（应用数学专业论文）几类非线性抛物方程（组）解的若干性质.pdf

几类非线性抛物方程( 组) 解的若干性质 应用数学专业 研究生：胡学刚指导教师：穆春来教授 摘要 偏微分方纛理论的飞速发展l ；及它在实践孛的广泛应用使褥抛物 方程( 组) 基础理论的研究显得日益重要。本文研究了四类非线性抛 物方程( 组) 解的性质，例如解的支集的性质，解的一致有界性，解的 整体存在性，有限b l o w - u p 性，b l o w - u p 速率等。 全文共分五章第一章是本文概述，叙述了本文所研究问题的实 际背景，目前的发展现状以及本文的主要内容。 第二章讨论了一类在菲均匀介质中带有吸收项的退化抛物 方程p ( i x l ) 龟= d i v ( u 8 。l 玩l a - - i d t ) 一，( 缸) 豹c a u c h y 润牒解的支集 性质。在高维情形下，我们研究了解魄局部性和渐近性，以及解在毒 限时刻熄灭( e x t i n c t i o n ) 斑嚣；在一维空间里，我们讨论了解的交接而 在有限对刻消失问蘧。 第三章研究一类有一般结擒的局部化源的反应扩教方程u t = a u + ，( u ( 知( “t ) ) 齐次d i r i c h l e t 初边值问题箍体解的致有界性问题。分 两种情形进行讨论，即在高维逛域考虑圃定源( o o ( t ) 恒为区域中的一 霜定点) 情形下整体解的一致膏界性和在一维区域里研究移动源情形 下整体解的一致有界性。 第四章讨论具有非线性局部化源的抛物方程组u 。一a u + u p ( t ) 口1 ( 。o ，t ) ，吨= + t 庐( g o ，t ) 啦，t ) 齐次d i r i c h l p t 初边值问题解的 爆破性质，讨论解的整体存在性帮b l o w - u p 性的条件，b l o w - u p 速率， 渐近估计以及边界层等。 第五章研究非线性局部化源的另一类反应扩散方程组：“。一a u + v p e 。u ( x o ，) ，= u + t t q e 口”i m j 齐次d i r i c h l c ! 初边值问题解的性质讨 论解的整体存在性和有限时刻爆破与空间k 域的几何形状，方程中反 应项的指数之间的关系。 关键词：非线性抛物方程( 组) ：交接面：局部性：一致有界性；吸 收项；局部化源；整体存在性：b l o w u p ：b l o w u p 速率 o ns o m ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n s t os e v e r a lt y p e so fn o n l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：h ux u e g a n gs u p e r v i s o r ：p r o f m uc h u n l a i a b s t r a c t t h er a p i dd e v e l o p m e n to ft h et h e o r yo fp 缸t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n dt h ep r o l i f i cg r o w t ho fi t sa p p l i c a t i o n sh a v em a d ei ti m p o r t a n c ef o ru s t os t u d yt h eb a s i ct h e o r yo fp a r a b o l i ce q u a t i o n s ( s y s t e m s ) t h ep r o p e r t i e s o fs o l u t i o n st ot h ef o u rt y p e so fn o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ( s y s t e m s ) h a v eb e e ns t u d i e di nt h i sd i s s e r t a t i o n ，s u c h ts u p p o r tp r o p e r t i e s ，u n i f o r m b o u n d e d n e s s ，g l o b a le x i s t e n c e ，f i n i t e - t i m eb l o w u p ，a n db l o w u pr a t e ，e t c t h et h e s i sc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri sd e v o t et ot h e s u m m a r yo ft h ed i s s e r t a t i o n ，w h i c hr e c o u n t st h eb a c k g r o u n d ，t h ed e v e l o p m e n t ，a n dt h ep r e s e n tc i r c u m s t a n c ea b o u tr e l a t e dp r o b l e m s m o r e o v e r ， m a i nr e s u l t so ft h ep r e s e n tp a p e ra x es t a t e d i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h es u p p o r tp r o p e r t i e so fs o l u t i o n st ot h e c a u c h y p r o b l e m o n t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n ：p ( 1 x 1 ) u t = d i v ( u ”一1 i d u l l 1 d 们一 ，( u ) w ed e a lw i t hl o c a l i z a t i o np r o p e r t ya n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u - t i o n st ot h i st y p eo fe q u a t i o ni ns e v e r a ld i m e n s i o n a ls p a c e s o nt h eo t h e r h a n d ，w es t u d yt h ea p p e a r a n c eo fi n t e r f a c e si no n ed i m e n s i o n a ls p a c e i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t et h eu n i f o r mb o u n d e d n e s so fg l o b a ls o - l u t i o n st ot h ee q u a t i o nw i t hg e n e r a ls t r u c t u r e1 0 e a l i z a t i o nr e a c t i o n ：u t 。 a u + f ( u ( x 0 ( t ) ，t ) ) w jc o n s i d e rt h ep r o b l e mi nt w oc a s e s ：f i x e ds o u r c e a n dm o v i n gs o u r c e f o rt h ef o r m e r ，w es h o wt h a ta l lg l o b a ls o l u t i o n sa r e u n i f o r m l yb o u n d e di nd i m e n s i o nn ；f o rt h el a t t e r ，w ea l s op r o v et h ec o r r e - s p o n d i n gc o n c l u s i o nh o l d si nd i m e n s i o n1 i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rt h eb l o w - u pp r o p e r t i e so ft h es o l u t i o nt ot h e f o l l o w i n gp a r a b o l i cs y s t e mw i t hl o c a l i z a t i o nr e a c t i o n ：u t = a u + 妒1 ( x 0 ，t ) q ( z o ，) ，5a v + u “( x o ，t ) , m ( z s ，) ，s u c h i , l 4g l o b a l x i s t e n c e ，f i n i t e 。t i m e b l o w - u p ，b l o w - u pc o n d i t i o n s ，a n db l o w - u pr a t t a n ds oo n i nc h a p t e r5 w ed e a lw i t ha n o t h e rn o n l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e mw i t h l o c a l i z a t i o n 阳a c t i o n ：u t = u + v p e a “( x o ，) ，轨= u + n q e # v ( 2 0 i o u rm a i n a i mi st os t u d yt h ee f f e c to fg e o m e t r i cs h a p eo ft h es p a c ed o m a i n sa n dt h e e x p o n e n t si nt h ee q u a t i o no ht h eg l o b a le x i s t e n c ea n df i n i t eb l o w 。u p e t c k e y w o r d s n o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ( s y s t e m ) ；i n t e r f a c e s ；l o c a l - i z a t i o np r o p e r t y ；u n i f o r mb o u n d e d n e s s ；a b s o r p t i o n ；l o c a l i z a t i o nr e a c t i o n ； g l o b a le x i s t e n c e ；b l o w - u p ；b l o w - u pr a t e 四川大学博士擘住论文 第一章绪论 我们知道，反应扩散现象出现于众多学科如物理学、化学、生物 学以及各种工程问题中，对这种现象大多用非线性抛物型方程或方程 组来刻划。如半导体方程 i 鲁= d i v p 。( a v n n v v ) 一r ，i ( n ，p ) 害= d i ”脚( 郇v p + p v y ) 一吗( n ，p ) 【a v = 一口p n + d ) 其中d ，q ，“。，如，a 。，唧是正常数，风，b 是给定的函数：燃烧方 程 j 舞= k t a t + n q e 一番， i 鲁= k 2 a n n e 一番 和神经传导的h o d g k i n h u x l e y 方程 ， i 地= t 上砧+ z ( 牡，伽l ，地，一，k ) ， iw i 产e , t l p , a n ) w , + q i ( u ) ，o = 1 ，2 ，k ) 都是非线性抛物型方程组。我们还可以举出很多这样的例子，例如核 反应器( 或化学反应器) 动力学中的方程，物理学、生态学中提出的各 种数学模型等等。正是由于非线性抛物方程( 组) 的广泛应用，使得 研究该类方程或方程组的相关性质具有重要的理论意义和现实意义， 这些问题一直引起人们的普遍关注，并获得了许多重要的成果( 见 【1 7 1 ，1 2 8 1 ，【3 3 】，1 5 7 】，【7 2 】， 1 0 3 】等) 。 在非线性抛物方程( 组) 中，非线性可以来自反应项、对流项、扩散 项( 或吸收项) 、边界项以及经由它们所形成的各种不同的耦合关系， 所有这些各不相同的非线性项都有可能使解的性质发生变化，如出现 解的交接面在有限时刻消失，解或解的导数在有限时刻b l o w - u p ( 爆 破) 、e x t i n c t i o n ( 熄灭) 、q u e n c h i n g ( 淬火) 等。 四j , l 大学博士学位论丈 一般说来，非线性抛物方私! ( 组) 的经典解只能在时间t 的。一个局 部范围存在，接下来自然有下列问题：解是否关于时问整体存在：解 有局部性和正性的条件是什么：解的交接面是否在有限时刻消失；解 具有一致有界性需要那些条件：如果解不整体存在，判断的条件是什 么，晟大存在时间如何估计；解在最大存在时刻的状态如何等等问题 ( 见【5 8 ， 1 0 3 】) 。 研究以上问题的意义是明显的，如对一些重要的抛物方程解的整 体性态的研究以及有关的数值求解方法的讨论，都要以解的存在性为 前提；另一方面，如果发现解会在有限时间内爆破，而这种爆破的性 态不是相应的物理模型所允许的，就反过来说明所归结的数学模型有 问题，而必须加以修改：如果这种爆破现象的出现对所考察的物理模 型是允许的，由于相应的物理过程绝不会终止于某一时刻，必定要继 续发展，我们就必须在一个更广的函数类中来考察问题的解。再如若 发现问题的解有正性，说明该物理现象必然影响整个区域：相反，若 解有局部性，说明这种物理现象只能在一个有限区域内发生。 对于非线性问题而言，很难给出一个统一的解决方法针对各个 模型具体特点，目前有了很多的结果，并已发展了不少有益的处理方 法( 见【2 8 l ，【7 2 】， 1 0 3 等) 。但由于非线性抛物方程包含的范围十分广 泛，非线性的具体特点多种多样，许多非线性抛物方程解的性质都有 待进一步研究。 本文的目的是研究在实际中应用广泛的几类非线性抛物方程或方 程组解的性质，如解的支集性质，解的一致有界性，解的整体存在性和 解在有限时间内爆破等相关问题。本文的主要结果和内容安排如下： 2 四川大学博士擘住论文 1 1 一类非线性抛物方程c a u c h y 问题解的支集性质 考虑如下问题： jp ( ) u 产d i v ( u m - 1j d u l “1 d u ) 一，( “) i “( z ，o ) = ( z ) ， 3 ( 1 _ 1 1 ) 其中m 1 ，a 1 为常数，且m + a 一2 o ：吸收项，c 1 【0 ，c o ) ，( s ) 2 0 ，通常取，( s ) = c o s p ( c o 0 ，p 0 为常数) ；初值t 0 ( z ) 为具有紧 支集的非负非平凡的函数。密度函数p ( s ) 为【0 ，o 。) 上的单调递减正 函数，且p ( o ) = l 。 问题( 1 1 1 ) 所描述的数学模型具有广泛的数学与物理应用背景 ( 见1 5 2 ，1 5 5 l ，【4 6 】，1 4 7 】，1 5 】，1 7 7 ，1 4 1 】，【5 1 】及其中的参考文献) 。可变系数 p ( x ) 通常表示发生扩散吸收过程的介质密度。近年来，问题( 1 1 1 ) 已 引起人们的广泛关注，对一些参数p ，m ，a 的某些特殊情形，得到了 很好的结果( 见【z 6 1 ，【4 2 】，【6 3 】) 。例如，对于一维( n = 1 ) 情形：当 ，( s ) = 8 p ，( p 0 为常数) ，已经得至口了下列结果( 见1 9 8 】，【5 5 】，【9 】， 【5 l 】) ：( i ) 若p m + x 一1 时，则问题( 1 1 1 ) 的解有正性；( i i i ) 若p m + a 一1 ，k k + ：= 鱼p - 型( m + i 生 - 韭1 ) ，且存在常数p 3 0 满足：p 扛) 丽5 打，p r ) ， 则问题( 1 1 1 ) 的解有正性，且解的交接面在有限时刻消失。 在物理学中，设u ( x ，t ) 表示气体密度，若反映该物理模型的定解 问题的解有正性，则表明该气体最终会流动到整个区域：若反映该物 理模型的定解问题的解有局部性，表明气体在任何时刻都被限制在一 个有限区域内。 o r r z z 四川太擘博士学位论丈 对于高维空间( n 1 ) 的情形令 p ( t ) ：= z r “：u ( x ，t ) 0 ) ，( 20 ) ； , - t c t ) ：= i n f r 0 ：p ( t ) c b r ，o o ) h i 妨设0 i n t s u p p u o 由u o 的连续性知q ( 0 ) 0 。从而v t 0 ，n ( t ) 0 。称区域p ( t ) 的边界曲面o p ( t ) 为解u ( z ，t ) 在t 时刻的 交接面。若存在t o ( 0 ，o o ) ，使得当t 一石时，有q ( t ) 一，则称 解的交接面在有限时刻消失，或称解具有b f t 性质，否则我们称解 具有有限摄动传播速度，简称解具有f s p 性质。 相对一维情形而言，目前对高维情形解的支集性质的研究较少。 在文| 9 】中，m b e r t s c h 等人讨论了当密度函数p ( x ) 三1 ，a = 1 时 解的正性与局部性：a f t e d e e v 研究了无吸收项的情形( f ( 8 ) io ) 。 获得了解具有f s p 性质和b f t 性质的充分条件( 见文【8 6 1 ) 。 在第二章，我们受文【2 1 ，1 3 ，【4 1 ， 5 5 l 和【9 8 】的思想的启发，研究 问题( 1 1 1 ) 解的支集性质。在高维情形下( n21 ) ，我们获得了解有 局部性的充分条件，当，( s ) = c o s p ( c o 0 ，p 0 为常数) 时，我们 还证明了解的渐近性质，并发现当0 p 0 为常数xp m + a 一1 ，k ：= 垡p - 盟m 垃- - x 业+ l ， 且密度函数p ( x ) 满足w ( 。o ) ：= j p ( s ) ( 1 + s ) k - i d s k + 时，有w ( o o ) 0 ，p 0 为常数x 则有 u ( ，t ) l l o o 一0 ，o 0 0 ) 特别地，当0 p 0 ， 许多学者也对其解的爆破性质作了大量的研究( 见【8 1 1 ， 8 2 1 。相关性 质对应于方程组的情形，可参见【1 0 8 ，1 6 4 1 ，【6 8 】) ，但其整体解的一致 有界性问题至今尚不清楚。 此前。已有众多学者讨论了下列带有局部反应项的方程 t l t 一u = 矿( z ，t ) 解的有界性问题( 见1 7 0 ，【1 2 】， 4 4 1 ，【3 1 】， 3 2 1 ，【4 3 】等) 。主要结果如下：( i ) 当n s2 或p 冀时，整体解有界；( i i ) 当n 3 且p 爱时， 存在无界的整体弱解，即s u p t oi m ，t ) l l 。= c o ；( i i i ) 当p = 莉n + 2 ，q 为球时，存在无界的古典解。 据我们所知，相关问题对于局部化源的情形研究不多，在1 7 9 】 中，p r o u c h o n 证明了当，( s ) = 8 p 时，问题( 1 2 1 ) 的所有整体 解都是一致有界。最近，在文【1 0 4 ) 中，杨世廒考察了一类非局部双 6 四川走擘博士擘住论文 非线性抛物方程整体解的大时间性态，证明了在某些条什下整体解有 界。 在第三章，我们受史1 7 9 】思想的启发，将其方法进行改进，研究 了具有一般结构的非线性局部化源抛物方程初边值问题整体解的有界 性问题。对于高维区域，考察了固定源情形( 。o ( ) ；z o ) ，在一维区 域( q = ( n 6 ) ) ，讨论移动源情形，推广和改进了文【7 9 】中的结果。主 要结论如下： 定理1 2 1 ：设z o ( t ) 兰z o 是q 内的一固定点，nc 舻， c 1 ( r ) 为单调递增函数，且满足：s ( o ) 0 ，o 。d s f ( s ) 0 0 若 u ( x ，t ) c 。- 1 ( 矗( 0 ，o o ) ) 是问题p 2 j j 的一个整体解则u ( x ，t ) 关 于空问变量z 和时间变量t 都是一致有界的，即 s u pu ( x ，t ) 0 ，- r 。d s s 若 问题“2 ，存在整体解u ( x ，t ) 伊t 1 ( f i ( o ，) ) ，则u ( x ，t ) # e i - 空问变量。和时间变量t 都是一致有界的，即 s u pu ( x ，t ) 0 ，p ，q ，o ，卢为正常数。 以上两个模型都描述在一类动力系统中某种物理现象受一固定点 温度的影响( 见【l o ，【7 1 】) 。近年来，许多学者研究了带有局部化源的 单个半线性抛物方程的情形，见综述文献1 8 1 ，【8 2 】。对于方程组的情 形，赵立中，郑斯宁研究了问题( 1 3 1 ) 。记d = p 2 q l 一( p 1 1 ) ( q 2 1 ) 当d 0 时。令 。= 掣，卢= 掣 他们得到了下述结果( 见【1 0 8 】) ： 若o l p 1 一i 且q l 一i ，则问题r j 只j ，的爆 破解( t ， ) 具有下列性质： 。l i 譬( t q ) 。u ( 州) = ( ：( ；) 南) ， 。l ! m ( t * - t ) q 列) = ( ；( ：) 南广， 上述极限在q 的任意紧支集上一致成立其中丁是问题门只 的 解( u ， ) 的最大存在时间 本文第四章的主要目的是利用( 1 3 1 ) 中的指数建立精确的爆破 条件，并在合适的假设下得到u 与u 同时爆破和相关爆破速率估计。 设t 0 ( z ) ，v o ( x ) c ( q ) ，蛳( z ) 20 ，v o ( x ) 0 且不恒为零，并在边界 a q 上消失。主要结果如下： 定理1 3 1 御若p l 1 ，或d 0 ，则对于小初值，问题“只 的解整体存在，对于大初值，问题一只纠的解在有限时刻爆破 注： 由此可见，定理1 3 1 改进了文【1 0 8 的结果。并且这里我 们使用与文【i 0 8 不同的方法来证明这个定理。 设问题( 1 3 1 ) 的解( u ， ) 在有限时刻t 爆破，则有l i m t _ p ( 8 。 + i o 。) = + o o 如果l i m t 。t i i u 0 。= + 且l i m t 。p i o o = + o o ， 那么称( t ，”) 同时爆破。为了得到同时爆破的条件和爆破估计，我们 进步假定初值满足：咖( 。) ，t j 0 ( 。) 俨+ 1 ( 彘) ( 0 0 且口l = 啦一1 0 ，则下列极限 l i mi l n ( t * - t ) i 一南巾，归( 击慨- p l + 1 ) ) 南， 躲( r _ t ) 炸 f ) ( 1 i l 岫) ) 南= ( 击( p 2 呻+ 1 ) ) 鼎 在q 的任意紧支集上一致成立 一砂若p 2 = p l 一1 0 且q l 口2 1 0 ，则下列极限 l i r a ( 7 * - c ) u 唯一( 1 n u ( 删鼎= ( 扣一9 2 + 1 ) ) 南 t * - t l l i m i l n ( t t ) l 一南巾，归( 壶( 口l - q 2 “) ) 南， 一研u ( ，) = ( 云( 口l 一+ 1 ) ) 而， 在n 的任意紧支集上一致成立 ( i i i ) 若p 2 = p l 一1 0 且q l = q 2 1 0 ，则极限 m l i m it n ( r 叫) l - 1l n u ( 州) 。赢， 。u mi h ( r 一) 1 - 1 i n v ( 叫) 2 赢， 在q 的任意紧支集上一致成立 本文第五章讨论问题( 1 3 2 ) ，近年来，国内外许多学者研究了如 下半线性反应扩散方程组： f t t ( 马t ) 一u ，t ) = ，( ”) ， ，) qx ( 0 i t ) ， 仇( 。，) 一”( 。，) 2 g ( u , v ) 1 ( 。，。) q ( o ，t ) ，( 1 3 4 ) l 札( z ，t ) = ( z ，t ) = 0 ， ( o ，t ) a s2 ( 0 ，2 ) ， i ( 。，0 ) = t 幻( 。) ， ( z ，0 ) = v o ( x ) ，$ q 四f l i 大学博士擘位论文 的解的整体存在与有限时刻爆破等性质( 见【2 4 j ：1 1 9 1 ，f 9 l j ，【1 0 9 j 及其参 考文献) 特别，当，( t i ，”) = ”一e 。9 ( 缸， ) = t 。e 。时，文【7 8 】研究表 明，问题( 1 3 4 ) 解的整体存在性和有限时刻爆破与区域的”厚”与” 薄”密切相关( 若区域q 可包含足够大的球，则称它为厚区域：若区 域q 在某个方向上夹于两个可充分靠近的超平面之间，则称它为薄 形区域) 关于带局部化源非线性反应项方程组的研究，可参见文【8 1 l 及其 参考文献。本文借助文【7 8 j 和1 6 9 】的某些思想来研究问题( 1 3 2 ) ，我 们发现解的整体存在性和有限时刻爆破与空间区域的几何形状和方程 中的指数有密切联系，具体结果如下： 定理1 3 4 若p q 1 ，则当( 铷，1 ) 0 ) 是小初值时，问题r j 3 纠 存在整体解； 砂若p qs1 ，则当q 为薄区域且( 1 l o ，1 ) 0 ) 是小初值时，问题 ( 1 3 g ) 寿拄整侮鼹 定理1 3 5 若p q 1 ，则当( t o ，咖) 是大初值时，问题 r j 只剀的解在有限时刻爆破； 一砂若p 叮s 1 ，剐当n 为厚形区域时。问题以3 剀的所有正解 必在有限时刻爆破 当p = q ，o = p ，u o = v o 时，问题( 1 3 2 ) 变为如下单个方程的 初边值问题： i u ( 。，t ) 一a u ( x ，t ) = “( 勖，t ) e 。“( “f ) ，( z ，t ) qx ( o ，t ) ， t ( z ，t ) = 0 ， ( 。，t ) a qx ( 0 ，t ) ， iu ( z ，0 ) = t 幻( z ) ， 。q ( 1 3 5 ) 四川大学博士擘位论丈 根据定理1 34 和定理1 35 ，可以彳! f 到f 面的推论 推论1 3 6 俐若p 1 且q 为薄形区域，则问题r j j 卵既存 在整体解，也存在爆破解； ( i o 若ps1 且n 为厚形区域，则问题r j j 酬的所有正解必在 有限时刻爆破 四川匕学博士擘t i 论支 第二章 一类非线性抛物方程c a u c h y 问题解的支集性质 本章研究一类在非均匀介质中带可变系数和吸收项的非线性退化 抛物方程c a u c h y 问题解的支集性质，在适当的条件下得到了解有局 部性和解的支集在有限时刻爆破条件同时证明了解的渐近性质，并 发现了有限时刻的熄灭现象。 2 1 问题的提出 考虑如下问题： j p ( u 产d i v ( u 一1 i d u r d u ) 一，( t ) ，z r ，t o ， i 牡( z ，o ) = 蛳( z ) ， z r ， ( 2 1 1 ) 其中u = u ( z ，t ) ，z = ( z 。，z ：，z ) ，n 1 ，i z i = ( 墨，霹) ， d u = ( t 正。，缸，) ；m 1 ，a 1 为常数，且m + a 一2 o ；吸 收项f c 1 ( 1 0 ，o 。) ) ，( s ) 0 ，通常取，( s ) = c o s p ，( c o o ，p 0 为 常数) ；初值u 0 ( x ) 满足： u o 0 ，s u p p u ocb j b ：= 0( p 1 ) 1 3 四川大学博士学位论丈 一般说来，当? f l 时，性质( p 1 ) 不再成立但在适当的条f l 。 下，有下述较弱的性质： v z r ，3 t = 了( z ) 0 ，使得v lu ( z ，t ) 0 ( p 2 ) 若一个问题的解u ( x ，t ) 具有性质( p 2 ) ，我们称该解有正性( p o s - i t i v i t yp r o p e r t y ) ；若一个问题的解u ( x ，t ) 具有下列性质( p 3 ) ： j l 0 ，使得s u p p u ( ，t ) c 百l ，( t 0 )( p 3 ) 则称该解有局部性( l o c a l i z a t i o np r o p e r t y ) 注2 1 1 这里所指6 解是弱解，详细定义见下一节 注2 1 2 在物理学中，设u ( z ，t ) 表示气体密度，若表示该物理 模型的定解问题的解有正性，则表明该气体最终会流动到整个区域； 若表示该物理模型的定解问题的解有局部性，表明气体在任何时刻都 被限制在一个有限区域内 解的正性和局部性与解的交接面( i n t e r f a c e s ) 密切相关。在一维 区域( n = 1 ) ，解t ( z ，t ) 的交接面定义如下( 见1 5 5 】) ： p ( t ) ：= s u p x r ：u ( x ，t ) o ) ，( t o ) ， f _ ( t ) ：= i n f x r ：u ( x ，t ) o ) ，( t 2o ) 称p ( ) 和f - ( t ) 分别为t ( z ，t ) 在t 时刻的右交接面和左交接面显 然，对于非负非平凡的初值u o ，有f 一( t ) p ( t ) 在某些条件下，解的交接面在任意时刻都存在( 见1 5 5 】，【9 】，【s 1 1 ) ， 而且还可能出现一种有趣现象，即存在时刻t o ( 0 ，o o ) ，使得当t 一 石时，有i 一o o ，这种现象称为解u ( z ，t ) 的支集在有限时刻爆破t 也称解u ( x ，t ) 的交接面在有限时刻消失，简称解u ( x ，t ) 具有b f t 性 质。否则称解t ( z ，t ) 具有有限摄动传播速度，简称解有f s p 性质。 四i 太学博士擘位论置 芙于问题( 2 1 1 ) 解的支集的性质，在- - t t # ( n = 1 ) 情形，当，( s ) = s p ( p 0 为常数) 时，向昭银、胡! 学刚、穆春来己进行深入系统的研 究并得到了很好的结果，主要结论如下( 见1 9 8 】，f 5 5 】) ： 御若p m + a 一1 时，则p - i 翅i ( 2 1 j ) 的解有正性，且存在仅 i t - 赖于m ，a ，p ，f i p i 。和u o 的常数o ，b 0 ，使得 i f + ( t ) i b 1 0 9 ( a t + 3 ) 】矗，( t o ) 一叫若矿 m + a 一1 ， 0 满足： 舔 m + a 一1 ，k 护，且存在常数, 0 3 0 满足 小) 靠，( x e r )( 2 1 5 ) 则存在正数t ( 0 ，) ，使得 t ( z ，t ) 0 ，( 比r ，丁) 此时问题( 2 j j ) 的解有正性，且解的交接面在有限时刻消失 1 5 四川大学博士擘位论乏 一，若p m4 - a 一1 ，k = 驴，p ( 引满足条件俾j # ，则存在仅 依赖于m ，a ，p ，k ，p l ，1 1 0 的常数b ，p ，使得 i 士( ) fs b e 肛，t 0 此时问题( 2 j j ) 解的交接面整体存在 对于高维空间( n 1 ) 的情形，令 p ( t ) ：= z r ：u ( z ，t ) o ) ，( t o ) ； ”( t ) ：= i n f r 0 ：e ( t ) c 日) ，o o ) 不妨设0 i n t s u p p u o ，由u o 的连续性知q ( 0 ) 0 ，从而v t 0 ，目( t ) 0 。称区域p ( t ) 的边界曲面o p ( t ) 为解u ( z ，t ) 在t 时刻的 交接面。若存在t o ( 0 ，c o ) ，使得当t 一石时，有目( t ) 一o o ，则称 解的交接面在有限时刻消失，或称解具有b f t 性质，否则我们称解 具有有限摄动传播速度，简称解具有f s p 性质。 相对一维情形而言，目前对高维情形解的支集性质的研究较少。 在高维情形下( n 1 ) ，我们利用能量方法获得了解有局部性的充分 条件。当i ( 8 ) = c o s p ( c o 0 ，p 0 为常数) 时，我们还证明了解的 渐近性质，并发现当0 p 1 时，解在有限时刻熄灭( e x t i n c t i o n ) ： 在一维空间里( n = 1 ) ，当i ( s ) = c o s p 时，我们也获得了解的支集在 有限时刻爆破的条件。主要结果如下： 定理2 1 1 ( 解的局部性) 设u ( 。，t ) 是问题偿1 j ，在条件 俾1 剀成立时的解，若存在正数o ，使得 p ( r ) r 1 0 为( 0 ，o 。) 内的不减函数 ( 2 1 6 ) 则u ( 甄t ) 具有局部性，其中 ：警，1 0 为常数xp m + a 一1 ，护：= 坠p - - - 山m - - 虹, x + 坐l ，且密度函数p ( z ) 满足 ( ) ：= j p ( s ) ( 1 + s ) k * - i d s 护时，有 w ( c o ) o ，p 0 为常数x 则有 ( ，) i i 。一0 ，( t o o ) 特别地，当0 0 ，u ( z ，t ) 都是问题俾2 圳一俾2 印的非负 有界弱解，则称它为问题仁j j 的弱解 令 c u ：= p ( i z l ) u t d i v ( u m - i i d t , 1 1 1 d u ) + c o u v ， 四川太学博士擘位论丈 即 类似于【8 l ， 7 7 l 的方法容易证明问题( 2 1 i ) 的比较原理成 命题2 2 1 设，堡面分别为问题俾j u 的解，下解和上解 则坠t s 面 命题2 2 2 设m o 为常数，豇( z ，t ) 满足： 例0 c 豇m o ， ( z ，t ) r ( 0 ，丁) i 砂霞( z ，0 ) t i o ( z ) ，z r 则豇是问题偿j u 的上解 命题2 2 3 若函数型( z ，) 满足： 俐c 型s0 ，p ，t ) r x ( 0 ，t ) i 一砂型( z ，0 ) t o ( z ) ，z r ” 则u 是问题俾u 的下解 2 3 解的局部性与渐近性 我们先来讨论问题( 2 1 1 ) 解的局部性，使用文【2 1 ，【3 】， s 6 l 的思 想来证明定理2 1 1 定理2 1 1 的证明分两种情形。 情形i ：a + 1 n ，k ；v = a + 1 令 r 4 ，风= r ( 1 + 刍) ，赢= 罢( 1 一嘉) ，n = o ，1 ， 构造满足如下性质的截断函数( n ( z ) ： 一1：z；竺港i，丽2c0x b i l 1 0 i ，掣b 如一i“ 1 1 9 四川天擘博士学位论乏 其q 一0 6 j 1 显然，亿一1 r 譬凡2 扈。一l ils u p p u on s u p p ( ：= 圣。从而t 幻( z ) ( 。( z ) 兰0 ，( z t ) 设0 1 ，r 0 ， 有 p ( 6