（基础数学专业论文）关于两类矩阵半群.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 矩阵半群理论是矩阵理论的重要分支之一，许多专家学者对其进行了深入的系统 研究本文主要研究了( 0 ，o 。) 一矩阵半群和有限链耳上的矩阵半群 第一章，我们对矩阵理论的研究背景、现状以及半群半环的基础知识作了简要的 介绍第二章，首先给出了岛上的向量，矩阵和秩的一些基本命题；其次利用空间 和秩的概念给出了( 0 ，o 。) 二矩阵半群上的格林关系的新刻划，并研究了( 0 ，o 。) 一矩 阵半群的幂等元和正则元第三章，讨论了有限链k 上的矩阵半群的格林关系；并利 用a n c h o r e d ，s t a b l e ，s t a b i l i t i o n 对其的幂等元进行了刻划，推广了文【9 】中的一些结 果，从而，就可将f u z z y 矩阵中某些问题的研究转换为有限链耳上矩阵中相应问题 的研究 关键词：矩阵；秩；g r e e n - 关系；幂等元 量! ! 查兰堡兰堡垒圭 a b s t r a c t t h et h e o r yo fm a t r i xs e m i g r o u p si sav e r yi m p o r t a n tb r a n c ho ft h em a t r i xt h e o r y m a n ye x p e r t sa n ds c h o l a r st h o r o u g ha n ds y s t e m a t i c a l l yi n v e s t i g a t ei t i nt h i sp a p e r ， w em a i n l ys t u d y ( 0 ，o o ) - m a t r i xs e m i g r o u pa n dt h es e m i g r o u po fm a t r i c e so v e rt h e f i n i t ec h a i n 置 i nc h a p t e r1 ，w es i i n p l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dt h ep r e s e n ts t a t eo ft h e m a t r i xt h e o r y ；f o rt h es a k eo fc o n v e n i e n c e ，w ei n t r o d u c es o m ef u n d a m e n t a lk n o w l e d g e a b o u ts e m i f o u p sa n ds e m i t i n 管s i nc h a p t e r2 ，f i r s t l y , w eg i _ 、es o m ef u n d a m e n t a lp r o p o - s i t i o n sa b o u tv e c t o r ，m a t r i xa n dr a n ko v e r 岛；s e c o n d l y , w eg i wm a n yc h a r a c t e r i z a t i o n s o f g r e e n r e l a t m n so f ( 0 ，o o ) 一m a t r i xs e m i g r o u p t h r o u g hs p a c e a n dr a n k ，r e s p e c t i v e l y ； a n ds t u d yt h ei d e m p o t e n te l e m e n ta n dr e g u l a re l e m e n to f ( 0 ，) 一m a t r i xs e m i g r o u p i nc h a p t e r3 w ed i s c t t s sg r e e n r e l a t i o n so ft h es e m i g r o u po fm a t r i c e so v e rt h ef i n i t e c h m n 西a n dw eg i v em a n yc h a r a c t e r i z a t i o n so fi d e m p o t e n te l e m e n to ft h es e m i g r o u p o ft h em a t r i c e so v e rt h ef i n i t ec h a i nkt h r o u g ha n c h o r e d ，耵a b l ea n ds t a b i l i t i o n ，t h e n w ee x t e n ds o m er e s u l t so fp a p e r 【9 】i nt h i sw a y , w ec a nt r a n s f e rt h er e s e a r c ho fs o m e q u e s t i o n si nf u z z ym a t r i xt oi ti nt h em a t r i xo v e rt h ef i n i t ec h a i nk k e y w o r d s ：m a t r i x ；r a n k ；g r e e n r e l a t i o n s ；i d e m p o t e n te l e m e n t i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期问沧文工作的知识产权单位属于两北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复e 1 1 件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位沦文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 篡黧蒌君盟型 学位论文作者签名： 垒题蛸指导教师签名：垫型! 兰 肋0 7 年占月) 日曰年月li i j| 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究t 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特另t l d n 以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：誊黎。惜 。订年6 月工日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 半群代数理论的研究可追溯到1 9 0 4 年，而系统的研究始于上世纪5 0 年代初，它 是个比较年轻的代数学分支2 0 世纪6 0 年代以来，在信息科学和理论计算机科学 的推动下，半群代数理论已经成为代数学的个十分活跃的研究领域 矩阵是研究代数学的重要工具之一，它在逻辑学【”图论 a 1 半群理论 邡】，运筹学 【“，计算机科学酬等方面都有重要的应用在这些实际应用的推动下，矩阵理论的研究 已取得了大量成果美国著名数学家k i h a n gk i m 编写了b o o l e a nm a t r i xt h e o r ya n d a p p l i c a t i o n 1 5 1 ，收集了8 0 年代之前的b o o 矩阵的研究成果 6 - 1 1 , 1 2 , 1 3 - 1 r , 1 9 ；王松 桂，杨振海嘲系统地介绍了广义逆矩阵的理论，方法和应用 随着半群理论的发展，矩阵半群理论也得到了较快发展，现已成为矩阵理论的重 要分支之一许多学者对其都做出了不少的贡献，例如：a n t o n i om a l h e i r o l 2 1 讨论了 r e e s 矩阵半群m 防i ，t ，；p 】与半群s 之间的关系；d a m j a n ak o k o l - b u l c o v e s k i a ，目 研究了矩阵半群的非退化不可约同态；y i j i at a n 给出了分配格上的h a l l 矩阵是 正则的充分必要条件 矩阵半群的格林关系和幂等元的研究一直受到人们的关注 k i h a n gk i m l l q 对 f u z z y 矩阵半群的格林关系和正则性进行了研究；s h a n g j u ny a n g 3 1 一删对矩阵半 群m 。( s ) 的冗一，一，口一以及h 一类进行了刻划；s o n g - c h o lh a i l f 2 给出了 i n c l i n eh a l l 矩阵是正则的充分必要条件，并对i n c l i n eh a l l 矩阵半群的格林关系 进行了刻划；y i j i at a n 讨论了分配格上的矩阵半群的幂等元 本文主要研究了( 0 ，) 一矩阵半群和有限链耳上的矩阵半群第二章，首先给出 了岛上的向量、矩阵和秩的一些基本命题；其次利用空间和秩的概念给出了( 0 ，o o ) 一 矩阵半群上的格林关系的新刻划，并研究了( 0 ，) 一矩阵半群的幂等元和正则元第 三章，讨论了有限链k 上的矩阵半群的格林关系；利用a n c h o r e d ，s t a b l e ，s t a b i l i t i o n 对有限链k 上的矩阵半群的幂等元进行了刻划，推广了文m 9 中的一些结果，从而 1 西北大学硕士学位论文 f u z z y 矩阵中某些问题的研究可以转换为有限链上矩阵中相应问题的研究，使其 简单化 1 - 2 预备知识 本文未交待的有关半群、矩阵和泛代数的概念请参阅文献【1 2 ，1 8 ，3 1 ，3 6 】下面我们 介绍一些有关的基本概念： 若非空集合s 上装有两个二元运算。+ 和。，且满足条件t ( i ) ( s ，+ ) 和( s ，) 是半群； ( i i ) ( v a ，b ，c s ) ( a + b ) c = + k 和c ( n + 6 ) = + 西， 则( s + ，) 称为半环 格林关系在半群理论的研究中起着非常重要的作用，其定义如下； 设s 是半群，在s 上分别定义格林关系c ，冗，了为t ( a ，b s ) a b 骨s 1 n = s 1 6 ； 锄骨a s l = b s l ： a f f b 甘s 1 a s l = s 1 b s l ： 并且咒垒c n 冗；口垒c v 冗 ( r ，o ，0 ) 是含有0 ，o 。的交换半环( 其中0 s0 0 ，且0 ， 定义如下：对任意的 a ，b r ，a ob 垒m i n a ，6 ，a ob 垒m 凹 o ，6 ) 显然0 ，分别关于8 和。是单 位元) 若对任意的t f 1 ，n 】( 表示介于1 与n 之间的全体自然数) 有u i r ，则n 元 组( v l ，v 2 ，) 称为r 的n 维向量，记为u 这里q 表示 的第i 个分量丑上 所有n 元组所形成的集合用k ( 冗) 表示在k ( r ) 上定义加法和数乘如下，对任意 k r ，( r l ，r 2 ，) ，( s l ，s 2 ，一，5 。) k ( 冗) ， ( r 1 ，r 2 ，h ) 0 ( s 1 ，s 2 ，s n ) 垒( r l o8 l ，r 2 08 2 ，r n o8 。) k o ( r l ，r 2 ，一，r n ) 垒( k 圆n ，k o r 2 ，一：k 圆r n ) 2 西北大学硕士学位论文 则( k ( r ) ，) 称为n 维向量空间( 注；这与解析几何中的n 维向量空间不同) 在本 文中，通常把( o o ，) 或( o o ，o 。，o o ) 7 记作若n 元向量组的第i 个坐标是0 ，其余坐标是，则用e l 表示 如下性质： ( 1 ) 0 口= 钉o “， ( 3 ) ( a 8 砷8 u = a o ( b 固“) ， ( 5 ) a ( “o 口) = 口0 o 口o ， ( 7 ) o o o “= 札o o o = t ， 那么对任意a ，b r ，t ，u ，t c ，k ( r ) 有 ( 2 ) o ( 钉o w ) = ( “o 秽) o w ， ( 4 ) ( a o6 ) t = a o t 0b o ， ( 6 ) 0 0 u = t 固0 = “， ( 8 ) o o “= 札固。c = o 。 n元组”=h，比，所对应的的列向量(兰用矿表示，而s上的 西北大学硕士学位论文 对任意l 【1 ，m 】，j 【1 ，叫，a = ( ) b 击。( r ) ，则元素称为a 的( ，j ) 项，亦可记作a i j a 的第 行就是序列m l ，q 2 ，a i 。，而a 的第i 列就是序列 n l i ，0 2 i ，t i ，用a “( a ，i ) 表示a 的第 行( 列) 4 西北大学硕士学位论文 第二章( 0 ，) 一矩阵 设风= o ，o o ) ，在肺上定义二元运算。o 。， 。固。如下z oo 。= o f ) 0 = 0 圆o o = o o oc o = ( 9 0 0 0 0 。= 0 0 0 0 = 0 80 = 0 00 = 0 显然愉，o ) 和汹，固) 是交换半群，且。o 对4 0 具有分配律，从而( 3 0 ，o ，圆) 是交换半环岛上的矩阵称为( 0 ，o 。) 一矩阵本章首先给出岛上的向量，矩阵和秩 的一些基本命题；其次分别利用空间和秩的概念给出( 0 ，) 一矩阵半群上的格林关系 的新刻划，并研究了( 0 ，o o ) 一矩阵半群的幂等元和正则元 2 1 基础知识 首先介绍有关向量，矩阵和秩的一些概念，并对它们的性质进行刻划 设 ，f 是岛= o ，o 。 上的n 维向量，若对于使得u i = 。的i 都有饥= 0 0 ，则 称t ”若t s ，但“口则称u ) ，则由向 量和的定义知b 是无关的( 反证法) 假设b 产生了的一个真子空问，那么， 令口是h ， 的一个极大向量这时，由于口不属于最则由b 的定义知 ”= “u ) ，p = u o ) 口iu 0 ) w 由于 是极大的，则这些“u ) 必定在 p 5 西北大学硕士学位论文 西= k 薯 a = o c ( ) 0 0 0 ，b = 0 0 o q 0 0 ， a 十b = 0 0 c l o 0 0 a b = 0 0 0 0 00 西北大学硕士学位论文 设 那么， 而 a = 融) ， 命嗣2 1 2 若a 晶。( 岛) ，则r ( a ) ( a a ) ) 是k ( 岛) ( 矿( 岛) ) 的子空间 证明； 由于以的行向量属于k ( 岛) ，而r ( a ) 是由a 的行向量所生成的，则 r ( a ) 是k ( 岛) 的予空间 命题2 1 3 若a 丑( 岛) ，b b k ( 岛) ，则r ( a 固cr ( 研和c ( a 功q a ) 证明：由于a b 的各行都可以由b 的行向量线性表出，从而显然命题成立 定理2 1 4 若a j 石m 。( 岛) 且m m 则lq a ) | - jr ( a ) i 证明： 下面欲构造a a ) 到a ( a ) 之间的双射若 c _ ( 4 ) ，则存在唯一的集合 = a i ( i 【1 ，m 】) ：o ，【1 ，m 】【1 ，叫使得 v = 一 设= 【1 ，m 】( 用表示互补) 考虑如下构造的映射： ，：a a ) 一r ( a ) ”一a ；。 s ， 其中 c ( a ) 显然，是定义合理的下面欲证明，是双射 ( 1 ) ，是单的： ( 反证法) 假设存在口，w a a ) ，且口= e i ，t i = e i 其中s m ，m ，使得f ( v ) = ，) ，即a “= a ， 7 西北大学硕士学位论文 由于口，不妨设存在p t i 由于w a a ) ，则存在k 【1 ，叫使得 a p t = 0 ，且a k 由于p ，则( ，( 口) h = 0 ，即( ，( 埘) h = 0 ，则存在q 使 得a q k = 0 又由于a 。k w ，则e 。2 w 由于q ，产生矛盾，因此，( 口) ，( ) ( 2 ) f 是满的： 若 冗( a ) ，则 = a i 。，其中f 1 ，m 】，那么存在 1 ，m 】( 1 ，扎 使 苎 得 = e i 从而，是满的 综上所述定理得证 推论2 1 5 设a b m 。( z o ) ，且m n ，和，如定理2 1 4 所述，若口，t j c ( a ) ，则 口 当且仅当f ( v ) ，( ) 证明： 设弘w a a ) ，则存在! 【1 ，, n l f 1 ，叫，t f 1 ，州【1 ，n 】，使得 ”= e e i ， = l 净若口埘，则墨2 t ，从而，即f ( v ) ，( 埘) = ( 反证法) 假设 g ，使得f ( v ) ，( ) 由于口垂钟，不妨设存在p t 由于t l ，a a ) ，则存在k 【1 ，叫使得a p k = 0 ，且a 女由于p ，则 ( ，( ) k = 0 又由于f ( v ) ，( t ，) ，则( ，) h = 0 ，则存在q 使得a q k = 0 又由 于a 。k ，则e q w 由于q ，产生矛盾从而，( ) ，( ) 净口s t t ， 综上所述命题得证 命题2 1 6 设a l ，a 2 ，a t 玩( 岛) ，b = a l a 2 a k 那么对任意的 i 【1 ，叫有 a b ) 卜：ir ( b ) f ir ( a kl = ic 【a ) ti 证明：根据命题2 1 3 ，对任意矩阵尬有iq m n ) i ia 脚i 以及 ir ( m n ) i - iq m n ) i ia 旧l = lr ( 奶i 用归纳法即证明此命题 秩在矩阵中起着很重要的作用，下面主要从多个角度对秩进行讨论 对任意a b k 。( 胁) ，我们用耳( a ) 表示r ( a ) 的唯一基底，并称为a 的行基 底类似地，用最( a ) 表示c ( a ) 的唯一基底，并称为a 的列基底毋( a ) ( 最( 以) ) 的 8 西北大学硕士学位论文 所含向量的个数称为a 的行( 列) 秩记作肼( a ) ( 纯( a ) ) 应注意办e o ) = 戊( o ) = 0 一般来说，若竹 3 ，则n ( a ) a ( a ) 例如 若 则有肼( a ) = 4 和p o ( a ) = 3 a = ( 墨三莒孽 ， a = ( 0 ，0 ，) r ( 0 ，0 ，o o ，o o ) + ( o 。，0 ，0 ，o 。) 7 ( o 。，0 ，0 ，o o ) + ( o o ，0 ，o ) 7 ( o o ，o o ，0 ，o ) ， 且交互向量的个数最小，则n ( a ) = 3 定理2 1 8 若a b k 。( 国) ，则m ( a ) si n f ( p ，( a ) ，p c ( a ) ) 证明： 设a 的行秩为r ，以的行基辟( a ) = ”( 1 ，q ，) ) 对任意i 【1 ，r 】 9 0 0 o 0 0 ，j-。- 西北大学硕士学位论文 设 于是 尬= p ? 1 警轴 显然尬行秩为1 ，则由引理2 1 7 知尬为交互向量则由沙因秩的定义知 以( a ) sr = m a ) 类似可证“( a ) p o ( a ) 从而定理证毕 推论2 1 9 设非零矩阵a b m 。( 肺) ，若向量集合s 的生成空间 包含 r ( a ) ，则s 的阶至少为m ( a ) 证明：由于r ( a ) ，则办( a ) p 由定理2 1 8 知几( a ) 肼( a ) 则“( a ) p 从而s 的阶至少为n ( a ) 推论2 1 1 0 设非零矩阵a b k 。( 岛) ，若存在矩阵b 占( 岛) 和矩阵c 最。( 风) 使碍a = b g 则t 至少为凡( a ) 证明；由于a = b e , 则由命题2 1 3 知r ( a ) r ( c ) ，从而p r ( a ) 胁( c ) 由 定理2 1 8 知肪( a ) s 肼( a ) ，从而n ( a ) s 肼( c ) ，故t 至少为以) 定理2 1 1 1p , ( e a 刃“( a ) 证明：设a 的沙因秩为岛不妨设a = 尬那么 i = l e a f = 耳鸠+ m 2 + + 尬) f = e m l f + e m 2 f 十七e m , f ， 由于 磊为交叉向量，则行秩列秩均为1 又由于r ( e m ) cr ( 尬) ，则胁( e ) = 1 ，即e m i 为交叉向量又由于a e m i 毋a e m i ) ，则p e ( e m , 叼= 1 ，即e 憾f 为 交叉向量由沙因秩的定义知p 。( e a 刁s = 岛( a ) 1 0 慨 ，：i i i a 西北大学硕士学位论文 2 2 格林关系 ( 南，e ， ) 上的nxn 阶矩阵关于乘法形成半群，记作m 。( 南) 本节主要利用 行空间，列空间和秩给出了m 。( 岛) 上的格林关系冗，c ，爿，口，的新刻划 对任意a m 。( 岛) ，由生成空间定义知r ( a ) 与k ( 岛) 中的向量在矩阵a 的作 用下所得的像空间相同，因此对任意a ，b m 。( 岛) 有r ( a 功= 冗( a ) 丑 定理2 2 1 对任意a ，b m 。( 肺) ，则a c b ( a t e b ) 当且仅当a ，b 具有相同的 行( 列) 空间 证明：辛设a g b ，即存在x ，y m 。( 岛) 使得x a = b 和y b = a 成立 则r ( b ) r ( a ) ，且r ( a ) r ( 司，从而r ( a ) = r ( 功 争设冗( 圄r ( a ) ，那么，只要考虑口的每行，则存在x m 。( 岛) 使得 x a = b ；类似地，存在y e m 。( 岛) 使得y b = a ，即a c b 成立 同理可证a t e b = 亭c ( a ) = g ( b ) 定理2 2 2 设u 是( 岛) 的子空间，是从交换半群u 到k ( 岛) 的同态并满 足，( 。) = o 。，那么存在矩阵a 使得对任意口k ( 南) ，满足v a = ，( 口) 证明；设s ( i ) = 口u ：地= o ) 定义a “为m a x f ( v ) ：口烈1 ) 下面欲证 对任意 k 使得v a = ，( 口) ( i ) 欲证明v a f ( v ) ：假定( v a ) 1 = 0 ，则存在某个k 使得v k = 0 且a k j = 0 因此对任意w s ( k ) 有( ，) b = 0 由于 联女) ，则( ，( 口) ) ，= 0 即证明了 v a ，( 口) ( i i ) 欲证明v a ，( 口) ：假定( v a ) j = o o ，则对于使得= 0 的詹有8 h = o o 因此对于使得讯= 0 的k ，存在向量z ( ) 爿) ，使得，( z ( 女) b = 又由于对于 使得= 0 的k 有( e z ( 女) h = 0 ，则z ( 后) 由向量与矩阵的乘法以及向量的性 质知，( z ( ) ) = l ( e z ( k ) ) ，( ”) 由于对于任意有，( z ( ) ) ，= 0 0 ，则，( 口) ，= o o 即证明了v a ，扣) 】 西北大学硕士学位论文 综上所述定理得证 若集合x 上的一个二元关系u 满足以下几个性质： ( i ) 反身性；对任意z 五使得( 矗功u ； ( i i ) 对称性t 对任意z ，y 五若( z ，y ) u ，( y ，z ) u ，则z = y ； ( 猁) 传递性：对任意z ，y ，：置若( z ，y ) “，( y ，z ) u ，则( z ，z ) u ， 则u 称为半序关系若集合x 上装有特定的半序关系p ，则x 称为半序集合半序 关系p ，若对任意。，y x 有( z ，y ) p 或( y ，习p ，则p 称为线性序( 全序) 若半序集合x 的任何两个元素都有最小上界( 并) 和最大下界( 交) ，则x 称为格， 并和交分别用v 和a 表示 若a b 竹l 。，则冗( a ) ( 以a ) ) 是格在这种情况下，两个元素的并就是r ( a ) 中同 时不小于这两个元素的元素的和，而两个元素的交就是它们的和当然，o 。是r ( a ) 中的顶元，而r ( a ) 中所有元素的和是r ( a ) 中的底元 定理2 2 3 阳双射p ：l f 是格的同构营口，8 - 1 都是保序的 引理2 2 4 两个竹维向量空间作为格是同构的当且仅当这两个空间作为交换半 群是同构的 证明；不妨设这两个n 维向量空间为玑彬 = 玑w 作为格是同构的，即存在矿到的双射口使得 ( v z ，y u ) 口( z a y ) = 日( z ) a p ( ) ，o ( x v y ) = 口( z ) ve ( y ) 由上述中知两个元素的交就是它们的和，则可将o ( x a y ) = 口( z ) p ( y ) 改写为口 + ) = 口( z ) + 目( f ) 从而以w 作为交换半群是同构的 乍以w 作为交换半群是同构的，即由定理2 2 2 知存在矩阵五y m 。( 岛) 使得：对任意口k a 有v x = 九( ) 同时得到对任意 1 1 b 有v y = h - 1 ( 口) 由 向量与矩阵的乘法以及向量的性质知若z y ，则 ( $ ) s ( f ) ，即h 是保序映射类 似可证h - 1 是保序映射则由定理2 2 3 知c 作为格是同构的从而命题得以证 明 1 2 西北大学硕士学位论文 定理2 2 5 对任意a ，b m 。( 阮) ，则a i ) b 当且仅当a ，b 的行空问作为格是 同构的 证明；矩阵的行空间就是这个矩阵作用在行向量上的像空间而且，这样两个空 间作为格是同构的，当且仅当它们作为交换半群是同构的 辛设a t ) b ，即存在c m 。( 岛) 使得a c c 且c 7 z b 那么，由定理2 2 1 知 a ，e 在行向量上有相同的像空间由于c r b ，则存在置y em 。( 肺) 使得c x = e 且b y = 那么，存在映射，：k e k b 和映射g ：k b k g 这两个映射 是由x 和y 右乘而给出的由于，口和g ，都是恒等映射，则b 和g 的像空间是同 构的从而兄( a ) = 冗( b ) 乍设r ( a ) 竺r ( 口) ，即h 是从k a 到k b 的同构映射则由定理2 2 2 知 存在矩阵五y m 。) 使得：对任意u k a 有”x = ( f ) ，同时得到对任意 ”k b 有v y = h - t ( ”) 因此x y 是k 上的单位元而y x 是b 上的单位元， 则a = a x y 且i s a x = k 丑即a t 已a x 且a x c b 从而a d b 综上所述定理得证 推论2 2 6 对任意ab m 。( a o ) ，若a d b ，则下列命题成立。 ( i ) 肼( a ) = 肼( b ) ；( i i ) 儿( a ) = n ( b ) 证明；( i ) 设a d e 则由定理2 2 3 知r ( a ) 2r ( b ) ，即h 是从k a 到k b 的同构映射则由定理2 2 2 知存在矩阵置y 使得对任意口k a ，有v x = ( 口) ， 同时得到对任意的 k e 有p y = h - 1 ( 口) 因此x y 和y x 分别是k a 和k 口上 的单位元 ( 反证法) 设r ( a ) 的行秩为r 行基为耳( a ) = ”( 1 ) ，”( 2 ) ，” ，) ) ，即 b r ( a ) 线性无关，即对任意的v o ) ，v ( o b ( a ) ，不存在k i 肺使得v o ) = k i 8 v ( o ( 其中i j ) v o ) ，”( 2 ) ，”( ，) 在h 作用下为v w x ，v ( 2 ) x ，”( ，) x 不妨设 q 1 ) x ，”( 2 ) x ，”( ，) x 线性相关，即存在岛使得”u ) x = k i 圆( v ( i ) x ) ( 其中i j ) 则 ) = h - l ( 口o ，x ) = 一1 ( k i ( q 。x ) ) = ( 。( u ( 。) x ) ) y t = ll = 1 rrrr = ( ( 。8 口( ”) x ) y = ( ( 厩 州x ) l ，= ( k i v o ) ) x y = k i 。岍 西北大学硕士学位论文 r 即v o ) = 觑o ”( i ) ( 其中i j ) 由于存在k l 岛，产生矛盾故p r ( a ) sp r ( b ) ，类 f = 1 似可证肼( b ) p r ( a ) 从而p r ( a ) = r e ( b ) ( i i ) 设a d e 即存在c em 。( 岛) 使得a t c c 和c c b 成立即存在x ，y ，m ， m 。( 岛) 使得 a x = c ，e l ，= a ；m c = b ，b = d 则m a x = b ，n b y = a 由定理2 1 1 1 知p , ( m a x ) 以( a ) ，即p s ( b ) “( a ) 类似可证“( a ) 几( b ) 从而“( a ) = 几( b ) 设s 是半群，n sl 。表示a 所在的c 一类，类似地有记号亿，凰，) a 定理2 2 7 设a m 。( 岛) ，则月_ 的元素和n ( a ) 的格自同构是一一对应的 证明：设a 是n ( a ) 到r ( a ) 的自同构变换，则a a 为坛到的线性变换，其 把o 。变换为o o ，不妨设其为矩阵丑则对任意口k 有v b = v ( a a ) = ( v a ) a ，又由 于( v a ) a r ( a ) ，则口的像空间是r ( a ) ，故a e b 由定理2 2 2 知存在五l ，使得在 r ( a ) 上的映射x = n 和，= n - 1 成立，则对任意向量口k 使得v a x = v a a = v b 与v b y = v b a - 1 = v a a a - 1 = v a 成立因此a t - l b 这样定义了r ( a ) 的自同构到 7 - l , 的函数由于两个不同的自同构导致两个不同的映射a a ，即导致不同的矩阵b 所以这个函数是单的设b 是a 的h 一类中的任意矩阵，那么r ( a ) = r ( b ) 且存在 矩阵五y e m 。( 岛) 使得a x = b 和b y = a 成立即x 和l ，把r ( a ) 映射到其自 身上，因此x 给出个r ( a ) 的自同构从而证明了函数是映上的 综上所述定理得证 定理2 2 8 对任意a ，b m 。( 南) ，则 a 歹b = 亭( j 五y m 。( 岛) ) r ( 四r ( a ) 五r ( a ) r ( 研r 证明；号设a ，e 即存在五彬五y e m 。( 扁) 使得z a x = ew b y = a 则由定理2 1 3 知r ( 司r ( a = r ( a ) x 和r ( a ) r ( b y ) = 冗( 固y 成立 车设r ( 司冗( 4 ) 五r ( a ) r ( 功e 则存在矩阵互w m 。) 使得 1 4 西北大学硕士学位论文 z a x = b 和w b y = a 成立 推论2 2 9 对任意a ，b m 。( 岛) ，若a 了b ，则m ( a ) = p o ( b ) 证明；设a j b ，即存在五k m 。( 风) 使得x a y = b 和m b n = a 成 立由定理2 1 1 1 知p , ( x a ”r e ( a ) ，即陆( 印p o ( a ) 类似可得几( a ) “( 研 从而推论得证 定理2 2 1 0 对任意a ，b m 。( 岛) ，则 柚b 年寺a l o b 证明：辛显然 = m 。( 风) 为 o ，o o 上n n 阶矩阵的集合，则m 。愉) 为有限的那么在 m 。( 岛) 上，若a j b , 则a d b 从而此定理得以证明 2 3 正则元和幂等元 本节主要研究了m 。( 岛) 的正则元和幂等元，并给出了一些相关命题 设s 为半群，对任意口s 若存在x s 使得n = a x a ，则a 称为s 的正则元， 用r e g ( s ) 表示半群s 中正则元的全体若a 2 = a ，则a 称为s 的幂等元( 注；若a 是 幂等的，则a 是正则的) ，用i d e m ( 研表示半群s 中幂等元的全体 定理2 3 1 1 1 q 设s 是半群，对任意a ，b 只以下命题成立： ( i ) 若a 觑g ( s ) ，b 口：，则b 9 ( s ) ； ( i i ) 若n m 9 ( s ) ，则口d 中的每个c 一，冗一类包含一个幂等元； ( 撕) 设a i d e m c s ) ，对任意z s ，若x 厶，则x a = 为若z 7 ，则 a t = z ；若z _ l ，则x a = z = a x ； ( ) 若e ，i d e m ( s ) 且e h ，则e = ， 引理2 3 2 若a m 。( 肺) ，则a i d e m ( m 。( 扁) ) 当且仅当对任意i ，j 【1 ，叫 1 5 西北大学硕士学位论文 有= 0 骨( 了七f 1 ，叫) 讯= a k j = 0 证明；由于a i d e m ( m 。( 扁) ) ，则对任意i ，j 【1 ，叫有= n “o 而 【l ，- i 根据所定义的运算。e 。，。o 。知 口玎= 0 铮( jk 1 ，n ) 口让= n 巧专0 上述引理也可以表达为za l d e m ( m 。( 廊) ) ，当且仅当对任意i 【1 ，川，a “= 。，其中p = di ( j 【1 ，州) 山。a i 。，；并且对于任意i 【1 ，叫，a 。i = a j ， up 其中王，= d 10 【1 ，n 】) a 可a “ 引理2 3 3 设a m 。( 扁) ，若a i d e m ( m 。( 丙) ) 且存在i 【1 ，叫使得 a “耳( a ) ，则存在t 1 ，礼】使得a i 。= a t 。，d “= 0 因此，若存在i 【1 ，n 】使得 = o 。，则a “与其它行相关同样对列向量命题也成立 证明：由于a i d e m ( m 。汹) ) ，则由矩阵乘法知对任意z 【1 ，州有a h = 如。，其中曼= dio 【1 ，n 】) a 0 = o ) 由于a “为行基向量，则和式中必存在 a “等于a “而由壁定义知啦t = 0 又由于a “= a 则口“= 0 若a i d e m ( m 。( 伪) ) ，且存在i 【1 ，n 】使得0 4 1 = o 。，则分两种情况； ( i ) 对任意i ，j 【1 ，叫，i j ，若= 0 0 ，则显然成立 ( i i ) 若存在i ，j 【1 ，n 】，i j 使得= 0 ，由于a i d e m ( m 。( 扁) ，则 a i 。= a ，其中曼= d ：= o ) 由于在这种情况下。非空，因此a ；。可由其它 行向量线性表示，即a “与其它行相关从而引理得证 对于上述引理也可表达为t 引理2 3 4 设a i d e m ( m 。( 阮) ) ，且存在t 【1 ，叫使得0 4 t = o o ，则下列命题 成立： ( i ) 对任意s 【1 ，乩若t = 0 ，则存在h f 1 ，叫 亡) 使得a s h = d m = o ； ( i i ) 对任意s ，h 【1 ，竹 ，若= a e h = a h 产0 ，则a “e a 。h = a m 即a “s a 】6 西北大学硕士学位论文 对于a 的行向量命题也成立 定理2 3 5 设a i d e m ( m 。( 岛) ) ，且存在t 【1 ，l 】使得a r t = 。o 设b m n - i ( 肺) ，b 是从a 中去掉a “和a “后所构成的矩阵，则下列命题成立： ( i ) m ( a ) = p r ( b ) 和风( a ) = m ( 研； ( i i ) b i d e m ( m n - 1 ( 岛) ) 证明：( i ) 由引理2 3 3 ，a “与其它行相关，a “与其它列相关不难推出m ( a ) = 办( 固和p c ( a ) = p c ( 固 ( i i ) 设，：【1 ，n 一1 】一【1 ，n 】o ) ，当i t 时f ( i ) = i ，当i t 时，( i ) = i + 1 于是，对任意i ，j 【1 ，n 】有= a i ( i ) ，f o ) ，下面欲证b i d e m ( 玩一1 ) ，必须证明 ( v i ，j 1 ，一1 1 ) = 。嘞 【1 ，n i 】 令 勺= 6 i p 1 ，n - 1 t_、o一 = 2 二 a 1 0 ) ，p 0 1 ，u ) o 2 2 a i ( i ) ，( p + 1 ) o n ( p + 1 ) ，u ) 【i p 】，p t 又由于a i d e m ( m 。( 风) ) ，则知道a i ( o ，i o ) = oa i ( i ) t 口t ，u ) 欲证明b i d e m ( m 。一l ( 岛) ) ，只需证明勺a f ( o ，t 0 t ，u ) ，或证明勺= o o ，即a l ( o ，圆a t ，u ) = o 。，亦即a l ( i ) ，o ) = o 。因此只需证明若a i ( o ，t8 啦，u ) = 0 ，则= 0 为了简化 起见，令m = ，( ) 和p = ，( j ) ，这样有口m t8 = 0 ，从而有o w = 。肇= 0 由于 0 4 t = 。o 和= 0 ，则由引理2 3 4 知存在【1 ，扎j ) 使得。 = f l k t = 0 由于 a i d e m ( m 。( 肺) ) ，又由于口h = o p = 0 ，则。如= 0 ，则有a m ko o 如= 0 又由于 8 础 o 卸是勺的被加数，则= 0 从而定理得以证明 定理2 3 6 若a i d e m ( m 。( 陆) ) ，则肼( 4 ) = m ( a ) = “( a ) 证明： 只需证肼( a ) = m ( a ) 根据定理2 1 8 知m ( a ) 胁( a ) ，只需证p r ( a ) s 儿( a ) 设n ( ) = r m ( a ) = s 且记a = a l + a 2 + + 九，其中对任意i 1 ，n 】a 的行秩为1 ，即j 4 ；是交互向量 1 7 西北大学硕士学位论文 选【1 ，州的子集生= i l ，i 2 ，0 ) ，使得当k 兰时，a b 构成a 的行基向量， 同时由引理2 3 2 知c t k k = 0 假设对任意j ，生且j k 使得o b = 0 和 = 0 成立那么由引理2 3 2 知a k 。a p 和a k 。如，因此a k 。= 由于a h 和 。 是行基向量，产生矛盾因此对任意互k 垒，或者。酊= o 。，或者吩 = o o 因此 没有行秩为1 的被加数a 可以使得n 从和a _ 玎同时为0 因此对任意k 立，a k k 必来 自不同的行秩为1 的被加数a 所以s2