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算子代数上的可导映射 杜炜 摘要算子代数理论产生于2 0 世纪3 0 年代，是- - n 比较年轻的学科他与 量子力学，非交换几何，线性系统，控制理论，数论以及其他一些重要数学分支 都有着广泛的联系和互相渗透伴随着它在其他学科的应用，这一理论有了很大 发展，已经成为现代数学中一个另人关注的分支非自伴算子代数是算子代数中 一个重要的研究领域，而套代数是一类最重要的非自伴算子代数近年来国内外 很多学者专家都对该代数上的映射进行了深入的研究，发现了很多新颖的证明方 法和技巧，并不断的提出新思路，线性保持问题及导子都是被研究的对象本文 主要对套代数上的可导映射以及近似可导映射，矩阵代数上的拟三重j o r d a n 可 导映射，召) 上的拟三重j o r d a n 可导映射的可加性，套代数上的r - j o r d a n 可 导映射的自动可加性进行了讨论本文分四章，具体内容如下， 第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号，定义以及后面要用到的一些定 理等内容具体介绍了套代数，y o nn e u m a n n 代数等概念，并给出了本文所需的 几个结论 第二章主要对套代数上的可导映射的自动可加性进行了研究证明了套代数 上的每一个可导映射都是自动可加的并且对作用在无限维h i l b e r t 空间上的套 代数上的近似可导映射进行了刻画，证明了它是一个内导子 第三章主要对矩阵代数上的拟三重j o r d a n 可导映射进行了刻画证明了作 用在一个包含单位元的可交换的2 - 无挠环上的矩阵代数上的拟三重j o r d a n 可导 映射是一个内导子与如的和( 这里月，是a 在妒下逐点作用的像) 并且对作用 在无限维h i l b e r t 空间上的有界线性算子的全体上的拟三重j o r d a n 可导映射进行 了刻画，证明了它是一个内导子 第四章主要对套代数上的r - j o r d a n 可导映射的自动可加性进行了讨论首先 证明了作用在h i l b e r t 空间上的召( 咒) 上的r - j o r d a n 可导映射是一个可加导子。 并且当h i l b e r t 空间是无限维时，它是一个内导子；最后在 o ) ，爿) 的情况 下得到了相同的结论 关键词：可导映射；近似可导映射；内导子；拟三重j o r d a n 可导映射； r - j o r d a n 可导映射；可加性；套代数；矩阵代数；v o nn e u m a a n 代数 s o m ed e r i v a b l em a p so no p e r a t o ra l g e b r a s d uw d a b s t r a c tt l l es t u d yo fo p e r a t o ra l g e b r at h e o r yb e g a ni n3 0 t i m e sy e a r so f 2 0c e n t u r y t h o u g hc o m p a r yw i t hs o m eo t h e rt h e o r yi t i sr e l a t i v e l yn e w ，b u ti t h a su n e x p e c t e da p p l i c a t i o ni ns o m em a t h e m a t i c st h e o r ya n do t h e rs u b j e c t s ，s u c h a sq u a n t u mm e c h a n i c s ，n o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r y , l i n e a rs y s t e m ，c o n t r a lt h e o r y , n u m b e rt h e o r ya n ds o m eo t h e ri m p o r t a n tb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s a c c o m p a n y w i t hi t su s i n gi no t h e rs u b j e c t s t h i st h e o r yd e v e l o p e dal o t n o wi th a sb o c o m ea h o tb r a n c hi nm o r d a nm a t h e m a t i c s 7 n l ec l a s so fn o n - s e l f a d j o i n to p e r a t o ra l g e b r a s i sa ni m p o r t a n td o m a i ni no p e r a t o ra l g e b r a sr e a s e r c h i n g a n dn e s ta l g e b r ai st h e m o s ti m p o r t a n tk i n di nn o n - s e l f a d j o i n to p e r a t o ra l g e b r a s i nr e c e n ty e a t s ，m a n y s c h o l a r sb o t hh e r ea n da b r o a dh a v ef o c u s e do nt h e mal o t t h e yh a v ed o n em a n y w o r k s ，n o to n l yr a i s i n gm a n yn e wt h i n k i n g s ，b u ta l s oi n t r o d u c i n gm a n ya d v a n c e d m e t h o d s i nt h i sp a p e rw ep a yo u ra t t e n t i o no ns o m em a p so nn e s ta l g e b r a sa n dy o n n e u m a n na l g e b r a s s u c ha st h ed e r i v a b l em a p sa n da p p r o x i m a t e l yd e r i v a b l em a p s o fn e s ta l g e b r a s ；j o r d a ns e m i - t r i p l ed e r i v a b l em a p so fm a t r i xa l g e b r a sa n d 日( 何) ； t h e a d d i t i v i t yo fr - j o r d a nd e r i v a b l em a p s o fn e s ta l g e b r a s t h i sp a p e rc o n t a i n sf o u r c h a p t e r s 7 n l em a i nr e s u l t sa sf o l l o w i n g ： c h a p t e r1m a i n l yi n t r o d u c e ss o m en o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n sa n ds o m ew e l l - k n o w n t h e o r e m sw ew i l lu s e di nt h i sp a p e r f i r s t l y , w eg i v es o m et e c h n o l o g i e sa n dn o t a t i o n s ， a n di n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fn e s ta l g e b r a ，v o nn e u m a n na l g e b r a ，m a t r i xa l g e b r a s u b s e q u e n t l yw eg i v es o m ew e l l - k n o w nt h e o r e m s i nc h a p t e r2w ef i r s td i s c u s st h ea d d i t i v i t yo fd e r i v a b l em a p so fn e s ta l g e b r a s ； w ep r o v et h a te v e r yd e r i v a b l em a p so fn e s ta l g e b r a si sa u t o m a t i ca d d i t i v e a n d t h e np r o v et h a te v e r ya p p r o x i m a t e l yd e r i v a b l em a p so fn e s ta l g e b r a sa c t i n go na n i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c ei si n n e r i nc h a p t e r3w ef i r s tc h a r a c t e r i z et h ej o r d a ns e m i - t r i p l ed e r i v a b l em a p so fm a - t r i xa l g e b r a s w p r o v et h a tt h ej o r d a ns e m i - t r i p l ed e r i v a b l em a p so ft h ea l g e b r a o fa l lnxnm a t r i c e so v e ra2 - t o r s i o nf r e ec o m m u t a t i v er i n gw i t hu n i t yi st h es u m o fa ni n n e rd e r i v a t i o na n da 妒，w h e r e 如i st h ei m a g eo fau n d e r 妒印p l i e de n - t r y w i s ea n d i sa na d d i t i v ed e r i v a t i o no v e r 冗a n dt h e nc h a r a c t e r i z et h ej o r d a n s e m i t r i p l ed e r i v a b l em a p so nt h es e to fa l ll i n e a rb o u n d e do p e r a t o r sa c t i n g no na n i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c e t h e np r o v et h a ti t i sa d d i t i v ea n ds oi sa ni n n e r d e r i v a t i o n i i i i nc h a p t e r4w ed i s c u s st h ea d d i t i v i t yo fr - j o r d a nd e r i v a b l em a p so fn e s ta l - g e b r a s ；、 kf i r s tp r o v et h a te v e r yr - j o r d a nd e r i v a b l em a p so nb ( n 1i sa na d d i t i v e d e r i v a t i o n a n di f 咒i sa ni n f i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c e i ti sa j li n n e rd e r i v a - t i o n ；f i n a l l yw eg e tt h e8 a n l er e s u l t sw h e nt h en e s ti sn o n t r i v i a l k e y w o r d s ：d e r i v a b l em a p ；a p p r o x i m a t e l yd e r i v a b l em a p ；i n n e rd e r i v a t i o n ； s e m i - t r i p l ej o r d a nd e r i v a b l em a p ；a d d i t i v i t y ；r - j o r d a nd e r i v a b l em a p ；n e s ta l g e b r a ； v o nn e u m a n na l g e b r a ；m a t f i xa l g e b r a i v 主要符号表 复数域 实数域 h i l b e r t 空间 咒的维数 h 上有界线性算子的全体 “中的套 与有关的套代数 包含单位元的可交换的2 - 无扰环 作用在冗上的n 几阶矩阵 作用在r ( 厂) 上的2x2 阶上三角矩阵代数 4 1 ：咣哪：帅：积： q配m即肌州般吲珏 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确 说明并表示谢意 作者签名：埠日期：j 业洲r ) 丑 学位论文使用授权声明 本人同意在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大学本人保 证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师范大学学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其他指定机构送交论文的电子版和纸质版； 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料 室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版 作者签名： 担蝗日期：卫生2 ；6i l 硐 前言 算子代数是泛函分析中的一个极其重要的研究领域，自2 0 世纪3 0 年代f j m u r r a y 和j v o nn e u m 锄创立了算子代数理论以来，已得到了迅速发展它的 研究不仅具有十分重要的理论价值，同时具有广泛的应用前景现在这一理论已 成为现代数学中的一个热门分支，它与量子力学，非交换几何，线性系统和控制 理论，甚至数论都有着相互的联系和渗透其中非自伴算子代数是算子代数的一 个重要分支，其目的是研究自伴算子代数( v o nn e u m a l l n 代数和驴一代数) 中非 自伴算子代数的结构和性质人们对非自伴代数的研究始于r v k a d i s o n 和i m s i n g e r 【1 于1 9 6 1 年发表的。n i a n g l l l a ro p e r a t o ra l g e b r 蠲。和j r 彤n g r 0 8 e 于1 9 6 5 ，1 9 6 6 年发表的。o ns o m eo p e r a t o r so f a l g e b r 髂i ，i i 。相对于自伴算子 代数，非自伴算子代数更年轻，数学现象更丰富，方法也更多样，因此吸引了一 大批数学家投身其中k r d i v 磷o n 【4 】的专著。n e s ta l g e b r 嬲。( 1 9 8 8 年) 系 统的总结了前2 0 年的研究成果，提出了许多新的问题，极大的推动了套代数，进 而也推动了非自伴算子代数的研究套代数就是一类最重要的非自伴算子代数， 它的有限维模型就是上三角矩阵块代数，而无限维则要复杂的多 导子是算子代数上一类重要的变换近几十年来，关于寻找使一个映射成为 导子或内导子的条件的研究引起了许多数学家的注意，许多非常深刻的结论不断 涌现，常常出现多篇文章从不同角度研究同一个问题的情况，而且许多有趣的问 题还没有完全得到解决，就又有学者提出了新的研究课题可导映射的研究始于 d a i fm o h a i i l a dn a g y 在1 9 9 1 年发表的文章。w h e ni sam u l t i p l i c a t i v ed e r i 北i o n a d d i t i v e ? ”，他对包含幂等元并满足一定条件的环上的可导映射的可加性进行了 研究文【6 】对c ( z ) 上的可导映射进行了刻画很显然，可导映射不一定是可加 导子，更不一定是导子，就更别提是内导子了p s e i i l r l 在文献【7 】中引入了近 似可导映射的概念，并且对作用在无限维b 锄a c h 空间上的标准算子代数上的近 似可导映射进行了刻画，证明了它是一个内导子因此本文在第二章中着重对套 代数上的可导映射以及近似可导映射进行了研究，证明了套代数上的每一个可导 映射都是自动可加的；并且对作用在无限维h n b e r t 空间上的套代数上的近似可 导映射进行了研究，证明了它是一个内导子 环或代数上可乘与可加结构关系的研究是一个有趣的问题，历来备受关注 w s m a r t i n d a l e 在文【8 】中提出了：。可乘映射什么时候可加? 。并且他在该篇 文章中证明了满足某些条件并包含一族幂等元的环上的可乘同构是可加的同时 矩阵或算子代数上拟三重j o r d 锄映射结构的研究也引起了人们极大的关注文 9 1 证明了作用在无限维b a n a c h 空间上的标准算子代数之间的满的拟三重j o r d 粕 映射是线性或共轭线性并且是连续的，并在矩阵代数坛( c ) 2 ) 上给出了这 1 类满映射的形式l u 【l o l 给出了一个纯代数的证明文f 1 1 】在二无挠素环上得 到了一个更广泛的结论最近，文【1 2 】对域f 上的矩阵代数尬。( f ) 2 ) 上的 单的拟三重j o r d a l l 映射的形式进行了刻画其他相关的研究可参考文【1 3 - 1 6 】因 此在本文的第三章我们考虑了拟三重j o r d a n 可导映射，首先对矩阵代数 厶( 7 劲 2 ) 上的拟三重j o r d 龇l 可导映射进行了刻画并且对作用在无限维h i l b e r t 空间上的有界线性算子的全体上的拟三重j o r d a n 可导映射进行了刻画，证明了 它是一个内导子 算子代数里j o r d a n 积与可加性之间紧密相连矩阵或算子代数上j o r d a i l 映 射的可加性引起了人们很大的关注文【1 7 】证明了没有可交换直和的a w 一代 数上的连续的j o r d a n 一映射的可加性文【1 8 1 中m 0 l n 缸证明了；若冗和彩 是标准算子代数，则从冗到影的满的 j o r d a n 映射是可加的l i n g 【1 9 】证明 了从作用在h i l b e r t 空间上的标准的套子代数到任意代数的满的r j o r d a n 映射是 可加的其它相关的内容可参考【2 0 - 2 2 | 因此在本文第四章我们主要讨论了套代 数上的r - j o r d 蛐可导映射的可加性证明了套代数上的r j o r d a n 可导映射是自 动可加的，于是由已知结论可知它是一个可加导子若h n b e r t 空间是无限维的， 证明了它是一个内导子 本文有关v o nn e 岫a n n 代数的知识可参阅【2 3 2 4 】，有关套代数理论的知识参 阅【4 】其它相关的内容请参阅【2 5 - 2 6 】 2 第一章预备知识 1 1 引言 本章主要介绍了文章中用到的一些符号，定义以及证明过程中要用到的一些 重要定理第二节主要给出了一些定义；第三节给出了几个重要定理 下面介绍文章中用到的主要符号设h 是复可分的h i l b e r t 空间，舀( 爿) 表 示爿上的全体有界线性算子之集m 。( 冗) 表示作用在环冗上的n n 阶矩阵， d i m h 表示咒的维数下面我们给出套、套代数以及v o nn e u m a n n 代数的定义 一个套 厂就是包含 0 l 和h 且强算子拓扑闭的闭子空间的全序集相应于 套 厂的套代数记为丁( 厂) ，并定义为7 - ( 厂) = t 8 ( 咒) ：t c ，v ) 如 果 厂= o ) ，爿 ，则相应的套代数就是召( 咒) 由于咒中的每一个闭子空间都有唯一的b ( 爿) 中的一个正交投影与之对应， 所以我们将不区分爿中的闭子空间与到这个闭子空间上的正交投影 v o nn e u m a n n 代数一4 是舀( h ) 中的强算子拓扑闭的+ 一子代数由二次换位 定理可知，+ 一子代数a 是v o n n e u m 粕n 代数等价于4 = 4 ， 1 2 基本概念 定义1 2 1 【2 7 】设一4 是一个代数，是4 一双边模，6 ：一4 一是一个线性映 射 ( 1 ) 若对任意a ，b 一4 ，有6 ( a b ) = 6 ( a ) b + a 6 ( b ) ，则称6 是代数4 上的 一个导子； ( 2 ) 着存在t 使得对任意的a 4 有6 ( a ) = a r t a ，则称6 是代数 4 上的一个内导子； 定义1 2 2 【 设4 是一个b a i l 础代数，圣：4 4 是一个映射 ( 1 ) 若对任意o ，6 a 有圣似+ 6 ) = 圣( o ) + 圣( 6 ) ，则称圣是可加的； ( 2 ) 若对任意n ，b 一4 ，有圣( 曲) = 西( n ) 6 + o 圣( 6 ) ，则称圣是4 上的可导映射 或可乘导子；我们称可加的可导映射为可加导子； ( 3 ) 设妒：r + 一r + 为满足l i i n t 。+ 。华= o 的映射，若对任意n ，6 a 有 圣( n b ) 一垂( n ) 6 一n 垂( 6 ) l l 妒( | | n 洲6 1 1 ) ， 则称圣是a 上的近似可导映射或近似可乘导子 定义1 2 3 1 12 i 设一4 是一个环或代数，中：一4 一一4 为映射若对任意n ，6 一4 ， 有圣( o k ) = 西( o ) 垂( 6 ) 圣( n ) ，则称m 是拟三重j o r d a l l 映射 3 定义1 2 4 【17 j 设一4 是一个环或代数，西：a 一一4 是一个映射，r 是一个有理 数若对任意，6 一4 ，有圣( r ( n 6 + 施) ) = r ( 圣( o ) 圣( 6 ) + 中( 6 ) 圣( n ) ) ，我们称圣是一 个卜j o r d a n 映射 定义1 2 5 l 设a 是一个代数，是a 一双边模，6 ：a 一是一个线性 映射若对任意a 一4 ，有6 ( a 2 ) = 6 ( a ) a + a 6 ( a ) ，则称6 是代数4 上的一个 j o r d 蛐导子 定义1 2 6 嘲设川是咖n e u m a n n 代数，如果m 的中心z ( 朋) = c j ，则 称川是因子的，其中c 代表复数域，j 是m 中的恒等算子 定义1 2 7 嘲设c 是h 曲e r t 空间，t 的一族闭子空间称c 是子空间格，如 果 ( 1 ) o ) ，咒c ； ( 2 ) 对c 的任意一族闭子空间 厶c ：i a ) ，总有v a 厶， a 厶c ，其 中v 表示子空间的闭线性张， 表示子空间的交 定义1 2 8 【2 5 1 设c 是h i l b e r t 空间，t 上的子空间格且p c 称p 是c 的 可比较元，如果对任意的q c ，都有p q 或者p q ，其中p 曼q 表示 p q = q p = p 注1 2 9 显然 0 和咒是子空间格的两个平凡的可比较元，本文中所说的 可比较元都是指非平凡的，那么套中的每一个非平凡元都是可比较元经简单证 明可知；p 是子空间格c 中的可比较元的充要条件是p 8 ( 咒) ( j p ) ca 培 定义1 2 1 0 l 矧设4 是咖n e u m a n n 代数，e 和f 是一4 中的两个投影如 果存在一4 中的一个元素u 使得u 扩= e 且u = f 则称e 和f 相对于4 是 等价的，并记为e f 如果存在a 中的一个投影y ，使得y e 且被f 控制( 矿e 即y f = f y = y ) ，则记为e f 等价的， e f 兮j u 一4 ，使得u + u ；e 且u u + f 1 3 预备定理 命题1 3 ，1 设m 是一个v o nn e l l m a i l n 代数，p ( 朋) 表示m 中所有投影 构成的集合则川是由p ( m ) 生成的v o nn e 啪a n n 代数 命题1 3 2 【2 3 】设m 是一个因子v o nn e u m a i l n 代数，如果对任意o ，6 川，有 n m 6 = 0 ，则n = o 或6 = 0 命题1 3 3 设是作用在无限维h i l b e r t 空间上咒的套，则每一个从7 - 0 厂) 到8 ( 爿) 的可加导子都是一个内导子 命题1 3 4 设一4 是一个特征不为2 ( 或禾无扰) 的素环，则一4 上的每一个 j o r d a n 导子都是导子 4 第二章套代数上的可导映射 2 1 引言 导子是算子代数上一类重要的变换，没有线性假设的导子我们称为可导映 射或可乘导子( 见文【7 】) 它的研究始于d a i fm o h a m a dn a 斟在1 9 9 1 年发表的 文章。w h e ni sai 肌l t i p l i c a t i v ed e r i v a t i o na d d i t i v e ? ”，他对包含幂等元并满足一 定条件的环上的可导映射的可加性进行了研究很显然，可导映射不一定是可加 导子，更不一定是导子，就更别提是内导子了诸如此类的研究很多文 6 】对 c ( z ) 上的可导映射进行了刻画文【7 】对作用在无限维b a n a c h 空间上的标准算 子代数上的近似可导映射进行了刻画，证明了它是一个内导子以下总假设 厂是 h i l b e r t 空间爿上的一个非平凡套，7 - ( 厂) 是套代数( 见【4 】) 本文将考虑套代数 上的可导映射与近似可导映射，并得到了类似的结论 2 2 套代数上的可导映射 在本节中我们对作用在h i l b e r t 空间上的套代数上的可导映射的可加性进行 了研究，得到了下面的结果； 定理2 2 1 设圣：f 一r ( 厂) 是一个可导映射，则圣是可加的 在定理证明之前，先给出一些记号以及证明过程中要用到的一些引理 设只是一个非平凡投影，j 是爿上的恒等算子且恳= ，一只为了方 便，我们记= 只7 _ ( 人厂) 易( 1 l j 2 ) 则下( 厂) = 丁1 lo n 2o 饧由映射圣 的定义可知垂( ，) = 圣( 0 ) = o 且对任意a 丁( ) ，有 垂( a 2 ) = 西( a ) a + a 垂( a ) ( 1 ) 由e q ( 1 ) ，则圣( 只) = 圣( 尸1 ) 只+ 只圣( 只) 于是p l 圣( 只) 只= 恳圣( 只) 岛= o 从而 圣( 只) = 只圣( b ) 易= 只s s 只， 这里s = 只圣( 只) b 同理可得垂( 尼) = 只m ( 岛) 局= b s s 马由o = 中( 只恳) = 圣( 只) 易+ 只圣( 恳) 可知中( 只) + 垂( 恳) = o 对任意a 1 - 厂) ，我们定义 皿( a ) = 圣( a ) 一( a s s a ) 容易验证皿：r ( 厂) 一下c 厂) 也是一个可导映射且m ( 只) = o0 = 1 ，2 ) 引理2 2 2 f 13 】设a 7 1 1 且b 仡2 ( a ) 如果对任意x n 2 ，有a y = o ，则a = o ； ( b ) 如果对任意x n 2 ，有x b = 0 ，则b = 0 5 引理2 2 3 对任意a ，功且l j 2 ，有皿( a ，) = 只皿( 如) 弓 证明由于皿( 只) = o o = 1 ，2 ) ，则皿( a ) = 圣( 只a 只) = 只量( a ) 只又 只皿( a 1 2 ) 只= 雪( 只a 1 2 只) = o ， 于是皿( a 1 2 ) = p l 皿( a 1 2 ) p 1 + 片皿1 2 ) 恳+ 岛皿( a 1 2 ) 恳= 只m ( a 1 2 ) b 证毕 引理2 2 4 对任意a 巧且1 is 歹2 ，我们有 ( a ) 雪( a 1 1 + a 1 2 ) = 皿( a 1 1 ) + 皿( a 1 2 ) ； ( b ) m ( a 1 2 + a 2 2 ) = m ( a 1 2 ) + 皿( a 2 2 ) ； ( c ) 皿( a 1 l + a 2 2 ) = 皿( a 1 1 ) + 皿( a 2 2 ) 证明由皿( 只) = o ( 1 = 1 ，2 ) ，则有 且 皿( a 1 1 + a 1 2 ) 只= 皿【( a 1 1 + a 1 2 ) 只】= 皿( a 1 1 ) 皿( a 1 1 + a 1 2 ) 忍= 皿【( a 1 1 + a 1 2 ) 马】= 雪( a 1 2 ) ( 2 ) ( 3 ) 由e q s ( 2 - 3 ) ，从而皿1 l + a 1 2 ) = 皿1 1 ) + 皿( a 1 2 ) 类似地，我们可证( b ) 和( c ) 也成立证毕 引理2 2 5 对任意a 巧，b f 勺且l i j 2 ，我们有 ( 8 ) 霍( a 1 2 + 历2 ) = 皿( a 1 2 ) + 雪( 岛2 ) ； ( b ) 霍( a 1 l + b 1 1 ) = 皿( a 1 1 ) 十圣( a 1 1 ) ； ( c ) 霍( a 2 2 + 2 秘) = 皿( a 2 2 ) + 皿( b 2 2 ) 证明( a ) 由于a 1 2 + 历2 = ( a 1 2 + b ) ( 易+ b ，2 ) 且中) = o “= 1 ，2 ) ，从而 由引理2 2 3 和引理2 2 4 可得 皿( a 1 2 + b 1 2 ) = 皿【( a 1 2 + p 1 ) ( 易+ b 1 2 ) 】 = m ( a 1 2 + p 1 ) ( b + 蜀2 ) + ( a 1 2 + 只) 皿( 岛+ b 1 2 ) = 皿( a 1 2 ) ( 岛+ b 1 2 ) + ( a 1 2 + 日) 皿( b 1 2 ) = 皿( a 1 2 ) + m ( b 1 2 ) ( b ) 由引理2 2 3 知，皿( a 1 l + 口1 1 ) 一皿( a 1 1 ) 一皿( b 1 1 ) 丁1 1 设( 五2 7 1 2 ，则 由( a ) 可得 皿( a l l + b 1 1 ) a 2 + ( a 1 1 + 垦1 ) 霍( a 2 ) = 皿【( a 1 l + b 1 1 ) g 2 】= m ( a 1 1 g 2 + b 1 l a 2 ) = 皿( a 1 l c l 2 ) 十皿( b 1 1 c 1 2 ) = 皿( a 1 1 ) a 2 + a 1 1 ( g 2 ) + 皿( 历1 ) a 2 + 玩l m ( a 2 ) 6 于是对任意的a 2 n 2 ，有 【皿( a 1 1 + b 1 1 ) 一m ( a 1 1 ) 一皿( b 1 1 ) 】a 2 = o 从而由引理2 2 2 ( a ) 得皿( a 1 1 + b 1 1 ) = 皿( a 1 1 ) + 皿( b - 1 ) 类似地，我们可证( c ) 也 成立证毕 引理2 2 6 对任意a ，勺且1 i j 2 ，有 量( a 1 1 + a 1 2 + a 2 2 ) = 雪( a 1 1 ) + 皿( a 1 2 ) + 皿( a 2 2 ) 证明由于皿( p 1 ) = o “= 1 ，2 ) ，则 p l 皿( a 1 1 + a 1 2 + a 2 2 ) = m 【尸1 ( a 1 1 + a 1 2 + a 2 2 ) 】= 皿( a 1 1 + a 1 2 ) 从而由引理2 2 4 ，( a ) 得 只m ( a 1 1 + a 1 2 + a 2 2 ) = 皿( a 1 1 ) + 皿( a 1 2 ) 另一方面，对任意的a 2 下1 2 ，由引理2 2 3 我们有 ( 4 ) 雪( a 2 ) a 2 2 + a 2 皿( a 2 2 ) =皿( a 2 a 2 2 ) = 皿f a 2 ( a 1 1 + a 1 2 + a 2 2 ) 】 = 皿( a 2 ) ( a 1 1 + a 1 2 + a 2 2 ) + g 2 m ( a 1 l + a 1 2 + a 2 2 ) = 皿( a 2 ) a 2 2 + c i 2 田( a l l + a t 2 + a 2 2 ) 则a 2 睁( a 1 1 + a 1 2 + a 2 2 ) 一皿( a 2 2 ) 】= o 于是由引理2 2 2 ( b ) 和引理2 2 3 可得 恳皿( a 1 1 + a 1 2 + a 2 2 ) p 2 = 皿( a 2 2 ) ( 5 ) 由e q ；( 4 - 5 ) ，从而皿( a 1 1 + a 1 2 + a 2 2 ) = 皿( a 1 1 ) + m ( a 1 2 ) + 皿( a 2 2 ) 证毕 定理2 2 1 的证明设a ，b f ( 厂) ，则a = a 1 1 + a 1 2 + 如且b = 马1 + b 1 2 + 助，这里a 玎，嘞勺从而由引理2 2 3 - 2 2 6 ，我们有 雪( a + b ) = 霍( a 1 1 + 局1 + 4 1 2 + b 1 2 + a 2 2 + b 2 2 ) = 皿( a 1 1 + b 1 1 ) + 皿( a 1 2 + 局2 ) + 皿( a 2 2 + b 2 2 ) = 霍( a 1 1 ) + 皿( b 1 1 ) + 皿( a 1 2 ) + 皿( 日1 2 ) + 皿( a 2 2 ) + 皿( 上五2 ) = m ( a ) + 中( b ) 这说明皿是可加映射由皿的定义，因此圣是可加的证毕 2 3 套代数上的近似可导映射 7 p s e m r l 在文献f 7 】中对作用在无限维b a n a c h 空间上的标准算子代数上的近 似可导映射进行了刻画，证明了它是一个内导子本节我们考虑了作用在无限维 h i l b e r t 空间上的套代数上的近似可导映射，得到了下面的结论 定理2 3 1 设咒是一个无限维h i l b e r t 空间，圣：r 厂) 一下0 们是一个近似 可导映射则存在算子t 下使得对任意a 1 ( 厂) ，有圣( a ) = a t t a 证明设乃为作用在下( 厂) 上的2 2 阶上三角矩阵代数我们定义映射 皿：r ( _ 乃为 ( a ) = fa 圣( a ) 1 o a 显然，对任意a ，b 7 厂) ，有 “皿c a b ，一m c a ，皿c b ) = l l ( ：圣( a b 一西吾b a 西( b ) 妒( 1 i a 洲b 忱 于是对任意e 7 - ( ，有 0 【西( a b ) 一圣( a ) b a 西( b ) 】c 0 = j i ( ：垂a b 一圣之b a 垂b m c ) l i = i i 【皿( a b ) 一皿( a ) 皿( 口) 】皿( c ) 0 i i 皿( a b ) 雪( c ) 一皿( a ) 田( b c ) l | + i i m ( a ) m ( b c ) 一皿( a ) 雪( b ) 皿( c ) i i sj | ( a b ) m ( g ) 一皿( a b c ) 0 + i i 皿( a b c ) 一皿( a ) 皿( b e ) + l i 皿( a ) 皿( b e ) 一皿( b ) m ( c ) i i 妒( i i a b 洲gj 1 ) + 妒( 1 i a l b c 0 ) + 0 零( a ) l l 妒( i l b 洲c l i ) 在上面不等式中，用t e 代替c ( t r + ) 再两边同时除以t 得 叭圣( a b ) 一圣( a ) b a 西( b ) 】c i i 2 ) 上给出了这类满映射的形 式文【1 0 】在禾无挠素环上得到了一个更广泛的结论最近，文【1 2 】对域f 上的 矩阵代数尬。( f ) 2 ) 上的单的拟三重j o r d a n 映射的形式进行了刻画本章， 我们将考虑包含单位元的可交换的2 无挠环上的矩阵代数以及b ( 爿) 上的拟三 重j o r d 锄可导映射 下面我们先给出拟三重j o r d a n 可导映射的定义设4 是一个环或代数， 垂：一4 4 是一个映射若对任意n ，6 a ，有 西( 0 6 n ) = 圣( n ) 6 0 + o 圣( 6 ) o + 曲圣( o ) ， 则称圣是拟三重j o r d 锄可导映射 3 2 矩阵代数上的拟三重j o r d a i l 可导映射 本节我们考虑了作用在包含单位元的可交换的玉无挠环冗上的矩阵代数 ( 冗) ( 扎2 ) 上的拟三重j o r d 彻可导映射，得到了下面的结论： 定理3 2 1 设冗是一个包含单位元的可交换的2 无挠环且n 2 映射 圣：尬。( 冗) 一 死( 冗) 是一个拟三重j o r d a n 可导映射的充要条件是存在一个 丁m 。( 冗) 和冗上的一个可加导子妒使得 垂( a ) = a 丁一r a 十a 妒，a 螈( 7 已) 这里屯是a 在妒下逐点作用的像 证明定理之前，我们先给出映射圣的一些简单性质 引理3 2 2 设垂： 厶( 冗) 一 靠( 冗) 是一个拟三重j o r d a n 可导映射则 ( a ) m ( 厶) = 圣( 0 ) = o ； ( b ) 对任意a 厶( 冗) ，有垂( a 2 ) = a 西( a ) + 圣( a ) a 引理3 2 3 设垂：尬( 冗) 一 如( 冗) 是一个拟三重j o r d a i l 可导映射则存在 一个t 尬( 冗) 和冗上的一个可加导子妒使得对任意a ( 冗) ，有 圣( a ) = a t r a + a 。 9 证明令壬c 墨，= ( ：) ，啦冗由引理3 2 z c b ，可知 0 3 铂， 圣( e 1 1 ) = 圣( 易1 ) 毋1 + e 1 1 圣( 晶1 ) 这说明。，= n 4 = 。所以圣c 局- ，= ( 三言) 设圣c 日。，= ( 乏乏) ，坟冗由引理s 。z 得 垂( 历2 ) 局2 + 局2 圣( 日2 ) = 西( e 乞) = o 这说明如= 。且h + 毗啪：，= ( ：三) 删= ( 三二，) 删耻( 芝吉) c 3 一o l 如0 ， 这里c l ，c 3 ，d 2 ，d 3 冗在等式 圣( a b a ) = 圣( a ) b a + a 圣( b ) a + a b 圣( a ) ， 取a = 毋l 和b = 易2 ，易1 ，我们可以得到 口3 + 6 1 = o 且0 2 + c 1 = o 在e q ( 6 ) 中取a = 蜀2 和b = 易1 ，易2 ，我们有 6 2 + c 3 = o 且6 1 一d 3 = o 在e q ( 6 ) 中取a = 易1 和b = 正汤，可以得到c l 一如= o 因此， 垂c 局，= ( 三言) ，圣c 最z ，= ( i 3 ：) 和 圣c 易，= ( 二乏三) ，西c 易：，= ( 二。i 2 ) 1 0 令t = ( 三。乏) 容易验证 圣( 嘞) = 丁一t ，i ，j = 1 ，2 对任意a m 2 【冗) ，定义皿【a ) = 西( a ) 一( a t t 舢于是对任意i ，j = 1 ，2 ，有 皿( ) = o 且 皿( a b a ) = 霍( a ) b a + a 皿( b ) a + a b m ( a ) ，a ，b 如( 冗) 设a = ( ) l 如( 冗) 和b = 皿( a ) = ( 幻) 那么 毋l = 易t b 易i = 皿( 易t a 易i ) = m ( 易f ) 这说明m ( a ) 第i 行第j 列位置上的元素只与a 的第l 行第j 列位置上的元素有 关因此，我们记 皿c ( ：玲= ( 篡：) ) 这里妒巧是冗上的一些映射进一步，由m ( 最，) = o 可知对任意l ，j = 1 ，2 ，有 蚋，= 删所以皿c ( ：) ，一。且对任意。氓我们有 ( 然暑) = ( ：) ( 忱燃) ( ：) = ( ：小( ：州：) 叫( ：