（基础数学专业论文）cuntz代数的扩张及相关问题研究.pdf

摘要 我倪考虑了纯无限单的c * 。代数的扩张阚题。我们刻画了纯嚣限 单的c * 代数通过紧算子代数域稳定的纯凭限单c 。代数的扩张代数 的k 理论，并且讨论了这些扩张代数的某些性质 我们构造了c u n t z 彳弋数通过紧算子代数在同梅意义下酶所有扩张， 计算了它们的k 群及半群，并利用半群对它们进行了分类 我们还考虑了与扩张代数穗关豹离簇。跑蠡投影及香元懿掇舞， 逼近内自同构等 关键词：c + 代数，扩张，纯无限，k 一理论 a b s t r a c t w ec o n s i d e re x t e n s i o na l g e b r a so fu n i t a lp u r e l yi n f i r f i t es i m p l ec + a l g e b r a ( - t h e o r yo fe x t e n s i o na l g e b r a so f8u n i t a lp u r e l yi n f u 正t es i m p l ec 4 一a l g e b r ab y t h e , c 4 一a l g e b r ao fc o m p a c to p e r a t o r so i las e p a r a b l ei n f i n i t ed i m e n s i o nh i l b e r t s p a c eo r s t a b l ep u r e l yi n f i n i t es i m p l ec 4 - a l g e b r ai sd e s c r i b e d ，w ea l s op r o v e s o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so ft h e s ee x t e n s i o na l g e b r a s w c o n s t r n c tr e p r e s e n t a t i v e sf o ra l le q u i v a l e n c ec l a s s e so ft h eu n i t a l 盼 s e l i t i a le x t e n s i o na l g e b r a so fc u n t za l g e b r ab yt h ec * - a l g e b r a so fc o m p a c t o p e r a t o r s 、 ，ea l s oc o m p u t et h e i rk - g r o u p sa n ds e m i g r o u p sa n dd a s s i f yt h e s e e x t e n s i o na l g e b r a su pt oi s o m o r p h i s mb yt h e i rs e m i g r o u p s 。 k e yw o r d s ：c + a l g e b r a ，e x t e n s i o n ，p u r e l yi n f i n i t e ，k t h e o r y l c h a p t e r i e x t e n s i o n so fp u r e l y i n f i n i t es i m p l ec 木- a l g e b r ai i nt h i sc h a p t e r w ew i l lc o m p u t ek t h e o r yf o rc * - a l g e b r aew h i c hi st h e e x t e n s i o no fp u r e l yi n f i n i t es i m p l ec 4 一a l g e b r a sab y i 。t h ec 8 一a l g e b r ao fa l l c o m p a c to p e r a t o r so ns e p a r a b l ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c e 、 kp r o v e d t h a tk o ( 日i st h eg r o u po f 出lm u r r y - v o nn e u m a l me q u i v a l e n tc l a s s e so fa l l i n f i n i t ep r o j e c t i o n si nea n d 硒( e ) i st h eg r o u po fa l lh o m o t o p ye q u i v a l e n t c l a s s e so fu n i t a v i e si ne a saa p p l i c a t i o n ，w eg i v es o m ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n s o fl i f t i n gu n i t a r i e so fa 1 i n t r o d u c t i o n k - t h e o r yw a sd e v e l o p e db ya t i y a ha n dh i r z e b r u c hi nt h e1 9 6 0 sb a s e do n w o r ko fg r o t h e n d i e c ki na l g e b r a i cg e o m e t r y i tw a si n t r o d u c e da sat o o li n e + a l g e b r a s h e o r yi nt h ee a r l y1 9 7 0 sa n db e c o m eap o w e r f u lt 0 0 1 t w oa p - p l i c a t i o n sd e m o n s t r a t e dt h ei m p o r t m a c eo fk 。t h e o r e mt oc + a l g e b r a s 0 t i e i st h ec l a s s i f i c a t i o no fa f - a l g e b r a s ，g i v e nb ye u i o t t ，b yt h e i ro r d e r e d 娲一 g r o u p s t h i sr e s u l ti n d i c a t e dt h ep o s s i b i l i t yo fc l a s s i f y i n gam o r eg e n e r a lc l a s s o fc 4 a l g e b r a sb yt h e i rk t h e o r y a n o t h e ri m p o r t a n ta p p l i c a t i o no fk t h e o r y w a sp i m s n e ra n dv o i c u l e s c u sp r o o f ( 1 1 2 ) o ft h ef a c tt h a t 嚷d ( 携) h a sd o p r o e c t i o n so t h e rt h a n0a n d1 b e s i d e s ，k t h e o r yi sa l s ov e r yu s e f u li nn o d c o m m u t a t i v eg e o m e t r y ，a l g e b r a i ct o p o l o g y , a n dp h y s i c sa m o n gm a n yo t h e r s u b j e c t s s i n c et h eb r o a da p p l i c a t i o n so fk - t h e o r y , i ti si m p o r t a n tt os t u d yk - t h e o r y j c u n t zi n t r o d u c e dp u r e l yi n f i n i t es i m p l ec + 一a l g e b r a si n 【6 】6a n dc o m p u t e d t h e i rk t h e o r y , l e tab ea c * - a l g e b r a 。a n dl e tp ，qb ep r o j e c t i o ni na 。、js a yt h a tp a n d ga r em u r r y - v o nn e u m a n ne q u i v a l e n t ，d e n o t e db yp q ，i ft h e r ei sap a x t , i a l i s o m e t r yv as u c ht h a tv * v = p ，口 = 口w ed e n o t e db y 翻t h ee q u i v a l e n c e c l a s sc o n t a i d 8p 3 l e tab eac * - a l g e b r a 。a n dl e tpb eas e to fp r o j e c t i o n si naw h i c hs a t i 8 _ l y i n g ： ( 1 1 1 ) ：i f p ，g ，a n d 鞭= 0 ，t h e n p + q p 。 ( 1 1 2 ) ：i f p p ，p i sa p r o j e c t i o n i n aa n d p 一，t h e n e p ( 3 ) ：f o rp ，q p ，t h e r ei sap r o j e c t i o n 矿ps u c ht h a tp 一p ， ， a n dg 一矿毫尹 1 1 4 ) ：i fqi sap r o j e c t i o ni naa n dt h e r ei sap r o j e c t i o np ps u c ht h a t p q ，t h e nq p t h e o r e m1 1 ( 陶，t h e o r e m1 4 ) l e tab eau n i t a lc 。a l g e b r a 珏t h e r ei s 8 ，n o n e m p t ys e tp o fp r o j e c t i o ni nas a t i s f i e st h ea b o v ef o u rc o n d i t i o n s t h e n 硒( a ) = 渊i p p ) ap r o j e c t i o npi n8 c * - a l g e b r aa i sc a 篮e di n f i n i t ei ft h e r ei sa p r o j e c t i o n p as u c h t h a t p 一， p 。 t h e o r e m1 2 ( 【6 】，t h e o r e m1 5 ) l e tab eas i m p l ec 毕| a l g e b r a t h e nt h e s e to fa 鞋i n f i n i t ep r o j e c t i o n so fas a t i s f i e st h ea b o v ef o u rc o n d i t i o n s + as i m p l ec * - a l g e b r aai ss a i dt ob ep u r e l yi n f i n i t e ，i fa ca n di fe v e r y n o n z e r oh e r e d i t a r yc * - s u b a l g e b r ac o n t a i n sa l li n f i n i t ep r o j e c t i o n ， e v e r yn o n z e r op r o j e c t i o ni nap u r d yi n f i n i t es i m p l ec * - a l g e b r ai si n f i n i t e t h e nb yt h e o r e m1 1 ，f o rp u r e l yi n f i n i t es i m p l ec * - a l g e b r aa ， 娲固= 溺i sa n o n z e r op r o j e c t i o ni na t h e o r e m1 3 ( 澍，t h e o r e m1 9 ) l e tab eau n i t a lp u r e l yi n f i n i t es i m p l e c 8 a l g e b r a t h e nk 1 锄= b l ( a ) u , o 妲) 。 l e t 伤；b ec n n t za l g e b r a ，au n i t a lp u r e l yi n f i n i t es i m p l eg 术| a l g e b r a ，l e t 磊b eau n i t a le s s e n t i a le x t e n s i o no f 瓯b y ( 1 0 1 ) ，i e ， 0 _ 一b 一瓯一0 i sas h o r te x a c ts e q u e n c e ，p = p i k 瓦i sap r o j e c t i o n ，t h e nps a t i s f i e s ( n 1 ) 一( h 4 ) ( 【i 0 1 ) t h e r e f o r e9 0 ( j k ) = 嘲f p 甄。v ci s8p r o j e c t i o n t h e s e 谤p eo fr e s u l t si sv e r yi m p o r t a n ti nt h ec l a s s i f i c a t i o no fc e r t a i nc * - a l g e b r a s ( 1 1 】) i nt h i sc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h eg e n e r a lc a s e w ew i l lp r o v et h es i m i l a r r e s u l t sf o ra n yu n i t a lp u r e l yi n f i n i t es i m p l ec 8 a l g e b r a m o r ep r e c i s e ，l e tab e au n i t a lp u r e l yi n f i n i t es i m p l ec + a l g e b r a ，a n dl e t o _ _ 耍_ a _ 0 4 b e8t m i t a le s s e n t i a le x t e n s i o no f 点渺艽。p u t 罗一 尹章e i sap r o j e c t i o n w ew i l ls h o wt h a tps a t i s f i e s ( 1 ) 一( h 4 ) ，a n dh e n c e 凰( 露) = 纠旧p ) ， k 】f 嚣) = u ( e ) u o ( e ) 。w eb e l i e v et h a tt h e s er e s u l t sa r eu s e f u lf o rt h et h e c l a e s i f i c a t i o no fc e r t a i nc * - a l g e b r a s a sa na p p l i c a t i o no ft h em a i nt h e o r e m ，w eg i v et h ee q u i w a l e n tc o n d i t i o n s o fl i f t a b l eo fu n i t a r i e si na 52 k sg r o u p d e f i n i t i o n2 1 ( 闻) l e tab eau n i t a lc * - a l g e b r a + w es a yt h a tai sr e a l r a n kz e r o ，d e n o t e db yr r ( a ) = 0 ，i ft h es e to fi n v e r t i b l es e l f - a d j o i n te l e m e n t s i sd e n s e i n 鼻。8 l e tab eau n i t a lp u r e l yi n f l n i t es i m p l ec 奉| a l g e b r a ，t h e nr r ( a ) = 0 l e m m a2 2l e tab e8u n i t e dp u r e l yi n f i n i t es i m p l ec * - a l g e b r a 。 0 “配e _ a h0 i sau n i t a le s s e n t i a le x t e n s i o no fab y 瓦，t h e n ( 1 ) e v e r yp r o j e c t i o ni nal i f t st oap r o j e c t i o ni ne ，i e ，f o ra n yp r o j e c t i o n 声a ，t h e r e i sap r o j e c t i o np e s u c h t h a t7 r ) = 声 2 ) r r ( e ) = 0 + ( 3 ) e v e r yp a r t i a li s o m e t r yi na l i f t st oa p a r t i a li s o m e t r yi ne ，i e ，f o ra n y p a r t i a li s o m e t r y 够a ，t h e r ei sap r o j e c t i o n 口es u c ht h a t7 r ( ”) = 面 p r o o f ：( 1 ) i ti sf o l l o w e db yt h e o r e m2 1 2o f 1 5 js i n c er 冗( ) = 0a n d 蜀l ( 足) = 0 ( 2 ) i ti sf o l l o w e db y ( 1 ) a n dt h e o r e m3 1 4o f1 4 ls i n c er r ( a ) 一0 。 ( 3 ) s i n c eoi sap a r t i a li s o m e t r y , 芦一o + oi sap r o j e c t i o n b y ( 1 ) ，t h e r e i sap r o j e c t i o np es u c ht h a t 丌( 癣= 笋l e t 静es u c ht h a t 耳 封) = 云 s i n c e7 r ( v p ) = v p = o 一7 r ( ) ，w em a ya s s u m et h a tv p = b yc o n s i d e r i n gv p s i n c e ”f 口+ 管一p ) = 0 ，v * v p ；勋s i n c e 西ph a saa p p r o x i m a t ei d e n t i t y c o n s i s t i n go fp r o j e c t i o n s ，t h e r ei sap r o j e c t i o np o p 坳s u c ht h a t | | ( p 一渤) 口+ v ( p p o ) 一晒一p o ) l l = | i ( p p o ) ( v + 一p ) 妇一v o ) l i 1 t h e n 。= 一p o ) v v ( p p o ) i si n v e r t i b l ei n 一p o ) a 西一p o ) l e ty i st h e i n v e r s eo fzi n ( p p o ) a ( p p o ) ，t h e ny 0 p u tw u g ，t h e n w + 删= j 掣+ ”i = y s x y i 攀p p 0 ， 5 a n dh e n c e 材i sap a r t i a li s o m e t r yi ne 。s i n c e 嚣( ) = 算， 嚣( 挈) = ：霄 琴国；珞) ) = = 霄( g ) f ( 。) = v ( y z ) = ”扫一；毡) = 萝。 t h e n 宵( t # = 口( 。) 霄( 擎) = = 移= i ， t h e o r e m2 3l e tab eau a i t a lp u r e l yi n f i n i t es i m p l ec * - a l g e b r a 0 一_ e 二a 一0 i sau n i t a le s s e n t i a le x t e n s i o n l e t 尹= 妇e l pi sa p r o j e c t i o n = p e fpi sap r o j e c t i o na n d 丌0 ) o ) t h e np s a t i 琏e s ( 娃1 卜( 妊4 ) p r o o f ：( n 1 ) 1 e tp ，口pa n dp q = 0 t h e n7 r 十q ) = 盯0 ) 十丌( q ) 0 ， a n dh e n c e p + 譬尹。 ( u 2 ) l e tp p ，p i sap r o j e c t i o ni nes u c ht h a tp 一，t h e nt h e r ei sa p a r t i a li s o m e t r y 静es u c ht h a t 矿瞽= p ，w + 茹。s i n c e 万= 嚣扣) + 霄( 蛰) 0 ，) = ( ) 7 r ( ) + 0 ，t h a t i s p t p ( 羝) l e tqi s8p r o j e c t i o ni ne i ft h e r ei sap r o j e c t i o np 矽s u c ht h a t p q ，t h e n 订( q ) 7 r 0 ) 0 ，a n dh e n c e 玎( 口) 0 ，口p w e n o w p r o v e 珏3 ) l e t p ，q 尹，t h e n 霄( p 0 ，霄( ) 0 s i n c e a i s p u r e l y i n f i n i t es i m p l e ，t h e r ei sa p r o j e c t i o n ，o as u c ht h a t ，0 0 ，1 一，e 莨，t h e r ei sap a r t i a l i s o m e t r y 执es u c ht h a t ： l = p p o ， 1 u ；1 一，0 p u t 计= v 0 + v l ，t h e nv * v p - l e t ，= v ? j + ，t h e n f pa n df ( ，) = ( 知) = f o v f v + i f l q ，t a k ee 一1 一qa n d = l _ i f l q 隹咒， t h e n ( 1 一q ) t c ( 1 g ) 馨，a n dh e n c ei t h a sa a p p r o x i m a t e l yi d e n t i t ye 。 s i n c e ”( ，) 0 ，t h e r ei sal a r g e i n t e g e rns u c h t h a tl l ( q + e n ) ，国+ e n ) 一川 g ，a n dh e n c e t h e r e i sa p r o j e c t i o n g 口+ e na n du n i t a r y 钞s u c ht h a tv f v * = g a n dl 沁一l n g = v f v 4 ， w h e r ee = e n ， n o ww eo n l yn e e dt os h o wt h a tg + e i se q u i v a l e n tt oas u b p r o j e c t i o no f q b yt h ep r o o fo fl e m m a 2 1o ff 1 0 1 ，t h i se q u i v a l e n tt op r o v et h a tt h e r ei s an o n z e r op r o j e c t i o ne q l c qs u c ht h a tqi se q u i v a l e n tt oas u b p r o j e c t i o no f q e s i n c e 嚣曲0 ，a n da i sp u r e l yi n _ f i n i t es i m p l e ，t h e r ei sa p a r t i a li s o m e t r y 而as u c ht h a t 而粕= 丌( q ) ，而南+ 7 r ( 口) t h e nq 一面+ 粕q l c q 型赶i sa p r o j e c t i o no f f i n r e r a n k ，q - 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t h e o r y ： 0 一甄