（基础数学专业论文）弱群扭曲模和广义的cibilsrosso定理.pdf

摘要 我们引入了弱群扭曲结构和弱群冲积结构，这一概念理论是c a e n e p e e l 和g r o o t 的文献 的推广，我们将证明这两种结构之间存在着一一对应其次，还将证明弱群扭曲结构下的 广义的c i b i l s - r o s s o 定理，即t 对于某一个群分次代数弱群扭曲双模是模，最后，作为应用， 我们讨论了上述理论在( 弱) h o p f7 1 - 余代数情况下的结果 关键词；弱群扭曲结构；弱d o i o h o p f 群模；弱群冲积；c i b i l s - r o s s o 定理；弱h o p f7 r - 余代数 a b s t r a c t w em t r o d u c et h en o t i o n so faw e a kg r o u pe n t w i n i n g8 t r u c t u r ea n daw e a kg r o u ps m a s hp r o d u c t a 8 鲫e r a l i z a t i o n 8o fc a e n e p e e la n dg r o o t ( 8 e e 【15 】) w ep r o v et h a tt h e r ei so n o n ec o r r e s p o n d e n c e b e t w e e nw e a kg r o u pe n t w i n i n gs t m c t u r e sa n dw e a kg r o u ps m a s hp r o d u c t $ 1 ；n l c t u 瑚a n ds h o wt h a t ag e n e r a l i z e dc i b i l s - r a s s o st h e o r e mh o l d si nt h es e t t i n go fw e a kg r o u pe n t w i n i n gs t n l c t u r 。t h a ti 8 。 t h ew e a kg r o u pe n t w i n e db i m o d u l e sa r em o d u l e so v e rac e r t a i ng r o u pg r a d e dm g e b r a a sa p p h e a t i o n s w ec o n s i d e rt h eo u l t h e o f i i nt h es e t t i n go f ( w e a k lh o p fg r o u pc o a l g e b r a s k e yw o r d s ：w e a kg r o u pe n t w i n i n g 鳓m c t u r e ；w e a kd o i - h o p fg r o u pm o d u l e ；w e a kg r o u ps m a s h p r o d u c t ；c i b i l s - r o s s o 8t h e o r e m ；w e a kh o p fg r o u pc o a l g e b r a 一，学位论文独创性声明 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名，塑堡礁 日期；2 q 凶：圣! 也 东南大学、中国科学技术信息研究所国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊 登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 签名，蓥互殓导师签名，玉救日期，趣监王! k 第一章引言和主要结果 2 0 世纪4 0 年代初，h h o p f 在研究拓扑群的上同调群时构造出了一类既有代数结构又 有余代数结构的代数系，到了1 9 6 5 年，m i n o r 与m o o r e 合作在a n n o fm a t h 上发表了题为 。o nt h es t r u c t u r eo fh o p fa l g e b r a s ”文章后( 见文献【1 2 ) ，这个代数系被正式称为h o p f 代 数m i l n o r 与m o o r e 的这篇文章是开拓性的，给h o p f 代数的结构研究奠定了基础此后， h o p f 代数引起了数学家们的广泛重视在1 9 7 5 年，k a p l a u s k y 出版了专著“b i a l g e b r a s ”( 见文 献【1 l 】) ，总结了当时研究的最新成果，提出了著名的现在称之为k a p l a n s k y 的1 0 个猜想。在 这一研究领域中，h o p f 代数作用理论的发展尤为突出，它统一了以前独立研究的群作用、李 代数作用，分次环作用以及算子代数中的相关余表示理论等尤其值得一提的是，1 9 8 6 年， 前苏联数学物理学家v g d r i n f e l d 在b e r k e l e y 国际数学家大会上报告的。量子群”一文( 见文 献 2 8 1 ) ，引起了数学家与物理学家的广泛关注，其主要结果是用量子群( 即一类非交换非余 交换的h o p f 代数) 的代数结构提供了量子场上杨一b a x t e r 方程的解d r i n f e l d 因此于9 0 年获 得了f i e l d s 奖，从而掀起了h o p f 代数研究的新高潮可以说量子群( 见文献吲，【2 3 】) 理论综 合了物理学与数学的许多分支的思想和内容，具有十分丰富的理论内涵和应用范围( 例如； 在低维拓扑、组合数学，图论算子代数、辩子群及非交换几何中已得至q 成功应用) ，也有其 深刻的物理背景量子群理论创立以来日益成为当今国际数学与理论物理研究的热点之一 在1 9 9 9 年，为了发展量子齐性空间上的群规范理论，b r z e z i f i s k i 和m a j i d 研究了余代 数丛( 见文献 2 】) ，这理论对规范理论做了概括，并且还引入了带有扭曲映射妒的扭曲结 构此外，为了构造更多的例子，他们又引入了任意余代数上的余代数一伽罗瓦扩张( 见文献 2 i ) ，这一理论是h o p f - 伽罗瓦扩张的自然推广，并证明了这样定义的余代数一伽罗瓦扩张总 可以诱导唯一的相容扭曲映射妒我的导师王栓宏教授又研究了这些理论在群扭曲结构下的 结果( 见文献 2 4 1 ) 2 0 0 0 年，为了统一b r z e z i 元s k i - m a j i d 的扭曲模( 见文献 5 ) 和b 6 h m 的弱 d o i - h o p f 模( 见文献 1 】) ，c a e n e p e e l 和g r o o t 研究了弱扭瞌结构，弱扭曲模和弱冲积( 见文 献【7 】) 另一方面，假定日是个有限维的h o p f 代数在文献【9 】里，c i b i l s 和r o s s o 建立了一 个具有如下性质的代数x ；s w e e d l e r 的h o p fh - 双模范畴备m o d 嚣同构于左x 一模范畴。这 一理论又是王栓宏的d o i - h o p f 模范畴( 见文献【2 7 】) 同构于弱扭曲双模范畴( 见文献【2 5 】) 理论 的特殊情况 2 0 0 4 年，v a nd a e l e 和王栓宏从一些无限维量子群胚( g z o u p i d ) 上引入了弱乘子h o p f 代 数( 见文献1 2 8 】) ，这一概念是著名的乘子h o p f 代数( 见文献【2 2 】或【2 3 】) 的迸一步发展我们 可以从一类所谓的弱h o p f ”余代数中构造弱乘子h o p f 代数的例子，这一概念是由v a nd a e l e 和王栓宏首先( 见文献【矧) 引入，而后又被他们发展的( 见文献【2 5 】) 同时，弱h o p f 丌- 余 东南大学硕士学位论文 2 代数也被认为是通常的弱h o p f 代数( 量子群胚) ( 见文献【2 1 ) 和通常豹h o p f 丌- 余代数( 见文 献【2 6 】) 的自然推广 显然，弱h o p f 代数理论中所有概念都有一个丌一版本，例如t 弱拟三角的h o p f 丌一余代 数、弱h o p f 丌余代数上的y e t t e r - d r i n f e l d 模，弱h o p fn 余代数上的d r i n f e l d 量子偶、弱 h o p f n 余代数上的d o i - h o p f 模和弱群扭曲结构，所有的这些概念都已被研究，然而它们与原 理论也存在着一些不同之处例如：弱h o p f ”余代数的定义不是自对偶的，即一个有限维的 弱h o p f ”余代数的对偶是个弱h o p fn 代数 在这篇论文中，我们将主要研究c a e n e p e e l 等人的弱扭曲结构理论以及c i b i l s 等人的 h o p f 双模理论在弱h o p f ”余代数中的相应的理论 我们的主要结果如下。 主要结果1 ：( 见定理3 1 9 ) 假定h = ( 风，m 。，1 。，) ，a ，岛) 是一簇代数同时又是一个7 - 余 代数那么下列各点是等价的， 1 ) h = ( 鼠。，m 。，1 。， ，) 是一个弱半h o p f n 余代数； 2 ) ( 只e 妒1 ) 和( e e 妒2 ) 分别是一个右一右和个左一右弱群扭曲结构； 3 ) ( e h ，妒1 ) 和( 日日 妒) 分别是个右右和一个右一左弱群扭曲结构； 4 ) ( 蜀蜀妒4 ) 和( h ，旦，妒) 分别是一个左左和个左一右弱群扭曲结构； 5 ) ( e h ，妒4 ) 和( 日，羁妒3 ) 分别是一个左一左和个右一左群弱扭曲结构 主要结果2 ：( 见命题3 1 1 1 ) 假定( a ，g ，妒) 是一个右一右弱群扭曲结构，那么忘却函子 f ：朋j ( 妒) + 朋”一。有一个左伴随g ：m ”一d + 朋j 司( 妒) 类似的有， ( 见命题3 1 1 2 ) 假定( a ，g 妒) 是一个右一右弱群扭曲结构，那么函子f i ： 朋r c ( 妒) + m a ：( m = 耽h 。一尬) 有一个右伴随g i ：m 。朋r c ( 妒) 主要结果3 ：( 见定理3 2 8 ) 假定a 是个带有单位元1 a 的代数，b = o 。玩是一个 带有单位元1 日的丌一分次代数，x = o 。五是个带有预单位的丌一分次代数，那么下列 两点等价， 1 ) 存在一个代数同构夏岂a - - - - 莉s y 对于某个冗= f j 韬：昂o a + a o 日_ ) 胀。； 2 ) x 弱分解为x = a b 主要结果4 ：( 见定理3 2 1 1 ) 假定a 是一个代数，e = o ，s 口。是一个有限型的n 余代数，( a ，c ，皿) 是一个左右弱群扭曲结构如果( a ，c ，r ) 是对应的弱群冲积结构。那么 我们就有一个范畴的同构t 4 ( 皿) 。一“型a # n o - m 主要结果5 ：( 见定理4 4 4 ) 假定a 是一个代数，c = q ) 。是一个有限型的n 余代 数，( 以，a 雪1 ，田2 ，皿3 ，驴) 是一个弱群扭曲双边结构如果( a o a o p ，c r p 伊，r ) 是对应的弱 东南大学硕士学位论文 3 一因子分勰结构，那么我们可以得到一个范畴的同构； f ：一c 1a a i f - c ( 皿 ，田2 ，雪1 ，皿i ) ) 垡j i i 写瓦面于事石z i 尤其有：( 见定理5 2 ) 假定日是个弱h o p f ”余代数且满足月0 是一个风一双模( 对于 所有的a 一) 如果( 玩。日尹，磁。o 日+ ，固是对应的弱n 因子分解结构。那么我们就有下 面的范畴同构； h ”i * m h - 1 日( 皿i ，皿2 ，皿1 ，皿i ) 岂西忑函，孬j 露面面j i m 其结构为， j k ( c o 矿。口pb ) = a ( 2 ，1 ) ob ( 2 ，1 ) oc * o p b ( z ，1 ) a ( 1 ，1 ) o 矿b ( 3 ，1 ) a ( s ，1 ) ， 这里舻n ，b ) = ，a b ，( d tc ，6 ) = ( c ，b a ) ，对于所有的o ，b 日l ，矿田，矿三醢 第二章基本定义 在整篇文章里，k 表示一个固定的域，我们所有的问题都是在上讨论，我们总是假 定 是一个有单位元1 的抽象群，o 表示o 如果u 和y 是两个缸向量空间。那么 t u , v ：u o v v o u 就表示个扭曲映射，定义为t u , v ( u o = v u 。对于所有的u u 和口v 2 1 丌余代数 回顾r i 、l r a e v 的文献 2 1 】和v i r e l i z i e r 的文献 2 6 】，我们知道一个7 r - 余代数是一簇“向 量空间c = 瓯，。自，同时带有簇k 一线性映射= 。，p ：e 妇+ 以o o 。，阳，和一簇 缸线性映射f ：q + k ，使得在下列意义下是余结合的t ( 口，卢。记q ) o 帼，= ( t 吐o 反7 ) 口，所，v d ，卢， 丌 ( i d c k o ) 口1 = 弛= g o i d c o ) a 1 ，a ，v a 7 r ( 2 1 ) ( 2 2 ) 我们使用s w e e d l e r 对余乘的记法( 见文献【2 6 】) ，即t 对于任意的p 7 r 和c c 缸， 记l n ，口( c ) = c ( i ，4 ) oc ( 2 ，所 例2 1 1 d 是一个余代数，c = 以) 。丌是一个7 f - 余代数令d c = ( d o g h = d o 瓯) 。，那么d c 就构成了个霄- 余代数，有余乘a = 郇 = ( i d o t d ，c o i d ) ( a d a 即) ， 其中a ，p 7 f 假定g = ( q ，s ) 是一个n 余代数，a 是一个代数，其乘法为m ，单位元为1 对于任意的，i - i o m k ( c , ，a ) 和g h o m k ( o ，a ) ，我们定义个卷积乘法为。 ( ， g ) ( c ) = m ( ，圆a ) a 啦芦( c ) = ，( 。( 1 一b ( c ( 印 ) 日m 知( c k 母，a ) 对于所有的c ，口那么a m ，a ) = o 。日h o m k ( c , ，a ) 在卷积乘法和单位元e l a 下， 就构成了一个n 分次代数，也叫做卷积代数 特别地，对于a = ，丌- 分次代数c o n y ( c , k ) = o 。自q 叫做c 的对偶，并记为g + 定义2 1 2 ( 见文献【2 5 】) 个弱半h o p f 霄- 余代数h = z b ， h ，1 。，a ，e ) 。霄是一簇代数 皿。，m 。1 。k 霄，同时也是一个7 f - 余代数 玩，a = 。，口) ， 。，舵。，使得： ( i ) 余乘a 。，p ：c 妇+ 戗o o 是一个代数同态( 不必保持单位元) ，使得 ( a 。，卢pi 妇，) 叩，1 ( 1 呐) = ( n ，卢( 1 卵) o1 1 ) ( 1 口o 卢一( 1 所) ) ，( 2 3 ) ( 乱，卢ol 妇，) 硝7 ( 1 卅轩) = ( 1 。o 晟1 ( 1 所) ) ( a ( 1 q 芦) ph ) ， ( 2 4 ) 对于所有的o ，屈，y ，r 4 东南大学硕士学位论文 5 ( i i ) 余单位：凰，七是一个k - 线性映射，并满足等式t e ( g x h ) = e c g x ( 2 ，1 ) ) e ( 。( 1 ，1 ) h ) = s ( 筘( 1 ，1 ) ) 4 x ( 2 ，1 ) 危) ， ( 2 5 ) 对于所有的玑h ，z - 1 2 2 弱h o p f 丌- 余代数 定义2 2 1 ( 见文献【2 5 】) 个弱h o p f r - 余代数是个弱半h o p f ，r - 余代数h = 日二，m 。，1 。， ，) 。被赋予一簇舡线性映射s = & ：玩+ 丑j 一- ) 。霄( 叫做一个反对极) ，并使得下面 的等式成立； m a ( 一- o 记巩) 口一p ( 妨= l ( i ，n ) e ( h l ( 2 ，1 ) ) ， m a ( i d h 。o & 一1 ) 口矿l ( h ) = s ( 1 ( 1 1 ) h ) 1 ( 2 ，口) ， s n ( g o ，a ) ) 9 0 2 ，一) 坝3 ，a ) ) = b ) ， ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 对于所有h 肌，g 风和a 7 r 注2 2 2 ( 皿，m l ，1 l ，a 1 m 毛毋) 是个弱h o p f 代数，定义2 2 1 中的那套公理并不是自对 偶的我们称一个弱h o p f 丌- 余代数日是有限型的，如果对于所有的口7 r ，j k 作为b 向 量空间都是有限维的要注意的是这并不意味着o 。z k 是有限维的( 除非凰= 0 只对于 有限个a ”不满足) 我们称弱h o p f n 余代数日的反z j - 4 rs = s 口) 。丌是双射的，如果每 一个都是双射 定义2 2 3 ( 见文献 2 5 】) 一个弱h o p f 丌- 余代数h = 风：，m 。，1 。，a ，e 。日叫做一个弱交 叉h o p fn 余代数，如果它被赋予了一簇代数同构妒= m ：月0 + 风。触一t h ，p 丌( 交叉) ，并 使得 ( i ) 每个都保持余乘和余单位，即t 对于任意的a ，热，y 月，都满足( o ) 鼬= 叩h ，口忙一l 妒o ， 亭= g ( i i ) 妒是乘法的，即；满足口= 即，对于所有的n ，卢w 我们很容易得到等式 妒l 皿。= d 如，对于所有的a 丌1 = 一- ，对于所有的 “l r ；妒保持反对极，即；即& = s 加口一，即，对于所有的d ，卢7 r 注2 2 4 一个弱( 交叉的) h o p fn 余代数是个( 交叉的) h o p f * 余代数，当且仅当满足 下面的等价条件，( i ) 余乘是保持单位元的，即，。，口( 1 叩) = 1 。o1 口，对于任意o ，卢 ( ) 余单位是一个代数同态 现在假定h = ( 风，m 。，1 。， ，s ，) 是个弱半h o p f r 一余代数从文献 2 0 l ，有 ( ) = ( 1 ( 1 ，i ) h ) l ( 2 ，。) ( 九) = 1 ( 1 ，。) e ( h l ( 2 ，1 ) ) 蕞( ，1 ) = 1 ( 1 口) 5 ( 1 ( 2 ，1 ) h ) ， 蕞( 砷= e ( h 1 0 ，1 ) ) 1 ( 2 ，。) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 东南大学硕士学位论文 6 下面命题的证明都是直接的，在这里我们将它略去 命题2 , 9 - 5 日= ( 日c 。，m 。，1 。，e ，) 是一个弱半h o p f 霄- 余代数那么，对于任意的 于是可得到 砭o = ； s ：。苟= 砭； 嚣。矗= ； o 蜀= 己； 丑：一j m = i m u 。； 耐= k e r e i = k e r 露； 砭o = 兹； o 碍= 磊； 麓。= 砭； e ：o 爵= 磁= 胁：= 如媛； 群= k e 嘲= k e 峭 2 3 俨余模代数 命题2 3 ，1 日= ( 月_ 口，m 。，1 。，) ，) 是一个弱半t i o p f i t - 余代数，a = 厶，m 。，1 。) 是一 簇代数，同时也是一个右月- - 余模，使得以，口( n 6 ) = 以，口( d ) 以，口( 6 ) ，对于任意的加a 叩， 这里a ，芦那么下面的式子是等价的，对于所有的o 如 ( 1 ) 1 ( o ，d ) o1 ( 1 ，所圆1 ( 2 一) = 1 ( o ，神o1 0 ，卢) 1 1 1 1 ，卢) p1 ，2 ，) ； ( 2 ) 1 ( o ，a ) o1 ( 1 ，国o1 ( 2 ，7 ) = 1 ( o ，a ) o1 ；l ，卢) 1 ( 1 ，卢) o1 2 ，7 ) ； ( 3 ) n ( o ，口) o 铬( o ( 1 ，i ) ) = a l ( o ，。) ol ( x ，所) ；( 4 ) a ( o ，口) o 岛( o ( 1 ，1 ) ) = 1 ( o ，a ) 口o1 ( 1 ，口) ) ； ( 5 ) 1 ( o ，。) o 萌( 1 ( 1 ，1 ) ) ；1 ( o ，。) o1 ( 1 ，所) ( 6 ) 1 ( o ，口) o 审( 口( 1 ，1 ) ) = 1 ( o ，0 。o1 ( 1 ，卢) ) - ( 7 ) 比，口( 1 ) 如。琊 这时，我们称a 是一个右弱卅b 余模代数 命题2 3 ，2 嚣= ( ，m 。，l 。， ，) 是一个弱半t t o p f ，r - 余代数，a = 如，m 口，k 是一 簇代数，同时也是一个左- ，r - - 余模，使得以，口( o = 以，口( o ) 以，口( 6 ) ，对于任意的n ，6 a 卵， 这里a ，口”那么下面的式子是等价的，对于所有的。如 ( 1 ) 1 ( 一霉一圆1 ( 一1 ，卢 o1 ( o ，曲= 1 ( 1 ，田o 一1 ) 1 ( 2 ，卢 o1 ，0 ，) ； ( 2 ) 1 ( 一2 口) o1 ( 一1 ，所o1 ( o 1 ) = l ( a ，口) o1 ( 2 ，卢) 1 一1 ，所o1 ，o 呻； ( 3 ) ( o ( 一1 ，1 ) ) oa ( o ，卢) ) = 1 ( 一l 。口) on 1 ( 0 ，所) ； ( 4 ) 砖( o ( o ，1 ) oa ( o ，钟) = 1 ( 一1 柚o1 ( 0 ，芦) ) n | ( 5 ) ( 1 ( 一1 ，1 ) ) ol ( o p ) ) = 1 ( 一1 ，口) o1 ( o ，所) ； ( 6 ) 瑶( 1 ( 一1 ，1 ) o1 ( 0 棚) = 1 ( 一1 神o1 ( o ，口) ) ； ( 7 ) 触，口( 1 ) z 略。如 奎童奎兰堡圭兰堡丝塞 z 这时，我们称a 是一个左弱，r 一皿余模代数。 类似的，我们称a 是个弱r - h - 双余模代数，如果a 既是个右弱丌- 口余模代数， 又是个左弱n 弘余模代数 2 4 弘模余代数 命题2 4 1h = ( 凰，7 n 。，l a , ) ，岛) 是一个弱半h o p f ，r - 余代数， 瓯，。，s ) 是个* 余代数同时也是个右丌- 岳模，即存在一簇凰作用在： p g ：q o h a + 瓯 。上， 使得。( c 助= c ( 1 ，n ) h ( 1 ，口) 。c ( 2 ，口) 2 ，。) ，对于任意的c ，h 铷，口，p ”那么 下面的式子是等价的，对于所有的口如 ( 1 ) e ( c h k ) = e ( c h ( t ，1 ) ) ( ( 2 ，1 ) ) ； ( 2 ) ( c 触) = ( c h ( 2 ，1 ) ) 妇l ，1 ) ) ； ( 3 ) c 露( ) = s ( c ( 2 ，1 ) h ) c ( 1 ，曲； ( 4 ) c ( 妨= e ( c 0 ，1 ) h ) q 2 ，d 。； ( 5 ) s ( c 碍( ) ) = ( c 砷； ( 6 ) s ( c ( ) ) = e ( c ) ； ( 7 ) so i q 删= 0 这时，我们称c 是一个右弱* 皿模余代数 命题2 4 2 日= ( 怛0 ，m 。，1 。，) ，) 是一个弱半h o p f w - 余代数， c 口，。，) a “是一个 丌- 余代数，同时也是一个左丌皿模，即存在一簇凰作用在q ： 龌：h a o + q ) 。a 上，使得a 。，口m c ) = ( 1 ，a ) c 0 , a ) 。 ( 2 ，。) - c ( 2 ，。) ，对于任意的c c 妇，h 凰孵，n ，卢口，那 么下面的式子是等价的，对于所有的a 如 ( 1 ) e ( h k c ) = e ( h k ( 2 ，1 ) ) ( 敏1 ，1 ) c ) ； ( 2 ) ( h k c ) = e ( h k 0 ，1 ) 弦( 鲰2 ，1 ) 。c ) ； ( 3 ) ( 功rc = e m 。( 2 ，1 ) ) c ( 1 ，n ) ； ( 4 ) 嚣( ) 。c = ( nc ( 1 ，1 ) ) 。( 2 ，0 。； ( 5 ) ( e i ( ) - c 1 ) = e m c ) ； ( 6 ) e ( 苟( ) - c ) = c ) ； ( 7 ) o j 研。o = 0 这时，我们称c 是一个左弱丌- 日模余代数 东南大学硕士学位论文 8 类似地，我们称g 是一个弱n 县双模余代数，如果a 既是一个右弱n 日- 模余代数。 又是个左弱”皿模余代数 2 5n 模代数 命题2 5 1 h = ( z k ，m n ，1 a k a ，) 是个弱半h o p f i r 余代数，b = o 。自风是个n 分次代数，使得吼是个右日口模，对于所有的o f 如果( 曲) h = ( n ( 1 ，。) ) ( 6 h ( 2 ，口) ) ， 对于所有的o 风，b ，h z b ，那么下面的条件等价，对于所有的 ，k - 1 和b b 1 ( 1 ) 1 ( ) = e ( 魄1 , 1 ) ) 1 1 ) ( 2 ) 1 ( ) = e ( h k ( 2 ，1 ) ) l - k ( 1 ，1 ) ( 3 ) b 司( ) = ( 1 1 ) 6 ； ( 4 ) b ( ) = 6 ( 1 1 ； ( 5 ) 1 1 嚣( ) = 1 1 见 ( 6 ) 1 4 1 h ) = 1 1 协 ( 7 ) 1 研= o 这时，我们称_ b 是一个右弱丌一皿模代数 类似地，我们还有关于以上命题左的情况，这里略去 第三章弱群扭曲结构和冲积结构 3 1 弱群扭曲结构和伴随函子 在这一节里，我们将砑究弱群扭曲结构。这一概念理论是c a e n e p e e l 和g r o o t 的文献吲 的弱情况和王栓宏的文献【2 8 】的一情况的概括 定义3 1 1 假定0 = ( 以，s ) 。) 是个”余代数，a = 厶，m 。，1 。) 。丌是一簇代 数，雪1 = 皿：，口：q o + 却。倪k 自是一簇“线性映射并满足下列关系式t ，：，目。( 口t ：口= 一：r p 4 ：，口。n 9 ：，口b ：，p ； ，三口。1 加= c ( 2 t 口) 固e ( c ( 1 ，1 ) 霍i 卢) 1 暇芦； 。，口( c 雪：p 1 ) 。霍b ，= c ( 1 。n ) 巫：，1 。( 2 ，p ) 。j m 。8 嵋。畦，1 e c ( 2 1 t 。) 8 t 。e c ( c 1 1 ，a ) ( 1 。口 。) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 这里我们使用记号m ：，p ( c o o ) = 珏畦。o ，：，口，对于任意的c q ，n 4 触 那么三元组( a ，a m l ) 叫做一个右右弱群扭曲结构或者弱n 扭曲结构，并记为( a ，q 丌- 霍， 映射皿1 叫做一个弱丌一扭曲映射 类似地，我们称( a ，q 皿2 ) 是一个左右弱群扭曲结构，如果a = a 。) 。丌是一簇代数， g = ( 以，a ，s ) 。日) 是一个n 余代数，雪：d ：a 触。瓯，山o 是一个线性映射并满足下 列关系式， ，：，口。皿：，p ( 6 ) = ，：，口圣：，p 。垂。2 ，口a ，。2 口玩 ，：口。眩口1 触= c ( 2 ，口) 。幻( 。( 1 ，1 ) 皿：口) 平 ，口1 口； 。，芦( ，b ) 。霉b 汀口= c ( i 4 ) 垂”2。c ( 2 ，刃田；忙。畦冉唪肿d ； 幻( ，i ，n ) - 。n = 幻( ，i ，a ) 口( 孵。1 a ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 三元组( a ，e m 2 ) 也叫做一个左右弱7 r - 扭曲结构，并记为( a ，g ) 。俨，映射雪2 叫做 个弱”扭曲映射 我们称( a ，c ，妒) 是一个右一左弱群扭曲结构，如果a = 如 。是一簇代数，c = ( q ，a ， 。臼) 是个丌- 余代数，眩8 ：q o a 卵+ c a a o 是个线性映射并满足下列关 系式。 9 ：船。( 。6 ) 口：。口= 吆，口畦- 口c 。畦，口嚏口； 屹跎。l a 胂s 。口= c ( 1 ，口) 圆幻( 9 口( c ( 2 1 ) ) ) 1 p m b ； 9 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 壅童奎兰堡圭兰堡丝壅 1 0 趣( 9 品一c ) 。8 t ：m = 畦加( c ( 1 ) 固码，( 魄力) 。吧m 重；，； ( 3 1 2 ) e c ( * l a c ) 8 畦。= e c ( 霍 - 嘲( 1 。孵。) 口 ( 3 t 3 ) - - ：y r _ 组( a ，g 妒) 也叫做个右一左弱”扭曲结构，并记为( a ，c ) ，雪a ，映射皿3 叫做个弱 7 1 - 扭曲映射， 最后，我们称( a ，g 皿4 ) 是一个左一左弱群扭曲结构，如果a = 厶) 。丌是一簇代数。 g = q 。是一个 r - 余代数，田：口：如p o 以+ 倪o a a 是个线性映射并满足下列关 系式t 雪：- 口c 。雪：。口( 曲) = 吆，吧p c 。吆口口m ：口b ； 雪 - , c o 。嘭一l a # = 。( 1 ，0 。c ( 平如c ( 2 1 ) ) 1 卢； 。，卢( 重a 4 p ，c ) 。平知，口= 蕾a 4 ，口1 c ( 1 ，。) 。圣；，。( 2 ) 。吩，赡，4 ，倒 g ( 9 n c ) 口 。a = 即r ( 9 i - 。c ) 口( 町。1 。) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 这里，我们写皿：，口：幻。瓯+ 瓯o a o ，口oc 一畦a t o m ：。口，圣4 和皿4 意义相同 三元组( a ，c ，雪4 ) 也叫做一个左左弱7 1 - 扭曲结构，并记为( a ，g ) ，p ，映射皿4 叫做 一个弱丌，扭曲映射 给定一个右一右弱丌扭曲结构( ，e ) ，一- ，那么m r c ( 妒1 ) 就表示右一右弱( a ，d ) 。一p t - 模范畴朋r c ( 妒1 ) 的对象m = ( 耽) 。) 是右丌- d 余槐带有一簇舡线性映射妒= ( 札： o 如一耽 使得t 对于任意的a ”，( 肘二，札) 是一个右屯一模 p 络( m 口) = ”( 。，。) a * i 。”( 1 ，口) 嵋 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 对于任意的口，声，m 缸p ，o 锄m r c ( 妒1 ) 中的态射是右”d 余模和右n a 模映射 给定个左右弱”扭曲结构( a ，e ) 。舻，那么a m ”坷似) 就表示左一右弱( a ，e ) 。一俨一 模范畴 朋- 一c ( 护) 的对象m = ( m 二。) 是右”d 余模。带有一簇k - 线性映射毋= 札： 如o 一耽) 使得： 对于任意的o t 丌( 朋二，丸) 是一个左厶一模 p 易( m ) = 咖，。口“( 0 一o ”( 1 ，p ) 妇 ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 对于任意的。，卢 r ，m 脱印，a 如p a t 4 ”一g ( 妒2 ) 中的态射是右丌d 余模和左n a 模映射 奎童查兰堡圭兰堡垒壅 - - 给定一个右一左弱n 扭曲结构( a ，q 。一炉。那么”名朋 3 ) 表示右一左弱( a ，q 一一伊一 模范畴* 一c m ( 妒) 中的对象m = ( m 。) 是左n g - 余模，带有一簇k - 线性映射妒= 如：m a o 如，地 使得z 对于任意的a ，( m a ，) 是一个右a r 模 p 易( m o ) = 札，p ”( 一1 ，砷o ”( 0 ，p ) - 毗 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 对于任意的a ，芦口，m 心口，口 卵。一g m a ( 妒) 中的态射是左d 余模和右”a - 模映射 给定一个左一左弱丌- 扭曲结构( a ，g ) 霄一p ，那么r 口m ( 俨) 是一个左一左弱( a ，c ) ，一伊一 模范畴r c 朋( ) 的对象m = ( 如k 。) 是左丌- d 余模，带有一簇k - 线性映射妒= 札： 厶o 一m a 使得； 对于任意的o ”，( 心，札) 是一个左如一模 如扣m ) = 忆t 口”( 一1 ，n ) o 札， m ( 0 ，所 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 对于任意的o ，p q r ，m 红p ，口月。4 r c 朋( ) 中的态射是左n d 余模和左n a 模映射 如果h 是一个弱h o p f ”余代数，a = a 口，m 。，l 。) 。日是一个弱n m 双余模代数， c = ，) 。是一个弱俨皿双模余代数那么我们就称三元组g = ( 日，a ，c ) 是个弱 d o i - h o p fn 数据。 例3 1 2 给定一个弱d o i - h o p f 丌数据g = ( 羁a ，c ) 。我们可以定义四种不同类型的弱 d o i - h o p f n 模即t 左左，左一右、右一右和右左个弱的d o i h o p f 丌- 模是一簇k 一线性 空间m = 肘二 。，同时是一个( 左或右) n d 余模和一个( 左或右) 丌一a 模，并满足一些适 当的相容条件具体来说，对于r g 朋( 耳) 、 m ”一g ( 抒) 朋r 。( 蟊) 和”g 朋a ( 日) 四个弱 d o i - t t o p f * 模范畴中的任意一个，我们分别都有一个对应的弱群扭曲模范畴，r g m ( 皿4 ) ， a 朋”一c ( 雪2 ) m j ( 皿1 ) 和。- c m ( 皿3 ) 弱结构映射分别由以下公式给出， 矿= 畦口：a 印o q q $ 却 ； 妒2 = 镌口：a 触。倪，山p ； 妒1 = 怯1 ，口：瓯o a 触一山o g ) ； 矿= f 磕口：c a a a 口一q s 知 ； 口9 c 卜n ( 一i ，a ) 1e 8 a o ，所 n o c h 口( o 棚o d ( 1 棚一c ； c o 口h 口( o 卢) o c 上- a 0 ，砷； c o 口h e 一8 ( 一l ，司。凸( 0 ，钟 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 东南大学硕士学位论文 饲3 1 3 假定日= ( 昱0 ，m 。，l a , ，) 既是一簇代数又是一个n 余代数，并使得 a 。月( k ) = 郇( ) 。，口( 女) ，对于任意的 ，k i - i a , b 那么我们考虑以下四个映射t 妒1 = 妒盘口：日a o 一昂。凰，； 护= t 醒d ：丑矗。玩一鳓。玩 ； 矿= 让，口：玩。铷一o 鳓k 俨= 旌口：铷。玩一现。鳓) ； 以，口( f o ) = ( 1 0 f ) 口。a ( _ 1 1 ) ， 镌卫( f o ) = 口，。( z ) ( 1 0 ) ， 识口( f d 危) = ( 2 0 1 ) a ，p ( ， 妒4 ( f o ) = a ，口( z ) ( 0 1 ) ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) f 3 3 3 ) 容易验证日是一个弱半i i o p fn 余代数当且仅当妒1 ，俨、妒3 ，矿定义了四个弱妒扭 曲结构那么，通过例3 1 2 ，对于四个弱h o p f 霄- 模范畴tm f 日，h m 一日，f 甘3 4 、 和”m h 中的任何一个范畴，我们分别都有一个对应的弱群扭曲模范畴， 刍- 日m ( 皿4 ) m 穿日( 雪1 ) ， u m ”一日( m 2 ) 、， f h 朋( 皿4 ) 和”一日朋日( 皿3 ) 在命题3 1 t 3 1 7 里，我们假定置= ( 量。，m 。，1 。，) ，岛) 是簇代数同时又是一个口 余代数，并使得。，口( 珧) = a 。，p ( h ) 。，p ( ) ，对于任意的h ，冠印命题3 1 4 - 3 1 7 的证明 类似于文献吲中的命题4 3 - 4 6 ，这里把细节留给读者 命题3 1 4 下列各点是等价的： 1 ) 等式( 2 3 ) 满足； 1 0 ，o1 ( 2 ，p ) o1 ( 3 ，1 ) = 1 0 ，。) p1 1 1 1 ，口) 1 ( 2 ，口) o 2 ，呐 2 ) 存在一簇映射= 吐：h 1 + 玩) 。“使得， z ( 1 ，口) o 略扛( 2 ，1 ) ) = 1 ( 1 ，口) zo1 ( 2 ) 3 ) 俨满足条件( 3 1 4 ) 4 ) 存在一簇映射，= 吃：历+ 玩，。n 使得。 略( z 0 ，1 ) ) oz ( 2 ，n ) = 1 ( 1 ，口) 圆z 1 ( 2 ，口) 对于任意的口7 1 对于任意的卢n ( 3 3 4 ) f 3 3 5 ) 5 ) 矿满足条件( 3 2 ) 证明我们只证明1 ) 点和2 ) 点等价，其余的证明都可以用类似的方法或者直接证法证 明，这里略去 1 ) = 寺2 ) 假定等式( 2 4 ) 中口= l ，将0 1 作用在等式( 2 4 ) 两边，容易验证对于一， 只能有s ：( 矗) = e ( 1 ( 1 ，1 ) ) 1 ( 2 口) 使用文献 2 0 l 中的引理6 1 0 ) 中相同的证明方法，容易证出， 这里略去 2 ) = 号1 ) 等式( 2 4 ) 的两边作用z = 1 ( 2 ，所，可得； 1 ( 1 ，。) o1 ( 2 。所。西( 1 ( 3 ，1 ) ) = 1 ( 1 ，a ) o 1 ，a ) 1 ( 2 , , o lo1 ，2 ，7 ) 另方面，等式( 2 4 ) 两边作用$ = 1 印，得到 1 ( 1 ，蜊。茜( 1 ( 2 ，1 ) ) = 1 0 ，硼o1 ( 2 。们 东南大学硕士学位论文 将础作用在上式两边的第一项，可得： 1 ( 1 ，n ) o1 ( 2 ，所o4 ( 1 ( 2 ，1 ) ) = 1 ( 1 ，0 。o1 ( 2 ，所o1 ( 2 ，7 ) 等式( 2 3 ) 成立口 类似的，我们有z 命题3 1 5 下列各点是等价的， 1 ) 等式( 2 5 ) 满足；e ( 从f ) = e ( h k ( 2 ，1 ) ) e ( ( 1 1 ) z ) 2 ) 存在簇映射= 吐：毋+ 月j 一。使碍， 船：( z ) = e ( h ( 1 ，1 ) x ) h ( 2 ，。) ，对于任意的口7 r ( 3 3 6 ) 3 ) 妒4 满足条件( 3 1 6 ) 4 ) 存在一簇浃射，= ：甄+ 玩 。使得， = h ( 1 a ) e ( x h ( 2 ，1 ) ) ，对于任意的o 口( 3 3 7 ) 5 ) 妒1 满足条件( 3 4 ) 命题3 1 6 下