（基础数学专业论文）群的组合结构和同调维数.pdf

摘要 这是一篇关于群的组合结构和同调维数的学位论文 本文分为两个部分在第一部分，本文阐述了关于群的各种组合结构的重要背景和 基本结论其中以特征标图为依托对可解群进行分类为本文的研究对象 设g 是一个非交换有限群定义一个群g 的不可约特征标图【( g ) 如下：其顶点 对应群g 的复非线形不可约特征标，并且两顶点相连当且仅当它们次数的最大公约数不 为1 同时，定义一个群g 的共轭类图( g ) 如下；其顶点对应群g 的非中心共轭类， 并且两顶点e 和d 间有边相连当且仅当l c ia n dl dj 的最大公约数不为1 本文的目的之一是对特征标图是孤立点图和无圈图的可解群进行分类，前者是非线 性特征标个数为l 的群，后者是非线性特征标的个数不超过2 的群以及对称群岛 在第二部分，本文以m a u s l a n d e r 引进的函子范畴为背景，先后引进了代数的表 示维数以及i g u s a - t o d o r o v 函数这一当前研究同调维数这类重要的同调不变量的重要 工具并在最后对f i n i t i s t i c 维数及其猜想作了简单的介绍 在文章结构编辑方面。本文的第一二章是关于定理结论证明的核心部分，出于结梅 和易于阅读方面的考虑，其中一些冗繁的部分被省去，一些较重要的细节则作为附录放 在了最后 关键词： 图，特征标，共轭类，e x t r as p e c i a lp - 群，f r o b e n i u s 群 函子范畴，表示维致。同调维数，i g u s a - t o d o r o v 函数 1 a b s t r a c t t h i si sag r a d u a t et h e s i s ，m a i n l yb a s e do nt h ec o m b i n a t o r i a ls t r u c t u r e s o ff i n i t es o l v a b l eg r o u p sa n dh o m o l o g i c a ld i m e n s i o n s t h i st h e s i sd i v i d e si n t ot w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，w ei n t r o d u c et h e b a c k g r o u n do fr e s e a r c ha n d s o m eb a s i cc o n s e q u e n c e s o u rp a p e ri sm a i n l yf o - c u s e do nt h ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t es o l v a b l eg r o u p st h r o u g hs o - c a l l e dc h a r a c t e r g r a p h s l e tgb ean o n a b e l i a nf i n i t eg r o u p w ed e f i n et h en o n - l i n e a ri r r e d u c i b l e c h a r a c t e rg r a p ha sf o l l o w s ：i t sv e r t i c e sa r et h en o n l i n e a ri r r e d u c i b l ec h a r a c t e r s o fg a n dt w ov e r t i c e sa r ec o n n e c t e di ft h e i rd e g r e e sh a v eac o m m o np r i m e d i v i s o r w h i l ew ed e f i n et h ec o n j u g a c yg r a p ha sf o l l o w s ：t h ev e r t i c e so ft h e c o n j u g a c yg r a p ha r er e p r e s e n t e db yt h en o n c e n t r a lc o n j u g a e yc l a s s e so fg ， a n dc o n n e c tt w ov e r t i c e sea n ddw i t ha ne d g ei fj c fa n dl d lh a v eac o m m o n p r i m ed i v i s o r t h ea i mo ft h i sp a p e ri st oc l a s s i f ya l lt h ef i n i t eg r o u p sgw h o s ec l l a r a c t e r g r a p h sr ( a ) h a v en oe d g e s ：t h e ya r ee x a c t l yt h ef i n i t eg r o u p sw i t ha tm o s to n e i r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o no fd e g r e eg r e a t e rt h a no n e ；a n dt oc l a s s i f ya l lt h e f i n i t es o l v a b l eg r o u p sgw i t hr ( a ) h a v i n gn ot r i a n g l e s ：t h e ya r ee x a c t l yt h e f i n i t eg r o u p sw i t ha tm o s tt w oi r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o n so fd e g r e e sg r e a t e r t h a no n e ，a n dt h es y m m e t r i cg r o u p & i nt h es e c o n dp a r t ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fr e p r e s e n t a t i o nd i m e n s i o n s t h r o u g ht h ew a yo ff u n c t o rc a t e g o r yt h a tm a u s l a n d e rd i d3 0y e a r sa g o ，a n d w ea l s oi n t r o d u c et h ec o n c e p to fi g n s a - t o d o r o vf u n c t i o n ，w h i c hi sn o ww i d e l y u s e di nt h er e s e a r c ho fh o m o l o g i c a ld i m e n s i o n s t h ef i r s t2c h a p t e r so ft h i sp a p e rc o n s t r u c tt h em a i ns t r u c t u r eo fo u r t h e o r e m t om a k et h ep r o o fe a s i e rt or e a d ，w eo m i ts o m er e p e a t e dp a r ta n d l e a v et h em o r ec o m p l e xp a r t si nt h ea p p e n d i x 2 2 0 0 7 年 中国科学技术大学硕士学位论文 3 k e y w o r d ： g r a p h ，c h a r a c t e r ，c o n j u g a c yc l a s s e x t r as p e c i mp - g r o u p f r o b e n i u s - g r o u p 。 f u n c t o rc a t e g o r y , r e p r e s e n t a t i o nd i m e n s i o n ，h o m o l o g i c a ld i m e n s i o n ，i g u s a - t o d o r o vf u n c t i o n 第一章引言 1 1 背景介绍 本节简要地叙述有关群的共轭类图和不可约特征标图研究的发展过程从中可以体 会它们的重要意义 代数学一直是数学的主要支柱之一，是数学方法和思想的重要源泉而表示理论则 是代数学中具有根本性的问题，费尔玛大定理的解决和有限单群分类的完成等2 0 世纪 数学发展里程碑式的成就，使得表示理论走向辉煌 近年来，离散数学越来越受到广泛的关注而随着计算机网络的普及，离散数学的 最主要的构成部分：组合理论，越来越受到青睐 代数学和离散数学，教学中两个最主要的分支；表示论和组合理论，上述分支中最 具根本性的问题，研究它们之间的联系，从而利用图论来阐述解决代数问题，或者反过 来，利用代数学或者表示论上的一些结果来对图论进行分析越来越得到广泛的关注，关 于群的共轭类图和特征标的研究就是从中衍生出的新兴分支 关于群的共轭类图的研究起源于1 9 9 0 年，始于b e r t r a m ，h e r z o g 和m a l l l n 的一 篇文章i b h m l ，在这篇文章中，作者第一次明确提出了群的共轭类图的概念。并且有了 一些初步的结果，b e r t r a m 。h e r z o g 和m a n n 的主要思想是：通过对群的共轭类图进行 各种不同的分类，从而达到对群的不同分类的目的在i b h m l 中，b e r t r a m 。h e r z o g ， 和m a n n 建立了关于群的共轭类图的概念一个群g 的共轭类图( g ) 定义如下t 其 顶点对应群g 的非中心共轭类，并且两顶点e 和d 问有边相连当且仅当i c la n di d i 的最大公约数不为1 群的不可约特征标图的产生和群的共轭类图几乎是同期的，1 9 8 8 年o m a l l z r s t a s z e w s k i 和w w i l l a m s 在一篇文章”o nt h en u m b e ro fc o m p o n e n t so fa g r a p hr e l a t e dt oc h a r a c t e rd e g r e e s ”中明确的提出了群的特征标图的概念，一个群 g 的不可约特征标图r ( c ) 定义如下：其硬点对应群g 的复非线形不可约特征标。并 且两顶点相连当且仅当它们次数的最大公约数不为1 容易注意到上述两个图非常的相似。并且它们也确实有着非常相似的性质从对 r ( g ) 和a ( g ) 的性质的研究，我们期望得到关于群g 的一些有用的性质，反之亦然 这个思想导致了一些有趣的结果的产生， 如m a n z 等利用有限单群分类定理证明了：群的不可约特征标图r ( g ) 的连通度 不超过3 ，特别的。若g 是可解群，则r ( a ) 的连通度不超过2 这也是至今。关于群的 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 2 不可约特征标图的研究中，最为系统漂亮的结果 同时，b e r t r a m ，c h i l l a g ，h e r z o g 和m a n n 也揭示了许多作为群的共轭类图的 共性：如共轭类图( g ) 的连通度不超过2 ，直径不超过3 等一些类似的结果可参看 ! b h m l ，c h m l ，贮m 1 等 更多进一步的结果，读者可参看【c h m ，【l 1 ，【l z f m q s ，f m s w 【m w l 等 注意到确定群g 的共轭类远比确定群g 的不可约待征标来的容易因此，在特征 标图的情形下我们难以得到和共轭类图情形下相应的强力有效的结果一些在后者情形 下看起来很简单很平凡的结果在前者看来却不是很显然，甚至不一定成立不过这样看 来前者的结果却有趣的多一一至少它不是平凡无趣的! 我们知道要想通过对r ( g ) 或( g ) 直接的研究得到一些关于群g 的有用的性质 结果是相当难的但是，通过比较群g 的图f g ) 和( g ) ，我们或许能够得到一些启 迪围绕这一主题，b e r t r a m ，c h i l l a g ，h e r z o g 和m a n n 做了不少工作，有一些结果 巳经相当系统化，具体可见【b h m 】，【c h m 】，【c m 】等参考文献其中不少结果非常的 有趣实用：如利用一个群的共轭类图的连通度来判断一个群是否为f r o b e n i u s 群等作 为附录，本文将利用这一结果结合群的特征标图的性质给出具有1 个非线性不可约特征 标的群的分类 同时，有一些数学家对群的不可约特征标图的原始定义作出一些修改：如将群的模特 征标如上方式作成图( 可参见【l z 】) ；或者改变图的顶点间的连线条件( 可参见【l 1 】，【l 2 】 等) ，令人惊讶的是：一些重要结果：如上文提到的群的不可约特征标图r ( g ) 的连通度 不超过3 ，在修改后依然成立。同时这也使得研究本身更加有意思 在关于群的不可约特征标图的研究举步维艰的同时，一些数学家开始换过角度思考： 既然，通过群的图宣接得到有关群的信息相当困难，或许可以通过考虑群的共轭类图和 不可约持征标图之间的关系，通过比较相应条件下图对应的群的异同间接得到一些关于 群的信息，反之，也可通过相同的群对应的共轭类图和群的不可约特征标图的异同以期 得到一些信息一个关于此方面的综述文章可参见f l 5 在本文中，我们考虑了相对来说最为简单和自然的图：孤立点图和树所对应的群的 分类，来反映上述思想 另一方面，关于具有较少非线性不可约特征标的群的研究始终是一个热点，可参看 i p i 等关于这一方面，最负盛名的自然是i s a a c s 的三特征标定理，事实上，本文也从 一个角度揭示了相对于较少的不可约特征标的群的结构 事实上，利用本文中的方法，利用b r a u e r 诱导特征标定理等工具，并结合一些有 关特征标次数的结论( 可查阅f 1 1 ) ，我们可以得到具有相异次数的不可约特征标所对应 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 3 的群结构( 参见f b c h l ) 利用和【f z l 中同佯的思想我们得到了进一步的结论：不可 约特征标图不含三角形所对应的群的结构事实上，我们得出的结论更强一些我们指出 了所有不具有较少不可约特征标的群不含圈的可解群结构它们正好是非线性特征标个 数不超过2 个的所有可解群全体这一结论也反映了具有较少不可约特征标的群和结构 相对筒单的不可约特征标图之间的关系 另外的，利用【rl 】中的o r b i t 方法，我们也可以导出具有较少非线性不可约特征 标的群的结构 凡此种种，大量的关于群表示和群结构的结论可以由群的种种组合结构性质所导出， 这也反映了群的结构有若非平凡的组合性质 1 2 结论介绍 注意到群g 交换当且仅当r ( g ) 无顶点，是平凡的情形，故在本文中我们假设群 g 是非交换群，并且所讨论的不可约特征标均是基于域c 上的复不可约特征标 以下，本文中所有的群均指有限群，记号采用【i l 中的标准形式特别的，记g 为 g 的换位子群i r r ( g ) 为g 的不可约特征标构成的集合，n l ( g ) 为g 的非线性不可 约特征标构成的集合，c d ( g ) 为g 的不可约特征标次数构成的集合 本文的主要结果是：给出了在不可约特征标圈情形下，所有孤立点图以及所有无圈 图对应的群，并且按照群的结构对它们作出了分类 对于不可约特征标图的情形，我们有如下结果t 定理1 2 1 设群g 是非交换有限群则群g 的不可约特征标因r ( a ) 是孤立点圈当 且仅当群g 的非线性特征标个数为j 定理1 2 2 设可解群g 是非交换有限群则可解群g 的不可约特征标圈r ( c ) 是树 当且仅当可解群g 的非线性特征标个数不超过2 ，或者可解群g 同构干对称群& 其中关于共轭类图情形下有点无边图的问题已在【b h m 】中得到完全的解决在 【b h m 】中，b e r t r a m ，h e r z o g ，和m a n n 证明了对称群岛是唯一的一个共轭类图是 有点无边图的群 而关于轭类图情形下无圈图的问题已在【f z l 中得到完全的解决【f z 】中。f a n g 和z h a n g 证明了r ( g ) 是无圈图当且仅当g 同构于对称群s 3 。二面体群上) 5 ，非交换 1 2 阶群( a 4 ，d 6 ，正2 ) 以及非交换2 1 阶群( 乃1 ) 中之一 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 4 f m s w 】证明了r ( a ) 的连通分支毁不超过3 ，且当g 为可解群的时候连通分支 数不超过2 关f 不可约特征标个数不超过2 时的结构我们援引下述引理： 关fn l ( g ) = l 的群的结构我们可见【s 】： 引理1 2 3 群g 姆非线性特征标个数为j 时当且仅当g 同构于下述之一； r ，e x t r as p e c i a l2 - g r o u p “e 1 g i = 2 ，其中k 为奇数，同时中。z ( g ) = g 为2 阶群，在此情形，我们有c d ( g ) = 1 ，、而 i 一f r o b e n i u s 群g ，其f r o b e n i u s 核k 皇z ；，f r o b e n i u s 补h 为p ”一1 阶循环群，其中p 2 ，在此情形，我们有c d ( g ) = 1 ，p “一l 关于n l ( g ) = 2 的群的结构我们可参见f p 】( 或见 z g 】) 事实上，我们只需要相 对弱一些的分类，事实上，该分类也可直接利用【i 】i 中的引理1 2 3 和引理1 2 3 得到t 引理1 2 4 群g 的非线性特征标个敷为2 时当且仅当g 同构于下述之一， f i ) e x t r as p e c i a l3 - g r o u p ，在此情形。我们有c d ( g ) = 1 ， i g i 3 i 一矽2 - g r o u p 在此情形，我们有c d ( g ) = l ， l g | 2 ； r 娩矽f r o b e n i u s 群g ，其f r o b e n i u s 核k 鲁z ；，f r o b e n i u s 补h 釜q b ( h a m i l t o n 8 元群，在此情形，我们有c d ( g ) = l ，2 ，8 ) i 以叫f r o b e n i u s 群g 其f r o b e n i u s 核k 鲁刃，f r o b e n i u s 补h 为( 矿一1 ) 2 阶循环群，其中p 2 ，在此情形，我们有c d ( g ) = 1 ，( 矿一t ) 2 1 ； 一j 存在2 阶正规子群厶使得a l 是f r o b e n i u s 群，其f r o b e n i u s 核k 名 z 孑，f r o b e n i u s 补为矿一1 阶循环群，在此情形，我们有c d ( g ) = l ，p ”一1 ) 特别的，在上述所有情形，我们都有f ( g ) 连通 第二章定理1 2 1 和定理1 2 2 的证明 2 1 定理1 2 1 的证明 关f 非线性特征标次效互异的群，我们依照 b c h 】有下述结论 引理2 1 1 设g 是非交换群则g 的非线性特征标次数两两互异当且仅当g 同构 干下述之一： 引理j 2 j 中的所有群； 2 引理j ，2 4 中情形一 砂所对应的群 特别的，我们有n l ( g ) 2 且r ( v ) 在所有情形下连通 由此。我们容易得到下述推论； 推论2 1 2 设g 是非交换可解群且r ( a ) 非连通，则g 有两个互异的非线性不可约 特征标具有相同的次数 推论2 1 3 设g 是非交换群，则r ( a ) 是孤立点图当且仅当n l ( g ) 一1 证明； 设r ( a ) 无边且n l ( g ) 2 ，由引理2 1 1 我们有c d ，( g ) = l ，2 ，8 。于是 r ( a ) 为一条联结两点的边构成的图，矛盾 口 注记2 1 4 ：引理2 j 1 需要用到有限单群分类定理r 见胆( ? 日，但是我们的结论是 不依赖有限单群分类定理的事实上，我们有一个独立于有限单群分类定理的证明出于 阅读的方便考虑。我们把它放别最后 2 2 定理1 2 2 的证明 我们将利用一系列的无穷递降法来完成我们的证明 引理2 2 1 设g 是非交换可解群，则g 的所有非线性不可约特征标具有相同的次数 或者g 有交换的非平凡的正规子群，使得a n 非交换 证明； 由g 是非交换可解群。我们可知g 有交换的非平凡正规子群l ，若g i v , 非交 5 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 6 换，则我们就取n = n 1 否则，我们有a l n l 交换，于是g 7 1 故g 也是交换 群 若g 不是g 的极小非平凡正规子群，则我们取n 为g 的极小非平凡正规子群 即满足题设条 牛 若g 7 是g 的唯一的极小菲平凡正规子群。则利用【i l 引璎1 2 3 。我们有g 的所 有非线性不可约特征标均具有相同的次数 于是，我们只剩下情形：g 存在正规子群n ，n 和g 7 均为g 的极小非平凡正规 子群，且g 7 则我们有c n 是非交换群注意到可解群的极小非平凡正规子群 是交换群，我们就得到了结论 口 引理2 2 2 设g 是非交换群，n 是g 的非平凡正规子群，则i n l ( g ) l n l ( g n ) i 证明： 否则，我们有 。 c n i i g n i i l ( g n ) f = i g i f ( g ) i = i a l ( i a i 一1 ) i o l i g 7 i 2 其中，l ( c ) ：= i r r ( g g ) 是g 的线性特征标构成的集合矛盾 口 引理2 2 3 设p 为素敷，i ，j 为正整敷，则有 倒若( p ”一1 ) l ( p 2 + p 2 j ) 且p “一1 1 ，j lp = 3 ，n = 1 j 一砂若p 为奇敷且( p n 一1 ) 2 1 ，则( p “一1 ) if 矿i ( i i i ) ，若p 为奇敷。( 矿一2 ) 2 1 ，且一1 ) 2 l ( p ：* + p 2 j ) ，则p = 5 ，扎= 1 证明： 不妨设j i 则 ( p “一1 ，p 2 + p 2 j ) = ( p n 一1 ，1 + p 2 j 一2 。) = ( p ”一1 ，p n + p 2 j 一2 ) f ( 矿1 ，1 + 妒一缸n ) ，i f 乃一2 i 珏； 一l ( 矿_ l l + 矿哪2 z ) ，i f 豫2 j 一2 i 若2 j 一2 i n 兰n ，则重复上述步骤，我们最终得到( p n 一1 ，p 2 + p 幻) = ( p ”一1 ，p ”+ 1 ) ，其中，0sm 3 ；若n l ( g ) 5 。因为对任意x l r r ( g ) ，x ( 1 ) d i v i d e si a n i = 2 4 ，则r ( c ) 含 三角形，矛盾) 简单的计算后可以知道这样的群g 是不存在的例t 若x 4 ( 1 ) = 8 ，则i g i = l l ( g ) i + 2 2 + 3 2 + 3 2 + 8 2 = i l ( g ) l + 8 6 即有( i g i 一1 ) i l ( g ) l = 8 6 = 2 4 3 。 所有的情形都不满足2 4li g i c a s e2 r ( g ) 连通 因为r ( g u ) 连通且不含三角，由引理2 2 4 ，我们知l n l ( g n ) l = l 或2 然 而由引理2 2 5 知l n l ( g n ) i 1 故l n l ( g n ) l = 2 利用引理1 - 2 4 ，我们分成 如下子情形讨论t s u b c a s e1 若g n 是二群或3 - 群，则由i t o 定理，我们知r ( a ) 含三角形。矛 盾 s u b c a s e2 g n 是引理1 2 4 情形( i i i ) 对应类型的群，且有n l ( g n ) 一 妒1 ，妒2 ，妒l ( 1 ) = 8 ，忱( 1 ) = 2 则g 的不可约特征标除妒1 ，妒2 外均整除9 由推论 2 1 3 ，g 有两个不同的非线性不可约特征标具有相同的次数于是l n l ( g ) l = 4 ( 否 则r ( a ) 含三角形) 故向量( x ( 1 ) ) x e n l g ) 的可能取值为( 2 ，8 ，3 ，3 ) 或( 2 ，8 ，9 ，9 ) 简单的计算后可以知道这样的群g 是不存在的例：若( x ( 1 ) ) x e n l ( g ) = ( 2 ，8 ，9 ，9 ) 则j g = j l ( g ) j + 2 2 + 8 2 + 9 2 + 9 2 = j 工( g ) j + 2 3 0 即有，( j g ，l 1 ) j l ( g ) j = 2 3 0 = 2x5 2 3 ，所有的情形都不满足7 2 | l g i 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 0 s u b c a s e3 g n 是引理1 2 4 情形( i v ) 对应类型的群即g i n 是f r o b e n i u s 群。 其f r o b e n i u s 核k 兰刃，f r o b e n i u s 补h 为( p ”一1 ) 2 阶循环群此时我们有 l g n l = 矿砭，且c n 的两个非线性不可约特征标次数为2 由i t o 定理， i f 有，对任意的妒n l ( g ) p l t f ( t ) 或妒( 1 ) | 芝2 生设t 是g 的次数可以被p 燕除的非线性不可约特征标的个数则由r ( v ) 不含三角形，我们有 t = l 或2 于是，我们有： n l ( g ) = 妒l ，如，饥 ，或n l ( g ) = 妒l ，啦，如，幽 其中 t f ，1 ( 1 ) ：锄( 1 ) ：! 二；，杌( 1 ) ：p i ，( 1 ) ：矿，l 冬 ，js 冗 利用引理2 25 证明中s t e p 4 的同样讨论和记号( 特别的，我们有m 是g 的正 规子群，m n 竺k ，i m n i = p n ，i g m i = 2 ) 。我们同理得到对应( 2 1 ) 式的 相应关系： 2 i a ，= 竿e 。，和p n 2 - 1 刚e 1 ) 于是我们有： 犁i p 2 t ，或掣| ( p 2 t + 矿) 因为e 。v a 1 ，由引理2 2 3 ( i i ) 和( i i i ) 我们知前面的式子是不可能成立的而后 面的式子有唯一的解p = 5 ，亿= 1 ，i = j = 1 于是我们有n l ( m ) = 1 ，c d ( f ) = 1 ，5 ，和引理1 2 ，3 ( i i ) 矛盾 s u b c a s e4 g i n 是引理1 2 4 情形( v ) 对应类型的群即g n 有阶为2 的正规 子群l n 。使得g l 为f r o b e n i u s 群，其f r o b e n i u s 核k 笺乃，f r o b e n i u s 补h 为矿一1 阶循环群，其中p 为索数且p “2 此时我们有l g n i = 2 p ”( 矿一1 ) ，且 g n 的两个非线性不可约待征标次数为矿一1 同理s u b c a s e 3 。我们可以找到g 的 正规子群m ，使得m l 掣k ，于是l m i n = 2 矿且l g m 1 = p - 一1 我们再次 分为两种情况考虑： ( i ) p = 2 的情形 2 0 0 7 年 中国科学技术大学硕士学位论文 1 1 由 t o 定理 i f 有对任意的砂n l ( g ) ，2 陟( 1 ) 或“，( 1 ) i ( 2 ”一1 ) 没t 是g 的次数可以被2 整除的非线性不可约特征标的个数则由r ( g ) 不含三角形且不连通， 我们有t = l 或2 于是，我们有： 其中 n l ( g ) = 0 1 ，如，奶 ，或n l ( g ) = f ，1 锄妒3 ，幽 吐，l ( 1 ) = 妒2 ( 1 ) = 2 “一1 ，妒3 ( 1 ) = 2 。，4 ( 1 ) = 2 j 1 i j 礼+ 1 利用引理2 2 | 5 证明中s t e p 4 的同样讨论和记号( 同理s u b c a s e 3 ) ，我们得到对 应( 2 1 ) 式的相应关系： 于是我们有 2 2 1 , 1 = ( 2 “一1 ) 4 ，和( 2 “一1 ) 1 2 ( 1 ) ( 2 n 1 ) 1 2 “，或( 2 “一1 ) 1 ( 2 2 。+ 2 2 j ) 由引理2 ，2 3 ，我们得出矛盾 ( i i ) p 2 的情形 同样的，由i t o 定理。我们有对任意的砂n l ( g ) ，p i 砂( 1 ) 或砂( 1 ) 1 2 ( p ”一1 ) 如上设设t 是g 的次数可以被p 整除的非线性不可约特征标的个数，我们有t = 1 或 2 因为r ( c ) 不含三角形，我们有， 其中 n l ( g ) = t f ，1 ，如，妒3 ) ，或n l ( g ) = 妒l ，妒2 ，砂3 ，妒4 ， 1 】f 1 ( 1 ) = 妒2 ( 1 ) = p n 一1 ，讥( 1 ) = p i ，讥( 1 ) = 矿，t i ，j n 于是，重复我们以前所做的，我们得到： 于是我们有 2 i m = ( 矿一1 ) t ，和( p “一1 ) 1 e 2 ( 1 ) 2 0 f 1 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 ( p ”一1 ) l p a ，或( p ”一1 ) i ( p 2 2 + p 卸) 由引理2 2 3 。前面的式子无解，后面的式子唯一的解为p = 3 n = 1 我们有 n l ( g ) = f 妒i ，锄，v b ，v q ， 其中 妒l ( 1 ) = 妒2 ( 1 ) _ 2 ，t f ，3 ( 1 ) = q 4 ( 1 ) = 3 我们有i gj = l l ( g ) i + 2 2 + 2 2 + 3 2 + 3 2 = i l ( g ) l + 2 6 ，等价的i l ( g ) | ( i c i 1 ) = 2 6 ，矛盾于i g l 有因子2 和3 由此，我们就完成了所有情形的证明 口 由引理2 ，2 4 和引理2 2 6 ，我们立刻可以导出定理l ，2 2 注记2 2 7 由上述证明过程和结论可以看出，可解群的特征标图不含圈当且仅当其不 含三角形 注记2 2 8 上述证明依赖引理2 ，因此也依赖于有限单拜的分类定理然而我们的 结论并不依赖于有限单群的分类，事实上，科雳碑l 中的o r b i t 方法，我们可以给出关 于上述结论的另外一个证明鉴于阅读的简便。我们把它放纠最后 注i e 2 2 9 注意我们的结论关于非可解群是不成立的，一个反例是交错群a s ，其非线 性不可约特征标次数依次是只只4 ，只 第三章同调维数 本章介绍关于a r t i n 代数的模范畴的一些同调不变量的基本概念，结论和方法 3 1 函子范畴 以下，我们设a 是小范畴( 即对象是集合的范畴) ，事实上，我们可进一步假定a 是小结构一范畴( 即任一对象都同构与一集合的范畴) a b 是交换群构成的范畴，其态 射是交换群的同态，复合也是自然的s e t s 是集合构成的范畴，其态射是集合映射 则我们有函子范畴( a o p ，a 6 ) ：其对象是从a 到a b 的反变函子，而态射就定义为 函子之间的自然映射 则我们有函子范畴( a o p ，a b ) 是a b e l i a n 范畴 对于一般的范畴理论。我们有如下的y o n e d n 定理： 定理3 1 1 设c 是一个范畴，只e s e t s 是函子。设a 是范畴e 中的升象，则 i ，两个从函子( a ，) 到f 的态射妒，妒一致当且仅当集合f c a ) 中的两元素 抛( 1 c ) 。妒c ( 1 c ) 相等； i i j 任取集合f 似，中的元素疋存在唯一的一个态射妒u & - y - ( a ，一) 到f 使 得咖c ( 1 c ) = 站 i i i ，以上等价千：h o m ( ( a ，一) ，f ) 兰f ( a ) ，该同构被称为y o n e d a 同构 于是，我们考虑y o n e d a 嵌入函子p ：a _ ( a o p ，a b ) ，x ”p ( x ) ：= h o m a ( ，x ) 如果函子范畴中的函子f 能够表示或某个p ( x ) ，其中x j 4 ，则我们称函子f 是可 表函子 显然，并不是所有的函子都是可表函子，事实上，可表函子是函子范畴( a 印，a b ) 中的投射对象 我们称函于范畴中的函子f e ( a o p ，a b ) 是伴随函子，如果存在对象x l ，恐a 和( a 砷，a b ) 中的正合列t p ( 蜀) 一p ( x 2 ) 一f o 我们记a 为函子范畴( a o p ，a b ) 中所有伴随函子构成的满子范畴 关于函子范畴a ，m a u s l a n d e r 在其著名的关于a r t i n 代数表示维数讲义【a 】中 给出了如下的经典结论： 1 3 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 4 定理3 1 2 设a 是加法范畴。m o 是其表示生成子( 即范畴a 中任一对象均为m o 的若干次直和的直和项) ，我们记b = e n d a ( m o ) ，考虑映射中：( a ”，a 6 ) b 叩一 r o o d fh h o r n ( 仙，a 6 ) ( p ( 矗) ，f ) ，刘我们有垂：a 兰b o p r o o d 这拌，关于a r t i n 代数a 的模范畴a r o o d 的研究，就转化为对伴随函子范畴 a 的研兖 3 2i g u s a - t o d o r o v 函数 本节中，我们设a 是一个a r t i n 代数 为了引进i g u s a - t o d o r o v 函数，我们先要做一些准备工作我们首先介绍著名的 f i t t i n g 引理： 引理3 2 1 口j 设r 是n o e t h e r i a n 环，m 是r 模，e n d ( m ) 则对m 的 任意有限生成子模五存在整数町，( x ) ，使得对任意m w ( x ) ，从，”( x ) 到 f m + l ( x ) 是同构i 6 ，若y 是x 的子摸。刺珊( y ) s 碍，( x ) ； c ，若冠是a r t i n 代敷且x = 坛则我们有直和分解x = y o z ，其中z = k e r f ”，y = i m i ”，m w ( x ) 我们定义，“为所有的有限生成a 模m 的同构类【m 】生成的交换群其模去的 关系为t a ) 【a o b 】= a 】+ 【b 】； b ) 【p 】= 0 ，若p 是投射模； 亦即k 0 是所有的不可分解的有限生成非投射a 模的同构类生成的自由a b e l i a n 群对于任意有限生成a 模m ，我们记l m 】= 【q 卅，其中t i m 是m 的一次 s y z y g y 检验关系，我们容易看出l 是k o 到k o 的群同态同时我们记 为 m 豹所有不可分解直和项生成的g o 群的子群我们定义函数： ( m ) ：= 仉 同时，对任意有限生成a 模m ，我们定义i g u s a - 7 r o d o r o 、r 函数妒( m ) 为t 妒( 彳) ：= 妒( m ) + s u p p d x ：p d x 2 i 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 7 定理3 3 5 设a 是遗传的a r t i n 代数则 7 1 e p d i n t a 3 如前所述，表示维数一般是难以计算的事实上，在很长一段时间内，并不知道是 否有表示维数大干3 的代数存在在著名的【a 】中。m a u s l a n d e r 写道：a sy e t n oe x a m p l e sa r ek n o w no fa r t i na l g e b r a so fr e p r e s e n t a t i o nd i m e n s i o ng r e a t e r t h a nt h e s e o b v i o u s l yi fr e p d i m a 3f o ra j ja r t i na l g e b r a sa ，t h e l lt h e c l a s s i f i c a t i o no fa r t i na l g e b r a sg i y e nb yt h er e p r e s e n t a t i o nd i m e n s i o ni sn o t v e r yi n t e r e s t i n gs i n c ei tb o i l sd o w nt ot h ef a c tt h a ta na r t i na l g e b r ai se i t h e r s e m i s i m p l e ，o ff i n i t er e p r e s e n t a t i o nt y p eo rn o to ft h ef i n i t er e p r e s e n t a t i o n t y p e h o w e v e r f r o mad i f f e r e n tp o i n to fv i e wap r o o ft h a tr e p 出m as3i s a l w a y st r u ew o u l db eam o s ti n t e r e s t i n gr e s u l t 时间证明，m a u s l a n d e r 错了，2 0 0 2 年，r r o u q i e r 给出了一个表示维数为4 的 a r t i n 代数的例子，他进一步证明了表示维数可以为任意的自然数同年，i y a m a 则证明 了表示维数总是有限的【i y 】更多的关于表示维数的结论，可参见( a 】，【e h i s ，【i y 】，【x 1 ： f x 2 】等) 3 4 其他同调维数 利用我们前面提到的i g u s a - t o d o r o v 函数，有着相对小的表示维数的代数被给予 了极大的兴趣事实上，在f i t 】中，他们证明了，当表示维数不超过3 时。一个代数的 f i n i t i s t i c 维致是有限的，亦即第二f i n i t i s t i c 维数猜想是成立的 事实上，在一个无限总体维数的环中，有很大一部分有着有限的投射维敬在这一 情形下，我们想了解这些投射维数是否有其上界，而f i n i t i s t i c 维数就是用以刻画这一上 界的同调不变量 以下，我们计j p r o j d i m m 是a 模m 的投射维数。则关于a 的小f i n i t i s t i c 维数定义为： ，协d i m a ：= s u p p r o j d i m m ：p r o j 出m m o 。 其中m 跑遍所有的有限生成a 模 类似的我们可定义a 的大f i n i t i s t i c 维数，此时，我们不限定m 是有限生成的 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 8 若a 是交换的n o e t h e r i a n 环，则f i n d i m ( a ) 即为a 的k r u l i 维数( i b 2 l ，i g r l ) ， 特别的，a 的大小f i n i t i s t i c 维数相等当且仅当a 是c o h e n m a c a u l a y 的 以下，我们假定a 是域k 上的有限维结合代数，在i b l l 中。h b a s s 提出了两个 关于f i n i t i s t i c 维数的猜想，其一是断言f i n d i m a = f i n d i m a ，对此【z h l 】给出 了一个反例，两在l s m l 中则揭示了两者鲍差距可以任意的大 而h ，b a s s 的第二个关于f i n i t i s t i