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非本原复反射群 摘要 复反射群作为与实反射群不同的一类反射群，近年来得到了人们越来越多的研 究。而复反射群中的非本原复反射群由于其具备良好的组合性质更是被人们大量 关注近年来，时俭益对非本原复反射群的表出进行了细致的研究( 见【2 6 1 ，【2 7 ， 2 8 】) 。基于时俭益的工作，本文研究了如下几个问题： 1 非本原复反射群g ( m ，p ，n ) 的自同构群a u t ( m p ，n ) 时俭益在非本原复反射群g ( m ，p ，n ) 的所有表出构成的集合上定义了一个同余 关系( 两个表出之间有同余关系当且仅当它们之间存在一个同余映射i 见【2 7 1 ， 2 8 ) 。 本文在非本原复反射群g ( m ，p ，n ) 的所有表出构成的集合上定义了一个强同余关 系( 两个表出之间有强同余关系当且仅当它们之间存在一个强同余映射) ，使得群 g ( m ，p ，n ) 的两个表出之间的强同余映射可以扩充为群g ( m ，p ，r a ) 上的自同构映 射，并且若群g ( m ，p ，n ) 的两个表出之间有强同余关系则它们之间一定有同余关 系，而反之不成立。利用时俭益已给出的关于群g ( m ，p n ) 的两个表出同余的有关 结果，我们能确定群g ( m ，p ，n ) 的所有将反射仍然映到反射的自同构所生成的自同 构群a u t ( m ，p ，n ) 。 2 自同构群a u t ( m ，p ，n ) 的某些性质 在找出了群g ( m ，p ，n ) 的自同构群a u t ( m ，p ，n ) 后，我们继续对自同构群a u t ( m ，p ，n ) 的某些性质进行了研究。这主要包括对自同构群a u t ( m ，nn ) 的阶数，结构，子群， 以及中心的研究。 3 非本原复反射群g ( m ，p ，n ) 的反射子群及子根系 h u g h e s ( 见 1 5 ， 1 6 ) 从复反射群的根图出发，定义了一个扩充c o h e n 图， 并给出了一种算法来求所有具有根图的有限不可约复反射群的子根系。但是，对于 不具有根图的复反射群，如非本原复反射群g ( m ，p ，n ) 1 ，m ) ，这种办法并不适 用设x 是非本原复反射群g ( m ，p ，n ) 的某个反射子群的生成元集，我们定义了一 个与反射集x 相关的反射图r x ( 见1 4 节) 。通过分析反射图1 1 x ，我们能完全确 定由x 生成的反射子群的类型。并且，我们还给出了这个反射子群的一个根系，使 得它是非本原复反射群g ( m ，p m ) 的根系的子根系。本文描述的方法适合于所有非 本原复反射群。 关键词非本原复反射群，表出，同余表出，强同余表出，根系，子根系。 i m p r i m i t i v ec o m p l e x r e f l e c t i o ng r o u p s a b s t r a c t a sac l a s so f f i n i t er e f l e c t i o ng r o u p sa n dd i f f e r e n tf r o mf i n i t er e a lr e f l e c t i o ng r o u p s ， f i n i t ec o m p l e xr e f l e c t i o ng r o u p sa r es t u d i e db ym o r ea n dm o r ep e o p l ei nr e c e n ty e a r s a m o n g f i n i t ec o m p l e xr e f l e c t i o ng r o u p s ，t h ei m p r i m i t i v ec o m p l e xr e f l e c t i o ng r o u p ss e e m t oa t t r a c tm o r ea t t e n t i o no fp e o p l eb e c a u s eo ft h e i rg o o dp r o p e r t i e si nc o m b i n a t o r i c s r e c e n t l y , s h ih a sd o n em u c h w o r ko nt h ep r e s e n t a t i o n so f i m p r i m i t i v ec o m p l e xr e f l e c t i o n g r o u p s ( s e e 【2 6 ， 2 7 】，【2 8 】) b a s e do ns h i sw o r k ，w ec o n t i n u et os t u d yt h ef o l l o w i n g s e v e r a lp r o b l e m s ： 1 a u t o m o r p h i s mg r o u p o f t h ei m p r i m i t i v ec o m p l e xr e f l e c t i o ng r o u pc ( m ，p ，n ) s h id e f i n e dac o n g r u e n c er e l a t i o no nt h es e to f a l lt h ep r e s e n t a t i o n so f t h ei m p r i m i - t i v ec o m p l e xr e f l e c t i o ng r o u pg ( m ，p 、n ) ( t w op r e s e n t a t i o n sa r ec o n g r u e n ti fe n do n l yi f t h e i ri sa c o n g r u e n c em a pb e t w e e nt h e m ) ( s e e 2 7 ， 2 8 ) w ed e f i n eas t r o n g l yc o n g r u e n c e r e l a t i o no nt h es e to fa l lt h ep r e s e n t a t i o n so ft h ei m p r i m i t i v ec o m p l e xr e f l e c t i o ng r o u p g ( m ，p ，n ) ( t w op r e s e n t a t i o n sa r es t r o n g l yc o n g r u e n ti f a n do n l yf f t h e i ri sas t r o n g l y c o n g r u e n e em a pb e t w e e nt h e m ) ，s u c ht h a ta n ys t r o n g l yc o n g r u e n c em a p b e t w e e nt w op r e s e n 。 r a t i o n s o f g ( m ，p ，n ) c a r l b ee x t e n e d t o b ea l l a u t o m o r p h i s m o f t h e g r o u p c ( m ，p ，n ) ，a n d a n yt w op r e s e n t a t i o n so f g ( m ，p ，) w h i c ha r es t r o n g l yc o n g r u e n t a r ed e f i n i t e l yc o n g r u e n t b u tn o tt h ec o n v e r s e b ya p p l y i n gs h i sr e s u l t so nc o n g r u e n tp r e s e n t a t i o n s ，w ec a l ld e s c r i b et h ea u t o m o r p h i s mg r o u pa u t ( m ，p ，n ) o f t h ei m p r i m i t i v ec o m p l e xr e f l e c t i o ng r o u p g ( m ，p ，n ) ，w h i c hc o n s i s t so f a l lt h ea u t o m o r p h i s m se a c ho f w h o ms e n d sa r e f l e c t i o nt oa r e f l e c t i o n 2 s o m ep r o p e r t i e so f t h eg r o u pa u t ( m ，p ，7 ；) a r e rw eh a v ed e t e r m i n e dt h ea u t o m o r p h i s mg r o u pa u t ( m ，p ，n ) o f t h ei m p r i m i t i v e c o m p l e x r e f l e c t i o ng r o u pg ( m ，p ，n ) ，w em a k es o m e m o r es t u d yo fi t sp r o p e r t i e s ，w h i c h c o n t a i n st h er e s e a r c ho f t h eo r d e ro f a u t ( m ，p ，n ) ，t h es t r u c t u r eo f a u t ( m ，p ，r ) ，t h es u b - g r o u p so f a u t ( m ，p ，n ) a n dt h ec e n t e ro f a u t ( m ，p ，n ) 3 t h er e f l e c t i o ns n b g r o u p sa n dt h es u b s y s t e m so ft h er o o ts y s t e mo ft h ei m - p r i m i t i v ec o m p l e xr e f l e c t i o ng r o u pg ( m ，p ，n ) s t a r t i n gf r o mt h er o o tg r a p ho f ac o m p l e xr e f l e c t i o ng r o u p ，h u g h e sd e f i n e da ne x t e n d e dc o h e nd i a g r a m ，a n dg a v ea na l g o r i t h mt oc o m p u t ea l lt h es u b s y s t e m so ft h er o o t s y s t e mo ft h a tg r o u p ( s e e 【1 5 ，【1 6 ) b u tf o rac o m p l e xr e f l e c t i o ng r o u pw i t h o u ta r o o t 华东师范大学博士论文非本原复反射群 g r a p h ，h u g h e s m e t h o d c a n n o t b e u s e d ，s u c h a s t h e g r o u p g ( m ，p ，n ) ( p 1 ，m ) a s s u m e xi sag e n e r a t o rs e to fs o m er e f l e c t i o ns u b g r o u po ft h ei m p r i m i t i v ec o m p l e xr e f l e c t i o n g r o u pg ( m ，p ，n ) ，w ed e f i n ear e f l e c t i o ng r a p ha s s o c i a t e dw i t ht h i ss e t b ya n a l y z i n gt h e r e f l e c t i o ng r a p ha s s o c i a t e dw i t hx ，w ec a l ld e t e r m i n et h et y p eo f t h er e f l e c t i o ns u b g r o u p g e n e r a t e db yx a n dw ea l s og i v ear o o ts y s t e mo f t h i sr e f l e c t i o ns u b g r o u ps u c ht h a t t h er o o ts y s t e mw eg i v ei sas u b s y s t e mo ft h er o o ts y s t e mo ft h ei m p r i m i t i v ec o m p l e x r e f l e c t i o ng r o u pg ( m ，p ，n ) t h em e t h o dd e s c r i b e da b o v ea l et r u ef o ra l lt h ei m p r i m i t i v e c o m p l e xr e f l e c t i o ng r o u p s k e yw o r d s m p r i m i t i v ec o m p l e xr e f l e c t i o ng r o u p ，p r e s e n t a t i o n ，c o n g r u e n tp r e s e n t a t i o n ，s t r o n g l yc o n g r u e n tp r e s e n t a t i o n ，r o o ts y s t e m ，s u b s y s t e mo f a r o o ts y s t e m 1 1 1 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的 说明并表示谢意 作者签名：至囤日期：丕! 1 161 f o 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编人有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：至：四 导师签名遂金互 日期：丕旦：f 壁日期：丑鱼查毛。 第一章前言 1 1 本文的研究背景 1 9 5 4 年，s h c p h a r d 和t o d d 对所有有限不可约复反射群进行了分类，并给出了 这些群的一个表出( 见【2 9 ) 。按照他们的分类，所有有限不可约复反射群分为本 原复反射群和非本原复反射群两大类。本原复反射群包括1 9 个两维的反射群以及 1 5 个维数大于2 的反射群，共有3 4 个，用记号g 1 ，g 3 4 分别表示。而非本原复 反射群的个数是无限的1 9 7 6 年，c o h e n 对所有的有限复反射群定义了根图和根 系的概念，并根据根图和根系的不同对所有有限复反射群进行了分类( 见【1 i ) 。 c o h e n 同时证明，任意一个非本原复反射群同构于某一个单项矩阵群g ( m ，p ，n ) ， 其中m ，p ，n 为正整数且满足p 整除m ，m 2 ，n 1 且( p ，n ) ( m ，2 ) 。所以研究 非本原复反射群这一问题就转化为研究单项矩阵群g ( m ，p 1n ) ，其中的m ，p ，n 是满 足p 整除m ，m 2 ，7 9 , i 且( p l n ) ( m ，2 ) 的三个正整数。 c o h e n 的工作为人们系统地研究复反射群提供了方便。在他之后，人们对复反 射群的研究也越来越多。近年来，时俭益对本原的和非本原的复反射群的表出进行 了细致的研究( 见【2 6 ，1 2 7 ， 2 8 ) 。在 2 6 一文中，时俭益研究了四个具有代表性 的本原复反射群g - z ，g 2 4 ，g 2 5 ，g 2 6 的所有表出，曾鹏研究了本原复反射群g 7 ，g 1 5 的所有表出( 见 3 2 】) ，本文作者也曾研究了本原复反射群g 2 7 的所有表出( 见 【3 0 ， 31 ) 。 在【2 7 ， 2 8 】两文中，时俭益研究了非本原复反射群g ( m ，n n ) 的所有表出 时俭益在群g ( m ，p ，n ) 的所有表出构成的集合上定义了一个同余关系( 两个表出之 间是同余的当且仅当它们之间存在一个同余映射) ，从而将群g ( m ，p ，n ) 的表出进 行了分类，每一个类称为群g ( m ，p ，n ) 的( 表出) 同余类。并且，时俭益还定义了 些图及有根图来刻划群g ( m ，p ， ) 的每一个( 表出) 同余类。受此启发，本文在 非本原复反射群g ( m ，p ，7 2 ) 的所有表出构成的集合上定义了一个强同余关系( 两个 表出之间是强同余的当且仅当它们之间存在一个强同余映射) ( 见2 4 7 ) ，使得群 g ( m ，n n ) 的两个表出之间的强同余映射能扩充为群g ( m ，p ，n ) 上将反射映到反射 的自同构并且群c ( m ，p ，n ) 的两个表出是强同余的则它们一定是同余的。借助时 俭益给出的关于群g ( m ，p ，n ) 的表出同余的相关结果，本文给出了群g ( m ，n n ) 的 所有将反射仍然映到反射的自同构生成的自同构群a u t ( m ，p ，n ) 。并较深入地研究 了自同构群a u t ( m ，p ，n ) 的一些性质。 1 9 7 2 年，c a r t e r 在【1 0 一文中给出了一个统一的方法来寻找w e y l 群的共扼 类。对于w e y l 群的每一个共扼类，他定义了一个a d m i s s i b l e 图与之对应，并确定了 一个w c y l 群的所有可能的a d m i s s i b l e 图c a r t e r 的方法适合于所有w e y l 群。仿照 华东师范大学博士论文非本原复反射群 c a r t e r 的做法，m o r r i s 的学生h u g h e s ( 见【1 7 】) 及c a n ( 见【7 ，【8 ，【9 ) 对非本原复 反射群v ( m ，1 ，n ) 和c ( m ，m ，n ) 做了类似的工作本文的作者力图用类似的方法来 处理非本原复反射群g ( m ，p ，n ) ( p 1 ，m ) 的共扼类，这其中的第一个问题就是找出 非本原复反射群g ( m ，p ，n ) ( p 1 ，m ) 的所有反射子群及子根系。在寻找反射群的子 根系这一问题上，d y n l d n ( 见 1 3 】) ，b o r e l 和d es i e b e n t h a l ( 见【3 ) 曾给出了一种 算法来寻找w e y l 群的所有子根系。仿照他们的做法，h u g h e s ( 见 1 5 ， 1 6 ) 给出 了一个类似的算法来计算所有具有根图的有限不可约复反射群的子根系。但是对于 不具有根图的非本原复反射群v ( m ，p ，n ) ( p 1 ，m ) ，h u g h e s 的方法并不适用本 文作者用另外一种方法找出了非本原复反射群g ( m ，p ，n ) ( p 1 ，m ) 的所有反射子 群及子根系，同时，本文所用的方法对所有的非本原复反射群都是适用的。设x 是 非本原复反射群g ( m ，p ，n ) 的某个反射子群的生成元集，在本文中，我们定义了一 个与反射集x 相关的反射图h ，并定义了反射图上的端点变换和圈变换( 见2 3 节) 。同时我们证明了由x 生成的反射子群的同构类完全由1 1 x 来确定通过列举 h 的所有可能的形状，我们得到了非本原复反射群g ( m ，p ，n ) 的所有可能的反射 子群的类型。并且我们还给出了每一个反射子群的一个根系，使得这个根系是非本 原复反射群g ( m ，p ，n ) 的根系的子根系。 1 2 本文的主要内容 令取z ，r ，c ，c + ) 分别表示正整数集( 整数集，实数集，复数集，非零复数集) 。令 1 ，n 表示n 个正整数的集合 1 ，2 ，n 。令= e 等是m 次本原单位根。在 1 1 中，c o h e n 证明了任意一个非本原复反射群同构于一个单项矩阵群g ( m ，p ，n ) ，其中 m ，p ，nep ，p 整除m ，m 2 ，n 1 且( p ，n ) ( m ，2 ) 。所以研究非本原复反射群这 一问题就转化为研究单项矩阵群c ( m ，p ，n ) ，其中的t f l ，p ，n 是满足p 整除m ，m 2 ， n 1 且，n ) ，2 ) 的三个正整数。群c ( m ，p ，n ) 是由一些符合如下条件的n n 单项矩阵构成的，其每个单项矩阵的n 个非零元形如“，“，且：，a 。；0 ( r o o dp ) ( 见 1 1 】的2 4 ) 记群g ( m ，p ，n ) 中的任意一个元w 为w = a 1 ，o 。纠， 其中口s 。( s 。为n 次对称群) ，瓯z ( v i h ) ，且警1a ii0 ( m o dp ) ，u 表 示一个第k 行第( 七) 口列处的数为“的单项矩阵，其中1 k 曼n 。群g ( m ，p ，；) 中的任意一个反射具有以下两种形式之一：第一种称为型反射，记为s ( i ，j ；吼) ， 其中1 i j n ，n 。z ，它表示一个第i 行第j 列处有非零元f m ，第j 行第i 列 处有非零元“以及第( 1 n ， i ，j ) 个主对角元为1 ，而其它位置处的元 均为零的单项矩阵；群g ( m ，p ，7 2 ) 中的第二种反射称为，型反射，记为s ( i ；a 。) ，其 中i 1 ，n l a ；z ，a 。；0 ( m o dp ) ，啦0 ( m o dm ) ，它表示一个第i 个对角元为 p 而其它对角元为1 的对角矩阵( 见2 2 9 ) 。群g ( m ，p ，n ) 有一组由反射构成的最 2 华东师范大学博士论文非本原复反射群 小的生成元集s o ( 即不存在岛的任何真子集能生成群g ( m ，p ，n ) ) ，我们称岛为 标准生成反射集，当p = 1 时，岛= s o = s ( 1 ；1 ) ，s ：= 8 ( z ，i + 1 ；o ) 1 1 s n ) ；当 p = m 时，岛= s i = s ( 1 ，2 ；一1 ) ，8 i = s ( i ，i + 1 ；0 ) 1 1 j n ) ；当p 1 ，m 时， s o = s o = s ( 1 ；1 ) ，s i = s ( 1 ，2 ；1 ) ，s 。= s ( i + 1 ；0 ) 1 1 i n ) ( 见2 2 9 ) 。卜有 限复反射群g 能由生成元和关系式表出，记这个表出为( s ，p ) ，其中s 是群g 的 仅包含反射的生成元集且s 具有满足此性质最少的元素个数，_ 尸是s 上的关系式 集且关于s 中元素的任意一个关系式都能由p 中关系式推得( 见2 4 1 ) 。 根据时俭益在 2 7 】中1 , 6 和 2 8 】中1 6 的定义以及本文2 3 节，对于群g ( m ，p ，n ) 中一组全部由，型反射构成的集合x = s ( 如，j h ；) l h l ，) ( d 是一个有限指标 集) ，定义个图1 1 x = ( x ，e x ) ，其中，x 为顶点集，x = 如如i s ( 如，j h ；k ) x ；e k 为带标号的有向边集，取中包含了所有有向边( i ，j ) ，其中z j ， 则r x = ( 量，e x ) 中包含了标号为一的有向边0 ，t ) ) 。若将r x 的所有带标号的 有向边换成不带标号的无向边，则我们得到图h 。称r x 为与反射集x 相关的反 射图。若r x 连通并且正好包含一个圈，不妨设圈上的边为 n ，a h + l 1 1 h r ) ( 规定n 1 = a r + 1 ) ，其中2sr n 。设与图r x 圈上的边对应的x 中的反射 为 s ( a h ，a h 十1 ；k h ) l l h r ) ，其中h z 。定义j ( x ) = i ：1 k h i 。设x 1 = s ( 如，如；k h ) l h 以( j 是一个有限指标集) 是由群g ( m ，p ，n ) 中的，型反射构成的集 合，s ( 2 ；) 是群a ( m ，p ，n ) 中的一个，型反射且i i 。，令x = x 1 u s ( ；) ) 。 定义p x 是与反射集x 相关联的反射图，它的顶点集x 就是r x ，的顶点集n x ， 边集取就是r x ，的边集e n ，它还有一个根，我们标在顶点i 上。此时，称r x 为 有根的反射图，我们也记r x = ( x ，e x ，i ) 。根据以上定义可知，对于反射图r x 的任意一个顶点，图r x 中总有一条边与之相连。 令矿是n 维复向量空间，设u ( v ) 是v 上的所有酉变换所构成的群，g 是 u ( v ) 的有限子群。则v 上存在个g 不变的酉内积( ，) 在下文中，我们考虑的 y 上的酉内积都是这个酉内积。据【1 1 的4 9 ，令= ( r ，f ) 是一个序对，其中， ( 1 ) r 是y 的非零向量构成的有限集；( 2 ) ，是从r 到p 1 ) 的映射，满足对任意 p r ，rs 。，( 。) = r ，( 卢s 。，( 。) ) = ，) ，则称为预根系。设= ( r ，) 是 一个预根系，定义w ( ) = ( 8 甜( 。“d r ) 。预根系= ( r ，f ) 称为一个根系，如 果v r ，c c 4 ，c r 营c n n w ( ) 。当，从上下文比较明确时，我们也 简称兄为根系，w ( ) 为与根系r 相关联的反射群。设= ( r ，) 是一个根系，令 s 是r 的一个子集，g = ，l s ，若t = ( s ，9 ) 也是一个根系，则称t = ( s ，g ) 为根系 = ( r ，) 的子根系，称w ( t ) 是与子根系t 相关联的反射子群，设= ( r ，) 是一 个根系，若存在根系的子根系1 = ( r 1 ， ) ，2 = ( r 2 ，止) ，使得r 0 ( i = 1 ，2 ) ， r = r 1 0 岛为无交并，且v r 1 ，卢r 2 ，有( d ，卢) = 0 ，则称根系= ( r ，f ) 3 华东师范大学博士论文非本原复反射群 为可约根系，否则称为不可约根系据 1 1 的1 1 及1 5 ，设g 是v 上的反射群， 令矿g = v l vg = v ，v g g ) 是g 一不变的y 子空间，记v g 为y 6 在y 中 的补空间。若g 限制在v c 上的作用是不可约的，则称g 是不可约的。反之，若 g 是矿上的可约反射群，则g 可以写成一些真的不可约反射子群的直积在 2 1 】 一文中，i ( , 2 1 1 1 e 证明了一个实根系是可约的当且仅当与它相关联的实反射群是可约 的。在复反射群中，我们也有类似的结论( 见引理2 2 7 ) ，即一个复根系是可约的 当且仅当与它相关联的复反射群是可约的或者说一个复根系是不可约的当且仅当 与它相关联的复反射群是不可约的。 本文讨论的第一个问题是非本矩复反射群c ( m ，p ，n ) 的自同构群a u t ( m ，p ，n ) ， 这也构成了本文第三章的主要内容。在本文中，一个反射群g 的自同构q 指的是， 不仅是g 作为抽象群的自同构，并且 将群g 的反射映到反射。记a u t ( c ) 为 群g 的所有自同构构成的群令i n t ( m ，p ，n ) = 码b c ( m ，p ，n ) ) ，其中： z 一9 x 9 _ 1 是群c ( m ，p ，n ) 的由9 确定的内自同构令西( m ) = z l ls m ，g e d ( k ，m ) = 1 ) ，则圣( m ) 的阶数为m 的欧拉数，记为咖( m ) 。对任意 中( m ) ，定义映射饥：g ，p ，n ) 一g ( m ，p ，n ) ，对任意n n 矩阵m = ( n 。) g ( m ，p ，n ) ，饥( m ) = ( a ：) 。易证c k ( m ) g ( m ，p ，n ) ，故饥是完好 定义的。可以证明讥a u t ( m ，p ，n ) ( 见3 1 3 ) 。令皿( m ) = 饥陋西( m ) ) 。 则i m ( m ，p ，n ) ( m ) = i m ( m ，p ，r 1 ) ( m ) a u t ( m ，p ，n ) ( 见3 1 3 - 3 1 5 ) 。对于群 g ( m ，p ，n ) 扫1 ) 标准生成反射集s o 以及笛1 = t - 1 i t 岛) ，定义a ：s b 一蜀1 ， 页( s j ) = s 1 ，页( s 1 ) = s ：，i ( s 。) = s 。，v 1 2 ，则群( 皿( m ) ，页) 的阶数为咖( m ) m 。 ( 4 ) 关于群a u t ( m ，p ，n ) 的中5 - z ( a u t ( m ，p ：n ) ) ( 见4 i 9 4 1 1 i ) ：当n 2 时， z ( a u t ( m ，p ，n ) ) 是平凡的；当n = 2 时，有如下两种情况： ( i ) 设p 是奇数，则 z ( a u t ( m ，p ，2 ) ) = ( i i ) 设p 是偶数。则 z ( a u t ( m ，p ，2 ) ) = 1 0 ，等m 兀。掣k “7 1 0 ，寻m ) 】犁k i ) 若m 是偶数 兀。犁7 m 一1 )若m 是奇数 1 0 ，等1 1 】，b l 妒m 一1 ，1 0 ，等l ( 1 2 ) 】k 1 )若等三0 ( m o d2 ) 凡。砂。“，1 等- 1 ，o l x 掣讪i ，1 晋_ 1 ，0 1 ( 1 2 ) 一天)若罟三1 ( m o d2 ) 在本文的第五章，我们讨论了非本原复反射群g ( m p ，n ) 的反射子群与子根 系这一章是与第三，第四两章相对独立的一章。设x 是群g ( r n ，p ，z ) 的某个反 射子群的生成元集，考虑与反射集x 相关的反射图r x 。通过对图r x 的处理与分 析，我们能完全确定由x 生成的反射子群的类型。设q ，是n 维复向量空间 的一组标准正交基，= e 并为m 次本原单位根本章的主要结论概括如下： 若x 中仅含，型反射且群伍) 不可约，则有如下( 1 ) ，( 2 ) 两种情况： ( 1 ) 若r x 是一个含n 1 个顶点的树图，则( x ) 型s 。，其中s 。，是n 1 次 对称群( 见定理5 1 4 ) 。由定理5 1 4 知，这种情况下，我们总是可以假设x = s ( o ，a h + l ；h ) 1 1 茎h n 1 ，其中2 n 1 礼，n 1 ，a 2 ，】h 】且两 两不等，1 ，k ，一l z 则群x ) 型s 。，有一个根系( r ，) ，其中，r = 土 茸衄( e 。一茸h e 。+ ) 1 1 i j 1 ) ，f = 2 为常值函数( 见定理5 1 1 3 ) 。 ( 2 ) 若r x 是含有i z l 个顶点和至少一个圈的连通图，则( x ) 型g ( m ，m 7 ，n 1 ) ，其 中，m 是整除m 的某个整数( 见定理5 1 8 ，5 1 1 1 ) 。由定理5 1 8 及定理5 1 1 1 知， 这种情况下，我们总是可以假设x = s ( a l ，n 2 ；k ；) ，s ( o ，n + 1 ；h ) 1 1 h 扎1 ) ， 其中2 1 n ，a l ，0 2 ，a n ，且两两不等，瞄，1 ，k 】一1 z 。设 d = g c d ( h 一 1 ，m ) 。则群x ) 皇g ( 等，署，n - ) 有一个根系( r ，) 如下( 注意当d = m 时，由于群( x ) = x s ( n 1 ，口2 ；蝎) ) ) ，故我们可以假设x = s ( o 蚌z ；如) j 1 5 华东师范大学博士论文非本原复反射群 h n 1 ) ，这就回到上面的( 1 ) 中的情况，群( x ) 的根系可参见( 1 ) 。以下给出的是 d 2 时， r = ( 士咖譬i 七( e 眦一砒蔷衄e 哪) f 1 i j n 1 ，h ，h i z ) ，= 2 为常值函数( 见定理5 1 1 5 ) 。 ( 3 ) 若x 中仅含型反射且群( x ) 不可约，则群僻) 可由一个，型反射生成 ( 见定理5 2 2 ) 。不妨设x = s ( o l ；k ) ) ，其中a 】是属于 竹 的某个数，七z ；0 ( r o o dp ) ，0 ( r o o d m ) 。则群僻) 有一个根系( r ，) ，其中，r = p e 。，l h z ， = e 铲为= 面摆而次本原单位根，= i 丽嚣两为常值函数( 见定理5 2 9 ) 。 若x 中既含有，型反射又含有，型反射且群僻) 不可约，则群伍) 可由这些 j 型反射及某一个，型反射生成，不妨设x = x 1u 8 ( a l ；) ，其中墨是x 中 的j 型反射的集合，8 ( n 1 ；) 是一个，型反射且a 1 n x ，( 见引理5 2 4 ) 。则有如 下( 4 ) ，( 5 ) 两种情况： ( 4 ) 若r x 是一棵含有n t 个顶点的有根树，则( x ) 型g ( 彬，1 ，n 1 ) ，其中，耐= 面茬高是詈的一个因子且1 m 7 罟( 见定理5 2 5 ) 。由定理5 1 4 及引理5 2 4 ， 我们可以假设x = s ( 1 ；k ) ，8 ( a h ，a h + 1 ；k ) l l 茎h m ，其中a l ，a 。，h 】 且两两不同，1 ， c n a - 1 z ，；0 ( r o o d p ) 0 ( r o o d m ) 。则群( x ) 兰 g ( 葫嚣而，1 ，n 1 ) 有一个根系( r ，) ，其中，r = r 1u r 2 ，r 1 = ( “茸k l 1 1 2 n l ，h z ，r 2 = 士( 譬；h ( e 。一e “拿仨h 。；) 1 1 i j 礼1 ，h h i z ) ， e = e 铲为k 7 = 而舞而次本原单位根，：r p 1 ) 定义如下，( 。) = 面a 器两，v “r 1 ；，( p ) = 2 v 卢r 2 ( 见定理5 2 1 0 ) 。 ( 5 ) 若r x 是含有n 1 个顶点和至少一个圈的连通有根图，则x ) 垒g ( 耐，p l ，n 1 ) ， 其中，m 7 ，p 是满足下列条件的某两个整数：m i m 且1 m m ，p ，i m 且 1 p ， m ，等是等的一个因子( 见定理5 2 6 ，5 2 7 ) 。由定理5 2 6 ，5 2 7 知，在这 种情况下，我们总可以假设x = s ( n 1 ；) ，s ( a t ，n 2 ；k i ) ，s ( n ，a h + l ；k h ) 1 1 h n 1 ) ， 其中，2 n 1 n ，a 1 一，n 。m 且两两不同，k ，磁，h ，k ，一1 z ，三0 ( r o o dp ) ，七0 ( r o o dm ) 。设d = g c d ( k i 一女1 ，女，m ) 贝0 群( x ) 竺g ( 等，壁堂d 坐盟，n 1 ) 有一个根系( r ，f ) ( 注意当d = g e d ( k ，m ) 时，s ( a l ，n 2 ；i ) ( s ( a l ；) ，s ( a i ，a 2 ；1 ) ) 6 华东师范大学博士论文非本原复反射群 ( 见定理5 2 6 ) 。由于群( x ) = ( x s ( n 1 ，a 2 ；k i ) ) ) ，故我们可假设x = s ( n 1 ；) ， s ( a h ，n + 1 ；k h ) 1 1 h n l ，这就回到上面( 4 ) 中的情况，群x ) 的根系可参见 ( 4 ) 。以下给出的是d g e d ( k ，m ) 时群僻) 的根系) ： 当7 u = 2 时， 。j r t u r 2若掣为奇数 lr l u r 2 u r 3 若划d为偶数 其中， r l = “e 。， h e 。2 i h z ) ，r 2 = 士一( e 。，一( q 2 1 e 。2 ) l 九，z ， r 3 = 土 2 时，令r 1 = d h e 譬；乜e 州1 1 i 墨n 1 ，h z ) ，r 2 = 土拍譬i 缸( e m 州曹h e a j ) 1 1 i 2 时，令r 1 = “e d l i 茎n ，h z ) ，r 2 = 土“( e ；一e j ) 1 i 2 时，非本原复反射群c ( m ，p ，n ) 0 1 ，m ) 与非本原复反射群 c ( m ，1 ，n ) 具有完全相同的根系，它们都包含非本原复反射群c ( m ，m ，n ) 的根系作 为子根系( 见5 2 1 3 ) 。 ( 7 ) 上面的结论( 1 ) - ( 2 ) 中给出了非本原复反射群g ( m ，m ，n ) 的任意一个不可约 反射子群的形状以及任意一个不可约子根系的形状( 见5 1 1 7 ) 上面的结论( 1 ) - ( 5 ) 中给出了非本原复反射群g ( m ，p ，n ) ( p m ) 的任意一个不可约反射子群的形状以 及任意一个不可约子根系的形状( 见5 2 1 4 ) 。 ( 8 ) ( 见定理5 1 1 8 ) 非本原复反射群c ( m ，m ，n ) 的任意一个反射子群g 同构 于以下群的直积 其中k ，2 是非负整数， l ，i k z