（基础数学专业论文）与virasoro代数相关联的几类无限维李（双）代数的结构与表示.pdf

上海交通大学博士学位论文 与v i r a s o r o 代数相关联的几类无限维李( 双) 代数的结构与表示 摘要 本文主要研究了几类与v i r a s o r o 代数相关联的无限维李( 双) 代数的结构与表示理论， 确定了类与v i r a z o r o 代数相关联的无限维李代数b 的双代数结构，研究了扭s c h r o d i n g e r - v i r a s o r o 李代数的导子代数和自同构群，讨论了形变s c h r o d i n g e r v i r a s o r o 李代数的二上循 环，给出了s c h r o d i n g e r - v i r a s o r o 李代数的中间序列模的分类 众所周知，特征。代数闭域f 上的三维单李代数s l ( 2 ，f ) 是研究有限维李代数结构和表 示理论的有力工具而w i t t 代数及其中心扩张v i r a s o r o 代数作为无限维李代数最简单的例 子，自从一出现就备受数学家和物理学家的关注，很多好的结果不断出现，随着其结构理论和 表示理论的日臻完善，其结果、方法和处理问题的技巧对其它无限维李代数特别是与其相关联 的无限维李代数有很好的借鉴作用这时出现了很多研究高阶v i r a o s o 代数或广义v i r a o s o 代数的文献( 如文献【1 卜【6 】等) 我们知道利用李代数本身和它的表示可以构造一个新的更大 的李代数，这样就很自然地出现了很多建立在v i r a s o r o 代数基础之上的代数结构，如q 形变 v i r a s o r o 代数、型代数、( 广义) b l o c k 型代数、广义w i t t 型代数、( 广义) v i r a s o r o - l i k e 李代数及其口类似、v i r a s o r o - t o r o i d a l 李代数。 ( 广义) ( 扭) h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 李代数， n = 2 的共形超代数、s c h r s d i n g e r v i r a s o r o 型李代数等，当然也出现了大量研究这些类型 的代数的文献( 如f z l - 2 2 1 等) 本论文所做的工作正是在上面的背景下展开的 本论文在第一章研究了与v i r a s o r o 李代数相关联的一类无限维李代数b 的李双代数结 构，证明了李代数日上的每一个双代数都是三角上边缘的李双代数的概念由d r i n f e l d 于 1 9 8 3 年引入文献【2 3 ，2 4 ，2 5 】分别对w i t t 型与v i r a s o r o 型、广义w i t t 型和广义v i r a s o r o - l i k e 型李双代数进行了研究，文献 2 6 ，2 7 ，2 8 1 分别对上述类型的代数结构进行了量子化鉴 于目前还没有统一的方法来研究李双代数，不同的代数会遇到不同的闷题，进而得到具体的 不同的量子化代数 本论文第二章主要研究了形变s c h r s d i n g c r v i r a s o r o 代数的二上循环和带中心扩张的 扭s c h r s d i n g e r - v i r a s o r o 李代数c 的导子代数与自同构群，完全刻划了形变s c h r s d i n g e r v i r a s o r o 代数的二上同调群，给出了不同参数情形下的生成元，证明了c 的导子代数由其内 导子代数和三个线性无关的外导子张成原始的s c h r s d i n g e r v i r a s o r o 李代数是由h c n k e l 在文献【2 9 】中在菲平衡统计物理的背景下引入的目前，研究这种类型的李代数的文献虽不 多，但却已经开始得到人们的重视( 见文献f 2 9 - 3 3 ) 文献【3 2 】给出了它们的顶点表示 第三章主要证明了无中，l 、- 扩张扭s c h r s d i n g e r - v i r a s o r o 李代数上不存在不可约交叉模， i 中文摘要 并对带中心扩张的s c h r s d i n g e r v i r a s o r o 李代数的中间序列模进行了分类文献【3 7 1 证明了 文献 3 8 】给出的v i r a s o r o 代数上不存在不可约交叉模这一猜想文献【2 l 】和文献【1 1 】分别 证明了扭h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数和代数w ( 2 ，2 ) 上也不存在不可约交叉模，同时，也 有很多文献研究过李( 超) 代数的中间序列模( 如【3 ，5 ，1 9 ，3 9 ，4 0 ，4 2 ，4 3 ，4 4 】等) 关键词v i r a s o r o 代数，s c h r s d i n g e r - v i r a s o r o 李代数，二上循环，二上同调群，中心 扩张，自同构群，导子代数，李双代数，中间序列模，权模，不可约模 i i 上海交通大学博士学位论文 t h es t r u c t u r e sa n dr e p r e s e nt a ，r i o n so fs o m e i n f i n i t e - d i m e n s i o n a ll i e ( b i ) a l g e b r a sr e l a t e dt ot h e v i r a s o r oa l g e b r a a bs t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h es t r u c t u r e sa n dr e p r e s e n t a t i o n so fs o m ei n f i n i t e - d i m e n s i o n a ll i e ( b i ) a l g e b r a st h a ta r er e l a t e dt ot h ev i r a s o r oa l g e b r a w ed e t e r m i n e t h cl i eb i a l g e b r as t r u c t u r eo fac l a s so fi n f i n i t el i ea l g e b r a sb ，i n v e s t i g a t et h e d e r i v a t i o na l g e b r aa n da u t o m o r p h i s mg r o u po ft h et w i s t e ds c h r 6 d i n g e r v i r a s o r o a l g e b r aa n dd i s c u s st h e2 - c o c y c l e so fd e f o r m a t i v es c h r 6 d i n g e ra l g e b r a s f i n a l l y , i n d e c o m p o s a b l em o d u l e so ft h ei n t e r m e d i a t es e r i e so v e rt h es c h r 6 d i n g e r v i r a s o r o a l g e b r aa r ec l a s s i f i e d i ti sw e l lk n o w nt h a tt h et h r e e - d i m e n s i o n a ls i m p l el i ea l g e b r as l ( 2 ，f ) o v e ra n y c l o s e df i e l dfo fc h a r a c t e r i s t i c0i sap o w e r f u lt o o li ni n v e s t i g a t i n gt h es t r u c t u r e a n dr e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo ff i n i t e - d i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a s m e a n w h i l e ，t h ew i t t a l g e b r aa n da l s oi t sc e n t r a le x t e n s i o n ，i e ，t h ev i r a s o r oa l g e b r a ，a st h es i m p l e s te x - a m p l e so fi n f i n i t e - d i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a s ，h a v ea t t r a c t e dt h ea t t e n t i o n so fm a n y m a t h e m a t i c i a n sa n dp h y s i c i s t sf r o mt h e i ra p p e a r a n c e m a n yi n t e r e s t i n gr e s u l t so n t h e s et y p ea l g e b r a sa p p e a r e d a st h es t r u c t u r ea n dr e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo ft h e m b e c o m em o r ea n dm o r ec o m p l e t e ，t h er e s u l t s ，m e t h o d sa n da l s ot e c h n i q u e so nt h e s e a l g e b r a sa r eh e l p f u lt oi n v e s t i g a t ei n f i n i t e - d i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a so fo t h e rt y p e s ， p a r t i c u l a r l yt ot h el i ea l g e b r a sr e l a t e dt ot h ev i r a s o r oa l g e b r a t h e nm a n yp a p e r s o i lh i g h e rr a n kv i r a s o r ol i ea l g e b r a sa n da l s og e n e r a l i z e dv i r a s o r ol i ea l g e b r a sa p - p e a r e d ( c l 【l 卜【6 】e r e ) ，a n dm a n yi n t e r e s t i n gr e s u l t sw e r eg e n e r a l i z e dt oa l g e b r a so f t h e s et y p e s h o w e v e r ，t h e s eg e n e r a l i z a t i o n sw e r en o tt r i v i mw i t hs o m et e c h n i q u e s i ti sk n o w nt h a to n ec a nc o n s t r u c tl a r g e rl i ea l g e b r a su s i n gl i em g e b r a st h e m s e l v e s a n dt h e i rm o d u l e s t h e nm a n ya l g e b r a sb a s e do nt h ev i r a s o r oa l g e b r aa p p e a r e d s u c ha st h eq - d e f o r m e dv i r a s o r oa l g e b r a ，( g e n e r a l i z e d ) b l o c kt y p ca l g e b r a s ，g e n e r a l - i z e dw i t tt y p ea l g e b r a s ，( g e n e r a l i z e d ) v i r a s o r o - l i k el i ea l g e b r a sa n di t sqa n a l o g u e ， i i i a b s t r a c t t h ev i r a s o r o - t o r o i d a ll i ea l g e b r a ，t h e ( g e n e r a l i z e d ) ( t w i s t c d ) h c i s e n b e r g v i r a s o r o l i ea l g e b r a ，n = 2s u p e r c o n f o r m a la l g e b r a sa n ds c h r s d i n g e r v i r a s o r ot y p el i e a l g e b r a s n a t u r a l l y , t h e r ea p p e a r e dm a n yp a p e r so i l t h p s ea l g e b r a s ( c f 【7 】一 2 2 】 e t c ) w ei n v e s t i g a t el i eb i a l g e b r a so fac l a s so fi n f i n i t e - d i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a s br e l a t e dt ot h ev i r a s o r ol i ea l g e b r ai nc h a p t e r1 w cp r o v et h a te v e r yl i e b i a l g e b r ao nt h el i ea l g e b r abi s at r i a n g u l a rc o b o u n d a x yl i eb i a l g e b r a t h e n o t i o no fl i eb i a l g e b r a sw a si n t r o d u c e db yd r i n f e l di n1 9 8 3 t h el i eb i a l g e b r a so f v i r a s o r ot y p e ，g e n e r a l i z e dt y p ea n dg e n e r a l i z e dv i r a s o r o - l i k et y p ew e r er e s p e c t i v e l y i n v e s t i g a t e di n 【2 3 ，2 4 ，2 5 t h e s et y p e sa l g e b r a sw e r eq u a n t i z e di n 【2 6 ，2 7 ，2 8 】 r e s p e c t i v e l y c o n s i d e r i n gt h ef a c t st h a tt h e r ea r en og e n e r a lm e t h o d s t oi n v e s t i g a t e l i eb i a l g e b r a s ，a n dt h e r ea r ed i f f e r e n td i f f i c u l t i e st oa l g e b r a so fd i f f e r e n tt y p e s c o r r e s p o n d i n gt od i f f e r e n th o p fa l g e b r as t r u c t u r e s i nc h a p t e r2w ec o n s i d e rt h e2 - c o c y c l e so v e rt h ed e f o r m a t i v es c h r s d i n g e r v i r a s o r ol i ea l g e b r a sa n dt h ed e r i v a t i o na l g b r aa n dt h ea u t o m o r p h i s mg r o u p so v e r t h et w i s t e ds c h r s d i n g e r - v i r a s o r oa l g e b r aw i t hc e n t r a le x t e n s i o n s w ec o m p l e t e l y d e s c r i b et h es e c o n dc o h o m o l o g yg r o u po ft h ed e f o r m a t i v es c h r s d i n g e r v i r a s o r o a l g e b r a sa n dl i s t a l lt h eg e n e r a t o r su n d e rd i f f e r e n tc o n d i t i o n s a n di ti sp r o v e d t h a ti t sd e r i v a t i o na l g e b r ai ss p a n n e db yi t si n n e rd e r i v a t i o na l g e b r aa n dt h r e e o u t e rd e r i v a t i o n s t h eo r i g i n a ls c h r 6 d i n g e r - v i r a s o r ol i ea l g e b r aw a si n t r o d u c e d i n 【2 9 】，i nt h ec o n t e x to fn o n - e q u i l i b r i u m s t a t i s t i c a lp h y s i c s n o w a d a y s ，t h e r e a r en o tm a n yr e f e r e n c e si n v e s t i g a t i n gl i ea l g e b r a so ft h e s et y p e s ，b u tt h e s et y p e s l i ea l g e b r a sh a v eb e e np a i dm u c ha t t e n t i o nr e c e n t l y ( c f 【2 9 一【3 3 】) t h ev e r t e x r e p r e s e n t a t i o n sw e r ei n v e s t i g a t e di n 【3 2 i nc h a p t e r3w ep r o v et h a tt h e r ea r en 0i r r e d u c i b l em i x e dm o d u l e so v e rt h e t w i s t e ds c h r s d i n g e r - v i r a s o r ol i ea l g e b r a sw i t h o u tc e n t r a le x t e n s i o ne i t h e ra n dc l a s - s i f yt h em o d u l e so fi n t e r m e d i a t es e r i e so v e rt h es c h r s d i n g e r - v i r a s o r ol i ea l g e b r a s w i t hc e n t r a le x t e n s i o n s t h ec o n j e c t u r et h a tt h e r ea r en oi r r e d u c i b l em i x e dm o d u l e so v e rt h ev i r a s o r ol i ea l g e b r a s ，g i v e ni n a t l ，w a sp r o v e di n 3 8 a f t e r w a r d s ， i tw a sa l s op r o v e dt h a tt h e r ea r en oi r r e d u c i b l em i x e dm o d u l e so v e rt h et w i s t e d h e i s e n b e r g v i r a s o r ol i ea l g e b r a sa n dt h ew a l g e b r aw ( 2 ，2 ) r e s p e c t i v e l yi n 【2 1 】 i v 上海交通大学博士学位论文 a n d 11 a l s ot h e r ea r em a n yp a p e r st h a th a v ee v e ri n v e s t i g a t e dt h em o d u l e so f i n t e r m e d i a t es e r i e s ( e g ，【3 ，5 ，1 9 ，3 9 ，4 0 ，4 2 ，4 3 ，4 4 】e t c ) k e yw o r d s v i r a s o r ol i ea l g e b r a ，s c h r 6 d i n g e r - v i r a s o r ol i ea l g e b r a s ，2 一 c o c y c l c s ，s e c o n dc o h o m o l o g yg r o u p s ，c e n t r a le x t e n s i o n s ，a u t o m o r p h i s mg r o u p s ， d e r i v a t i o na l g e b r a s ，l i eb i a l g e b r a s ，m o d u l e so fi n t e r m e d i a t es e r i e s ，w e i g h tm o d - u l e s i r r e d u c i b l em o d u l e s v 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的 研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文储签名：建军j 虚 日期：2 0 0 8 年6 月1 日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 保密口，在一年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密i i ( 请在以上方框内打“，) 学位论文作者签名： 耋融 指导教师签名：莎引 日期：2 0 0 8 年6 月1 日日期：2 0 0 8 年6 月1 日 1 1 第零章绪论 0 1 本论文的研究背景及相关结果简介 一般来讲，单纯研究李代数主要分相辅相成的两个大的方面，一方面是研究 各类李代数的性质与结构，即所谓的结构理论，主要是指研究所给李代数自身的 性质( 如幂零性，可解性、半单性等) 、各种子系统( 如子代数、理想) 及商代数和同 态象的结构、同构的条件( 以实现其完全分类) 、与所给的李代数密切相关的代数 系统的结构( 如李代数的自同构群、导子代数、二上循环、上同调群等) ，另一方面 是研究各类李代数的表示及其应用，即所谓的表示理论，通过对李代数表示的研 究得到许多关于李代数本身在抽象研究的情况下可能难以得到的深刻而且具体的 结果，李代数在其它学科的应用( 如理论物理、量子物理、微分几何，微分方程等) 主要是通过其表示得以实现的，我们还可以利用李代数本身和它的表示构造一些 新的更大的李代数李代数的研究很多时候已不再仅仅局限在研究李代数本身， 出现了很多与它相关联的代数结构，如李余代数、李双代数、p o s s i o n 代数、李超 代数，李c o l o r 代数、h o p f 代数、l e i b n i z ( 超) 代数、左对称( 超) 代数、j o r d a n 代数、共形代数、量子( 超) 群、量子代数、顶点算子( 超) 代数等本论文的研究 正是基于上面的基本问题之上展开的 鉴于本文研究的代数与v i r a s o r o 李代数有密切关系，让我们先来看一下v i r a s o r o 李代数的相关背景众所周知，v i r a s o r o 李代数在数学、物理等很多领域 有着重要应用一个李代数l 称为复数域c 上的v i r a s o r o 代数，如果它有一组 c 上的基 l m ，c i m z ) 满足下面的李括号运算 m 3 ” l 。，l n 】= ( n m ) l 。+ m + 如，一n 二二：t ；r = c ， 【l ，c 】= 0 ，vr n ，礼z 工厶 上世纪八十年代以来，有大量的文献对v i r a s o r o 李代数及其高阶、广义、超代数 ( n = 1 共形代数) 情形及其q 类似、q 形变情形进行了讨论( 见文献【3 ，6 ，7 ，8 ， 1 7 ，2 3 ，2 6 ，3 6 ，3 7 ，3 8 ，4 0 ，4 1 】等) ，得到了一系列很有意思的结果，为研究其它的无 限维李代数特别是与v i r a s o r o 李代数相关联的无限维李代数及其相关代数提供了 很多可以借鉴的很好的方法和技巧在此我们就不准备把这些结果一一列出，部 分结果将在论文的正文中提到 随着v i r a s o r o 李代数及其几种情形的推广或形变的研究基本完善，或与此类 1 上海交通大学博士学位论文 李代数的研究并行，当然也不乏一些代数在v i r a s o r o 李代数出现之前早就有了， 出现了大量研究与v i r a s o r o 李代数相关联的代数的文章，如型代数( 见文献 【9 ，1 0 ，1 1 ，2 0 ，4 2 ，5 3 ) 、( 广义) b l o c k 型代数( 见文献 5 4 ，5 5 ，5 6 ，57 】) 、广义w i t t 型代数( 见文献 2 4 ，2 7 ，5 8 】) 、( 广义) v i r a s o r o - l i k e 李代数及其q 类似( 见文献 【7 ，8 ，1 3 ，2 5 ，2 8 ，3 9 ，4 0 ，4 5 ，5 9 ) 、v i r a s o r o - t o r o i d a l 李代数( 见文献【1 4 ) ，( 广 义) ( 扭) h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 李代数( 见文献【6 0 ) 、n = 2 的共形超代数( 见文献 【1 9 ，6 1 ，6 2 ，6 3 ，6 4 ，6 5 ，6 6 】) s c h r 6 d i n g e r v i r a s o r o 型李代数( 见文献 2 2 ，2 9 ，3 1 ， 3 2 ，3 3 ) 等 上面我们总的介绍了一下相关背景，下面就我们要讨论的具体代数的具体问题 来把背景和目前的研究状况再简单看一下本论文在第一章主要研究与v i r a s o r o 李代数相关联的一类无限维李代数b 的李双代数结构李双代数这一概念是由 d r i n f e l d 于1 9 8 3 年在文献【1 8 ，6 7 中引入，很多文章( 如【2 3 ，2 5 ，2 7 ，4 7 ，4 8 ，4 9 】 等) 曾研究过这类代数最初文献 2 3 ，2 4 ，2 5 】分别研究了w i t t 型与v i r a s o r o 型、 广义w i t t 型和广义v i r a s o r o - l i k e 型的李双代数，文献【2 6 ，2 7 ，2 8 分别对上述类 型的代数结构进行了量子化鉴于目前还没有统一的方法来研究李双代数，具体 的代数会遇到具体的问题，进而得到具体的不同的量子化代数，因此在这方面做 一些工作，是相当有意义的 本论文在第二章和第三章主要研究s c h r s d i n g e r v i r a s o r o 型李代数的结构和 表示第二章研究了形变s c h r s d i n g e r v i r a s o r o 代数的二上循环和带中心扩张的扭 s c h r s d i n g c r v i r a s o r o 李代数c 的导子代数与自同构群二上循环在李代数的中心 扩张方面起着关键作用，可以用它来构造许多无限维李代数，并且进一步可以用 来描述所得到李代数的结构和表示因为同调群和李代数的结构是密切相关的， 出现了一系列关于无限维李代数和共形代数的二上循环和上同调群的文章( 如文 献【6 ，1 7 ，3 4 ，3 5 ，3 6 】等) 第三章主要研究无中心扩张的扭s c h r s d i n g e r v i r a s o r o 李代数2 的不可约权模和带中心扩张的s c h r s d i n g e r - v i r a s o r o 李代数的中间 序列模徐晓平在文献【5 0 】中提出了v i r a s o r o 代数上的任意不可约点模是否为 h a r i s h c h a n d r a 模的问题， m a z o r c h u k 和赵开明在文献 3 7 】中证明了文献 3 8 】 给出的v i r a s o r o 代数上不存在不可约交叉模这一猜想文献【2 1 】和文献【1 1 】分 别证明了扭h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数和代数w ( 2 ，2 ) 上也不存在不可约交叉 模关于不同李( 超) 代数的中间序列模的分类结果，也可以在很多文献中找到( 如 【3 ，5 ，1 9 ，3 9 ，4 0 ，4 2 ，4 3 ，4 4 】等) 2 第零章：绪论 s c h r 6 d i n g e r v i r a s o r o 李代数是由h e n k e l 在文献 2 9 】中在非平衡统计物理的 背景下引入的研究这种类型的李代数的文献目前并不是很多，但已受到很多学 者的密切关注( 见文献 2 9 ，3 0 ，3 1 ，3 3 】) 文献【3 2 】给出了它们的顶点表示几乎与 本论文第二耄第三节的同时，文献 2 2 】讨论了扩张的s c h r s d i n g e r - v i r a s o r o 代数的 导子、中心扩张和自同构群由于扩张s c h r 6 d i n g e r - v i r a s o r o 代数与本论文第二章 第三节所讨论的扭s c h r s d i n g e r - v i r a s o r o 代数两者本身就有很大差异( 具体差异见 第三章第一节相关代数的定义) ，其研究方法、技巧乃至结果都有很大差异( 我们认 为，主要原因在于，本论文所讨论的代数的生成元少，决定其结构时能有效利用的 关系或条件也就相对少些；此外我们所讨论的代数含有参数，因此情形更加复杂) 由于s c h r 6 d i n g e r v i r a s o r o 型李代数的研究刚刚起步，没有形成系统的理论，因此 在这方面做些工作应该很有意义，可以丰富此类无限维李代数的相关理论 3 上海交通大学博士学位论文 0 2 本论文的主要工作 本论文第一章主要研究一类与v i r a s o r o 代数相关联的无限维李代数b 的李 双代数结构第一节主要介绍相关背景和基本概念，第二节给出本章的主要结果， 即下面的定理1 2 6 定理1 2 6 李代数b 上的每一个李双代数都是三角上边缘的 本论文在第二章主要研究了形变s c h r s d i n g e r - v i r a s o r o 代数c 九肛的二上循环 与二上同调群和带中心扩张的扭s c h r s d i n g e r - v i r a s o r o 李代数c 的导子代数与自 同构群第一节主要介绍相关背景和基本概念，第二节通过对参数a ，p 进行讨论， 得出了所有可能情形下的二上同调群，并具体算出了它们的生成元，即下面的定 理2 2 1 定理2 2 1 ( i ) 如果p 聋 ；z ) ，那么对任意的a c 都有咒2 ( c a c ) 竺c ， 且由v i r a s o r o 二上循环生成 ( i i ) 如果p + z 且入一3 ，一1 ，1 ，则7 - 1 2 ( c a ，p ，c ) 竺c ，且由v i r a s o r o 二上循 环生成 ( i i i ) 如果p 互14 - z ，且入= - 3 ，则7 - 1 2 ( c 一3 c ) 型c 2 ，由v i r a s o r o 二上循环和与 其线性无关的形式为c ( l 。，y ，m ) = 如，一m p ( 其余部分全为零) 的二上循环生成 ( i v ) 如果p ；+ z 且a = - 1 ，则7 - 1 2 ( c l 棚c ) 竺c 3 ，且由v i r a s o r o 二上循环和 与其线性无关的具有下面形式的c 1 和c 2 生成( 不出现部分为零) c l ( ，k ) ：晶，一。一3 p ，c 2l - m , k ) ：r e ( m f + 1 ) 矗，m p ( v ) 如果p + z 且入= 1 ，则7 - 1 2 ( c l ，p ，c ) 竺c 3 由v i r a s o r o 二上循环和与其线 性无关的具有下面形式的c l 和0 2 生成( 不出现部分为零) c l ( l 一。，k ) = m ( m 2 1 ) 矗，m p ， c a ( l m ，一2 p ) = q ( y _ m p ，k p ) = m ( m 2 1 ) 如，。 ( v i ) 对任意的p 7 , ，如果入一1 ，则h 2 ( c a ，弘，c ) 笺c 且由v i r a s o r o 二上循环生 成；而如果a = 一1 ，则咒2 ( c 一1 ，p ，c ) 笺c 2 且由v i r a s o r o 二上循环和与其线性无 关的形式为c ( 耳，k ) = 一如，一p 一2 p 0 + p ) ( 其余部分全为零) 的二上循环所生成 第三节给出了c 的导子代数d e r c 和自同构群a u t ( c ) ，即下面的定理2 3 5 和定理2 3 1 2 ，并在引理2 3 1 1 中具体给出了自同构群a u t ( c ) 的群结构 4 第零章：绪论 定理2 3 5d e r c = c 刃l 丰c 现阜c 晚阜a d 定理2 3 1 2 在由( 2 3 9 8 ) 所定义的映射，下，自同构群a u t ( ) 同构于群 c 。c o 。z 2 c 心c 3 ( 其中c 中的元素由( 2 3 9 5 ) 给出) ，群运算为 ( b ，c ，i ，u ，w ，q ，p ，7 ) ( 6 ，一，伽，a 7 ，丫) = ( 6 ，i ，w ，a ，矿，1 ”) 其中( 6 ，i ，”，口，7 7 ) 由引理2 3 1 1 给出 定理中的记号请参见第二章第三节我们不准备把引理2 3 1 l 给出的群结构 列在这里，具体请参见引理2 3 1 1 第三章第一节主要介绍相关的背景和基本概念，第二节主要研究无中心扩张 的扭s c h r s d i n g e r v i r a s o r o 李代数p 的不可约权模，主要证明了李代数2 上不 存在不可约的交叉模，即下面的定理3 2 7 定理3 2 7 设m 是2 上的不可约权模，若存在a c 使得d i m m a = o o ， 则s u p p ( m ) = 入+ z ，且对任意的k z ，都有d i m m + k = 定理中的记号请参见第三章第二节 第三节主要研究带中心扩张的s c h r s d i n g e r - v i r a s o r o 李代数的中间序列模， 主要结果是定理3 3 1 ，即给出了此类模的完全分类 定理3 3 1 假设y 是上的中间序列模且s 在v 上的作用是非平凡的， 则y 一定是下列模或是它们的商模中的一类： a o ，b ，玩，b ，c a ，d a ，a l ( a ) ，a 2 ( a ) ，b 1 ( a ) ，b 2 ( 理) ，c ( q ，口，) ，d ( p ，) ， 其中a ，b ，口，a 7 ，p ，c ，它们的模结构由公式( 3 3 1 ) - ( 3 3 3 0 ) 给出 注定理中的记号请参见第三章第三节由于此定理中公式( 3 3 1 ) 一( 3 3 3 0 ) 内 容较长，在这里我们就不再具体列出，详细的模结构见定理3 3 1 中的公式( 3 3 1 ) 一 ( 3 3 3 0 ) 5 第一章一类无限维李代数b 的双代数结构 1 1研究背景及相关概念 自从d r i n f e l d 在1 9 8 3 年( 见【1 8 ，6 7 】) 引入李双代数这一概念之后，很多文章 ( 如【2 3 ，2 4 ，2 5 ，4 7 ，4 8 ，4 9 ，6 8 ，6 9 】) 曾研究过李余代数或李双代数最初文献【2 3 】给 出了w i t t 型和v i r a s o r o 型的李双代数，文献【4 8 】进一步给出了这些类型的李双 代数的分类，随后文献 2 6 】对此类代数进行了量子化文献 2 4 】研究了广义w i t t 型李双代数的结构，证明该双代数结构是三角上余边缘的，文献【2 7 】对文献【2 4 1 所讨论的代数结构进行了量子化对李代数进行量子化已成为构造新量子群的重 要工具( 如【2 7 ，2 8 ，1 0 6 ) 让我们一起来回忆一下李双代数的有关概念，这些基本的概念可以在很多专 著和参考文献中找到设l 是特征为零的域f 上的向量空间用来表示置换 l l l 的循环映射，即f ( z 1oz 2 x 3 ) = x 2ox 3ox 1 ，其中z 1 ，x 2 ，x 3 l ，并 记7 为lol 的扭映射，即对任意的x ，y l 都有7 - oy ) = yqz 我们先给出李代数的定义李代数是由向量空间l 和满足如下条件的线性映 射6 ：l l _ l ( l 的李括积) 组成 k e r ( 1 7 ) ck e r j ， j ( 1o6 ) ( 1 + + 2 ) = 0 ：l 圆lql l ， ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 分别称为反对称性和j a c o b i 等式对偶地，我们有李余代数的概念李余代数是 由向量空间l 和满足如下条件的线性映射：l l l ( l 的李余括积) 组成 i m ci r a ( 1 一下) ， ( 1 + 专+ f 2 ) ( 1o ) = 0 ：l _ l 圆lo l ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 对李代数厶通常用陋，引：= 5 ( x ，y ) 来表示它的李括积，用记号“”来表示下面的 对角伴随作用 z ( 0 4ob i ) = ( p ，0 4 】ob i + 0 4ok ，玩】) ， 其中z ，啦，玩l ( 1 1 5 ) it 现在我们就可以引入李双代数的概念了 6 第一章：一类无限维李代数b 的双代数结构 定义1 1 1 李双代数是一个满足下列条件的三元组( l ，6 ，) ： ( l ，6 ) 是李代数，( l ，) 是李余代数，( 1 1 6 ) 6 ( z ，y ) = z a y y a x ，对所有的z ，y l 成立( 相容性条件) ( 1 1 7 ) 记甜为l 的普遍包络代数，1 为甜的单位元如果r = t a iqb i l l ， 我们定义一( i ，j = 1 ，2 ，3 ) ，以及甜。甜园“中的元素c ( r ) ： r 1 2 = a io 玩圆l ，r 1 3 = 啦 1 玩，r 2 3 = lo 啦 玩， i tt c ( r ) = 【r 1 2r 1 3 】+ r 1 2 ，r 2 3 】+ 【r 1 3 ，r 2 3 】 ( 1 1 8 ) 定义1 1 2 ( 1 ) 上边缘的李双代数是一个四元组( l ，6 ，r )