（基础数学专业论文）关于两类尺度函数傅里叶变换支撑的刻划.pdf

摘要 摘要 尺度函数是构造小波的重要工具，是小波分析研究中一个活跃的研究课题 1 9 9 4 年，g g w a l t e r 提出了与伸缩矩阵2 j 相关的w 型尺度函数的概念，其 中，表示单位矩阵2 0 0 7 年，z h i h u az h a n g 研究了伸缩矩阵是2 j 的尺度函数 与w 型尺度函数的f o u r i e r 变换支撑的性质，给出了一有界可测集分别是与2 ， 相关的尺度函数与w 型尺度函数的f o u r i e r 变换支撑的刻画对一般的伸缩矩 阵d ，由于d 作用于向量之后向量坐标的相互缠结，与d 相关的尺度函数及w 型尺度函数的性质的研究相对复杂，这方面研究结果不如d = 2 1 的情况下那样 丰富本文研究与一般伸缩矩阵d 相关的尺度函数与w 型尺度函数的f o u r i e r 变换支撑的性质，给出了一有界可测集是与d 相关的尺度函数、w 型尺度函数 f o u r i e r 变换支撑的充分必要条件 给定正整数d 设d 是一个d 阶伸缩矩阵，g 是r d 中的一个有界可测集 本文主要结果如下： 定理3 1 4 存在一个与d 相关的尺度函数妒满足s u p p ( 痧) = g 当且仅当 ( i ) gcd + g ； 仅当 ( i i )u ( d + ) m g = r d ； 仇z ( 谢)g + 2 7 r z d = 础； ( t )( g ( d + ) 一1 g ) n ( ( d + ) 一1 g + 2 7 r 二，) = d( z d ) 定理3 2 3 存在一个与d 相关的w 型尺度函数妒满足s u p p ( 回= g 当且 ( i ) gcd + g ； ( i i )u ( d 4 ) m g = r d ； r n z ( 洌) g + 2 n z d = 础； 北京工业大学理学硕士学位论文 ( i u ) gn ( ( d + ) 一1 g - t - 2 7 r z ) = d ( z d o ) ) 关于定理3 1 4 和定理3 2 3 ，我们的证明是构造性的本文的最后一章给出 了定理3 1 4 和定理3 2 3 的一些例子 关键词：尺度函数，w 型尺度函数，傅里叶变换 a b s t r a c t a b s t r a c t s c a l i n gf u n c t i o n sa r ev e r yi m p o r t a n ti nt h ec o n s t r u c t i o no fw a v e l e t s ，w h i c h h a v eb e e na t t r a c t i n gm a n yw a v e l e t t e r s i n t e r e s t g g w a l t e ri n1 9 9 4i n t r o d u c e d w - t y p es c a l i n gf u n c t i o n sr e l a t e dt o2 i ，w h e r eid e n o t e sa ni d e n t i t ym a t r i x z h i - h u az h a n gi n2 0 0 7a d d r e s s e ds u p p o r t so ff o u r i e rt r a n s f o r m so fs c a l i n gf u n c t i o n s a n dw t y p es c a l i n gf u n c t i o n sr e l a t e dt o2 i ，a n do b t a i n e dac h a r a c t e r i z a t i o no fa b o u n d e dm e a s u r a b l es e t si nr db e i n gt h es u p p o r t so fs o m es c a l i n gf u n c t i o na n d s o m ew t y p es c a l i n gf u n c t i o n ，r e s p e c t i v e l y f o rag e n e r a ld dd i l a t i o nm a t r i x d ，d u et oi n t e r a c t i o nb e t w e e nc o o r d i n a t e so ft h ev e c t o rw h e nda c t so i lav e c t o r ， t h es t u d yo fp r o p e r t i e so fs c a l i n gf u n c t i o n sa n dw - t y p es c a l i n gf u n c t i o n si sm o r e d i f f i c u l tt h a nt h a to ft h ec a s ed = 2 i t h e r e f o r e ，t h er e s u l t so nag e n e r a ld i l a t i o n m a t r i xda r en o ta sr i c ha st h er e s u l t so nd = 2 i t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h e s u p p o r t so ff o u r i e rt r a n s f o r m so fs c a l i n gf u n c t i o n sa n dw - t y p es c a l i n gf u n c t i o n s r e l a t e dt oag e n e r a ld i l a t i o nm a t r i xd g i v e nap o s i t i v ei n t e g e rd l e tdb ead dd i l a t i o nm a t r i x ，a n dl e tgb ea b o u n d e dm e a s u r a b l es e ti nr d t h ef o l l o w i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e di nt h i st h e s i s ： t h e o r e m3 1 4t h e r ee x i s t sas c a l i n gf u n c t i o n 妒r e l a t e dt ods u c ht h a t s u p p ( = g i fa n do n l yi f ( i ) gcd + g ； ( i i )u ( d + ) m g = r d ； m e z ( i i i ) g + 2 1 r z d = r d ； ( 切) ( g ( d + ) 1 g ) n ( ( d + ) - 1 g + 2 n - v ) = d ( z d ) t h e o r e m3 2 3t h e r ee x i s t saw - t y p es c a l i n gf u n c t i o n 妒r e l a t e dt ods u c h t h a ts u p p ( 囝= gi fa n do n l yi f ( i ) gcd + g ； ( i i )u ( d + ) m g = r d ； 仇z ( 俐) g + 2 7 r e d = r d ； ( i v ) gn ( ( d + ) 一1 g + 2 t r y ) = 仍 ( , i z d o ) ) i i i o u rp r o o f so ft h e o r e m3 1 4a n dt h e o r e m3 2 3a r eb o t hc o n s t r u c t i v e i nt h e l a s tc h a p t e ro ft h i st h e s i s s o m ee x a m p l e sf o rt h e o r e m3 1 4a n dt h e o r e m3 2 3 a x ep r o v i d e d k e y w o r d s ：s c a l i n gf u n c t i o n ，w t y p es c a l i n gf u n c t i o n ， f o u r i e rt r a n s - f o r m 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名：日期： 第1 章绪论 1 1 概念与符号 第1 章绪论 z 表示整数集 z + 表示非负整数集 n 表示正整数集 r d 表示d 维欧式空间 1 f d 之【一7 r ，丌】d 表示d 维环面 一个d 阶矩阵d 被称为伸缩矩阵是指d 是一个所有特征值的模都大于1 的 整数矩阵以d + 表示d 的转置矩阵 础中的两个可测集相等、包含关系以及两可测函数的相等、不等关系均指在 相差一个零测度集的意义下成立 对则中的一可测函数，定义其支撑s u p p ( f ) 为 s u p p ( f ) = ( z r d ：f ( x ) o ) 显然，在相差一个零测度集的意义下，s u p p ( f ) 是唯一确定的注意：这里的支 撑定义没取闭包，因而s u p p ( f ) 未必是闭集 l 2 ( r d ) 表示满足 忖忆= ( 厶i f ( 硎2 如) 5 o o 的所有函数厂作成的h i l b e r t 空间 l 2 ( 俨) 表示满足 忖1 1 2 = ( 厶i f ( 圳2 d z ) 喜 。o 的所有2 丌z d 周期函数，作成的h i l b e r t 空间 对于任意f l 2 ( 刺) ，定义，的傅里叶变换为 氕u ) = f ( t ) e 一( ) d t ， ，r d 其中( ，) 表示r d 中的内积 研究背景和主要结果 1 9 8 6 年，法国数学家y m e y e r 成功地构造出具有一定衰减性的光滑函数，这 个函数的整数平移和二进尺度函数伸缩产生的函数系构成l 2 ( r ) 的标准正交基， 这个函数就称为m e y e r 小波继m e y e r 小波提出后，d l e m a r i e 和g b a t t l e 又 分别独立地构造了具有指数衰减的小波函数此后，s m a l l a t 提出多分辨率分 析的概念，成功地统一了j s t r o m b e r g ，y m e y e r ，d l e m a z i e 和g b a t t l e 等人 的小波构造方法并且s m a l l a t 在多分辨率分析的基础上给出了相应的分解与 重构方法，这种算法主要用于数字图像的分解与重构1 9 9 8 年，i d a u b e c h i e s 基于多项式函数构造了具有紧支撑的正交小波1 9 9 0 年，c k c h u i 和王建忠 基于样条函数构造了正交小波函数，并讨论了具有较好局部化性质的尺度函数和 小波函数的构造方法到目前为止，直线上小波分析的研究已经取得了丰硕的成 果【1 1 1 1 给定一个d 阶伸缩矩阵d 三2 ( r d ) 中的一个闭子空间序列 v 麓) m z 称为一 个与d 相关的多分辨率分析( m r a ) ，若满足： ( a ) 对任意m z ，c + l ； ( b ) u = l 2 ( 刺) ； m e z ( c ) n = o ) ； m e e ( d ) f 当且仅当f ( d ) + 1 ( m z ) ； ( e ) 存在q o v o 使得_ 妒( 一n ) ) n z a 是的一组标准正交基 此时称q o 生成该多分辨率分析，q o 为其尺度函数 第1 章绪论 当d = 1 ，d = 2 时，上面概念见 4 ，1 2 ，1 3 这里给出的概念是它的一个自然 推广 1 4 , 1 5 1 9 9 4 年，g g w a l t e r 对d = 2 i ( i 表示d 阶单位矩阵) 的情况引入了下 面定义： 定义1 2 1 1 e , 1 7 一个与2 ，相关的多分辨率分析 而z 称为一个与2 i 相关的 弱平移不变多分辨率分析，如果对于任意的，y o 和r d ，都有，( 一位) 此时，称相应的尺度函数为与2 j 相关的w 型尺度函数 作为定义1 2 1 的一个自然推广，我们给出下面定义： 定义1 2 2给定一d 阶伸缩矩阵d 一个与d 相关的多分辨率分析 ) m z 称 为一个与d 相关的弱平移不变多分辨率分析，如果对于任意的，y o 和q 础， 都有，( 一o l ) y 1 此时称相应的尺度函数为与d 相关的w 型尺度函数 2 0 0 7 年，z h i h u az h a n g 在【1 8 中研究了与2 ，相关的尺度函数以及w 型尺 度函数f o u r i e r 变换的支撑性质，得到如下结果： 命题1 2 3给定r d 中的一有界可测集g ，存在一个与2 ，相关的尺度函数妒满 足s u p p ( ) = g 当且仅当 ( 1 ) gc2 g ； ( 2 )u2 m g = r d ； r n e z ( 3 ) g + 2 7 r z d = r d ； ( 4 )( g g ) n ( 丢g + 2 7 r ) = d( z d ) 命题1 2 4给定r d 中的一有界可测集g ，存在一个与2 j 相关的w 型尺度函数 妒满足s u p p ( 痧) = g 当且仅当 ( 1 ) gc2 g ； ( 2 )u2 m g = r d ； m z ( 3 ) g + 2 7 r z d = 彬； ( 4 ) gn ( g + 2 7 r ) = d( z d o ) 关于与一般伸缩矩阵相关的多分辨率分析、尺度函数及小波的研究近年来也 引起众多数学工作者的关注 1 9 - 4 0 本文研究与一般伸缩矩阵d 相关的尺度函 数、w 型尺度函数f o u r i e r 变换的支撑性质，给出了一有界可测集是与d 相关 的尺度函数、w 型尺度函数f o u r i e r 变换支撑的充分必要条件本文主要结果如 下： 定理3 1 4给定一d 阶伸缩矩阵d 设g 是r d 中的一个有界可测集，则 存在一个与d 相关的尺度函数妒满足s u p p ( ) = g 当且仅当 ( i ) gcd + g ； ( i i )u ( d + ) m g = 耻； m z ( 饿) g + 2 7 r z d = 删； ( i v )( g ( d + ) 一1 g ) n ( ( d + ) 一1 g + 2 7 r v ) = d( z d ) 定理3 2 3给定一d 阶伸缩矩阵d 设g 是础中的一个有界可测集，则 存在一个与d 相关的w 型尺度函数满足s u p p ( ) = g 当且仅当 ( i ) gcd + g ； ( i i )u ( d + ) m g = 础； m e z ( 饿) g + 2 7 r z d = r d ； ( i v ) gn ( ( d + ) _ 1 g + 2 t r y ) = d ( z d o ) ) 定理3 1 4 和定理3 2 3 的证明是构造性的 1 3 本文结构 第二章为后面内容作铺垫，讨论有界可测集的性质；第三章得到了一有界可 测集分别是与一般伸缩矩阵d 相关的尺度函数、w 型尺度函数的傅里叶变换支 撑的充分必要条件，是本文的主要结果；第四章给出了第三章结果的一些例子 垂 第2 章关于有界可测集的一些性质 第2 章关于有界可测集的一些性质 本章讨论r d 中有界可测集的性质，为后面章节作一些铺垫为此，我们首 先引入一些符号 设g 是r d 中的一个可测集，对m z + ，定义 g ；= g ( d + ) _ 。g ， g m = ( d + ) 一m g ， = g m + 2 7 r z d 瓯= ( d + ) 一m g 玉 瓦= 瓯+ 2 7 r z d ； 特别地，当g 是础中的一个有界可测集时，对于任意包含原点o 的有限集 耽：0 i r ) cz d ，定义 为叙述方便，我们做如下规定： g 满足条件( j ) ，即gcd + g ； g 满足条件( j j ) ，即( g ( d + ) 一1 g ) n ( ( d + ) - 1 g + 2 7 r ) = d ( z d ) 2 1 集合g 的分解 命题2 1 1设g 是r d 中的一个可测集，若满足条件( j ) ，则 k - 1、 ( o ) 对任意的尼n ，g = ( ug 麓) ug 忌，其中g ；，g ；一1 ，g 七是互不相交的； m = 0 k ( b ) ( d + ) - 1 g + 2 7 r z d = ( u 繇) u 邑+ 1 m = 1 ) 弘 一 d 丌2一 十m g 一 一 j 田 u z 、 、l一、 魄 一 d丌2一 丰l 兰 g r n 渤 = 一 一 心 吸 证明( a )由条件( j ) 得( d + ) gcg 于是，我们有 g = ( g ( d + ) _ 1 g ) u ( d 4 ) - 1 g = q u ( d + ) - 1 ( ( g ( d + ) 。g ) u ( d ) 一1 g ) = g ；ug ；u ( d + ) - 2 g u ( d + ) “g ug 七 显然，g ；，g ；一l ，g k 是互不相交的于是( a ) 得证 ( b )由( a ) 得 c 州g = ( 鱼) 进一步得 ( ) _ 1 ) ( d + ) _ 1 d = ( u ( g ；+ 2 丌z d ) ) u ( ) m = 1 = ( u ) u 毋+ 1 即( b ) 成立命题得证 口 命题2 1 2 设g 是r d 中的一个可测集，若g 满足条件( ，) 与( i i ) ，则 ( 凸) 对任意的m ，t t z + ，有壤n 晶= d( m n ) ，磁nr = 0( m 礼) ； ( b ) ( 磁g 麓) ng = d ( m z + ) 证明 ( a )由条件( j j ) 得对任意的m z + ，有 g 二n ( g m + l + 2 r ( d 4 ) 一m ) = d( p 。z d ) 6 、ll、l 奉m 。m g g h u = u 一 第2 章关于有界可测集的一些性质 令= ( d + ) 仇p ( t z d ) ，贝4 g n ( g 仇+ 1 + 2 7 r p ) = 0( p z d ) 再由g ncg m + 1 ( m 钆) ，我们得到 ( g 麓+ 2 z r z d ) n ( g n + 2 7 r z d ) = 0( m 礼) ，( 2 - 2 ) 即 壤n 晶= 仍( m n ) 由n 岛= 0 ( m 凡) 和玩c 风，得 碥ne = 0 ( 仇几) ， ( b )当m n ，由( 壤g ) c 繇，g ：c 蛾及( o ) 得 显然又有 ( g ：) ng ：= d ( 壤g ) ng 二= d 则由( 2 - 3 ) 和( 2 4 ) ，我们得到 ( e ：g 象) ng ：= d( m ，佗z + ) 同理，由g nc 风和( o ) 知，对于任意的m ，佗z + ，有 ( e 象g 麓) ng n = 0 ( m n ) 于是我们得到 c e ：g ：，n ( ( 照g ：) ug 七) = 。c 。仇 忌， 由命题2 1 1 ( 口) 得 ( 壤g 彖) ng = 仍( 仇z 十) ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) 命题得证口 命题2 1 3设g 是r d 中的一个有界可测集，若g 满足条件( ) 和( j ，) ，则对 于七z + 满足gc ( d 4 ) 血 - 7 r ，7 r l d ，有 gn ( g 七+ 2 7 r v ) = 0 ( 0 z d ) 证明当七= 0 时显然成立 对惫1 ，由gc ( d 4 ) 七【- 7 r ，霄】d 知，g kc 【一7 r ，霄】d 于是我们得 g 七n ( g 七4 - 2 7 r v ) = d ( l ，o ) 另一方面，由( 2 - 2 ) 得 g 麓n ( g 七4 - 2 7 r v ) = d ( m k ，z a ) 从而我们得到 旺g 麓卜) n c g k4 - 2 1 r u 瑚吐 由命题2 1 1 ( o ) 知，命题成立 口 关于g 豪的分解 由( 2 - 1 ) ，g 的有界性及g 篇cg ，我们有 命题2 2 1对m z + ，定义 p m ：= 嗽：o 蜓r ) ：r z + ，嗽：o 蜓r ) o ) ( 2 5 ) 则p m 是一个有限集， g = u：o 蜓r ， ( 2 6 ) 唧t ：o s i r ) 册 且上述并集是互不相交的并 第2 章关于有界可测集的一些性质 i iii 命题2 2 2 设m z + ，：o t ， p m ，则对于任意 ：o 毽， + 2 7 r ( d + ) - 1 尸m ，且对任意8 1 8 2 ， s o ，1 ，7 _ ) ，有 ( f m i ：o s t r + 2 7 i - ( d ) 一1 。) n ( 啜：o i s r + 2 7 r ( d + ) 一1 ：) = d 证明任意给定s o ，1 ，r ) ，由( 2 - 1 ) 得 嗽：o t r ) + 2 7 i - ( d + ) 一1 = 嘛砌c 州吣 = ( n ( g 二一2 丌( d 4 ) 1 ( 耽一) ) ) u = o 令死，。= 耽一，( 0 i r ) ，贝0 有 当且仅当 显然， 几，。： ：o s i 9 ) + 2 7 r ( d + ) 一1 ，7 ) 满足8 1 8 2 ， u z 4 以：o t s r ) c g 袅一2 7 r c 。+ ，一1c p 一，) = 鼹一删 r 尸m 一上1 t 死j ：o s i r o 由( 2 7 ) 知 2 1 r ( d + ) _ 1 。) n ( ：o t r ) + 2 7 r ( d + ) _ 1 ：) = d 几8 1 ： 1 ：且 瓦s 2 ： 0 i r ) = 瓦，。：0 ( 2 - 7 ) 0 i r ) 几m ：0 i r ) ( 2 - 8 ) 0 i r ) = _ ( 几，。：05i r ) + ( ：一。) 若 i r ) ，则 兀，。，：0 i r ) = 兀m 因此，对任意n n ，有 ：0 i r ) + ( ：一。) 死，。：0 i r ) = 死，。：0 i r ) + 礼( 。一蚝。) 这与【兀m ：0 i r ) 的有界性矛盾 命题2 2 3在p m 中存在有限多个 + 2 丌( d + ) 。) 皿 题得证 口 + 夕 | l l m 似 勋 陋 吼意任对 命得 辽液 成 鲫 勘 唆 q n 妒 ，气 是 = 于弘 a 勺u a u 触 | l 成立，且上述并集是互不相交的 证明取点集a ? = 1 ) t 。f r 。) p m 由命题2 - 2 2 知，点集a ? + 2 丌( d + ) 一1 以1 p 仇( 2 = 0 ，1 ，r 1 ) 且它们是互不相交的记 卵：= 4 7 + 2 丌( d + ) 。1 0 1 ：o 2 令呷：= p m 印取点集凹2 。) ：吲 r 2 ) 印，则 a 孑+ 2 _ 7 r ( d ) 一1 西2 聋s p ( ：= 0 ，l ，7 2 ) ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) 事实上，若a 孑+ 2 7 r ( d + ) 一1 以2 ) 卵( f = 0 ，1 ，r 2 ) ，则存在2 和n ( o f r 2 ，0 佗r 1 ) 使得 由a 孑cg 二知， a + 2 7 r ( d + ) 一1 西2 = a ? + 2 r ( d + ) 一1 曙) ( 2 一i i ) 唧+ 2 丌( d + ) 一1 ( 曙) 一“2 ) c ， 因为a ? 。1 ) 。g 夕， ，由( 2 - i ) 知，存在s ( o s 7 1 ) 使得 由( 2 - 9 ) 和( 2 - i i ) ，我们得到 一0 2 )= 以1 1 a ? = 柙+ 2 7 r ( d ) 一1 以1 s t 这与a ? 砰= p m 卵矛盾因此，( 2 1 0 ) 成立 记印= _ a 孑+ 2 丌( d + ) 一1 以2 ) ：0 l r 2 ) 由于p m 是一个有限集，重复上 述过程，我们最终可以选择有限多个点集 q m ，j x ：lcp m ( 入是一个自然数) 使得 d 口，其中印： 凹+ 2 丌( d ) 一卜0 一 i 乃) ) 即 j = i p m = a + 2 r ( d + ) 一1 ：0s2 r j ，1 j 入) 由( 2 - 5 ) 和( 2 - 6 ) 我们就得到了所要证明的结果命题得证 口 1 0 第2 章关于有界可测集的一些性质 综合前面各命题，我们有如下定理： 定理2 2 4设g 是础中的一个有界可测集，g 满足条件( ，) 与( ，) ，七z + 满足gc ( d ) 是- - 7 ，卅d ，则 ( o ) 对任意的七n ，g = ( ug 篇lu 瓯，其中岛，g ：一1 ，g 七是互不相交的； k i n = 0 、 ( b ) ( d + ) 一1 g + 2 7 r z d = ( u 繇) u 最+ 1 ； ( c ) 对任意的0 仇，犯k + 1 ，有 e 景n 晶= 0( m n ) ，e 象n 露= d ( 仇n ) ； ( d ) 对任意的0 m 七+ 1 ，有( 咤g ) ng = d ； ( e ) gn ( g k + 2 7 r v ) = d ( 0 z d ) ； ( ，) p m 内存在有限多个锣：2 ，) ：o l r j ) 使得 = uu ( 可+ 2 丌( d + ) 。) j - - - iz = l 成立，且它们是互不相交的，其中p m = ：。g r ) 7 z + ，嗽：。i r ) 仍) 2 3 本章小结 本章讨论了有界可测集的性质，主要结果是定理2 2 4 ，它将在后面的章节中 频繁使用 一1 1 第3 章主要结果和证明 第3 章主要结果和证明 给定一d 阶伸缩矩阵d 本章给出r d 中一有界可测集g 是一与d 相关的 尺度函数、w 型尺度函数f o u r i e r 变换支撑的刻划 与d 相关的尺度函数 引理3 1 1 设妒l 2 ( r d ) 满足：存在h l 2 ( 俨) ，使驴( d u ) - - - 日p ) p ( u ) r d ) 定义：= s p a n l 】p m ，七，k z d ) ( m z ) 若u ( d ) m s u p p ( ) = r d ，则 uy m = l 2 ( r d ) r n e z 证明容易验证：对任意f u ，有 仇z f ( d - ) uv 麓，( 一忌) uv 麓( 七z d ) 由u ( d + ) m s u p p ( ) = 则，容易证明：us u p p ( ) = r d 结合 4 1 】中的定 m z ，可n i m z 理1 知，uy m = l 2 ( 耐) 引理得证 口 m ，z 引理3 1 2给定一d 阶伸缩矩阵d 设g 是r d 中的一个有界可测集，妒e l 2 ( r d ) ，若满足下面条件： s u p p ( 鳓= g ； p ( d ) = 日( ) 9 ( ) ( h l ( i d ) ) ； 阱+ 2 7 r 圳2 = 1 ； ，z d u ( d ) m g = 媳 仉z 则妒是一个与d 相关的尺度函数 证明令 ：= s p a n 5 o m ，七：k z d )( m z ) ， 1 3 ( 3 1 ) ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) 其中i ，o r n , k ( ) = l d e t d i 气o ( d m 一尼) ，m z ，k z d 由的定义，我们有 ，( ) f ( d ) + 1 而由【4 2 】中的定理1 1 知 n = o m z 又由( 3 - - 2 ) ，我们得到c + 1 显然由( 3 - 3 ) ，我们可以看出 妒( 一n ) ) n z a 是 k 的一组标准正交基再由( 3 - 1 ) 和u ( d + ) m g = 掣，我们得到 m z u ( d 。) m s u p p ( ) = r a m z 由引理3 1 1 得 u = l 2 ( 础) m z 因此，我们可以断定是一个与d 相关的尺度函数引理得证 口 引理3 1 3设g 是r d 中的一个有界可测集，妒是一个与d 相关的尺度函数， 且s u p p ( ) = g ，则 ( i ) gcd + g ； ( i i )u ( d + ) 仇g = r d ； 仇z ( i i i ) g + 2 7 r z d = 趔 证明由妒是一个与d 相关的尺度函数知： l + 2 7 f u ) i 2 = 1 u z d 0 俨) ， 且存在h l 2 ( 俨) ，使 ( u ) = 日( ( d ) 一1 u ) ( ( d 4 ) 一1 叫) ( u r d ) ( 3 - 5 ) 由( 3 q ) 知( 讹) 成立再注意到s u p p ( ( ( d ) ) ) = d g ，结合( 3 - 5 ) 知( i ) 成 立下面用反证法证明( i i ) 成立 1 垂 第3 章主要结果和证明 不然，存在一个有限正测度集4 使得acr d u ( d + ) m g 令，( u ) = x a ) 则0 ，6l 2 ( r d ) ，且对于每一个m z ，在( d + ) m g 上有，= 0 由此得 p m ，= 0 ，从而，= l i mr 厂= 0 ，其中p m 是到上的正交投影算子这与 ，0 矛盾引理得证 口 定理3 1 4给定一d 阶伸缩矩阵d 设g 是掣中的一个有界可测集则存在 一个与d 相关的尺度函数妒满足s u p p ( ) = g 当且仅当 ( i ) gcd + g ； ( i i )u ( d + ) m g = r d ； ( 娩i ) g + 2 7 r e d = r d ； ( 仍)( g ( d + ) _ 1 g ) n ( ( d + ) _ 1 g + 2 z r v ) = 仍( 6z d ) 证明必要性设妒是一个与d 相关的尺度函数，s u p p ( ) = g ，且存在h l 2 ( 俨) 使得痧( d + ) = 日( ) ( ) 由引理3 1 3 知( i ) 一( 俐) 成立由( i ) 知， ( d + ) gcg 于是， ( d + u ) = 0 ，( u ) 0 ( u6g ( d + ) - 1 g ) ， ( d + u ) 0 ，( u ) 0 ( u6 ( d + ) 一1 g ) 再注意到( d u ) = 日( u ) ( u ) ，我们有 日( u ) = o ( u g ( d + ) 一1 g ) ，( p 6 ) h ( w ) 0p ( d + ) - 1 g ) ( 3 - 7 ) 由日的周期性及( 3 - 7 ) 得 h ( w ) 0 ( u ( d + ) 一1 g + 2 = v ，z ，z d ) 结合( 3 - 6 ) 得( i ) 必要性得证 充分性假设( i ) r a ( 锄) 成立因g 有界，我们可设七6n 满足gc ( d + ) 七 - - 7 ，丌】d 则定理2 2 4 的条件满足，从而定理2 2 4 的所有结论均成立为 1 5 完成证明，由引理3 1 2 知，只要构造出妒口( 掣) 和日l ( t d ) 满足( 3 1 ) 一( 3 3 ) 即可 由( 饧) 知， ( g ；+ 2 7 r z d ) n ( ( d + ) - 1 g + 2 7 r z d ) = d ， 结合( i i i ) ，由定理2 2 4 ( b ) 与( c ) 可得 r a = ( g ；+ 2 7 r z d ) ue k + 1ue ；ugu u 磁，( 3 8 ) 上述并集是互不相交的k4 - 2 个集合的并，并且每个集合都是2 7 r 一周期的由 定理2 2 4 ( a ) 得 r d = ( r d g ) ug 七ug ；ug iu ug ；一1 ，( 3 - 9 ) 其中各集合是相互不交的注意到g 有界，我们只需在( 3 _ 9 ) 右端各个集合上定 义有界可测函数以及在( 3 _ 8 ) 右端各集合上定义2 7 r 一周期有界可测函数日使 ( 3 1 ) 一( 3 - 3 ) 成立即可 下面我们分四步完成证明 第一步：在础g 上定义，使) = 0 础g ) ，在g ；+ 2 7 r z d 上定 义日，使日) = 0 锑+ 2 1 r z d ) 注意到对任意的z d ， p ( 望c g 批叫) ) ag = d * ( 总c g ；吣卅- 1 g - 2 t r y ，砌，) ， 由c i ，得( 。4 ( p 翌。c g ；+ 2 丌，) ) n g = 。因此c 3 _ 2 ，在g ；+ 2 丌z d 上成立 第二步：在g 七上定义，使( u ) = 1 g 七) ，在鼠+ l 上定义日，使 - i ( u ) = 1( u e k + 1 ) 由定理2 2 4 ( e ) 得( g 南+ 2 7 r y ) ng = d( 0 y z d ) ，因 此 l 0 ，u g 七+ 2 7 r ( o ) ； ( u ) = i1 ，u g 凫 1 6 第3 章主要结果和证明 从而( 3 3 ) 在g 七上成立对于u 瓯+ 1 ，由( i ) 知d 4 u g k ，u g k ，于是 ( d + u ) w - p p ) = 1 ；对u g 南十1 + 2 7 r v( o ) ，有d 4 u g k + 2 7 r d + ，0 d z d ，且由( i ) 知，u g k + 2 7 r v ，因此( d + u ) = 痧( u ) = 0 于是( 3 - 2 ) 在 最+ 1 上成立 第三步：对任意0 亿七，p ( n ) 成立 命题( p ( 佗) ) ：存在g ：上的可测函数痧及e + 。上的2 7 r 一周期可测函数 日，使( 3 3 ) 在g 三上成立，( 3 - 2 ) 在露+ 1 上成立；并且存在常数0 g d n o o ，0 g d n o o 使得g ( u ) d n( u g ：) ，g 日( u ) d n 职+ 1 ) 成立 事实上，注意到g ：cg k 及域+ 1ce k + l ，由第二步知命题p ( k ) 成立因 此，为了证明对任意0 n 克，命题p ( n ) 成立，只要证明如下命题p ： 命题( p ) ：对任意0 m k ，若命题p ( m ) 成立，则命题p ( m 一1 ) 成立 下证命题p 。假设命题p ( m ) 成立 首先在g 篇上定义日) 对任意u a 7 ，0 2 巧，设彳z d ，q ； 佃，6 1 ，l d e t d i 一1 - ，使 华= d + 卢p + p ( 3 一1 0 ) 定义日( u + 2 丌( d + ) 一l q p ) 使 r j l ( w + 2 饥- ( d + ) 一1 ) mw + 2 a - ( d + ) p ) t = 0 1 2 = 1 o 础三。日( u + 2 丌( d + ) - 1 q p ) 西垃。 ，西m 一- m 一。a x - ) 下面我们说明：若u 嚷且对某个莎z d ，u + 2 7 r 移 g 麓，则有日( u + 2 7 r 移) = 日) 成立 事实上，由u g 麓和定理2 2 4 ( ，) 知，存在j ，锣和7 2 使得 注意到 u = 蛐+ 2 1 r ( d 4 ) 一1 堙) u + 2 7 r 莎= 0 2 0 + 2 7 r ( d + ) 一1 及u + 2 t r y 嚷，我们有 ( 蜉+ d 4 ) 蛐+ 2 7 r ( d + ) 一1 ( 蟛+ d + 功g 二 于是由( 3 - 1 3 ) ( 3 1 5 ) 得 因此， 日( u ) = 日( 蛐+ 2 丌( d 4 ) 一1 培) = h ( 龇+ 2 7 i - ( d + ) 一1 q g ) ， 日( u + 2 7 r 功= h ( u o + 2 7 r ( d + ) 一1 ( 堙+ d 4 衫) ) = h ( u o + 2 刀- ( d + ) 。蟛) = h ( 蛐+ 27 i - ( d 4 ) 。1 q g ) 日( u ) = 日( u + 2 丌功 ( 3 _ 1 4 ) ( 3 - 1 5 ) 定义日+ 2 7 r ) = 日( u )0 g ，z d ) ，则日0 ) 是上的2 7 r 一周期 函数，且c k 一1 日( u ) d m 一1( u e ：) 1 8 第3 章主要结果和证明 由命题p ( m ) 成立知，在g 麓上，e ，m ( ) 墨d m 。令 痧( d u ) = 日( u ) ( u ) ( u ( 焉) ( 3 、1 6 ) 则在嚷一l 上有一1 ( ) 墨d m 1 ，其中一1 = 厶 l ，d m 一，= d m 瓦1 由第一步和定理2 2 。4 ( d ) 得) = 0 e 二l g 一1 ) 这样函数( u ) 在 繇一，上有定义 下面我们证明命题p ( m 一1 ) 成立 首先证明( 3 - 2 ) 在上成立由( 3 - 1 6 ) 知，( p 2 ) 在g 毛上成立；对 u 磁g 麓，由定理2 2 4 ( d ) 知，u 隹g ，再由gcd 4 g 知d u 聋g ，从而 ( d + u ) = ) = 0 因此( 3 _ 2 ) 在至焉上成立 其次，我们证明( 3 3 ) 在g 麓一1 上，即在d g 上成立 对u a 7 ：2 喁吐。z s r j ) ， ：0 2 r j 】- ，有 d 4 u g 焉一l ，d + u + 2 7 r e 象一1( z d ) ， d u + 2 丌一嚷一，( 簪 垆：o f 。 ) 再由定理2 2 4 ( d ) 知，d + u + 2 丌譬g ( 碧 ：o52 勺) ) 因此o ( d + u + 2 7 r ) = 0 ( 蒈 ：0 2s 吩) ) ，从而 由( 3 - 1 3 ) 和( 3 - 1 6 ) 得 j 痧( 脚+ 2 丌妒) 1 2 ( 3 - 1 7 ) 痧( d + u + 2 丌以)= 日( u + 2 丌( d + ) 一1 华) ( u + 2 丌( d + ) 一1 ) = 日( u + 2 丌( d 4 ) 一l q p ) ( u + 2 丌( d +