（基础数学专业论文）一类“超二次”hamilton系统的周期解和次调和解.pdf

一类“超二次h a m i l t o n 系统的周期解 和次调和解+ 学科专业：基础数学 指导教师：唐春雷教授 考虑h a m i l t o n 系统 研究方向：应用泛函分析 研究生：陈尚杰( 2 0 0 0 2 0 8 内容摘要 p = 一凰( p ，q ，t ) 寸= 士0 ( 鼽9 ，t ) ， 这里h ：r 2 ”冗 冗是连续可微函数，关于变量t 是t 周期的，即 ( ( ) 1 ) h ( z ，t t - t ) = h ( z ，t )v z 冗“，v t 冗 关于( o1 ) 有如下的更为紧凑的形式，即 j5 3 h ：( z ，t ) ， 2 ) 这里 ，= ( k 0 曾) 为标准辛矩阵，厶为死n 上的恒等映射， 也( 引) = ( 两o h ，蕊o h ) 为h 关于# = ( z 一，z 2 。) 的梯度， 我们用临界点理论中的极小极大方法研究了非凸非自治“超二次，h 。i l t o l 。系统( o 1 ) 的周韩咿和无穷多个不同的次调和解的存在性，这里次调和解是指k t 周期解， ，为正 整数主要结果是下面的定理 i 定理1 设h 满足下面的条件： + 。2 1 j i 要旦：曼蠢皂；錾! 差姜龛零目( 1 9 8 7 1 0 6 7 ) ，教育部科学技术重点项目，教育部高等学 校优秀青年教师教学科研奖励计划 。 。一 ( i i o ) h 连续可微，且满足 h ( z ，t - k t ) = h ( z ，t )v z 咒h ，v t 冗， 【h 1j h ( z ，t ) 0v g 冗2 n ， i t 亿， ( i 2 ) 存在r o 0 ，n l ，卢 1 且五1 + 女 o v z = ( p ，q ) 冗2 n ，r o ，v t 咒， ( h 3 ) 存在a 0 ，r 0 满足 h ( p ，玑) a ( i p l 。+ f g f 口) v z 死2 “，i z lsr ，v t 冗， ( h 4 ) 存在i 满足 l i _ m m + 。嬲独一；虮冗， 则( o 1 ) 有非平凡的t 周期解 定理2 设日满足( h o ) 一( h 2 ) 及 ( h 3 ) ( h 5 ) 存在b 0 ，”l 0 使得 。，器爷= 。 i h 。( p ，) 6 ( ：珥( m ，小p + ；峨( 剐，) v z = ( p ，q ) 冗2 n ，川”l ，冗， 则( ( ) 1 ) 存在无穷多个不同的次调和解七一。一 关键词：h a m i l t o n 系统；周期解；次调和解；超二次条件： 2 p e r i o d i ca n ds u b h a r m o n i cs o l u t i o n so fa c l a s so f s u p e r q u a d r a t i ch a m i l t o n i a n s y s t e m s l m a j o r ： b a s i cm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：a p p l i e df u n c t i o n a la n a l y s i s s u p e r v i s o r ：p r o f t a n gc h u n l e i a u t h o r ：c h e ns h a n g - j i e ( 2 0 0 0 2 0 8 ) c o n s i d e rt h eh a m i l t o n i a n a b s t r a c t 一= 一h q ( p ，q ，t ) 0 = 岛( p ，q ，t ) ， w h e r eh ：冗执冗_ 冗i sac 1f u n c t i o n ，a n dt p e r i o d i ci nt h es e c o n dv a r i a b l e ie h ( z ，t + t ) = h ( z ，t )v z 冗2 n ，v t 冗 ( 01 ) c a l lb ew r i t t e nn l o r ec o n c i s e l ya s i = j 日。( # ，t ) ， w h e i e 了= ( 芝) i st h es t a n d m ds y m p t e c t i cm a t r i x ，厶i st h ei n d e n t i f ym a t r i xi n 冗”， 也( 引) = ( 面o h ，砾o h ) i s t h eg r a d i e n to f h ( z ，t ) w i t hr e s p e c t t oz = ( z 1 ，x 2 n ) p e r i o d i cs o l u t i o n sa n di n f i n i t ed i s t i n c t s u b h a r m o n i cs o l u t i o n s ( i e k tp e r i o d i c ( 01 ) ( 0 2 ) ke ) l l eo b t a i n e df o rn o n c o n v e xa n d n o n a u t o n o m o u sh a m i l t o n i a ns y s t e m ( 0 1 ) w c ) i a v e t h e o r e m1 s u p p o s i n gt h a th s a t i s f i e s ( 1 1 0 ) h i sac l a s s c l ，a n d h ( z ，t + t ) = h ( z ，t )v z 冗“，v t 咒 ( h 1 ) h ( z ，t ) 0v z 冗“，v t 冗 s u p p o f t e d b y ，8 t i o n a | n a t u r a l s c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ，b ym a j o rp r ( , j e r to f 鼬ca m i t e c h n o l o g yo fm o e ，p rca n db yt h et e a c h i n ga n dr e s e a r c ha w a r d p r o g r a mf o ro u t s t a l l ( 1 i r ! ：y o l l l l e t e a c h e r si nh i g h e re d u c a t i o ni n s t i t u t i o n so fm o e 、p rc ” ( h 2 ) j d 1 ， 1 ，石1 + 自 0 s u c ht h a t ：绋( p l q 小p + ；矾( p i 口) 小q 日( 刖，t ) 。 v z = 慨们冗“，净 嘶，耽冗， ( h 3 ) 3 a 0 ，r 0s u c h t h a t u ( p ，q ，t ) o ( i p l o + 蚓4 )v z 7 护“，h r ，v 亿， ( h 4 ) 3 as u c l 】t h 乱 虹。黜i 一；，v ， t , h c t l ( o1 ) l d san o n t r i v i a lt p e r i o d i cs o l u t i o n t h e o r e m2 s u p p o s i n gt h a ths a t i s f i e s ( h 0 ) 一( h 2 ) a n d ( h 3 ) i 。鼎。貉瑞- o ， ( t t 5 】3 b o ，? 1 0s u c h t h a t i 吼( p ，州) i 6 ( ：绋( 弘州) p + ；峨( p ，州) y z = ( p ，q ) 7 乎”，h2r 1 ，v t 佗， 口) f 1 c l l ( 0 1 ) p o s s e s s e si t t f i n i t ed i s t i n c ts u b h a r m o n i cs o l u t i o n s k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：h a m i l t o n i a ns y s t e m s ；p e r i o d i cs o l u t i o n s ；s u b h a r l o u i cs o l u t i o u s ；s u p e r q u a d r a t i cc o n d i t i o n s 4 1 引言及主要结果 h a m i l t o n ( 哈密顿) 系统是非线性科学中的一个重要领域，由于这类系统广泛存在于 数理科学、生命科学以及社会科学的各个领域，特别是天体力学、等离子物理、航天科 学以及生物工程中的很多模型都以h a m i l t o n 系统( 或它的挠动系统) 的形式出现如： 旋涡的平面运动、单摆运动、三种群v o l t e r r a 模型、三体问题等等近二百年来，非线性 h a m i l t o n 系统一直是数学家和物理学家的重要研究领域，近年来这一领域中的新j 勺研究 成果已经在非线性分析、代数拓扑、数学物理和微分几何( 特别是辛几何) 等诸多。科中 产生了重大的影响因此，非线性h a m i l t o n 系统的研究多年来常盛不衰，成为当今非线 性科学研究中一个最富成果而又生机勃勃的研究方向本文考虑的是关于h a m i l t c n 系统 的周期解和无穷多个不同的次调和解的存在性 我们考虑h a m i l t o n 系统 p = 一凰( p 1q ，t ) 4 = 珥( n q ，t ) ，i o 1 ) 这里h ：佗2 ”冗叶冗是连续可微函数，关于变量t 是t 周期的，即 h ( z ，t + t ) = h ( z ，t )比冗2 n ，v t 亿 关于( o1 ) 有如下的更为紧凑的形式，即 j = 了也z ，t ) ，( f 】2 ) 这里 了= ( 芝寸) 为标准辛矩阵，厶为冗“上的恒等映射， 眦，壮( 两o h ，器) 为h 关于z = ( x l ，z 2 n ) 的梯度自1 9 7 8 年r a b i n o w i t z 在 7 中开创了用变分法f 其基 本思想是：把求非线性算子方程的解的问题归结为求某泛函的临界点问题) 研究( o1 ) 的 周期解的存在性以来，关于( o 1 ) 存在一个或多个周期解已有许多结果( 见1 1 - 1 0 ，1 7 3 4 3 ” 其中文献 1 - 1 0 ，1 7 】在超二次条件下研究了( o 1 ) 解的存在性所谓的超二次条件是指： ( c ) 存在p 2 和r o 0 满足 ；h 。( z ，t ) z 日( z ，t ) 。比冗2 n ，h _ r 0 , v t e 冗 这里和以后我们用表示冗”中的通常内积，i 3 5 ，3 6 ，3 8 ，4 l j 、 3 7 j 和 4 2 ，4 3 j 分别在奇异性条件、 件下研究了( o 1 ) 一个或多个周期解的存在性 5 l 表示其对应的范数而文献m 、3 4 、 多项式控制条件、渐进线性和次：次条 众所周知，方程( o 1 ) 的一种重要的特殊情况是所谓的二阶h a m i l t o n 系统 a + v v ( q ，t ) = 0 这里v ：冗”冗_ 冗是连续可微函数，关于变量t 是t 周期的如果令 h ( p , q , t ) = 扣1 2 + v ( q , t ) ， ( 1 2 ) j l l j ( o 1 ) 与( 1 1 ) 等价关于( 1 1 ) 的周期解的存在性结果可参考文献 8 ，1 1 1 3 ，4 1 ，4 4 6 乩其 r 1 文献 8 ，1 1 1 3 ，6 1 在超二次条件 ( 2 c ) 存在i t 2 和r o 0 满足 ：v y ( 刚) 口y ( 州) 。v g 鸭i q i r o , v t e 冗 下研究t - - 阶h a m i l t o n 系统( 1 1 ) 的周期解的存在性但是当( 1 1 ) 是超二次时，其对应 的问题( o 1 ) 却不是超二次的通常情况下，如果y 满足( 2 c ) 但通过( 1 2 ) 定义的h 不 满足( c ) 为了统一处理两种超二次情况，1 9 9 3 年f e l m e r 在 1 中提出了下面的条件： ( 3 c ) 存在“ 1 ，p 1 ，五1 + ； 0 满足 言埤( m ，t ) p + ；( p ，g ，t ) q 2h ( p ) o v z = ( p ，口) 冗轨，r 0 , v 冗 通过观察易得，当h 满足( c ) ，则满足( 3 c ) 当h 由( 1 2 ) 定义时，矿满足( 2 c ) 则h 满 足( 3 c ) 当h 自治时， ( o 1 ) ，( 1 1 ) 已有很好的结果( 见 1 ，4 ，6 ，7 ，9 ，1 3 ) 当h 非自治时，不得不 对其加更强的条件，而这些条件对自治系统却不一定需要例如 6 】中定理o 1 对于自治 系统( o 1 ) 仅在( c ) 条件下就得到了很好的结果这说明这些条件可能是不必要的因此 人们对非自治系统寻求那样的条件，它对自治系统自然成立2 0 0 0 年l o n g 在【2 就提出 7 + 这样的一个条件： ( 4 c ) 存在i 满足 l i m + 。嬲i - _ 1 2 v te 冗 受 1 f 2 的启发，我们用极小极大方法证明了下面的定理： 定理l 设h 满足下面的条件； ( h 0 ) h 连续可微，且满足 ( h 1 ) h ( z ，t + t ) = h ( z ，t )v z 冗“，v t 冗， h ( z ，t ) 0v z 冗孙，v t 冗， 6 ( h 2 ) 存在r 0 0 ，a 1 ，卢 1 且壶十刍 o v z = ( p ，q ) 冗“，2r o ，冗， ( h 3 ) 存在a 0 ，r 0 满足 h ( p ，g ，t ) a ( i p l 。+ i q l 4 )v z 7 2 2 “，l z l r ， i t 冗， ( h 4 ) 存在i 满足 l i m 帅。嬲i ，2 v te limi v t 冗， ：l - + o o 面彳；酉之。三一亍， k ， 则( o 1 ) 有非平凡的t 周期解 注l我们的结果是有意义的，例如对足够大的i ( p ，口) i 定义 聊舟归巾) ( 少r l + 譬) ， ( 1 3 ) 这里6 2 ，ec 1 ( o ，t 】，冗+ ) 且满足错 一孚对任何t 成立( 例如，( t ) = 2 7 r + l + s i n ( 爷) ) ， 则h 满足我们的定理，而不满足【1 - 1 0 ，1 7 】中关于超二次条件的假设同时，显然h 不满 足文献 3 3 ，3 4 中奇异性的假设由于h 是指数增长的，则不满足文献【3 5 ，3 6 ，3 8 ，4 1 关于 朋k 性在多j 页式控制下的条件又月不足渐进线性，也不足次二次的，此哉f i j ( j , j f i , i 果 乜不包含在文献 3 7 ，4 2 ，4 3 中而文献【4 0 】中要求h 关于q 是周期的，但( 1 3 ) 中定义的 ，关于q 显然不是周期的定理1 是文献【4 】和文献【1 的结果的一种补充定理1 的结 果已发表在( ( 西南师范大学学报( 自然科学版) ) ) 2 0 0 2 年第2 7 卷第6 期上 对于一阶h a m i l t o n 系统( 0 1 ) 的无穷多个不同的次调和解的存在性，研究的最多的是 凸h a n l i l t o n 系统，见文献 5 ，1 4 - 1 6 ，1 8 ，1 0 对于非凸h a m i l t o n 系统也有不少结果，见文 献 5 ，1 0 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，其中文献【5 , 1 0 ，2 1 ，2 2 】考虑了超二次h a m i l t o n 系统，而文献 5 , 2 0 则考虑 ：7 次二次h a m i l t o n 系统此外，文献【2 3 考虑了超二次h a m i l t o n 系统次调和解的稳定 性。对于二阶h a m i l t o n 系统( 1 1 ) 的无穷多个不同的次调和解的存在性亦有不少结果( 见 ，i 4 ，1 8 ，2 4 3 0 ，3 1 ) 。 受条件( 3 c ) 的启发，我们考虑了在其下的( o 1 ) 无穷多个不同的次调和解的存在性， 有： 定理2设h 满足( h o ) 一( h 2 ) 及 ( h 3 7 ) i ( p q ；m ) 1 0 器i p l 瑞q l _ 0 ，o + j p 4 ( h 5 ) 存在b 0 ，r 1 0 使得 i 矾( p ，州) i 6 ( 三o 缉( p 州) p + ；岛( p 州) g ) 。 口 7 v z = ( p ，q ) 7 乎“，h r l ，佗， i ：j ( 01 ) 存在无穷多个不同的次调和解 注2同样由( 1 3 ) 定义的日满足( h 0 ) 一( h 2 ) ，( h 3 ( h 5 ) ，则我们的结果不包含在文 献5 ，1 0 ，2 1 ，2 2 相关结果中又由( t 3 ) 定义的日显然也不满足 2 ，2 0 中次二次的条件 【_ d 在关于凸系统中文献 5 ，1 4 1 是在次二次下的，文献 1 5 ，1 6 ，1 8 ，1 9 】是在多项式增长控制下 的，我们的h 显然不满足定理2 是文献【5 】的结果的一种补充定理2 的结果已被( ( 西南师范大学学报( 自然科学版) ) ) 接受，待发表 2 基本结构和预备知识 为了证明我们的定理，考虑具有内积 ( z ，q ) ：t i i j l n j 万+ t 0 0 石 。j z 一 o ) 的h i l l m t 空间e = 圭2 ( o ，t ，冗2 n ) ，这里z ，q l 2 ( 0 ，卅，佗2 n ) ，并有 z ( ) = q e 学，q ( ) = b e 半 j z，o 此处n j = a j ，6 一j = 砖c 2 n ，对应的范数是 2 = 告i j l l o j l 2 + t j a o l 2 。j _ z 一 o ) 对e 中光滑的z = ( p ，q ) 和q = ( 庐，妒) ，定义 砟= z o t p 廿协诎，) = 掣 则b 可以连续地扩展到全空间e 上定义l ：e _ e 为 b ( z ，q ) = ( l z ，q )v z ，7 1 e ， 则l 是双线性形式b 产生的线性有界自伴算子记 耳= 丽铷，( 竽) e k - - c 0 8 ( 竿) e c o s ( 竿) e k + s i n ( 竽) 叭出叫，e 纠 e 一= 蕊嗨t n ( 孚) e k + c o s ( 竿) e ， c o s ( 竽) e t n ( 孚) 吼。i j 叫，的口 e o 2 s p & n e l ，一，e 2 n ， ( 2 1 ) ( 22 ) 这里，c n ) 为冗2 “的标准基，则e 可分解为 d 2 缉o e o e o ( 2 3 ) 验证可知a 在e 上为正，e 一上为负，岛上是零实际上e + ，e 一，e o 分别是线性算子 上的正，负，零特征空间，并且在空间e 上有 i l z l l 2 = a ( 。+ ) 一a ( z 一) + t l z o l 2 ， ( 24 ) 这里z = z + + 。一+ z o ，其中z + e + ，z 一e 一，知岛 众所周知，( o 1 ) 的t 周期解对应于泛函 荆= 喇一s o 丁盹撇 的临界点然而，由于对日的增长没有充分的控制，l ，不能很好的定义为了克服这个 困难，我们用r a b i n o w i t z 7 】中所介绍的截断方法设k 1 是一个整数，并且当s 0 使得 h ( p ，q ，) c 1 ( 陋l 。+ i q l 4 ) 一c 2v ( p ，q ) 7 7 0 2 n ，v t 冗 为了证明的需要，我们介绍下面的抽象定理 我们考虑具有内积( ) 和范数i i - i i 的h i l b e r t 空间e ，设e 能分解为e ：x 。y ，这 里x ，y 没必要是直交的，并且都可以是无限维的设泛函j ：e _ + r 有结构如下 i ( z ) = ( l z ，z ) + b ( z ) 旦有 ( 1 1 ) l ：e - e 是线性有界自伴算子， ( 1 2 ) b 7 是紧的， 这里有两个线性有界可逆算子b l ，b 2 ：e e 满足 9 ( 1 3 ) 如t m 冗+ ，则线性算子 b ( v o ) = 尸x b i le x p ( v o l ) b 2 ：x _ x 足可逆的其中p x 表示由分裂e = x o y 产生的由e 到x 的自然投射 设p 0 ，定义 s = b , z l lj z l l = p ，z y ， 划z + y ，z + o ，盯 丽南和m 0 ，定义 q = 口2 ( s z + + z ) l o s 口，1 i z l l m ，z x 我们记a q 为q 相对于子空间f b 2 ( 8 z + + z ) 1 8 冗，z x ) 的边界考虑函数集合 r = c ( e ( 0 ，1 】，e ) 满足r 1 ，r 2 ，r 3 ， ( 2 6 ) ( 2 7 ) 其中 ( f 1 ) h ( z ，t ) = e x p ( ( 2 ，t ) l ) z + k ( z ，t ) ，这里”：ex 【0 ，1 - 冗+ 连续且将有界集映为有 界集，霞：e 0 ，1 】- e 是紧映射， ( f 2 ) h ( z ，t ) = zv z o q ， ( f 3 ) h ( z ，0 ) = zv z q 定理b 1 】设，：e - + r 为连续可微函数，满足p a l m s s m a l e 条件及( 1 1 ) ，( 1 2 ) 和( 1 3 ) ，更 进一步假设这里存在常数6 0 满足 ( i ) 1 ( z ) 26 ，v z s ， ( i i ) i ( z ) 0 ，v z a q ， 那么川用有一个临界点，使得i 陆界值具有形式 。2 黔n fs u o p 珊( z , 1 ) ) 且c 6 在证明定理之前，我们先介绍一些关于子空间占和e 一有用的结论和估计对给定 一一个函数z l 7 ，7 1 且具有f o u r i e r 级数 。= o k c o s k t + b ks i n k t 2 1 l i 中“女，b k 冗”，我们定义。的对偶为 孑= k c o s k t 一s i n k t t 1 注意到对任何z 上7 ，有亨= 一2 引理c 【1 】对于元素z = ( p ，q ) e 属于耳( 或者e 一) 当且仅当芦：一g ( 或者f ：g ) 1 0 引理d 对任何。l - r ，存在常数k ( 7 ) 使得 3 定理证明 定理1 证明：与【1 】一样，对适当的p ，a 和m ，其中c r 和m 与无关，泛函1 f 有 非平凡的临界点z k ( 见【1 1 2 0 3 2 0 4 页) ，且具有临界值 。2 帆i n fs u 。p j k ( h ( z , t ) ) 我们将证明当k 足够大时，由( h 4 ) 有f f 钳 0 使得对任何z q 满足i i z l j d 1 于是由( h 1 ) ，( 2 1 ) ，( 2 2 ) 及q 的有界性知 批) 纠加掣= 弛枢；i i l i b d 。， 从而 c k = j k ( z k ) s u p j k ( z ) s 妻i i 工| | d z 0 z 下面我们证明当k 足够大时i i z l i 。 k 记z k = ( p k ， ) ，由坛( z ) = 0 有 ；i i l i i d 出( 圳一坛( 刎肼= r ( h ( z ，) 一日p ( 。，t ) p ) d ( 3 1 ) 类似有 ；i l n l l 。 一o r ( 如( t ) 一鲰出刈) 协) 以 ( 3 2 ) 用i 1 乘以( 3 1 ) ，女乘以( 3 2 ) ，然后相加得 ；( 三+ ；) ”l ”。 兰一( ：+ ；) z t 日c z ，出 ，车( 3 3 ) 中用( h 2 ) 得到 + z 丁( ：h ，( z ，t ) p + h s ：，( z ，t ) ；( ：+ ；) ”上”。 2 ( ，一( ：+ 吉) ) z t 日c z ，印出 由( 3 4 ) 及吉+ 0 满足 m l - t 鲰( t ) 出 j 0 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 35 ) 记 a = t e 【0 ，t 1 1 p i ，i 刊 这里我们不妨选取i 为负数当s 跨且i z k ( s ) i n o ，h s ( z k ( s ) ，s ) n o ，皿( z ( s ) ，5 ) n o ，风( z ( s ) ，s ) o ， q 3 = s 磷l i 。k ( s ) i o 我们由( h 1 ) ，并注意到在q 1 上从( 3 8 ) 有可象高舄铵了一手+ 2 ，在q 。和q 3 上有 蓦觑砌= 曼1 = 1 卜纠t 量盟型s 逝卫进 。1 = - 1 1 = 1 22 再由，j o ，f ，j 0 ，c 1 0 ，k _ ，矛盾所以当k 足够大时a k = 【o ，t ) 从 而忪| i o 。 1 ， 1 和 三 熹，西1 0 ，定义b 1 ：e _ e 为 b l ( z ) = b 1 ( 0 ，q ) ) = ( p u - l p ，p v - - 1 9 ) ，( 3 1 2 ) 伪：e _ e 为 b 2 ( z + z o ) = b 2 ( ( p ，q ) + z o ) = ( a u - l p ，( y v - - 1 q ) + z o ，( 3 1 3 ) 1 4 这里g o e o ，z = ( p ，q ) e + e + ，则b 1 ，b 2 都是线性有界司逆算于- f 回k h s r 【z ，k r ) 为 h ( z ， r ) 的截断函数，则由( 2 1 ) ，( 22 ) ，( ( 。) = a ( 2 ) 一。上日k ( z , k r ) 4 7 r 2 ” = ；b ( z ，z ) 一0 2 ”日( z ，女r ) d r = 专( l z , z ：。h k i 冰邶r 令西，n ( 。) = 詹”h k ( z ，打) 打，则对任何 e ( 以，( z ) ，w ) = ( l z ，叫) 一上r 2 r r v 日1 i f ( 2 ，。r ) ”d r = ( 二。，叫) 一后( v 皿女( 二) ，叫) 因此v 九，k = 五十( 一v ，) ，其中三为有界线性自伴算子，( 一v 皿，k ) 为紧算子，则( 1 1 ) ( 1 2 ) 满足，由 1 7 引理4 2 对 o20 ( 1 3 ) 成立。又由i h k ( z ，r ) 满足( t t o ) 一( h 2 ) ，( i t 3 ) 则由 引理1 2 有以( z ) 满足p a l a i s s m a l e 条件从( 2 6 ) ，( 3 1 2 ) 知 s = ( p ，p ”1 q ) l l l ( p ，q ) l i = p ，( p ，口) 耳) 类似【1 】引理2 3 可知存在适当的p 0 使得对任何z s ，以( z ) d 从( 2 7 ) ，( 3 1 3 ) 可知 q = 3 ( 口“一1 p + ，c r v - l q + ) + ( 盯“一1 p ，o v - 1 q ) 十z o 0s 5 曼口，0s1 i ( p ，q ) + z o l l 曼m ，( p ，口) e 一，z o e o ) ， 这里z + = ( p + ，q + ) 耳是l 相对于某个特征值a 的一个固定的特征向量，并且l i z + | | = 1 定义o q 为q 相对于 5 ( 盯u - 1 p + ，g v - l q + ) + ( 口u - l p ，c r v - l q ) + z o l s 冗，( p ，g ) 度，翔6 - 肠 的边界则我们需要证明对任何z o q 存在适当的口 o ，m o 使得以，( z ) o 这与 引理2 4 类似，但为了后面证明的需要，我们具体写出如下对s 冗+ ，( p ，q ) e 和 如e o 我们设 z = s ( 盯u - 1 p + ，仃”一1 口十) + ( a u - l p ，o v - 1 9 ) + 韧， 则由( 21 ) ，( 2 3 ) ，( 2 2 ) ，( 2 4 ) 及z + = ( p + ，) e + 是上相对于特征值a 的一个固定的特征 向量，并且i 珥| | = 1 我们有 1 a ( z ) = 三日( 2 ，z ) ，2 ” = ( s 口u - l p + + o u - l p + p o ) ( s 口”一1 寸+ + o v - 1 0 ) d t ，u ，2 ” = 口u + v - - 2 ( s 2 p + 口+ + p 日) 毗 1 5 = 仃u + 一2 ( ；s 2 b ( z + ，名+ ) + a ( ( p ，g ) ) ) = a u + v - 2 ( 互1 s 2 ( l z + ，z + ) 一舭p ，a ) 胪) = 。n + ”一2 ( ；s 2 ( a z + ，z + ) 一1 1 ( p ，q ) 1 1 2 ) = 一u + u 一2 i s 2 a _ | | ( p ，口) 1 1 2 1 从假设( h 1 ) 我们有对s = 0 以( z ) 0 由于倍”s i i l j t d t = o ，詹”c o s j t d t = 0 ，( p + ，q + ) 皿，( 鼽g ) e 一则由e + ，e 一定义有 厅扩1 ( s p + + p ) + p o ) d t = z “p o d 唧。上( 扩1 ( + p )= 厂= 2 唧。 从上式及h 6 1 d e r 不等式有 所以 从( 31 6 ) 可得 i p o l = 1 o 打_ l ( s p + + p m 0 ) d j i 0 打旷1 ( 印+ + p ) + 洲 去( 门一s p + + p ) + p 矿a z ) = ( 2 ”) 一| | 口“一1 ( s p + + p ) + p o l l 。， ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 2 7 r l p o l 。1 1 0 ”一1 ( 印+ + p ) + p o f f ： ( 3 1 6 ) a ( u _ 1 ) 。p + + p ) i i ：_ 厂“矿一1 ( 印+ + p ) l n 出 ，2 ” 2 。上( 1 0 ”1 ( 叭+ p ) + p 。i 。+ i p o l 。) d r = 2 。( 1 1 0 “一1 ( s p + + p ) + p o | | ：+ 2 7 r i p o i 。) s 2 。+ 1 0 口“一1 ( s p + + p ) + p o e ( 31 7 ) 由( 3 1 6 ) ，( 31 7 ) 我们有 既 类似有 a ( “- i ) 。i i ( 5 p + + p ) l l g + 2 r p o i 。2 。+ 10 口“ 2 a + 2 i l 口“ 1 ( 印+ + p ) + p o l l ：+ i i 口“一1 ( s p + + p ) + p o i i ： 1 ( s p + + p ) + p o i i g i l o u - l ( 帆+ p ) + p o f g 刍( 扣_ 1 ) 。i i ( s p + + 删i ：+ 2 7 r j p 0 i 。) 扩1 ( s 刊+ 训1 2 赤( 扣- 1 ) 4 s q + + q ) 1 1 2 + 2 m i 1 4 ) 1 6 令c 3 = m i ，- 南，赤) ，结合引理a 对于q 中一般的点有 ，2 k h z ，k r ) d t k c l ( | | 口“一1 ( s p + + p ) + p o l l z j 0 + 1 1 口”一1 ( s q + + q ) + q 0 1 j 2 ) 一2 k t r c 2 k c l c 3 ( 口( u - 1 ) 。j | s p + + p i z - i - 口扣一1 ) 4 i i s q + + q | | 2 + 2 7 r ( i p o l 。+ i q o l 4 ) ) 一2 k 7 r c 2 我们假没a ( 对于o t 卢的情况能类似的进行处理) ，通过三角不等式有 i i s p + 忆； i s p + + p 忆+ 扣+ 刊k 刚于( p ，q ) e 一从引理c 及i = 一。对任何z l y 成立有 芦= q ，参= 一q ，一p = i ， 当( p + ，q + ) e + 类似可得 p + = 可+ 从( 3 2 0 ) ，( 3 2 1 ) 及引理d 我们有 i l s p + 一p | | n = | | s i + - i - i l | n k ( c o l l s q + + q + i l 。 由h s l d e r 不等式我们有 ，2 ” 1 1 5 9 + + 训：5y o1 8 + q l 。l d t s ( 厅s q + + q r ；t i t ) 5 ( 0 2 ”1 岳d r ) 皆 = 忙+ 训g ( 2 7 r ) 矿 令c 4 ：i k ( c v ) ( 2 ”) 弩，则从( 3 1 9 ) ，( 3 2 2 ) 和( 3 2 3 ) 有 怖+ i i n 扣印+ + p 忆+ c 4 物+ + q l l p 口：j 此存在常数c 0 满足 i i s p + + p l 。s c ， 或者 i i s g + + q 怕兰s c 这是因为若对任何c 0 都有 1 1 5 p + + 刮i nss c ，l l s g + + q l l 口s5 c 1 7 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) f 3 2 0 ) ( 32 1 ) f 3 2 2 1 ( 32 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 艄么 f f s p + l l n 言| | s p + + p l l n + c 4 s q + + 口l l 口 细( ；+ q ) ， 令cj 0 ，则i l s v + l l = 0 则p + = 0 ，由引理c 有q + = 0 与h ( p + ，q + ) l l = 1 矛盾所以 ( f2 4 ) ，( 32 5 ) 必有一成立在情况( 3 2 4 ) 从( 3 1 4 ) 和( 3 ，1 8 ) 我们有 如，( z ) 兰r 1 u + ”- 2 a 5 2 一k c lc 3 口( “) 。，+ 2 k 7 i - c 2 ， ( 3 ，2 6 ) 秘晴况( 3 2 5 ) 从( 3 1 4 ) 和( 3 1 8 ) 我们有 以，f ( z ) s 扩“- 2 a s 2 一k c l c 3 c a a 扣。4 + 2 k 7 c c 2 0 2 7 ) 取s = o ，当口足够大的时候从( 3 1 1 ) ，( 3 2 6 ) 和( 3 2 7 ) 有 j k ，( z ) 0 ( 3 2 8 ) 最后确定m 给定s ( o ，我们从( 3 1 4 ) ，( 3 1 8 ) 有 以，( 2 ) ；a u + v - 2 a s 2 一口蚪”2 i i ( p ，q ) 1 1 2 2 k ”c l c 3 ( i p o l 。+ i q o l 4 ) + 2 k 哟 ；a 口“+ ”一c r u + v - 2 i i ( p ，q ) 1 1 2 2 k 7 r c l c 3 ( i p o 【。+ i q o l ) + 2 k 7 r c 2 ， 因此当m 足够大时并且8 ( p ，g ) 十如= m 时我们有 以耳( z ) 0 所以从( 3 1 5 j ，( 3 2 8 ) 和( 3 2 9 ) 我们有 以，0 ) 0b _ 8 q ( 3 2 9 ) 这样定理b 提供了 以，( e ) = a ( ) 一k 日( e ，k r ) d r 自0 一个临界点靠，f ( r ) e ，这里k 依赖k ，并且由 1 当k 充分大的时候是( 3 1 0 ) 的非平 凡解，记为矗( r ) 注意c 1 ( 打) 也满足( 3 1 0 ) 这是因为 型d r ：k 掣球，凰( e 1 ( ，) m挑r 1 n 1 、”， k - 面记 以( e ) = a ( e ) 一k 日( ( ( r ) ，k r ) d r ， 如果( 1 ( ：r ) = 靠( r ) ，易得 呶以( 靠) = ，( 靠) = ( e 1 ) = k d l ， 1 8 这是凼为 r 2 7 r 以( 靠( r ) ) = a ( 厶( 丁) ) 一日( “) ，k r ) d r j 0 = 厂时) 了d q k ( t ) 删洲吐d r = 女z “p 1 ( 百d q l ( k _ r ) 一日( ( 1 ( 川，d r = 广p i ( s ) 百d q l ( s ) 一球l ( s 小) d s = k j l ( ( 1 ( 5 ) ) 由定理b 有d - 0 ，因此当k - o 。时d k _ o o 这是不可能的，下面我们将展示也关于 是一致有界的由定理b ，( 3 1 4 ) 及( h 1 ) d k s u p 以k ( z ) z e q 2 。! 。! 。，。s ( s u 。pau+v-2(；s211(，。)llq)+zoll2 ) 一：2 ”日k ( 。，女r ) d r _ m 2 o ! s ! 口，o s l ( p ， 。 ，o s a 口u + v ( ) ， 这里我们用。( ) 强调其依赖于k 参数a ( k ) 是被( 3