（应用数学专业论文）2×2上三角算子矩阵的谱.pdf

分类号 u dc 论文题目 密级 编号 研究生： 指导教师： 专业： 刘爱春 阿拉坦仓教授 二零一一年五月 涮。 s p e c t r ao f2 2u p p e rt r i a n g u l a r o p e r a t o rm a t r i c e s l i ua i c h u n s u p e r v i s e db yp r o 砝ra 1 a t a n c a n gp h d s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e 瑙i t y h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 m a y 2 0 1 1 中文摘要 英文摘要 主要符号表 第一章 1 1 1 2 第二章 2 1 2 2 2 3 第三章 3 1 3 2 3 3 3 4 第四章 4 1 4 2 目录 l l l r y 绪论 l 本文的研究背景 1 本文的主要结果 4 预备知识 5 相关符号及基本概念 5 亚正规算子和余亚正规算子的谱性质 8 文中用到的一些重要结论 9 2 2 上三角算子矩阵的谱 1 0 谱1 0 点谱1 4 剩余谱，1 9 连续谱2 8 2 2 上三角算子矩阵的谱扰动 3 3 点剩余谱扰动3 3 几类谱扰动的性质3 7 总结与展望 参考文献 致谢 3 9 4 1 4 4 攻读学位期间的研究成果 学 导 专 2 2 上三角算子矩阵的谱1 生： 师： 业： 刘爱春 阿拉坦仓教授( 博士) 应用数学 摘要 本文研究了无穷维h i l b e r t 空间研。凰上2 2 上三角算子矩阵= ( 嚣g ) 的 谱问题，其中a b ( 凰) ，b 召( 日2 ) ，g b ( 飓，风) ，且8 ( x ，y ) 是由x 到y 的所有有 界线性算子构成的集合，当y = x 时简记为召( x ) 首先，我们借助对角元a 和b 的谱性质给出了“盯( ) = 口( a ) u 盯( b ) 对任 意c 召( 飓，皿) 均成立力的充要条件；进一步给出了点谱、剩余谱、点剩余 谱及连续谱情形相应等式成立的充要条件特别地，我们发现剩余谱的包含关 系c r r ( ) ( a ) u 听( b ) 一般未必成立 其次，在给定a 艿( 皿) ，b 召( 日2 ) 时，研究了2 2 上三角算子矩阵= ( 詈吕) 的点剩余谱扰动，给出了其固有点剩余谱及可能点剩余谱的刻画；进一 步讨论了固有点剩余谱与固有点谱和固有剩余谱的并集之间的关系 最后，基于杜鸿科教授在文【9 1 中提出的公开问题3 ，给出了就l 一类点谱、1 类 剩余谱及连续谱而言，存在算子岛= o ( 8 ( 岛，研) ) ，使得2 2 上三角算子矩阵 的固有l 一类点谱、固有l 一类剩余谱及固有连续谱恰为的相应谱的结论，且因 此说明“盯。( ) = 以( a ) u 以( b ) 并不总是成立的，其中宰代表某类特定的谱 关键词：上三角算子矩阵，点谱，剩余谱，点剩余谱，连续谱，扰动 中图分类号：0 1 7 5 3 主题分类号：4 7 b 1 国家自然科学基金项目( 1 0 9 6 2 0 0 4 ，1 1 1 0 1 9 ) ，教育部春晖计划项目( z 2 0 0 9 1 0 1 0 1 0 ) 和内蒙古自然 科学基金( 2 9 b s 0 1 0 1 ) 资助项目 s p e c t r ao f2 2u p p e rt r i a n g u l a r o p e r a ，i i o rm a t r i c e s l l i ua i c h u n a d v i s o r ：p r o f e s s o ra l a t a n c a n g ，p h d ( s c h 0 0 l0 fm a t h e m a t i c a ls c i e n c ，i n n e rm o n g o l i au n i v e 疆i t y ) a bs t r a c t t h es p e c t r a lp r o b l e i i l s0 f2 2u p p e rt r i a n g u l a ro p e r a t o rm a t r i x = ( 吾吕) a c t i n g o nah i l b e r ts p a c e 凰。飓a r ei n v e s t i g a t e d ，w h e r ea 召( 皿) ，b 召( 凰) a n dc 召( z ，2 ，h 1 ) n o t et h a t 召( x ，y ) r e p r 船e n t st h es e t0 fa l lb o u n d e dl i n e 盯叩e r a t o r sf r o m 飓 t o 上h ，a i l di 8a b b 删a t e dt ob ( x ) w h 吼y = x f i r s t l y w eo b t a i nan e c e 鹃a r ya n ds u m c i i 朗毗c o n d i t i o n0 f “口( 幻) = 口( a ) u ( b ) f o re 哪c 召( h 2 ，风) 一，i n 七鲫珊o ft h es 1 ) e c t r a lp r o p e r t i e 80 ft w i dd i a g o n a le l e m e n t s a 姐dbi n a l s o ，n 屺a n 山g u e sf b rt h ep o i i l ts p e c t m m ，r e s i d u a ls p e c t m ma j l d c o n t i n u o 郴s p e c t r u ma r e 缸r t h e rp r 船e n t e d 1 np a r t i c l l l 瑟，i ti 8s h mt h a tt h ei n c l 瑚i o n ( ) 冬a r ( a ) u 略( b ) 五d r 刨切了c 召( 日j ，日i ) i sn o tc c l r r e c ti ng e n 凹8 1 s e 0 0 n d l y w h 吼a 召( 皿) ，曰召( 日2 ) a r eg i 咖，t h ep e r t l l r b a t i 0 ft h ep o i n t r e s i d u a ls p e c t m mo f 2 2u p p e rt r i a n g l l l 缸o p e r a t o rm a t r i c 馏= ( 吾吕) i ss t u d i e d t h e d 骼c r i p t i o 璐o fi n t r i 璐i c 腿dp o s s i b l ep o i n t 商d u a ls p e c t n l m 眦o b t a i n e d m 0 r e o v e r ，t h e c 0 础t i o 璐b e t l w e e nt h ei n t r i n 8 i cp o i n 庀r e s i d u 8 ls p e c t r u m 衄dt h eu n i o no fi t r i n s i cp o i n t s p e c t r u m ，i i l t r i 璐i cr e 8 i d u a ls p e c t n 皿缸ei n v 酷t i g a t e d f i n a u y b 8 s e do nt h ec o 璐i d e r a t i o no nt h eo p e np r o b l e m3p r o p o s e db yp r o f b s s o rd u h o n g k ei n 【9 】，w eg e tt h ec o n c l l l s i 0 璐t h a tt h e r e 仞d s tao p e r a t o r 岛= o ( b ( 日2 ，玩) ) ， 1 t h i 8w o r k 舳p p l o f t e d 坶n a t i o n a ln a t 砒a ls c i e n f 0 岫胁l 咂o fc h i ml l n d 盯g 瑚1 0 9 6 2 0 0 4a n d 1 1 1 0 1 9 ，坶c h u m h i l in d g 舳m i n i s t 翠o fe d 眦g i o no fc h i 】噙u n d 凹g 眦tz 2 良1 m 1 0 1 0 蛐d 坶 n a t u 嘲s c i e n 傀f b 皿d a t i 伽o fi i l n e rm o n 9 0 l i au n d 凹争a n t2 0 0 9 b s o l 0 1 s u c ht h a tt h e 砒r i 璐i c1 一帅e 耐n ts p e c t m 】m ，i n t r i 璐i c 1 t y p er e s i d u ms p e c t n 姗a i l d i n t r i i l s i cc o n t i 肌。璐s p e c t n l m0 f2 2u p p e r 埔锄g u l a ro p e r a t o rm a t r i c 鹤e q u a lt ot h e c o r r e s p o n d i n gs p e c t m m0 f a l s 0 ，t h e s es h 0 wt h a t “盯。( ) = 以( a ) u 仃。( b ) i 玎l h di ng e n e r a l ，w h e r e 宰i 8 伪毗撕ns p e c t m m k e y w o r d s ： u p p e rt r i a n g u l a ro p e r a t o rm a t r i ) ( ，p o i n ts p e c t r u m ，r e s i d u a l s p e c t r u m ，p o i n tr e s i d u a ls p e c t r u m ，c o n t i n u o u ss p e c t r u m ，p e r t u r b a t i o n c l a s s i f i c a t i o nn u m b e r ： ( c l ) 0 1 7 5 3 a m s ( 2 0 0 0 ) ：4 7 b l i z i r c r d ( t ) 冗( t ) ( 冗( a ；t ) n ( t ) d ( t ) p ( t ) ( t ) 咋( t ) 吼( t ) 听( ( t ) ( t ) ( t ) 主要符号表 单位算子 空集 实数域 复数域 线性算子t 的伴随算予 线性算子t 的定义域 线性算子t 的值域 线性算子t 的零空间，即集合 z d ( 即：死= 0 ) 线性算子t 的预解式，即( a j t ) - 1 线性算子t 的零空问维数 线性算子t 的值域正交补空间维数 线性算子t 的预解集 线性算子t 的谱集 线性算子t 的点谱 线性算子t 的连续谱 线性算子t 的剩余谱 线性算子t 的近似点谱 线性算子t 的亏谱 线性算子t 的压缩谱 内蒙古大学硕士学位论文 第一章绪论 本章作为全文的绪论，首先介绍算子矩阵，特别是2 2 上三角算予矩阵的谱的研究意 义其次，综述2 2 上三角算子矩阵谱的研究现状最后，给出本文的结构及主要结果 1 1 本文的研究背景 算子矩阵是以算子为元素的矩阵算子矩阵在数学及其应用的许多领域都有应用，如 偏微分方程理论，非线性分析理论，插值理论及系统理论等，这些理论又在流体力学和量 子力学等数学物理学中有着广泛的应用，而算子矩阵的谱理论在这些应用中起着极其重 要的作用( 见【l 】) 目前，算子谱理论的研究内容已涉及到基础数学与应用数学的许多分 支，如矩阵理论、控制论、量子物理和优化理论等 如所熟知，如果r 是h i l b e r t 空问h 上的有界线性算子，且日可分为两个h i l b e r t 空问的 直和，即 则t 可表示为2 2 阶算子矩阵 t = 仨夸8 c 风。吼 ， 其中是从皿到日j 的有界线性算子，i ，j = 1 ，2 特别地，若皿是t 的不变子空间，则t 可 以表示为如下2 2 上三角算子矩阵的形式( 可见【2 8 】) ： t = ：风。舛_ 皿。时 抛， 一般而言，算子矩阵本身的谱与其内部项的谱之间有一定的联系，如果其内部项的 性质是已知的或相对简明的，则可以通过研究其内部项的谱性质刻画算子矩阵本身的性 质近年来，2 2 上三角算子矩阵的谱问题，吸引了很多学者( 见阻3 4 】等) 的关注特别地， 2 2 上三角算子矩阵的谱扰动的研究，日益活跃和愈加深刻( 见【9 ，1 2 - 1 7 ，1 9 ，2 参2 5 ，2 7 】等) 一方面，于1 9 9 4 年，杜鸿科和潘金在文【9 】中给出了2 2 上三角算予矩阵的固有谱的刻 n c e b ( 日1 ，月j ) 盯( 讹) = c r l 巾( a ) u ( b ) u a c ：死( b 一) ( 以一a j r ) ) 2 2 上三角算子矩阵的谱 后来，文献【1 3 ，1 5 ，2 2 2 6 】相继分别研究2 2 上三角算子矩阵的各种固有谱：近似点谱、亏谱、 本质谱、w - e y l 谱、左( 右) 谱、点谱、剩余谱、连续谱、b r o w d e r 谱、d r a i n 谱以及m o o r 争 p f 舭o s e 谱等的刻画最近，有些学者还在研究更为精细的谱成分的同有谱( 见【2 & 3 1 】) ，更 多相关结果可见相应文献的参考文献在可能谱方面，显然有 u c 8 ( 胁，肌) 仃( 朋台) = 盯( a ) u 仃( b ) 此外，文1 2 5 】、【3 3 】及【3 4 】分别讨论了 纪的可能m 0 0 r 争p e n r o s e 谱、可能剩余谱和可能连续 谱及可能左( 右) w 蚵l 谱 另一方面，文献【9 】还指出：若a 召( 凰) ，b 召( 飓) ，且都是正常( 正规) 算子时，则对 任意的c 舀( 飓，风) 都有 盯( ) = 盯( a ) u 盯( b ) 成立1 9 9 9 年，j k h 锄，h y l ，和w y l e e 在文献【1 1 】中给出谱的填洞性描述： 口( a ) u 盯( b ) = 口( 朋b ) u 彬 其中w 是盯( 讹) 中某些洞的并，且c 仃( a ) n 盯( b ) ，并以推论的形式给出若干 盯( 讹) = 盯( a ) u 盯( b ) 对任意的c 召( 日2 ，且) 均成立 的充分条件之后，1 h w 雠g ，w l e e 在文献【1 3 】中给出：若a 邑拟三角算子，则对任意 的b 召( 飓) ，c 召( 飓，奶) ，都有 ( ) = ( a ) u ( b ) 成立2 0 0 2 年，s v d j o r d j e v i c 和y m h 锄在文献【1 4 】中以主要定理的形式给出等式 仃。( 朋b ) = 口。( a ) u 仃。( b ) 对于任意的c 8 ( 上如，上f 1 1 ) 成立的充分条件，其中以 口，吼) 2 0 0 3 年，m b a r r 蹰和m b 0 u m 姚9 0 l l r 在文献【1 2 】中研究了对于给定的a 召( 风) ，b b ( 日2 ) ，等式 仃( ) = 仃( a ) u 仃( b ) 成立的充分条件，即 c c f 【r ( 以，b ) + ( 以，口) + u a c ( l 一) + u a c ( 冗b 一) 】 2 内蒙古大学硕士学位论文 2 0 0 5 年，c b e n h i d a e h z e r o u 柚及h z g l l i t t i 在文献f 1 2 】的基础上进行了更深入的研 究，得到【1 2 】中的结论对于一大类谱都成立，但同时也得到对某些谱上述结论是不成立的 结论( 见【1 6 1 ) 总之，人们在算子矩阵谱问题方面的研究主要集中在两个分支：各种谱的固有谱的 刻画和等式仃。( 幻) = 以( a ) u 以( 日) 成立的条件的研究，其中幸代表某类特定的谱 于是，自然想到以下问题：谱等式仃( ) = 仃( a ) u 仃( b ) 及各种谱关于等式以( ) = 口。( a ) u 盯。( b ) 对任意的c 艿( 仍，玩) 成立的充要条件是什么? 其中宰切，r ，c ) 固 有点剩余谱和可能点剩余谱的如何刻画? 同有点剩余谱与同有点谱和同有剩余谱的并集 之间的关系又是什么? 以及是否存在某些谱，使得该谱扰动正好是算子c 取o 时对应的算 子矩阵m b 相应谱? 是不是对角算子矩阵的各种谱都分别与各对角算子的相应谱的并是相 等的? 以上这些问题的研究及结论尚不多见因此，作者在本文中主要将致力于这些方面 的研究，对以上问题进行了探索，得到了一些结论，同时也给出了一些例证 3 2 2 上三角算子矩阵的谱 1 2 本文的主要结果 本文共分四章的内容，第一章是绪论，主要介绍了2 2 上三角算子矩阵的谱问题的研 究背景及现状，并提出本文要解决的问题第二章是预备知识，主要罗列文中用到的一些 基本概念、性质及重要引理第三章和第四章给出本文的主要结论及其证明，其中第三章 主要讨论了“口( 讹) = 口( a ) u 仃( b ) 对任意的c b ( 巩，日1 ) 均成立”的充要条件第四章 主要研究了2 2 上三角算子矩阵的谱扰动 下面给出本文的主要结果： 1 设a 艿( z h ) ，b 召( 上如) ，我们得到“盯( ) = 盯( a ) u 口( j e i ) 对任意的c 召( 上如，马) 均成立一的充要条件类似地，对于点谱、剩余谱、点剩余谱及连续谱的情形也 得到了其成立的充要条件 2 给定a 召( 凰) ，b 召( 地) ，当c 跑遍召( 玩，凰) 时，我们首先得到2 2 上三角算 子矩阵一( 言g ) 的 古i 有点剩余谱及可能点剩余谱的刻画，固有点剩余谱与固有点谱 和固有剩余谱的并集之间的关系；其次，得到对于1 类点谱、1 。类剩余谱及连续谱，存在算 子g = o ( b ( 飓，凰) ) ，使得2 2 上三角算子矩阵的固有1 类点谱、固有l 一类剩余谱 及固有连续谱恰为的相应谱的结论，且由此说明等式以( ) = 以( a ) u 以( b ) 并不总 是成立的，其中奉代表某类特定的谱 4 内蒙古大学硕士学位论文 第二章预备知识 弟一早 耿冒刘以 2 1 相关符号及基本概念 全文中，我们用日，上h 和上，2 表示h i l b e r t 空问，x 表示b 锄a c h 空问对于线性子空 问m 日，其闭包和正交补空问分别记为丽和m 上若t 是从日l 到仍的线性算予，用t 。 、口( t ) 、佗( t ) 和( t ) 分别表示算子t 的共轭算子、定义域、值域空问和零空问用n ( t ) 表 示、厂( t ) 的维数，d ( t ) 表示冗( t ) 上的维数或( r ) 的维数，即n ( t ) = 出肌 厂( t ) ，d ( = 击m 冗( t ) 上= 出m i 厂( p ) 定义2 1 1 给定算子a b ( 皿) ，b 召( 仍) ，定义2 2 上三角算子矩阵 = 0 习咧凰。玩， 协， 这里算子c b ( 马，日1 ) 是任意的，c 取不同的算子时，随着变化并且称 n c b ( 胁，肌) 盯( 朋a ) ，u c b ( 日2 肌) 仃( 幻) ， 分别为的固有谱和可能谱( 见【3 5 】) 对于按照某种分类标准所得的各种类型谱，也有固有和可能之分，例如分别称 n c e 8 ( 胁，日1 ) 唧( 朋b ) ，n c 8 ( 日2 ，日1 ) 听( 尬) ，n c 8 ( 胁，日1 ) c r c ( 幻) 为固有点谱、固有剩余谱和固有连续谱，并依次简记为，n r 和n c 若将上述交集改为并 集则分别称为可能点谱、可能剩余谱和可能连续谱，并依次简记为u ，u r 和u c 此外，称 广臃嚣慨，皿) d 碲( 朋a ) ，u b 8 ( 胁凰) 口谛( 耽) 分别为2 2 上三角算子矩阵的固有点剩余谱和可能点剩余谱，简记为和u 知 定义2 1 2 删设t 是b 柚a d h 空间x 中的线性算子，称集合 p ( t ) = a c ：a j t 是单射，冗( 入，一t ) 在x 中稠密，( a j 一一1 是有界的) 为t 的预解集 预解集在复数域中的补集称为t 的谱集，记为口( 5 预备知识 定义2 1 3 设t 是b a n a c h 空问x 中的线性算子，定义点谱唧( t ) ，剩余谱( t ) 和连续 谱c r c ( t ) 分别为： 唧( t ) = a c ：入，一t 不是单射) ， 听( 砷= a c ：a j t 是单射，但是冗( 入，一t ) 在x 中不稠密) ， c r c ( t ) = a c ：入j t 是单射，冗( a j t ) 在x 中稠密，但( a ，一 - 1 是无界) 显然，( 丁) 、( 丁) 和a r r ( 丁) 是互不相交的，且 盯( t ) = 唧( t ) uc r c ( t ) u ( t ) 注2 1 1 当t 是闭算子，特别是有界线性算子时，由b a n a c h 逆算子定理及闭图像定 理( 见【3 ，3 6 】) 可推知，t 的预解集和连续谱等价于如下定义 p ( t ) = 入c ：入，一t 是单射，冗( 入j t ) = x ) ； c r c ( t ) = 【a c ：a j t 是单射，冗( 入，一t ) x ，但冗( 入j 一丁) = x ) 定义2 1 4 设t 是b a n a d h 空间x 中的线性算子，称t 的点谱和剩余谱的并集为t 的点 剩余谱，并记为： 仃西( 丁) = a c ：a a r p ( t ) 或入o r r ( t ) ) 定义2 1 5 设t 是b 觚a c h 空间上的线性算子，称集合 d p ，l ( t ) = a 唧( ：r ( r 一入) = x ) ， ，2 ( t ) = a 咋( t ) ：r ( t a ) = x ，兄( t a ) 不闭) ， 3 ( 即= 入唧( t ) ：冗( r 一入) x ，冗( t a ) 闭的) ， 4 ( 力= a 唧( 卵：r ( t 一入) x ，r ( t 一入) 不闭) ， 分别为t 的1 一类点谱、2 - 类点谱、孓类点谱和缸类点谱；称 1 ( t ) = a 听( t ) ：兄( t 一入) 闭的) ， 吼口( t ) = a 西( t ) ：r ( t 一入) 不闭) ， 分别为t 的1 一类剩余谱和二类剩余谱：称 唧，1 2 ( t ) = a 唧( t ) ：冗( t a j ) = x ) ， 1 3 ( ”= a 唧：冗口一a ) 闭的， 吩，弘( = 入唧( t ) ：冗( t a ，) x ) ， 6 内蒙古大学硕士学位论文 分别为丁的1 2 类点谱、1 孓类点谱及3 4 类点谱 显然，d p l ( ，2 ( t ) ，唧，3 ( t ) ，a 如( t ) 互不相交，且 唧( 砷= 唧，l ( 砷u 乃，2 ( 妁u 3 ( t ) u 4 ( ”； l ( t ) ，c r r ，2 ( 互不相交，且 靠( 印= 西，l ( t ) u 2 ( 定义2 1 6 设t 是b a n a c h 空问x 中的闭线性算子，定义近似点谱口却( 丁) 如下： ( 力= 入c ：存在z n 口( t ) ，i l z n 8 = l ，使得1 i 罂0 ( r a ，) 4 = o n 呻 易知，仃匆( t ) = 唧( t ) u 盯d p ，2 ( t ) ，其中盯蔬2 ( a ) = 入c ：a 碧唧( a ) ，冗似一a j ) 不闭) 另记胁( t ) = c 口印( t ) 定义2 1 7 设t 是b 锄a c h 空间x 中的闭线性算子，定义亏谱( 丁) 如下： 印( t ) = a c ：冗( t 一入j ) x ) 另记舶( t ) = c 郇( 乃 注2 1 2 对线性算子t 的点谱和剩余谱进行细分以后，可以得到近似点谱和亏谱等 的精确描述 d 却( t ) = a ，( t ) ua - c ( t ) u 仉j 2 ( t ) ； 仍( t ) = c r r ( t ) uc r c ( t ) u 唧，2 ( t ) u 唧，3 ( t ) u 4 ( t ) 从而，线性算子t 的谱又可以有如下描述： 盯( t ) = ( t ) u 1 ( t ) ； 盯( t ) = ( u ，1 ( 显然，口劫( 与听，1 ( d ，( t ) 与，1 ( t ) 分别都为互不相交的集合若t 8 ( 日) ，则由引 理2 3 4 及文献【3 ，8 ，删可知，盯面( t ) 和印( t ) 均为复平面c 中的非空紧集且 撕( t ) 口印( t ) n 仍( t ) ， 其中a 表示子集c 的边界点 定义2 1 8 设t 是b a n a c h 空间x 中的闭线性算子，称集合 ( t ) = a c ：冗( t 一入，) x ) 为算子t 的压缩谱 7 预备知识 2 2 亚正规算子和余亚正规算子的谱性质 下面先给出两类算子即亚正规算子和余亚正规算子的定义( 参见【3 皿4 1 】) ，然后给出其 谱性质 定义2 2 1 1 4 l l 设t 是h i l b e r t 空间上的算子，则称t 是亚正规算子，如果r t 刀 定义2 2 2 【4 l 】设t 是h i l b e r t 空问上的算子，则称t 是余一e 正规算子，如果r p 丁+ t 引理2 2 1 m 设t ：d ( c 日一日是h i l b e r t 空间日中的稠定闭线性算子，则有 ( i ) a 唧，l ( t ) 当且仅当天l ( r ) ； ( i i ) a 2 ( d 当且仅当页2 ( r ) ； ( i i i ) a 嘲( 力当且仅当天3 ( r ) ； ( i v ) a 4 ( 当且仅当天( p ) 定理2 2 1 设a b ( 皿) 是余正规算子，则( a ) = 国 证明只需证明若a 一入，是单射，则必有砜万= 可_ ) = 日1 因为a 召( 玩) 是余亚正 规算子，故易知a a 儿包是余巫正规算子，即( a 一入j ) ( a 一入，) ( a a j ) 。( a a j ) 从 而有i i 一a j ) zl j i ( a 一入，) z1 1 于是( a a ，) ( a 一入j ) ，这表明a 一入j 是单 射蕴含( a 一入，) 是单射，故瓦砑面= 皿证毕 一 定理2 2 2 设a 召( 研) 是亚正规算子，则咋，1 2 ( a ) = 0 证明只需证明若a 一入，不是单射，则必有冗( a 一入j ) 研因为a 8 ( 皿) 是亚正 规算子，故易知a a j 也是亚正规算子，即( a 一入j ) ( a 一入，) ( a a j ) ( a a ，) 从而， 有0 一入j r ) zl i 0 一入j ) 。zl i 于是 厂( a 一入，) g 似一) 。，这表明a 一入j r 不是单 射蕴含( a a j ) 不是单射，故冗一a ，) 皿证毕 一 由定理2 2 1 和定理2 2 2 立即可得如下推论： 推论2 2 1 设a 召( 研) 是正规算子，则唧，1 2 ( a ) = c r r ) = d 例2 2 1 设日l = 日2 = 俨( 1 ，+ ) 考虑右移算子u ，即 u z = ( 0 ，z l ，z 2 ，z 3 ，) ， 容易计算u 是f 2 上左移算子，且u + ，= j ，但u u j ，故u u u + u 因此u 是一个亚正 规算子由定理2 2 2 可以判断，1 2 ( u ) = d 事实上，文献【3 6 】已经计算出( u ) = 0 ，则必有唧，1 2 ( u ) = d 该例说明了定理2 2 2 的 正确性 8 内蒙古大学硕士学位论文 2 3 文中用到的一些重要结论 引理2 3 1 设奶和凰是h i l b e r t 空间，t 召( 飓，风) ，且冗( 丁) 是不闭的，则存在一 个风的闭子空间q 三瓦两，满足冗( ”n q = o ) 且d i m q = o o 此外，进一步有冗( t ) q 冗( t ) 证明该引理可以由文献【4 2 】中的引理1 6 2 直接推得 下面两个引理是显然成立的，具体可参见文献【3 2 】 引理2 3 2 设a b ( 吼) ，曰艿( 矶) ，则对任意的c 召( 曰，凰) ，一a j 是单射 当且仅当a a j r 和b 一入j 都是单射 引理2 3 3 设a b ( 皿) ，b 8 ( 上易) ，则对任意的c 8 ( 上，2 ，日1 ) ，记( 动丁二_ x 巧= 日1o 凰当且仅当葡万了而= 风且砜万= 硒= 吼 引理2 3 4 设t 为b a n a u c h 空间x 中的闭算子，则 ( i ) t 左可逆兮t 下有界兮t 是单射且冗( 丁) 闭； ( i i ) t 右可逆甘冗( t ) = x 该引理的证明可参阅文献【2 】下面的两个引理是文献【3 2 】的直接结果 引理2 3 5 给定a 8 ( 日1 ) ，b 召( 飓) ，有 n = ( a ) u 烈a a ) ) 引理2 3 6 给定a 8 ( 日1 ) ，b 召( 飓) ，有 n r = ( ( b ) 咋( a ) ) u ( c r r ( a ) n 肺( b ) ) 9 2 2 上三角算子矩阵的谱 第三章2 2 上三角算子矩阵的谱 本章主要讨论了2 2 上三角算子矩阵的谱、点谱、剩余谱、点剩余谱及连续谱，先以 对角元a 和b 的谱的性质的形式给出了“仃( 拖) = 盯( a ) u 仃( b ) 对任意g 8 ( 飓，研) 均成 立”的充要条件；并将其拓展到点谱、剩余谱、点剩余谱及连续谱情形下等式成立的充要 条件 3 1 谱 定理3 1 1 设a 召( 日1 ) ，b 召( 飓) ，则 仃( 尬) = 仃( a ) u 仃( b ) 对任意的c 8 ( 飓，凰) 均成立( 3 1 1 ) 当且仅当下面两个条件成立： ( i ) a l ) 田旧) 蕴含咒一a j ) = o 或扎( b a ，) d 似一a 耽 ( i i ) 入，1 ( b ) ( a ) 蕴含d ( a a ，) = o 或n ( b 一入，) d ( a a ，) 证明充分性显然，“盯( ) 盯( a ) u 盯( b ) 对任意的c 召( 日2 ，皿) 均成立一下 证反包含关系设入( a ) u ( b ) ，则一入，或者不左可逆或者不右可逆，这意味 着对任意的c b ( 岛，日1 ) ，都有a 仃( ) 设入c r r ，l ( a ) ( b ) ，则易知入听似) ， 冗( b a ，) = 玩且冗一a j ) 是闭的若礼( b 一入，) = o ，则a p ( 日) ，因而有 g c ( b7 入。一1 ) c 朋b 一入j ) = ( a ：a ，口二a j ) ， c 3 1 2 ， 由此可推知a 西( ) 仃( 幻) 对任意的c 召( 日j ，凰) 都成立若n ( 日一a ，) o ， 则( 曰一入j ) 和冗( a a j ) 上分别是玩和日1 非平凡予空间这样，对任意的c 召( 上如，风) ， 幻一a j r 都满足如下分块表示： 朋b a ，= ( aj a 。1 善 岛 q ( b a j ) 1) _ ( 攀 其中似一入j r ) l ：凰_ 冗一入j ) 和( b a j ) 1 ：( b a j ) 上_ 日2 是可逆的因此，我 1 0 r 、，v 风肛卜 厂，v ，l-liiik 们有 其中 e c 内蒙古大学硕士学位论文 f c c 朋b a ，如= ( a ? 。l 一( a a _ ，) f 1 g l 0 一(a一主，)f1岛) oi l l ： ( b a 耽 0 一a ( b a ，) f 1 i 由n ( b 一入j ) d ( a a j ) ，可知岛：( b a ，) 一冗( a 一入j ) 上或者不是单射或者不 是满射，结合如和f c 的可逆性可知对任意的c 召( 凰，玩) ，都有a 口( 尬) 设入 唧，1 ( b ) ( a ) ，则a 唧( b ) ，冗( b a j ) = 日2 且以一a ，是左可逆的若d ( a a j ) = o ， 贝u a j d ( a ) ，凶而有 c 一入j ，( 三一( a f 。1 c ) = ( a ：入j rb 二入j ) ， c 3 1 5 ， 、o j ，、 0 b 一入j ， 于是有a 唧( ) 盯( ) 对任意的c 召( 飓，玩) 都成立若d ( a 一入j ) o ，则( b 一 入j ) 和冗( a a ，) 上又分别是飓和h l 是的非平凡子空间这样，对任意的c 召( 仍，凰) ， 尬一入，都具有如( 3 1 3 ) 的形式，其中( a a ，) l ：皿一冗一a j ) 和( b a ，) l ：( b a j ) 上一上屯是可逆的综上所述，我们得到对任意的c b ( 飓，日1 ) ，都有入盯( 肘a ) 故 “仃( 尬) 仃( a ) u 盯( b ) 对任意的c 召( 飓，皿) 均成立一 必要性由文献【9 】中定理2 及题设盯( 尬) = 口( a ) u 矿( j e 7 ) 对任意的g 8 ( 凰，皿) 均成 立我们容易知道结论( i ) 、( i i ) 是成立的 _ 注3 1 1 在该定理中，我们实际上是强调分别位于( i ) 、( i i ) 中的两个条件n ( b a ，) = o 和d ( a a j ) = o 事实上，它们都包含在n ( b 一入j ) d ( a a j ) 中，因为入l ( a ) 蕴 含d ( a a j ) o ；入1 ( 曰) 蕴含n ( b a ，) o 注意到仃) 是由互不相交的两部分口n p ( a ) 和，1 ( a ) 的并集组成；盯( b ) 是由互不相交 的两部分1 ( b ) 和仍( b ) 的并集组成这样，我们很容易便可得出以下结论 推论3 1 1 设a 召( 日1 ) ，b 召( 王如) ，则 口( ) = 盯( a ) u 盯( b ) 对任意的g 召( 日2 ，日1 ) 均成立 o g o 妨 j )p ， 0 0 ，ji。一 2 2 上三角算子矩阵的谱 当且仅当入l ( a ) n l ( b ) 蕴含7 l ( b a j ) d ( a a ，) 证明略口 推论3 1 2 设a 召( 上，1 ) ，b 8 ( 日j ) ，则 口( ) = 仃( a ) u 盯( b ) 对任意的c 8 ( 飓，研) 均成立 如果以下条件之一成立， ( i ) 矿) n 仃( j e 7 ) 没有内点( 见文献f 1 1 】) ； ( i i ) 岔或b 有单值扩张性( s y e p ) ( 见文献【1 4 】) ； ( i i i ) a 是余业正规算子或b 是业正规算子( 见文献【1 1 】) 证明设条件( 1 ) 成立因为盯( a ) n 口( b ) 没有内点，显然有盯似) n 仃( b ) 盯印( a ) u 仍( b ) 若入仃r ，l ( a ) c ( b ) ，则入碧a r 印( a ) ua 曙( b ) ，进而a 碧口( a ) n 口( 日) 这样，入p ( b ) ， 由此推出几( b 一入j ) = o 类似地，若a 唧，1 ( b ) ( a ) ，可推出d ( a a j ) = o 由定 理3 1 1 知，对任意的c 召( 也，肌) ，都有口( ) 一盯( a ) u 盯( b ) 成立 设a 或b 有单值扩张性( s y e p ) 由文献【4 3 】推论7 和定理2 ，我们可推知此时有盯( a ) = 口面( a ) 或盯( b ) = 仍( b ) ，因此西，l ( a ) = d 或唧，1 ( b ) = 0 这样，由定理3 1 1 知对任意 的c 召( 凰，研) ，都有盯( ) = 口( a ) u 仃( 日) 成立 设a 是余亚正规算子或b 是哑正规算子由余亚正规算子和亚正规算子的谱的性质知 c r r ( a ) = d 或唧，1 2 ( b ) = d 从而由定理3 1 1 知盯( ) = 盯( a ) u 盯( 曰) 对任意c b ( 魁，上 ) 都成立口 下面举例验证定理的正确性 例3 1 1 设皿= 飓= 俨( 1 ，+ o 。) ，取a 为右移算子，j e i 为左移算子，即对任意的俨中 元素( z l ，z 2 ，) 既= 飓，有 a ( z 1 ，z 2 ，) = ( 0 ，z l ，z 2 ，铂，) ， b l ，z 2 ，) = ( 勋，勋，) 则显然，a 和b 分别是日1 和日2 上的有界线性算子我们可以断言o l ( a ) ( 口) ，但 是n ( b 一入，) = 矗( a a j ) o ；o l ( b ) 吼l p ( a ) ，但是礼( b 一入，) 一d ( a a j ) o ，因 此，( 3 1 1 ) 中等式不是对任意的c 召( 飓，日1 ) 都成立 我们可以看出o i ( a ) n 1 ( b ) ，且佗( b a j r ) = d ( a 一入j ) = 1 于是，我们可以 推出o a t l ( a ) a 么( b ) ，o a h l ( b ) a 却( a ) ，但是n ( b 一入j ) = d ( a 一入j ) 0 由定 理3 1 1 ，我们立即可以判定( 3 1 1 ) 中等式不是对任意的c b ( 凰，皿) 都是成立的 ：t 1 2 内蒙古大学硕士学位论文 事实上，对任意的( z l ，现，) 也，定义算子g 如下： 岛( z 1 ，z 2 ，) = ( z l ，o ，o ，) 贝u 失日o p ( 4 & ) ，即。簪仃( l l 矗) ；