d a t 设g ( 曲= 工， ( 曲= ，( 力o0 ( 工) + a ) ，其中f ( x ) 类似于命题2 4 1 中的，( 力 令e = h ( d 们，则由以上定理的证明过程可知：e 是b 的保范的可逆正原 像设多项式函数( 工) 在s p ( d 田上一致收敛到j i z ( 曲，则由前面的证明可 知：h 九( 矿国_ e 令e n = ( 矿力，由d d a r ，可知e 厅 若厶还是连续的，则易知：e 2 充分性：y a k e r 9 n f ：t + g a + ) t l ( t ：t + gi i = 1 ib n f t ：t + g 是可逆的 ， 则a + g 舭中的可逆正元，9 ( a + g ) = b ，且a + gi i = 1 ibl i 则a + g 是b 的 保范的可逆正原像，可知a + g a f ，则a = a + g g i v 必要性：任取b 的保范可逆正原像c ，则妒( c ) = b ，ci i = 1 ibi i ，c a + ，且c 可逆，而c = c g + g a + 且可逆，妒( c g ) = 妒( 0 一妒 ) = b b = 0 ， 1 4 华东师范大学硕士论文紧量子度量空间中的提升问题 c g + g1 1 = 1 ib ，故c g k e r an t ：t + g a + ) n t ：1 1t + gi i = 1 ib ) i 1 t ： t + g 是可逆的 ，即c g a t ，故c = c g + g a i 第三章应用及推广 3 1 应用 口 m r b r d a m 在讨论元素提升问题的时候，保证了像与原像的范数相等而 我们前面讨论的提升问题仅仅只是考虑当像的半范数有限的时候是否能找出 半范数有限的原像，而并没有讨论像与原像的半范数之间的关系下面，我们 对c 代数的半范数加强条件使之成为e 度量代数，再将前面得到的主要结 果即定理1 1 1 应用于定理1 3 8 中，得到以下的推论： 推论3 1 1 若似l ，l 1 ) 和( a 2 ，k ) 是两个9 度量代数，其上有下半连续的 l 巾范数，妒是一个从( a l ，l 1 ) 到似2 ，1 - 2 ) 的保单位元的木一同态，则存在，使得 1 任取妒( ) 中的白伴元b ，存在中的自伴元c ，使得妒( 0 = b ，且如( 易) g l t 0 ) 2 若l l 亦是连续的，任取9 ( ) 中的正元b ，存在中的正元e ，使得 妒( e ) = b ，el i = 1 ib ，且如( 易) g l l ( 已) 3 若l 和厶都是强l e i b n i z 的，则任取妒( ) 中的酉元b ，其中s p ( b ) t ， 存在酉元d a i ，使得妒( 田= b ，且如( 易) g l l ( 田 4 若l l 亦是连续的，任取妒( ) 中可逆的正元b ，存在中的正的可逆正 元 使得妒= b ，i i 厂i i = 1 ib ，且如( 6 ) 肚l i f ) 证明? 利用定理1 1 1 和定理1 3 8 可得 口 3 2 推广 通过前面的讨论，我们发现本文中需要解决的关键问题是：中的元素a 经过多项式函数演算或连续函数演算或是解析函数演算后是否还在中定 1 5 华东师范大学硕士论文紧量子度量空间中的提升问题 理1 3 5 讨论了解析函数演算的问题，关于另外两个问题的讨论则可以归结为 如下的推论： 推论3 2 1 a 是9 一代数，l 是其上的半范数，a a 1 若l 是l e i b n i z 的，八力是一多项式函数，则有f ( a ) 2 若l 是l e i b n i z 和连续的，厂( 力c ( 矿( 口) ) ，则f ( a ) , 4 i 而同样地，我们也可以考虑有界函数演算的问题即：靴是p 代数，l 是 其上的半范数，a ，厂( 功b ( 矿( 口) ) 当l 满足何种条件时，有f ( a ) a t ? 在 此，本文不作讨论 1 6 华东师范大学硕士论文紧量子度量空间中的提升问题 参考文献 【1 】m a r i e f f e l ，m e t r i c so ns t a t es p a c e ，d o e m a t h ，4 ( 1 9 9 9 ) ，5 5 9 6 0 0 【2 】m a r i e f f e l ，c o m p a c tq u a n t u mm e t r i cs p a c e s ，o p e r a t ea l g e b r a s ，q u a n - t i z a t i o n ，a n dn o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r y , 31 5 - 3 3 0 ，c o n t e m p m a t h ，3 6 5 ， a m e r m a t h s o e ，p r o v i d e n c e ，r i ，2 0 0 4 【3 】m a r i e f f e l ， v e c t o rb u n d l e sa n dg r o m o v h a u s d o r f f d i s t a n c e ， a r x i v ：m a t h m g 0 6 0 8 2 6 6 【4 im a r i e f f e l ，l e i b n i zs e m i n o r m sf o r m a t r i xa l g e b r a sc o n v e r g et ot h es p h e r e ， a r x i v ：0 7 0 7 3 2 2 9 【5 】w w u ，n o n c o m m u t a t i v em e t r i ct o p o l o g y 0 1 1m a t r i xs t a t e s p a c e s ， p r o e a m e r m a t h s o c ，13 4 ( 2 0 0 6 ) ，n o 2 ，4 4 3 - 4 5 3 6 】w w u ，n o n - c o m m u t a t i v em e t r i c so nm a t r i xs t a t es p a c e ，j o fr a m a n u j i n m a t h s o e ，2 0 ( 2 0 0 5 ) ，n o 3 ，2 1 5 - 2 5 4 7 】w w u ，q u a n t i z e dg r o m o v h a u s d o r f fd i s t a n c e ，j f u n c t a n a l ，2 3 8 ( 2 0 0 6 ) ， n o 1 ，5 8 9 8 【8 】w w u ，l i p s c h i t z n e s so f h o m o m o r p h i s m sb e t w e e nc * - m e t r i ca l g e b r a s ， a r x i v ：0 9 0 1 2 6 9 5 v 2 【9 】m r 妒r d a m ，e l a r s e n ，n l a u s t s e n ，a ni n t r o d u c t i o nt ok - t h e o r yf o rc - a l g e b r a s ，c a m b r i d g eu n i v e