（基础数学专业论文）一类novikov代数与三角函数.pdf

摘要 本文在对n 0 v i k o v 代数的研究中，建立了n 0 v i k o v 代数与其他代数如李代数、交换结 合代数的关系，并通过此关系进一步建立n 0 v i k w 代数与常见具体函数的同构，用常见函 数对其进行实现本文主要构成如下： 在引论中介绍了有关课题背景及n o v i k o v 代数的一些基本定义与性质第一节说明了 左对称代数与李代数的关系交换结合代数与n 0 v i k o v 代数的关系第二节由一类交换结 合代数及其一个导子构造n o v i k o v 代数及其邻接李代数第三节用三角函数构成的线性 空间来实现上节讨论的n o v i k o v 代数第四节又定义了一种n o v i k o v 代数，并用具体的例 子进行了实现主要结果如下： 定理1 ( 4 ，) 是交换代数，d 0 是4 的一个导子，在4 中定义二元运算“o ”如下： nob = nd o ( 6 ) v n ，6 4 ( 1 4 ) 则，d 0 ，o ) 构成一个n 0 v i k 代数， 定理2 设妒是域f 上的交换结合代数4 1 ，4 2 的同构映射又d 1 d e r 4 1 则有以 下结果 1 ) d 2 = 妒d 1 妒_ 1 d e r 4 2 2 ) 妒也是n o v i k o v 代数( a 1 ，d 1 ，。) ，到( 4 2 ，d 2 ，。) 的同构 定理3 实数域r 上的交换结合代数a o 如上述，d 0 为其满足( 22 ) 式的导子实数 域r 上的交换结合代数丁如引理3 1 ，引理3 2 所述则 1 ) 4 0 到丁的线性映射妒： 妒( 6 m ) = c o s m 茁，m = o ，1 ，2 ，；妒( d n ) = s i n 礼。，札= 1 ，2 是交换结合代数的同构 2 ) 妒d o 妒“= 暑 3 ) 妒是n o v i k o v 代数( a o ，n ，o ) 到n o v i k o v 代数( 丁，妒( 口) 鑫，o ) 的同构 定理4 实数域r 上的交换结合代数玩如上述，风为其满足( 4 2 ) 式的导子实数 域r 上的交换结合代数c 如引理4 引理32 所述，是c 的变换：矿。一e ( ”1 ) - 1 。 1 ) 岛到c 的线性映射妒： 妒( ) = e n 屈= o ，士1 ，士2 是交换结合代数的同构 2 ) _ p d 0 妒= ，。志 3 ) 妒是n o v i k w 代数( 岛，c ，。) 到n 0 v i k o v 代数( c ，妒( c ) ，。丁，。) 的同构 关键词：交换结合代数；n 0 v i k o v 代数；邻接l i e 代数；三角函数 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，忙w i l le s t a b l i s ht h er e l a t i o nb e t 他e nn o v i k o va l g e b r a sa n do t h e r 出g e b r a s ，s u c ha sl i ea k e b r aa b e l i a na l g e b r ab yt h es t u d yo ft h en 0 v 像0 va k e b r a m o r e o v e r ，w e w i l lc o n s t r u c tn o v i l a l g e b r a0 v e rc o m m o nf u n c t i o n ss o m eb a s i cc o n c e p t so fn o v i k o v a l g e b r a 8w mb er e c a u e di nt h ei n t r o d u c t i o n i ns e c t i o n1 ，w ei n t r o d u c et h er e l a t i o nb e t w e e n 1 e f t8 y m m e t r i ca k e b r aa n dl i ea l g e b r a ，t h er e l a t i o nb e t w e e na b e l i a na l g e b r aa n dn 0 v i k o v a l g e b r a s i ns e c t i o n2 ，w e 谢l lc o n s t r u c tn 0 v i k o va 【g e b r ao v e rak i do fa b e l i a na s s o c i a t e d a l g e b r a sa n di t sd e r 主v 砒i o 璐i ns e c t i o n3 ，w ec o n s t r u c tn o v i k a va l g e b r aa b o v e o v e rt h e l i n e a rs p a c ew h i c hg e n e r a t e db yt r i a n g l ef l l n c t i o n s i nt h ef o u r t hs e c t i o n ，an 0 v i k o va l g e b r a w i ub ed e f i n e da n db er e a l i z e dw i t hac o n c r e t ee x a m d l e t h em a i nr e 8 u l t sa t ea sf b u o w ： t h e o r e m1 l e t ( 4 ，- ) i sa c o m m t a t i v ea l g e b r a ，d 0i sad e r i 、，a t i o no f4d e 右n e d ab i l i n e a ro p e r a t i o n ”。”8 u c ht h a t ： oo6 = n - d o ( 6 ) v 0 ，6 4 ( 1 4 ) t h e ( 4 ，南，o ) i san o v i k o va l g e b r a t h e o r e m2 l e t 且1 ，一4 2 盯ec o m m t a t i v ea n da s s o c i a t i v ea l g e b r a sa v e rt h ef i e l d f ，妒：4 l ，_ 4 2i sai 蛐o r p l l i s mo fa l g e b r a sa n dd 1 d e r 4 1 t h e n 1 ) d 2 = 妒d 1 妒一1 d e r 4 2 2 )妒：( 一4 1 ，上) 1 ，o ) 斗( 一4 2 ，d 2 ，o ) i sa l s oai s o l o r p h i s mo fn o v i k o va l g e b r a s t h e o r e m3 i st h ec o m m u t a t i v ea s 8 0 c i a t i v ea l g e b r ao v e rra sa b o v e i 上) 0i s i t sd e r i 扯i o s a t i s 研n g ( 2 2 ) 丁i st h ec o m m u t a t i v ea s s o c i a t i v ea l g e b r aa v e rra ss a i d i nl e m m a3 1a n d1 e m m a3 2 t h e n 1 )妒：4 0 呻丁i sa i s o m o r p l l i 锄a s 妒( 6 m ) = c o s m z ，m = o ，1 ，2 ，；妒( n n ) = s i n n 。，n = 1 ，2 2 ) 妒d o 妒_ 1 = 鑫 3 )妒：( o ，o ，o ) 斗( 丁，妒( o ) 岳，o ) i sai s o m o r p h i s mo fn a v i k o va l g e b r a s t h e o r e m4玩i sac o m m u t a t i v ea s s o c i a t i v ea l g e b r aa v e rra sa b o v e ，d oi s i t sd e r i v a t i o ns a t i s f y i n g ( 4 2 ) ci sac o m m u t a t i v ea s s o c i a t i v ea l g e b r ao v e rra ss a i di n l e m m a4 1a n dl e m m a3 2 ，i sat r a n s f o r mo fc ：e ” b _ e m 1 ) ，二i z t h e n 1 )妒：玩_ c s u c ht h a t 妒( c 。) 一e “一kn = o ，土1 ，士2 ，； i sai s o m o r p h i s mo fc o m m u t a t i v ea s s o c i a t j v ea 王g e b r a s 2 ) 妒d 0 妒= ，o 了南； 3 ) 妒：( b 0 ，c ，。) + ( c ，妒( c ) ，。：7 兰蠹，o ) i sai s o m o r p h i s mo fn o v i k o va l g e b r a s k e y w o r d s ： a b e l i a na s s o c i a t i v ea 1 9 e b r a s ；n o v i k o va l g e b r a s ；a d j o i n i n gl i ea l g e b r a ； n i a n 9 1 ef u l l c t i o n s i i 独创性声明 本人声明所是交的学位治文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 澎静翘方终，论文中不包含蒸毽夫己缀发表或攒霉过豹磅究或巢， 也不能含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与投一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了锈确的说磋并表示落意。 学位论文作磐签名：垒邋目勰：差熙墨：兰：12 学位论文舨权使震授投书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文熬趣定，邸：东北师范大学有权保留莠向隧家有关部门或机 构送交学位论文的复印件桶磁盘，允许论文被焱阅和稽阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据瘁避行检索，可敬采薅影印、绩e p 或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：羔：垒主 日 期：碘：! z 攀位论文作卷毕业层去向： 工俸单位 通讯地址 指导教师签名：煎庭亟 日期：! f ：i 2 莲 话： 邮编： 引言 三角函数是分析学中最常觅的函数之一，趣源于几何学的最简单的超越函数。它建 立了角度与实数的联系利用三角函数的性质及一些和差化积与积化和差等基本公式可 以进行三角形的密褥，丽且兰蹙函数逐可以寝用予其健领境1 7 世纪法融数学家隶奠弗发 现有名的隶莫弗定理，跌雨使三角函数应墙于复数盼表示及计算申圜的戴熬在箕弦数 测图中，结合三角函数与对数函数的幂级数阐明了三角函数对数表的作法三角函数虽 是噬零初等函数”，健在现代数学物璎学等中郡疑经常遇到盼，因丽也怒最重要的函数之 变分法几乎与微积分同时问世微分学中处理的极德问题主要是几个独立变量的 函数的极值问题，但变分法中处理的檄使问题则是以泛函为其考察对象的自从j o h a n n b e m 嘲h ，j a e o bb e r 珏o u l l i 疆及l e u l e r 等探讨变分浚的释稀翼俸阀题戮采至1 7 6 0 年，j l 王* g r a n g e 与力学相联系引进了变分问题的一般处理方法微分学以及变分法经历了代数化的 过程即褥到形式微分学和形式积分学，丽我g 】可以剥甩富有成效的代数工具开聪进一步的 褥究工作这蠢穗动了健数学宣身翦发骚这在上个整纪七博霞，1 醚g e l 如越，l a 鞋，l ，魄。 d 0 r f i n 等的工作中都有很好的体现 喻密顿算子是形式变分学的重要蘑子i m g e l u 缸d 糨i y a d o r f l n 8 n 在研究具有性 霞蕊j = 女铋+ 岛b 口护鑫，勺女e ，勤= + 勺静葵子是否怒晗密羲算予薅，弓| 出了n 州l 代数的概念具体地，以矗砖为结构常数定义代数= 二( e 。，) 中的乘 法运算“o ”： 卯勺= 啄 为哈密顿算子当履仅当运算“o ”满总： ( 8 。) 。e = 。e ) 。 ob ) oc + c o 扣。b ) = ( c o6 ) o o + no ( c o6 ) 定冀代数( ，。蓉灌是 她。6 ) 。c = ( 。oc ) 。b 国蚰) 。c + c 。汹o = 沁0 6 ) o 吐+ 髓。( c 0 6 ) 剜称为n o v i k o v 代数 1 9 8 7 年，e i z e l m a n o v 【4 】开始了对n o v i l ( o v 代数的研究，他指出特征。域上的单有限 维n a 蝴。v 代数楚一维的在代数学中，结构和分燮阅题一蠢是代数学家关心的阍题+ 到晷 前为也，一般的n o v i k ( 代数的结襁秘分类还没蠢系统的溅论1 9 2 年，j 鞋。o s b o r h 潮 6 】竞 成了特征。域上的具有幂零元的无限维单n o v i k o v 代数的分类和特征p 域上的矮有幂零 元的露限维单n o v i k d v 代数的分类1 9 9 5 年，徐晚平| 7 】发展了他的理论，绘出了特征p 的 茕数 8 l 蠛上海鼙n o v i k o v 代数鼢完垒分类自承镶囤翻【i 翻愆羝维撕l k o v 戎数徽了一系 列的工作，如低维n 0 v i k o v 代数的分类和实现等本文我们主要给出了n 0 v i k o v 代数的定义 并构造了一个交换结合代数a ，通过赋予a 一种新的运算使之成为n o v i k o v 代数，进一步 定义括积运算变成为李代数最后验证由s i n m c o sn z 生成的线性空阊x 十乘法符合a 的 条件，进而可以使之成为n o v i k o v 代数及李代数鼎体地讲，我们在第一节介绍了n o v i k o v 健数及发对称代数瓣定义，说甓了左对髂我数与零代数的关系，交换终禽代数与n 。v ；k 。v 代数的凳系第二二节由一类交换结合代数及其一个导子构造n 0 v i k 。v 代数及其邻接李代 数第兰节用三角函数构成的线性空间涞实现上节讨论的n o v i k o v 代数最后我们又定义 了一静n o v i k m 代数，并曩：莛傣鲍侵l 子避蠢了实瑷 2 使得 1n o v i k o v 代数 如果域f 上的线性空间4 中定义了二元的双线性运算“o ”，即v 。，6 4 ，有o 。b a 扛l n l + 玑6 1 ) 。( t 2 n 2 + 掣2 6 2 ) = z l z 2 ( o lo 2 ) + z l 掣2 扣lo6 2 ) + 可1 2 2 ( h 。0 2 ) + z 2 ( 2o6 2 ) 、口k 1 ，可1 ，z 2 ，3 2 f ；0 1 ，。2 】6 1 ，6 2 4 ) 则称a 为f 上的一个代数，记为( 4 ，o ) 显然，若n 1 ，n z ，是代数( a ，o ) 的基，则此代数由基中元素的积 毗。q = 噶v i ，j = l 完全决定一般称 璐) 为此代数的结构常数 对o ，6 4 ，称 【口，叫= 8o6 一b on 为n ，6 的换位子 对a ，b ，c 称 ( n ，6 ，c ) = no p oc ) 一o6 ) oc 为对n ，6 ，c 的结合子 若v n ，6 a ，k6 】= o ，则称a 是交换的 若v n ，b ，c a ( o ，6 ，c ) = o ，则称 是结合的 若( a ，o ) 是一个代数，d 是4 的一个线性变换，且满足： d o6 ) = d ( n ) o 6 + o 。d ( 6 ) n ，6 4 则称d 为4 的导子 定义1 1 代数( 4 ，o ) 若满足 ( oo6 ) oc = 沁oc ) o6 ，b ，c 4 则称为n o v i k o v 代数 注l 若a 满足条件( 1 1 ) ，则称为左对称代数 注2 条件( 1 1 ) 常写为 no ( b 。c ) 一( no6 ) 。c = b 。扣oc ) 一( 6o o ) oc ( 1 1 ) ( 1 2 ) f 1 1 1 下面两个定理说明了左对称代数( 因而包含n o v i k o v 代数) 与l i e 代数的关系，交换结 合代数与n o v i k o v 代数的关系 3 定理1 1 ( 且，。) 是左对称代数，则矮对二元运算 陋，目= n q 6 6 。8 ，抛，6 ( 1 3 ) 构成一个l i e 代数，称( “，( 1 ) 为( 4 ，。) 的邻接l i e 代数 芷明运算“”显然是反对称和双线性的设n ，6 ，e 4 ，则有 陋，f 氓c = ao f 6 ，c 一p ，叫on = 吐。( 6o c ) 一o 。( c o6 ) 一( 6 。c ) on + 0 ob ) o 血 = ，知，c ) + 。c 一扣，岛一如。e ) o6 一 。) 0 8 + 0 。晷) o 函 类似地，有 p ，【c ，8 弱= 6 。，嘲一【c ，岛i 。5 = ( 6 ，c ，n ) + ( b oc ) o n 一( b ，n ，c ) 一( b 。) 。c 一( c 。) 。6 + m 。c ) 。b 墨，扭，纠j ：e 。陋，埘一皿，6 j 。c = ( c ，8 ，酗+ ( c o 娃) 。矗一( c 6 ，拉) 一( c 。的o n 一扛。的oc + 国。吐) 。c ， 将上面兰式相加得 妊，降，c 1 】+ 降，b 。| + 【c ，轴，蝴= o 因此( a i ) 是l ；e 代数 口 定理1 2 ，) 是交换代数 d 。是a 的一个导乎，在a 中定义二嚣运算“o ”如下： 8 06 = a - 如( 曲a ( 1 匐 财( 4 ，幽，构成一个鲰嫡v 代数 证游设8 ，6 ，c a ，于是有口曲= 6 m 避而 汹，抗c ) = n 。( b 。c ) 一心o6 ) 。c = n 镌轴南国) 一和- 南( 妨) ，南( e ) = n d o ( d o ( c ) 十8 矗一胡( c ) 一n d 0 ( 6 ) - d 0 ( c ) = n - 6 t 镶( c ) = b n t 藤( c ) = ( 6 ，n ，c ) 因此，条件( 1 1 ) 成立 又 ( 。5 ) 。c 一缸如( ) ，南( e ) = n d 0 ( 6 ) d 0 ( c ) = n d 0 ( c ) d o ( 6 ) = f 。oc ) 。晷 因此，条手牛( 1 2 ) 成立 故( ，d o ，o ) 构成n o v i k 代数 4 口 2 一类n o v j k o v 代数及其邻接l j e 代数 本节将要由一类交换结合代数及其一个导子构造n 0 v i k o v 代数及其邻接l i e 代数 引理2 1 设f 是一个特征不为2 的域，4 是域f 上的线性空间，并有基6 0 ，n l ，b 1 ，n 2 6 2 ，o 。，6 礼，在4 中定义乘法，使得 。m 。n2 一i ( + n 一6 m n ) b 。= ；( 6 。+ 。+ 6 。一。) ia 。a 。= k n 。= ；( 。+ 。十一。) ， 这里约定b 一。= b ，n ，n 。= 一n 。则4 是一个交换结合代数 证明按照定义( 2 1 ) ，可使4 为一个代数由定义关系有 故4 是交换的 再注意到 同理可得 由此可得 。n 。= 一；( + 。一b m 一。) = 一；( 6 。+ 。一6 。一。) = 。n 。 6 m k = ；( 6 m 。+ 一。) = ；( 扣+ k 一。) = 啪。， n m k = n m ， ( 。，n mo m ) = 。 ( o m ) 一( o n n ) o m 11 = 一i o b ( 6 m + n 一6 ) 十i ( 6 k + n 一靠一n ) o m ：；( 一。+ m + 。一n k 。n + 。+ 。一m + n 一n + m = i 【一。+ m + “一“_ m n + 。+ ”一m 十0 2 一“+ m + n m + + n + n m k n 一。m + 一 一n m k + n ) = 0 ( k ，h ，6 。) = 0 ， ( o k ，n m 6 m ) = 0 ( 钒，b 。，o m ) = 0 ( 6 ，o 。，n m ) = 0 ( b k ，k ，。) = 0 ( b ，n n ，6 m ) = o ( “k ，6 m ) = o ( o ，b ，c ) = 0 ，b ，c 4 ( 2 1 ) 因而 是交换结合代数 口 推论6 0 是a 的单位元 事实上，惠( 2 1 ) 式，毒 n 。= ；( a 。+ 。十n 。一。) 一n 。，的k = ；( 6 0 ”十6 。一。) = ， 馥b 燕a 戆单霞元。 口 众所周知，域f 上的一个结合代数a 的所有导子的集合d e r a 不仅构成f 上的线性 空间，而且对运算： l d l ，主) 2 】= 蚤l 芏) 2 一主) 2 d l ，v d l ，d 2 芒d 牲叠， 构成f 上的l i e 代数 l 璎2 + 2 设a 是如弓l 瑗2 1 所述的交换结会代数 1 ) a 的线瞧交换玩潲足： ld o ( ) = h ，n 一1 ，2 ，3 ，； l 至b ( 较) 竺一珏8 n ，弗然o ，l ，2 ，1 ， 则玩魁4 的导子 2 ) 设n a a 的线性变换8 d o ： ( o i ) 0 ) ( 矗) = 口d o ( 6 ) ， v 6 也是豹导子t 3 ) d l = n | 8 趣麓l i e 代数d e r _ 静予代数 证明1 ) 为证明d 0 魁导子，只需证明对任何基元素6 ，c 有 玩酗= 玩( 蜘+ 玩( 0 。 事实上， 骗( ) = 编( 一；( 酝+ m k 一。) ， = ；( ( m + n ) “。( 一m ) n 。一； 硒) + 8 。编) 一峨；8 。+ m 酝 = n ；( 吣。吣。) + m ；( n ”。一n 。_ = ；( ( 獬蜘) 吣。一融一m k - m ) 。 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 。4 ) 因此b = o 。，c = n 。时，( 2 ，3 ) 式成立同理可证：b = h ，c 一6 m 时；6 一。n ，c = 6 m 时( 2 3 ) 式均成立。于是玩为导子 2 ) 浚8 ，c a 予是 ( 口d o ) ( 6 c ) = a d o ( 把) ；n f d o ( 6 ) c + 如d o ( c ) = ( n d o ) ( 6 ) c + b ( n 上) 0 ) ( c ) 匿薅n 骗是导子。 6 即有 3 ) 设o ，6 c 且，于是 n d o ，b d o ( c ) f ( n d o ) ( 6 d o ) ( c ) ( 6 d o ) 扣d o ) ( c ) d o ( 6 ) d o ( c ) 一6 d o ( ) d 。( c ) ( n d o ( b ) 一b d o ( 。) ) d o ( c ) ， n d o ，b d o = ( n d o ( b ) 一6 d o ( n ) ) d o 口1 所以口1 是l i e 代数d e r 4 的子代数 口 定理2 1 设a 是如引理3 1 所述的交换结合代数n 4 ，在 中定义乘法“o ”如下： b oc = 施d o ( c ) ，v 6 ，c a ， 则( 4 ，a ，。) 是一个n 0 v i k o v 代数 ( 4 ，o ，。) 的邻接l i e 代数( 4 ，o ，【j 】) 的乘法【，】为 ( 2 5 ) 6 ，c 】= 。( 6 d 0 ( c ) 一c d o ( b ) ) ，v 6 ，c a ( 2 6 ) 证明由引理1 2 ，。d 0 是交换结合代数4 的导子，于是由定理1 2 知( 4 ，。) 是一 个n 0 v i k o v 代数 再由定理1 1 知( 4 ，o ) 的邻接l i e 代数为( 4 ， 推论在定理2 1 中，若取。= 6 0 ，则有 对于邻接l i e 代数，则有 偿 n m = 罟( n n + m + n m ) ， 6 m = 一写( n n + m 十n m n ) 6 m = 筹( 6 n + m k m ) ， n m = 署( h + m + b n m ) - 口 f 2 7 、 ；( m n ) n 。+ 。+ ( m + n ) n n m ， ；( n m ) n 一+ ( m + “净 ( 2 8 ) ( m n ) k + m + ；一m ) k 一 、。 ；( m n ) k + 。+ ；( m n ) 6 n 7 | | = = = 叫叫m 训 肼咖帅帅 ，_ilil_，l，_l 3 实瑰 本节将要用三角函数构成的线性缀间来实现一匕节讨论的n 0 v i k o v 代数当然，这时的 城为实数域r 或复数域g 首先，令丁嫩由 s i n m * ，c o s n z l m ，n z ) 生成的实数域r 上的线性空间谯丁中定 义( ，) 如下： ，钕 ( ，) ，剪f 善) ) = ?，( 。) 孽毒) d 嚣，v ，( 嚣) ，露髫) f ，( 3 1 ) j u 显然，) 是对称，双线性和正定的予是可视丁为e u c l i d 空间 萼l 璎3 。l 慰涵数盼乘法，秀交换绩合代数。 饿明因为醣数的乘法是交换，结合的敌廷受验证r 辩乘法是封闭的事蜜上，亩 s i n m z s i n n z = 一i ( c o s ( m 十n ) 。一c o s ( m n ) ) ， c o s m m c 。s n z = ；( c 。s ( m + n 如+ c o s ( m n ) z ) ， ( 3 2 ) s 遍m e o s n 。2i s 址( m + n ) $ 一s i n ( m n ) 。) ， 知引蠼3 ，l 成立。 口 零l 疆3 。2 l ，s i 珏耜譬，s m z bm n 是正突海量氢获嚣蠢彳懿蒺 证明注意到，对m n ，有 ，2 ff 2 # f鲢l l m 劣如= f s m 嚣如等妊， j 0j o 及( 3 1 ) ，( 3 2 ) 式，可得： 簿拄 珏，s i n 靠= ；e 蕊m 茹，c 黼嚣= = 焉h 8 霄 ( s i n m $ ，c o s 乳茹) = o 因此 l s i n n 。，s m 。h m n 是正交向量组褥由8 i n ( 一。) = 8 i n 稿c o s ( 一。) = e o s 豳【m ，s | m ，n z 生蔽t 鬻弓l 瑷4 2 或立 a 定理3 。1 设妒是域f 上的交换缔合代数爿1 ，4 2 的周构映射j 叉d 1 d e r 4 1 则有 以下结果 1 ) d 2 = 妒劳l 妒一1 d e r 2 2 ) 妒也是n o v i k o v 代数( 4 1 ，d 1 ，。) ，到( 4 2 ，d 2 ，o ) 的同构 证明1 ) 设。，b 4 l ，予是 ( 妒d l 妒1 ) ( 妒( n ) 妒( 妨) 兰( 妒_ d l 妒一1 ) ( 妒f 6 ) = 妒d 1 ( 。b ) = 妒( d 1 ( 。) b 十n d l ( 6 ) ) = 妒( d l ( n ) ) 妒( 6 ) 十妒( 回炉( d 1 ( 6 ) ) = 妒d 一1 ) ( 妒( 嚣) ) 妒( 6 ) 妒每) ( 妒d l 妒一1 ) 妒( 棼) 因此结论1 ) 成立 8 2 ) 设o 6 a 1 ，于是 因此结论2 ) 成立 妒( n 。厶) = 妒( 。d 1 ( 6 ) ) = 妒( n ) 妒( d 1 ( b ) ) 妒( 。) 妒d 1 妒一1 ) ( p ( b ) ) = 妒( o ) d 2 ( 妒( b ) ) 妒( ) 。妒( b ) 口 在2 中，讨论了域f ( 特征不为2 ) 上的交换结合代数且及它的导子构造的n o v i k o v 代数若f = r 为实数域，将4 记为山 定理3 2 实数域r 上的交换结合代数a o 如上述，d o 为其满足( 2 2 ) 式的导子实 数域r 上的交换结合代数丁如引理3 1 ，引理3 2 所述则 1 ) o 到丁的线性映射妒： 妒( 6 m ) = c o s m z ，t n = o ，1 ，2 ，；妒( n n ) = s i n n z 扎= l ，2 ， 是交换结合代数的同构 2 ) 妒d o 妒_ 1 = 鑫 3 ) 妒是n o v i k o v 代数( 山，o ) 到n a 、r i k o v 代数( 丁，_ p ( n ) 蛊，。) 的同构 证明1 ) 由引理3 2 知妒是线性空间的同构由( 2 1 ) 式与( 3 2 ) 式知是交换结合代 数的同构 2 1 注意到， 妒d o 妒一1 ( s i n n z ) = 妒d o ( n 。) = 妒( 扎h ) = 礼c o s 竹。 d s i n n z d z 妒d o 妒一1 ( c 0 8 几z ) = _ p d o ( k ) = 妒( 一n 。n ) = 一n s i n n 茁 d c o s n 茁 d 茹 于是结论2 ) 成立 3 ) 根据定理3 1 ，结论3 ) 成立 9 口 4 另一类n o v i b v 代数及其实璇 本带姆要由另一类交换缀合代数及其一个导子构造n o v i k o v 代数及其邻接l i e 代数 然后焉一个其诲的线淫空闽采实现这个n 吲b v 代数 引疆4 1 设昭是域f 上的线性空间，并有基咖，c l ，c 2 ，。，在8 中定义乘 法，使得 = + ( 4 1 ) 显然嚣是一个交换结合代数c 0 是8 的单位元 ；l 理4 2 设嚣是翔引瑷4 1 所述懿交换终台代数 1 ) 嚣的线性交换玩满足： d o ( o 。) = m 一1 ( 4 2 ) 则i ) o 怒g 的导子 2 ) 设c 8 ，则 d e f ( 劭= c 瓿l 。鹭 证骈1 ) 为证明d 0 越辱子，只需证明对任何基元素，有 璐硝一d o h + d o ) ( 4 3 ) 事实上， 挠屯净塌( + n ) = 晒+ 螂一l = m c m 一1 c 佗+ n c m 一1 = d o ( c m ) + c m 仇( 嘞) = d 0 ( k + d 0 ) 因此结论1 ) 成立 口 2 ) 由8 的态义及其乘法可知，c 1 与c 一生成日，所以考虑8 的鼯子时，只需讨论 在c l 冀。l 上的傺用即可， 砖于任意导予d ，存在c 器，使得d ( c 1 ) = e ，显然c d 。是嚣懿导予，注意蓟c l c - l = c 0 = l 则 即 困魏 拶( q ) e l # l p ( 。一1 ) = 口( c l c 一1 ) = j ) ( 1 ) = o d ( c 1 ) = 一c 一。d ( c 1 ) ( d c d o ) ( c 1 ) = d ( c 1 ) 一c d o ( c 1 ) = c c = o 1 0 ( d c _ d o ) ( c 一1 ) 兰d ( c 一1 ) 一c d o ( c 1 ) 黼一c o d ( q ) + c c 一2 0 于是毒 d = e d 0 因此结论2 ) 成立。 下瓣要零其终豹线洼空霹寒实褒殴羔讨论懿n i k 代数 令c 是由 e ” ，- 1 。，h n ) 生成的实数域r 上的线性瓷闻 引理4 3 对荫数的乘法c 为交换结合代数，阂为函数的乘法是交换结合的，故只要 验证对黍法悬辫潮豹 事实上，由 e 士m = k e 士n ，j 。= e 士( m + n ) = k 知葶| 瑾4 3 威立， 引瑕4 4 1 ，e + n 归。，1 n n o ) 为的基 证明v n n 若存在口越r ，使褥 n n e 一“屈怕一( n 一1 ) 8 一( ”一1 ) 用。+ + 。一l e 归。+ g o 十毗e 问叠十n 2 e 2 舟+ + 。n e ”口2 = o ( 4 4 ) 爨定有 0 = 0 今o = o 鑫一# + 8 一& 一1 ) + t t 。+ 瘿l + 8 。+ 8 l + 8 2 + 十= 0 对( 4 4 ) 进行2 ( n ) 次求导后，令= o 妒6 8 n + 鑫一) + ( 髓一1 ) 2 。( 8 一辑一1 ) 8 n 1 ) + ，+ ( 珏 + 8 一1 ) 黜e 方程组 f 4 肆 把啦+ n 看成未知数，其系数阵为范德袋矩阵，稽列式不为o ，则此方稷组只有零解。邵 对( 4 - 4 ) 进行2 一l ( ) 次隶搭后，令。一o 方程组 “1 + 2 3 0 2 + + n 3 n n = 0 其系数阵为范德蒙矩阵，行列式不为o ，则此方程组只有零解故 吼= o 因此 。土t = o 由于是n 任取的，令n + o 。即 1 ，e h - 1 。，i n n o ) 线性无关，由此知引理44 成立 定理4 1 实数域r 上的交换结合代数玩如上述，d o 为其满足( 4 2 ) 式的导子实数 域r 上的交换结合代数c 如引理4 1 ，引理3 2 所述f 是c 的变换；e n 、2 b e ( n 一1 ) 2 i z 1 ) 岛到c 的线性映射妒： 妒( ) = e ”、= kn = 0 ，土l ，土2 ， 是交换结合代数的同构 2 ) 妒d 0 妒_ 1 = ，0 7 兰缸 3 ) 妒是n o v i k o v 代数( 岛，c ，o ) 到n o v i k o v 代数( c ，妒( c ) ，o 了兰k ，o ) 的同构 证明1 ) 由引理3 3 知妒是线性空间的同构由( 3 1 ) 式与( 3 2 ) 式知，妒是交换结合 代数的同构 2 ) 注意到， 妒d o 妒1 ( 扩 ，毛) = 妒d 0 ( ) = 妒( n c ) = n ( e ( 忆_ 1 ) 玉) 。 d e “、一1 。 2 ，o 了面i ， 于是结论2 ) 成立 3 ) 根据定理3 1 ，结论3 ) 成立 1 2 口 参考文献 【1 】i mg e l f a n d il ad i k i ，a s 竹巾t 。缸c6 e o 嘶o rd ，f e 他s o 抽e 耐吖s m t 一厶i 。u 叫f f ee 口“。t 2 0 n sn n dt k 三i eo 幻e 6 m0 ，t 胁k o r c 锄7 印一出 i e se 扣n t z o n s ，r u s s i a nm a t h s u r v e y s3 0 ( 1 9 7 5 ) 7 7 1 1 3 【2 】i m g e l f a n d ，l ad i k i ，且三z eo 幻e 6 ms t r c “他mn ，o m o l 他n n 2 0 n fc f c ? 。i o n ，f h n c c i o n a ia n a l a p p l 1 0 ( 1 9 7 6 ) 1 6 - 2 2 【3 li m g e l f a n d ，iy ad o r h n a n 日仇m d n z n no p e m o 邶帆dn 幻e 6 m i c5 t 州c 执他s 他j n 缸ot e m ，n l n c _ t i o n a la n 出a p p l 1 3 ( 1 9 7 9 ) 2 4 8 2 6 2 4 】e i z e l m a n o v ，0 n oc f s0 ，f o 2t m n s f o t 。nt n 口n n o 耐工i e o 幻e 6 m s ，s o v i e t m a t hd o h 3 5 ( 1 ) ( 1 9 8 7 ) ，2 1 6 2 1 8 f 5 jj m ( ) s b o r n ，啦疗甜疵m e n 撕。n 耐删让。口口杌6 忧s 盯曲8 他c 把嘞蹿c 只j a l g e b r a ，1 6 7 ( 1 9 9 4 ) 1 4 6 _ 1 6 7 【6 lj m 0 8 b o r n ，s i m p k 0 讥七。口0 1 9 曲瑚删 帆z d e 唧d f e n t ，c o n l i i l i na l g e b r a2 0 ( 1 9 9 2 ) 2 7 2 9 - 2 7 5 3 【7 1x x u ，0 ns m p 拒。碱o o 园e 6 mn n dt e 打t m 咖c 舭m o 砒岵j a l g e b r a1 8 5 ( 1 9 9 6 ) 9 0 5 9 3 4 【8 lc h e n g m i n gb a i a n d d a o j im e n g ，吼ec 如s 馥疗t i o no ，d 确o 咖e 6 瑚 讥f o 叫d i m e n s i o n s ，j p h y s a ：m a t h g e n 3 4 ( 2 0 0 1 ) 1 5 8 1 1 5 9 4 9 | c h e n g m i n gb a i a n dd a o j i m e n g ， 0 nf e 代n 眈o t 如n0 ，f m 邶疵如e 。砌o o 幻e 6 m s ，j p b a ：m a t h g e n 3 4 ( 2 0 0 1 ) 3 3 6 3 ：加】c h e n g m i g b 时a n d d a o j im e “g ，吼e 他n 缸d n 5o ， n d 伽t m n s i “ e。埘b o 幻e 6 煳， j p h y sa ：m a t h g e n 3 4 ( 2 0 0 1 ) 6 4 3 5 ；1 1 x i a o p i n gx l l ，d 礁。弘p o 妇s o nn 幻e 6 他乱j a l g e b r a ，1 9 0 ( 1 9 9 7 ) ，2 5 3 - 2 7 9 1 2 j a a b a i i n s k ia n dsp n o v i k o v ，p o 如s o n6 m 矾e 拈0 ， 掣卉甜”叩l i t 弘卵，m 6 e 啪。机6 ，璐咖d 工她 o f 9 e 6 m 5 ，s o v i e tm a t hd o k l - 3 2 ( 1 ) ( 1 9 8 5 ) ，2 2 8 - 2 3 l 1 3 】r b l o c k ，o nt o 邢i d n 加en 6 e 矗o ng m 婶so 砌三耙8 船6 仇s ，p r o c a m e r m 8 t h s o c 9 ( 1 9 5 8 ) ，6 1 3 6 2 0 ：1 4 】x x u ，日o m m o n i o n0 p e m t d 付n n do s s d c i n “ en 6 m s 曲执口如砌o t i o n ，l e t t m a t h p h y 83 3 ( 1 9 9 5 ) 1 6 ：1 5 】x x u ，i 锄吨n t i o n 缸衄k 轧so ，s t t 卵删o m 6 f e sn n d 他f n 把d 口幻e 6 m i cs t r u c t u 他s ，j a l g e b r a2 2 3 ( 2 0 0 0 ) 3 9 6 - 4 3 7 1 6 hk i m ，c o m p ：e t e 蚴- n 帅i 蚴t 胡讹es t 他c t u 他s o nn 洳。匏m 工i ef m 叩 d i 璐r e n t i a lg e o m e t 。y 2 4 ( 1 9 8 6 ) 3 7 3 - 3 9 4 ：1 7 】e b v i n b e r g ，( b n 口船 o m 卵e n e d sc d n e s ，n a l l s i o 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