（基础数学专业论文）球面稳定同伦群和moore谱同伦群中的一些新元素.pdf

摘要 对连通有限型谱x ，一存在着具有滤予 cf 5 ，“怕c cf 2 ，”+ 2cf 1 ，“+ 1 f o ，“+ o = 【e “y x k 的a d a m s 谱序列 群”，西 ：满足： ( 1 ) d r ：群# + 霹竹卅1 是谱序列的微分 ( 2 ) 霹4 岂e z t 盖( 日+ x ，日+ y ) f 3 j 并且收敛到f 卜5 ex 】。 即明。兰e 童z 岔( 日x ，日y ) 辛【e 。5y 捌p 当y 是球谱s 时，上式变成了磁4 型 点b t 7 ( h + x ，名) 号m 一。何) p 当x 是球谱s ，m 0 0 r e 谱m ，t 0 d a - s m i t h 谱矿( 1 ) ，y ( 2 ) 时，仉一。伍) ，分别为sm ，矿( 1 ) ，y ( 2 ) 的稳定同伦群的p 局部，因此可利用a d a m s 谱 序列来发现球面稳定同伦群和t 0 d a _ s m i t h 谱的稳定同伦群的新元素在利用a d a m s 谱序列来求解同伦群的过程中，需要计算有关e z f 岔( 日+ x ，日+ y ) 的结果我们利用 谱的上纤维序列导出的e 矾群的正合序列和m a y 谱序列得出e z t 岔( 日+ x ，h + y ) 的 某些结果 在第一章和第三章中，当p l l 时，讨论了m a y 谱序列e 1 项 目严严= e ( k j i i o ，j o ) o p ( k j i z o ，j o ) o p ( 啦i i o ) 在某些特殊维数和次数时的具体生成元情况并由此得出 e $ t 擎，劫2 4 押2 9 如千1 ( 日+ y ( 2 ) ，名) = o 伽砖o e z t 会2 p 2 叶9 + 2 9 ( 日+ y ( 2 ) ，磊) 眈学士7 4 p 2 4 + 御+ 2 9 士砰1 ( 日+ y ( 2 ) ，名) = o 卯6 4 o e z t ：4 矿9 + 9 9 + 2 4 ( 日+ v ( 2 ) ，名) 根据这些结果，证明了卯6 ；，卯埘分别收敛到”+ y ( 2 ) 的非零元，再由y 0 n e d a 乘积证 明了鲫晴讯，9 0 6 4 ( 3 茎s p 一3 ) 分别收敛到”。s 的非零元。其中 讯e 。盖印2 4 + o 一1 钾+ o 一2 妇+ 扣一3 ( z ，弓) ，已知收敛到璐= j o j l 如矿t 2 i l i o + s 在第二章中，利用 3 关于e z t 岔( 磊，磊) 的一个估计，其中p 为由m o dp s t e e n r o d 代数j 4 的所有循环缩减幂p 。( i o ) 生成的子代数，得出 e 。t 茅7 ，却2 目+ p 9 + 2 q 土7 干1 ( 甘+ y ( 1 ) z j ) = o p 1 1 r 2 3 并由此得出当p l l 时，有 卯6 ；o e 。量2 p 2 9 + p q + 2 。( 月y ( 1 ) ，蜀) 在a d a m s 谱序列中收敛到7 r 2 p ：g p 叶2 口6 y ( 1 ) 的非零元 在第四章中，利用几个上纤维序列导出的正合序列得出了e 蚍群的相关结论 并且由这些结论以及a d a m s 分解证明了晦+ 1 1 耳) ( o 口) ”= ( 1 b + 。 n “) ( 女 1 ) ( 相差 系数) 及( 瓦+ l 1 k ) ( o 口) ”= o 由此得出了( i ：“) 口) 与 + ( l 舶d ) 日矗，3 ，。+ 咖+ 趵 ( 日+ m ，磊) 在a s s 的收敛性 关键词：球面稳定同伦群，球谱a d a m s 谱序列，m a y 谱序列，t 0 d a - s m i t h 谱， m 一模谱 4 a b s t r a c t f 0 rc o n n e c t e df i n i t et y p e 印e c t r ax ，y ) t h e r ee x i s t sa d a i n ss p e c t r 址s e q u e n c e 主芹，4 w i t he x i s t s6 1 t r a t i o n c f 。一+ 5c c f 2 ，“+ 2 c f l 一十1c f o ，“= “y ，x p s u c ht b a t ： ( 1 ) 露：e i ，+ e ；+ ，+ 7 1i st h ed i 珏b r e n t i a l ( 2 ) 鼋4 掣凹z t 岔( 丑+ x ，日+ y ) a d ( 3 ) c o n v e r g e 8t o 【e 。5y x b i e 砭。兰e 耐奢( 日x ，日+ y ) = 孛【口一5 x b w h e ny i ss p h e r es p e c t r l l s ，i ti s 茑。兰 e 耐奢( 日x ，昂) = = = ( ，r t s ) p w h e ny i ss p h e r e8 p e c t r 眦s ，m o o r es p e c t r u mm ，t 0 d a - s m i t h8 p e c t r u m 矿( 1 ) ，y ( 2 ) s p e c t r u mr e s p e c t i v e l y l ( 仉一s ) pi sr e s p e c t i v e l yt h es t a b l eh o m o _ t o p yg m u po f s m ，矿( 1 ) ，y ( 2 ) t h e r e f o r ew ec a nd e t e c t e ds o m en e wn o 越e r oe l e m e n t so f t h es t a b i eh o m o t o p y 留o u p so fs p h e r e 棚1 dh o m o t o p yg r o u p so ft b d a - s m i t hs p e c t r u mk b yu s i gt h ea d a m 8 印e c t r a ls e q u e n c e s i nt h ec 0 1 1 r eo fd e t e c t i n gn e we l e m e n t sb yu s i i 堰 o fa s s ，w en e e ds o m er e s u l t so n 上b t 盖( 日+ x ，日+ y ) t h i sp a p e rc o m p u t e ss o i n er e s u l t 8o n e z g r o u pb yu s i n go ft h ee z tg r o u pe x a f ts e q u e n c e si n d u c e db yc o 丘b r a t i o n so fs p e c t r u m a n db yu s i n go fm a ys p e c t r a l8 e q u e n c e i nc h a p t e r1a n dc h 印t e r3 ，w h e np 1 1 ，w ed i s c l l 8 s e ds o m eg e n e r a t o r so fm s s 置一t n 骘产产= e ( h t 。i i o ，j o ) 圆p ( 玩j 卜 o ，j2o ) p ( n l i o ) i ns o m es p e c i a ld i m e n s i o n sa n dd e f e e s ，丘o mt h e s ew eg e t e z t 竽，驴m 口十2 9 1 ( 日v ( 2 ) ，磊) = o 卯6 ；o 日z t 盒却2 叶p g + 2 9 ( 日+ y ( 2 ) ，昂) e z t 芽土，4 p 2 口+ p 叶2 口土+ 1 ( h + v ( 2 ) ，弓) = o 蛐6 ：o e z 訾，4 p 2 q + p g + 2 9 ( 日+ y ( 2 ) ，磊) f u r t h e r m o r e ，w ep r o v et h ec o n v e r g e n c eo f 9 0 昭，9 0 b i n7 r y ( 2 ) r e s p e c t i v e l y la n d9 0 b ；：瓦， 9 0 6 4 彳s ( 3 茎ssp 一3 ) i n7 r 。sr e s p e c t i v e l yw i t ht h eh e l po fy o n e d a - p r o d u c t s ( 3s5 茎 p 一3 ) ，w h e r e 璐e 州p 2 。+ “。+ “) 。+ “( 磊，匆) i sk t l o w nt ob ec o n v e r g c dt o 彳5 = j o ，1 歹2 ，y 3 2 2z i 。o 丌十s 5 i nc h a p t e r2 ，b ym e a n so fa ne s t i m e t i o o fe z f 盖( 名，弓) j n 3 1 ) w h e r e 尸i st h es u b _ m g e b r ao fm o d ps t e e n r o d 出g e b r a 且w h i c hi sg e n e r a t e db ya l lp ( 22o ) w e 矗n ei tf o l l o w s f r o m t h e s e t h a to f p 1 1 ， e z t 茅7 ，印2 口+ 叶2 9 士千1 ( 日+ y ( 1 ) ，名) = o ，p 1 1 ，r 2 c o n v e r g e si nt h ea s sn o l l t r l v i a l 】yt oa 皿e l e m e n t0 f7 r 印2 9 + p p + 2 9 一6 y ( 1 ) i nc h 印t e r4 ，w e6 n dt h ec o n c l l l s i o n so ft h ee 耐口o u pb yl l s i n go ft h ee x a c ts e - q u e c e si n d u o e db yc o 矗b r a t i o sa 丑da d a m sr e s o l u t i o n ，w ep r a v e ( 西s + l 1 耳) ( o 盯) “ = ( 1 e 。+ 2ao “) ( 七 1 ) ( 1 l pt o8 c a l a r ) a n d ( - s + 1 1 胃) ( o 盯) “= o j tf o u o w s 丘o mt h e 8 et h a t t h ec o d v e r g e n c eo f ( i ：l + ) ( 卯仃) a n d 蟊( l 擘。盯) e 耐，3 ，蛔+ 印9 + 2 9 旧+ m ，磊) i nt h ea s s ， k e yw b r d s ： s t a b l eh o m o t o p yg r o u p ；s p h e r e8 p e c t r u m ；a d a m ss p e c 七r i a l8 e q u e n c e ； m a ys p e c t r i a ls e q u e n c e ；t b d as m i t hs p e c t r u m ；m m o d l l l es p e c t r u m 6 球面稳定同伦群的研究概况 设妒为n 维球面，当n r + l 时，由同伦双角锥同构：丌r x h l s x 知：+ r 驴曼丌n + r + 1 扩“，这时我们称7 r 。+ r 酽为球面的r 柄稳定同伦群令s 表 示球谱，则”，s 就是上述r 柄同伦群，简记为 s e r r ej p 已证明了砰是有限群，因此它的p 局部化竹( s ) p = p 砰就是它的p 分量群”+ ( s ) 。的计算是代数拓扑学的中心问题之一，计算它利用的工具主要有经 典的a d a m 8 谱序列 霹”，d r l ，其中 霹。型e 叠t 岔( 名，昂) 辛丌t 一。( s ) p 和广义的a d a m s 谱序列 噬。竺e z t 鲁_ 丑尸( 口只，b 只) = 丌t 一。( s ) p 几十年来，许多学者从事此课题的研究，并取得了许多重要成果其中如； l i m e v i c i l l s ，a i k a w at ，c o h e nr ，0 l 【as ，m 珊e rh r ，r 舯e n e ld c ，t o d ah ，s h i m o m l l r a ，周 学光，林金坤，王向军和郑弃冰等等 l i u l e v i c i u 8 1o 】在1 9 6 2 年描述了占t 二+ ( 磊，昂) 的计算结果，它具有z p 基 n o e z t j l ( 磊，名) ，k e z 9 ( 磊，磊) 其中i o 【1 0 中也给出了e z t j + ( 磊，易) 的计算结果，它的昂基是 占2 b z t 2 叮+ 1 ( 昂，刁) ，0 0 2 e z j 2 ( 乃，z p ) n o 蚝e 。t 。十1 ( 名，名) “ o ) ，e z t j ”1 。( 名，磊) ( i o ) e z t 盖印”1 q 押。( 名，名) ，吼e z t ? ”1 9 + 2 p 1 。( 昂，磊) ( i o ) 也b e z t ? 9 + 纠。( 名，磊) ( i o ，j i 十2 ) 其中q = 2 ( p 1 ) 1 9 7 1 年，h t o d a 在【3 】中证明了谱y ( n ) 当p 2 n ( n = o ，1 ，2 ，3 ) 时存在，从而 有以下周期性元素( m = y ( o ) ，k = y ( 1 ) ) ： o ：e 。m m ，卢：p 叶4 k ，y ：2 ( 矿一1 ) y ( 2 ) y ( 2 ) 1 9 8 0 年a j k a w a 在【1 1 中给出了e z + ( 匆，z p ) 的计算结果，其具有磊基 t j 九女，元九， 2 ：2 ，1 ， ，：1 ，2 j 9 ： 7 等等，具体的见【1 1 中的表8 1 ，其中 就是【l o 中的以 1 9 8 1 年，在【7 】中c o h e n r 给出了对每个1 ，a ( h 是f l o 】中的k ) 在 a d a m s 谱序列中收敛到玩。，并且代表着球面稳定同伦群的p 阶元素“ 1 9 8 9 年，在 2 3 】中周学光先生利用有序上链复形等工具获得了更多的上同调 运算，以此为基础获得了更多的球面稳定同伦群的元素，证明了目2 ，q 3 ，e 1 ，( 2 ， 和p 的某种t d d n 第二积，_ | 3 1 ，岛，啦，“，n 1 的某种积均是非零的，代表球 面稳定同伦群的非零元素，它们是五r 和鹾1 崩瞎 a o ”+ s 1 9 9 8 年林金坤和郑弃冰在 2 】中，当p 7 ，n 4 时，找到了”+ 矿( 1 ) 中的新元素， 其在a d a m s 谱序列霹项中的表示为k 一1 卯，以此为基础找到了”妒+ 3 矿+ 3 叶3 ) 口一7 s 中的一个新元素，其在a d a m s 谱序列中的呸项的表示为6 n 一1 9 0 加 1 9 9 8 年，王向军和郑弃冰在 4 】中证明了：( 1 ) 在p 5 ，2 s 茎p 一1 ，女2 时，风 o t + 1 收敛到玩。；( 2 ) 在p 7 ，3 s p l ，女3 时，醌 o + 1 收敛到 如 2 0 0 1 年，在 3 1 】中林金坤教授证明了当p 5 ，n 3 时， ”( 矿+ f ) 口一3 s ( 其中 g = 2 0 1 ) ) 具有p 阶和第三滤子的非零元素族的存在，并在a d m s 谱序列中的 霹十p 。型e z t 擎“。押9 ( 磊，磊) 的表示为6 0 。+ 1 k - 1 2 0 0 2 年，在【1 2 中林金坤教授证明了k 9 0 e z t p “”+ 2 4 ( 日+ k ，乙) 在a s s 中 收敛到砷n 叶p 叶2 q 一3 耳的一个非零同伦元素，利用与舶的y 0 n e d a 乘积得到 。9 0 竹 o e z 妒“町+ 3 + p “妇( 昂，召) 在a s s 中收敛到唧n 叮+ 3 ( p ：十叶1 ) 口一6 s 的一个p 阶非零 同伦元素 2 0 0 3 年，在【2 9 中，王向军和刘秀贵研究了m a y 谱序列岛项骈 虬对某些 特殊s ，t ，6 ，其生成元的一般性质，作为一个应用，证明了：皮讯 o 。和 0 6 0 k 。 在经典a d a m s 谱序列中的收敛性 8 第一章球面稳定同伦群的一族新元素9 0 ( 6 ) 2 讯 本章第一节中给出了m a y 谱序列研 “项的某些结果，第二节中利用第一 节的结果和e z t ( 乃，磊) 的一个估计证明了9 0 6 e z f 鲁2 p 2 叶w + 2 。y ( 2 ) ，磊) 和 卯( b 1 ) 2 5 e z t ，5 ，( 5 + 2 ) p 2 9 + ”+ 卅5 3 ( 名，磊) ( 3 ssp 一3 ) 在a d a m s 谱序列中的收 敛性 第一节m a y 谱序列研项的几个结果 命题1 1 1 ：存在收敛到眈t 岔( 昂，名) 的m a y 谱序列 群 + ，由 ，使得 碍一一= 曰( 如j 悖 o ，j 2o ) o p ( 玩j i i o ，j o ) o p ( 啦i i o ) 其中e ( ) 表示由“甜生成的外代数，p ( ) 表示由堍，生成的多项式代数，而且 霹，2 一1 ) 矿，2 ，6 ；，j 四；，2 一1 矽+ 1 p 【“- 1 ，啦e 却l 1 ，蕊若令t = ( p n + c n l p ”一1 + + c 2 p 2 十c l p 十c o ) g 十c 一1 ，q 磊，g = 2 p 一2 ，( p 一1 ) c n c n 一1 2 c 1 c 0 c l o ，则鹾”o + 的生成元必含有q c l 1 个因子 。一 + l ，e ( o tsn ) 证明：令口是刀；t 4 的生成元，口的因子只能是 幻a o ，j 兰o ) ，巩j a o ，j o ) ， 0 ( i o ) ，它们分别具有第一次数1 ，2 ，1 ，他们的第二次数分别是却。+ p i 卅_ 2 + + ) 口却+ 钾。+ + p j + 1 ) 口，一1 + _ 2 + + p + 1 h + 1 ，且n o 的第二次数 是1 因为口的第二次数为( 矿+ c n 1 p ”1 + + c l p + c 0 ) 口+ c 乩而它的第一次数 是，因此，一共有个因子，可知因子中不能含有巩na 的第二次数可唯一分 解为如下个因子的和： c 一1 个因子，每个因子具有第二次数+ p ”1 + + 1 ) q + 1 c l c 0 个因子，每个因子具有第二次数扩+ 矿- 1 + + p ) 口 c 2 一c 1 个因子，每一因子具有第二次数( 矿十p n - 1 + + p 2 ) g q c f 一1 个因子，每一因子具有第二次数( 矿+ 矿_ 1 十+ ) g 一l 一一2 ) 个因子，每一因子具有第二次数0 严+ 矿_ 1 ) g 岛一一1 个因子，每一因子具有第二次数矿口 由于具有第二次数( p “+ p ”1 + 1 ) 口+ 1 的因子只能是n 。+ l ，具有第二次数( 矿+ 矿。+ + 矿) g 的因子只有 。+ 。因此结论得出证毕。 推论1 1 2 ：若p o 6 c d o 则研4 咖+ 印9 “叶“的生成元必含有n 山 个h 】2 ，6 一c 个 2 】，c d 个 3n 9 证明：由命题1 11 ，显然成立，证毕 推论1 1 3 ：m a y 谱序列中e ；”2 叶( ”1 脚+ ( 5 。) 叶( ”3 ) ，= 名 n ；一3 1 ，2 h 2 1 3 ，o ) 证明：由推论112 ，显然成立，证毕 命题1 1 4 ：存在收敛到e 础“( 名，昂) 的m a y 谱序列 霹 + ，d r ) ，使得 e i 产产= e ( 九。j l i o ，j o ) 圆p ( “，j i i o ，j o ) o p ( n 。i i o ) ，喜e 中e () 表示由 托j 生成的外代数，p ( ) 表示由巩，生成的多项式代数，设忙( 矿+ 一1 p n _ 1 + + c t p + c o ) q + c 一1 ，c f 毛，扎，q = 2 p 一2 若存在q + l c l o ，p 口，b ，c ，d o 且d d 4 ，则研”勺+ 印卧。4 州的生成元 a 不可能含有u 个因子 证明：( 反证法) 假设对妇e u ，舻口+ 幼口+ c 口+ d ，含有u 个因子，此时口不能含有 因子，因此，口具有形式口= n ：o n ：1 n ：2 n ：3 口l ，其中+ h + 2 + = d ，l ，乜，3 为非负整数，且口1 酽一。，( n b ) p 2 口+ ( 6 一b 一3 ) p 口+ ( c 一，一2 一3 ) q t - ，因为这个群的第二次数 o ，j o ) op ( 峨，j k o ，j o ) o p ( 嘞h o ) ，其中e ( ) 代表外代数，而p ( ) 代表多项式 代数另外， ：j ，趣。，啦的次数分别是( 1 ，2 缈一】矽，2 i 一1 ) ，( 2 ，2 够一】矽“，p ( 2 i 1 ) ) ，( 1 ，2 p t l ，2 i 一1 ) ，而且微分为d r ：群 4 露+ 1 ”( r o ) h ，o h 1 1h 2 oh 2 lh 12h 3 o l ( 1 ，口)( 1 ，p q )( 1 ，+ 1 ) 口)( 1 ，p ( p + 1 ) g )( 1 ，p 2 q )( 1 ，( p 2 + p + 1 ) 口) 6 1 ，o 6 ”o oln 2n 3 ( 2 ，p 们( 2 ，p 2 口)( i ，1 )( 1 ，q + i )( 1 ，( p 十1 ) 口+ 1 )2 + p + i ) g + i 1 0 列表如下 由于次数的原因，可知 。，b 1 ，9 0 ，e z t 二+ ( 弓，彩) 在m a y 谱序列中分别由 h ，o e ，b e ：p 2 ”，h 1 ，o k ，o e ；“+ 2 q ，+ ；一3 吣哳霹却2 9 + ( “) 叶“) 4 + “) ，+ 表示因此9 0 ( 6 1 ) 2 讯e 童 5 ，( ”2 ) p 2 口+ 5 p 口+ 5 叶( 5 3 由 m = l p 2 ，赢，l 吣。r 3 l 。吣 3 ，o 鹾+ 6 t ( 5 + 2 ) p 2 叶+ 5 口+ ( 瑚) 表示以下只要证明m 不是4 边缘( r21 ) 即可在m a y 谱序列中微分具有形式 d r ：霹 “ 群“ ，所以只要证明 霹札( 2 炉g 抑q + 卅( 瑚) ，- = o 以下证明e 5 + 5 ，( 卧2 汩2 叶印什5 什( ”3 ) ，+ = o 由命题1 5 易知，其生成元口的因子 个数可能是s + 2 ，s + 3 ，s + 4 个 1 若因子个数是8 + 4 个，则口含有一个6 1 ，o 或一个6 1 ，1 或一个k ，o 其中6 1 o 的第二次数为p g ，6 1 ，1 的第二次数为p 2 q ，幻o 的第二次数为p 2 9 + p 口，此时盯具有形式 盯= 盯l b l ，o ，盯= 口2 6 1 ，1 ，盯= 盯3 6 2 ，o 若口= 口1 6 1 0 则叽的次数为( s 十3 ，( s + 2 ) p 2 口+ ( s 1 ) p g + s q + ( s 一3 ) ，+ ) 且口l 含有s + 3 个因子，由命题1 1 5 知，此时口l 不存在，因此口不可能存在 若口= 眈6 1 1 ，一= 6 2 o ，则由命题1 1 5 ，类似地。不存在 2 若因子个数等于s + 3 ，则口必含有6 ，o 扣l 妒1 山磅，1 ，6 1 ，0 6 2 m6 l ，l k 0 ，嚏。中的 一个，此时仃具有形式：盯= 盯l 暗0 口= 盯2 6 l ，0 6 l l 盯= 6 1 ，盯= 盯4 扫1 ，0 6 2 ，0 盯= 口5 6 l ，l b ，o ，盯= 嚏0 若口= 口1 略0 ，则口l 的次数为0 + l ，( s + 2 ) p 2 9 + ( s 一2 ) p 口+ 印+ ( s 一3 ) ) 且口1 含有s + 1 个因子，显然，这样的一l 不存在，因此a 不存在 若口= d 2 b 1 ，o b l l 则盯2 的次数为( 8 + 1 ，( s + 1 ) p 2 9 + ( s 一1 ) 册+ 5 9 十( s 一3 ) ， ) 且口2 含有5 + 1 个因子，由命题1 1 ，4 知，此时眈= o ，因此，口= o ，从而 g + 5 ，( 8 + 2 ) p 2 9 + 删+ 8 4 + ( 瑚) 一= o 若口= 口3 嵋】，则口3 的次数为0 + l ，印2 口+ 印口+ s q 十( s 一3 ) ，十) 且吼含有s + 1 个因子，由于次数的关系，此时口3 必含有因子 l m h l ，l ，垃o ，n o ，n l ，0 2 中的一个， a l ：若口3 = 口i l m 则砖的次数为( s ，s p 2 q + 印g 十( s 一1 ) g 十0 3 ) ，+ ) ，由推论 1 1 2 知，此时以含有( s 1 ) 一( 5 3 ) 个b m 因此口 = o ，即口5 = o ，从而口= o a 2 ：若口3 = 口；6 ，则口；的次数为( s ，印2 q + ( s 一1 ) p 口+ 卵+ ( s 一3 ) ， ) ，由命题 1 14 ，此时口；= o ，因此口= o a 3 ：若口3 = 盯i 2 ，o ，则盯；的次数为( 5 ，5 p 2 9 + ( s 1 ) p 窜+ ( s 一1 ) 口+ ( s 一3 ) ， ) ，由 推论1 12 ，此时口= o 4 4 ：若口3 = 口l n o 或口3 = 口；n l 或口= 口；0 2 由推论11 2 ：类似地有口= o 若口= 口扣1 ，o ，o ，则盯4 的次数为( s + 1 ，( s + 1 ) p 2 9 + ( s 一2 ) p g + 卵+ ( s 一 3 ) ，t ) 且含有s + 1 个因子，由命题1 1 4 知，此时，印= o ，因此口= o ，即 e 川扣2 口+ 删+ 卅( “) = o 若口= 口5 6 i 1 6 2 0 1 此时与以上类似地可以讨论口= o 若口的因子个数等于s + 2 ，则口必含有砖，o ，b ，0 6 1 山6 1 ，0 6 ，1 吼，6 ，0 6 2 0 jb l ，o 鹾m 6 1 ，0 6 幻，o ，磋，1 6 2 ，o ，6 1 ，1 碹m 碹，o 中的一个，此时口可以表示为口= 畦o ，口= 口2 蜢0 6 ， 盯= 仃3 b 1 o 暗，1 ，盯= d 4 6 ，l ，盯= d 苫砖，0 6 2 ，o ，盯= 盯6 6 1 ，o 醒，o ，盯= 仃7 b l ，o b l ，1 6 2 ，o ，盯= 盯8 6 ，1 6 2 ，o ，盯 = 盯9 6 1 ，1 6 l 、o ，盯= 盯l o 扩2 ，o 若口= 口l 碹小则口l 的次数为( s 一1 ，0 十2 ) p 2 十0 3 1 w + 明+ ( s 一3 ) ，+ ) 且含有 s 1 个因子，显然，这样的0 1 不存在 若一= a 2 6 o b l ，l ，a = 6 l ，o 嵋m 此时与以上类似地可以讨论，= o 若口= 吼畦l ，则础的次数为( s 一1 ，b 一1 ) p 2 9 十印g 十即+ ( s 一3 ) ，+ ) 且口4 含有 s 一1 个因子，因s l s ，由命题1 1 4 ，有口4 硝一1 ，( 8 1 ) 矿口+ 删+ 3 口+ ( ”3 ) ，：o ，所以 仃= o ，即日? + 5 ，( 8 + 2 ) p 2 口+ 8 p 口+ 5 9 + 扣一3 ) ，- = o 若口= 如强0 6 2 ，o ，则的次数为( s l ，( s + 1 ) p 2 q + 0 2 ) p g + 3 q + ( s 一3 ) ， ) 且 含有s 一1 个因子，因为次数的关系，这样的a 5 不存在 若口= 6 l ，o 磋m 口= 口7 6 l ，0 6 1 ，0 6 2 ，o ，此时与以上类似的可以讨论这样的口也不存 在 若口= 砖1 6 2 ，o ，则口8 的次数为( s 一1 ，( s 一1 旷g + ( s 1 ) p 口+ 凹十0 3 ) ，t ) 且口8 含有s 一1 个因子，因s 一1 8 ，由命题1 1 4 ，有印研一1 ( ”1 ) p 2 叮+ ( ”1 如口+ 3 口“”3 ) ，+ ：o ， 因此，口：o ，即研+ 5 ，( s + 2 ) p 2 口+ ”。口+ 5 口+ ( 瑚) ，- ：o 若一= 田吣碹，。或一= 一t o 睦o ，则与以上类似的可以证明a = o 证毕 以下为主要定理的证明作一些准备 由文献 3 可知谱y ( n ) 为e ( n ) 的几何实现，即日+ y ( n ) 掣e ( n ) ，其中e ( n ) 表 示s t u o d 代数a 的m i l n o r 基元q o ，q 1 ，0 2 ，吼生成的外代数考虑上纤维序 列 2 ( 矿一1 ) y ( n 1 ) 竺与y ( n 一1 ) ! 斗y ( 几) ! 与2 p ”一1 y ( n 一1 ) 其中o 。当n = o ，1 ，2 ，3 时，分别表示p ，a ，卢，7 这个上纤维序列导出的磊上同调群 正合序列是a 模短正合序列 。叫e ( n 1 ) 乌e ( n ) _ e ( n ) 叫。 它导出e x t 群的长正合序列 一_ e z r 1 ，一( 2 矿一1 ( 日+ y ( n 一1 ) ，蜀) 坦专e z 岔( 日t y ( n 一1 ) 乙) 啮 f 州i ( h y ( n ) ，乙) ! ! 业e 州5 ，2 ( p “1 ( h y ( n 一1 ) ，) _ + 1 2 引理1 2 2 ：当一s 6 时显然成立，所以只考虑2sr 6 的情况 对咐e z t ，印。9 十9 口+ 2 9 + 一+ 1 y ( 2 ) ，因为2 r 6 ，所以一5s r + ls 一1 由于s 出m ( ( 3 ) + ) = 妒口+ p 口+ 2 口一r + l 三一r + l o ( m o d 口) ，而当 t o ( m o dg ) 时e z t 岁( 磊，名) = o ，因此o = ( i 3 ) + y 眈t 却2 口+ 舶十2 叶一十1 y ( 3 ) 兰 e z t 7 ，印2 9 却9 + 2 9 _ r + 1 ( 名，昂) = o ，所以= 饥，矿眈t 盖+ y ( 2 ) 具有双次数( 5 一 r ，2 p 2 9 + p g + 2 q r + 1 2 p 3 + 1 ) = ( 5 一r ，p 2 9 + 口一r ) 同理，s 出m ( ( i 3 ) + 弘) o ( r n d dg ) ， 所以( i 3 ) + = o ，故j 眈t p 4 1 - 1 y ( 2 ) ，因矿i 4 时，因6 + s r s + 2 ，此时结论成立 2 当r = 4 时，由推论1 1 2 知，硝+ ”，( 5 + 2 驴g + 口+ 5 口十( 5 。) ”+ 1 的生成元具有 ( s + 2 ) 一s 个 1 1 2 ) 此时结论成立 3 当r = 3 时，考虑e p 3 ，( 蚪2 ) p 2 叶+ 卅( ”3 ) 1 + 1 ，的生成元口若口因子个数 是s + 3 时，由命题11 5 易知，此时其因子不可能存在若一因子个数是s + 2 时， 与定理l2 1 类似地可以证明o = 0 4 当r ：2 时，考虑e ；“( ”2 ) p 2 口+ 删+ 卅5 3 ) 一7 + 1 的生成元口，其因子个数可 能是s + 2 ，s + 3 ，s + 4 ，此时与定理1 2 1 类似地可以证明d = o 证毕 定理1 2 7 ：设p l l ，3 s p 一3 ，则 9 。( 6 1 ) 2 e z t ，5 ，( 5 + 2 2 。+ 5 叶3 。+ 5 3 ( 名，磊) 在a d a m s 谱序列中收敛到”+ s 的非零元 证明：由定理1 2 5 ，存在，丌f y ( 2 ) ，t = 2 p 2 9 + p g + 2 6 使得，在a d a m 8 谱序列中由卯( 6 1 ) 2 e $ 鲁印2 口+ ”+ 2 9 饵+ 矿( 2 ) ，名) 表示，因为卯( b 1 ) 2 是卯( b 1 ) 2 e z t 鲁驴g + m + 2 。( 昂，磊) 在( i 2 i l i o ) 。：e z t 刍2 p 2 4 + 9 叶2 9 ( 磊，弓) e 。t 刍2 p 2 。+ 叶2 。( 日+ y ( 2 ) ， z 口) 之下的像 考虑合成 ，：2 s 鸟y ( 2 ) 乌e s 扣2 + p + 1 ) q ) y ( 2 ) ! 塑争一s 扫2 + p + 1 ) g + o + 2 ) 口+ 3 s 因此，= j o j l 如r ，在a d a m s 谱序列中由 c ：j l j 2 ) 。) s ( i 2 i l 如) 。( b 1 1 ) 刀州6 ，( 什2 扣2 9 十5 p q + ( 。) 口+ ( ”3 ( 名，忍) 表示由【4 】可知= 知1 j 2