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山东大学硕士学位论文 时滞依赖于状态导数的迭代泛函微分方程 局部解析解的研究 马明环 ( 山东大学数学与系统科学学院,济南,2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 非线性科学已成为当今基础科学研究的一个热点,其中迭代动力系统扮 演着十分重要的角色对迭代动力系统的研究必然涉及到迭代泛函微分方程 问题迭代泛函微分方程是一种具有复杂偏差变元的泛函方程,其时滞不仅 依赖于时间而且依赖于状态或者状态的导数甚至高阶导数这类方程是与已 经形成了系统理论 1 的传统的泛函微分方程( 滞后型、中立型与超前型) 不 同的新型方程 动力系统的许多问题都可以归结为迭代泛函微分方程来研究例如,描述 经典电动力学的二体问题、一些人口模型、日用品价格波动模型以及血细胞生 产模型都涉及到迭代泛函微分方程因此,迭代泛函微分方程在物理学、控制 论、博弈论、生物学等诸多领域的研究中起着重要的作用本文主要研究时滞 依赖于状态导数的迭代泛函微分方程的解析解 在本文的第一章绪论中介绍了迭代与动力系统、迭代泛函微分方程的有 关概念及其应用价值和意义,并综述了国内外与之相关的一些研究成果,以及 本文的主要创新点 在第二章和第三章,分别研究了一类一阶迭代泛函微分方程和二阶迭代 泛函微分方程的局部解析解的存在性和解的构造目前,关于迭代泛函微分 方程解析解的已有结果一般都是利用优级数和b a n a c h 不动点定理得到的,由 于技术的原因,在方法上要求其解在不动点处的特征值不在单位圆周上或在 单位圆周上但满足d i o p h a n t i n e 条件当特征值处于单位圆周上时收敛性足很 复杂的后来,司建国、张伟年、徐冰等研究者们不仅在d i o p h a n t i n e 条件下 ( 特征值“远离”单位根) 证明了形式解的收敛性,而且突破了d i o p h a n t i n e 条 件的限制,取得了一些好的结果 在这两章,我们同样使用优级数法分别讨论了时滞依赖于状态导数的一 阶或二阶迭代泛函微分方程的局部解析解的存在性及其显式解我们的突破 山东大学硕士学位论文 点足进一步弱化了条件,在比d i o p h a n t i n e 条件更弱的b r j u n o 条件下进行了 研究,并得到了完整的结果 关键词:迭代,迭代泛函微分方程,优级数数法,d i o p h a n t i n e 条件, b r j u n o 条件,解析解 山东大学硕士学位论文 l o c a la n a l y t i cs o l u t i o n so ff u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e v i a t i n g a r g u m e n t sd e p e n d i n go nt h es t a t ed e r i v a t i v e m i n g h u a nm a s c h o o l0 1m a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s s h a n d o n gu n i v e r s i t y j i n a n ,s h a n d o n g ,2 5 0 10 0 ,p r c h i n a a b s t r a c t n o n l i n e a rs c i e n c ei so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tt o p i c si nt o d a y ss c i e n c e s t h et h e o r yo fi t e r a t i v ed y n a m i c a l s y s t e m sp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nn o n l i n e a r s c i e n c e t h es t u d yo fi t e r a t i v ed y n a m i c a ls y s t e m si n v o l v e si t e r a t i v ef l m c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i h e ya r ed i f f e r e t i a le q u a t i o n sw i t hd e v i a t i n ga r g u m e n t o ft h eu n k n o w nf u n c t i o n ,a n dt h ed e l a yf u n c t i o ne p e n d sn o to n l yo nt h ea r g u m e n to ft h eu n k n o w nf u n c t i o n ,b u ta l s os t a t eo rs t a t ed e r i v a t i v e ,e v e nh i g h e r o r d e rd e r i v a t i v e s s u c he q u a t i o n sa r ek i n d so fn e wf u n c t i o n sq u i t ed i f f e r e n tf r o m t h el l s u a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( r e t a r d e df d e 、n e u t r a lf d e 、a d v a n c e d f d e ) w h i c hf o r m e das y s t e m i ct h e o r y 1 m a n yp r o b l e m so fd y n a m i c a ls y s t e m sc a nb er e d u c e dt oa ni t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n f o re x a m p l e ,t h et w o b o d yp r o b l e mi nac l a s s i c e l e c t r o d y n a m i c s ,s o m ep o p u l a t i o nm o d e l s ,s o m em o d e l so fc o m m o d i t yp r i c e f l u c t u a t i o n sa n dm o d e l so fb l o o dc e l lp r o d u c t i o n sa r eg i v e ni nt h ef o r mo fi t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e r e f o r e ,i ti si m p o r t a n ti ns t u d yo f m a n yd o m a i ns u c ha sp h y s i c s 、s y b e r n e t i c s 、c h e s sg a m e s 、b i o l o g y i nt h i s p a p e r ,w ed i s c u s sl o c a la n a l y t i cs o l u t i o n so ft w of o r m so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e v i a t i n ga r g u m e n t sd e p e n d i n go nt h es t a t ed e r i v a t i v eo r s e c o n d l yd e r i v a t i v e i nc h a p t e r1 ,c o n c e p t s ,a p p l i c a t i o n sa n di m p o r t a n c e so fi t e r a t i o n ,d y n a m i c a l s y s t e m ,i t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na r ei n t r o d u c e d m a n yk n o w n r e s u l t so ni t c t a t i v cf u n c t i o n a ld i f f e r c n t i a le q u a t i o n sa r es u m m a r i z e d a n dt h e v 山东大学硕士学位论文 i n n o v a t i o no ft h ep a p e ra r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2a n dc h a p t e r3 ,w e s t u d yt h ee x i s t e n c eo fl o c a la n a l y t i c s o l u t i o n so ft w of u n c t i o n a ld i f f e z c n t i a le q u a t i o n sw i t hd e v i a t i n ga r g u m e n t sd e p e n d i n go nt h es t a t ed e r i v a t i v eo rs e c o n dd e r i v a t i v e a 1 lt h ek n o w nr e s u l t s a b o u ta n a l y t i cs o l u t i o n sf o ri t e r a t i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eo b t a i n e db yt h em a j o r a n ts e r i e sa n dt h eb a n a c hf i x e dp o i n tt h e o r e m f o rt e c h n i c a lr e a s o n s ,t h em e t h o dr e q u i r e st h ee i g e n v a l u e so ft i l es o l u t i o n sa tt h e i r f i x e dp o i n ti so f ft h eu n i tc i r c l eo rl i e so nt h cu n i to i l c l ew i t ht h ed i o p h a n t i n ec o n d i t i o n 。t h ec o n v e r g e n c eo ff o r m a ls o l u t i o n si sv e r yc o m p l i c a t e dw h e n t h ee i g e n v a l u e sl i eo nt h eu n i tc i r c l e s u b s e q u e n t l y , t h ea u t h o r so fj i a n g u os i ,w e i n i a nz h a n ga n db i n gx un o to n l yp r o v et h ec o n v e r g e n c eo ft h ef o r m a l s o l u t i o nu n d e rt h ed i o p h a n t i n ec o n d i t i o n ( i e e i g e n v a l u e si s “f a rf r o m ”u n i t r o o t s ) ,b u ta l s om a k e p r o g r e s s e sw i t h o u tt h ed i o p h a n t i n ec o n d i t i o n ( i e t h e c o n v e r e n e ei se q u i v a l e n tt ot h ew e l l k n o w n “s m a l ld i v i s o rp r o b l e m s ”1 i nt h et w oc h a p t e r s ,a st h es a m ew a yo fa b o v e ,w es t u d yt h ee x i s t e n c e o fa n a l y t i cs o l u t i o n sa n dt h ee x p l i c i ts t r u c t u r e so ft h et w oi t e r a t i v ef u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yt h em a j o r i n ts e r i e s b u tw eb r e a kt h r o u g ht h er e s t r i c t i o no fd i o p h a n t i n ec o n d i t i o n ,o u rs t u d yi su n d e rt h eb r j u n oc o n d i t i o nw h i c h i sw e a k e rt h e nt h ed i o p h a n t i n ec o n d i t i o n ,a n dt h er e s u l ti sp e r f e c t l y k e yw o r d s :t e r a t i o n 、i t e t a t i v ef l m c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m a j o r a n t s e r i e s ,d i o p h a n t i n ec o n d i t i o n ,b r j u n oc o n d i t i o n ,a n a l y t i cs o l u t i o n s v l 山东大学硕士学位论文 广( z ) 露l q n r c s 1 下( 名) g ( :,肛,r ,m ) 符号说明 ,( z ) 的n 次迭代 无理数集 自然数集 实数集 复数集 单位圆 时滞函数 与常数p ,目和m 有关的函数g ( 。) 原创性声明 本人郑重声明:所呈交的学位论文,是本人在导师的指导下,独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外,本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名: 囱1 2 塑: 日 期:麦亚笸磊f j 岿口 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定,同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论 文被查阅和借阅;本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名:抛导师签名: 甜虹日 山东大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 迭代就足同一操作或运算的多次重复,例如乘法可以看作足加法的迭代,乘 方可以理解为乘法的迭代,等差等比数列都可以看作迭代等等迭代不仅是数 学,也是自然界和人类社会中普遍存在的现象,许多实际问题的数学模型都足 由连续的迭代或离散的迭代过程描述的,如流体的渗流、生物体的生长,人口 预测等等都包含了迭代现象 我们常把一些相互联系并不断变化发展的事物称作一个系统如果其历 史和未来完全由某一时刻的状态所确定,或者说只要知道它在某一时刻的状 态,就能准确的预测它的未来的命运并能回溯它历史发展过程的系统,称之为 决定性系统动力系统就是要研究一个决定性系统的状态变量随时间变化的规 律根据系统变化的规律可分为由微分方程描述的连续动力系统和由映射迭代 揭示的离散动力系统连续动力系统以经典力学为背景,其历史可追溯到1 9 世 纪末p o i n c a r 6 创立的微分方程几何理论,而对以迭代为背景的离散动力系统 的研究则始于一百多年以前由数学家e s c h r s d e r ,n h a b e l b b a b b a g e 等人创立的迭代论近代自然科学如物理学,化学天文学、力学等学科的研 究的重大发现( 如关于周期性的s h a r k o v s k y 序,关于分岔的f e i g e n b a u m 现 象、关于运动复杂性的s m a l e 马蹄等) 极大的促进了动力系统的发展 大量的物理、力学、生物学以及天文学问题的数学模型都足由迭代过程描 述的因此,研究由微分方程描述的连续运动和映射迭代描述的离散运动都是 现代动力系统的重要课题许多惊人的发现都足通过对映射迭代的研究而产 生的例如,作为2 0 世纪最重要的成就之一的k a m 理论,其主要方法就是 影射的迭代迭代泛函微分方程是映射迭代的等量形式之一在自然界中,许 多复杂的现象是迭代泛函微分方程描述的例如,前面介绍的描述经典电动力 学中的= 体问题,研究与遗传现象密切相关的生物学问题都涉及到迭代泛函 微分方程可见在现代工程科学,物理学地质学、经济决策等者多领域都涉 及到它的应用因此,研究迭代泛函微分方程非常重要 关于时滞变元依赖于状态的迭代泛函微分方程,已有不少研究但足,对 于时滞变元依赖于状态导数的迭代泛函微分方程,研究的就比较少了本文主 要研究了两类时滞依赖于状态导数的迭代泛函微分方程的解析解的情形 山东大学硕士学位论文 1 2 迭代的定义与动力系统 设x 是一个集合,和g 足定义在x 上的自映射,0 9 表示映射, 和g 的复合,即 ( 厂0 9 ) ( z ) = 厂( 9 ( z ) ) , 。x 由此便可得到迭代的定义; 定义1 2 1 设f :x x 是集合x 到自身的一个映射,记 ,“( z ) = ,。f - 1 ( z ) ,o ( 。) = x 其中n 为正整数,称尸( z ) 为f ( x ) 的n 次迭代,并称n 为广的迭代指 数f 2 1 映射的迭代不仅在现实生活中比比皆足,而且问题的提法初等,易于人们 接受,并早已有所关注然而,迭代运算具有非线性和全局性的特点,许多情 况下迭代增添了非线性映射的复杂性,使得这一古老课题面临重重困难直到 二十世纪特别是下半世纪,一是物力和工程学科纵深长驱直入,二足计算机软 硬件条件的改善,三是微分方程差分方程等数学领域的融和,才使得这一古 老课题取得突破性进展,以至于成为当今许多学科所共同关心的热点 动力系统( d y n a m i c a ls y s t e m ) 源于牛顿研究物体运动的动力学广义地 讲,它研究现实问题中状态x ( 位移、浓度、价格、气候等等) 随时间t 变化而 变化的规律它包含了微分方程形式的连续型动力系统和差分迭代形式的离 散动力系统从定义( 1 2 1 ) 可见, 尸= z d ,mo f ”= f ”“ 其中。d 表示恒同映射,映射的迭代构成了一个半群,如果,是拓扑空间x 上 的连续映射,其迭代被认为足构成了一个离散半动力系统 y - :n z + ,如 果,在x 上是一个同胚,其迭代构成了一个离散动力系统 广:n z ) 定义1 2 2 一个映射j l ( t ,z ) :rxx x 称为集合x 上的一个流,如 果对v l ,t 2 r ,z x ( i ) 毋( 0 ,z ) = z , ( i i ) 庐( t l + t 2 ,z ) = 曲( 1 ,庐( t 2 ,z ) ) 如果上述t 仅在r + 上有定义,则称咖( t ,z ) 为一个半流 山东大学硕士学位论文 定义( 1 2 2 ) 中的集合x 如果是拓扑空间,而毋( t ,z ) 连续,这时我们称 妒为x 上的一个连续( 半) 动力系统如果x 上有微分结构,且毋( t ,z ) 也是r 阶连续可微,则称为流,对连续流进行离散采样,即若上述定义中 的t z ( z + ) ,记f ( z ) = 妒( 1 ,z ) ,其中庐( 1 ,z ) 称为流的时间l 一映射,则称 pk z ( z + ) 为x 上的一个离散( 半) 动力系统反之,映射f :i 一, 如果有( ,z ) ,使得妒( 1 ,z ) = f ( z ) ,则称f 可嵌入流( 半流) 迭代作为决定性过程的数学模型,有着鲜明的实际背景,事实上人们在生 活中常常遇到这样的系统:系统在时刻t 的状态托由其在初始时刻o 和初 始状态置。及差t t o 决定 五= f ( t t o ,k ) 如果我们每隔一个时间单位作一次观测,则第n + 1 次观测到的状态x t = f ( t 。+ 1 一t 。,x t 。) 由于t n + l t n = 1 ,记f ( x ) = f ( 1 ,x ) ,则我们有x t 。+ ,= p “( 咒。) ,即化为迭代因此,通过对f 的迭代的研究,可以预测系统在未 来的状态和发展趋势我们还可以对微分方程的解曲线通过时间1 一映射化 为迭代来进行研究,事实上微分方程的许多定性问题都可以化为拓扑空间上 的连续映射的迭代来处理 1 3 迭代泛函微分方程 泛函微分方程是含有未知函数导数的泛函方程,传统的泛函微分方程( 滞 后型、中立型与超前型) 理论已经得到了广泛而深入的研究并形成了系统的理 论1 ,而迭代泛函微分方程足含有未知函数迭代的泛函微分方程,是与上述 三种类型以外的一种具有复杂偏差变元的新型方程这种方程的时滞不仅依 赖于时间而且依赖于状态甚至状态的导数对此类方程的研究虽然早已引起 数学家的重视,但由于研究工作具有较大难度而进展不大上世纪8 0 年代以 来,人们越来越多地发现了这类方程在许多领域( 如物理学、控制论、博弈论 和生物学等的应用,显示出了它们在应用上和理论上的重要性但迭代泛函微 分方程的研究工作只是刚刚开始。离建立系统完整的基本理论还相差很有很 长的路要走 迭代泛函微分方程都有很强的实际背景,许多应用可参见【3 】中第十二章 第四节的介绍例如,古典的e u l e r 几何问题可导出方程 z ( t ) z ( f ) = z ( c + z ( f ) ) 3 山东大学硕士学位论文 p o i s s o n 的几何问题可导出方程 x 2 ( ) + z 2 ( t ) z 。( t ) 一x 2 ( + x ( t ) x 7 ( ) ) = 1 等等1 9 6 5 年,k l c o o k e 4 提出了生物学中与遗传现象有关的重要方程 z ,( t ) + a x ( t h ( t ,。( ) ) ) = f ( t )( 1 3 1 ) 在【3 中也有介绍 此外,迭代泛函微分方程在经典的电动力学 5 1 , 6 卜【9 】,人e 1 模型【l o l ,日 用品的价格波动模型【1 1 】,【1 2 以及血细胞的生产模型【1 3 】等中都有重要的应 用关于这类方程的各种性质的研究已有大量文献,如可参见 1 4 【3 3 】 概而言之,j k h a l e 【3 4 ,r d d r i v e r 【5 5 研究了方程( 1 3 1 ) 满足h ( t ,z ( ) ) = r 一卢( t ,z ( ) ) 的情形b h s t e p h a n 研究了r = 1 ,k ( t ) = s i n 2 1 r t f ( t ) = s i n2 h i 的情形1 9 8 4 年,e d e r 3 6 1 讨论了方程 x i ( ) = z ( z ( ) )( 1 3 2 ) 解析解的存在性 1 9 8 8 年,王克【3 7 推广了e d e r 的结果到方程 z ,( ) = ,( z ( z ( ) ) ) 1 9 9 0 年,吴汉忠【3 8 】在此基础上进一步改进问题的讨论方法减弱了相应的 条件后来又有葛谓高f 3 9 h 4 1 】和s t a n 6 k 【4 2 一【4 4 j 的研究工作 1 9 6 5 年, p e t a h o v 4 5 讨论y - - 阶方程 z ”( ) = o z ( z ( ) ) 的解的存在唯一性1 9 9 8 年,又有李文荣【4 6 的研究工作m i n s k e r 在【47 和【4 8 】中讨论了方程 0 7 ( n ( z ) ) = o ( z ) z 解的形态关于时滞依赖于状态的迭代微分方程的光滑解和解析解的研究方 面,司建国与其合作者们 4 9 卜 6 5 】有一系列的工作以上关于迭代微分方程 解析解的已有结果一般都足利用优级数和b a n a c h 不动点定理得到的,由于技 术的原因,在方法上要求其解在不动点处的特征值不在单位圆周上或在单位 圆周上但满足d i o p h a n t i n e 条件当特征值处于单位圆周上时收敛性是很复杂 的后来,司建国、张伟年、徐冰等研究者们不仅在d i o p h a n t i n e 条件下( 特 4 山东大学硕士学位论文 征值。远离”单位根) 证明了形式懈的收敛性,而且突破了d i o p h a n t i n e 条件 ( 收敛性等同于著名的“小除数问题”) 的限制,取得了一些好的结果但是, 对于时滞依赖于状态导数的迭代微分方程的解析解的研究,就比较少了我所 见到的文献,只有形如 q z + 卢z ( 2 ) = x ( a z + 6 z ,( z ) ) 和 矿( :) = x ( a z + b x ( 2 ) ) 的方程的解析解的研究,分别参见 6 0 l ,【6 1 】本文将在第二、三章利用优级数 和不动点理论分别研究时滞依赖于状态的导数或二阶导数的迭代泛函微分方 程的解析解 1 4本文的主要创新点 本文在第一章中介绍了迭代,迭代泛函微分方程的有关概念及其应用价 值和意义,并综述了国内外与之相关的一些研究成果 在第二章,我们研究了一类形如 1 j l 一( 。) 2 而再面丽 的迭代泛函微分方程解析解的存在性和解的构造,其中n 和b 是两个复数; 在第三章,研究了一类形如 z ”( g ) = x ( a z + b x ”( z ) ) 的迭代泛函微分方程解析解的存在性和解的构造,其中a 和b 仍然是两个复 数关于迭代泛函微分方程解析解的已有结果一般都足利用优级数和b a n a c h 不动点定理得到的 在这两章,我们同样利用b a n a c h 不动点定理和优级数法分别讨论了两类 迭代微分方程的解析解的存在性及其显式解虽然我们借鉴了前人的方法, 但我们的创新点是进一步弱化了条件,在比d i o p h a n t i n e 条件更弱的b r j u n o 条件下进行了研究,并得到了较为完整的结果 对于d i o p h a n t i n e 条件和b r j u n o 条件,我们叙述其定义以及一些基本的 事实:如果“o t = e 2 m ,其中0 r q 且存在常数e 0 和口 0 使得 i n ”一1 i ( - 1 n ”对所有的n 1 ,都成立,就说o l 满足d i o p h a n t i n e 条 5 山东大学硕士学位论文 件;如果n = e 2 “8 ,其中口r q 足一个b r j u n o 数f 7 0 ,7 1 ,也就是b ( o ) = 墨。竺 o o ,其中f 挑吼 表示口的连分式展开式的部分分式序列,就 说n 满足满足b r j u n o 条件如同在 7 l 】中叙述的,对一个实数8 ,我们用 卅 表示它的整数部分,用 = 口一表示分数( 小数) 部分则任意一个无理 数日都有一个g a u s s 连分数的表达式 忙印+ 如= n 0 + 南= , 仅由口= 【a o ,a l ,】表示,其中吗和巳根据以下运算法则计算;( a ) 知= m ,岛= ( 田,且( b ) 对所有的n 兰1 ,。= 击 ,以= i 五1 ) 序列 ( 鼽) 。e w 和( ) 。e n 按如下定义; 弘2 = 1 ,q - 1 = 0 ,= a n q 儿一1 + 一2 p 一2 = 0 ,p i = 1 ,p n = a n z h l + p n 一2 容易看出p 。q = ,a l ,o 。】,因此,对所有的日r q ,我们用它的一 个收敛的代数函数3 ( e ) = 。) 0 垫髫竽表示如果口( 日) 0 是一个常数,则 口= ,a l , 是一个b r j u n o 数但却不是一个d i o p h a n t i n e 数 6 山东大学硕士学位论文 第二章一类时滞依赖于状态导数的迭代泛函微分方程 局部解析解 2 1引言 形如 一( 。) = ,( o ,z 0 一r ( o ) ) )( 2 1 1 ) 的泛函微分方程在【2 】,【6 6 中已经研究过在【3 6 ,3 7 ,4 9 ,5 1 ,5 2 ,5 4 ,6 7 ,6 8 ,6 9 1 中, 可以找到关于t ( z ) = r ( z ( z ) ) 状态依赖的泛函微分方程的解析解的研究但 是,当这类方程中的时滞函数r ( z ) 不仅依赖于未知函数的状态变量而且依赖 于状态的导数,( :) = r ( 。,z ( :) ,一( 。) ) 时,研究的文章就比较少了,在f 6 0 ,6 】 中,文章的作者口】分别研究了两类时滞依赖于状态导数的方程 o z + 卢一( z ) = z ( a z 十b z 7 ( z ) ) 和 矿( z ) = x ( a z + 缸弘) ) , 的解析解的存在性因为这类方程足如此不同于传统的微分方程,所以传统微 分方程解的存在性和唯一性的判定定理不能直接应用因此。寻找这类方程在 一定条件下的某些或全部解足非常有趣的, 将,( z ) = 1 x 和r ( 。) = ( 1 一a ) z 6 一( 代入( 2 1 1 ) ,我们可得到形 如 。弘) 2 而褊 ( 2 。1 。2 ) 的时滞依赖于状态导数的迭代泛函微分方程,其中d 和b 是两个复数本章 将在复数范围内研究方程( 2 1 ,2 ) 的解析解的存在性和显式表达式 如果n 0 ,b = 0 ,方程( 2 1 2 ) 变形为泛函微分方程 一( 。) 2 高 ( 2 1 3 ) 易知方程( 2 1 3 ) 有一个特解z ( z ) = 压。一1 4 2 1 2 如果a = 0 ,b 0 ,方程( 2 1 2 ) 变形为泛函微分方程 比) 2 硒扔 ( 2 1 4 ) 7 山东大学硕士学位论文 这个方程有两个形如x ( z ) = 6 - 1 3 z 或z ( z ) = b z _ 1 特解事实上,我们可以 形式上假设 x ( z ) = p , 将它代入( 2 1 4 ) ,可得 口”2 r r + 1 z r 2 - 1 = b - r 即 仁二, 或r = - - i 因此,我们可得z ( z ) = 6 一l 3 。j 或 当b 0 时,方程( 2 1 2 ) 有一个区别性的特征,就是未知函数的自变量 依赖于状态的导数一( z ) ,这也足本章重点研究的对象令 y ( z ) = 0 2 + b x 7 ( 2 ) ,( 2 1 5 ) 则对于任意的数z o ,我们有 比) 刮知) + :( ( 小) 一) 如 ( 2 1 6 ) 成立进而有z ( ( z ) ) = z ( 知) + f u 。( 2 ( ( s ) - a s ) d s 因此,由( 2 1 2 ) 和一( z ) = ( ( z ) 一a z ) ,我们可得 丽b = z c z o ) + 贯m 沪a s ) d s 丽2 + i 厶帅j 一 如果z o 是y ( 。) 的一个不动点,也就是( 匈) = z o ,我们有 志= z ( 甜 而且,在( 2 1 7 ) 式的两边同时关于。求导数,可得 6 2 ( n 一( :) ) = 阿( y ( z ) ) 一。( z ) 】防( z ) 一。刁2 y z ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) , 归 l i = 6 r = p , 一 rj1【k 得 = 之 力 解 “ 山东大学硕士学位论文 为寻找( 2 l 9 ) 的解析解,如同1 6 0 ,6 1 1 中的做法,我们的策略仍然足用有 时被称为s c h r & l e r 变换【6 2 的f ( 。) = g ( a g 。( 。) ) ,来化简方程( 2 1 9 ) 为不含 未知函数迭代的辅助方程 b 2 a 9 7 ( 孑) 一a 9 7 ( n 。) 】= o b ( “2 2 ) 一6 峥( n z ) 】由( f 1 2 ) 一n 9 ( z ) 】2 9 ( n z ) , ( 2 1 1 0 ) 该方程为有比例时滞的泛函微分方程我们来讨论方程( 2 1 1 0 ) 的满足初值 条件 g ( o ) = p( 2 1 1 1 ) 的解析解,其中p 是一个复数 我们总假设方程( 2 1 1 0 ) 中的o t 满足下列条件之一, ( h 1 ) 0 l q 】 1 ; ( h 2 ) d = e 2 ”8 ,其中口r q 是个b r j u n o 数【7 0 ,7 1 】,也就是说。满 足b r j u n o 条件; ( h 3 ) n = e 2 9 t q p ,当p n ,p 2 且q z o ) 时;d e 2 # d 当所有 的1 七sp 一1 且t z o 时 注意到o t 在( h 1 ) 这种情况是在单位圆s 1 的内部,而其它情况下在单位 圆s 1 上当在s 1 上会遇到更多的困难,因为在后面的( 2 2 9 ) 式中的除 式 矿一1 l 可以任意小在d i o p h a n t i n e 条件下,数o s 1 远离所有的单位 根,这种情况已在不同的背景下进行了研究【6 0 ,6 i 】此后,我们一直致力于给 出关于那些o t 接近单位根且既不足单位根又不满足d i o p h a n t i n e 条件的解析 解的一个结果在( h 2 ) 中的b r j u n o 条件提供给我们一个机会而且,我们 也讨论所谓的共振情况,即( h 3 ) 这种情况 2 2 辅助方程的解析解 定理2 2 1 假设阻! ,满足,且n 0 ,1 ,6 0 剐砰任意的1 c o ) ,方程 f 2 1 1 0 ) 南一个彤如 9 ( z ) = p + _ 2 + e b n 扩, ( 2 2 1 ) n = 2 解析解,其中p = 筹鲁帮 证明我们寻找方程( 2 1 1 0 ) 的形如 ( 2 2 2 ) 9 5 巩 | | : 9 山东大学硕士学位论文 的幂级数解,其中b o = p 把( 2 2 2 ) 代入( 2 1 1 0 ) ,可得 酽( 一扩+ 1 ) m + 1 ) - 扩 r = 0 nn - t - 3 = a a ”,一。) ( 扩一n ) ( n ”m 一。) ( t + 1 ) n = o 忙0j = o k = o 以+ 1 b k k 一,j i , 比较系数可得 6 2 ( n o t n + 1 ) ( n + 1 ) + 1 n n - - 3 = 甜埘1 ( 一一o ) ( a 一n ) ( 扩一。一一一n ) ( 什1 ) z = o j = ok = o b , + x b j b k b , ) 一f 1 一 ,n = 0 ,1 , 即, 【6 2 ( o o ) 一a ( 1 一n ) 3 肛3 6 l = 0 ,( 2 2 3 ) 且 a b e ( :一n ”) m + 1 ) k + 1 b t + l b 3 b k b n - ik ,n = 1 ,2 ,( 2 2 4 ) 鉴于pf i o i i :义,有6 2 ( n o t ) 一n ( 1 n ) 3 = 0 所以,在( 2 2 4 ) 中可选取 b l = q 一旦6 0 和b l 取定,数列 k ) 罂。的其它项可由( 2 2 4 ) 唯一确定现 在,我们证明幂级数( 2 2 1 ) 在原点的邻域内收敛因为0 o f l r 棚峪丽1 ) , 取= m a x ( q k ,q k 4 + l ,仉= 爰 再设以为j 0 的整数集,满足j a k ,或者存在j l 和j 2 a k ,使得 j 2 一j l 玩,j l 0 使 c :p ,n = 1 ,2( 2 2 1 3 ) 成立现在,由归纳法,我们可以推出i b n i g ( ”,n21 ,其中k : n r 已在引理2 2 1 中定义事实上i b l i = = 西根据归纳法,我们假 设1 b isg o 一”,j m 由( 2 2 9 ) 和引理2 2 1 k 川s m - l m 萎- , m 篆- * - 川驯驯k 一一 丽m m 缶- lm 刍- * m 色- l - jg + - g g 一一 e 耳( 1 ) + k o 1 ) + k 恤一1 ) + 耳( m 十j k 一1 1 , 注意到 k ( i ) + k o 一1 ) + k ( k 一1 ) + k ( m i j k 一1 ) g ( m 一3 ) 则 s k ( m 一1 ) l o gj q ”一1j + ( m ) m ”14 m 一扣j h + - i e 跏m g + g g - 2 - j - t = ( 1 m + l e k ( “) 再注意到存在常数7 0 ,使得k ( n ) sn ( 打( 口) + 1 ) ,则 b n f p e ( “一1 ) ( 8 柳竹) 即, l i ms u p ( 1 b , , i ) ;l i ms u p ( t “e ( n - 1 ) ( 8 ( 。) + 1 ) := t e 8 ( 8 ) ” 一l w 这就意味着( 2 2 1 ) 在( t e e ( 8 ) + ,) - 1 上收敛证毕 在情况( h 3 ) 中,常数。不仅在复平面c 的单位圆上,而且是单位根 在这种情况下,d i o p h a n t i n e 条件和b d u n o 条件都不满足, 设 o n 器。如下定义:d o = 川,d 1
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