（基础数学专业论文）自守l函数系数的均值估计.pdf

自守l 一函数系数的均值估计 劳会学 ( 山东大学数学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 一般来说，l 函数是一种生成函数，它们或者来源于算数、几何对象( 比如定 义在一个数域上的椭圆曲线) ，或者是来源于自守形式根据l a n g l a n d s 纲领，任 何一个一般的，- 厂函数都可以分解为g ，q 上的自守表示的，- ，函数的乘积，并 且对于任何自守厶函数r a m a n u j a n - p e t e r s s o n 猜想都成立因而，对于自守l 函数的研究具有非常重要的理论意义 本文中，我们将研究全模群s l 2 ( z ) 上的全纯尖形式对应的自守厶函数的 系数的均值估计 设k 是一偶数，我们用乒佗表示定义在f = s l 2 ( z ) 上的权为k 的所有标准 化了的h c c k c 本原特征尖形式的集合对，e ：，其在尖点0 0 处的傅立叶展式 为 f ( z ) = 入加j n k z - 1e 2 而”， n = 1 其中a l ( n ) 是标准化的h e c k e 算子瓦对应的特征值利用h e c k e 算子理论，容 易证明a ，( 竹，) 是实数，且满足下面的积性关系 a 加) 入加) = a ，( 警) ， d l ( m ，n ) 其中m ，佗是任意正整数1 9 7 4 年，d e l i g n e 3 】证明了r a m a n u j a n p e t e r s s o n 猜想 这里d ( n ) 为除数函数 入，( n ) l d ( n ) ， 山东大学博士学位论文 ，h i 对应的h e c k el - 函数定义为 w 一= 薹学，脚) 1 在第一章中，利用对称幂l 函数及其r a n k i n - s e l b e r gl - 函数的性质( 关于这 些性质的证明参见文献【6 】，【1 1 ，【1 2 ，【1 3 ，【1 4 ，【2 3 】) ，我们研究了h e c k el 函数 系数在稀疏整数序列中的平均分布 r a n k i n 【1 7 】与s e l b e r g 【2 2 】创立了强有力的r a n k i n s e l b e r g 方法，从而他 们得到了a ( n ) 均值的渐近公式 a ；( 扎) = c x + d 加吾) 。j 。j 、， 。j 、。7 n 0 ，有 a ；( ) = z + 吼。( z 1 。赢可托) ， n s x 其中j = 2 ：3 ，4 1 9 8 3 年，m o r e n o 与s h a h i d i 【2 4 】证明了 m ) 一c x l o g x ：z _ 。， n 2 这里 r o ( n ) = 7 - ( 儿) 警是标准化的r a m a n u j a n 丁函数显然，如果用a y ( n ) 代 替t o ( n ) ，则m o r e n o 与s h a h i d i 的结果也成立 作为对m o r e n o 与s h a h i d i 结果的推广，在第一章中我们还考察了a s ( n ) 在 平方数序列上的四次均值 定理1 2 设f 优，a t ( ，b ) 表示其第扎个标准化的傅立叶系数，则对任意 e 0 ，有 + 伸耵 z ，f i d+z g o n = ， 吃 z = 产 4 ，j 入 疃 山东大学博士学位论文 最近，f o m e n k o 5 】研究了优对应的二次对称幂，厂函数系数的平方积分 z 2 睦岫加) 卜峭 在第二章中，我们研究了j ( j = 3 ，4 ) 次对称幂l 函数l ( s y m i f ，s ) 系数的平 。i 钿卜 均值余项的积分渐近公式( 见文献【1 】，【1 6 】) ，我们得到下列结论 定理2 1 设f 峨，a 训，( 礼) 表示歹次对称幂l 一函数l ( s y m i f ，8 ) 的系 。i 入。彬，c 扎，1 2 d 耖 二：。g z ，三三三： v i n o g r a d o v 在文献【3 0 】中首次研究了 s ( z ) = a ( n ) p ( 口侗， x n 0 ) 乘积的均值 注意到 曲( z ) = a i ( n ) e ( c r v n ) ，z 2 z n 2 z s a x ) = a ( p ) l o g pe ( a 砸) + o ( z ；l o gx ) ， x 0 ，有 s s ( x ) = a 加) e ( 何) z 畛 z 1 i nc h a p t e r1o f t h i sd i s s e r t a t i o n ，w ei n v e s t i g a t et h ea v e r a g eb e h a v i o r o f c o e f i i c i e n t so fh e c k el - f u n c t i o n so v e rs p a r s es e q u e n c e sb yu s i n gt h ep r o p e r t i e so t s v m m e t r i cp o w e rl - f u n c t i o n sa n dt h e i rr a n k i n - s e l b c r gl - f u n c t i o n s ，w h i c hh a v e b e e ne s t a b l i s h e di n 【6 】，【1 1 】，【1 2 】，【1 3 ，【1 4 】，a n d 【2 3 1 ， r a n k i nf l7 1a n ds e l b e r g ( 2 2 i n v e n t e dt h ep o w e r f u lr a n k i n s e l b e r gm e t h o d t os t u d yt h ea v e r a g eb e h a v i o ro f 衅( ，。) ，a n ds h o w e dt h a t 入 ( n ) = c 茁+ o 水) n 0 ，w eh a v e 入 ( ) = 白掣+ o ( 茁1 - - 2 陌托) ， n z w h e r e j = 2 ，3 ，4 i n1 9 8 3 ，m o r e n oa n ds h a h i d i 【2 4 】w e r ea b l et op r o v e 毋( 扎) 一c x l o g x ： z _ o 。， n 盅 w h e r e7 b ( ”，) = 7 ( n ) n 孚i st h en o r m a l i z e dr a m a n u j a nt a u f u n c t i o n o b v i o u s l y m o r e n oa n ds h a h i d i sr e s u i ta l s oh o l d st r u ei fw er e p l a c e 伯( n ) b yt h en o r m a l i z e d f o u r i e rc o e f f i c i e n t入，( n ) i nc h a p t e r1w e8 x ea l s oi n t e r e s t e di nt h ef o u r t hm o m e n to ft h en o r m a l i z e d f o u r i e rc o e f f i c i e n to f | 域o v e rs q u a r en u m b e r s ，i e 入；( 矿) f i 0 w eh a v e 入舻) = z b ( 1 哪) + d ( z 器+ 5 ) ， t l z w h e r ep 2 ( 亡) i sap o l y n o m i a li nto yd e g r e e2 r e c e n t l yf o m e n k o 【5 】s t u d i e dt h em e a ns q u a r ee s t i m a t ef o rt h ec o e f f i c i e n t s o ft h es y m m e t r i cs q u a r el - f u n c t i o na t t a c h e dt of h 乏，a n ds h o w e dt h a t eb 舻加) n 曼掣 2 咖= d 0 鲁) i nc h a p t e r2w ea r ei n t e r e s t e di nt h ei n t e g r a lm e a ns q u a r ee s t i m a t e sf o rt h e c o e f f i c i e n t so ft h ej - t hs y m m e t r i cp o w e rl - f u n c t i o nw i t h 歹= 3 ，4 ，n a m e l y 2 而。 b yu s i n gt h ep r o p e r t i e so fs y m m e t r i cp o w e rl - f u n c t i o n sa n dt h e i rr a n k i n - s e l b e r g - f u n c t i o n s ，a n dt h em e a ns q u a r ef o r m u l ao ft h ee r r o rt e r mf o rac l a s s o fa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s ( s e ef 1 】a n df 1 6 1 ) ，w ea r ea b l et oe s t a b l i s ht h ef o l l o w i n g r e s u l t s t h e o r e m2 1 l e tf 娥，a n da 。，( n ) d e n o t et h ec o e f f i c i e n t so yt h e ：一琥 s y m m e t r i cp o w e rl - f u n c t i o n t h e nw eh a v e ta 彬加) n - 9 2 却 二：。g z ，三三二 v i n o g r a d o v 【3 0 】f i r s ts t u d i e d s ( z ) = a ( n ) e ( a v f n , ) ， x 0 ，i e w h e r ez 2 n o t et h a t s f ( x ) = a 加) e ( q 侗， x n 2 x s s ( x ) = 入加) l 。g pe 伽) + o ( z 丢l o g x ) z 0 ，w eh a v e 毋( z )= a l ( n ) e ( q 何) z 砂 x n 2 x w h e r et h ei m p l i e dc o n s t a n td e p e n d s0 n 氆a n dt h ec u s p o 讯1 k e yw o r d sh o l o m o r p h i cc u s p s e l b e r gl - f u n c t i o n ，s y m m e t r i cp o w e r t u r e f o r m ，a u t o m o r p h i cl - f u n c t i o n ，r a n k i n - l - f u n c t i o n ，r a m a n u j a n - p e t e r s s o nc o n j e c - 山东大学博士学位论文 s l 2 ( z ) ： ： 舣： c ： 矗( 竹，) ： 7 ( 死) ： a ( n ) ： 佗一n ： e ( 2 ) ： e ： f ( x ) = o ( 夕( z ) ) ： ，( z ) 夕( z ) ： 符号说明 完全模群 上半平面 实数集 复数集 除数函数 r a m a n u j a n 函数 m a n g o l d t 函数 n n 2 n e x p ( 2 7 r i z ) 任意小的正数 lf ( x ) i c 9 ( z ) ，c 称为大o 常数 ，( z ) = d ( 9 ( z ) ) 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本论文的 研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人 完全意识到本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名： 蔓金望 日 期： 2 多口7 5 d 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文和汇编本学位论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 彤游 论文作者签名：啦坠，导师签名： 山东大学博士学位论文 第一章h e c k el - 函数系数在稀疏整数序列中的均值估计 1 1引言及主要结果 在这一章中，我们研究h e c k el - 函数的系数在稀疏整数序列中的均值估计 首先，我们介绍全纯尖形式及其对应的自守l 函数的一些基本事实关于这些结 论的证明可参考文献 9 】， 1 0 】，【2 5 】 全模群 r = c z ，= 1 ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) 其有关性质见1 2 a ( n ) 阶的大小和振动现象是重要的研究内容1 9 7 4 年，d e l i g n e 【3 】证明 了r a m a n u ja n - p e t e r s s o n 猜想 j 入，( n ) i d ( n ) ，( 1 3 ) 这里d ( n ) 是除数函数 p 沮n k i nc 1 8 】考察了a i ( n ) 在自然数上的分布，给出了目前最好的结果 s ( z ) = 入加o z 吾1 ( 1 。g z ) ， n z 这里0 6 0 0 6 2 0 0 1 年，i v i 6 【7 】研究了a ，( 佗) 在平方数序列上的分布，即 岛( z ) = a s ( n 2 ) n 0 ， 氐( z ) = a s ( n 3 ) 加z t n 0 ，有 乏彬一岛( 1 0 9 x ) + 。( z 器扣) ， 其中b ( ) 表示关于变量t 的2 次多项式 设 l ( s y m 2 加) ：妻等掣，r e ( s ) 1 n = 1 。 为f 瑶对应的二次对称幂厶函数由于a s ( n 2 ) 与* 入s y m 2 f ( 1 7 ) 紧密相关，因此 我们也考察了和式 x s 4 m 2 f ( n ) n 0 ，有 e 4 叫( n ) = z 扇( 1 哪) + o ( z 器+ 5 ) ， 竹o 其中岛( ) 表示关于变量t 的2 次多项式 1 2 h e c k el 函数，对称幂，函数及其r a n k i n - s e l b e r gl - 函数 对应于f 哦的h e c k el 函数如( 1 2 ) 所定义利用h c c k e 算子的理论及 d e l i g n e 【3 】证明的r a m a n u j a n p e t e r s s o n 猜想，h c c k cl - 函数可写成阶为2 的 4 山东大学博士学位论文 欧拉乘积 l ( f ，s ) = ( 1 一q ，p ) p 叫) 。( 1 一身( p ) p 一8 ) ， p 其中口，) 与所( p ) 满足 a ，( p ) = a ，( 力+ 融p ) ，且i a ，p ) = i 厮p ) i = a ，仞) 厮p ) = 1 ( 1 4 ) f 哦对应的j 次对称幂l 函数定义为 j l ( s y m ，s ) ：= i i1 - i ( 1 一，( p ) 一纷( p ) m p 一8 ) 一1 ，黜( s ) 1 ( 1 5 ) pm = o 上述欧拉乘积保证了l ( s y m j f ，8 ) 可以表示为d i r i c h l e t 级数，即当r e ( s ) 1 时，有 l ( s y m j f 一= 宝号掣， 这里a s y m j s ( n ) 是可乘函数因此，我们得到了 l ( s y m j f ：s ，= 耳( 1 + 掣+ + 学+ ) ，脚p 1 ( 1 6 ) 特别地，有 l ( s 舯o ，s ) = ( ( s ) ，l ( s y m l f ：s ) = l ( f ，s ) ， 以及 s f，r e ( s ) 1 2 ，s ) = e ( 2 8 一“”翌，) 设f 域，对应于s y m i f 和s y m j f 的t l u n k i n - s e l b c r gl 函数定义为 l ( s y m s y m j f s ) ：= ( 1 一a ，( p ) 扣m 嘶( p ) ”“，( z ，) 细胁( p ) “p 哪) ， ( 1 7 ) 这里r e ( s ) 1 上述欧拉乘积也保证了l ( s y m j f s y m j f ，8 ) 可以表示为d i r i c h o l e t 级数，即当r e ( s ) i 时，有 邵y m 弘徊加) ：生等趔， 5 山东大学博士学位论文 这里入s y m i f s y m j ，( f i ) 是可乘函数因此，当r 七( s ) 1 时。 伽协s 础一= 珥( + 学i - - 4 一学+ ) ( 1 8 ) 1 3基本引理 引理1 1 设f 爿；，入，( 7 ) 表示其第n 个标准化的傅立叶系数当j = 2 ，3 ，4 时，我们引进l 一函数 驰，= 薹学旭虬 设l ( 5 耐f ，s ) 为f 对应的7 次对称幂l - 函数，r - ，( s y c f s y m i f ，s ) 为s 耐， 与s y m j f 对应的r a n k i n s e l b e r gl 一函数那么，当r e ( s ) 1 时，有 l j ( s ) = l ( s y m s fxs y m s f ，s ) ( s ) ， 这里对任意 0 ，级数( s ) 在半平面r e ( s ) + 上绝对收敛且一致收敛 证明由( 1 4 ) 及h e c k e 算子的理论易知，当歹1 时， 州辨笔鬻= 毫州一坩 ( 1 9 ) 事实上，对任意整数歹2 ，利用h e c k e 算子的理论可得如下递推关系 a ，( ，一) = a ，( ，一1 ) 入，( p ) 一a ，( 一2 ) 由数学归纳法，可得 a ，( ) = 三兰黼( q ，( p ) + 胁( p ) ) 一竺! j ! ；措 ：唑祟筹：壹a 腑一毋” = 。- - - - - - - - - - - - 。一= = ，t j ，1 1 ，j -ij ，1 1 jj q ，( p ) 一丹( p )名一川7 w 7 进一步我们得到 6 缈，：( 扣一z ( p ) m ) 2 1 0 ) 入；) = ( 理加) 卜mm ) ( 1 m = 0 山东大学博士学位论文 由( 1 7 ) ，( 1 8 ) 知 a 删，肿玎( 护) = n 加) 卜m 所( p ) m n 加) m 房( p ) u ：m ( = 塞ou = q o ，一m 厮，m ) 2 ( 1 1 1 ) 利用入s y m i ，科耐，( n ) 的可乘性及( 1 4 ) ，可得 f b 。町s y h 。玎( n ) l 叱+ 1 ) 。( 竹，) ， ( 1 1 2 ) 这里d k ( n ) 是d i r i c h l e t 级数( 七( s ) 的第n 个系数 由( 1 1 0 ) ，( 1 1 1 ) 得 a ；) = 九y m j ，s y m o ( 1 1 3 ) 由( 1 3 ) 可知 驰) ：妻学 在半平面r e ( s ) 1 上绝对收敛注意到碍( ) 是可乘函数，于是当r e ( s ) 1 啪，= u ( 1 + 学+ 学+ + 学+ ) 因此从( 1 8 ) ，( 1 1 3 ) ，( 1 1 4 ) 知，当r e ( s ) 1 时， 岛( s ) = l ( s y m 厂s y m ，s ) 孕( - + 型学+ ) = ：l ( s y m 3 f s y m j ，s ) ( s ) 由( 1 3 ) 及( 1 1 2 ) 易知，对任意 0 ，( s ) 在半平面r e ( s ) i 1 + 上绝对收敛 引理1 2 设f 哦，入。m 2 ，( n ) 表示二次对称幂l 一函数的第n 个系数我 以s ) - 薹掣拙( s ) 1 山东大学博士学位论文 对歹= 2 ，3 ：4 ，设l ( s y m i f ，s ) 为f 对应的j 次对称幂l 一函数，l ( s y m j f x s y m i f ，s ) 为s y m j f 与s y m j 厂对应的r a n k i n s e l b e r gl - 函数那么，当r e ( s ) 1 时，有 l 5 ( s ) = ( ( s ) l 2 ( s y m 2 f ，8 ) l 2 ( s y m 4 f ，8 ) l 2 ( s y m 2 yxs y m 4 f ，8 ) l ( s y m 2 f s y m 2 f ，s ) l ( s y m 4 fxs y m 4 f ，s ) 魄( s ) ， 这里对任意 0 ，级数阮( s ) 在半平面r e ( s ) + e 上绝对收敛且一致收敛 证明r i c m a n n ( 函数定义如下 ) 2 三o o 矿1i p i ( 1 - p - , ) _ 1 ，r e ( s ) 1 ( 1 1 5 ) 由( 1 5 ) ，( 1 6 ) 得 j a s y m j f ( p ) = 位加) 歹一m 所“ ( 1 1 6 ) m = o 由( 1 4 ) 知 i a 删，( 钆) l d j + l ( i t ) ， 其中d k ( n ) 是d i r i c h l e t 级数( 七( s ) 的第n 个系数 由( 1 7 ) ，( 1 8 ) ，( 1 1 6 ) 得 i j 入。舯愀科川( p ) = 口，( p ) i - m 办( p ) ”口加) 细m p ) ” m = ou = o = a 。”一，( p ) a 。y t n j ，) 同样地，由( 1 4 ) 知 i a s y m i f 。”n j ，( n ) l d ( t + 1 ) o + 1 ) ( n ) 当r e ( s ) 1 时，我们把厶函数( ( s ) l 2 ( s y t n 2 厂，占) l 2 ( s y m 4 f ，s ) l 2 ( s y m 2 f x s y m 4 f ，s ) l ( s y m 2 f s y m 2 f ，s ) l ( s y m 4 fxs y i n 4 f ，8 ) 写成如下欧拉乘积的形式 8 ( ( s ) l 2 ( s y m 2 f ，s ) l 2 ( s y m 4 f ，s ) l 2 ( s y m 2 f s y m 4 f ，s ) l ( s y m 2 f + x 抄s y m 2 f , s ) + l ( 争s y m t f x s y ) m 4 加 ( 1 2 。) = ：耳( ，+ 等+ + 等+ - ) 、j、，、， 7 8 9 1 _ 1 1 1 1 1 ，、，、 山东大学博士学位论文 由( 1 6 ) ，( 1 8 ) ，( 1 1 5 ) 及( 1 2 0 ) 可得 b ( p ) = 1 + 2 入s y m z ，) + 2 a 。y m ，( p ) + 2 入。y m 。，。y 。t ，( p ) + a 。舯2 ，x 司。2 ，) + a s y m 4 ，叼彻4 ，) 借助于( 1 4 ) ，( 1 1 6 ) 及( 1 1 8 ) ，我们易知 6 p ) = a m 。，p ) ( 1 2 1 ) 另外，从( 1 1 7 ) 我们可知 酬：妻连掣 在半平面r e ( s ) 1 上绝对收敛注意到入m 2 ，( 住) 是可乘函数，当r e ( s ) 1 有 以s ，= 耳( 1 + 掣+ 叶学+ ) 2 2 ， 因此由( 1 2 0 ) 一( 1 2 2 ) 知，当r e ( s ) 1 时， l 5 ( s ) = ( ( s ) l 2 ( s y m 2 s ，s ) l 2 ( s y m 4 8 ) l 2 ( s y m 2 f s y m 4 f ，s ) xl ( s y m 2 f s y m 2 f ，s ) l ( s y m 4 f s y m 4 f ，8 ) 罂( 1 + 学+ ) = ：e ( s ) l 2 ( s y m 2 f ，s ) l 2 ( s y m 4 f ，s ) l 2 ( s y m 2 f s y m 4 f ，s ) l ( s y m 2 f s y m 2 f ，s ) l ( s y m 4 f s y m 4 f ，s ) ( s ) 进一步利用( 1 1 7 ) 及( 1 1 9 ) 知，对任意 0 ，级数u 5 ( 8 ) 在半平面r e ( s ) 芝互1 + 上绝对收敛且一致收敛于是引理1 2 得证 口 引理1 3 设，哦，a i ( n ) 表示其第礼个标准化的傅立叶系数我们引进 己一函数 以s ，= 薹学地儿 当歹= 2 ：3 ，4 时，设l ( s y m j f ，s ) 为f 对应的j 次对称幂l 一函数，l ( s y m i f s y m j f ，s ) 为s y m j f 与s y m j f 对应的r a n k i n s e l b e r gl 函数则当r e ( s ) 1 9 山东大学博士学位论文 时，有 l 6 ( s ) = 0 ，级数砜( s ) 在半平面r e ( s ) + 上绝对收敛且一致收敛 证明由( 1 9 ) 及( 1 1 6 ) 知 b ( ，) = a ( p 2 ) i 兀：of c ( s + ( u + ；) ( 七一1 ) ) ： 歹= 2 n + 1 ， l o 。( s 秒甜， s ) = if r ( s + 如协) n ：1f c ( s + u ( 后一1 ) ) ，歹= 2 n ， = r 笏 山东大学博士学位论文 证明见c o g d e u 与m i c h e l 【2 】的3 2 1 部分 口 引理1 5 设f 怫，s s ，耐，与x y m j f 对应的r a n k i n s e l b e r gl 一函数如( 1 7 ) 所定义 当歹= 2 ，3 ：4 时，l ( s y m j f s 厂，8 ) 的阿基米德局部因子为 歹 l o o ( s y m j f 8 7 一f ：s ) = r r ( 8 ) 屯b r c ( 8 ) 口2 】+ 昀j p c ( s + u ( 七一1 ) ) 一计1 ， v = l 其中r r ( s ) ，r c ( s ) ? 呦同引理1 4 中，6 2 b = 1 一 r ( s y 力i s y m i f ，s ) 的完全l - 函数 a ( s y r r ，f s y m f ，s ) = ：l 。( s y r r g f s y m z f ，s ) l ( s y r r g f s y r r g f ，s ) 在复平面上除去可能的简单极点8 = 0 ，1 外处处解析，且满足函数方程 a ( s y m i f s y , c f ，s ) = ( 。卯，x 卅，人( s 衫，s y m i f , 1 一s ) 其中。9 彬，。，= 4 - 1 证明见l a u 与w u 【1 4 】中的命题2 1 口 引理1 6 设j = 2 ，3 ，4 对任意 0 ，0s 盯1 ，有 l ( s y m j f ，盯+ i t ) 肛( 1 + 警( 1 一口) 和， 与 l ( s y m j r s y 一，盯+ t ) ，；( 1 + i c | ) 掣( 1 一力托 证明利用引理1 4 及引理1 5 ，我们可以通过常规讨论得到关键带形万1 盯1 内l ( s y m j f ，仃+ i t ) 与l ( s y m j f s y m j f ，仃+ i t ) 的凸性上界( 见文献【l o 】 第五章) 口 引理1 7 设歹= 2 ，3 ，4 则当t t o 越里t o 充分大，) 时，有 r t 耐，s 棚 _ + 1 川t ) 卜缸丁掣托， 这里是任意小的正数 证明由引理1 5 ，我们注意到l 函数l ( s y m j f s y m j f ，s ) 的阶为( 歹+ 1 ) 2 ， 并且在复平面c 上除去可能的简单极点s = 0 ，i 外处处解析它满足一黎曼( 型的函数方程，因而我们有 l ( s y m f s y m f ，s ) = x ( 8 ) l ( s y m j f s y m j f ，1 一s ) ， 1 1 山东大学博士学位论文 其中x ( s ) 在任意固定的带形区域a o - b 上，满足 i x ( s ) lxh 掣( 1 砌( i t l co ) 由此，我们可以仿照s a n k a r a n a r a y a n a n 1 9 】定理4 1 ( i ) 的证明 f t 卜s y m j ，s y m ，f ：丢+ e + i t ) 卜肛t 掣扣 事实上，在证明过程中只需将文【1 9 】中定理4 1 ( i ) 的两个自由参数y ，m 调整为 y ：m ：c t 鹄l l 口- i ，这里c 是一个适当的正常数 口 一般地，我们有 引理1 8 设( 厂，s ) 是阶为m 2 的d i r i c h l e t 级数，即 w 一= 薹掣2 盟耍( 1 一学) ， 其中o 。f ( p ，歹) ，j = 1 ，m 是l ( f ，s ) 在素数p 处的局部参数，且a ，( n ) 假设此级数及其欧拉乘积当r e ( s ) 1 时绝对收敛设l ( f ，s ) 的阿基米德局部 因子为 垆酊掣r ( 学) ， 其中弘，( 歹) ，歹= 1 ，m 是l ( f ，s ) 在o 。的局部参数z j - z ：全l 一函数a ( ，8 ) 为 a ( f ，s ) = k ( - ，s ) l ( f s ) ： 设a ( f ，s ) 解析延拓到整个复平面c ，并且除去可能的简单极点8 = 0 ，1 外在整 个复平面c 上解析另外，a ( f ，s ) 满足函数方程 a ( f ，8 ) = e ，a ( ，1 一s ) 这里i e t i = 1 ，是，的对偶，满足a ，( n ) = a ，) ，) = ，( 歹) 则当t t o 越里t o 充分大夕时，有 z j 丁i lf ，互1 + e + i t ) 1 2 d t t 号+ 1 2 山东大学博士学位论文 知 证明此引理的证明类似于引理1 7 由函数方程 a ( f ，8 ) = ，人( ，1 8 ) l ( ，s ) = x ( s ) l ( 工1 一s ) ， 其中x ( s ) 在任意固定的带形区域a 口b 上，满足 x ( s ) ix 警( 1 2 4 ( _ o 。) 由此，我们可以仿照s a n k a r a n a r a y a n a n 【1 9 1 4 1 ( i ) 的讨论过程，同时调整两个自 由参数y ，k 为y = m = c t 詈( c 是一个适当的正常数) 即可证明 fl l f ，丢+ e + i t ) 卜伊 口 1 4定理1 1 的证明 当j = 2 ，3 ，4 时，在1 3 中我们定义了厶函数 l i ( s ) = 薹学， ( 1 2 3 ) 这里& ( s ) 1 由引理1 1 及引理1 5 知易( s ) = l ( s y m j f s y m o f ，s ) u j ( s ) 可 以解析延拓至半乎面r e ( s ) 上，且在此半平面内只有一个简单极点s = 1 现在我们开始证明主要结果由( 1 3 ) ，( 1 2 3 ) 及p e r r o n 公式( 见文献f l o 】的 命题5 5 4 ) ，我们得 t t x 粮啦熹e 铷，+ 。( 芋) ， 其中b = 1 + e ，l t z 是待定参数这里我们利用了下列估计 l a ；( n ) l c f 2 ( 仃) 旷 1 3 山东大学博士学位论文 进一步将积分移至直线r e ( s ) = i 1 + 利用c a u c h y 留数定理得 驴踮州，等+ 熹“：+ z = t + 庄_ t 灿 + 。( 芋) 一掣“+ 如+ ，s + 。( 芋) ( 1 2 4 ) 对于j 1 利用引理1 1 可得 ，1z 丢+ 5 + z + s z 吾+ 5 + z 吾+ t t f s y m f f l 8 州， 进而利用c a u c h y - s c h w a r z 不等式及引理1 7 得 t t ) ( 三+ e + i t ) 卜 i c ) 卜c 帆抄“1 妒糌怯嚣k 一盯毗1 棚) 1 4 疹引m a x l ( gl ( s y 一，鲫札互1 + 删)誊( 小) + z 如 z 壶扣+ z ；扣t 掣一吾枉 z 吾+ e t 掣一丢押 ( 1 2 5 ) 对于水平部分上的积分，利用引理1 6 得 如+ 如疋引l ( 一，s 耐加埘) i t 。1 打 i n a xz 9 t i 立譬( 1 一口) + 8 t 一1 l + e a b r = m a x i + s 仃6 m 尘! 庄 ， 2) 4 丁掣_ 1 + 霉+ z 丢+ e t 掣小e ；- + z 虿十5 7 1 。矿一一1 十5 j ( 1 2 6 ) 1 2 1 2 ， ， m m y y 山东大学博士学位论文 由( 1 2 4 ) 一( l 2 6 ) 得 p c 踮( 芋) + 。( 扣5 t 毕书5 ) 2 在( 1 2 7 ) 中取t = z 而得 n z入舻) = q 掣+ d 2 陌+ 6 ) 在上式中分别取j = 2 ，3 ，4 可得 n 荟1 上，且在此半平面内l 6 ( s ) 仅有个阶为3 的 极点8 = 1 由( 1 2 8 ) 及p e r r o n 公式可得 驴硼= 杀e 碳s ，弘p ( 芋) ， 1 5 山东大学博士学位论文 其中b = 1 + ，1 t z 为待定参数这里我们用到了( 1 3 ) 接下来我们把积分移至直线r e ( s ) = + 利用c a u c h y 留数定理，我们得 一硝叫s ，等+ 熹 丘= + 仨t + 庄一t 卜，等如 + 。( 芋) 踟哪- + 如+ ，s + 。( 芋) ， ( 1 2 9 ) 其中p 2 ( t ) 表示关于变量t 的2 次多项式 为方便起见，我们记 l 0 2 ( s ) = l o l ( s ) = ( ( s ) l 2 ( s y m 2 f ，s ) l 2 ( s y m 4 f ，s ) ， l 2 ( s y m 2 f s y m 4 f ，s ) l ( s y m 2 厂s y m 2 f ，s ) l ( s y m 4 f s y m 4 f ，s ) 注意到l o ( s ) = l o l ( s ) l 0 2 ( s ) 是阶为8 1 的黎曼( 型l 函数 对于，1 ，由引理1 3 得 j t z 吉+ 5 tl l 。( 三+ e + t t ) ( 三+ e + i t ) l t - l d t + x 吾+ e 进一步利用c a u c h y - s c h w a r z 不等式得 如崦丁署笋 去噼廿州t ) 丢 ( 譬m 扣棚) z 托t - 7 + e 这里我们运用了如下形式的引理1 8 + z 托 层妒( s y m 2 f , s 妒( s y m 4 加) ) i 码卅小丁和， ( 1 3 0 ) 譬陋s y 以x s y m 4 加) l ( s y m 2 ，耐小) l ( s y m 2 ，驴2 加) ) i 磅卜