（应用数学专业论文）可测空间上的粗糙集模型及其应用.pdf

， q ， ， ， ， t c l a s s i f i e di n d e x ：0 2 2 4 u d c ：5 1 7 9 8 d i s s e r t a t i o nf o rt h em a s t e r d e g r e e r o u g hs e tm od e la n d i t s a p p l i c a t i o n g so nm e a s u r a b l e s p a c e c a n d i d a t e ： s u p e r v i s o r ： a c a d e m i c d e g r e ea p p l i e df o r ： s p e c i a l i t y ： d a t eo fs u b m i s s i o n ： d a t eo f0 r a le x a m i n a t i o n ： u n i v e r s i t y ： a nl i n a p r o f l if a c h a o m a s t e ro fs c i e n c e a p p l i e dm a t h e m a t i c s n o v e m b e r , 2 0 0 9 d e c e m b e r , 2 0 0 9 h e b e iu n i v e r s i t yo fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g y ，1 河北科技大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权河北科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 口保密，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 酥保密。 ( 请在以上方框内打“4 ) 指导教师签名： n 静即 1 吖年月，多日 。l ： 摘要 摘要 波兰数学家z p a w l a k 于1 9 8 2 年提出的粗糙集理论是一种刻画不完整性和不 定性的数学工具，它能有效分析和处理模糊、不一致和不完整等各种不完备信息， 从中发现隐含的知识揭示潜在的规律。目前，粗糙集理论巳成功应用于机器学习 决策分析、过程控制、模式识别与数据挖掘等领域。在过去的2 0 多年中，许多学 结合不同的实际背景，从不同的层面研究和讨论了粗糙集的理论和应用问题。 模糊性是现实世界中广泛存在的现象，是众多实际领域不可回避的问题。1 9 年，美国控制论专家z a 4 e h 提出了模糊集合的概念并创立了模糊集理论，为不确 信息的描述与处理莫定了基础。 许多学者丰富了p a w l a k 粗糙集理论，并且在许多具体领域取得了成功的应用， 但这些理论均不能有效地处理具有模糊性特征的数据约简和知识发现问题。本文针 对具有模糊性特征的数据约简和知识发现问题，建立了基于可能性测度的粗糙集模 型和基于模糊测度的粗糙集模型。 首先针对具有可能性特征的知识约简的问题，建立了基于可能性测度粗糙集模 型，并讨论了上下近似算子的性质，结合具体实例探讨了基于可能性测度粗糙集模 型的应用问题。结果表明，该模型不仅包容t p a w l a k 粗糙集模型，而且具有良好的分 析性质，可以有效的解决具有可能性特征的信息处理问题。 其次，针对具有模糊特征的数据约简问题建立了基于模糊测度的粗糙集模型，并 在模糊近似空间上讨论了上下近似算子和a 一模糊测度满足的一些性质，最后给出了 该模型的简单应用。 关键词粗糙集；属性约简；可能性测度；模糊测度：名一模糊测度；模糊积分 一 叶 ，a b s t r a c t r o u g hs e tt h e o r y , w h i c hw a sp u t 如r w a r db yap o l i s hm a t h e m a t i c i a n n a m e dz p a w l a ki n19 8 2 ，i s ap o w e r f u lt o o lf o rp r o c e s s i n gi m p e r f e c t i o na n du n c e r t a i n t yk n o w l e d g e hc a ne f f e c t i v e l ya n a l y z ev a g u e n e s s ，i n c o m p l e t e ，i n c o n s i s t e n t , a n dav a r i e t yo fi n c o m p l e t e i n f o r m a t i o n ，a n dr e v d i ih el a wo ft h ep o t e n t i a lt h r o u g hd i s c o v e r i n gt h eh i d d e nk n o w l e d g e c u r r e n t l y , r o u g hs e tt h e o r yh a sb e e na l r e a d ya p p l i e ds u c c e s s f u l l yi ns o m ea r e a s ，s u c ha s m a c h i n el e a r n i n g ，d e c i s i o na n a l y z i n g ，p r o c e d u r ec o n t r o l l i n g ，p a t t e r nr e c o g n i t i o na n d d a t em i n i n ge t c i nt h ep a s t2 0y e a r s ，m a n ys c h o l a r sh a v ed i s c u s s e dt h er o u g hs e tt h e o r y a n di t sa p p l i c a t i o n sf r o md i f f e r e n tl e v e l sa c c o r d i n gt od i f f e r e n ta c t u a lb a c k g r o u n d v a g u e n e s si saw i d e s p r e a dp h e n o m e n o ni nt h ew o r l da n da nu n a v o i d a b l ep r o b l e mi n m a n yp r a c t i c a la r e a s z a 。h e dp u tf o r w a r dt h ec o n c e p to ff u z z ys e t sa n de s t a b l i s h e dt h e f u z z ys e tt h e o r y , w h i c hb u i l taf o u n d a t i o nf o rd e s c r i b i n ga n dd e a l i n gw i t hu n d e f i n e d k n o w l e d g e m a n ys c h o l a r sh a v ee n r i c h e d t h ep a w l a kr o u g hs e tm o d e l ，a n dh a v em a d es o m e s u c c e s s f u la p p l i c m i o n s ，b u tt h e s et h e o r i e sc a l ln o te f f e c t i v e l yd e a lw i t ht h ed a t ar e d u c t i o n a n dk n o w l e d g ed i s c o v e r yw i t hf u z z yc h a r a c t e r i s t i c i nt h i sp a p e r , w ee s t a b l i s ht h er o u g h s e t m o d e lb a s e do np o s s i b i l i t ym e a s u r ea n dt h er o u g hs e tm o d e lb a s e do nf u z z ym e a s u r ef o rd a t a r e d u c t i o na n dk n o w l e d g e d i s c o v e r yp r o b l e m sw i t hf u z z yc h a r a c t e r i s t i c s f i r s t l y , f o rd a t ar e d u c t i o np r o b l e m sw i t hp o s s i b i l i t yc h a r a c t e r i s t i c s ，w es e tu p t h er o u g h s e tm o d e lb a s e do np o s s i b i l i t ym e a s u r ea n dd i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft h eu p p e ra n dl o w e r a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s it h e n ，w ea n a l y z et h ea p p l i c a t i o no f t h er o u g hs e tm o d e lb a s e do n p o s s i b i h t ym e a s u r et h r o u g h a l le x a m p l e a l lt h er e s u l t ss h o wt h a tt h er o u g hs e tm o d e lb a s e d o np o s s i b i ! i t ym e a s u r en o to n l yi n c l u d ep a w l a kr o u g hs e tm o d e l ，b u ta l s oh a sab e t t e r a n a l y s i sp r o p e r t y t h i sm o d e lc a nb eu s e dt os o l v ei n f o r m a t i o np r o c e s s i n gp r o b l e mw i t h p o s s i b i l c h a r a c t e r i s t i c se f f e c t i v e l y - s e c o n d l y ，w es e tu pt h er o u g hs e tm o d e lb a s e do nf u z z ym e a s u r ef o rd a t ar e d u c t i o n p r o b l e m sw i t hf u z z yc h a r a c t e r i s t i c sa n dd i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so f t h eu p p e ra n dl o w e r a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r sa n da f u z z yo p e r a t o r t h e n ，w eg i v eas i m p l ee x a m p l e k e yw o r d sr o u g hs e t ；a t t r i b u t er e d u c t i o n ；p o s s i b i l i t ym e a s u r g ；f u z z ym e a s u r e ；力一f u z z y m e a s u r e ；f u z z yi n t e g r a l i l 摘要。 a b s t r a c t ： 第l 章绪论。 1 1 研究背景 1 2 粗糙集理论研究的现状与最 1 2 1 扩展模型 1 2 2 粗糙集理论的应用 1 3 本课题研究的重点、研究意 第2 章预备知识 2 1 粗糙集理论的基本知识6 2 1 1 知识与知识库6 2 1 。2 不精确范畴、近似于粗糙集7 2 1 3 知识约简：1 0 2 2 模糊测度理论1 0 ：叼笆_ 。 2 2 1 模糊测度的概念及其性质1 2 2 2 2 几种特殊的模糊测度及其性质1 2 2 3 模糊积分1 3 2 3 1 模糊积分的概念1 3 2 4 本章小结1 4 第3 章基于可能性测度的粗糙集模型1 5 3 1 主要结果- 。15 3 1 1基本理论1 5 3 1 2 基于可能性测度的上下近似算子豹性质1 6 3 2 实例分析1 8 3 3 本章小结。2 1 第4 章基于模糊测度的粗糙集模型2 2 4 1 模糊测度空间上的上下近似算子2 2 4 2 基于模糊测度的上下近似算子的性质2 3 4 3 实例分析。2 5 4 4 本章小结：2 8 结论。2 9 t i i 河北科技大学硕士学位论文 参考文献：3 0 攻读硕士期间所发表的论文：3 4 致谢j 3 5 i v 第l 章绪论 第1 章绪论 1 1 研究背景 粗糙集理论【培】是一种新型的魅理模糊和不确定知识的数学工具。目前已在人工 智能、知识与数据发现模式识别与分类、故障检测等方面得到了广泛应用。粗糙集( r s ) 理论是一种有效的分析和处理不精确、不一致和不完整等不完备信息的新型数学工 具。由于最初关于粗糙集理论舶研究主要是用波兰语发表的，因此当时并没有引起 国际数学界与计算机学界的重视，研究地域也仅限于东欧国家。从2 0 世纪9 0 年代起 粗糙集理论逐渐成为信息科学的一大研究热点，受到越来越多国内外学者的关注。 1 9 9 2 年，第一届关于粗糙集理论的国际学术会议在波兰召开。1 9 9 5 年a c m c o m m u n i c a t i o n 将其列为新浮现的计算机科学的研究课题。1 9 9 8 年，信息科学杂志 ( i n f o r m m i o ns c i e n c e s ) 还为粗糙集理论的研究出版了专辑。2 0 多年来，粗糙集理论 的研究越来越深入并且已经成功的应用到机器学习与知识发现，数据挖掘，决策支 持与分析等领域【3 8 】，但由于其严格的等价关系限制了粗糙集的发展和应用针对这个 问题，d u b o i s 和p r a d e 9 - 1 0 提出了模糊粗糙集的概念，作为粗糙集的一个模糊推广。目 前粗糙集理论已成为国内外人工智能领域中一个较新的学术热点，引起了越来越多 科研人员的关注。 模糊集理论【1 1 】首先是由美国控制论专家l a z a d e h 教授于1 9 6 5 年提出的也是 一种处理模糊和不确定方向知识的数学工具，它已成功的应用于模糊控制、模式识 别、模糊聚类分析模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等 各个方面。1 9 7 8 年，z a h e d 在模糊集理论的基础上又提出了可能性理论【i2 | 。 1 1 1 粗糙集理论的特点 1 ) r s 不需要先验知识。模糊集和概率统计方法是处理不确定信息的常用方法 但这些方法需要一些数据的附加信息或先验知识，如模糊隶属函数和概率分布等这 些信息有时并不容易得到。r s 分析方法仅利用数据本身提供的信息，无需任何先验 知识。 2 ) r s 是一个强大的数据分析工具。它能表达和处理不完备信息，能在保留关 键信息的前提下对数据进行化简并求得知识的最小表达；能识别并评估数据之间的依 赖关系，揭示出概念简单的模式，能从经验数据中获取易于证实的规则知识，特别 适于智能控制。 3 1r s 与模糊集分别刻画了不完备信息的两个方面。r s 以不可分辨关系为基础， 侧重分类，模糊集基于元素对集合隶属程度的不同，强调集合本身的含混性。从r s 河北科技大学硕士学位论文 的观点看，粗糙集合不能清晰定义的原因是缺乏足够的论域知识，但可以用一对清晰 集合逼近。有关r s 和模糊集内在联系的阐述及模糊粗糙集的概念，r s 和证据理论也 有一些相互交叠之处在实际应用中可以相互补充。 1 2 粗糙集理论研究的现状与最新进展 粗糙集以其独特的优势正在赢得越来越多的研究者关注，并在各个应用领域获 得了广泛的应用。然而这仍是一个极其年轻并在高速发展的学科。在过去的2 0 多年 中，许多学者结合不同的实际背景，从不同的层面研究和讨论了粗糙集的理论和应 用问题。 1 2 1 扩展模型 粗糙集理论应用于数据分析时，会遇到噪音、数据缺失、大数据量等一系列经 典理论解决不够理想的问题。因此在近几年的研究中，出现了许多粗糙集的扩展模 型。其中典型的有可变精度粗糙集模型，相似模型等。 1 ) 可变精度粗糙集的研究 传统粗糙集理论也存在一定的局限性，如它处理的分类必须是完全正确或肯定 的，所处理的对象是已知的，且从模型中得到的结论仅适用于这些对象等。这些局 限性都限制了它的应用。许多学者从多方面推广了这一模型，其中最主要的是z i a r k o 提出的可变精度粗糙集( v p r s ) 模型【1 3 d 4 1 。在这个模型中给定一个阈值，当对象所在 的等价类在某种程度上包含于集厶肿时，就认为这个对象属于x 。这一推广在应用 中非常重要，因为实际问题中绝对的包含有时是不必要的。目前，很多学者开始对 v p r s 进行研究，并取得了一定的成绩。k a t z b e r g 和z i a r k o 进一步提出了不对称边界 的v p r s 模型，即在上下近似的定义中的可以是不相同的，从而使此模型更加一般 化。 2 1 相似模型 经典粗糙集模型的基础一不可区分关系一是很强的。在数据中存在缺失的属性 值的时候( 在数据库中很普遍) ，不可区分关系或者说是等价关系无法应付这种情形。 为扩展粗糙集的能力，有许多作者提出了用相似关系来代替不可区分关系作为粗糙 集的基础f 1 5 】。 1 2 2 粗糙集理论的应用 可以说，粗糙集理论由于其在数据挖掘方面的应用而受到广泛的关注。最近几 年，粗糙集理论的应用研究得到了长足发展。这里从几个方面简述相关的应用。由 于研究粗糙集理论应用的文献非常多，我们仅列举其中极少数有代表性的应用。 1 ) 数据缩减与规则生成 2 第1 章绪论 数据缩减与规则生成。k o h a v i 和f r a s c a 等用实验证明，数据库中最有用的子集 并不一定是粗糙集中的相对核，甚至可能不包括完全的核属性集b 6 o n i n gs h a n 则讨 论了基于r s 的从数据中发现规则的增量自适应算法【l7 1 。提出了一种找到最大泛化的 规则和约简的算法和规则与缩减的增量算法。g r z y m a l a b u s s e 和z o u b i 比较了同时 使用可能规则及确定规则和只使用确定规则的性能，发现前者产生较小的错误率 l l 引。c h o u b e y 和d 9 0 u g n n 等的研究得出了同样的结论。他们还在属性选择的题目下 研究了近似约简问题，并给出了几个启发式算法1 1 9 1 。l e n a r c i k 和p i a s t a 研究了在每 个对象的c o s t 不一样时的粗糙分类器。他们的主要方法是对所有的对象定义一个新 的c o s t 属性【2 们。m o l l e s t a dt 和k o m o r o w s k ij 提出了在粗糙集框架下缺省规则生成 的格搜索算法【2 1 1 ，并给出一组启发式搜索策略。 2 ) 大数据集 卣于粗糙集在数据挖掘中具有较大的计算复杂度，受关联规则挖掘算法的启发， 有些作者提出了将关联规则挖掘技巧应用于粗糙集的确定和可能规则生成中来，以 减小粗糙集方法的计算复杂度【2 2 】。n g u y e n 和s k o w r o n 等描述了一种决策表分解方 法【2 3 1 。他们首先使用遗传算法在决策表中寻找代表性的模板( 类似如一条支持度最大 的规则) ，然后将决策表一分为二。满足模板的为一个部分，不满足的为另一部分。 将该过程递归进行，直至决策表的大小满足要求为止，然后再对小决策表生成规则。 当新对象到来时，从顶部开始匹配，直至叶子的规则。 3 ) 多方法融合 由于粗糙集在处理数据时存在一定的缺点，因此有必要把粗糙集和其他不确定 方法结合起来。目前比较常用的作法是粗糙集和神经网络及模糊集的结合应用。 j e l o n e k 等研究了将r s 理论用于神经网络训练数据的预处理，主要进行了属性的缩减 和属性值域的缩减，上述处理有乖忏提高学习效率，并且保持了较低的稳定的近似 分类误差错率f 堋。由于在泛化过程f p 消除了不必要的属性值和在缩减过程中去掉了 不相关的属性，最后的规则是很一般的形式并且可用高层次抽象概念表达。h u 等人 提出了一种将基于属性的归纳概念方法和r s 结合的方法i z5 | ，l i n g r a s 和d a v i e s 研究 了粗糙集和遗传算法的集合，提出了一种粗糙遗传算法【26 。虽然在这方面已经取得 了一定的成绩，但是还有很多难点并没有解决，仍需进一步的研究。 4 ) 信息检索： b e a u b o u e f 等在r s 理论基础上提出了一种r o u 曲关系数据库模型【27 1 ，并定义了 各种r o u g h 关系算子。该模型将r s 的重要性质引入到基本关系模型中，从而使之具 有更好的检索能力和适应性。在此模型中，查询结果返回的是基于属性的r o u g h 关系， 它不仅包含一个查询的确定应答，还包含可能的应答，例如上近似所包含的元组 在盘 。c ro 3 河北科技大学硕士学位论文 5 ) 粗糙逻辑 不少逻辑学家和理论计算机科学家试图通过r s 建立r o u g h 逻辑。p a w l a k 等在 c a c m1 9 9 5 年1 1 期上发表综述，认为研究粗糙逻辑一基于r s 的不精确推理逻辑一 是粗糙集应用研究中最重要的课题之一。l i n 和l i u 等基于拓扑学观念定义了r o u d a 下近似算子l 和r o u g h 上近似算子尉2 引，y a 0 和l i n 通过研究粗糙集和模态逻辑的关 系，提出并研究了一系列扩展粗糙集的性质【2 9 1 。通过使用不同的二元关系作为粗糙 集的基础，可以导出不同的粗糙集代数模型i 相应为不同的模态逻辑。 6 ) 在决策评价中应用 利用粗糙集理论还可以进行决策评价，以给决策者提供正确的决策意见。文 3 0 ，3 1 介绍了有关绿色评价的理论。文 3 2 中应用粗糙集原理，提出了粗糙集综合 绿色度评价法，以提高零件制造工艺绿色度评价的客观性，并阐述了该方法的原理 及运用该方法进行综合评价的步骤。 7 ) 高效的约简算法 约简的求解是一个n p 困难问题，导致n p 问题的主要原因是属性的组合爆炸。高 效的约简算法是粗糙集应用于知识发现的基础，要在令人可接受的时间内获得约简 的通常做法是基于启发式知识的约简方法，国内外学者在这方面做了大量的研究， 现在尚不存在一种非常有效的方法，因此寻求快速的约简算法，及其增量版本这一 问题仍是粗糙集理论的研究热点之一。 总之，粗糙集理论己成为信息科学最为活跃的研究领域之一。同时，该理论还 在医学、化学、材料学、地理学、管理科学和金融学等其他学科得到了成功地应用。 近年来，粗糙集理论的研究成果主要在于，粗糙集理论用确定的方法处理不完备和 不确定的信息和数据，不需要先验知识，可从数据中得到知识，生成决策规贝1 j 1 3 3 - 3 5 】； 围绕粗糙集理论与应用研究，开发出了相应的软件支撑系统，在实际应用中涌现出 了很多成功的范例。 1 3本课题的研究重点、研究意义以及论文结构 如何在模糊测度空间里建立粗糙集模型是本课题研究的重点。当我们遇到的是 具有模糊性特征的数据约简和知识发现问题时，如何利用模糊测度，以及如何利用 粗糙集理论，而该问题的瓶颈在于不确定信息的处理策略。因而，本课题所研究的 基本内容应包括以下几个方面： 1 ) 在测度空间上建立粗糙集模型t 2 ) 与其他模型进行比较； 3 ) 讨论新建模型的一些性质； 4 ) 讨论模型在属性约减、数据挖掘、模式识别等方面的一些应用。 4 息系 决具 挖掘 论文的结构大体安排如下： 第1 章为绪论部分，分别对研究背景、研究内容、当前的研究现状、有待解决 的问题以及文章结构进行简单介绍； 第2 章是预备知识给出了后续章节的一些预备知识，介绍了经典粗糙集的基本 知识，讨论了一些基本性质；介绍了模糊测度的定义，并且给出了几个常用模糊测 度的定义；介绍了模糊积分的基本概念。 第3 章针对具有可能性特征的数据约简和知识发现问题，提出了基于可能性测 度的粗糙集模型，将粗糙集理论引入到可能性测度空间中，并给出了基于可能性测 度的粗糙集模型的上下近似算子，讨论了它们的一些性质，最后给出了该模型在综。蠢。 合评判中应用的例子。 第4 章针对具有模糊特征的不确定信息处理问题，给出了基于模糊测度的模糊 近似空间的概念，在此基础上建立了模糊近似空间上的基于模糊测度的粗糙集模型， 讨论了该模型粗糙近似算子的一些性质，最后给出了该模型的简单应用。 文章最后为结论，总结全文并提出了研究前景展望。 5 河北科技大学硕士学位论文 第2 章预备知识 粗糙集理论是一种新的处理模糊和不确定性知识的数学工具，其主要思想就是 在保持分类能力不变的前提下，通过知识约简，导出问题的决策或分类规则。目前 粗糙集理论已被成功的应用于机器学习、决策分析、过程控制：模式识别与数据挖 掘等领域。本章主要介绍一些有关经典粗糙集理论的基本知识，为后面的讨论提供 理论基础， 2 1 粗糙集理论的基本知识 2 1 1 知识与知识库 设u 痧是我们感兴趣的的对象构成的有限集合，称为论域。任何子集x u ， 称为u 中的一个概念或范畴。u 中的任何概念族称为关于u 的抽象知识，简称知识。 一个划分z 定义为z = 置，x 2 ，k ) ；x j 三u ，置西，对于 刀 f ，f ，j f = 1 ，2 ，甩；u 墨= u 。u 上的一族划分称为关于u 的一个知识库。假设u 为 i = 1 非空等价论域，尺是定义在u 上的一个等价关系， x 】尺表示包含元素x u 的r 等价 类。u r 表示所有等价类的集合。 定义2 1若尸r ，且尸多，则n 尸( p 中所有等价关系的交集) 也是一个等 价关系，称为尸上的不可区分关系，记为i n d ( p ) ，且有 x k = n x 】异。 定义2 2 对于当k = ( u ，r ) 为一个知识库，则i n d ( k ) 定义为k 中所有等价关系 族，记作i n d ( k ) = i n d ( p ) i 痧p r ) 。 例2 1 给定一个玩具积木的集合u = 五，x 2 ，) ，并且假设这些积木有不同 的颜色( 红、黄、蓝) ，形状( 方、圆、三角) ，体积( 小、大) 。因此，这些积 木都可以用颜色、形状、体积这些知识来描述。例如一块积木可以是红色的、小而 圆的，或黄色、大而方的等。如果我们根据某一属性描述这些积木的情况，就可以 按颜色、形状、体积分类。 按颜色分类： x l ，x 3 ，工7 红： x 2 _ 蓝： 毛，旄，黄。 按形状分类： 而，黾圆： 6 第2 章预备知 x 2 ，x 6 方； 黾，x 4 ，x 7 ，三角。 按体积分类： x 2x 7 ，石8 大； 一， x l ，x 3 ，x 5 ，x 6 刀、。 换言之，我们定义三个等价关系( 即属性) 这些等价关系，可以得到下面三个等价类： u r l = x 2 ，x 4 ) ， x l ，x 3 ，x 7 ， x 5 ，x 6x 8 ) ) ， u r 2 = x l ，x 5 ) ， x 2 ，x 6 ) ， x 3 ，x 4 ，z 7 ，x 8 ) ) ， u r 3 = x 2 ，x 7 ，x 8 ) ， x 1 ，x 3x 4 ，x 5x 6 ) ) 。 这些等价类是由知识库k = ( ( ， 足，r ：，r ，) ) 中的初等概念( 初等范畴) 构成的。 基本范畴是初等范畴的交集构成的，例如下列集合： 而，x 3 ，x 7 n x 3 ，x 4 ，x 7 ，x 8 ) = x 3 ，而) ， 而，矗) n 砭，x 6 ) = x d ， 。 x 5 ，x 6 ，x s n x 3 ，x 4 ，x 7 ，x 8 ) = x 8 ) 。 它们分别为 蜀，r ：) 的基本范畴，即：红色三角形，蓝色方形，黄色三角形。 下列集合： ： 一以o “，黾，x 7 n x 3 ，x 7 ，x 8 n x 2 ，x 7 ，x 8 ) = 而) ， 恐，x 4 ) n x 2 ，x 6 n f 屯，x 7 ，x s ) = 恐) ， 鼍，x 6 ，黾) n x 3 ，x 4 ，x 7 ，x 8 n x 2 ，x 7 ，x 8 ) = 。 它们分别为 足r ：r ， 的基本范畴，即：红色大三角形，蓝色大方形，黄色大 三角形。 注意：有些范畴在这个知识库中是无法得到的，例如集合： x 2 ， n 五，x 5 ) = 多， x z ，x 3 ，x 7 n x 2 ，x 6 ) = 痧， 为空集，也就是说，在我们这个知识库中是不存在蓝色圆形和红色方形的范畴， 即为空范畴。 。 2 1 2 不精确范畴，近似与粗糙集 。 令x u ，r 是u 上的一个等价关系，当x 能表达成某些尺基本范畴的并时，称 x 是r 可定义的；否则称x 是尺不可定义的。r 可定义集是论域的子集，它可在知 识库r 中精确定义，而尺不可定义集不能在这个知识库中定义。尺可定义集也称作月 精确集，而r 不可定义集称为r 非精确集或r 粗糙集。 当存在等价关系r i n d ( k ) 且x 为尺精确集时，集合x u 称为k 中的精确集； 7 河北科技大学硕士学位论文 当对于任何的r i n d ( k ) ，x 都为r 粗糙集，则x 称为k 中的粗糙集。 对于粗糙集可以近似地定义，使用两个精确集，即粗糙集的上近似和下近似来 描述。 定义2 3 【1 】任意的x 互u ，r 是定义在u 上的等价关系。二元组( u ，r ) 称做 p a w l a k 近似空间。下面定义的两个子集： 星( x ) = u r u rl 】，x ) ，r ( x ) = u f f u ri 】，n x 痧) ， 分别称为x 的r 下近似集合和尺上近似集合。 下近似集合和上近似集合也可以用下面的表达式定义： 星( x ) = x u rb 月x ) ，r ( x ) = x u ri x 舟n x 痧) 集合b n 月( x ) = r ( x ) 一星( x ) 称作集合x 的r 边界域；p o s r ( x ) = 星( x ) 称作集合 x 的r 正域；n e g 凡( x ) = u g ( x ) 称作集合x 的尺负域，显然 r ( x ) = p o s 月( x ) u b n 月( x ) 。 星( x ) 或p o s r ( x ) 是根据等价关系尺判断肯定属于x 的u 中的元素组成的集合； h 骨( x ) 是根据等价关系r 既不能判断属于x 也不能判断肯定属于x 。的u 中的元素 组成的集合；n e g 。( x ) 是根据等价关系r 判断肯定不属于x 的u 中的元素组成的集 从上下近似算子的定义我们可以得到下面的性质。 定理2 1 在p a w l a k 近似空间( 【，r ) 中，对于任意的x ，y u ， 1 ) 星( x ) x r ( x ) ； 2 ) 超( x n y ) = 星( x ) n r ( y ) ，r ( x u y ) = r ( x ) u r ( y ) ； 3 ) 彳yj 尺( x ) r ( x ) ，堡( x ) 堡( x ) ； 4 ) r ( x ) = ( 星( ) ) 。，墨( 。) = ( r ( x ) ) 。 定义2 , 4 在p a w l a k 近似空间( u ，月) 中，x 互u 如果墨( x ) = r ( x ) ，则称集合x 为 可定义集；如果r ( x ) r ( x ) 则称集合x 为不可定义集，或者是粗糙集。 定义2 5 【1 】 在p a w l a k 近似空间( u ，r ) 中，对于任意的x 互u ，由等价关系r 定 义的集合x 的近似精度为： 口。( x ) ：c a r d ( r ( x ) ) ， 一 c a r d ( r ( x ) ) 其中x 西，c a r d ( x ) 表示集合x 的基数。 集合x 的粗糙度定义为： 休( x ) = l c z r ( x ) 集合的近似精度用来反映我们对于了解集合x 的知识的完全程度：集合的粗糙 度与近似精度恰恰相反，它反映的是我们对于了解集合彳的知识的不完全程度。 集合并的近似精度口尺( x ) 和粗糙度p r ( x ) 具有下面的性质： 8 第2 章预备知识 定理2 2 0 ， u r 3 = x 1 ，x 5 ， z 2 ，x 7 ，x 8 ， x 6 ) ， x 3 ，x 4 ) ) 关系i n d ( r ) 有下列等价类： u i n d ( r ) = “五，x s ， x 2 ， ， 恐) ， 讫) ， 畅) 而) ) ， 关系r ，为r 中必要的。因为 u i n d ( r - r j ) = j c l ，鼍) ， x 2 ，x 7 ，魂) ， 玛) ， 心) ， ) u i n d ( r ) 对于关系b ，我们有 u i n d ( r - 局) = “而，毛 ， 屯，黾) ， 恐) ， 气) ， i ) ， 而) ) = u i n d ( r ) ， 故关系r ，是r 中不必要的。 同样对于关系尼 u i n d ( r - b ) = “而，墨) ， x 2 ，黾) ， 而 ， 氏) ， ， 为) ) = u m d ( r ) ， 因此关系r ，也是足中