（基础数学专业论文）非椭圆非线性schrodinger方程整体解.pdf

非椭圆非线性s c h r 6 d i n g e r 方程整体解 摘要 本论文考虑下列非椭圆非线性s c h r 5 d i n g e r 方程 i u t + e j 咖+ k ( t , x ) “= 0 ) = l u l t ：0 = 砂。 的柯西问题，这里k ( t ，。) 为已知实值函数，t r ，。，2 ，0 q ：，e ， 一1 ，1 ) ，1 j n ，i = = t 已知咖h 8 ( 时) ( 通常的s o b o l e v 空间) ，其 中0 s 1 未知函数u ( t ，z ) 是实变量t 和m 的复值函数，简记为u ( t ) 本论文分为三章，第一章绪论介绍了s c h r 5 d i n g e r 方程的物理背景和 一些相关问题，如弱非线性色散波，并简单回顾了通常椭圆s c h r d d i n g e r 方 程整体解的主要结果以及本论文要用到的概念和工具同时叙述了本论 文得到的主要结论 在第二章，我们首先导出非线性项的估计，然后用s t r i c h a r t z 不等式 和压缩映射原理，对上述方程分别在l e b e s g u e 空间l a ( ，丁，l 7 ( 郧) ) 和b e s o v 空间l q ( i t ，研。( 靴) ) 中，相对于l 2 和h ，初值的局部解存在性作了讨论 这里0 s 1 ，( q ，r ) 是容许对另外，注2 2 还证明了临界指数，即d = ； 时，方程在l e b e s g u e 空间p ( 豫，口( 鼢) ) 中有l 2 小初值的整体解 在第三章中，我们仅利用方程解的铲守恒律，而没有用h a m i l t o n 守 恒律，证明了方程整体解的存在唯一性在第三节还讨论了一个次临界 的非椭圆非线性s c h r d d i n g e r 方程组，用类似的方法得到了方程组整体解 存在性的一个结果 关键词非椭圆s c h r d d i n g e r 方程，s t r i c h a r t z 不等式，整体解 中图分类号0 1 7 5 ，2 9 g l o b a ls o l u t i o n so fn o n e l l i p t i cn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u t i o n s a b s t r a c t i nt h ep r e s e n tt h e s i s ，w ec o n s i d e rt h ec a u e h yp r o b l e mo ft h ef o l l o w i n gn o n l i n e a r n o n e l l i p t i cs c h r s d i n g e re q u a t i o n s i u c + 勺g u + a - ( ，x ) l u l 。“= 0 ， j = l u l b 0 = 讥 w h e r ek ( t ，z 1i sag i v e nr e a l v a l u e df u n c t i o n t r ，z r ”，n 2 ，0 d i ，e j 一1 ，1 ) ，1sj n ，i = 、j l e t 咖h 5 ( r “) ( u s u a ls o b o l e vs p a c e ) w h e r e 0 8 1 t h eu n k n o w nu ( t ，z ) i sac o m p l e x - v a l u e df u n c t i o no fr e a lv a r i a b l e sta n d z ，s i m p l yd e n o t e db y ( t ) t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s t h ef r i s tc h a p t e ri st h ei n t r o d u c t i o n i ns e c t i o n1o ft h ec h a p t e r ，t h ep h y s i c a lb a c k g r o u n do fs c h r s d i n g e re q u a t i o n si s b r i e f l yd e s c r i b e da n dm a i nr e s u l t so ft h et h e s i sa r ep r e s e n t e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w eo b t a i ne s t i m a t e so ft h en o n l i n e a r i t yo ft h ee q u a t i o n s a n dp r o v et h ee x s i t e n c eo ft h eu n i q u el o c a m n t i m es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n si n l e b e s g u es p a c eo fl 。( b ，上，( 豫“) ) o rb e s o vs p a c eo fl 4 ( b ，b i 2 ( p ) ) c o r r e s p o n d i n g t ot h ei n i t i a ld a t a 妒o l 2 ( r “) o r 讥h 3 ( r “) b ys t m c h a r 缸i n e q u a l i t ya n dt h e c o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e h e r e0 5 t 1 ，r z ) ，v 。= ( 如_ 一，况j p ：c 2 ”2 一c 为没有常数项和一次项的多 项式，u 为复值函数另外，j m g h i d a g l i a 和j c s a u t 1 1 证明了下列非 椭圆s c h r s d i n g e r 方程 l 豢+ l u + 州“m = o 不存在1 ( 瞅) 中的传播解，即如下形式的解 u ( z ，t ) = e w 妒( 。+ c t ) ， 其中 l = 塞a j k k 魏，= l j ， 。 “ ( 蛳) 是常系数非退化非正定的矩阵u 琏，c 剐妒何1 ( 船) n 月己。( 时) 设，满足 l m ) i 曼c ( 1 + ，p 曼南 最典型的例子是下面的非椭圆s c h r 6 d i n g e r 方程 i u t + 麓“一罐u + 2 “= 0 这里t 碾，z 孵这个s c h r 6 d i n g e r 方程的大初值解在有限时间内是 否b l o w u p 至今仍是一个”o p e n ”的问题数值计算的结果没有显示解的 b l o w u p ，这一点和人们传统的观念相反因为通过计算可以看到通常的 s c h r s d i n g e r 方程解的b l o w u p 现象，参见c s u l e m 和p l s u l e m 2 3 因此， 系统讨论非椭圆s c h r 5 d i n g e r 方程大初值c a u c h y 问题是否有整体光滑解是 很有意义的 4 s e h r s d i n g e r 方程的c a u c h y 问题 这里对椭圆型s c h r s d i n g e r 方程整体解的一些主要结果作一简单回顾 非线性s c h r s d i n g e r 方程c a u c h y 问题，是求解 i “t + “= f ( u ，面，v u ，v 冠) t ( 0 ，2 7 ) = 曲o 7 其中幽h 3 ( 邪) ( 即通常的s o b o t e v 空间) 这方程比较复杂，已知结果基 本上是关于局部解当f 不含审u 和v 豇时，方程是半线性的，例如 “ + a u + a l “i o u = 0 此时，结果较为丰富当0 n ：时，对任意初值妒。l 2 ( 融) ，方程有唯 一整体解 u ( ) c ( x ，l 2 ( r ”) ) 参见j c i n i b r e 和g v e z o i 2 ，yt s u t s u m i 2 4 对d e f o c u s i n g 情形，即 毗+ a u 一川。“= 0 ， 则当0 。 南时，对任意初值妒。h t ( 舻) ，方程有唯一整体解 u ( t ) g ( r ，1 ( 豫“) ) 对f o c u s i n g 情形，即 乱“+ a u + l “i “= 0 ， 当o2i 4 时，对任意初值讥h 1 ( 碡“) ，且i 怕( r 。) d ，方程有唯一的小 初值整体解 u ( t ) g ( 蕊，h 1 ( r ”) ) 这里5 = i i 妒i i l 。( n ) ，妒是基态( g r o u n ds t a t e ) ，即是下列椭圆方程 妒一妒+ 妒击+ 1 = 0 具有极小l 2 摸的正解若1 1 u ( o ) 1 1 驴( r 。) 6 ，上述s c h ， 5 d i 叼e r 方程的解u ( f ) 可能在有限时间内b l o w u p 参见mw e i n s t e i n 【2 5 】 1 2 预备知识和主要定理 本文考虑非椭圆非线性s c h r 5 d i n g e r 方程的柯西问题 i 饥+ 勺咖+ _ ( t ，。) = 0 ， ( 1 1 ) j = 1 r u l k o = 咖， 【1 2 ) 这里礼2 ，0 o 墨：，勺 一1 ，1 ) ，1 js n l i = 玎k ( t ，z ) 是已知实值函 数，t r ，z 甜讥( ) ，0 s 1 h 5 ( 时) 是通常的s o b o l e u 空间 未知函数u ( t 1 x ) 是实变量t 和z 的复值函数，记为( t ) 下面如果不会引 起7 昆淆，k ( t ，z ) 将简记为k ( t ) 或k 对更一般的方程 i t “+ n ，k 啄u + k ( t ，x ) i 训。“= 0 k ；l 其中o ，k 为常数，满足：。，t = n 蛳1sj ，k n ，若矩阵a = ( n ，t ) 一。是非退 化的则易知作一个自变量的非退化线性变换，此方程可化为我们要讨 论的形式 首先定义酉算子群v ( t ) ：中一y ( t ) 妒，即 哪= 赤厶哂( 一z 壹j = l 蝴讯域 其中一表示f o u r i e r 变换，即 万( ) = e 砂( 。) d x j r n 令 呻，= 赤上e i x ee x p e - - i 喜舒心 则 n- ”i ( ) = ( 石) e 印( 面勺霉) j = l 。 j = l 因为 y ( 幻妒= w ( t ) t 步， 这里+ 表示关于空间变量的卷积所以 哪= 宴c 志p 厶e r c p c 去喜吼q 训2 由 因此 i i v ( t ) 母l l l 一( r n ) ( 丽1 ) 撕r t l ) ， 又因为 i i y ( t ) 廿i l l z ( r r - ) = i | 妒i i l 。( r t 。) ， 这样，由插值定理得 t ) 妣呻n ) ( 赢) 2 1 一孙炖叱n 叩 其中p ，是p 的共扼数，2 p 。这是非椭圆s c h r 6 d i n g e r 算子的l ，一工p f 估计 方程( 1 1 ) ( 12 ) 的积分形式是下列方程 u ( t ) = v ( ) 妒o + i v ( t s ) r _ ( s ) i u i 。“( s ) d s ( 1 3 ) 若q ，r 满足 ；刮i 一；) ， 当n 3 时，2 r 尚，当礼= l ，2 时，2 r 0 0 ，则( 吼r ) 称为容许 对易知，2 q o 。在本文中，磁。( 舯) 和霹。( 础) 分别表示非齐次和 齐次的b e s o v 空间咖1 ，o 。( ) 是通常的齐次s o b o l e v 空间，参见j b e r g h 和，l 6 f i t r 6 m 的插值空间引论【1 记打= 【0 ，t 】_ 对空间l q ( 如，l r ( 鼢) ) 和 l v ( i t ，群：( 础) ) ，其范数分别定义为 1 1 u 1 1 l q ( i t , l r ( ) ：( 口n 一疹 和 | | u | | c 。( ，r ，且；，。( n n ) ) 2 ( ，| i u ( t ) i i 乌；，。( n n ) 出) ： b ( r n ) 是通常的口( 舯) 空间范数当0 0 ，则有 1 i v ( t ) 讪o i i l 。p ( r n ) ) g i i 砂。怯( r n ) 以及 i i v ( t ) 1 】 j o l l l 。( r ，b ：。( r n ) ) 岛l i 咖i b ( ) 其中c o = 岛( n ，r ) 是常数 和 ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 引理1 2 设( g fr ) ，( 。，6 ) 是容许对，s 0 ，则对任意t l r ，t t ，有 p t | f y ( 一5 ) g ( s ) 如怯( i t ，l r ( r ”) ) o l1 1 9 il l n ，( 斤，l e ( r n ) ) j “ 以及 ， j j v ( t s ) 9 ( s ) d = jj i 叩朋：+ ：) ) c i 例( 2 - z ，8 a 。( ) “ 其中。，6 ，分别是a ，b 的共轭数，c t = g ( n ，r ，b ) 是不依赖于丁的常数 这里，我们对s t r i c h a r t z 不等式，即引理1 1 的第一部分给一个证明关 于引理1 1 的第二部分和引理1 2 对椭圆情形的详细证明可参看c s u l e m 和p l s u l e m 2 3 ，t c a z e n a v e 和f b w e i s s l e r 5 ，1 4 p e c h e r 1 7 这些证明对非 椭圆情形也是适用的本论文中，我们约定n ，b 7 ，q7 ，r 7 分别表示o ，b ，q ，r 共 扼数 证这里用的是c s u l e m 和p ls u l e m 1 3 1 中对偶的方法，即证存在常数 c 0 ，对任何p c 字( r 州) ，有 ( v ( ) 咖，一) l 。( r n + t ) f o i i 妒0 1 1 l ：( r n ) i i 肛i i l 。，【b ，l r ，( r n ) ) 因为 p o 。r o 。 i ( v ( s ) 母o ，灿) z ( r n ) d s = i ( 妒o ， v ( 一s ) p ( s ) d s ) l ：( r n ) | f 咖f f 工。( r ”) 8 y ( s ) p ( s ) d 5 l 驴僻n ) 由于 1 1 v ( 一s ) “( s ) 出怫( 即) ，。，。 = ( y ( 一t ) p ( t ) d t ， y ( 一s ) p ( 5 ) d s ) l 2 ( r n ) j 一0 。j 一 = 仁巩仁啡一 i i 芦i i l 。一( h ( r n 】) i l v ( p j 一。 又由前面的l ，一l 估计得 ， i i y ( t s ) p ( s ) 蚓1 l r ( ) j 一 1 2 s i i v ( t 一5 ) p ( 5 ) 怯( r n ) d s j 一 n 。i t 一。l n ( 一i i p ( s ) i i l ，( r 。) d s j 一。o 由h a r d y - l i t t l e w o o d - s o b o l e v 不等式，可得 l ify ( - 一s ) 肛( s ) d s l l l - ( ，( ) ) c 1 1 肛l l l 。，( h l r ，( ”) ) j o 。 这样就证明了对偶不等式 本文的主要结论是 定理1 1 设0 a ；，讥l 2 ( r “) ，( q ，r ) 是任意容许对， ( t ，z ) 满足 假定口。弘似彰则方程阻砂n 到有唯一整体解 u ( t ) g r ( r ，l 2 ( r ”) ) nl 生。( r ，l ( r ”) ) ， 并且 一 u ( t ) = v ( ) 妒o + i v ( 一s ) k ( 5 ) 1 u i 。“( s ) d s ， j 0 当酽( 鼢) ，k ( t ，z ) 满足假定f j 秒对贝1 j 方程阻l - 口彩有唯一整体解 u ( t ) g ( r ，h 1 ( 旷) ) nl g 。( 瓞，w 。( r “) ) 定理1 2 设0 n ：，讥h 3 ( ) ，0 s i ，( q ，r ) 是任意容许对 k ( t ，。) 满足假定口g ，p 彰和f j 影则方程f ! 驴f ! 彩有唯一整体解 u ( ) g ( r ，h 8 ( r “) ) nl 口o 。( r ，磁2 ( 碾”) ) ， 并且 ) = 忡) 妒。+ i z 呻- s ) 耶) iu ( s ) 出 定理1 3 设a = ：，妒0 l 2 ( 渺) ，对t r ，茁r “，有i k ( t ，z ) 1 0 ，当1 1 1 】 ，o l i l z ) 6 时，方程“j f 圳 有唯一的整体解 u ( ) g ( 豫，l 2 ( r ”) ) nl 4 ( 豫，l 7 ( r ”) ) 1 3 并且 “( t ) = y ( t ) 妒o + i y ( t s ) ( s ) i u i 。u ( s ) d s ，t j 0 若h 1 ( r n ) ，则 u ( 幻c ( m ，h 1 ( 碾”) ) nl j ( r ，w 1 ( 豫“) ) ， 其中g 7 是常数 这里要提到的是：王保祥和郭柏灵【2 8 得到二维临界非椭圆非线性 s c h r 5 d i n g e r 方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 小初值整体解的存在性，本文定理1 3 是针对 任意维n 2 的i 隘界情形 我们在第三章第三节还讨论了一个非椭圆非线性s c h r 6 d i n g e r 方程组 的柯西问题得到一个整体解的存在性结果 在本论文中，首先给出方程非线性项的估计，通过s t r i c h a r t z 不等式， 直接用压缩映射原理证明方程在 e ( r ，l 2 ( 碡“) ) nl 乞。( r ，l 7 ( 豫“) ) 中有唯一解，这里( q ，r ) 是容许对 本文的结果说明：非椭圆非线性s c h r s d i n g e r 方程在次临界大初值和 临界小初值整体解的存在性方面与f o c u s i n g 椭圆s c h r s d i n g e r 方程有相同 的性质本文的证明只用到方程解的l 。守恒律，而没有用h a m i l t o n 守恒 律，这简化了yt s u t s u m i 2 4 ，g i n i b r e 和g v e l o 1 2 1 ，t c a z e n a v e 7 的证明。当 k ( t ，z ) 三常数时，方程具有s c a l i n g 不变性，这对证明方程在次临界情形 大初值整体解的存在性是至关重要的，本文讨论的k ( t ，。) 不恒为常数， 方程就失去了这种s c a l i n g 不变性，因此需要新的技巧除此之外，本文 的结果也说明了k ( t ，z ) 关于t 的增长不影响方程整体解的存在性不足 的方面是：临界情形( 即a = ：) 方程小初值整体解存在的阀门精确值的 刻画是不清楚的，这需要进一步去研究另外，前面第一节第3 段提到 的二维非椭圆临界指数的s c h r s d i n g e r 方程的大初值解是否b l o w u p ，是人 们十分关心的问题 1 4 第二章非线性估计及方程局部解 在本章的第一节，首先给出了方程次临界非线性项的一个估计，这 使我们可以用压缩映射原理来证明方程局部解的存在性在第二节，我 们证明了方程关于2 初值的局部解的存在性第三节，证明了方程关 于月1 初值的局部鳃的存在性第四节，在b e s o v 空间，证明了方程关于 h s ( o s 1 ) 初值的局部解的存在性所用方法是s t r i c h a r t z 不等式和压 缩映射原理 2 1 非线性项估计 在这一节，我们给出方程( 1 1 ) 非线性项的一个估计，当然非线性项 是l 2 次临界的，即有引理 引理2 - 1 ( q ，r ) ，( 。，6 ) 是容许对， 币2 n ( 1 + n ) 0 ，故存在常数c = c 1 使得 i l u i “u j ”1 8 ”l c ( i u l 。+ l ”i 。) l “一”1 ( 2 1 ) 则 i l 矗 ( 1 uj 。u l i 。 ) il l n 一( i t , l b ( r 。) ) c l i k i - i 。( u 一”) l i 工n ，( ，n p ，( r t t ) ) 十g | | r i i 。( u 一 ) 1 | l 。，( h ，p ，( 皿。) ) 只需讨论第项即可，第二项讨论类似由于 l i g l 1 。( u v ) l f l a ( i t ( 。) ) 1 1 ( i 训“l u 一”r d 。) 寺1 1 l 。，( 打) i l k ( “u p ”。d 。) 南( “u 一”pd z ) 赤怯( j r nj r “ 选取眠满足 q6 ，7 n = b r n = r ， 由此 m _ 1 十。 1 ，b i2 击 因( 。，6 ) 是容许对，故 未 怄zn 十z 这要求 袅( 1 刊 r 2 ( 1 刊 而这正是引理的假设另外，2 r 墨，因此r 存在当且仅当 墨( 1 刊 禹，2 2 ( ，刊 这两个不等式显然成立故有 1 i kl u i 。( u v ) l l l 。( i t ，l 。，( r t - ) ) ( 4 k ( t ) l 一 珏( ) l ! ；& 。) i l k ( t ) 一 ( t ) l 参( r n ) d ) 古 j ， 另一方面，易知 三一生! ：1 一竺 a q 4 因为0 a 7 1 6 因此，当q 2 ) 时，用h s l d e r 不等式 慨“扣一v ) l l l “( i t ，( r n ) ) ( ，| f 七( ) i # ) “半f f u f f z 。( h i ，( r 。) ) 8 u 训舻( 机圹( 即) ) t 1 一警锄饥撩“矧t ( 牡她一帕 拈( r n 当g = o 。p = 2 ) 时， j | 卅uj 。( 一 ) 怯( i t ，a ，( r 。) ) ( ，t1 ( ) | | ”( ) l 眷& 。) “( ) 一”( ) 岔( 。) 出) 专 ( ，f ( j # 去出) 1 一半i l 1 1 2 。( 打，l 。( r 。) ) u 一。 。( 打工。( 砬。) ) t 1 一半锄饥蕊( “l 。( ( r 。) ) 怕( r 。) ) 引理得证 注2 1 当( q ，r ) = ( 。，2 ) 时，引理2 1 的证明仅当0 o i 2 时成立 事实上，由引理2 1 的假设， 9 莉( 1 + d ) r = 2 2 ( 1 + a ) 可推出0 a ； 2 2 方程关于l 2 初值局部解 由引理21 和压缩映射原理，可得方程( 1 1 ) 一( 12 ) 的局部解为简便起 见，此时只考虑k ( ，z ) 三a ，a 骢的情形，对于一般情形，可参见后面关 于h 5 局部解的证明，方法类似 引理2 2 设( q ，r ) 是容许对，满足莉2 r ( 1 十n ) r 2 ( 1 + 。) ，又o 0 使得 d o = 2 c lc ( 7 1 ) 1 一警( 2 岛而) 。 1 ， t = t ( n ，口 i i 妒o l i l 。( r n ) ) ，因为a 0 ，所以这是可行的因此 j l a v l l l 。( i t ，驴( r ”) 】 2 c 0 6 0 】8 即 g ：m _ m 再证g 是压缩的设“，u m 由引理1 2 和引理2 1 ，可知 i l g 札一g 口0 c t ( ；n 工r ( r n ) ) c 1 1 1 “1 。u i v 。 忆，( b ，l “( r n ) ) c l c ( t ) 1 一半( i i | | 芝。( 打，p ( r 。) ) + l i u i i z 。( ，t ，p ( r 。) ) ) f i u 一即| | l u ( 打，p ( c l e ( ? ) 1 一y 2 ( 2 c 0 5 0 ) 8 0 u u l n ( 打，p ( 舻) ) = d o i l u 一训i p ( s t ，l r ( 舻) ) 其中 0 d o = 2 g l g ( 了1 ) 1 一半( 2 c j 曲) 。 1 一l l l l 。( b ，驴( r 。) ) o o 1 9 其中g 台= c 0 ( n ，t i ) ，q = c 1 ( i t ，b ) 是s t r i c h a r t z 不等式和引理1 2 中的常 数特别地，取( q 。，r 。) = ，2 ) ，则 ( t ) l 。( b ，l 2 ( r “) ) 下面证明方程在l q ( b ，驴( 黔) ) 中解是唯一的，这里箍( 1 + o ) r 2 ( 1 + 。) 设方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 有两个解，1 j m ( i t ，上，( 时) ) ，则 p t u 一”= i v ( t s ) ( 1 “i 。u l | 。u ) ( s ) d s ， j 0 t i t = f o ，刁因此，取= 赤，由引理1 2 和引理2 1 ，对任何正( o ，7 t 1 ， 有 1 1 一u 1 1 l 。( i t l , l r ( r n ) ) g 1 | ( 1 u 。1 u 一1 口i 。 ) l n ，( 。n ，l “，( r ，。) ) q 。( 丑) 1 一竽( 1 l “惜( 乜，l r ( r n ) ) + i i v i i ? ，( 饥l ，( r 。) ) ) l l “一t 川l 。( 饥p ) ) 显然，存在t o ( 0 ，卅，使 e 1 c (