（基础数学专业论文）涉及广义fibonacci和lucas数的一些恒等式.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 组合恒等式是组合数学领域的主要研究课题之一它在概率统计计算、理论物理求 解、计算机算法的复杂性分析等许多学科都有广泛的应用在组合数论中，涉及f i b 0 ”c i 及l u c a s 数的恒等式也是一个非常深入和久远的问题近些年来，对这个问题的研究仍 然非常活跃，尤其是对广义的f i b o n a c c i 和l u c ”数，使其得到了非常大的发展研究组 合恒等式的方法多种多样，其中发生函数方法是证明组合恒等式的一个基本而且重要的 方法发生函数是解决离散问题的有效工具，是联系离散数学和连续分析的桥梁发生 函数方法的用途很多，比如，寻找递归关系，求序列的平均值，证明单峰性，证明恒等式 等用发生函数方法不但可以证明已有的恒等式，还可以发现新的恒等式常系数线性 齐次递归序列( 又称斐波那契卢卡斯序列，简称f l 序列) 在组合学中是作为一种组 合计数的工具被研究的然而，它的许多美妙的数论性质早巳引起人们的注意自2 0 世 纪6 0 年代以来，人们对这种序列的兴趣迅速增长，以致这种序列已逐步形成数论中的一 个专题二阶f l 序列是研究得最为成熟的一种f - l 序列，它具有许多优美的性质本 论文就是考虑二阶f l 序列，利用发生函数的方法，结合不定积分的工具建立了一系列 涉及广义f i b o n a c c i 和l u c a s 数的多重和的恒等式，并得到了一些新的同余关系 本文安排如下： 1 第一章主要介绍了与本论文相关的一些重要的定义和符号，以及关于广义f i b o n ”c i ， l u c a s 数的恒等式的一些研究成果 2 第二章利用广义f i b o n a c c i 数的普通发生函数，指数发生函数，关于 ( ：) ) 的发生函 数及不定积分的方法建立了一系列涉及广义f i b o n c i 数的恒等式，并得到了一些新 的同余关系 3 第三章利用与前一章类似的方法给出了涉及广义l u c a s 数的一些恒等式和新的同余 关系 关键词t 广义f i b o n a c c i 数；广义l u c a s 数；恒等式；发生函数；积分 涉及广义f m o a c c i 和l u c a s 数的一些恒等式 s o m ei d e n t i t i e si n v o l v i n gt h ef i b o n a c c ia n dl u c a s n u m b e r s a b s t r a c t t h er e s e 盯c h0 fc o m b i a t o r i a li d e n t i t yi so n eo ft h em 血8 u b j e c t si c o m b i n a t o r i c s c o m b i n a t o r i a li d e n t i t yi sw i d e l y 印p l i e dt ot h ec o m p u t a t i o ni np r o b a b i l i s t i cs t a t i s t i c s ，t h es 0 1 u t i o n m t h e o r e t i c 础p h y s i c s ，a n dt h ea a l y s i si a l g o r i t h mc o m p l e ) 凸t y0 fc o m p u t e ra n ds oo n i nc o m _ b i n a t o r i a ln u m b e rt h e o r y jt h ep r o b l e mo fi d e n t i t i e si n v o 】撕gt h ef i b o n a c c ia n dl u c a sn u 珈_ b e r s i st h o r o u g ha n df 盯b a c k i nr e c e n ty e 甜s ，t h es t u d yo ft h eg e n e r a | i z e df i b o n a c c ia 丑dl u c a s n u 】b e r 8i se s p e c i a l l yd e v e l o p e d ，t h e r ea r em 舡1 ym e t h o d st os t u d yc o m b i n a t o r i 8 li d e t i t 弘o f w h i c ht h eg e n e r a t i g 缸n c t i o ni sb a s i ca n di m p o r t 衄t t h eg e n e r a t i n gf 1 1 n c t i 0 i su s e f l l lt os 0 1 v e d k c r e 七e 碑o b l 吼sa n d 让i 8ab r i d g et oc o 皿e c td i 8 c r e 七em a 七h 钉n a t i c sw i t hc o t m u o 、l s 缸l a l y s i s b ym e a 皿so ft h eg e n e r a t i n gf 【l c 七i o n ：i ti se a s yt od e d u c er e c u r s i v er e l a t i o n ，s e e kt h em e a 丑v a l u e 0 ft h e8 e q u e n c e ，a 皿dp r a v el m i m o d m i t ya n ds oo n w i t ht h eg e n e r a t i n gf h n c t i o n ，w ec a na j s on o t o n l yp r o v ei d e n t i t i e s ，b u td i 8 c o v e rn e wi d e t i t i e s l i n e a rh o m o g e n e o u sr e c u r r e n c es e q u e n c ew i t h c o n 8 t 鼬tc o e m c i e n 七洳a 1 8 0c a i l e df i b o n a c c i l u c a s8 e q u e n c e ，o rf l8 e q u e n c e ) i su s u 蚰y8 t u d i e d a sat 0 0 li c o 皿【b i n a t o r i a le n u m e r a t i o n h o w e 、碍r ，i t 8n n ep r o p e r t i e si u m b e rt h e o r ya t t r a c t m a 丑ym a t b e m a t i c i a n 8 n o m1 9 6 0 s ，w i t hp e o p l e si n t e r e s ti n c r e 蹈i n et h es e q u e n c eh a sb o c o m e a ni s s u e o ft h ef l8 e q u e n c e ，t h es e c o n d0 r d e r0 ei 8m o s tm 曲i l r ea dh a sm a n yg r a c e f u l p r o p e r t i e si t h i st h 朗i s ，w ec o n s i d e rt h es e c o n d0 r d e rf l8 e q u e n c et oe s t a b h s hm a n yi d e n t i t i e si v o l v i n gt h eg e n e r a l i z e df i b o a c da n dl u c a sn u 1 b e r sa n do b t a j n8 0 m en e w g r u e n c e s b yl l s i n gt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o a di n t e g r a t i o n 1 t h ef i r s tc h a p t e ro fw h i 出i n t r o d u c e ss e v e r a ls y m b o l s ，d e f i n a 七i o n sa 丑ds o m er e 8 u l t so t h e g e n e r a l i z e df i b o n a c da n dl u c a sd u 瑚b e r s 2 i nt h es e c o n dd l a p t e r ，b yl l s i n gt h eo r d i n 盯yg e n e r a t i n gf u n c t i o n ，t h ee x p o e n t i a lg e n e r a t i n gf l l n c t i o n ，t h eg e n e r a t i gf i l n c t i o no n ( ：) ) a n di n t e 铲a t i o n ，w ep r e s e ts o m ei d e n t i t i e s i d v o l v i n gt h eg e n e r a 肛z e df i b o n a c c in u 瑚_ b e ra n dg e ts o m en e wc o n g r u e n c e s 3 i nt h et h i r d 出a p t e r ，b yu s i n gt h es i m i l a rm e t h o d st ot h e1 a s tc h a p t e r ，w e 舀v es o m ei d e n t i t i e s i n v o l v i n gt h eg e n e r a l i z e dl u c a sn u i n b e ra dn e wc o n g r u e n c e s i ( e y w o r d s ：g e n e r a l i z e df i b o n a c c in u i n b e r ；g e n e r a l i z e dl u c a sn u i d b e r ；i d e n t t y ；g e n e r a t i n gf u n c t i o n ；i n t e g r a t i o n i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的 研究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也 不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明 确的说明并表示了谢意。 作者签名：啦滢蛐日期；1 2 丛：2 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解t 呔连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名： 导师签名 挞滥生自 星红 塑q 年6 月上日 4 1 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 组合恒等式是组合数学领域的主要研究课题之一它在概率统计计算、理论物理求 解、计算机算法的复杂性分析等许多学科都有广泛的应用 国内外对组合恒等式的研究一直很活跃；早在1 9 6 8 年，j o h nm d r d a n 瞄7 】就出版了 专著c o n l b i n a t o r i 出i d e n t i t i e s ，作者巧妙地运用了递归关系、发生函数、反演关系、 分析多项式和算子理论，系统地阐述了组合恒等式的几个相关理论，为此后的研究奠定 了基础1 9 7 2 年，h i w g o u l d 1 4 l 在其著作c o m b i n 氆t o r i d e n t i t i e s 中歹q 举了5 5 5 个 有关二项式系数的组合恒等式，给人们提供了一个较完整的可以查阅的公式表 研究组合恒等式的方法多种多样，也各有千秋例如，徐利治先生【3 6 j 在1 9 9 4 年系统 地总结了四个发现与证明组合恒等式的方法：( 1 ) 利用超几何级数方法作为推导组合恒 等式的统一方法( 2 ) 用留数计算处理组合和( 3 ) 哑运算方法( 4 ) 嵌入反演技巧方法 1 9 7 8 年，g o s p e r 13 】提出一个非常好的求解组合和的算法，后来w n f 和z o i l b e r g e r 【3 3 ，3 4 ，碉 利用g o s p e r 算法相继给出证明恒等式的一些算法( 简称w z 方法) ，w z 方法实现了组合 恒等式的机械化证明，具有十分重要的意义然而，它也有缺陷，有些简单的用发生函数 理论中的“万金油”方法可以很容易证明的恒等式，如，。( 。兰。) = r ( r 指f i b o ”c i 序列的第n 项) w z 方法却处理不了，此时发生函数方法就显示出了其优越性 发生函数是解决离散问题的有效工具，是联系离散数学和连续分析的桥梁 1 9 9 0 年，w i 5 j 在其专著g e n e r a t i n gn n c t i o o l q 斟中详尽地论述了发生函数的各种用 途，包括：寻找递归关系，求序列的平均值和其它统计性质，根据序列发生函数的性质 找出关于序列的新信息，求序列的渐进公式，证明单峰性，证明恒等式等特别地，w i l f 在书中列举了很多例子说明如何利用发生函数证明组合恒等式l c o m t e t 【5 】在其著作 a d 砌c e dc o l b i n a t o r i a 中对发生函数做出这样的评价：一个关于具有组合意义的整 数序列的简单公式的存在性往往等价于一个简单发生函数的存在性无数事实证明发生 函数方法是证明组合恒等式的一个非常有效的方法，用它不但可以证明许多人们熟知的 恒等式，还可以发现新的恒等式本论文就是利用发生函数的方法，结合不定积分的工 具建立了一系列涉及广义f i b o n ”d 和l u c a s 数的多重和的恒等式，并得到了一些新的同 余关系 涉及广义f m o n a c c i 和l u c a s 数的一些恒等式 1 2 定义和符号 为避免后文叙述繁琐，这里先介绍一些重要的定义和常用符号( 若无特别声明，这些 符号适用于全文) ： 1 形式幂级数，指形如c 0 + c l z + c 2 2 2 + 的表达式，其中 被称为系数序列说 两个形式幂级数相等是指他们的系数序列相同 2 发生函数：设给定一实数或复数序列( 实际上这些序列常常由具有组合意义的正整数 组成) o 。) ，则我们把下列三个形式幂级数 垂( t ) = p n = 0叩，= 耋。筹 垂n ( t ) = n 。矿 n = 0 ( 其中n = n 。) 是给定的序列) 分别称为序列 ) 的普通发生函数、指数发生函数 和更一般的关于n = f n 。，的发生函数 3 同余：在数论中，设。和6 是两个整数，如果。一6 能被m 整除，则称n 与6 以m 为模同余，或n 与b 模m 同余，记作a ；b ( m d d m ) 4 降阶乘函数： 。= z 一1 ) 扛一2 ) 扣一n + 1 ) m 兰1 ，吲o = 1 ) 升阶乘函数： ( z ) 。= z ( o 十1 ) ( o + 2 ) ( 。+ 札一1 ) ( 礼1 ，( z ) o = 1 ) 这里z 丑，n 5 s t i r h n g 数：一类组合数两类基底函数 旧。) 和 矿 互相变换的系数设 叫。= ( n ) 妒， 七0 扩= 岛( n ，自) 0 这里约定s 1 ( o ，o ) = 岛( o ，o ) = 1 ，s l ( n ，) = 岛( n ，) = o ，女 n 这两个展开式中的系数 s l ( ) 和岛( ) 分别称为第一类和第二类斯特林数它们满足： ( i ) 递归关系t 岛( n + l ，南) = s 1 ( 礼，七一1 ) 一n s l ( 礼，砖) ， & ( 佗+ 1 ，) = 兄( ，a 一1 ) + s j ( n ，) ( i i ) 指数型发生函数： 攀= 量跏嘉，掣：主跏等 6 二项式系数：( 三) 表示二项式系数：对任意正整数m 与n ，当n m 时，( 二) = 丽芒：丽 当n n ) 的最大公因式时，其除法次数不超过n 的位数的5 倍，等等正因为如此，这些序列引起了众多数学家和数学爱好者的浓厚兴趣，国际上， 这方面的研究和探讨十分活跃 常系数线性齐次递归序列，在组合学中是作为一种组合记数的工具被研究的然而， 它的许多美妙的数论性质早已引起人们的注意斐波那契提出的“兔子问题”以及卢卡 斯所研究的两类整数序列的数论陛质，都属于二阶常系数线性齐次递归序列自2 0 世纪 6 0 年代以来，人们对这种序列的兴趣迅速增长，以致这种序列已逐步形成数论中的一个 专题 常系数线性齐次递归序列( 又称斐波那契卢卡斯序列，简称f _ l 序列) 在理论上 和应用上都有重要作用它几乎渗透到数学的各个分支，如数论，代数，组合与图论， 计算机科学，微分、差分方程，数值分析，运筹学，概率统计，函数论，几何学等等此 外，在生物学、物理学、化学以及电力工程等方面，f l 数也有许多用途从数论的角度 对f l 数进行研究进展较快，成果也颇多卢卡斯和莱姆( l e h m e r ) 先后利用f _ l 数给出 了姆森( m e r s e n n e ) 数2 p 一1 为素数的判据f l 数的一些性质被用于大整数分解和求解 不定方程对f l 数的数型研究，解决了某些高次不定方程的求解问题1 9 7 0 年，俄罗 斯数学家马季藏谢维奇( m a t a s e v i i ) 运用斐波那契数的整除性成功地解决了著名的希尔 伯特( 础b e r t ) 第十问题，数的表示为数的应用进一步开辟了途径近些年来，对f _ l 伪 素数的研究成了计算数论中一个非常活跃的课题，这在素性检验和现代密码学等方面均 有其应用 3 涉及广义f i b o n a c c i 和l u c 数的一些恒等式 二阶f l 序列是研究得最为成熟的一种f l 序列，它具有许多优美的性质本文中 我们就利用二阶f l 序列给出涉及广义f i b o n ”d 和l u c a s 数的一些恒等式在组合数论 中，涉及f i b o n a c c i 及l u c ”数的恒等式也是一个非常深入和久远的问题近些年来，对 这个问题的研究仍然非常活跃，尤其是对广义的f i b o n a c c i 和l u c 8 s 数，使其得到了非常 大的发展，并且通过这个问题的研究，也得到了许多新的同余关系下面我们先介绍一 下涉及广义f i b o n a c d 和l u c a s 数的多重和的恒等式的研究概况 1 9 9 7 年，w z h a g 在 4 0 中给出二阶线性递归序列u = “) ，n = o ，1 ，2 ，它满足 的递归关系为 e 厶十2 = 6 + 1 + d 【k ( 扎o ) ，( 1 4 ) 这里0 6 o ，砺与矾不同时为o 通过上述递推关系很容易得到= 妒”一q 矿，n = o ，1 ，2 ，其中p = 瓣，g = 学，而。和卢为多项式z 2 一k o = o 的两个根当 初值= o ，u = 1 时，= ! 尝三铲，此时，对任意正整数女2 ，利用的普通发生函 数及求导的方法可以得到关于和式 ，巩：。 0 1 + d 2 + + o 女= n 的恒等式( 这里和式取值于坐标分量为正整数的维空间，并且分量之和为n ) 然而，w ，z h a g 在 4 0 中并没有利用同样的方法得到关于广义l u c 8 s 数的恒等式， 于是在2 0 0 2 年，ph e 和z z h a n g 在1 1 6 】中根据递推关系( 1 1 ) ，利用新的方法，即考虑 碥的普通发生函数的k 次幂建立了关于和式 ，碥。k 。 8 i + 眈+ + o k = 再 的恒等式，并得到了新的同余关系 2 0 2 4 9 ) i k + 2 4 9 2 。芝o ( m 嘶2 ( p 2 4 9 ) ) 不久，z z h a n g 和x w 妇g 【4 3 】又根据递推关系( 1 4 ) 通过定义个新的算子a 。( m 女) ( 将 在21 1 小节中给出定义) 将文 4 0 中的结果更加具体化，并得到了关于的新的同余 关系例如： 9 k 一1 ( n ) c 一七+ l + k 一1 ( 礼) c 名一七三o ( f n d d ( 七一1 ) ! ( 6 2 + 4 0 ) 一1 ) 一l ( n ) 和k 一1 ( n ) 的具体表达式将在2 1 1 小节中给出) 在2 0 0 3 年，h f e n g 和z z h 8 n g 于文f l o 中根据递推关系( 1 1 ) 将 1 6 】和 4 3 中的 结果更加一般化，得到了关于和式 。w 赢 o l 十0 2 十十o k = n 的具体的恒等式和形式更一般化的同余关系 4 盔垄望三盔兰堡圭兰垡堡塞 此后，f z h a 。和t w a 皿g 4 7 】叉根据递推关系( 1 1 ) ，利用瑶及硼的普通发生函数 考虑了关于和式 瑶磕暖 和 眩吆皖 的恒等式 在1 2 节中，我们提到除了普通发生函数和指数发生函数，还有一种更一般的关于 n 2 n n 的发生函数，2 0 0 4 年，f z h a o 和t w h g 在 4 8 中就是利用这种类型的发生 要蝥量鬯i 甚。( ”吉z “和磙( z ) = 巽。( “毒。) z n ( 这里n 。：“n 吉e ) ) ，得到关于 新形式的和式 。 叶。暑一。( q 手2 ) ( 0 2 h - ( 2 ) 儿 的恒等式 最后，我们注意到若在递推关系( 1 1 ) 中取p = l ，g ：一l ，便可以由以上关于和 k 的恒等式和同余关系得到关于昂和k 的恒等式和同余关系 ( 我们约定，在第二齑 和第三章的陈述中，除了文 4 0 和f 4 3 】中的结果外，广义f i b o n 删和l u c a s 数所满足的 递推关系均为( 1 1 ) ) 另外，利用f i b o n a c c i 多项式也可以得到关于f i b 0 丑a c d 和l u c a s 数的恒等式比如， 2 0 0 2 年，y y u a n 和w z h a n g f 3 7 根据二阶线性递归序列 r + 2 ( z ) = z r + l ( z ) + r ( z ) ，f 0 ( 。) = o ，f 1 ( z ) = 1 堕导f ( 。) = 1 ) 再利用归纳法及性质( 2 6 ) 和( 2 7 ) 可给出u 驴+ 1 的含有。蚶( n ，) 的具体表达式如下 咿k 矗静咖“听削帆嘲* 鼬训 皿。， 大连理工大学硕士学位论文 另外，根据递归关系 e ，m + k = 最+ l c ，m + 。风c 厂m 一1 ( o ，m 1 ) ( 2 1 0 ) 其中r ：芋可将( 2 9 ) 式中的+ 女一t 替换，从而得到关于硝+ 1 的恒等式 秽k 蒜扣m h 知 h 嘶叫州扣) ( 膏2o ) 由上式和( 2 8 ) 式，我们得到【4 3 中的重要结论 定理2 3 球国 ，。 r 唐一1，r r 一 2 两群可珂 丢( 2 扩。k 一b “一吼“。舻1 ，” 屁一i l u k k + 1 + 口l 芝：( 2 0 ) 6 一一1 女 一1 盯七十f l ，i ( 扎一七+ l ，七一1 ) 最+ 1 一t ) ( 1 ) 因此我们得到鳜一，( n ) 和h 一( n ) 的具体表达式，即 9 k 一1 ( 礼) = 乏二( 2 口) t 扫一一1 一t 一1 盯k + ；一l ，t ( 扎一k + 1 ，k 一1 ) r t ( 南1 ) ， 诂= 0 k l 九一1 ( n ) = ( 2 。) i 泸一一1 k 一；一1 盯七+ 。一1 ， ( n 一菇+ 1 ，一1 ) 段一1 1 ) 同时可以得到同余关系 9 k 一1 ( 仉) 【一k + 1 + h k 一1 ( 乱) ( k k 三o ( m o d ( 七一1 ) ! ( 6 2 + 4 口) 。一1 ) ( k21 ) 在 4 3 中作者考虑的是关于的多重和的恒等式 h f e n g 和z z h a 丑g 【1 0 】将 4 3 中的结果更加一般化，考虑的是关于u 赫( 在文 1 0 中用1 暇。表示) 的多重和的恒等式 即利用发生函数i 嚷( z ) = 器o ，嬲。”一与文 4 3 】类似的证明过程便可得到下面结论 略1 k 丽骜两噶t 1 ) - 幻蚴 文 1 0 】将吼，( n ，) 的定义作了改进，即用吒( m k ) 表示从n + 一t + 1 ，n + 一 十 2 ，n + 2 k l 中任取t 个元素( 任两个元素都不相邻) 的乘积的和，用式子表示即q ( n ，k ) = n ；：l ( 竹+ 一+ j t ) 1 3 涉及广义f i b o n a c c i 和l u c a s 数的一些恒等式 于是利用归纳法及( 2 1 1 ) ，我们可以得到耐豺1 关于吼( n ，) 的恒等式 嘴”= 珂罢岛娄( _ 2 州嗡堆汛“啪脚叫 ( 2 1 2 ) 而根据的b i n e t 形式和皤嚣的发生函数，可以将( 2 8 ) 和( 2 1 0 ) 推广，分别得到 下面的等式 其中 。，。= 喘斟印 0 1 + 0 2 + o = ” w ，m ( 蚪n ) = n w ，m ( 七+ 1 ) 一g m ( 。一1 ) w ，m 南 综合上面两式与( 2 1 2 ) 式，可以得到 1 0 中的主要结论 l 职n 。，职m ：。 n 1 + n 2 + + 日k = n = f 蒜薯f b 卧) 斟。m 卧) 叫 ( 2 1 3 ) 由( 2 1 3 ) 式得到同余关系 驴一1 嗡2 啦( 椭+ 1 ) 妲( n ) ( 础) ) ；o ( m d d ( 一1 ) ! ( 嘿一4 9 m ) ) 在( 2 1 3 ) 式中分别取= 2 ，3 又可得到结论 。 口+ 6 “ 南 m 一1 ) 巩仉一2 9 m 礼】w ，m ( ) 一扩( n 一1 ) w ，m ( 脚疗 6 。 磊 ( 州肋- 1 ) 嘿。咄 + 4 9 2 m ( 札一1 ) ( 礼+ 1 ) 【，二 i ，m ( 。一2 ) 一g m ( 礼一2 ) ( 礼 一2 9 ”( n 一2 ) ( 2 n + 1 ) 【，m 】w k m 一3 ) 2 ) ( 2 n + 1 ) 巩。 1 ) 嘿既。 回顾前面的所有结果，我们发现文 4 3 】相对于 4 0 在多重和的形式上并没有改动， 只是利用自定义的算子吼，j ( n ，) 将其等式右边的结果更加具体化，把肌一1 ( n ) 和一1 ( 。) 1 4 叶 叫 k d d 一 一 七 南 + + 惫 七 一 一 m 吼 吒 o o 叶 叫 k k + + 七 七 一 一 障 札 o o 叶 叫 嚷 嚷 v ， r 妒 妒 一 一 m三：l = i | 哪 哪 小小 啦 啦 大连理工大学硕士学位论文 用吼，j ( n ，七) 表示出来了而文 1 0 相对于 4 3 等式右边的形式类似，只是将的多重和 形式推广为u 赫的多重和形式在方法上，前面的结果利用的方法都是类似的，即考虑 广义f i b 0 a c c i 数的普通发生函数，对发生函数进行求导并结合一些运算技巧受到前面 结果的启发，我们得到了关于广义f i b o n a c c i 数的新的形式的多重和的恒等式，即阶 乘形式这里我们考虑的不再是的普通发生函数而是其指数发生函数和文 1 0 】的思 路一样，这里我们也直接考虑其最一般的形式，也就是g 。( 。) = 甚o 争扩我们所得 到的结果是与第二类s t i r l i n g 数密切相关的下面是我们的主要结论 定理2 4 对任意非负整数n 和m ，有 f 坠塑坠堕坠堕 。，惭辜4 。k ：。0 1 1 0 21o k ! ：筚鲋( 彘) ”4 蛳i n5 乞i 八u m 馆一4 口 7 证明：令 g 1 ( z ) = 等矿 通过( 1 ，2 ) 和( 1 3 ) ，我们有 g ，c z ，= 妻等等 = 南医学一薹譬 = 南( 矿一扩) ：三! 陋q 咖一1 1 令t = ( a ”一卢”) z ，注意到。一卢= 扔两，a ”一眇2 一芦) ，于是z 5 瓦老葡- 我们可以得到 从而 g m ，= 志唧( 彘) p 叫 g ( ) = 匡等( 彘) 。 七! 一( 、伊面) 。 七! 一( 伊司 唧( 考瓮) 掣 耋纂杀萎蛳，暑 仁均 鲁i f 诉e _ 1 惫”吖j 2 1 5 涉及广义f i b o n a c c i 和l u c a s 数的一些恒等式 这里，我们用到了第二类s t i r l i n g 数的指数发生函数 比较等式( 2 1 4 ) 两边俨的系数，便可以得到我们所要的结果证毕 口 我们知道岛( n ，3 ) = ( 3 ”一1 + 1 ) 一2 “，( n ，n 一2 ) = ( ；) + 3 ( ：) ，( n ，n 1 ) = ( ：) ， ( n ，n ) = 1 ，所以在定理2 4 中取m = l ，= 2 ，3 ，n 一2 ，和n 一1 可以得到下面的推论 推论2 1 对任意非负整数有 。鲁鲁= 器焉， 嘲 。名nn 1 6 1 n ! 妒一4 9 ) ”7 。+ 毫。鲁鲁鲁= 堂焉筹辩学，协。+ 急：。a 161c 】 n ! 2 4 9 ) 以i 酉 ”“ ，善等等等= ( 等p 2 一舢删， 。1 恤+ 毒：。a 1 1 218 删2 4 6 ，”。叫 卅。三一。等争等= 妒u 仁 将阶乘形式的恒等式( 21 5 ) 和( 2 1 6 ) 与定理2 2 的结果相比较，我们发现利用指数发 生函数我们可以得到的简洁封闭形式的多重和的恒等式 由推论2 1 可以得到关于f i b o n a c c i 数昂的多重和的恒等式例如，在式( 2 1 5 ) 中取 p = 一g = 1 我们有 r 墨垦一竺生二! n 名。o 16 f5 刊 而对于式( 2 1 7 ) 我们有更漂亮的结果 f堡堡墨盟：竺生 。1 佃篇：。0 1 1 21 一1 1 2 2 1 2 关于n 。= ( ；) ) 的发生函数 前一小节我们考虑了的指数发生函数这一小节我们来考虑关于 ( ：) ) 的发 生函数巩( 。) = 甚。( ：) 扩 f z h a o 和t w a n g 在f 4 8 中已经考虑了关于 ( “妻) 的发生函数甚。( “吉2 ) 。n ， 并且利用此发生函数研究了关于f i b o n a c d 数的和式 叶。点( 0 1 2 ) ( 眈以( ，。) 吼。 利用与【4 8 】类似的方法，我们得到了关于和式 叶。暑一。( ：) ( 分( 警) - 的恒等式 首先我们给出文 4 8 的主要结论 大连理工大学硕士学位论文 定理2 5 朝 ) 是广义的尉6 0 n n c c i 序列，那么有 。至。( 。+ 1 ) ( ) = 剐“；3 ) 。k + 幻叫州腑。 十1 ) ( 6 + 1 ) ( c + 1 ) 现昵= o + 6 + “ ，n + 5 、3 十2 卜+ 3 、3 p 如+ 1 ) k + 2 d 5 d 2 3 。 d 3 1 印g + 1 。6 9 k + 1 一+ 2 、 6 口2 m + 1 ) d 3d 3l2 d 3 。( 。吲6 ：2 ) 玩巩= 舯；5 ) k 一学( “；2 ) + 业掣坚一鼍竽 r ( 2 1 8 ) 这里d = p 2 4 q p b 后本文中所出现的d 的含义均相同j 通过定理2 5 可得到关于f i b o n c i 数的恒等式比如在( 2 1 8 ) 中取p = 一口= 1 可得 。( 。烈6 吉2 ) r 昂= 狞挣n 一半( ”；2 ) 6 ( 扎+ 1 ) l 。+ 21 2 r + 】 2 52 5 j 由上式得到同余关系 z s ( “言5 ) 厶硼( “妄2 ) - 6 ( n + 班哪棚嘶三0 ( m m 5 ) 我们知道 ) 和( k ) 满足的线性递推关系为w ，n = p 眠一1 一口矸么- 2 】n 2 如果设 = 型攀= 镑，昧= “n t + 伊* = k ，那么容易知道 叱 和 k ) 满足的线性递推 关系为 眠= k 一1 一矿一2 ，n 2 ( 2 1 9 ) 将 叱) ， 嘭) 代入定理2 5 可得关于 ) 的多重和的恒等式例如，若我们将 昵) ， ) 代入( 2 1 8 ) 便可以得到下面的等式 。差。( 。拟6 吉2 ) e = 去m5 ) * 哿( ”言2 ) + 啦糍血一等警 - 如果我们考虑形如( “吉) 磲z n 的发生函数，则有 ( 。+ 1 ) ( b + 1 ) 理曙 n + 6 = ” 击 毒圳t 一警， 塑等逝+ 鼍笋)dd j n g 4 + 、， 3 + 3 n ， + 涉及广义f i b o n a c c i 和l u c a s 数的一些恒等式 由上面式子同样可以得到关于f i b o n a c c i 数的恒等式和同余关系，并且利用( 2 1 9 ) 式 又可得到关于 k ) 的恒等式 。是。托+ 1 ) ( 。+ ，) 吆咄= 击 巍+ ) m t 一警8 十0 = n0 一“ 十( ”；3 ) c k n * + a a ”8 ，一兰鱼尘学+ 警) 现在我们用与f 4 8 类似的方法来证明下面的定理 定理2 6 ) 为广义的屁6 0 n n c c i 序列，那么 。蛾砺= 等+ 盟掣， ( 2 z 。， 。毛。幽乩巩= 掣+ 必害业 一掣一。 d 3 ”一。 ( 2 2 1 ) 。差。( 姻玩现= 粤k 一挈一掣 + 等 ( 2 2 2 ) 证明；只证( 2 2 0 ) ，( 2 2 1 ) 两式成立，( 2 2 2 ) 式类似可证 考虑 ) 关于 ( ：) ) 的发生函数 嘶卜三( 秽咿 利用的b i n e t 形式及公式啬( ；) 护= 南( 1 ) ，我们有 帅，= 禹 若知一南 0k 护= 壬；# 知，形如 k ，k 。k 。 0 1 + 0 2 + + “k = “ 的恒等式最初是由ph e 和zz h a n g 1 6 l 给出的 的恒等式最初是由ph e 和zz h a n g 1 6 l 给出的 令 = ( 番南肛薹汐矿 ( 3 ，) m啼rm 嘣 一咯嘴噼 1 f晰h札 么 那 鲨墨茎坠竺竺! ! 塑生! ! ! 塑墼塑二些堕箜塞 如果取l = 2 一= k = l 则有 对( 3 ，i ) 式进行微分 k 。k 。= 碟”) a 1 + d 2 + + 啦n = n 丢c ，= 乏( 鲁) 。 利用( 3 3 ) 式可得 = e ( 鲁) = 七( 南) =七 2 一p p z + 驴2 1 1 ( ! = 墅! 兰1 2 ( ! 二趔鱼二! 型 ( 1 一即+ g z 2 ) 2 1 p 一4 9 。+ p 口z 2 百i 云研 ) 扛1 坠等鲁舞坐 盎( 南) 2 + 等等( 高) 1 幻0 2 4 9 ) 嵋州) 矿 n 0 ( 4 一蛳+ p 2 2 2 ) n 嵋) 扩 n 0 1 印( 2 一弦) 曙) 护 n 0 比较上面方程两边扩的系数可得文 1 6 的主要结论如下 定理3 1 j 国 ( 3 ，3 ) 哈+ l 】= 志【4 m + 2 ) 毪一2 p ( 2 孔+ 七+ 2 ) 噶+ p z + 砖) 曙的】 ( 3 4 ) 在( 3 4 ) 中分别取= 1 ，2 ，3 ，利用( 3 2 ) 式很容易得到下面推论 推论3 1 国 k k2 尹三丽 2 p + 】+ f m + 1 ) 2 4 9 ) 一4 鲥k ) ， 。乏。k k2 旁龇+ 1 + 胁+ 1 ) 酽_ 4 口) _ 1 2 棚， 。+ 6 未扛。k k k = 商n 2 ( n + 3 ) 2 ( p 2 4 曲+ ( n + 1 ) ( p 2 4 q ) 一2 胡k + 2 + f ( n 十3 ) 3 2 4 口) 2 一1 2 9 ( 礼+ 3 ) 2 ( p 2 4 q ) + 2 幻2 k 由推论3 1 ，可以得到同余关系 2 k + 2 2 9 ；o ( m o d p 2 4 n 1 2 ( n + 3 ) 2 驴一4 刚+ ( n + 1 ) 0 2 4 9 ) 一2 鲥k + 2 + 【( n + 3 ) 3 0 2 4 9 ) 2 1 2 9 ( n + 3 ) 2 ( p 2 4 9 ) + 2 4 口2 k ；o ( m 。d 3 】2 4 口) ) 一 盔垄翌三查堂堡主堂垡堡壅 在推论3 1 中取p = 一g = 1 可得关于l u c a s 数的恒等式 k 岛= ； 2 l 州+ ( 5 n + 9 ) 工。 ， 址也= 等 6 k ，十( 5 n 蝴) 厶 ， n + 6 + c = n 。 ，善，址出乜= 击 1 2 ( 5 n 3 3 7 ) 厶件， + b + c + d = n + ( 2 5 n 3 + 2 7 0 凡2 + 9 3 5 几十9 7 8 ) 工。1 由上面各式又可以得到下面的同余关系 工n + 2 + l n ；o ( m o d 5 ) ， 1 2 ( 5 n 2 + 3 0 n + 3 7 ) 三n + 1 + ( 2 5 礼3 + 2 7 0 n 2 + 9 3 5 n + 9 7 8 ) 工n 三0 ( m d d l 5 0 ) 此外，p h e 和z z h a n g 还考虑了发生函数 萎哳鼽= ； 等+ 斋) = 禹是掣岛 利用同样的方法有 并且 萎趔儿( 毒蒜) k 。k 。k 。：r 5 m 口l + 0 2 + + b m = n 搿1 = 志阶+ 2 ) 啦。一2 铲_ 2 口) ( 2 川+ 2 ) 峨。 + p 2 2 9 ) 2 r 豺1 ) ( 3 5 ) 因此与定理3 1 类似的方法可以得到结论 。萎。嘶“2 丽与2 咄脲时十1 ) 如2 圳瑚啪， 。+ 墓。比如2 面死嘉二砺f 6 p 2 2 曲k 州+ + l 弦2 0 ，2 4 9 ) 一1 2 胡。 进而可以得到同余关系 2 2 2 9 ) k 叶2 4 9 2 。eo ( m o d p 2 0 2 4 9 ) ) ， 6 ( p 2 2 9 ) 场n + 2 + ( n + 1 ) p 2 ( 矿一4 口) 一1 2 9 2 】k 。；o ( m 。d 印2 ( p 2 4 q ) ) 2 5 涉及广义f i b o n 8 c c i 和l u c a s 效的一些恒等式 而在文 1 0 】中，h f e n g 和z z h 缸g 运用与文 1 6 】类似的方法又将其结果推广到更 一般的情形，即考虑发生函数 薹扩= 高等知 n = 0 一”1 其中= 2 + 1 一p 令 嘴2 至螂肚( i 2 一z z + g z 2 并且 n ，。- 一= v 黝( 3 6 ) 得到的结论为 南( l ，m 一4 口m ) 馏1 = 4 ( 礼+ 2 ) k 箸：+ 2 ) 2 ( 2 几十七+ 2 ) v 饕：+ 1 1 ( 九+ 七) 2 嘣 ( 3 7 ) 可以看到在( 3 7 ) 中取m = 1 ，2 可分别得到文 1 6 中的( 3 4 ) 和( 3 5 ) 另外，由( 3 6 ) 和( 3 7 ) 可得下面结论 。