（基础数学专业论文）hilbert数的下界估计.pdf

h i l b e r t 数的下界估计 基础数学专业 研究生罗明星指导教师张伟年 d a v i dh i l b e r t 在1 9 0 0 年国际数学家大会的开幕式上提出了2 3 个公开问 题，其中第1 6 个是关于代数曲线的分类和常微分方程定性理论的一个非常重要 但又非常困难的问题可以说在上个世纪有很大部分定性理论方面的工作直接 或间接与此问题相关，例如在综述性文献 b u l l a m e r m a t hs o c ( n e ws e r i e s ) ， 2 0 0 2 ，3 9 ( 3 ) ：3 0 1 3 5 4 1 中罗列了1 6 0 多篇相关参考文献；在专著叶彦谦，多项 式微分系统定性理论，上海科学技术出版社。上海，1 9 9 3 中罗列了6 0 0 多篇文 献在1 9 9 5 年该问题又作为s t e p h e ns m a l e 关于2 1 世纪1 8 个数学问题m a t h i n t e l l i ，1 9 9 8 ，2 0 ( 2 ) ：7 - 1 5 1 的第1 3 问题而提出 在绪论中，我们讨论了多项式系统的极限环以及高阶细焦点系统的研究进 展事实上研究这些问题的方法很多，本章中我们主要介绍了向量场的分岔和后 继函数方法以及这些方法的研究进展 为了全面了解h i l b e r t 第1 6 问题工作的进展，本文第二章将作一个综述， 内容涉及到人们对h i l b e r t 第1 6 问题细分的三个层面：单个有限性问题、存在 性h i l b c r t 问题和构造性h i l b e r t 问题 在第三章我们研究了h i l b e r t 第1 6 问题的第三个层面，具体地说是对任意奇 数次系统构造性地给出h i l b e r t 数m ) 地更好的下界，其中h ( n ) 代表n 次多 项式系统最大的极限环个数白敬新、刘一戎对偶数n 证明了h ( n ) 2n 2 一佗， 对奇数n 尚无结果 从白敬新，刘一戎的方法可以知道，h i l b e r t 数的下界与所构造系统的小参 数个数直接相关在本文第四章我们构造了含有更多小参数的特殊系统使得各个 焦点量之间具有更好的隐含递推关系，在转化焦点量计算的基础上充分利用这些 递推关系得到更高阶数的细焦点系统，从而对偶数7 1 , 得到更高的下界h ( n ) n 2 1 这个结果不仅改进了前人的结果，而且当n = 2 时还表明系统有3 个极 限环，这正是b a u t i n 在1 9 5 4 年x 十- - 次系统得到的、至今仍是围绕单个奇点极限 环的最高个数估计 关键词：细焦点，极限环，h i l b e r t 第1 6 问胚，h i l b e r t 数，h o p f 分岔 e s t i m a t et h el o w e rb o u n do fh i l b e r tn u m b e r m a j o r in o r m a lm a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：l u om i n g x i u g s u p e r v i s o r ：z h a n gw e i n i a n d a v i dh i l b e r tb t a t e d2 3o p e np r o b l e m sa tt h ei n t e r n a t i o n a lc o n f e r e n c eo fm a t h - e m a t i c si np a r i si n1 9 0 0 t h e1 6 t hp r o b l e md i s c u s s e dt h ec l a s s i f i c a t i o no fa l g e b r a i c c u r v ea n dt h en u m b e ro fl i m i tc y c l eo fp o l y n o m i a ls y s t e mw h i c hi sav e r yi m p o r t a n t a n dd i f f i c u l tp r o b l e mf o rt h eq u a l i t yt h e o r yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i ti ss u r e l y t h a tt h em o s tp a r t so fr e s u l t sf o rq u a i l t yt h e o r ya r er e l a t e dt ot h i sp r o b l e md i r e c t l y o ri n d i r e c t l y , f o re x a m p l e ，【b u l l a m e r m a t h 。s o c ( n s ) ，2 0 0 2 ，3 9 ( 3 ) ：3 0 1 3 5 4 a n d t h eq u a l i t yt h e o r yo fp o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m ，e d ：y eyq ，s h a n gh a l s c i ，a n dt e c h p r e s s ，s h a n gh a l ，1 9 9 3 h a v el i s t e dm o r et h a n1 6 0a n d6 0 0r e f e r e n c e s r e s p e c t i v e l y m o r e o v e r i th a sb e c o m et h e1 3 t hp r o b l e ma m o n g1 8o p e np r o b l e m sw h i c h a r es t a t e db ys t e p h e ns m a l ef o rt h e2 1 t hc e n t u r yi n m a t h i n t e u i g e n c e r ，1 9 9 8 ，2 0 ( 2 ) ： 7 - 1 5 1 i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h el i m i tc y c l e so fp o l y n o m i a ls y s t e ma n dt h eh j 【g i l d e g r e eo fw e a kf o c u s t h e r ea r em a n ym e t h o d sc a nb eu s e dt od i s c u s st h e s ep r o b l e m s w em a i n l ys t a t e dt h eb i f u r c a t i o no fv e c t o rf i e k ha n dp o i n c a r 6m a p p i n gm e t h o da n d t h e s el a t e s tr e s u l t s i no r d e rt ou n d e r s t a n dt h eh i l b e r t1 6 t hp r o b l e ma n dr sl a t e s tr e s u l t sc l e a i l y ，w e s u m m a r y i ti nt h es e c o n dc h a p t e r ，i n c l u d i n gt h r e el e v e l s ：i n d i v i d u a lf i n i t e n e s sp r o b l e m ， e x i s t e n t i a lh i l b e r tp r o b l e ma n dc o n s t r u c t i v eh i l b e r tp r o b l e m i nt h et h i r dc h a p t e r ，w em a i n l yd i s c u s st h et h i r do n ei nd e t a i l s ，w eg i v et h es o m e b e t t e rl o w e rb o u n do fh i l b e r tn u m b e rh ( n ) f o rt h eo d dd e g r e ep o l y n o m i a ls y s t e m s c o n s t r u c t i v e l y , w h e r eh ) d e n o t e st h em a x i m u mn u m b e ro fl i m i tc y c l e so fn - d e g r e e p o l y n o m i a ls y s t e m b a ij xa n dl i uy r g e th ( n ) n 2 一nf o re v e nn ，h o w e v e r ， n or e s u l t sf o ro d d f r o mt h em e t h o do fb a ij xa n dl i uy r t h el o w e rb o u n do fh i i b e r tn u m b e r i sr e l a t e dw i t ht h en u m b e ro fs m a l lp a r a m e t e r sd i r e c t l y i nt h ef o u r t hc h a p t e r w e c o n s t r u c ts o m es p e c i a ls y s t e mw i t hm o r es m a l lp a r a m e t e rs ot h a tt h ee a c hf o c u sq u a - t i t yh a sb e t t e rr e l a t i o n s h i po fr e c u r s i v e ，b a s eo i lt h ec o n v e r t i n gc o m p u t a t i o no ff o c u s q u a n t i t yw eg e ts o m ew e a kf o c u sw i t hh i g h e ro r d e rb yu s i n gt h er e c u r s i v et h e r e f o r e ， w eo b t m nt h eb e t t e rl o w e rb o u n d 日( 凡) n 2 1f o re v e n 凡i tn o to n l yi m p r o v et h e o t h e r sr e s u l t s ，b u ti st h er e s u l tw h i c hw a sp r o v e db yb a n t i ni n1 9 5 4 ，i tm e a n st h a tt h e s y s t e mh a s3l i m i tc y c l e sw h e nn = 2 a n di sh i g h e s tl o w e rb o u n df o rs i n g l ep o i n t 关键词：w e a kf o c u s ，l i m i tc y c l e ，h i l b e r t1 6 t hp r o b l e m ，h i l b e r tn u m b e r h o p fb i f u r c a t i o n 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其它教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导 下取得的，论文成果归四j i i 大学所有，特此声明。 第一章绪论 微分方程，即包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导函数的方 程，是一种常见的方程我们所研究的微分方程很多都是从实际现象中得到的， 如生物繁殖，电流变化以及天体运动等，由其运动规律可以导出微分方程，通过 这些方程的研究，可以了解、掌握乃至运用这些方程的某些特定性质而达到目 的然而大多数情形是不能期望也没有必要得到这些微分方程的精确解，但是可 以借助定性理论来直接分析微分方程从而碍到所需的解的某些性质。周期解特 别是极限环的研究是定性理论的重要组成部分，基本问胚是要确定极限环的存在 性、稳定性、个数和相对位置 一个含参数的微分系统发生分岔是指当参数变动并经过某些临界值时，系统 拓扑结构( 例如奇点类型和周期运动的数目和位置等) 会发生改变分岔是一种 常见的非线性现象，例如气象学中l o r e n z 方程，生态学中的l o g i s t i c 方程等都 是比较典型的会发生分岔的例子分岔是非线性科学研究中一个有很重要问题， 它可以追溯到p o i n c a r d ，他研究了一些力学中的失稳现象在最近几十年中， 分岔在化学、物理，控制以及其它学科中得到了广泛的运用向量场的分岔是分 岔理论中一类重要问题，比较典型有奇点分岔，闭轨分岔，h o p f 分岔和多环分 岔等而在很多情况下，这些分岔都与周期解密切相关，因此在研究微分系统的 周期解特别是极限环时，分岔理论就成了一种非常重要的手段和方法 常微分方程定性理论的研究是十分重要的，它是由常微分方程来直接研究和 判断解的性质的理论定性理论的思想已经逐渐渗透到其它很多数学分支对平 面系统特别是多项式系统，定性理论的研究已经取得丰富成果对平面多项式系 统的周期轨的研究是此理论的一个重要方面，其中较为复杂的是对多项式系统的 极限环的个数和相对位置的研究h i l b e r t 第1 6 问题就是关于此问题的一个非 常重要而有十分困难的问题在上个世纪，关于常微分方程定性理论方面的研究 工作有很大一部分直接或间接与此问题相关对此问题的研究促进了微分动力系 统非线性分析和代数几何等效学分支的发展反之，也正是这些学科的迅速发 展和分岔理论的逐步成熟完善大大刺激了对h i l b e r t 第1 6 同题的理解和研究 11 多项式向量场的极限环第2 页 1 1 多项式向量场的极限环 从方程的角度来讲，常微分方程是形如f ( z ，y ，g ，( 4 ) ) = 0 的方程，其 中，( 4 ) 表示y 对变量。的1 到n 阶导数，n 为阶数如果f 不显含变 量z ，则称为自治微分方程如果m 是欧氏空间的一个开子集，m 上的向量 场就是一个映射x ：m m r r * ，邵x ( z ) = ( z ，y ( z ) ) 我们可以把x 和矿等同，简单地认为向量场x 就是映射v ：m 一向量场x 所表示 的微分方程为= y ( x ) 若v ( x o ) = 0 ，则o o 是向量场x 的奇点又如果 x ( t ，z o ，珈) ，可( t ，x o ，y o ) 是微分方程d y d z = ，( z ，y ) 的一个t 周期函数解口为 一非零常数) ，且此周期解是孤立的( 即是以( z o ，y o ) 的某小邻域内的所有点为 初值的解都不是周期解) ，则此周期解被称为极限环 周期解的研究一直是常微分方程定性理论的个重要课题，极限环是其中之 一，它也正是h i l b e r t 第1 6 问题的主要组成部分之一如果记日( n ) 为一个n 次多项式系统的最大极限环个数( 称为h i l b e r t 数) ，则h i l b e r t 第1 6 问题就是 关于h ( n ) 与n 的关系问题研究极限环的方法有很多，其中常用方法有利用 p o i n c a r 6 - b e n d i x s o n 环域定理来判断极限环的存在性，估计由h a m i l t o n 扰动系 统所定义的a b e l 积分的孤立零点个数以及利用分岔方法来估计极限环的个数 下面我们对向量场的分岔作些介绍它主要分为如下三个主要方向( 叁见1 4 4 1 ) ； 局部分岔理论即在奇点或周期轨道附近向量场依赖于少数参数簇的分岔，依赖 于少数参数簇的多环分岔理论以及依赖于任意多参数簇的平面向量场的分岔理 论首先我们给出一些定义。 f i g1 ( a ) 多环的p o i n c a r 6 映射( b ) 一个转移映射 定义1 1 1 ( 向量场的多环) 铲上向量场的一个多环( p o l y c y c l e ) l 即是一些环形 赋序的奇点p l ，p k ( 可能有重复的) 和一些连接这些奇点的具有特殊顺序的不 1 1 多项式向量场的极限环第3 页 同弧形7 1 ，7 k ( 向量场的积分曲线) ，其顺序为一第，个弧形，y l 连接巧和 p j + l ( m o d k ) ，j = 1 ，k 定义1 1 2 ( 多环的环性数) 假设 = v ( x ，e ) ，e b “，z 铲) 是铲上的一札一 参数簇向量场，对干某参数值，b “它有一个多环7 多环7 在扣( z ，e ) ， b 8 中有环性数( c y c l i c 2 t y ) p ，如果这里存在邻域u 和v 满足7 c u c 妒，v c b ，r v ，且对任意v ，向量场u ( ，e ) 在u 内至多有p 个极限环，其中肛 是所有可能数值中最小的 定义1 1 3 ( 基本奇性与多环) s 2 上向量场的一个奇占称为基本的，如果它的线 性部分的系数矩阵至多有一个零特征值一个多环称为是基本的如果所有的奇点 都是基本的。 c o ( a ) ( b 1 f i g 2 ( a ) 同宿环分岔，( b ) 鞍一结点分界环分岔，( c ) 唇形体( ”l i p s ”e n s e m b l e ) h o p f 分岔：当奇点失稳( 从稳定( 不稳定) 到不稳定( 稳定) ) 时系统特产生一 个极限环是局部分岔方面的一个经典结果b o g d a n o v 和t a k e n s 为此理论带来 很大突破他们在 9 ，f l o 和1 8 4 ) 中研究了那些在奇点处有幂零线性部分的余 维为2 的退化系统的分岔，现在通常人们称为b o g d a n o v - t a k e n s 分岔在【2 5 】 和f 2 6 1 中作者讨论了余维为3 的退化系统的奇点的局部分岔，而对余维为4 的 退化系统的局部分岔的研究是很困难的，参见f 4 4 在【18 】中作者给出了包括 1 2 高阶细焦点的研究进展第4 页 在2 0 世纪7 0 ，8 0 以及到9 0 年代初期得到的有关于平面向量场的局部分岔理 论的主要结论的较完整描述 经典的有关向量场的非局部分岔理论主要来自于a a n d r o n o v 。他处理连 接鞍结点的分界环，鞍点之间的同宿环和异宿环以及多环的分岔，参见图f i g 2 和f i g 3 r o u s s a r i e 在 7 8 ，t h e o r e m7 8 】中对分界环分岔证明了平面解析向量场的 双曲鞍点的分界环有有限环性数 对于多环的分岔，( 4 5 】和【8 5 】讨论了基本多环的环性数对于余维为2 的 向量场的多环分岔参看 2 3 和 7 9 】以及其中相应的参考文献在1 5 5 中作者得 到了所有可能发生在2 和3 参数簇中的多环( 称为k o t o v a 域) 而从 4 4 】的描 述中我们知道一旦能够把k o t o v a 域中的所有多环的分岔讨论清楚，那么有关于 2 和3 参数簇的多环分岔理论也基本完成 对多参数理论的研究还处于发展初期到目前为止还没有人给出一个系统的 研究方法( 参见 4 4 】中的说明) v ia r n o l d 在1 中提出对于任意个参数， 是否所有可能在通有k 参数簇中发生的典型而有代表性的分岔都是有限的? 然 而即使对于= 3 答案也是否定的，其原因在于对于一个余维为3 的退化向量场 可以给出一连续簇的多环也称为唇形体( 参看f i g 2 ( c ) ) ，任给数l ，可以构造 退化向量场使得可以由此向量场的3 参数簇多环分岔产生工个极限环，具体构 造参见 5 5 】关于更多多参数簇的分岔理论参见【5 1 、【57 】、f 67 和【7 8 等 1 2高阶细焦点的研究进展 在常微分方程定性理论中，判断奇点是中心还是焦点( 甚至细焦点) 是一个 很重要的问题事实上当奇点是细焦点时，由h o p f 分岔我们知道它与极限环个 数直接相关这里已有一些方法用来判断细焦点，如后继函数法以及形式级数法 ( p o i n c a r 6 - l y a p u n o v ) 等下面我们主要介绍第一种方法以及一些研究进展，为 此先给出一些必要的定义 1 2 高阶细焦点的研究进展第5 页 定义1 2 1 假设d ：( 0 ，o ) 是方程( 2 0 1 ) 的奇点，即p ( o ，0 ) = q ( o ，0 ) = 0 ，如 果方程( 2 0 1 ) 可以改写为 z 7 = i , z y + p ( x ，) ，! ，= 一p z + q ，) ， ( 1 2 1 ) 其中p c 满足i r a ( # ) 0 ，p ( z ，y ) 和q ( x ，y ) 是最低次数不低于2 的多项 式则称0 为非退化单值奇点( 中心或焦点) ，又如果奇点外的一小邻域内的 所有轨道都是周期的则称0 为中心，否则为焦点或者中心焦点 事实上对于解析微分方程，不可能有中心焦点这种奇点( 参见【9 5 】) 因而对 于多项式系统的单值奇点我们需要区别的是中心还是焦点，以及如果是焦点则确 定其阶数下面我们给出后继函数法的一般过程，其思想源于h p o i n c a r 对于系统( 2 3 ，1 ) ，引入极坐标变换z = r c o s 8 和y = r s i n 口，可以得到 p + = 一p + e ( r ，日) ，r ，= r r ( r ，日)( 1 22 ) 其中e ，r 一0 ，当r 一0 e ( r ，e + d r ) = e ( r ，日) ，r ( r ，口+ d r ) = r ( r ，口) 取t 2 0 充分小，且7 2 i 1 ，使得在0 r 1 2 ，一 f 上， 一p + e ( r ，日) 0 ，于是从( 1 2 2 ) 可以得到 嘉：三娶热娟( e ) r 2 + 是十】 (123)e( 硼 一卢+ r ，口) 1 ”7 其中兄归+ 2 7 r ) = 忍( p ) ，t = 1 ，2 ，因为( 1 23 ) 的满足初始条件r ( o ) = 0 的解 是r ( e ) e0 ，一o o 口 o o 由解对初始值的连续依赖性得到，存在0 c l r 2 ， 当c c 1 时，满足t ( o ，c ) = c 的解r ( e ，c ) 在一4 日4 1 r 上定义，并且在其 上r ( e ，c ) 是c 的解析函数，故在一4 7 r 口曼4 7 r 上可展成c 的收敛幂级数 r ( 目c ) = 7 1 ( 日) c + r 2 ( 目) c 2 + 一 ( 1 24 ) 将( 1 2 4 ) 带入到( 1 2 3 ) 的两端并比较c 的同次幂系数得到 f i ( e ) = 0 ， 呓( ) = r ( ) 忍) ， 嵋( 目) = 嵋( 口) 风妒) + 2 r 1 ( 口) r 2 ( 口) r 2 p )( 1 2 5 ) ( 口) = r ( 口) = r ( 岛，忍，n ，r n z ) ， 1 2 高阶细焦点的研究进展第6 页 其中r ( 日) 是关于r 2 ，兄。，n ，r n - 1 的正系数多项式，m 只依赖于p 一和囝 的次数不高于k 的项，= 1 ，2 ，n 由r ( o ，c ) = c 知 r 口r p r 1 ( p ) = 1 ，r 2 ( 目) = r 2 ( o ) d o ，r 3 ( p ) = f r 3 ( e ) + 2 r 2 ( 日) 忌( 目) 础，( 1 2 6 ) j 0j 0 由于如下事实，如果九( z ) 是一p 周期函数，则。臂h ( t ) d t = g xq - 妒( z ) ，其中 q i ( z ) 也是周期函数且g = j ：h ( t ) d t 从而我们可以得到r 2 ( 口) = g z o + 妒2 ( 口) ， 9 2 = 击詹“r 2 ( 0 ) d o 以及2 p + 2 7 r ) = 庐2 ( 口) 如果9 2 = 0 ，便有r 2 ( 9 + 2 7 r ) = r 2 ( p ) ， 这里砀( p ) - t - 2 r 2 ( 口) r 2 ( 也是周期函数再利用上面的事实可以得到7 3 ( = 9 3 8 + 3 ( 目) ，9 3 = 磊1 片1 【r 3 ( 日) q - 2 t h ( 口) 您( 日) 】硼以及也徊+ 2 7 r ) = 妒3 ( 目) 如果 9 3 = 0 ，便有r 3 p - i - 2 7 r ) = r 3 ( o ) 如此继续和简单证明我们得到如下推论【】 推论1 2 1 如果g 。0 且吼= 0 ，k = 2 ，3 ，m 一1 ，则称奇点0 。( 0 ，0 ) 是焦点 ( m 一定为奇数) ，如果m 1 则称0 为( m 一1 ) 2 阶细焦点，为焦点量； 否则奇点是中心 关于形式级数法参见f 9 5 1 的表述以及所列参考文献在这些判另方法中。高 阶细焦点的计算都涉及到判断多个高次多项式方程组的公共零点，从而是很困难 的如果系统( 2 31 ) 的奇点为m 阶细焦点，则由h o p f 分岔可以得到通过系统 的扰动产生m 个极限环，利用这些方法已得到很多结果1 9 5 4 年mn b a u t i a 在【8 1 中证明了在1 9 5 4 年日( 鳓3 史松林【m i 和陈兰荪、王明淑【l o i 独立改 进为h ( 2 ) 24 ，他们都是构造了一类二次系统具有4 个极限环( 3 个是有h o p f 分岔出，一个是外围的大极限环，即极限环围绕不同的奇点) 迄今为止，还没 有得到日( 2 ) 的准确或者更好的估计关于二次系统比较全面的介绍和进展参见 专著f 8 9 1 在1 9 9 1 年j a m e s l l o y d 在 5 2 】中给出了一个具有8 个小振幅极 限环的三次系统的例子，从丽得到h ( 3 ) 28 后来余培和韩茂安【洲】，以及刘 一戎和黄文滔i o l l 分别改进为h ( 3 ) 1 2 1 9 9 2 年白敬新和刘一戎在【6 中对 奇数次系统得到了h ( n ) ? t 2 一忆2 0 0 2 年白敬新引对任意多项式系统得到 了日( n ) 【警】 1 ，3 本文的主要工作第7 页 1 - 3 本文的主要工作 在第二章中，我们综述h i l b e r t 第1 6 问题，包括其历史以及与之密切相关 的些问题以及其研究进展主要涉及到单个有限性问题、存在性h i l b e r t 问题 以及构造性h i l b e r t 问题以及与之相关的一些问题和猜想的阐述和研究进展 在h i l b e r t 第1 6 问题中，关于h i l b e r t 数的下界估计是一个很重要的方面 即对n 次多项式微分系统给出仅仅依赖于n 的h ( n ) 的下界此问题从另一个方 面刻画了h i l b e r t 第1 6 问题分类中的第三个小问题( 构造性h i l b e r t 问题) 即给 出了h i l b e r t 数的上界而且在考虑此问题的同时也考虑了极限环的实现问题。 即给出有相应极限环个数的多项式系统对此问题的研究有两个方面的结果，一 是所有极限环围绕同一个奇点，二是有的极限环围绕多个奇点在本文第三章中 我们沿第一个方向研究n 次多项式系统即从一个细焦点出发产生极限环在 6 1 中作者对偶数n 次多项式系统给出h ( n ) n 2 一n ，而对n 为奇数的情形没有 结果我们对奇数n 次多项式系统给出了h ( 9 2 ) ( 9 2 2 9 2 ) 2 从白敬新刘一戎的方法可以知道，h i l b e r t 数的下界与所构造系统的小参 数个数直接相关在本文第四章我们构造了含有更多小参数的特殊系统使得各个 焦点量之间具有更好的隐含递推关系，在转化焦点量计算的基础上充分利用这些 递推关系得到更高阶数的细焦点系统，从而对偶数n 得到更高的下界h ( n ) 舻1 这个结果不仅改进了前人的结果，而且当n = 2 时还表明系统有3 个极 限环，这正是b a u t i n 在1 9 5 4 年对二次系统得到的、至今仍是围绕单个奇点极限 环的最高个数估计 第二章 i i i l b e r t 第1 6 问题的进展 1 9 0 0 年，d a v i dh i l b e r t l 3 7 在国际数学家大会的开幕式上提出了2 3 个公开 问题，其中第1 6 个问题分成两部分，第一部分是关于多项式方程( h ( x ，y ) = 0 ) 所定义的卵形的分类问题，第二部分是关于多项式向量场的极限环的个数和相对 位置问题，现引原文如下 i nc o n n e c t i o nw i t ht h i sp u r e l ya l g e b r a i cp r o b l e m ，1w i s ht ob r i n gf o r w a r d aq u e s t i o nw h i c h ，i ts e e n l st om e ，m a yb ea t t a c k e db yt h e8 a l t l em e t h o do fc o i l - t i n u o u sv a r i a t i o no fc o e f f i c i e n t s ，a n dw h o s ea n s w e ri so fc o r r e s p o n d i n gv a l u ef o r t h et o p o l o g yo ff a m i l i e so fc u r v e sd e f i n e db yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h i si st h e q u e s t i o na st ot h em a x i m u mn u m b e ra n dp o s i t i o no fp o i n c a r 6b o u n d a r yc y c l e s ( 1 i m i tc y c l e s ) f o ra d i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h ef i r s to r d e ro ft h ef o r m 生d x = 粼 ( 2 o 1 ) x k ) 一 w h e r exa n dya r er a t i o n a li n t e g r a lf u n c t i o n so ft h en 巩d e g r e ei nza n dy 他的意思是闯形如( 2 0 1 ) 的常微分方程的最大的极限环( p o i n c a r d 边界环) 的个数以及它们的相对位置，也就是考虑如下问题 问题2 0 1 4 4 】次平面多项式向量场有多少极限环，以及它们的位置怎么样? f i g3 多项式的卵形线 第9 页 从h i l b e r t 提出此问胚以来，有很多人致力于问题的解央问题2 0 1 的第 一部分被分为如下三个小问胚( 参见【4 4 ) ： 问题2 o 2 ( 单个有限性问题) 对于任意给定的一个平面n 次多项式向量场，其 极限环个数是有限的 此问题的英文表述为i n d i v i d u a lf i n i t e n e s sp r o b l e m ，简称为i f p ，它又被 称为d u l a c 问题( 参见 4 4 】) ，也即要求证明单个向量场的极限环个数的有限性 问翘2 0 3 ( 存在性h i l b e r t 问题) x t - t - 任意给定的一个平面n 次多项式向量 场，其极限环个数能否由一个仅仅依糊于多项式次数的常数所控制 此问题的英文表述为e x i s t e n t i a lh i l b e r tp r o b l e m ，简称为e h p 记日( n ) 为e h p 中极限环的最大个数( 称为h i l b e r t 数) 很明显线性向量场( 即一次多 项式向量场) 没有极限环，所以h ( 1 ) = 0 到目前为止还不知道h ( 2 ) 是否存 在为了介绍更一般的e h p ( i i pg f c ) ，我们先给出一些准备 考虑由( 相对于不同的n 次多项式( p ( z ，) ，q ( z ，) ) ) 方程( 2 , 0 ，1 ) 定义的r 2 上的一簇向量场( 依赖于多项式的参数) 通过中心投影7 r ：s 2 一r 2 ( p o i n c a r 6 紧化) ，e h p 可以变为如下问题的一种特殊情况( 参看 4 8 ) 猜想2 0 1 ( 全局有限性猜想) 对于在铲上的任意解析线场簇，假设参数集合b 是紧的，证明其极限环个数是一致有界的，相对于所有参数 此问题的英文表述为g l o b a lf i n i t e n e c o n j e c t u r e ，简称为g f c 在 1 ，4 8 中作者对此猜想给出了一些相关阐述 问题2 0 4 ( 构造性h i l b e r t 问题) 给出h ( n ) 的上界 此问题的英文表述为c o n s t r u c t i v eh i l b e r tp r o b l e m ，简称为g h p 2 1 单个有限性问题第1 0 页 2 1 单个有限性问题 为了对单个有限性问题即i f p 的一些相关问题以及其进展作相应介绍，现 给出一些准备 定义2 1 1 ( 分岔数) 分岔数b ( k ) 是一通有七参数簇的非平凡多环0 0 l y c v d e ) 的最大环性数 通有性是指此向量场属于所有同类女参数簇光滑向量场的一开集合b ( k ) 的定义不依赖于参数簇的基的选取，只依赖于参数个数 定义2 1 2 ( 基本分岔数) 基本分岔数e ( k ) 是指对于一个通有k 参数簇中最大 的一个非平凡基本多环( e l e m e n t a r y p o l y c y c l e ) 的环性敷酽上通有k 参数簇光 滑向量场的通有性是指此向量场属于酽上的参数簇光滑向量场的一开集合 1 9 2 3 年，hd u l a c i 2 1 t 证明了第一个问题( i f p ) ，即对于一个给定的多项 式系统有日( n ) 2 的情形仍然是公开问题 在2 0 世纪8 0 年代，v i a r n o l ，d1 3 l 建议考虑通有的光滑向量场簇作为研 究解析向量场簇的起步，以及全局有限性问题也称为h i l b e r t a r n o l7 d 问题 问题2 1 1 ( h i l b e r t a r n o l d 问翘【4 4 】) 对于在酽上的一通有的有限参数簇向 量场。假设参数集合b 是紧的，证明其极限环个数是一致有界的 此问题也简称为h a p 为了解决此问题，y u i l y a s h e n k o 和s y a k o v e n k o 首 先考虑了另外一个被称为局部h i l b e r t - a r n o l d 问题，此问题也简称为l h a p 问题2 1 2 ( 局部h i l b e r t a r n o l d 问韪1 1 4 2 】) 对于任意有限数k ，证明分岔数 b ( k ) 有限且找到其上界 令米汾笋牛涮 ( e ) f i g 4 ( a ) 一( e ) 为基本退化奇点的相图t( a ) 鞍点，( b ) 结点，( c ) 焦点，( d ) 中心 ( e ) 鞍一结点，( f ) 花瓣的打散：一个打散了的向量场被投影成原来空间 aa n d r o n o v 和e l e o n t o v i c h 在2 0 世纪3 0 年代以及h o p f 在4 0 年代 得到一个余维为1 的多环的环性数最多为1 t a k e n s ，b o g d a n o v ，l e o n t o v i c h ， m o u r t a d a 以及g r o z o v s k i i 在2 0 世纪7 0 到9 0 年代( 参看f 3 5 ，5 61 ) 得到了一个 余维为2 的多环其环性数最多为2 由于l h a p 的解决意味着h a p 的解决( 参 看f 4 2 】) ，因此很多人讨论此问题y u n y a s h e n k o 和s y a k o v e n k o 引】在假设 基本奇性的情形下证明了如下的有限性定理 2 2 存在性h i l b e r t 问题第1 2 页 定理2 1 3 47 对于任意的，基本分岔数e ( k ) 是有限的 从定理2 1 3 和下节的定理23 1 可以得到在假设基本奇性的情况下对局部 h i l b e r t a r n o l d 问题给出肯定回答 2 2 存在性h i l b e r t 问题 为了对存在性h i l b e r t 同胚即e h p 的一些相关问题以及其进展作相应介 绍，现给出一些定义如下 定义2 , 2 1 ( 超一m o r s e ) 如果一个次数为n + 1 的复多项式h 有n 2 个非退化 的具有不同临界值的i 临界点，并且它的最高的齐次形式 伽果必要的话，作一 线性坐标变换j 是n + 1 个形如y o z 的线性因子和一常数的乘积则称h 为 超一m o r s e ( u l t r a m o r s e ) 定义2 2 2 ( 强有界) 一个多项式是一个单变元的复首一( 首项系数为1 ) 多项 式，且其临界值位于单位圃盘内且不同。具可称此多项式为强( c r i t i c a l l y ) 有界的 定义2 2 3 ( 强平衡) 如果一个实的二元多项式g ( x ，y ) 是两个同样次数( n + l 3 ) 的强有界多项式之和，h ( x ，y ) = p 0 ) + 口( ) ，它的复临界值是不同的，且它 们中任意两个的距离大干或等于1 n 2 ，则称此多项式是强平衡的 现考虑h a m i l t o n 多项式系统的多项式扰动 一= 一面o h e q ( z ，) ，7 = 面o h + e p ( 墨) ( z 2 0 定义如下积分 m ) = 歹雌川出+ 朋咖，y 似训) = ” ( 222 ) 2 2 存在性h i l b e r $ 问题第1 3 页 事实上有如下更一般的形式考虑一个次数为n + 1 的平面实多项式h ，假设 1 ( ) 为h 的一簇卵形线( 参见f i g1 ) ，令u = a d x + b d y 是任意一个m 次多项 式1 一形式，考虑积分 m ) = 厶u ( 2 删 对于e = 0 ，此系统没有极限环( 因为所有的周期解都不孤立) 对于小的非零e 。 如果积累的能量耗散的一次近似为零，即，( ) = 0 ，水平线( 能量面) 日( z ，y ) = h 的一个卵形( 拓扑环) 7 就产生了一个极限环事实上，通过p o n t r y a g i n 7 3 1 和文 献 8 9 1 以及【9 5 】的工作，我们有如下的p o i n c a r d - p o n t r j a g i n a n d r o n o v 定理 定理2 2 1 ( p o i n c a r 6 - p o n t r j a g i n a n d r o n o v 定理) 下面的结论成立 ( 1 ) 如果i ( h + ) = 0 ，j 7 ( 旷) 0 ，则系统( 2 2 1 ) 存在一个双曲的极限环l h 满足 l 一f h ，当e 一0 j 相反地，如果系统( 2 2 1 ) 存在一个双曲极限环l 驴满 足厶一r h 当e 一0 ，则i ( h ) = 0 ，其中h ( h i ，吃) ( 2 ) 如果1 ( h + ) = j 7 ( 胪) = j “( 扩) _ = ，( 一1 ( 矿) = 0 ，且，( ( ”) 0 ，则对干 充分小的，系统( 2 2 1 ) 在r 空心邻域最多有个极限环 ( 3 ) a b e l 积分( 2 2 2 ) 的总的孤立零点数( 计上它的重敷) 是系统( 2 2 1 ) 的从 h a m i l t o n 系统( 2 21 ) 。：0 的周期环形中的周期轨道所分岔出来的极限环个数 的一个上界 问题2 2