（基础数学专业论文）典型单李代数verma模的奇异向量.pdf

典型单李代数v e r m a - 模的奇异向量 研究生t 马晶晶导师；周建华教授 东南大学数学系 摘要：表示理论是李理论的重要部分，在数学和数学物理中有很广泛的应用v e r m a - 模是最重要的模类，理解v e r m a - 模的结构对于理解李代数的表示理论具有重要意义 由于有限维单李代数的v e r m a - 模的结构完全由它的奇异向量所决定，因此找出李代数 的v e r m a - 模的奇异向量对理解李代数的v e r r n a - 模的结构至关重要 v e r m a - 模首先是由v e r m a 提出的，许多著名的代数学家对此做了深刻的研究b e r n - s t e i n ，i m g e l f a n d ，s i g e l l a n d ，l e p o w s k y , j a n t z e n ，s h a p o v a l o v ，k a c 等入研究了v e r m a - 模的奇 异权的计算m a l i k o v ，f e i g i n 和b h c h s 等人研究了奇异向量的计算，但根据他们提出的方 法，只能找出v e r m a - 模的一部分奇异权和奇异向量 在2 0 0 3 年，x x u 给出了求a 型单李代数v e r m a - 模的全部奇异向量的办法他的 基本方法是将奇异向量的计算转化成一个二阶偏微分方程组的求解问题，通过求得这个 偏微分方程组的多项式解，可得到所有的奇异向量 本文将采用x 。x u 的方法，给出求其余典型单李代数v e r m a 一模的奇异向量的办法 由于其余典型单李代数的乘法表比a 型单李代数要复杂因此，将相关问题转化为相应 的偏微分方程组时需要作更细致地判断只要求得相关方程组的所有多项式解就可得到 所有的奇异向量，同时我们对方程组的求解办法进行了讨论 关键词：v e r m a 一模；奇异向量；偏微分方程组；典型单李代数；辛李代数；正交李代 t h es i n g u l a rv e c t r o s c l a s s i c a l o fv e r m am o d u l e so f a l g e b r a s c a n d i d a t ef o rm a s t e r ：m aj i n g j i n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rz h o uj i a n h u a d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s o u t h e a s tu n i v e r s i t y a b s t r a c t ：t h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yi sa l li m p o r t a n tp a r to fl i et h e o r y i th a sb e e nu s e d e x t e n s i v e l yi nm a t h e m a t i c sa n dm a t h e m a t i c a lp h y s i c s v e r m am o d u l ei sc l e a r l yi nt h em o s t i m p o r t a n tc l a s 8o f m o d u l e s ，i t 8 v e r y u s e f u l t o u n d e r s t a n d t h es t r u c t u r e o f v e r m a m o d u l e s f o r t h e s t u d yi nt h er e p r e s e n t a t i o no fl i ea l g e b r a i t sw e l lk n o w nt h a tt h es t r u c t u r eo f av e r m am o d u l e o faf i n i t e - d i m e n s i o n a ls i m p l el i ea l g e b r ai sc o m p l e t e l yd e t e r m i n e db yi t ss i n g u l a rv e c t o r s s o i ti si m p o r t a n tt of i n dt h es i n g u l a rv e c t o r si nt h ev e r m am o d u l e so fl i ea l g e b r a s t h es t r u c t u r eo fv e r m am o d u l ew a si n t r o d u c e db yv e l l n a m a n yf a m o u sm a t h e m a t i c i a n s h a v ed o n er e s e a r c hi n t oi t f o rt h i sa s p e c to fs t u d y , o n ec a nf i n d ，f o re x a m p l e ，t h ew o r ko fl e p - o w s k yo nm o d u l e sw i t hr e s p e c tt o1 w a s a w ad e c o m p o s i t i o n ，t h ew o r ko fk a co nv e r m am o d u l e s o fi n f i n i t e - d i m e n s i o n a ll i ea l g e b r aa n dt h ew o r ko fr o c h a - c a r i d i w a l l a c ho nv 打m am o d u l e s o fac l a s so fg r a d e dl i ea l g e b r ap o s s e s s i n gac a r t a nd e c o m p o s i t i o n m a l i k o v ，f e i g i n ，f u c h s i n t r o d u c e dw a y st of i n ds i n g u l a rv e c t o r s i t8 e e l t l st ou st h a tt h e i rm e t h o dc a np r a c t i c a l l yb e a p p l i e do n l yt of i n d i n gv e r ys p e c i a ls i n g u l a rv e c t o r s i n2 0 0 3 ，x x uf o u n daw a yt o 舀v ee x p l i c i tf o r m u l a sf o rt h es i n g u l a rv e c t o r si nt h ev e r m a m o d u l e so ft h el i ea l g e b r a5 z ( ) i nt e r m so fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s h ei n t r o d u c e da na l m o s t e l e m e n t a r yp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na p p r o a c ho fd e t e r m i n i n gt h es i n g u l a rv e c t o r si na n y v e r m am o d u l eo f8 1 ( n ) b yp o l y n o m i a ls o l u t i o n so ft h es y s t e mo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， o n ec a no b t a i na l ls i n g u l a rv e c t o r si nt h ev e r m am o d u l e t h i sp a p e ri sc o n t r i b u t e dt of i n daw a yf o rf i n d i n gt h es i n g u l a rv e c t o r si nt h ev e r m am o d u l e s o fo t h e rc l a s s i c a ll i ea l g e b r a s o n ec a nf i n dt h a tt h ew a yu s e dh e r ei sm o r ed i f f i c u l tt h a nt h ec a s e o fa 1 t h ep o l y n o m i a ls o l u t i o n so ft h es y s t e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc o r r e s p o n dt os i n g u l a r v e c t o r si nt h ev e r m am o d u l e s k e y - w o r d s ：v e r m am o d u l e ；s i n g u l a rv e c t o r s ；p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；e l a s s i c l aa l - g e b r a s ；s y m p l e c t i ca l g e b r a ；o r t h o g o n a la l g e b r a s a s l ( n ) a s p ( 2 t ，f ) 岛 o ( 2 t + 1 ，f ) 肪 o ( 2 t ，f ) l h 慨 a r f n 记号 特殊线性李代数 特殊线性李代数 辛李代数 辛李代数 奇数维正交李代数 奇数维正交李代数 偶数维正交李代数 偶数维正交李代数 半单李代数 李代数l 的c a f t a n 子代数 v e r m a 模 v e r m a 模对应的多项式代数 v e r m a - 模到多项式代数的线性同构 特征为零的代数闭域 自然数域 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 研究生签名：堡星量 日期：鸥j ：妥 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究 生院办理 研究生签名；：堡岛函导师签名：日期：理；鱼盈 第一章前言 1 1 闯题韵背景 表示理论是李理论中的重要部分，在数学寝数学物理中有很广泛的痘用。v e r r n a - 模 是最重要的模类，理解v e r r n a 一模的结构对于理解李代数的表示理论具有重要意义由 于有限维单李代数的v e r m a - 模的结构完全由它的奇异向量所决定，因此找出李代数的 v e r m a - 模的奇异向量对理解李代数的v e r m a - 模的结构至关重要 v e r m a - 模的概念首先是由v e r m a 1 】提出的，在f 1 】中，v e r m a 把研究所有有限维半 单李代数的v e r m a - 模的子模的问题转化成讨论这些子模到v e r r a a - 模的嵌入映射，他还 证明了如果这种映射存在那么它一定是唯一的b e r n s t e i n ，i m g e l f a n d 和s i g e l f a n d 在 【3 】中对上述问题做了迸一步的研究，利用表示范畴p 我出了这种嵌入映射存在的充分必 要条件l e p o w s k y 4 7 】用类似的方法研究了由1 w a s a w a 分解所诱导的模并得到了与【1 】和 【3 】类似的结果，这样的模称为广义v e r m a - 模值得注意的是1 w a s a w a 分解比c a r t a n 分 解要广泛得多在f 2 4 】中，s h a p o v a l o v 介绍了普遍包络代数的一种特定的双线性形式 j a n t z e n 【8 1 利用s h a p o v a l o v 的这种双线性形式的方法引入了著名的j a n t z e n 滤过，由此给 出了确定v e r m a - 模的奇异向量的权的方法 k a c 首次研究了无限维李代数的v e r m a - 橇随后，k a e 等入又将v e r m a 1 】以及b e r n - s t e i n ，g e l l a n d 和g e l e a d 3 】的结果作了推广k a c 和k a z h d a n 1 7 通过可对称化的广义 c a f t a n 矩阵把v e r m a 1 1 和b e r n s t e i n ，i m g e l f a n d ，s i g e l f a n d 3 的结果推广到c o n t r a g r e d i o e n t 李代数在【2 5 】中，d e o d h a r ，g a b b e r 和k a c 把1 1 】和【3 】中的结果推广到更一般的广义李 代数上r o c h n - c a r i d i 和w a l l a c h 2 2 2 3 将v e r m a 1 】和b e r n s t e i n ，i m ，g e l f a n d ，s i g e l f a n d 【3 】 的结果推广到有c a r t a n 分解的阶化李代数上，并给出了秩为2 的k a e - m o o d y 代数上的不 可约最高权模的分解 然而，一个非常重要的问题却尚未解决，就是怎样明确地表示出v e r m a 一模的奇异向 量m a l i k o v ，f e i g i n 和f u c h s 在【1 1 】中对这个问题作了深入地研究，他们在负单根向量的 幂级数的积上引入了一种形式操作，并且用自由李代数给出这样的积的定义是有意义的 大致条件然而，他们的方法只能找到一些菲常特殊的奇异向量x x u 于2 0 0 3 年用求 解偏微分方程组的方法给出了求a 型单李代数的v e r m a - 模的奇异向量的方法 1 2 东南大学硕士学位论文 1 2 单李代数的v e r m o r 模 李代数l 的v e r m a - 模可以用普遍包络代数的张量积构造设f 是特征为零的代数 闭域，l 是域f 上的半单李代数，日是l 的c a f t a n 子代数，圣是l 的根系，是 素根系，b = 口( ) 是相应的b o r e l 子代数，设a h ，即a 是日到域f 上的线性函 数，f v x 是一维向量空间，将f 玖定义成日一模： ( 班) = a 坝，v h 日，用自然的方式将 f v x 扩充成口模：z ( 呱) = o , x 为任意正根向量，于是f v x 也是一个一维u ( b ) 一模，其 中u ( b ) 是b 的普遍包络代数l 的v e r m a - 模即为张量积m x = u ( l ) o u ( 8 1f v x ，其中 u ( l ) 是l 的一个普遍包络代数，当然v ( l ) 也是一个t r ( b ) 一模 m x 的奇异向量是指v e r m a - 模中在l 的所有正根向量的作用下为零的权向量 因为任何有限维不可约模都可由v e r m a - 模构造，因此研究v e r m a - 模的结构对李代 数表示理论有重要价值v e r m a - 模也称为标准循环模，在【2 1 】中，j e h u m p h r e y s 对标 准循环模作了详细地讨论 设标准循环模y ，最高权为a ，可得到如下性质t ( 1 ) 设由+ = 历，愚，风) 为l 相应于的正根全体，瓤是l 的标准生成元集中 一屈所对的根向量则v 由形如谊掰i m j o z + ) 坝的元素张成，特别有y 是其所有权 空间的直和 ( 2 ) v 的权都可写成p = a 一名1 啦，其中缸z + ( 3 ) 若k 是权为肛的权空间，则d i m k o o 特别地d i m v = 1 ( 4 ) v 的任意子模都是它的权空间的直和 ( 5 ) v 是一个不可分解的d 模且有唯一的一个极大子模 1 3 本文的主要工作 本文的主要目的是希望找到求除a 型外其余典型单李代数的v e r m a - 模的奇异向量 的方法 在【1 3 】中，x x u 用求解偏微分方程组的方法给出了求s t ( n ) 的v e r m a - 模的奇异向 量的方法利用x x u 的方法可以找到s t ( n ) 的所有奇异向量 我们采用与其类似的方法，即偏微分方程组求解的办法给出其余典型单李代数的 v e r r a a - 模的奇异向量的计算方法 x x u 在 1 3 】中首先定义了从m x 到个多项式代数a 的同构r ，通过r 将v e r m a - 模 中的元素对应到多项式代数a 上这样，s l ( n ) 在其v e r m a - 模上的作用就对应成一个偏 微分作用这时，求m x 的奇异向量就变成求解一组偏微分方程组通过求这个方程组的 多项式解就可得到v e r m a 一模的所有奇异向量 第一章前言 在四类典型单李代数中，辛李代数的乘法表最复杂，所以我们将着重介绍辛李代数 的情况我们将会看到，所得到的方程组比 1 3 i 要复杂得多 与x x u 的方法类似，将辛李代数表示成矩阵李代数，以此给出v e r m a - 模的定义形 式利用v e r m a - 模与一个多项式代数的同构，s p ( 2 t ，f ) 在v e r m a - 模上的作用就等同于 偏微分算子作用在多项式代数上。这样，v e r m a - 模的任何奇异向量等价为所得到的一 组二阶线性偏微分方程组的多项式解因为在多项式代数上，负单根向量的幂级数转换 成多项式后不一定有意义，所以为了保证它一定有意义，我们把讨论的范围扩大到了形 式幂级数代数上这样就克服了m a l i k o v ，f e i g i n 和f u c h s 所遇到的困难，即讨论负单根向 量的幂级数的乘积是否有意义的问题本文在扩大了的多项式空间上求出了偏微分方程 组的一部分解由于在给定空间上正交李代数所要讨论的情况与辛李代数类似，类似的 方法可应用到正交李代数的讨论上 本文的第二部分就是用上述方法求解辛李代数的v e r m a - 模的奇异肉量在第三部 分，我们利用研究辛李代数的v e r m a - 模的奇异向量的方法，讨论正交李代数的v e r m a - 模的奇异向量 为了便于本文的计算，我们用矩阵代数来表示典型单李代数，记e 巧( 第i 行第j 列为 1 ，其余位置为0 ) 为相应的矩阵单位这样可以给本文后面的表述带来便利，我们可以清 楚地给出极大环面子代数、c a f t a n 子代数等详细定义见【2 1 】中2 - 3 页 3 第二章辛李代数 2 1奇异向量满足的方程 在这一节中，我们首先将辛李代数工的v e r m a - 模的奇异向量的计算转换成二阶线 性偏微分方程组的求解 辛李代数工可以看作线性李代数的子代数，设d i m v = 2 1 ，基( u ，场) ，在矿上用矩 nl 、 阵s = l 。“i 定义一个非退化的反对称型，( 可以证明，存在满足，( 址”) = 一，( ”，”) 一lo 的非退化双线形型的必要条件是维数为偶数) ，辛代数s v ( 2 t ，f ) 就是满足，( z ( ”) ，”) = 一f ( v ，z ) ) 的y 的所有自同态组成的设为第 行第j 列为1 其余项都为0 的 2 1 2 1 矩阵辛李代数s p ( 2 l ，f ) 的基可以写为 a i j = e 玎一e “o ，f + t ( 1 j z ) b 玎= e i ，t + j + e j ，z + i ( 1 s l j f ) d i = e i 1 “( 1s i f ) = e i i e l + i 1 + i ( 1 i 1 ) 经验证可知有下述引理： ( b ；e l 卅j + e l + j ，i ( 1 i j f ) 置= e l + i ，i ( 1 i s l ) 引理2 1 1h = 名1c 也是s p ( 2 l ，f ) 的c a r t a nq - c o a x 令 a d l s1 ) 为 h , 1 1 isz ) 的对偶基，即啦( 如) = 幻，则辛李代数的根系为 n l + a j ，一( a i + a j ) 1 1 i j s f ) u o t i 一哪1 1 t j f ) u 2 n i ，- - 2 a d ls i s f ) ( 2 1 1 ) 其中 a = n 1 一q 2 ，n 2 一o t 3 ，0 t l 一1 一a l ，2 a t ( 2 1 2 ) 是一个素根组于是正根向量为 ( d ( 1 isf ) ，b i j ( 1 i jsf ) ，a 玎( 1si 歹f ) ( 2 1 3 ) 相应的负根向量为 毋( 1si z ) ，( 1si j z ) 锄( 1 j isz ) ( 2 1 4 ) 可以得到正单根向量为 a 1 2 ，a z 3 ，a t 一1 ，l ，d 1 ) ( 2 1 5 ) 4 第二章辛李代数 相应的负单根向量为 a 2 1 ，a s 2 ，a t f 一1 ，e d( 2 1 6 ) 为了描述印( 2 f ，f ) 的v e r m a - 模的结构，我们引入一些记号设 f 1 = n e i j 1 i j s f 是以为生成元的秩为z 2 的加法半群，于是r 1 中的元素n 可写为 ( 2 1 7 ) o = n 搠+ 廊勺+ e ，j ( 2 艄1 ) 1 s s l1 j l1 曼j t l 相应于( 2 1 8 ) 中的n ，我们记 酽= a 者1 a 器1 a 狞a 嚣1 a f 7 1 z j 一- 1 1 一l c z u 砰“c 癌2 c 丞3 g 尝3 g 存z c 一口l - 1 。, ，( 2 1 9 ) 令一是由负根向量所生成的李子代数， v ( a 一) 是它的普遍包络代数，显然矿( 一) 是 u ( s p ( 2 1 ，f ) ) 的子代数于是 酽i o r 1 )( 2 1 1 0 ) 是u ( a 一) 的p b w 基 假设a 是日上的线性函数，令a ( 玩) = 九，i = 1 ，2 z ，于是以a 为最高权，坝为 最高权向量的8 l ( 2 1 ，f ) 的v e r m a - 模为 相应的模运算为 靠= s 礼( 五严 f q r l a k ，+ 1 ( e 。坝) = 7 k + 1 ，i e 4 1 + 1 ，+ “一协女f ”e j t + q 斛1 i = 1 j = k + 2 七一1 7 k + 1 ，f ( k + 1 一a ) 一2 ( a k + l ，k + l a k k ) 一( 孱，蚪l 一履女) i = 1 l l 一( 像圳一尚) + ( 住+ 1 ，k 1 ) 一( 斛1 一k ) 】酽1 + l ， j = k + 2 j = k + 2 k - 1 一n k k e a l 时一债k 酽1 时咻+ 1 一溉斛1 e a - k , k + i 。- e k + l , 1 i = 1 f 一风酽1 m - t h 1 sk l i = k + 2 ( 2 1 i i ) f 2 i 1 2 ) 5 6 东南大学硕士学位论文 1 - 1 励( e 。” ) = f 咖( 丸一d 般+ 1 ) e 。一“+ 屈z ( 风一1 ) e 。+ “一2 e i l i = l 1 - - 1 蜀( e 。坝) = m ( 一1 ) e 。一2 “+ “ i = l ( 2 1 1 3 ) ( 2 1 1 4 ) 对于任意的n i 1 ，不难计算e u 坝权为： ( w t e 。u ) ( ) = a k 一2 0 t k k 一( 屈k 一讥i ) 一( 岛d 一 y j k ) 1 sk z ( 2 1 1 5 ) 因为所有的正根向量都可写成正单根向量的括积形式，所以对于慨中的权向量“，u 是 地的奇异向量当且仅当“满足方程组 兰到刮 偿“。， 现在考虑z 2 元多项式代数 a = f 陋甜i ls i ，j t 】( 2 1 1 7 ) 对于n r 1 ，令 则 o i o r 1 )( 2 1 1 0 ) 为a 的一组基作为向量空间。定义从慨到a 的同构映射 r l ： 丁l ( e o 坝) = z o o r ( 2 1 2 0 ) 坝 k 白 一 口 e 岛 问 + 叫 叫 蚶 h a e 岛 陵 h ：i h 坤 + 七 一 l k+“ + 酽+ + + q 一口 e 协 ：i = 呗 口 e k a 勺 件p e h 斛 + “ 酽 + 吣 一 叫 叫 酽 h 讲 r ， ：i + 埽 0毋 一 ；鲥 h 瑶 ：h h 彤 ( 一 鲋 ( 1 = 矿 第二章辛李代数 这样我们就赋予a 一个自然的厶模结构 a ( f ) = f ( 以( f 一1 ( ，) ) )a s v ( 2 1 ，j ，a( 2 1 2 1 ) 为了方便起见，我们记 = 如莳 1 i ，j 茎f( 2 1 2 2 ) 利用上面的同构丁1 ，可以得到 量一l j d k = a k ，k + 1 a = 巩+ 1 ，一x j ，k + l o j k _ 【( a m k ) ；1 j = k + 2 k - 1 2 ( x k + l ，k + l o k + l ，k + l z 七膏巩k ) 一( t ，知+ 1 侥，七十1 一z 伽魏膏) = 1 lf 一( z k + l d a k + l d z 巧a 时) + ( $ + l ，k 巩+ l ，t 一1 ) 一( 巧，k 十1 岛，k + l j = k + 2j = k + 2 詹l 一k 岛) 】巩+ 1 ，一，k + 1 岛，一2 z k + 1 + 1 0 k ，k + l 一z + 1 j a k ( 2 1 2 3 ) 其中1 k f ( 2 1 2 4 ) 由( 2 1 2 0 ) 式中的同构映射n ：慨+ a 的定义可得定理2 2 1 ， 定理2 1 1向量u 坞是奇异向量的充要条件是 d k ( r ( “) ) = 0 1s f ( 2 1 2 5 ) 证明：正根向量包括也十1 和功，我们只对a k ，+ 1 来证明，d f 的情况可类似证明 必要性t 因为a k k + l ( ) = 0 所以 d k ( r ( “) ) = a k ，k + i i a ( t i ( u ) ) = 7 1 ( a 女，k + 1 ( r f l ( t ) ) ) = = n ( a k ，+ 1 ( u ) ) = 0 充分性：因为如( 7 - ( n ) ) = a k “1 f a h ( “) ) = n ( a t 斛1 ( 口) ) = 0 且n 是同构，所以a k k + l ( u ) = 0 1 k l 定理成立 由定理可知，要找出辛李代数的奇异向量，只需讨论偏微分方程组 i 以( 。) = 0 1 后 f ) _ 0 但1 2 6 7 易u z m + 岛 岛 v z “：i 弹 + 兹 m 甜 一 岛d + 侥 z 一 似 = 研 = 西 8 东南大学硕士学位论文 在a 中的解即可这个方程组称为s p ( 2 l ，f ) 的奇异向量的偏微分方程组 为了求解偏微分方程组，我们先设法找出方程组( 2 1 2 6 ) 的一组特解首先，我们有 k - 1 啦= a k + l ，k i a = x k + 1 ， + x k + l ， 1 sk f ( 2 1 2 7 ) i = 1 i - - 1 j 一1 讹= e l l a = 跏+ ( 。玎如嘞+ 巩) ( 2 1 2 8 ) i = l j = l 现在将 d k ，啦1 = 1 ，2 ，1 ) 看成是空间a 上的算子，这样我们通过a k 1 = d k ，d t ；d z 和a k + l ，k = 珊，肠= 琅可以得到s p ( 2 i ，f ) 作用在 2 巧1 1 l ，jsz 上的情形 由( 2 1 1 5 ) 得 通过同构映射r l 可以得到 l 一( z k j 一k ) ) 酽坝1s k f ，q r ( 2 1 2 9 ) j = k + l 靠= i a k - 1 = k 一2 z k k o k k 一( z i o i k z k t o k i ) i = 1 f 一( 。幻+ q 岛k ) 1 k z ( 2 1 3 0 ) 这样h 通过“作用在a 上 对于p f i p n ，我们定义 _ “) p = p ( p 一1 ) ( p p + 1 ) ( 2 1 3 1 ) k - 1 ，t犀一1 碟= ( 巩+ 叭1 ，) ”= 訾z ；孔( x k + l , j o k j ) 1 s 七 z ( 2 _ 1 3 2 ) i = 1 p = 0 j = l 为了要使式( 2 1 3 2 ) 的啦有意义，我们需将( 2 1 1 7 ) 定义的空间a 扩充到如下所定 义的形式幂级数代数a 上，记 a o = f z i j l ls ，j fj t 一1 】 ( 2 1 3 3 ) ( 2 1 3 4 ) 仕 一 七 反 ：i k n2一 膏 一( = o d e k h m 冲 z 。：l | j p 嚣 第二章辛李代数 9 1 p ，一，历o a o )( 2 1 3 5 ) 这时，a 是a 1 的子空间又因为a 1 在 d k ，m i = 1 ，2 ，z 的作用下是不变的，所以a 1 也是一个s p ( 2 t ，f ) - 模同时经过计算可以得到 彬1 吃”= 硝1 + “2 p 1 ，p 2 c ( 2 1 3 6 ) 任给两个偏微分作用，我们定义i ， = f f 一f 经过计算可以得到，对于任 意的，a 1 和r f 有 于是我们有 慨+ l ，t ，x i + 1 ， 1 ( ，) = 岛+ 1 ，i ( $ r + 1 ，t ，) 一茁0 1 ，i 统+ 1 ，t ( ，) = r x r - 1 ，i ， 由( 2 1 3 7 ) 可以得到 0 + 1 ，t ，x i + 1 ，j = r 。件r - - 1 1 i ( 0 i + l , i ，碟】= 卢t 7 l - 1 【磊+ l j ，甜】= p 秽一1 a 。j = 1 ，2 i 一1 ， k j ，碟 = 一p 硝一1 。件1 jj = 1 ，2 1 ， ( 2 1 3 7 ) ( 2 1 3 8 ) ( 2 1 3 9 ) ( 2 1 4 0 ) 如果( p ，q ) 乒 ( ，j ) l j = 1 ，2 i 一1 ) 和( ns ) g 0 + 1 ，j ) l j = 1 ，2 母，那么有【酋w ，霄l = 【钆，群】= 0 利用上述结果，可得到下述引理2 1 2 引理2 1 2 对任意的j 1 ，2 z 一1 ) ，k l ，2 z 和p f ， 证明：因为 d k ，蟛1 = q k p 谚一1 ( 白一白+ 1 + 1 一p ) ( 2 1 4 1 ) a k ，k + l ，锻1 一= o m 4 鬲( b h j + l m + 1 ) 1 后，js z 所以( 2 1 4 1 ) 对任意的p n 都成立又因为( 2 1 4 1 ) 完全由( 2 1 3 8 ) 一( 2 1 4 0 ) 决定，所以 ( 2 1 4 1 ) 对任意的p f 都成立引理成立 厶 ，黼铲 ( ， | | 籼 1 0 东南大学硕士学位论文 令 与引理2 1 2 证明类似，我们有引理2 1 3 引理2 1 3 对任意的j 1 ，2 ，z 一1 ，k 1 ，2 ，z ) 和p f 证明：因为 陬，谚】_ i t a k j v l f j 【臻1 j 】_ m a k j a 冕+ l ，j 1 k ，j f ( 2 1 4 2 ) 所以( 2 1 4 2 ) 对任何的p n 都成立，又因为( 2 1 4 2 ) 完全由( 2 1 3 8 ) 一( 2 1 4 0 ) 决定，所以 ( 2 1 4 2 ) 对任意的p f 都成立引理成立 假设m z + ，： 1 ，2 m ) 1 ，2 z 一1 ) 为一映射满足f ( i ) ( i + 1 ) ， 其中 记 z 1 = a ，( 1 ) + 1 一a ，( 1 ) + 1 一1 缸= a ，( ) + 1 一a ，( ) + 1 一b f ( i ) ，f ( p ) l p p = l f2 ，f ( o ：，) b ( o ，= i l ，竹) 2 ，o ) + 1 叩【，j = 卵) w i r a ( 。- - 1 - 1 ) 根据引理2 1 2 和引理2 1 3 的结果，容易得到下述引理 定理2 1 2 卵【，】a 1 是偏微分方程组俾j 2 动的一组特解 ( 2 1 ，4 3 ) ( 2 1 4 4 ) ( 2 1 4 5 ) 1 1 l + ， i i | | l 一 k q ，i_-f、i_t【 | i 酊 口 第二章辛李代数 2 2 方程组的解 在这一节中，我们将讨论求偏微分方程组( 2 1 2 6 ) 在a l 中的解的办法 对任意的豇= ( 肛1 ，m - 1 m ) f ，假设 啡：硝t 呓：硝2 ( 1 l - l + 1 一德a 3 一1 “+ 1 一前3 一一1 + 1 一一一2 + 1 一一1 1 硝t 栏，- + 1 一硝4 一知一1 + 1 - 1 “+ 1 + 1 - “2 与，写一( 一t + 1 - 彬一( 一l 小讲1 一b ( 1 ) ( 2 2 1 ) 显然吒a 1 ，并且由引理2 1 2 和2 1 3 可知 屯( 西口) = d 3 ( d 亚, a ) ；= d t 一1 ( 圣口) = 0 如果中a 要满足方程组( 2 1 2 6 ) ，那么圣口也应满足方程d r ( z ) = 0 ，即 d i ( 吒) = 0 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 式( 2 2 3 ) 显然成立 下面我们将a 1 分解成空闯a 1 1 和a 1 2 的直和，分别讨论偏微分方程组( 2 2 2 ) 在a l l 和a 1 2 上解的情况 令 a o l = f 陋玎1 1 j i s l l ( 2 2 4 ) 1 s p n ，矿f l ，詹。a o l ( 2 2 5 ) 方程组( 2 2 2 ) 在a 1 1 空间上解的形式由弓l 理2 2 1 给出 1 1 引理2 2 1a 1 l 中的任一元素z 是方程组偿2 矽的解的充要条件是它可以写成 p z = 印一j 垂矿- j 印叫f 矿一 ( 2 2 6 ) j 信l 证明：由( 2 2 2 ) 可知我们只需证明定理的必要性由( 2 1 2 3 ) 得 l - - 2l - - 1 l d l 一1 = 翘一1 a l p + 【k 一1 + 蕾“a l 一z q 一1 a ，l 一1 一z 一1 j a 一1 j p = 1 扛1 j = z 一1 f f 一1 + 盈f 苏一x l , f 一1 国# 一1 a ，f 一1 一f z d a ，z l + 2 z u h 一“】 ( 2 2 7 ) 1_ p 嚣 1丘 ， 扩 ( j = n a 东南大学硕士学位论文 经过计算可以得到 记 a 膏= a 七一+ l l - l1 - 11 - 1蠹jj + z “鼠一z 枷，】饥一( z 巧+ 锄+ 坳) 嘞 i = 1 p = kj = k - f 1p = 1p = k - f 1p = 口 因为a ，- 中的元素z 可以写成 盛一1 1 = 破一l z = f 圣h 豇f lf a o l 下面我们证明，是常数，即( ，) = 0 ，ls j f 因为 所以 锄( 圣口) = 01 s j z ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 2 。1 0 ) ( 2 2 1 1 ) f 2 2 1 2 ) k - 1l 一1 l 一1 d k l ( z ) = 【z 却砩一岛k 出f + ( k 一z l p ) a 2 k 】( z ) ( 2 2 1 3 ) 口；1 j = k + lp f k 其中k = 1 ，2 l 一2 ，令 q = ( 0 ，0 ，1 ，0 ，0 ) f l 职= 毋垂口一e i j i 毋a o ，t = 1 ，2 ，z ( 2 2 1 4 ) j _ v i 幻= m 钾一( a l p + 1 一一舛1 ) p = 1 ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) 踟 h z 。：l 一 七 魂膏 。：i a z2 +詹 _ x + 由 七 易 h 斟 一 p 侥 蛐 z h 础 = a k a = 以 2 2 = 七鼬 妇 一 叼 h 蝌 一 嘞 一 一 七鼠 一 酞 。御 l i u 第二章辛李代数 由( 2 1 2 7 ) 知，对一给定的f22 ，式( 2 2 1 ) 中含有戤+ 1 护和钆的项仅在 “l o s j f 一 中，其中p = 1 ，iq = 1 2 ，i 一1 经过计算可以得到 【钆，舻】 幻皆q ( 反+ l ，p ，皆j = 幻痧一1 ，p = l ，2 一i 1 ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) l r - 1 【斟1 ，p 魂+ - p ，彬】_ 白( 舻一叭1 ，舻- 1 ) ，p = 1 ，2 t 一1 ( 2 2 2 0 ) p = rp = 1 i - - 1 i - - 1 z t p 魂“】= 一戤+ 1 矿- 1 ) ， p = l ，2 i 一1 ( 2 2 2 1 ) 其中lsr l ，1 q s f 一1 由( 2 2 2 0 ) 一( 2 2 2 1 ) 可得 反十1 ，( 屯) 仉 其中l f 一11 r s 因为对任意的1 s i z 一2 ， a k ，l = 阻k ，k + l “a k + 1 k + 2 ， a l 一2 。1 。1a t1 ，r j 】j 它所对应的偏微分算子为 所以 即 d k l = i d k ，恢+ 1 胁_ 2 d t 一1 】 】 d 肼( 。) = 02 sk s f 一1 ( 2 2 ，2 2 ) ( 2 2 2 3 ) ( 2 2 2 4 ) i 毗z ( z ) = 【鐾：z 枷( ) 十( 天k o l ，k ) a ( ，1 ) 】垂口i0 ( m o d u ) = 2 z 一2 1 “：( 毫m ，删，1 ) ) 耻o ( m o d 。2 2 5 以 。1i 甜m 一“ 圣 rq 兰 曲 i e i