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解析函数及若干相关问题 摘要 解析函数是复分析的一个重要研究内容。解析函数理论在数论、 电学、工程等方面都有重要的应用。同胚映射、共形映射、拟共形映 射与解析函数紧密相关。对单叶性内径、绝对连续性、b i e b e r b a c h 猜 想的研究一直十分活跃。最近，离散解析函数又成为数学家感兴趣的 一个研究领域。本文的主要工作如下：第一，用一种新的方法对两类 单连通区域的单叶性内径进行研究，给出了这两类单连通区域的单叶 性内径。第二，在拟共形映射关于二维测度具有绝对连续性的条件下， 应用点集理论讨论了一类同胚的测度的性质，得到这类同胚诱导的泛 函具有紧致性的一个充分条件及在此充分条件下的一个上界。第三， 给出了b i e b e r b a c h 猜想的一个应用，同时讨论了s 族函数、多项式解 析函数与离散解析函数的一些性质。 关键词：解析函数；单叶性内径；同胚映射；测度 a n a l y t i cf u n c t i o n sa n ds e v e r a lr e l a t e d q u e s t i o n s a b s t r a c t a n a l y t i cf u n c t i o n sa r eo n eo fi m p o r t a n tr e s e a r c hc o n t e n t si nc o m p l e x a n a l y s i s h o m e o m o r p h i s mm a p p i n g ，c o n f o r m a lm a p p i n ga n dq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n ga r ec l o s er e l a t e dw i t ha n a l y t i cf u n c t i o n s t h er e s e a r c ho n t h ei n n e rr a d i u so fu n i v a l e n c e ，a b s o l u t ec o n t i n u o u sa n db i e b e r b a c h c o n j e c t u r ea t t r a c tm a n yp e o p l e sa t t e n t i o n r e c e n t l y , d i s c r e t ea n a l y t i c f u n c t i o ni so n eo fi n t e r e s t e df i e l d st om a n ym a t h e m a t i c i a n s i nt h i s d i s s e r t a t i o n ，o u rm a i nw o r ki sa sf o l l o w s ： f i r s t , o n en e wm e t h o di sa p p l i e dt oi n v e s t i g a t et w os i m p l yc o r m e c t e d r e g i o n s ，t h ei n n e rr a d i u s e so fu n i v a l e n c ef o rt h et w os i m p l yc o n n e c t e d r e g i o n sa r eo b t a i n e d s e c o n d l y ，t h em e a s u r ep r o p e r t yo fo n ec l a s sh o m e o m o r p h i s mi s d i s c u s s e d b yu s i n gp o i n t s e tt h e o r yu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tq u a s i c o n f o r - m a lm a p p i n gh a sa b s o l u t ec o n t i n u o u sa b o u tt w od i m e n s i o nm e a s u r e o n e s u f f i c i e n tc o n d i t i o no fc o m p a c t n e s sa b o u tf u n c t i o n a li n d u c e db yt h e h o m e o m o r p h i s m i so b t a i n e d a tt h em e a n t i m e ，o n es u p e r i o rb o u n df o rt h e f u n c t i o n a li so b t a i n e du n c l e ft h es u f j f i c i e n tc o n d i t i o n f i n a l l y ，o n ea p p l i c a t i o na b o u tb i e b e r b a c hc o n j e c t u r ei sg i v e n a tt h e s a m et i m e ，s o m eb e h a v i o r sa b o u tf u n c t i o n so fss e t ，p o l y n o m i a la n a l y t i c f u n c t i o n sa n dd i s c r e t ea n a l y t i cf u n c t i o n sa r ed i s c u s s e d k e y w o r d s ：a n a l y t i cf u n c t i o n ；t h ei n n e rr a d i u so fu n i v a l e n c e ； h o m e o m o r p h i s mm a p p i n g ；m e a s u r e l l 论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立撰写完成的。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人 或其他机构已经发表或撰写过的研究成果，也没有剽窃、抄袭等违反 学术道德规范的侵权行为。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人愿意承担由本声明而引起的法 律责任。 研究生签名： 导师签名： 壅良彳 盏) 帚文 论文使用授权声明 嗽啼 日期：加岬年 - l b 月fb 日 6 月，6 日 本人完全了解广西民族大学有关保留、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电 子文档，可以采用影印、缩印或其他复带| j 手段保存、汇编学位论文。 除在保密期内的保密论文外，允许学位论文被查阅和借闲，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。 研究生签名：壶幺平 导师签名磕峄义 日期：叶年月，日 日期：刎年石月，6 日 第一章绪论 1 1 研究背景 1 1 1 区域的单叶性内径 区域的单叶性内径起源于对解析函数的研究。在处理局部单叶的解析函数何 时是整体单叶的问题时，a h l f o r s 发现这一经典解析函数论的问题与拟共形映射 理论有密切的联系。拟共形映射是一类特殊的同胚映射。拟共形映射理论在 t e i c h m u l l e r 空间、r ie ! m a n n 曲面、f u c h i a n 群和复动力系统中都有重要的应用。 1 9 2 8 年，g r s t z s c h t ”在研究“把矩形映为矩形且保持四个顶点的对应，何 种映射最接近共形映射 的问题时，提出了经典拟共形映射的概念：设厂是区域 d 到d 的c 1 类同胚映射，称厂为d 内的一个经典拟共形映射，或c 1 类拟共形映 射，若厂在d 内处处满足下列条件： ( 1 ) i 免厂( z ) | o ，使得只要i i 墨k 。若q 是一个 a s c h w a r z 区域，彳( q ) 表示q 内所有解析函数组成的集合，那么q 内所有局部 单叶的亚纯函数的s c h w a r z 导数形成的集合一定包含球 缈：缈么( 跳i i 硎q 口 ， 所有可能的数a 的上确界叫做q 的单叶性内径，记做口( q ) 关于单叶性内径的研究一直十分活跃，c a l v i s t 2 0 1 ，l e h t o t 2 1 i ，l e h t i n e n t 2 2 】【2 3 】 1 2 4 ，w i e r e n t 2 5 1 得到了一系列的结果。对三角形、正多边形、角形区域、双盥线 围成的区域的单叶性内径已经得到了精确的数值。随后，许多对单叶性内径的研 究基本上局限于使用l e i l am i l l e r - v a nw i e r e n 的方法【2 6 l1 2 7 1 1 2 s 11 2 9 1 。本文第二章用 一种新的方法对两类单连通区域的单叶性内径进行研究，给出了这两类单连通区 域的单叶性内径。 1 1 2 同胚映射的度量性质 1 9 3 1 年，m e n c h o f f t 驯证明了一个几乎处处存在偏导数的同胚几乎处处可微。 很自然地得至【 拟共形映射作为二元实变量函数是几乎处处可微的【1 7 1 。进一步， 有如下结论：若厂在区域d 内是k 拟共形映射映射，则其偏导数在d 内几乎处 处满足下列不等式【1 7 】 b ( z ) 什；( z ) 卜k ( i 允厂( z ) i _ l a ；厂( 班 运用上述不等式及集函数的知识可推出拟共形映射具有厶广义偏导数【1 7 1 。 有了这些知识就可以证明拟共形映射厂是绝对连续的1 1 7 1 。即对于任意一个b o r e l 集盯都有 j n ( z ) 蚴= 聊( 盯) ，其中，( z ) = l a , s ( z ) 1 2 - | a ：厂( z ) 2 拟共形映射关于二维测度具有绝对连续性的一个自然推论是拟共形映射把 2 零测集变为零测集。很自然的问题是：非零测集在拟共形映射下像的测度如 何变化? 本文第三章对此问题加以研究，得到一类同胚诱导的泛函具有紧致性。 1 1 3 三类特殊解析函数 1 9 8 4 年，d e ，b r a n g e s 3 l 】用参数法中l 6 w n e r 微分方程证明了历时6 8 年之久的 举世闻名的b i e b e r b a c h 猜想。1 9 9 0 年汪良辉【3 2 】用变分原理证明了b i e b e r b a c h 猜 想。现在知道b i e b e r b a e h 定理已经有很多重要应用【3 3 1 。但是到现在为止，人们很 难寻找到b i e b e r b a c h 猜想的一个具体应用1 3 3 1 。本文第四章给出了b i e b e r b a c h 猜 想的一个应用。同时本章获得了原点附近的区域在s 族函数作用下的一个面积性 质。 著名的r i e m a n n 猜想f 3 4 1 与线性规划问题都涉及到复平面内的点的分布问 题。复平面内的点的分布虽然很直观，但许多教材在运用点的分布知识时常常出 现问题。因此很有必要建立复平面内的点的分布定理。本文第四章给出了复平面 内的点的分布的判定定理并运用此定理证明了著名的l u c a s 定理。 经典复分析的离散化是数学家感兴趣的领域之一。j f e r r a n d | 3 ”，r j d u f f i n 【蚓，c h m e r c a t t 3 7 1 及r k e n y o n t 3 8 】等人建立了复分析离散化的线性理论，这种理论 是建立在c a u c h y r i e m a n n 方程离散化的基础上的。t h u r s t o n 3 9 l 建立了复分析离 散化的非线性理论，其中圆模式是解析函数的一种自然的离散模拟。a f b e a r d o n 4 0 l ，k s t e p h e n s o nt 4 1 1 ，t d u b e j k ot 4 1 1 ，b r o d i nt 伢，d s u l l i v a nt 4 2 1 ，a m a r d e nt 4 3 1 及国内 z 一x h e 4 4 j 等人发展了非线性理论。本文第四章利用四角形的离散柯西黎曼方程 【5 2 】获得了正六边形网格3 d 亚相容性条件。 1 2 本文的主要工作 在第二章，我们先研究了菱形单叶性内径的算法。为了寻求菱形单叶性内径 的简化算法，我们运用复数及其模的性质计算菱形单叶性内径。我们采用分式变 形及灵活运用有关不等式的技巧得到了菱形单叶性内径。后运用同样的方法获得 了一类六边形的单叶性内径。本章中提供的单叶性内径的新算法简化了朱华成 与宋颖1 2 8 j 计算单叶性内径的算法。 在第三章，我们先举例引出问题，然后给出度量函数的定义，再证明在同胚 映射作用下区域边界变化的一个性质，最后运用此性质证明了几乎处处存在偏导 数的同胚厂诱导的度量函数f ( 盯1 ( 盯为圆域) 是有界函数，同时给出了度量函数 f f 盯) f 盯为圆域) 一个上界。在厂映零测集为零测集这一附加条件下，我们把度 量函数f ( 盯) ( 盯为圆域) 是有界函数这一结论推广到了仃为有界区域的情形。 在第四章，我们先给出了b i e b e r b a c h 猜想的一个简单应用及s 族的一个性质。 然后建立了直线划分复平面的判定定理，并运用此判定定理证明了多项式解析函 数的l u c a s 定理。最后，运用四角形的离散柯西一黎曼方程获得了正六边形网格 3 d 亚相容性条件。 1 3 未来的研究工作 离散解析函数是离散微分几何的一个崭新的研究领域。经典复分析的离散化 有两种方法：一种方法是以柯西一黎曼方程的离散化为基础的线性理论；另一种 方法是以t h u r s t o n 提出的圆模式是解析函数的自然的离散模拟这一思想为基础 的非线性理论。关于平面四边形的情形，已经有许多关于线性理论与非线性理论 的研究成果。本人未来研究工作之一是把离散解析函数推广到平面n ( n 5 ) 边 形。随着四元数分析的发展，把离散解析函数推广封四元数分析的情形也是一项 值得研究的工作。副现在为止，关于单叶性内径的研究工作很少。拟共形映射理 论有待于推广。本人未来继续研究拟共形映射理论及其应用。解析函数理论是研 究数论的有力工具，这方面的问题令人陶醉! 本人有兴趣利用解析函数理论解决 数论问题及复分析的应用方面的问题。 4 第二章两类多边形的单叶性内径 2 0 0 0 年，朱华成1 2 6 j 通过复杂的运算得到了菱形的单叶性内径。2 0 0 3 年宋颖 i 船j 用m a t h e m a t i c a 软件包得到了一类开六边形的单叶性内径。宋颖采用的算法运 算极其繁琐。以上两位作者采用的算法相似，都是采用复数实数化的方法。本章 先运用复数及其模的性质计算菱形单叶性内径，采用分式变形及灵活运用有关不 等式的技巧得到了菱形单叶性内径。后运用同样的方法获得了一类六边形的单叶 性内径。本章中提供的单叶性内径的新算法简化了朱华成【2 6 与宋颖【2 8 l 计算单叶 性内径的算法。 2 1 预备知识 用c 表示复平面，d 表示单位圆 z 嘲 o ，使得只要i b o o 口就能推出厂在q 内是单叶的，则称q 为一个s c h w a r z 区域( 或a s c h w a r z 区域) 。 若q 是一个口一s c h w a r z 区域，a ( n ) 表示q 内所有解析函数组成的集合，那 么q 内所有局部单叶的亚纯函数的s c h w a r z 导数形成的集合一定包含球 缈：缈彳( q ) ，m j q 口 ，所有可能的数口的上确界l f 做q 的单叶性内径，记做 仃( q ) 单连通区域q 称为n e h a r i 圆，如果盯( q ) = 2 一慨l i d ，其中h 为单位圆d 到 q 的共形映射。 关于单叶性内径的研究，已经有许多结论。n e h a r i 4 5 l 和h i l l e l 4 6 l 证明了单位 圆的单叶性内径盯( d ) = 2 l e h t o 【2 1 j 和l e h t i n e n 2 2 l 计算了角形区域的单叶性内 5 径，得到若4 = z t z c ，0 a r g z 2 - 1 1 瓯1 1 d ，由单叶性内径的定义，即证对于q 内任意局部 单叶的亚纯函数厂，若厂满足 耪i 2 一。， 贝i j 厂是q 的单叶函数厂 i 势 b k = 8 t 一也= 4 一瓯i i d - - 1 1 量曲。一懈k 即得 慨妇1 1 0 2 又因为仃( d ) = 2 ，所以f 。h 在d 内单叶。又h 为d 到q 的共形映射，h 在d 内单叶，故厂在q 内单叶。故由单叶性内径的定义知仃( 嗡2 一i i s l l d 口 引理3 【2 5 l 设p 为一个凸刀边形，如果七刀是p 的一个内角，那么仃( p ) 2 k 2 定理2 2 1 若日为开菱形，日的一个最小内角为后刀，其中o 七j 1 ，则 仃( 日) = 2 七2 6 射为 即得 亦即 即 由 即得 故 即得 下面证明定理。 证明：由s c h w a r z c h r i s t o f f e l 公式【3 4 】知，把单位圆d 映为开菱形日的共形映 几) = cr ( z 2 1 ) 扣1 ( z 2 + 1 ) 廿出其中c ，c o 为常数且c 0 。( z ) 一2 ( i 一1 ) 三一兰：垒r _ 厂( z ) z 2 1z 2 + 1 附( 锱h 锱 2 - 型气一 i ( 1 - l z | 2 ) 2 _ l 坐气一 o 1 - 1 z h z 4 1 i 南南。 ( t 材ii ) 2 附z吩陛卑篙掣一12-4kllzl+(4+8k-8k2)lzl2+12-4k 当o 七三时， 若z = 0 ，则 若z 0 ，则由 孓( z ) i ( 1 一i z l 2 ) 2 1 2 4 七i + 4 + 8 i k 习- f 8 ：k j 2 下- i 1 4 f ：- 广8 k 1 z 1 2 1 墨( z ) i ( 1 _ 2 = 1 2 4 k l = 2 4 k 2 - ( 2 - 2 k 2 = 2 k 2 又由引理3 得 仃( 日) 2 k 2 所以 盯( 日) = 2 k 2 口 推论菱形是n e h a r i 圆。 证明：由定理证明过程知推论成立。 2 3 一类六边形单叶性内径 定理2 3 1若h 为开六边形，其角序列为群蝴，边长序列为b a a b a a ， 其中a = k n ( 。 七詈) 忍6 依赖于七，则盯( 日) = 2 七2 证明：由s c h w a r z c h r i s t o f f e l 公式f 3 4 】知，把单位圆d 映为六边形日的共形映 射为 厂( w ) = j c r ( z 2 一) 一1 ( z 2 一p 孕) 一i ( z 2 一p - 2 广1 r i 一j a 切 对w d ，经计算得 型：2 w 5 + ( 2 - 3 k ) w 3 + ( 2 - 3 k ) w f ( w ) w 6 1 驰，锱h 锱 2 ( 2 - 3 k ) ( w + ) + ( 一兰k 2 - 3 k + 4 3 ( w 6 + 矿) + ( - 9 k 2 + 1 2 k + 6 ) w 4 ( w 6 - 1 ) 2 丁( w ) = i s ，( w ) l o 1 w t 2 】2 = 显然，当。 七；时， 2 3 七) ( w + ) + ( 一兰k 2 - 3 k + 4 ) ( w 6 + 矿) + ( - 9 k 2 + 1 2 k + 6 ) w 4 l ( 一i 叫2 ) 2 w 6 一1 1 2 ii 2 - 3 k 0 ， 一昙七2 3 k + 4 0 ， 2 。 一9 k 2 + 1 2 k + 6 0 令w = r ( c o s o + i s i n o ) ，其中o ， l ，0 0 0 当o rc z j o l z j g4 ) 时，f ( 盯) m 故尸( 仃) 在无界区域 3 2 度量函数及引理 一般地，平面可测集d 的测度用m ( d 1 表示。 定义l 设厂是平面可测集d ( m ( o ) o ) 到点集d 的同胚映射。称函数 巾) = 帮( 其中区域盯符合舭厅且o 0 ，对任意符合万cd 且 o o ，了磊 0 ，当0 l z z 。l 磊时，有l ( z ) 一厂( z o ) l s 由于q 是连通的，故z o 是q 的聚点。取z ( q n z | o ( z - z o i o 使得对v z ( d e ) 都有陀i + l 色降三，则厂的度量函数f ( 仃) ( 盯为 圆域) 在d e 上是有界函数且f ( 盯) 3 2 r ，其中三与圆域仃无关。 注：圆域是指平面上半径为正数的圆周内部的所有点的集合。 证明：显然，由文献【3 0 l 知e 为零澳i j 集故由文献【4 7 l 知d e 为可测集。由度量 函数的定义知对于使f ( o - ) c 厂( d e ) 的圆域盯，当盯( 2 2 ( d e ) 且o m ( 仃) o 即得m ( 盯) = 胛2 由于是同胚且( 仃) cf ( d e ) ，故由 引理知厂( 仃) 为区域且厂( a 盯) = a ( 厂( 仃) ) c ( d e ) 显然，厂( 盯) 为可测集 又由f 的连续性知 。缴i 厂( z 0 + 陀坍) 一s ( z o ) 存在4 引显然， f ( z o + r e 旧) 在厂( 盯) 的外部边界上时，i 厂( 气+ 旭旧) 一( z 0 ) i 取 到 。m 鬟xs ( z o + 陀旧) 一厂( z 。) | 1 3 在区域内以厂( z 。) 为圆心，墨戆i 厂( z o + ，p 毋) 一厂( z o ) i 为半径作圆c 圆c 可能 超出d 的边界，但总有m ( 厂( 盯) ) 聊( c ) 即得厂的度量函数 忡选垃掣 设厂( z ) = “( x ，y ) + i v ( x ，y ) ，z = x + i yr z ( d e ) 由于关于实数x ，y 的函数 厂( z ) = 甜( x ，y ) + i v ( x ，y ) 在d e 上可微，故实函数”( x ，y ) ，v ( x ，y ) 在d e 上可微。 南 + 悱皿，悱皿，m - - 压l ，悱皿 令 g ( 口) = i 厂( z o + r e t e ) 一厂( z o ) 1 2 ，o o 0 ，0 孝 r = 詈i 甜( 粕+ 孝c 。s o o ，+ 善s i n o o ) 一”( 而，) 叱( x o + 孝c o s o o ，+ 孝s i n o o ) c o s 岛+ 吩( + 孝c o s e o ，y o + 善s i n o o ) s i n o o + v ( x o + 孝c o s o o ，y o + 善：s i n o o ) - v ( x o ，此) k ( 而+ 善c o s o o ，y o + 孝s i n o o ) c o s 岛+ _ ( 而+ 善c o s o o ，+ 善s i n 0 0 ) s i n e o 4 瓦 ( 0 善 ，) 记 + w ( t ) = “( + t c o s o o ，y o + t s i n o o ) - u ( x o ，y o ) ，o f 孝 ， 显然，关于t 的实函数w ( t ) 在 o ， 由拉格朗日中值定理知存在 使得 即得 善】上连续，在( 0 ，善) 上可导。 矽( 0 ，孝) i ux + 孝c o s o o ，y o + 善s i n o o ) 一甜x ，y o ) t = = 形( 玎) f l u ，( x 。+ 刁c 。s o o ，y o + r s m o o ) c 。s 岛+ u ，( x 。+ 吁c 。s o o ，y o + r s i n o o ) s i n o o i 2 霹三 同理可证存在 f ( 0 ，孝) 学 矽一 便得 i v ( + 孝c o s 岛，+ 孝s i i l 岛) 一v ( j c o ，y o ) l = 孝k ( + f c o s 岛，+ f s i n e o ) c o s o o + b ( + f c o s 岛，+ 彳s i n 岛) s i l l 岛i 2 髫厶 即得 里盟3 2 r 圭 3 2 r ， ， 即得 f ( 盯) o 使得对v z ( d e ) 都有i a ：s i + 性s i - l ， 贝, l jf 的度量函数f ( 盯) ( 盯为有界区域) 在d e 上是有界函数且f ( 盯) 3 2 r ，其中 工- q 有界区域盯无关。 证明：显然，m ( e ) = 0 且m ( d e ) = m ( d ) 0 由度量函数的定义知对于使 厂( 盯) cf ( o e ) 的有界区域盯，当o rc ( d e ) 且o 0 ，总可以找到n 个圆域c ；( c ；的半径使 g c o r ， i = 1 ，2 ，n ) 在盯内部使相邻的圆域以相外切( 圆周相外切) 的方式 填充o r ，使得当刀 n 时， m h 其中g ( i = 1 ，2 ，甩) 以上述方式填充盯 即得 l i m m ( 孑一 = o 又 比一蛾 1 6 故 即得 朋峨一小m ( _ - 蚪 又f 耐，c in q = 乃，故 即得 显然，由定理i 即得 。l i m 。m ( 0 c ： = m ( 盯) 吐_ q j _ m ( 盯) 善n 朋( g ) = 所( g g 热善珊( e ) = 肌( 仃) 聊( e ) i = 1 碰r + 堑剑 m ( g ) 一 、i ， 由于零测集在厂下的像为零测集，故对上式取极限有f ( 盯) 3 2 l 2 ，其中正常数三 仅依赖于区域d 及厂，即三与有界区域盯无关。口 3 3 3 特殊情形 定理3 3 3 设厂是平面区域d ( m ( d ) o ) 上的c 1 类拟共形映射或七一口c - 映 射。若存在常数l 0 ，使得对v z d 都有i o j i + i o i - l ，贝i j 厂的度量函数 f ( o - ) ( 盯为肋，p ，集) 在d 上是有界函数且f ( 盯) r ，其中三与曰d 旭，集盯无关。 证明：显然，由 陀厂i + i 色厂i o 使 得对v z d 都有限f l 显然，e = o 对v z r 2 有陀f l + l o ；s l - 1 4 + 1 b t ，故厂的度量函数f ( 盯) 在 全平面r 2 上有界且f ( 仃) ( i a i + i b i ) ： 例4 区域d = ( - o o ，o x ( 一万，万) 上的共形映射厂( z ) = 矿对v z d 有 l a z f i = l e = - p 啡乳 故厂的度量函数f ( 盯) 在区域d 上有界且f ( 盯) 1 即得聊( 厂( 盯) ) 聊( 盯) 该式表 明区域d = ( 哪，0 x ( - z ，刀) 上的任意满足厂( 仃) c 7 f ( d ) 的有界区域盯( 仃cd ) 在 共形映射f ( z 1 = e 。的作用下像的测度不超过原像的测度。这一点是非常有趣的! 注： 实际上，在某些问题中，应用本章中的定理，不等式m ( f ( 仃) ) 2 m ( a ) 中的正数兄可适当控制，这一点在实践上具有应用价值。 1 8 第四章几类特殊解析函数的性质 许多数学家曾经热衷于寻求b i e b e r b a c h 猜想的证明。当b i e b e r b a c h 猜想被证 明后，寻找b i e b e r b a c h 猜想的应用又是一个重要问题。李忠1 3 3 j 指出，作为 b i e b e r b a c h 猜想特殊情形的b i e b e r b a c h 定理( 刀= 2 ) 有许多重要应用，但是至i j 现在 为止，人们很难寻找到b i e b e r b a c h 猜想的一个具体应用。本章给出了b i e b e r b a c h 猜想的一个应用。同时得到了s 族函数在原点附近具有保二维测度微小变化的性 质。另外，本章建立了复平面内的点的分布的判定定理，并运用此判定定理证明 了著名的l u c a s 定理。最后，四角形的3 d 相容性很难推广到六边形的情形，本 章采用减弱条件的方法，提出了3 d 亚相容性的概念，得到正六边形网格具有3 d 亚相容性的一个充分条件。 4 1b i e b e r b a c h 猜想的一个应用及s 族的一个性质 4 i i 预备知识 设复变函数厂( z - - z + z 4 在单位圆d ： z8 z i 1 内解析且单叶，记其族为 s 1 9 1 6 年，l e b i e b e r b a c h 猜想：厂s 时，l q nl 刀，力= 2 , 3 ，j e l i t t l e w o o d 首 先用简单偏差定理证明了：f i e t 后来g m g o l u z i n 用所谓弦与弧的偏差定理 证明了：i i 扣，1 1 9 4 9 年初，e b a z i l e v i c h ，i m m i l i n 和h a l e b e j e v 差不多同 时用奇函数的g m n s k y 偏差定理证明了进一步的结果：t a l l e l n + 1 8 2 0 世纪7 0 年代初，c h f i t zg e r a l d 和d h o r o w i t z 用指数化的偏差定理，证明了更进一步的 结果：i a 1 1 0 6 n 后来，在系数a 。均为实数的情形下已获得了i a 1 n 这一结果。 1 9 8 4 年，d e ，b r a n g e s 3 1 用参数法中l _ 五w n e r 微分方程证明了历时6 8 年之久的举世 闻名的b i e b e r b a c h 猜想。19 9 0 年汪良辉【3 2 】用变分原理证明了b i e b e r b a c h 猜想。 b i e b e r b a c h 猜想证明后，推动了单叶函数理论的研究，对单叶函数s 族的研 究已获得了一系列有意义的结果。现在知道l 口：i 2 已经有很多重要应用【3 3 1 。比 如，用变形定理与旋转定理的基本不等式可推出单叶函数具有如下性质： 材氓则i ( z l 湍 但是到现在为止，人们很难寻找至f jb i e b e r b a c h 猜想的一个具体应用【圳。本章运用 1 9 b i c b c r b a c h 猜想及级数收敛的定义获得了s 族函数及其导函数的模有上界的简洁 证明。又如，由面积原理的基本公式可导出i ( o ) 的面积 、 研( 厂( d ) ) = 万i1 + 刀蚶1 n = 2 当然，单叶函数理论中仍然有许多问题没有被解决。像当l a ：l 给定不等于零时， m i n 如( 厂p ) ) ) ，- 3 是什么值这一问题至今没有解决。本章运用面积原理与极限的定义证明了s 族函 数在原点附近具有保二维测度微小变化的性质。 4 1 2 不等式的证明 趣4 1 1 若厂s ，删厂( z ) i 而l + zj 且i 作) i 且( 1 - 1 2 1 ) 证明：由( z ) = z + a n z ”在d 内解析知 玎罩2 f ( z ) = l + 刀z 卜1 n = 2 亦即n a 。z 卜1 收敛。由b i e b e r b a c h 猜想知： 由此即得 f s 时，l a 1 - n ，n = 2 ，3 ， 下证z d 时妻七：i z i 收敛。 k = 2 令 有 z ”k l 吼i i z i 窆砒ii h k = 2k = 2 瓯：窆七z i z i 扣l ， k = 2 j z l s = 七2 阱 一 k = 2 2 0 故 ( 1 一瓯：4 1 z l + 窆( 2 七一1 ) 1 z r - i - - n 2i z r 又令 b 3 有 即得 瓦：窆( 2 七一1 ) z r ， h 乙= ( 2 七一1 ) 阱 ( 1 - i z t ) r , = s l z l 2 + 2 z i z i - ( 2 - - z ) l z i k - - ! ” 一l l = 禹+ 眢一祥 又由得 最= 尚+ 盟( 1 - 1 z i ) ：+ 业( 1 - 型1 2 1 ) ，一滞一强 当z d 时，注意到l 。i r a 。甩i z i ”= o 且l 。i m 刀2 i z l “= o 故由知 脚驴嵩+ 品+ 藩 即证 融r 懒且+ 妻k = 2 砒ir 2 赫1 z t = 2i i 故对式两边关于1 1 取极限有 z 。k l 唧l l z i 妻七z i k = 2k = 2 又由三角不等式得 记 由f s 知只收敛。 下证 设 由l i h 以存在可令 此时 即得 又 故 l - r 砉勋。z i 一1 i r 砉尼i 口。| i z i 一1 粤1 1 + 只i = i - + 脚只1 = 毛+ 帆，i 2 = - 1 ，此月) 1 i m x = x ，l i m y n = 夕，( x ，y r ) 一- n - - o 1 i m 只= x + i y ，( f 2 = 一1 ，工，y r ) | 1 + 1 i 哆l - l + x + i y i = 瓜而 1 i m 1 + 只| - l i m l l + + 饥i - l i m 厄而= 厄而 对式两边关于n 取极限有 即得 脚| l + i = i + 脚 l + l i m p i 姗妻k = 2 酬 峰勋一卜泓k = 2 。i l z r 一 扣 乒 勉 。m = 只 又由式有 即得 又由式有 同理，由不等式 易得 即得 l + 薹勋。z i 1 l ，+ 砉七2 i z i - 1 1 s ( z ) | 1 + 后2 旷1 七= 2 湍 窆q z t l 壹k i b l 主七w k = 2ik = 2 k = 2 驴卜替 砟) | 幢矿川ii 驴卜持口 定理4 1 2 给定集合4 = z l i z | s 七，o 七 l 且七为常数 若任一函数s 与 任一有界c 纠u 可r e ( f ( o r ) ) 搿，褂 证：由于厂在d 内单叶解析，故由面积原理【3 4 1 得 帮：訾 肌( 仃)f f 螂 当厂s 时，有不等式【4 9 1 ，