（基础数学专业论文）低维李超代数分类.pdf

学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导炻的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：够啡日期：鲨! ! ：至多 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内客编入有关数据库进 行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定 学位论文作者签名： 驯 日期：2 q “。6 怠 导师 日期：、6 智 摘要 本文介绍了一种得到低维李超代数分类的方法，并用这种方法对维数不超过四的李超代 数进行了分类 关键词：李超代数，分类，低维 3 a b s t r a c t i t h i sp a p e rw ed e s c r i b e8s i m p l em e t h o df o r o b t b i n i n g8c i a 部i 丘c a t i o no fs m a l l d i m 曲菌o n ms 0 1 v a b l el i es u p e r a l g e b r 硒u s i n gt h i sm e 七h o d ，w eo b t a i nt h ec 1 8 s s m c a t i o n o ft h el i es u p e r a 岵e b r 8 sw i t hd i m e n b 王o n om o r et h 8 丑f o u r k e yw o r d ：l i es u p e r 8 l g e b r a s ；c 】a 鹋访c b t i o n ；l o wd i m e n s i o n 1 引言 李超代数的研究起源于2 0 世纪7 0 年代，由于它在物理学中的重要作用及与李代数的 密切关系，发展非常迅速，李代数、李超代数的分类及表示理论已经有了很大的发展尤 其在分类方面，有限维复半单李代数的分类、实半单李代数的分类已经完全解决( 参见 1 】， 1 0 】) ，1 9 7 0 年k 8 c 对李超代数作了全面详尽的论述，并给出了特征零代数闭域上有限维 单李超代数的分类定理( 参见【3 ) 在低维李代数分类方面，m u b a r 日k z j a n o v 于1 9 6 3 年给出 了实数域上6 维可解李代数的分类( 参见【6 】， 7 1 ) ，1 9 9 0 年j p 8 t e r a 和h z a e n h b u 8 给出 了完备域上4 维可解李代数的分类( 参见【2 】) ，2 0 0 5 年w _ a d eg r f 给出任意域上维数不超 过4 的可解李代数的分类( 参见【5 ) 本文将对所有维数不超过4 的李超代数进行分类， 首先我们称一个李超代数是可分解的，如果该李超代数可以分解为两个非零理想的直 和由于李超代数的岛部分为李代数，所以首先给出三维以内的李代数的分类，再用待定系 数法设定在三i 上的作用，通过验证条件来给出所有可能的情况，最后将所有不可分解 的李超数进行分类若工= 岛0 工i 为李超代数，由定义容易知道我们需验证以下三个条件 成立： ( i ) 缸，驼，驺) + 抛，( 驰，f 1 ) + ( 蜘，扫1 ，2 ) ) = o ， ( ) ( 1 ，( y 1 ，位) ) + ( y 1 ，( 驰，1 ) ) 一( 2 ，1 ，y 1 ) ) = o ， ( ) 扫l ，扛l ，z 2 ) ) + 扛1 ，( z 2 ，掣1 ) ) + ( t 2 ，忙1 ，v 1 ) ) = o ，q l o ，矾l i 我们分别记条件( i ) 为( 1 ，l ，1 ) ，条件( ) 为( 0 ，l ，1 ) ，条件( ) 为( o o ，1 ) 此外在本论文中 我们假设所讨论的李超代数均定义在特征为零的代数闭域上 2 预备知识 定义2 ，1 设l = l 0 0 l i 是域f 上的z 2 一阶化超代数，我们称为一个李超代数，若其乘 法( ，) 满足： ( a ，b ) = 一( 一1 ) “p ( b ，a ) ， ( 一1 ) 佃( a ，( b ，g ) ) + ( 一1 ) 。p ，( g ，a ) ) + ( 一1 ) p 7 ( g ，( 且，b ) ) = o ， 若对任意的a 瓦，b ，g “；d ，反7 z 2 显然如果工= 如。西是一个李超代数，那么岛是一个李代数，而工i 可以看作如- 模 以下我们说岛中的元素在如上的作用，均是指。以映射a 如k ：研白：y 一( z ，) 作用在工i 上反之对于一个李代数以及一个岛一模工i ，若存在一个双线性映射 p ：研工i + 工6 满足： 【q ，p ( 阢矿) 】= p ( q ( u ) ，y ) + p ( u q ( y ) ) ，q 岛，以y l i ， p ( 仉y ) ( i 矿) + p ( v i 矿) ( 矿) + p ( 彬u ) ( y ) = o ，nv 矿l i 我 f 】可以在岛e 蟊定义( ，： ( 口，r ) = q ，r 】， 0 ，r 岛， ( q ，矿) = 一( 以q ) = q ( 矿) ，q 岛，矿l i ， 矾y ) = p ( y ) ，阢y 工i 则工= 岛o l i 关于乘法运算( ，) 构成一个李超代数 定理2 1 【8 】( 李定理) 设( a y ) 是域f 上的有限维可解李代数三的有限维表示，则在y 中存在一组基口l ，”2 ，使得对任一的z l ，p ( z ) 在该基下的矩阵为上三角矩阵 在以下论述中，由于我们所要讨论的李超代数的工6 部分都是可解的李代数，而三i 又 可以看作岛- 模，符台该定理的条件，所以我们总假设l i 中存在一组基使得l o 中的所有 元素在i 上的作用所对应的矩阵可以同时上三角化，班简化我们的计算 定理2 2 9 】( l e v i 分解) 对于一个非可解的李代数二，设r 是l 的根基，则存在工的半单 子代数s 使得工= s 阜r ，这里工= s 阜r 表示空间的直和 定理2 3 1 4 设l = 岛。岛为域f 上的李超代数，l 是可解的当且仅当岛是可解的。 6 定理2 4 以下为所有的维数不超过3 的李代数分类： g ：交换李代数，9 5 ：交换李代数，g i ：k 1 ，z 2 】= q g j ：交换李代数， g l ：陋3 ，茁1 】= l ，【粕，z 2 = z 2 ，口；：【z 3 ，。l 】= z 2 ， 珊，茹2 = a 现+ 卫2 ， g ：【z 3 ，z 1 】= 现，陋3 ，j = o z l ，g ；= 口；o o l ，9 31 15 f ( 2 ， 其中躬表示维数为i 的第j 类李代数以下讨论中我们还将延用此种记号 证明：由于维数最小的半单李代数为3 维的，且同构于g l ( 2 ，f ) ，再由定理2 2 我们知道2 维 的李代数一定可解，3 维的李代数非半单即可解，而文献 1 】中指出所有维数不超过3 的不 分可解李代数一定同构于g i ，g i ，g ；，g ，g ；，日；，醋中之一，从而定理成立 口 引理2 1 设上= 岛ol i 是域f 上的李超代数，d i m 岛= 1 ，d i m 白= n ( n 1 ) ， 若( 工i ，如) o ，则有( ，工i ) = o 且此时存在正整数r n 及l 中的一组基 z ，辨，- ，钋，。i 忽，- t ，一，其中善岛，鲍，钰二l 使得： ( 雏，玑) = 霉，i = 1 ，2 ，一，r 而基中的其它元素的李括号积等于o ， 证明：设z 为岛的基，由于李括号积诱导了对称取线性映射：三i 工i 三d ：( 玑z ) 一 ( y ，：) 又由李括号积的性质可知存在血上的对称双线性函数，：工i l i f 使得( y ，z ) = ，( 玑；) z ，因为( 岛，l i ) o 所以可设r a n k ，= r o ，则存在皿的基 m ，辨，z 1 ，一，( 若r = n 则取l l 的基”l ，鲰) 满足： ，( 虮，蜥) = 如， ，j = 1 ，- 一，n ，( 骗，) = o ， = 1 ，r ，j = 1 ，一，n r ， ，( ，) = o ， i ，j = 1 ，一，礼一n 从而( 骗，蜥) = 妨z ， 轨，勺) = o ，( 嗣，) = o ，又由于( ( f 1 ，1 ) y 1 ) + ( ( 吼，v 1 ) 1 ) + ( y l ，9 1 ) 1 ) = o 即3 ( ( g l ，1 ) ”1 ) = o 故( 渤，1 ) y 1 ) = o 或( z ，n ) = o 对= 2 ，r 由( ( ”1 ，v 1 ) ，蜥) + ( 轻l ，珊) ，1 ) + ( 筠，y l ，乳) = o ，我们可以锝到扛，珊) = o 对j = 1 ，n r 由 ( 0 l ，y 1 ) ，勺) + ( ( n ，勺) ，玑) + ( ( ，v 1 ) ，9 1 ) = o ，我们可以得到( ，巧) = o ，于是伍d ，l i ) = 0 注：事实上当r = n ，f = c 时，该定理中的李超代数为h e i s e n b e r g 李超代数见【3 】 口 3 维数不超过3 的李超代数的讨论 设l = b 0 岛为域f 李超代数，这一节我们将对d i m l 3 的所有可能情况进行分 类讨论但对明显的可以分解的李超数不再进行额外说明另外我们所得到的李超代数类型 中含有参数的一般用屉岛表示，考虑到李超代数的分解性，我们一般设这些参数不为o 1d i m l = 1 该情况下l 是交挟的李超代数，可以分为两种情况：上= 工o 或工= l i 2d i m 工= 2 此时我们仅需要讨论d i m 岛= d i m l i = 1 的情况，设岛有生成元z ，l i 有生成元， 再设扛，圹) = 。玑( 弘f ) = k ，由于条件( o ，1 ，1 ) ，我们可阻得到2 曲= o 从该等式出发我们 可以解得以下三种李超代数： 工 ：( 工，工 = o ； l ；：( z ) = o ，扣，可 = 掣，( 玑可) = o ； 鼋：( z ，z ) = o ，( = o ，( v ，v = z 3d i m l = 3 a d i m 岛= l ，d l m 白= 2 我们设岛的生成元为z ，工i 的生成元为掣1 ，搬且满足关系： 扛，y 1 ) = 0 1 1 掣l ，( z ，蜥) = 8 2 l 可l + 8 2 2 珊 ( 掣1 ，可1 ) = 6 1 l z 扫i ，们 = 6 1 2 z ( ，抛) = 6 船z 由引理2 1 我们知道上述等式组同时成立当且仅当( 1 1 ，毗l ，口2 2 ) 和 6 1 1 ，6 1 2 ，幻2 ) 中 至少有一组全为0 而当扣n ，8 2l ，。2 2 ， 6 1 1 ，b 1 2 ，b 2 ) 全部为。时，该李超代数为交换的 可 ；上分解，我们就不再写出，当 。1 1 ，。2 1 0 2 2 ) 全部为。时，我们可以看出该李超代数类型由 l o 上的双线性函数决定，由此我们可以拽出以下的两种李超代数： 塌：扛，工】) = o ，( ，l ，1 ) = ，渤，驰) = ( y 1 珈) = o 工；：( ，囱) = o ，( 掣l ，掣l = ( 暑f 2 搬) = z ，蚍，掣2 ) = o 上；：( z ，岛) = o ，( 掣l ，掣l = ( 暑f 2 北) = z ，扫1 ，f 2 ) = o 当p 1 1 ，6 1 2 ，6 2 2 ) 全部为。时，l 的类型取决于。在血上的作用，工i 可以看作一个2 维向量空问，而在l i 上作用所对应矩阵的相似类的代表元有： ( m ( 褂( o 考虑到可分解性我们不妨设( 1 ) ，( 2 ) 中o o ，由此出发再调整岛l i 的基，我们可以得到 以下的李超代数： 工i ：( 。，1 ) = 玑，( z ，) = 七3 憎，( l i ，白= o l 4 ：扣，驵) = 姐，扛，暑1 2 ) = ，1 + ，( 工i ，工i ) = o l i ：( z ，”1 ) = o ，z ，抛) = y 1 ，( 皿，工i ) = o b 当d i m = 2 ，d i m 白= 1 时：可设岛的生成元为。l ，现，皿的生成元为弘且满足 关系式：( z 1 ，掣) = 0 1 掣，( 2 ，y ) = 0 2 玑( 掣，掣) = 6 1 窭l + 6 2 现 首先当( l o ，岛) = o 时，验证( o ，1 ，1 ) 我们可以得到条件：8 1 b 1 = o ，。1 b 2 = o ，0 2 b 1 = o ， d 2 6 2 = o 可以看出 a l ，口2 ) ， 6 1 ，6 2 ) 中至少有一组全为o 由此我们可以得到的李超代数 的类型为： 工2 ：( 茁l ，z 2 ) = o ，( 可，掣) = o ，( 茁1 ，v ) = 掣，( 茗2 ，y ) = o 工j ：( z l ，z 2 ) = o ，( v ，掣) = 茁l ，( z 1 ，v ) = o ，( z 2 ，y ) = o 其次当岛非交换时，可设( z 1 ，z 2 ) = 1 通过验证( o ，1 ，i ) ，( o ，o ，1 ) ，( 1 ，1 ，1 ) 可以得到 条件为：口1 = o ，6 2 = o ，2 a 2 6 1 + 6 1 = o ，卿b = o 由此我们还可以解得6 l = o 或d 2 = 一 ， 由此我们可以知道这些李超代数类型是： l l ：( 茹l ，z 2 = $ l ，( y ，v ) = o ，z 1 ，y ) = o ，( 2 ，掣) = o l 2 ：( 善l ，z 2 ) = 筇l ，( 掣，掣) = o ，( z 1 ，) = o ，( 霉2 ，9 ) = 七， 工尹：忙1 ，z 2 ) = z 1 ，( f ，计= z l ，( z 1 ，f = o ，( z 2 ，y ) = 一妻 到现在为止，我们找到了所有3 维以内的李超代数类型，从以上过程可以看出，我们运 用的方法主要是验证条件解方程组。然后再根据解的情况调整基以使得所到的李超代数的情 况尽置简化，这样的做法使得我们所得到的李超类型做到了不漏，但同时也带来了麻烦，也 9 就是其中有些是可分解的，或者通过调整基是同构的情况，对于这个问题将在最后一节中解 决 4 维数为4 的李超代数的讨论 1 d i m 三6 = l ，d i m l i = 3 ： 设岛的生成元为z ，工i 的生成元为1 ，2 ，3 ，以及关系式为： 。，以= 8 1 1 影1 + 口1 2 抛+ 8 1 3 轴，弘l ，鲰) = h i z ，f h 驰) = 6 1 2 嚣， ( 为抛) = n 2 1 掣1 + 眈2 驰+ 口2 3 拈，( 抛，驰) = k 啦，( 掣2 ，驰) = 6 2 3 z ， 扛，拈) = q 3 l 1 + 0 3 2 + 口3 3 掣3 ，( 纠3 ，驰) = b 3 3 z ，( 可1 ，蜘) = 6 1 3 z 1 0 同样我们可以看出这是引理2 1 所讨论的李超代数类型，从而可以得到： o 玎) ， ) 中至少 有一组数全为0 ： 若 ) 全为o ，这些李超代数的类型被z 在l i 上的作用所决定，而。在l i 上的作 用最终决定于一个三阶矩阵的的若当典范型，我们知道三阶矩阵的若当典范型有以下三种： ：0 对于这三种矩阵所对应的李超代数我们分别记为工j ( n ，b ，c ) ，瑶( 口，c ) ，三i ( 8 ) ，可以看出来对 于这三种类型李超代数中的每一种，如果其对应的矩阵乘上一个d i a g 女， 类型的矩 阵，其对应的李超代数和原来的是同构，由于该种李超代数的结构很明显，同时也为了方便 我们分类，我们将不再对该类型李超代数讨论 其次若 啦f ) 全为o ，则李超代数可按照l i 上的对称双线性型来进行分类由引理2 1 我们知道这些李超代数一定同构于以下三种李超代数中的一种： 日：( z ，三o ) = o ，扫1 ，”1 ) = ( 驰，掘) = ( 蛐，拈) = z 蜀：( z ，岛) = o ，l ，f 1 ) = ( 轭，轻) = 蜀( 始，船) = o ， 嗣：( z ，岛) = o ，( 驰，1 ) = 。，( 妇，抛) = ( 驰，船) = o 2 d i m 工6 = 2 ，d i m 三i = 2 我们首先设l o 的生成元为1 ，z 2 ，l i 的生成元为g l ，2 且满足 ( z 1 ，1 ) = 口 l m ， ( z 1 ，抛) = 畦1 y 1 + 畦2 班 z 2 ，1 ) = 霹l 啦， ( z 2 ，搬) = 碹1 9 i + 鼋2 啦 ( 可l ，可1 ) = b l z l + 晴1 2 臼1 ，啦) = b 1 2 z l + 磅2 茁2 现，f 2 ) = 畦2 z l + 磋2 。2 a 若是交换的：此时由于要满足条件( o ，1 ，1 ) ，计算可以得到下列等式 d i l 6 i l = o ， l 晴1 = o ， n 1 磕1 = o ， n i l 6 i 1 = o ， n ；1 b 1 2 + 口；2 醍2 = o 口；1 6 i 2 + o 毛磅2 = o 碹l 醒2 + d 5 2 磅2 = o ， 谴1 6 + 2 如= o ， n 1 6 i 2 + 1 6 1 + n 乞6 2 = o ， 磅1 6 2 2 + 口；1 晴l + n ；2 晴2 = o ， o 1 b i 2 + n ；l b l l + 畦2 b 1 2 = o ， o ；1 6 ；2 + n 5 l b 1 + i 2 6 2 2 = o 而验证条件( 1 ，1 ，1 ) 我们可以得到关系式为 n 5 l 碹2 + 1 6 毛= o ， n j 2 畦2 + 霹2 磋2 = o ， o ；2 b 2 + 如晴2 = o ， n k 6 1 1 + 2 醒。= o ， 口；l 醍2 + 1 6 1 2 + 2 0 5 1 6 ；2 + 2 1 6 ；2 = o ， 口j l 醍1 + 畦l 嚏1 + 2 正l b l 2 + 2 磅1 磅2 = o 进一步从条件( 0 ，o ，1 ) 我们可以得到 畦1 n 1 一口1 1 口i 1 + o i l d k o l 口i 2 = o 这些关系看似很复杂，但是不难发现对于z 1 或2 的作用所对应的矩阵，如果有 n l ，畦2 o 且n i l + o i 2 o ，或者1 ，口免o 且1 + 嚷o ，则可以推得所有的砖= o ， 由此我们作以下的分类进行讨论： i 当z 1 和。2 中至少有一个作用在工i 是非退化时： 我们不妨设。1 作用在工i 上是非退化的，此时有：n i l o ，口；2 o 若此时还有 o i l + 畦2 o ，则我们由条件可以得到咯= o ，而呜只需要满足条件： n 1 ( 口i 1 一口1 2 ) + o ；1 ( 畦2 一o i l ) = o ， ( 十) 对于( ) 式中，如果i 1 n i 2 ，则可以知z l 作用在三i 上有两个不同的特征根，则$ l 一定可以对角化，此时有畦1 = o 则可推知o i l = o ，即2 也可以对角化，由于1 和z 2 作 用在工i 是交换的，从而可以调整岛的基使z l 和z 2 同时可以对角化事实上这种情况要 比想像简单的多，例如若此时有碹l o ，口乞o ，我们得到的李超代数的运算关系为： 扛1 ，”1 ) = o 1 ，( z 1 ，2 ) = b 抛，扛2 ，机) = q l ，如2 ，啦) = d 班o ，6 ，c ，d 全不为。 由于此时( $ 1 ，2 ) ：o ，( 工i ，l i ) = o ，从而可以调整基为：孟1 = ：z 1 ，牙2 = ：z 2 一：z 1 则我们 得到的李超代数的运算关系为： ( 牙- ，”- ) = ”，( z z ，抛) = ：驰，( 。：，v ，) = o ，( z ：，啦) = ( ：一：) 抛 若：一：= o ，则可知该李超代数类型是可以分解的，所以不妨设；一：o 进步调整基： 士1 = 孟1 一i i 2 2 ，2 2 = 矗勘，最后得到的运算关系为： ( 聋1 ，可1 ) = 1 ，( 圣l ，! ，2 ) = o ，( 岔2 ，y i ) = o ，( 2 ，g 2 ) = y 2 而这种情况下1 ，2 作用都是退化的，我们在后面的情况中将讨论 对于( ) 式中，如果o i l = 5 2 ，则我们条件转化为n ；1 ( i 1 一碹2 ) = o ，在这种情况下如 果n ；1 o ，运用上述方法我们最后可以得到的李超代数为： l i ：( l ，z 2 ) = o ，( 石1 ，可1 ) = 剪1 ，z 1 ，f 2 ) = 2 ，( z 2 ，可1 ) = o ，( z 2 ，掣2 ) = 掣l ，( 工i ，工i ) = o 而如果n 5 l = o ，由于a 1 = a 1 2 我们得到的李超代数和工2 同构，而如果n i l 0 1 2 我们也将 得到和o i l 畦2 同样的结果，事实上由于z 1 ，。2 的地位是相同的，我们也可以想到这一点 最后我们还要考虑的一种情况为：o i l o ，n 5 2 o ，但o i l + n ；2 = o 此时z 1 一定可以 对角化，所以不茹设畦l = o 由_ f 要满足( + ) 式，所以我们可以得到：1 = o 即。2 的作用 也可以对角化，另外如果：n + o i l o 就有：6 1 2 = 碹2 = o ，这与前面讨论重复所以仅考 虑：口1 2 + 口 1 = o 此时我们虽然得不到所有的砖= o ，但可以把我们的等式化简为： n i 2 6 2 + n 乞6 乞= o ， 8 1 6 ；2 + 口 1 6 毳= o 通过调整基我们可以使得o i l = l ，畦2 = 一1 ，n 1 1 = l ，通2 = 一1 ，所以就有b 2 = 一砖2 ，而其 它的咯= o ，我们再进一步调整基可以得到如下的李超代数： 工i ：( 。1 ，茹2 ) = o ，扛l ，可1 ) = 可1 ，缸1 ，暑2 ) = 一l 2 ，扛2 ，”1 ) = 却，抛) = o ，( 剪1 ) = z 2 当z l ，z 2 的作用都退化时：假如口 1 ，d i l 中至少有一个不为o ，不妨假设：口 1 o ， 此时必有口j 2 = o ，而由于o l + 8 ；2 o ，所以我们仍可以得到6 1 = 砰l = 6 2 = 6 毳= o ， 并且此时我们的条件可化简为：o i ( o 1 一遽2 ) 一司l n 1 = o ，0 1 2 醍2 = o ，o i 2 碹2 = o ，o i l 6 5 2 + 碚1 屹= o ，口5 1 6 ；2 + 口；1 嚏2 = o 当磅2 o ，n ；1 = o 时，由于要满足o ；1 ( n ；1 一0 1 2 ) 一碹1 n i l = o ，我们可以得到李超代 数的运算关系为：仕l ，玑) = g l ，忙l ，妇) = o 玑，( z 2 ，9 1 ) = o ，扛2 ，抛) = 一口f 1 ，而如果再令 口1 = 口1 ，啦= 抛一虮，则可以得到李超代数： 三2 ：( 茁l ，2 ) = o ，( 。1 ，掣1 ) = 掣l ，( z l ，s f 2 ) = o ，( z 2 ，y 1 ) = o ，( 茁2 ，掣2 ) = s 2 ，( 工i ，工i ) = = o 当n 1 o ，n ；2 = o 时，我们可以得到条件：o j l n i l = i 1 口i 1 ，口i 1 醴2 + 砖1 醒2 = o ，o i l 醍2 + 砖1 6 1 2 = o ，而同样通过调整基最终可将李超代数化简为： l j ：( 1 ，$ 2 ) = o ，和1 ，掣1 ) = 可1 ，( z 1 ，! 2 ) = o ，( 2 ，”1 ) = o ，( z 2 ，掣2 ) = o ，( 口2 ，3 彪) = z 2 当口i 1 = o ，口；2 = o 时，我们可以将条件化简为：口 1 n 1 1 = o ，口 1 醍2 = o ，n 5 1 6 ；2 + 口；l 醒2 = o ，即得：胡1 = o ，畦2 = o 最终我们化简可以得到和磁同构的的李超代数 另一方面：若n 1 ，口i 1 全为o ，我们有条件：n 5 l 而= n l l 口5 2 当o ；l ，n ；2 ，畦1 ，畦2 全不为。时，我们可调整使得：口5 1 = 1 ，n ；2 = 1 ，砖l = 1 ，口；2 = 1 ， 即：扛1 ，p 1 ) = o ，( 石1 ，妇) = 掣1 + 抛，( 勉，可1 ) = 0 ，( z 2 ，9 2 ) = ”1 + 抛 1 4 进一步我如果再令沈= 2 + 1 ，i 2 = z 2 一。1 ，则我们可以将关系简化为：( z 1 ，9 1 ) = o ，。1 ，面) = 仍，( 罾2 ，y 1 ) = 侮2 ，抛) = o ，而此时必有6 l = 6 1 2 = 6 2 = 玛2 = 缱2 = o ，从而我 们得到李超代数： l 2 ：( 卫1 ，z 2 ) = o ，( 。1 ，可1 ) = o ，( z 1 ，纠2 ) ：s 性，( z 2 ，工i ) = o ，( ”1 ，掣1 ) = 石2 当畦1 ，0 5 2 ，呜l ，口乞有元素为o ，但又非全为。时，通过分析就可以知道，所有的情况都 可以简化为：谚1 = ；2 = 0 5 2 = o ，n ! l o 和n j l = 碹2 = 口1 1 = o ，o ；2 o 对于后者，它决 定的李超代数和工2 是一样的，对于前者我们可以得到条件：畦2 = b 2 = 暗2 = b l = o ，该情 况决定的李超代数为： 工2 ：嚣l ，z 2 ) = o ，( z 1 ，可1 ) = o ，( 。1 ，3 乜) = v l ，( a 2 ，工i ) = o ，( 掣1 ，1 ) = z 2 ，( 材2 ，s 2 ) = 。2 当如1 ，畦2 ，o l l ，0 1 2 全为。时，该李超结构取决于屹，为了方便讨论我们不妨先假设： 考虑m 出( i ；) = r 的大小，首先我们知道r s 。当r = ，时，我们总可以调整基使 伽，可1 ) = z l ，( 1 ，2 ) = h z l ，( 靶，抛) = 而2 z l ， 如果再调整基斑= 讥，耽= 搬一h 掣1 ，幻= 了南沈，则我们可以将关系式简化为 ( 血，吼) = z l ，( 口- ，雪2 ) = o ，( 如，彘) = z 1 再令i = 吼，如= 如一吼则关系又可以进一步简化为： ( 口1 ，口1 ) = $ l ，侮1 ，彘) = o ，如，既) = z 1 事实上对r = 1 的情况，我均可以通过这个方法调整为李超代数： 工 o ：( 三d ，工6 ) = o ，( 三6 ，l i ) = o ，( 掣l ，可1 ) = z l ，( ”1 ，2 ) = o ，( 驰，可2 ) = o 工j 1 ：( 工6 ，l 6 ) = o ，( 三6 ，l i ) = o ，( 可1 ，可1 ) = ( s j 2 ，s 控) = 七l ，( ：n ，啦) = o 当r = 。时，我们总可调整基使得r 诎f ： i 2 = e 。1 + ，。2 ，再调整基我们可以得到： ；) = z ，这时候我们可直接令孟，= 。z - + 。匏 l j 2 ：( 工6 ，工6 ) = o ，( 工6 ，工i ) = o ，( 掣1 ，玑) = 卫h 妇l ，驰) = o ，( 靶，抛) = z 2 l ：3 ：( 三o ，工6 ) = o ，( 岛，工i ) = o ，( y 1 ，1 ) = z l ，( 1 ，可2 ) = z 1 + 南z 2 ，( 抛，掣2 ) = z 2 b 当三6 为非交换的情况，我们可设( z 1 ，z 2 ) = z 1 由于要满足条件( 0 ，1 ，1 ) ，计算可以得 到以下等式： 口i 1 6 i 1 + 1 堵l = o 畦1 畦2 + 谴1 吃= o 如如+ 如睦= o 畦2 6 2 + 如砖2 = o 以2 6 。+ 谴2 醒l = o 商6 2 2 + 如2 睦= o 口 1 6 l = o n i l 醍2 + 口i 1 磋2 + 2 口；1 b i 2 + 2 0 ；1 6 2 = o n ；1 b i l + o ；l 磕1 + 2 口i 1 6 i 2 + 2 n l b ；2 = o 2 司1 6 i 2 + 2 8 ；2 碹2 一吃= o ， 2 口i 1 6 i l + 6 1 = o ， 2 口i 1 6 i 1 一晴1 = o ， 口 1 晴1 = o ， 进一步由于要满足条件( 0 ，0 ，1 ) 我们可以得到： 口 1 6 2 + 以1 6 i l + 口；2 6 i 2 一吼= o ，o 1 磕2 + d i 2 砖l + n 5 2 碹2 = o ， 1 6 2 + 1 6 i 1 + 8 ；2 6 i 2 + 碚2 = o ，砰1 6 2 2 + 1 6 l + 口；2 6 ；2 = o ， 2 0 1 1 6 i 2 + 2 8 1 2 畦2 + 醍2 = o ，；1 砖2 + 谴2 嘞= o 再验证条件( 1 ，1 ，1 ) 得到： ( 2 一n i l + 1 ) 畦l = o ，口 1 = o ，畦2 = o 我们从关系式：( 8 1 2 一口氧+ 1 ) 8 1 1 = o 出发进行讨论，所以我们可以分以下两类 t 0 5 1 = o ： 我们可以得到：碹2 = o ，6 乞= o ，磕= o 从而我们可以将条件简化为 ( 2 a l + 1 ) 6 ；1 = o ， 2 1 6 2 + ( 2 口；2 + 1 ) 醴2 = o ( d 。+ 如) 6 ；2 + 碹1 b i l = o 1 6 a 若z 2 作用在工j 上非退化，则有1 o ，；2 o ，我们讨论下列情况： ( 1 ) 曰l 一 ，谴2 一；且o ；1 + 唬一1 ，我们得到： 工j 4 ：( z l ，z 2 ) = z l ，( z 1 ，工i ) ：= o ，( 茹2 ，v 1 ) = 七l 可l ，( 茁2 ，! ，2 ) = 也s 2 ，( 工i ，工i ) = o 工：5 ：( l ，茹2 ) = z l ，( z 1 ，三i ) = = o ，( 。2 ，可1 ) = 七可l ，( 她，3 ，2 ) = l + 七! 2 ，( 工i ，三i ) = o 其中l ，如，女不为一扣+ 6 一1 ( 2 ) ；1 一 ，如一 且n ；l + n ；2 = 一1 ，我们知道z 2 必可以对角化所以不妨设 碹1 = o ，可以得到： 工主6 ：扛l ，z 2 ) = z l ，扛1 ，三i ) = o ，( z 2 ，可1 ) = h 1 ，( 2 ，抛) = 一( 1 + 七) 抛，掣1 ，可2 ) = 茹1 ， ( ”l ，y 1 ) = 驰，抛) = o 其中k 一妻 ( 3 ) o i l 一；，o 乞= 一；：现必可以对角化所以不妨设a ；1 = o ： 日7 ：( z 1 ，z 2 ) = 嚣l ，嚣l ，工j ) = o ，( $ 2 ，饥) = 七1 ，2 ，掣2 ) = 一；抛， ( 船，搬) = z l ，( 1 ，9 1 ) = ( 玑，9 2 ) = o ( 4 ) 。 1 = 一i ，n 乞一：她必可以对角化，所以不妨设商；o ： 工j 8 ：( 嚣1 ，石2 ) = z l ，( z l ，l i ) = o ，( z 2 ，可1 ) = 一妻l ，现，啦) = 七班， ( 口1 ，1 ) = z 1 ，( 驰，啦) = ( 班，驰) = 0 ， 该情况和( 3 ) 同构 b 若z 2 作用在工i 上退化，我们可以作以下考虑： ( 1 ) 若口 1 o ，口；2 = o ： 若1 = 一；，条件化简为： b i 2 十口；1 6 1 = o ，2 口1 1 6 2 + 6 2 = o ，我们得到z 1 ，。2 在 三f 上的作用关系为：( z l ，二i ) = o ，现，g i ) = 一；口1 ，( 现，啦) = 8 轨此时调整基：口1 = g l ，豇= 妇一2 叫l 则可将参数口化为o ，所以不妨设碹1 = o 由此我们得到李超代数： 工i 9 ：( 钆z 2 ) = 轧( 巩三i ) = o ，( y 1 ) = 一；( 啦) = o ， ( 饥，1 ) = z l ，( 1 ，9 2 ) = o ，( ! ，2 ，蚴) = 0 若n i l = 一1 ，条件化简为：2 鹂1 6 2 + 6 k = o ，同上我们仍可将碹l 化为o ，从而我们 可以得到李超代数： l ：( z 1 ，z 2 ) = 1 ，缸1 ，h ) = o ，( z 2 ，9 1 ) = 一1 ，( 2 ，伽) = o ， ( y 1 ，v 1 ) = 0 ，( 抛，抛) = o ，( 讥，口2 ) = z l ， 若口；l 一l ，一；，我们得到：6 i l = 6 i 2 = 醍2 = o 从而有： 工i 1 ：茹1 ，茹2 ) = 盘1 ，( l ，工i ) = o ，( z 2 ，可1 ) = 七掣l ，( z 2 ，掣2 ) = o ，( 工i ，工i ) = o ( 2 ) 若o 1 = o ，口；2 o ，条件可以化为： ( 口；2 + 1 ) 6 i 2 = o ，2 0 1 1 6 2 + ( 2 0 乞+ 1 ) 醍2 = o 当畦2 = 一时我们有扛1 ，z 2 ) = 。1 ，扛1 ，工i = o ，z 2 ，f 1 ) = o ，勘，抛) = 口y 1 一 纰( 9 1 ，v 1 ) = 白l ，妇) = o ，( 啦，啦) = z 1 ，此时我们作基的调整疋= 2 2 n 1 ，就可以得到 李超代数： 工矛：( z 1 ，z 2 ) = $ 1 ，扛1 ，l i ) = o ，z 2 ，9 1 ) = o ，( z 2 ，轨) = 一；抛 ( g l ，”1 ) = ( 1 ，抛) = 0 ，抛，轨) = z 1 若如= 一l ，我们同样运用上述调整基的方法得到： 工茅：( 嚣l ，茹2 ) = $ l ，z l ，工i ) = o ，( 2 2 ，可1 ) = o ，( 茁2 ，驰) = 一驰， ( 们，i ) = o ，( 1 ，抛) = z 1 ，( 驰，啦) = o 1 5 若如一 ，一l 我们有： 工矛：茁1 ，鲍) = 嚣1 ，( z l ，l j ) = o ，( 茁2 ，可1 ) = o ，( 。2 ，可2 ) = n 3 垃，( 三i ，工i ) = o 若如1 o ，由上面讨论我们知道必有：磅2 一d ；l + 1 = o a 若2 是非退化的，则可知钝一定是可以对角化的，所以不妨设口1 = o ，进一步我 们可推出：咯全为o ，从而我们有： 工擎：扛1 ，可1 ) = o ，( z 1 ，挑) = 1 ，( $ 2 ，1 ) = ( 1 + 七) 掣1 ，( z 2 ，抛) = 七2 ，( 工i ，工i ) = o b 若z 2 是退化的： ( 1 ) 1 = 1 ，a 乞= o ：我们容易得到6 各全为o ，则有： 上碧：扛l ，驰) = o ，扣1 ，抛) = l ，扛2 ，玑) = 玑，( z 2 ，抛) = o ，( l i ，l i ) = o ( 2 ) o ；1 = o ，口免= 一1 ：我们可以得到口1 1 b i 2 = o ，于是有： 三弘：和l ，虮) = o ，徊1 ，抛) = 掣l ，扛2 ，”1 ) = o ，( 毋2 ，靶) = 掣l 一驷，( 工i ，工i ) = o 髓8 ：扛】，纨) = o ，扛1 ，啦) = 乳，2 ，啦) = o ，扛2 ，如) = 一妇，妇l ，f 1 ) = o ， ( 妇，挑) = o ，( ”l ，抛) = k z l 3 d i m = 3 ，d i m 工i = 1 ： 从定理2 5 中我们已经知道所有的3 维李代数，我们设如下运算关系式： 扛l ，掣) = “1 可，z 2 ，鲈) = n 2 ，( z 3 ，) = 啦v ，扫，可) = b l z l + 6 2 。2 + b 。3 - “若l 6 = g j ，可以得到条件：啦岵= o ，e ，j = 1 ，2 ，3 容易知道 口h 0 2 ，3 ) ，d 1 ，6 2 ，6 3 ) 中至 少有一组全为o ，从而我们得到以下两种非平凡的李超代数： 工擎：( 三m l 6 ) = o ，( 工i ，l i ) = o ，扛1 ，) = 玑( z 2 ，掣) = o ，( $ 1 ，掣) = o 砰：( 工6 ，工6 ) = o ，( 工6 ，l i ) = o ，妇，v ) = z 1 b 若6 = g i ，我们可以得到条件： n l = o ，口2 = o ，b = o ，( 2 。3 一1 ) 6 1 = 0 ，( 2 。3 1 ) 6 2 = 0 从而我们有： 1 9 i 0 3 = 时，我们可以得到运算关系式：( z 3 ，) = ，口，) = 1 $ 1 + b z 2 ，由于g i 的结构，我们调整基可得： 三萱1 ：工。= g i ，和l ，f ) = o ，( z 2 ，) = o ，( z 3 ，9 ) = ：p ，( 玑9 ) = o 工i 2 ：l o = g i ，( z 1 ，g ) = o ，( z 2 ，) = o ，( z 3 ，可) = ：执白，9 ) = z 1 ；时： 明3 ：岛= g ；，( 。l ，们= o ，扛2 ，) = o ，( ，y ) = k 玑( 玑) = o c 若= g i ，我们可以得到条件 n l n = o ， 6 3 = 0 ， 0 2 = 0 ， 2 0 l b l = o ，2 口3 6 2 一h 一6 2 = o 2 口1 6 3 = o ，2 口1 + 0 3 = o 6 3 0 = 0 ，2 8 3 6 1 一口6 2 = 0 i 当n 0 时，我们可以推得哪= o ，k = 0 ，t = 1 ，2 ，3 ，此时有 三主4 ：工6 = g ；，三6 ，可) = o ，可，掣) = o 当口= 0 时，条件可以化简为： 2 n 1 6 1 = o ，2 0 1 6 2 + 3 = o ，2 n 3 6 i = 0 ，2 0 3 6 2 6 1 1 二k = 0 a 若此时6 l o ，我们可以得到n 1 = 如= 幻= 6 3 = 0 ，6 1 = k 即： 2 5 ：如= 9 2 ，( 工6 ，工i ) = o ，( 玑y ) = 七( 茁l + 。2 ) b 若此时6 1 = o ，则条件可以化为：2 n 1 6 2 + 0 3 = 0 ，( 扎3 一1 ) 6 2 = o 从而得到 ( 1 ) 若b = o ： 三i 6 ：三6 = 露，。1 ，g ) = g ，z 2 ，) = o ，。昭，y ) = o ，f ，f ：= o ( 2 ) 若6 2 0 ： 工i 7 ：工6 = g i ，扛- ，) = 一去”，( z 。，) = o ，z s ，y ) = i 玑( 玑) = k 。： d 若= g ；，我们可以得到条件 2 n 1 6 2 = o ， ( 2 口1 + 1 ) 6 3 = 0 ，1 b 1 + 0 3 b = o 2 0 l b l = 0 ， 孙3 6 3 = 0 2 0 3 6 1 一k o = 0 1 20 ， 2 0 3 6 2 6 1 ：o 0 2 = 0 2 0 i 当o o ，我们可以将条件化简为：2 口3 6 1 6 2 0 = o ，2 “3 6 2 6 1 = o ，由此我们可以 得到：h = 撕6 2 ，且6 1 o 时n 3 = 乎 a 6 1 = 0 时： 工耄8 ：三o = g ；，( z 1 ，) = o ，( z 2 ，”) = o ，( 黝，) = 弘( 玑g ) = o b 6 1 0 时： 三2 9 ：岛= 程，钆f = o ，锄，计= 仉( 船，f ) = 雩弘 热f ) = 吼+ 征2 当n = o 时，我们可以将条件化简为：8 1 6 l = o ，d 1