（基础数学专业论文）m增生算子和单调型算子值域的研究.pdf

搁婴 摘要 在本文中，我们得到和推广了关于b a n a c h 空问中m 增生算子扰动有紧豫解式的一 些理论，在两个方面推广了定理1 ：改变定理1 的一些条件，得到值域的一些新的结论； 在证明过程中构造一个同伦，这比使用y o s i d a 逼近简单的多。利用s 型映射拓扑度， 导出了伪单调映射扰动的拓扑度。并讨论了该拓扑度对算子值域问题的应用。 关键词m 一增生算予；伪单调映射；d e m i 连续映射；紧性：同伦不变性 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i s p a p e rw eg e ta n dg e n e r a l i z es o m er e s u l t s f o rt h e p e r t u r b a t i o nt h e o r yo f m a c c r e t i v eo p e r a t o r sh a v i n gc o m p a c tr e s o l v e n t si nb a n a c hs p a c e s w ew i l l g e n e r m i z e t h e o r e m1o nt w os i d e s w ec h a n g es o m ec o n d i t i o n so f t h e o r e m1a n d g e ts o m en e wr e s u h s o nr a n g e s w ec o n s t r u c tah o m o t o p yi np r o o fa n dw h i c hi sm u c hs i m p e rt h a nt h em e t h o do f y o s i d aa p p r o x i m a t i o n b yt o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r yo ft y p e ( s + ) ，t h et o p o l o g i c a ld e g r e ef o r c o m p a c tp e r t u r b a t i o n so fp s e u d o m o n o t o n em a pi si n d u c e d ，a n dw ed i s c u s st h ea p p l i c a t i o n s o nr a n g e s k e y w o r d sm - a c c r e t i v eo p e r a t o r s ；p s e u d o - - m o n o t o n em a p ；d e m i c o n t i n u o u sm a p ；c o m p a c t ； h o m o t o p yi n v a r i a n c e 河北大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下近行的研究工作及取得 韵研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名： 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月同解密后适用本授权声明。 2 、不保密回。 ( 请在以上相应方格内打“4 ”) 作者签名： 导师签名： 日期：丛年，_ 月j l 日 日期：孑壶 年l 月丑n 第一章引言 1 1 增生算子和单调算子研究意义及现状 单调算子和增生算子理论是非线性泛函分析领域中一个重要研究方向，它通过对该 算子在各类空间中性质的研究，把哈密顿型方程、奇算子和变分问题有机的联系起来， 利用拓扑度和s o b o l e v 空间的基本结果，讨论非线性椭圆型方程、抛物型方程各种边值 问题解的存在性及解的迭代法。利用次微分映象和单调型映象的性质研究变分不等式理 论，凸分析理论和它在虽佳控制方面的应用。 单调算子和增生算子最早是存1 9 6 6 年由t k a t o ，f b r o w d e r 和b r e z i s 等人提出并研究 的一类重要算子。它的引出和解抽象算子方程的半群理论密切相关，由于增生算子是线 性和非线性算子半群的母元，所以它大量地应用到非线性发展方程的研究中。过去对非 线性问题的研究多用紧性方法，如拓扑度力法，利用某些不动点等 1 。j 。草调性概念的提 出是对算子不具备紧性的一种重要补充。许多不具有紧性的算子往往具有单调性，如拉 普拉斯算予一，p 拉普拉斯算子一。“= d i v ( 1 v u l v u ) ，n e m i s k y i 算于等都具有单调性， 而这些算子在研究液体经过多孔介质的流动，在冰川学，石油提取中经常出现，解决含 这类算子的方程问题，可以为实际工作者提供可靠的依据。目前国内外有一批学者致力 于该方向的研究工作，从国际性会议文集和数学杂志发表的文献来看，这一方向的研究 论文很多1 6 1 q ，研究工作也越来越深入。 12 单调算子和增生算子的研究工作及本文研究的主要内容 通过对一些文献的查阅，单调算子、增生算子研究工作，主要有以下几个方面： 1 提出了单调算了、增生算子在各种扰动下的值域范围的充分条件。从而为研究它 们代表方程的可解性创造了条件。 这个问题考虑的是两个单调算子或增生算子在什么条件下，它们的和仍为单调算子 或增生算子，并提出它们的值域的范围，这在研究一个抽象方程可解性范围方面有重要 应用。提出了伪单调算了紧扰动下的值域范围的条件并把它应用到某些具体方程中去。 应用。提出r 伪单调算子紧扰动下的值域范围的条件并把它应用到某些具体方程中去。 河北大学理学硕士学位论文 伪单调算子紧扰动下的值域问题，利用( s + ) 型算子的度理论的结果，得到了伪单调算子 紧或全连续扰动值域的范围。 增生算子在紧型或凝聚算子扰动下值域和他本身值域的关系，对解决抽象方程可解 性有重要应用。例如哈密顿型方程中的许多问题是靠这一理论来解决的。实际上它主要 研究的问题是方程a + c x = f 的可解性，其中7 是增生或m 一增生的，c 是紧或凝聚的， 解决着一问题的途径是用增生算子的豫解式具有连续性和有界性，把它和紧算子相乘得 到一个全连续算子，然后利用拓扑度的性质证明方程有解。 2 利用单调算子和的值域结果解决了一类非线性椭园方程的边值问题解的存在性。 利用单调算子值域的结果解决了以下方程的混合边值问题： f a p u + g ( x ，“( x ) ) = 厂 d e o nq 塑：od hr |汐聆 在( q ) ( p 2 ) 中解的存在性问题。通过对两个算子和的值域的研究得出r ( a ) + r ( b ) 和r ( a + b ) 几乎相等的条件，从而将方程化为三个算子，一个是p l a p l a c i a n 算子一。， 另两个算子由g ( x ，“( z ) ) 经过分解得到，这三个算子满足一定的条件。最后给出了方程解 在( q ) 中存在的条件。对更一般的边值条件，把边值条件换成( 以，a ( g r a d u ) ) ，。( “( x ) ) 并利用次微分映射的性质和g r e e n 公式将边界条件化为一个下半连续凸函数的次微分。 从而，把边界条件当作一个算子来处理，很好的解决了方程解的存在性问题。 3 利用算子和的值域得出的结果可以解决了含单调型算子的变分不等方程解的存 在条件和解的迭代问题。 变分不等式理论是非线性泛函分析中发展较快的研究方向。它从6 0 年代由j l l i o n s b r o w d e r , s t a m p a c c h i a ，k yf a n 等学者创立以来，经过许多数学家的努力，在理论和应用 上都取得了重要进展，成为一门内容丰富的边缘学科。由于它在系统优化、最佳控制、 数理经济、非线性规划、微分方程和力学等学科有广泛的应用，所以吸引了许多数学工 作者进行研究。 变分不等式主要是解决泛函的极值问题，因此它在数学对实际问题的应用方面起 着重要作用。极值问题一直是管理技术、最佳控制、经济活动领域中人们非常关注的课 题，而变分不等式理论是直接为他们服务的最好工具之一。另外在某些条件下求解变分 第一蕈引言 不等方程和解一个微分方程或积分方程是等价的。而微分方程或积分方程又可以变成算 子方程来解决。用变分方法解微分方程时，由于它充分利用了泛函分析、s o b o l e v 空间 等近代数学工具，所以显得方法更灵活、推理更巧妙，解决的问题更深刻。因此它的方 法在弹性力学、流变学、大地测量学、天体物理学、几何光学中被广泛应用。而求解变 分不等式问题往往可以化为算子的值域问题加以研究。这就是为什么算子和的值域问题 研究长盛不衰的原因。 本文提出了增生算子在各种扰动下的值域范围。这个问题考虑的是两个单调算子或 增生算子在什么条件下，它们的和仍为单调算子或增生算子，并提出它们的值域的范围。 利用( s ) 型算予的度理论的一些结果，我们还提出了伪单调算子紧扰动下的值域范围的 条件，得到了伪单调算子紧扰动值域的范围。 1 3 基本概念 下面介绍在本文中所用到的概念。 设x 是实b a n a c h 空间，x 是它的对偶空间，i 厂是j 上的对偶映射， t ：d ( t ) c x 斗2 。是一个映射，记d ( r ) 和r ( r ) 为映射，的定义域和值域。a g 和g 为 b a n a c h 空间子集g 的边界和闭包。 1 增生和m _ 增生算子 算子t 是增生的，如果对每个x ，y d ( t ) ，存在e j ( x y ) ，使得( “一v ，) 0 对每 个” i x ，v 7 y 成立。增生算子丁称为m 一增生的，如果r ( 丁+ a i ) = x ，i 是x 上的恒等 算子。 2 强弱收敛和全连续 x n 为j 中序列，x n 辛x o 是指矗强收敛到嘞，x n 一是指x n 弱收敛到x o 。设和 y 是两个b a n a c h 空间，j t t ：x 啼y 使得d ( t ) = x 。在下面所说的连续指强连续。算子 t ：x 。r 是全( 强) 连续，如果k 一推出t x 斗a 。 3 有界集和相对紧集 算子有界指它映定义域中的有界子集为有界集。算子是紧的，如果它是连续的且映 定义域中的有界子集为相对紧集。 3 凋北大学理学硕士学位论文 4 紧同伦 设g 匕x 是一个开子集，算子h ：【o ，l 】石_ 是一个紧同伦算子，或简称否上的紧 同伦，如果对每个r e 【o ，1 】，日( f ，) 是紧的，如果h ( f ，x ) x 寸y t 的连续性关于x 属于虿的任 何有界子集是一致的。 5 d e m i 一连续 一个映射丁：d ( t 1 c x 斗x 称为d c m i 一连续的，如果丁是从j 的强拓扑到x + 弱拓扑 连续的。 6 伪单调 t ：d cx j x 称为伪单调的，如果对任何序列 矗) 亡d 且矗一x 0 d ， l i m s u p ( t x ，矗一x ) 蔓o ，有l i m i n f ( t x , , ，一y ) ( 戤，x y ) ，y y d 。 。 7 s 型映射 r ：d 亡x 斗x + 称为( 墨) 型的，如果对任何序列 g n cd 且毛一d ， l i m s u p ( t x ，一x ) 0 ，有吒斗x o 。 第二章关于m 一增生算子的扰动值域 第二章关于m 一增生算子的扰动值域 在这节中，我们设x 是实b a n a c h 空间，算子t ：d ( t 1 c x _ 2 。是m 一增生的，是鼻 上的恒等算子。 h i r a n o 和k a l i n d e 1 3 1 在b a n a c h 空问中关于旷增生算子证明了下面的结论。 定理2 1 设r ：耳刁c 工斗r 是m 一增生的，( t + 0 。是紧的。c ：d p ) 斗x 是有界算 子，使得c ( 丑r + ，) ：x 哼x 对某五( o ，1 ) 为凝聚算子。设p x ，存在一个常数r 0 和 z ed ( 丁) 使得 ，v 及和j ( x z ) 成立，那末p r ( t + c ) 。 引理2 1 设和y 是两个b a n a c h 空间且g x 是开子集，设a ：d ( a 1 c x 哼2 7 使 得d ( 一) n g a 且一。1 ：】，斗工有定义，单值且连续，那末a ( d ( a ) r n g ) 是开的， 4 ( d ( 爿) n 石) 是闭的且a ( 4 ( d ( 一) n g ) ) 亡4 ( d ( 爿) n 粥) 。 引理2 1 是文献 1 4 1 中引理1 1 的特例，因此它的证明我们省略。 在下面的引理2 2 中我们用构造同伦映射的方法证明了个值域的结果，这比使用 y o s i d a 逼近方法简单的多。 引理2 2 设x 是b a n a c h 空间且g c x 是开子集。，是恒等映射。设r ：耳刁 x r 使 得0 27 1 + ，) _ 1 ：x _ x 对某五 o 是紧的。令g 。= t + i x d 仃) n g ) 。设 c ：d p ) n 石斗j 使得c 忙r + ，广：石。斗x 是紧的。设 嗣北大学理字坝士学位论文 p x 且存在一个开球b c 肖，球心在g o ，半径为r 0 及 0 使得 h + ，( 弼一，x 2 3 t + 1 ) - l u - ( 1 一，i 。一l 妒0 ( 2 2 ) 对每个( r ，“) 【o ，1 】a ( g o n b ) 成立。那末存在x d ( r ) n g 满f f z p 2 t x + * c x 目 x = 0 27 1 + ，) - 1 “对某个”及i l i g - - d o 忙r 成立。 证明：在引理2 1 中，令一= 2 2 t + i 。由于d ( o = z ，那么j d ( 爿) = d ( r ) 。由g o ， 我们有j d ( t ) n g 4 吏n = 牙v o + xj j v o t x 。既然d ( t ) n g a ，引理2 1 的所有条 件满足，所以g 。是开的。 g o 在集合p r + ，x d p ) n 刁) 是闭的，因此西。也是闭的。设 ( f ，”) = - f 一j 肛丁+ ，广1 “+ ( 1 一f h + 脚，( 枷) 【o ，1 】g 。n b 由于日( f ，”) 在石。上有定义，故在孑瓦j 上也是有定义的。由假设，c ( 2 2 t + i ) - 1 和 忙丁+ j ) - 是紧的，且，是连续的，因此以心一，鼽2 丁+ ，广1 是紧的，于是，对每个 f 【o ，l 】，h 0 ，) 也是紧的。 现在对任何数f l ，t 【o ，l 】和矿中的任何有界子集置，有 眺，“) 一日矧卜r ：( 翟i l ( 弛一，勋2 r + ，酬m | | + | | p 岫 由紧性，( 以c 一，) p 丁+ ，r 1 k 有界。所以日( f ，”) 在r 【o ，1 】的连续性关于“彪是一致 的。按照定义，h ( t ，“) 在g o n 曰上是紧同伦，且( 2 2 ) 等价于“一h ( t ，“) o 对每个r 【o ，1 1 和“a ( g o n b ) 成立。于是，我们对方程，一日( r ，) = o 应用l e r a y s c h a u d e r 度，有 a ( ，- h 0 ，) ，g 。n b ，o ) = d ( ，一h ( o ，o ) ，g 。n b ，o ) = d ( i 一，g 。n b ，o ) o 最后的不等式是由于g o n b 而得出。因此，存在1 , le g o 使得u - h ( 1 ，) = 0 。设 x = 忙7 1 + ，1 “及”e b ，那末x e d ( r ) n g 满足pe a + ，以及恤- - d o i t - 0 ，( z r + ) 。也是紧算子。 证明：对 ， 0 ，由豫解方程 p + “) 一p + ) - 1 = 0 一a 弦+ ) 。p + ) 。 可知 五以r + ) 一卢如丁+ ，) = 以一x 丁+ ，) 1 ( z 丁+ ，) _ 于是 沁圳= 等。丁埘1 + ( 一篑p 州汩训 令= - 以丁+ ，) - 1 = 三p + ，) 一+ ( t 一去) 仃+ ，) 。丁+ ，) 。 = 仃+ ，。b ，+ ( 一去) 以r + ，。1 对每一有界酬，由陋州的非扩张性，可知b ，+ ( ，一爿汩衙1 h 也是有界 集。再由p + ，) 。的紧性，可知沁+ ，) 。1 也是紧算子。 定理2 1 是全局性的，k a r t s a t o s 1 5 1 扩展定理2 1 为下面的定理2 2 。众所周知，算子 ( a t + i ) ，( 五 0 ) 在定义域z 上都有定义且l i p s c h i t z 连续。 定理2 2 设r ：d ( t ) c x 一2 。是m 一增生的，( 丁+ ，) 。是紧的。设c ：d p ) c x x 使得c ( 灯+ j ) ：x _ 对某个五( o ，1 ) 是凝聚的。设p x 且存在一个有界开集 g c x ，z d ( t ) c 、g 使得c ( d ( 7 1 ) n 否) 是有界的，且公式( 2 i ) 对所有的 x d ( r ) r 、o g ，v 及和，j ( x z ) 成立，那末p r ( t + c ) 。实际上， p ( r + c ) ( j d ( 丁) n 石) 。 我们对定理2 1 的条件进行改变，得到定理2 3 和定理2 4 。下面我们证明个比定 理2 ：3 更强的结论。 命题2 1 设，：d ( r ) c x - - 2 。是m - 增生的，( 7 1 + ，) 。是紧的，g 是j 的有界开子集。 设c ：d ( r ) c c 否- x 在( a 2 t + i x d 仃) n 石) 上对某2 0 使得c 丁+ ，) _ 是紧的且 c ( d p ) n 否) 有界，那末下面结论成立： a ) 如果p x - 设存在z o ( r ) c 、a 和常数五 0 使得对每个x d ( t ) n o g 及 j 1 4 - r ，( v + , u c x p ，力 0 对所有v e 2 t x ，e j ( x z ) 及 0 成立，那末 河北大学理学硕士学位论文 p 以r + u c x d 仃) n g ) 。 b ) 如果a ) 中不等式由( v - u c x p ，- ，) o 代替，那末p ( j t r + x ：x d 仃) n 否) 。 证明：在引理2 3 中，由p + ，r 是紧的，知( a 丁+ ) - 1 是紧的，故r + ，) _ 1 也是 紧的。记g 。：3 2 t + i ) ( ( d 仃) n g ) ，由假设，c p r + j r l 在p r + ，物p ) n 否) 上是紧的， 故在否。上是紧的。 以下我们验证引理2 2 的条件成立。 设= a v o + z ，v o 2 t z 。定义 日( f ，“) ；一f c t 脚c 一，x 2 2 t + i ) - 1 u + ( 1 一f - 。+ l p ，e ，“) e o ，l 】x 否。 ( 2 3 ) 因 心一，鼽2 z + z ) - 1 否。c 心一，x d p ) n - ) ，其中c ( d ( r ) n 石) 和石有界。- t - & 心一，x ) t 2 t + i ) - 1 百。有界。于是u ，。日( f ，乒。有界，它一定包含在以为中心的开 球b c z 中，我们有 “一日( r ，“) o对( f ，甜) o ，i 】( a ( 曰) n g 。) ( 2 4 ) 以下我们将证明公式( 2 4 ) 成立。 对“o ( g 。1 ，定义 g ( f ) = ( “一日( “) ，) ，t e 【o ，1 】及x = p r + ，) _ 1 “和，j ( x - z ) ( 2 5 ) 我们有甜= 五v + j 对某v 2 t x 。由引理2 1 ，x d ( t ) c 叼g 。 由t 的增生性质 和对偶映射i ，的性质， g ( o ) = 扛一u 0 1 ，) = ( 旯( v v o ) + g z l - ，) 0 ( 2 6 ) 在b ) 的情况中，我们有 g ( 1 ) = 兄( v + c k - p ，) 0 ( 2 7 ) 假设v + 肛一p = 0 ，我们有x d p ) n g 满足p 五a + x c x 。证明结束。 所以我们假设v + 一p 0 ，这等价于 一h ( 1 ，“) 0 。在( a ) 的情况，我们有 g ( 1 ) 0 ，这蕴涵着v + g c x - p 0 ，即“一日( 1 ，“) 0 。 既然g ( t ) 关于t 是线性的，在f = o 为正，f = 1 非负，它一定在所有r o ，1 ) 上为正， 这蕴涵着甜一日( f ，“) o 对所有f 【o ，1 ) 成立。 因此“一u ( t ，甜) o ( f ，“) 【o ，q o ( c 。) ( 2 8 ) 因为a ( g 。n b ) ca ( g 。) u ( a ( b ) n g 。) ，由公式( 2 4 ) 和公式( 2 8 ) ，我们推出 “一h ( t ，“) 0( f ，”) e 【o ，1 x o ( g 。n 口) 注意到公式( 2 2 ) 的左边恰等于”一n ( t ，u 1 ，所以公式( 2 2 ) 的条件成立。e h 引理2 2 ， 存在工o ( r ) n g 使得p 2 t x + 州量。证毕 定理2 3 设r ：q 砷c j 斗r 是m 一增生的，p + ，) 。1 是紧的。设c ：d ( r ) c 鼻_ 使 得h 2 r + z ) - 1 ：斗x 对五 o 是紧的。设p e x 且存在一个有界开集g c x ， z ed p ) n g 使得c ( d ( t ) o - 否) 是有界的，且( v + ，n p ，) 0 对所有的 z d ( 丁) n a g ，v a 和，g ( x z ) 及 0 成立，那末p o r + 心x d p ) n g ) 。 证明：因为d ( r ) n 否c d ( 丁) 且0 2 r + i x d 仃) n 否) c x ，命题2 1 所有条件满足， 所以定理2 3 可由命题2 1 ( a ) 的情况得出。 定理2 4 设丁：d ( 刁亡工寸矽是m 一增生的，p + ，) - 1 是紧的。设c ：o ( r ) 斗j 有界， 使得忙r + j ) - 1 ：斗x 对某 o 是紧的。设p x ，存在一个常数， o 和z e d ( 丁) 使 得 1 2 | l o 成立，那末存在x d ( r ) 使得 p 2 t x + c x 且j 卜一z l i r 。 这里，r = 泓卜1 + z o l v 。l l + l l p i ) + t l z i 且v o t z 。 证明：在引理2 2 中，取g = z ，v 0 乃且设“。= 丑v 0 + z 。，连续，0 2 r + i ) - 1 在 x 上是紧的，由假设c h 2 t + i ) - 1 在x 上也是紧的。 在引理2 2 中，取g 。= 上，那末 亨：x 。 一 为了验证公式( 2 2 ) 的条件成立，我们定义日( f ，“) 如公式( 2 3 ) 。假设( ，“) 【o ，l 】x 是 ”一何( ，“) = o 的一个解，有肛一u o l l - r 。我们说牡，这里z ；d 2 r + o - 1z ，e 砸) 。 事实上，如果不是，即i i x l i ，我们有o = ”一日( f ，”) = ”+ r 似c 一，h 一0 一r - 。一坳 l 司此“一“o = 一r ( 五c i x + “o 一印) 且甜o = 2 v o + z ，我什 有 r - l l u 一i i i t q l + q l x i i + a l l v o l l + l l z i i + i 1 l p l f o( 2 1 1 ) 另一方面，由i i x l l - r ，由假设( v + c i p ，) 0 有 g ( 1 ) = 2 ( v + c x p ，) 0 ( 2 1 2 ) 这里v 2 t x 且“= 3 v + 工 如果v + z c x p = 0 ，我们有z d ( t 1 满足p 2 t x + u c x 。所以我们假设 v + , u c x p 0 ，这等价于“一日( 1 ，“) 0 。 由于g ( f ) 在f 【o ，1 】是线性的，在r = o 为正，t = l 非负，它一定为正对所有f 【0 , 1 ) ， 这蕴涵着“一日( f ，“) o 对所有f 【o ，1 ) 成立。 因此，我们已经证明了甜一h ( f ，”) o 对所有( f ，“) 【o ，l 】船成立，这等价说公式( 2 2 ) 成立。 由引理2 2 ，存在x d ( 丁) 使得p 兄a + ，n 且x = 以2 丁+ ) _ 1 甜s l l u - u o i i _ r 。 最后，我们有v 3 t x 使得“= 加+ x 且可推出 l i x z l l 2 = ( 工一z ，- ，) ( “一“。，j ) - o ，于是l i 翌严( 厂( h ) ，h x ) o ，由厂的足型 性质，知- - ) x ，由t 的d e m i _ 连续性就有鬯( ，h x ) 2 0 ，这与假设矛盾。再由 r 的伪单调性可知舰( 巩，x n x ) = 0 。从公式( 3 1 ) 可缶【1 l i m s u p ( f ( x ) ，x n x ) o 。由，的 鼠型性质，知x n 哼x 。即r + 厂是墨型映射。 引理3 2 设肖是b a n a c h 空间，c c j 是一子集，7 t ：c 斗是d e m i 一连续伪单调映 河北大学理学硕士学位论文 射，b ：c r x 是紧映射，厂：c 呻x + 是d e m i 一连续墨型映射，则丁+ b + f 是d e m i 一 连续墨型映射。 证明：由引理3 1 知，丁的d e m i - 连续伪单调映射，贝, l j t + f 是d e m i 一连续墨型映 射。只需证明b + 厂是只型映射即可。 只需证明矗- - ) x 。由于扛。 是有界集， 得。斗y 。于是，由 设矗一x o 且l i m s u p ( ( b + f ) x ，l x ) s 0 ，我们 所以融。) 是相对紧集，即存在诂。；c 扛。 ，使 - i 攀凰r 一x ) + ( 厂g 。 r x ) 如 可知l i m s u p ( 厂g 。，j x 。，一x ) s o ，再由厂的墨型。哇质，知j 。，斗za 而扛。，j 可以认为 是缸。) 的任意子列，所以也有斗x ，即口+ ，是& 型映射。 引理3 3 设x 和x 都是局部一致凸b a n a c h 空间。c 亡x 是有界开集，t ：石斗肖 是d e m i 一连续伪单调映射，b ：弓斗x + 是紧映射，j ：x _ x + 为正规对偶映射， p 芒p + b ) 把，则存在e o 0 ，使得对v 占( o ，e o ) ，p 壁仃+ b + 弦， d e g 仃+ b + ，c ，p ) 有确定意义且当占( o ，岛) 时为常数。 证明：设6 = s u p s x i l ，x 犯 ，由p 萑万了百污，则有d = p 0 ，f 了否雨) 0 。 取岛 o ，岛6 i d ，若p 仃+ 丑+ ，则对v 占( o ，e o ) ，j x o c ，使得 p = t x + 出+ 眈， 则d = p g ，酽了两丽) - 0 ，r + b + 是d e m i 一连续墨型映射，于是对 p e p + b ) a c 拓扑度d e g ( t + b + 6 j ，c ，p ) 唯一确定，我们定义 d e g ( t + b ，c ，p ) = 蛳d e g ( t + b + “，c ，p ) 则d e g ( t + b ，c ，p ) 具有以下定理所指出的拓扑度性质。 定理3 1d e m i 一连续伪单调映射紧扰动的拓扑度d e g ( 丁+ b ，c ，p ) 具有以下性质： ( 1 ) 若d e g ( t + b ，c ，y ) 0 ，贝0 y ( t + 8 ) c 。 ( 2 ) gc c ，c 2c c 是两个互不相交的开集，使得y ( 丁+ 曰) f _ c 1u c 2 ) ，则 d e g ( t + b ，c ，y ) = d e g ( t + b ，c 1 ，y ) + d e g ( t + b ，c 2 ，y ) 。 证明：( 1 ) 设d e g ( t + b ，c ，j ，) 0 ，则由定义3 】存在岛 o ，v 占( o ，岛) 使得 d e g ( t + b + g j ，c ，y ) 0 ， 于是i f - 在k c 使得y = ( r + b + e j ) x 。， 即 p ( y ，( r + b ) c ) g 恢j 而t c 有界，p 隹f 丽，所以y f 面。 ( 2 ) 显然d e g ( t + b ，c 1 ，y ) ，d e g ( t + b ，c 2 ，y ) 有意义，设b = s u p 硼x l ，x _ ， d = p ( 儿孑了两雨嘲) ，取岛 o ，岛6 - b ( 3 _ 3 ) 则b a h + ，( o ) ( r + 口) ( d n 鼠( o ) ) 且r ( r + b ) = + 证明：先证明当口一1 0 时， n有鲁。一地+ ，( o ) 匕( r + 曰) ( d n 晚( o ) ) 。 lh j 河北大学理学硕士学位论文 设y e 。n ，( o ) ， ln 考虑同伦映射r + b 帅心a 一书1 型映射同伦，再当x e d ，恻i 6 有 b + r 。 一t ) b ，f 【o ，1 】。由前面的讨论知它为d e m i 一连续墨 忱( x ) + e ( x ) 恃 吉出+ a + ( t r ) 凰忙4 孤+ ( ，一，) 凰i | _ 知x o ij a + 廒。一。觑。一副z 忙n + m 卜1 1 8 4 + ( 1 ( a 一吉 l | x o + r ( d 一去 b + r l l y i r ) 一甜i ( 3 4 ) 任取x e 。，6 ，由o a 忙o a + 撕i i _ i i 礅忙d + ， 盯一书b + r l l _ y 说明 当i i x l i _ 。时，| | a 0 一m 再由文献【1 8 】p 2 6 2 中推论3 和t 的d e m i 一连续单调性可知 r ( 丁) = x + ，即存在x o d ，使得y = ，再由上面论述必有玩( 0 ) ，因此 y r ( d n 境( o ) ) 。 不失一般性可设y = 0 ，否则讨论戥= t x y 即可。为了证明 d e s ( 吉j + l 。n 玩( 。) ，y = 1 ，我们只要证明 d e g ( 去，+ 一。n 玩( 。) ，。 = d e s ( 山，。n 玩( 。) ，。) = d e g ( j ，。n 玩( o ) ，) = 1 其中山( x ) = ，( x 一) 为此，首先做d e m i 一连续最型映射同伦 z ( x ) = t j o ( x ) + ( 1 一f ) ( ，( j ) 一j ( x o ) ) ，f 【o ，1 】 ( z ( z , x - ) = f ( ，( x 一) , x - - x o ) + ( 1 一f ) ( t ，( x ) 一，( ) ，x 一) = ，牡- x o l l 2 + ( 1 一f ) ( ，( x ) 一，( ) , x - - ) 0 ， v x d n o b t , ( 0 ) 1 4 ，t +r+， 一n r 琨 怫 。 p 删 一 目 昭 此 因 第三章d e m i 一连续伪单调映射紧扰动拓扑度及应用 可知z ( x ) 0 ，v x d n a b b ( o ) ，t o ，1 】，由d e m i 一连续墨型映射同伦不变性 d e g ( j o ，d n 岛( o ) ，o ) = d e g ( j ，d n 忍( o ) ，j x o ) = l 再考虑同伦( x ) = 峨( x ) + ( 1 一r ) ( 三厶x + 戤j ，我们有( x ) 。，坛e 。n 强( 。) t 【o ，1 】。事实上，当t = 1 时，显然成立。当o s f ( 1 时，若g ，( x ) = 0 ，则 o , x - - x o = 一( h 导n 一) ，) = 一( h 导) i b 一i i 0 时， 屹+ r ( o = k f l n n 气。扣( 。) ，因此洲c ( m ) ( 。n 荆) 对砂e x ，l l y 1 = i r 和a 。( o ，口) ，( d q ) 斗+ m ( 当斗+ 0 0 时) ，所以存在 6 l ( 6 ，悯) 使得0 一q x 4 一r ，即当x d ，l x l l - b 、时，有口睁忖r 吼l i d + r , ，用 q ，6 l ，_ 代替口，b ，r 得出j ，月( ( r + b ) ( d n ( o ) ) )或y r ( t + b ) ，于是r ( 丁+ b ) = x 。 定理3 3 设工和x 是局部一致凸b a n a e h 空间，t ：d = o ( r ) 。x 是d e m i 一连续 单调映射，b ：j 专x 是紧映射，若存在a l ，b 0 ，使得 i 盼+ m 卜i i b x l l - 口v x 强( o ) n d 则s ( 丁+ 口) ( d n 玩( o ) ) 。 证明：取 0 ，使得a b - - i h i 河北大学理学硕士学位论文 所以5 仨4 ( d n 强( o ) )( f 【o ，l 】) 。因此 d e g ( t + b ，d n 岛( o ) ，5 ) = d e g ( 2 1 + t ，d n b ( o ) ，j ) 类似于定理3 2 的证明，我们有 d e g ( t + b ，d n 岛( o ) ，s ) = d e g ( 2 1 + t ，d n 境( o ) ，s ) = l n s e ( 丁+ b ) ( d n 岛( o ) ) 。 1 6 第四章结论 第四章结论 本文主要从两个方向讨论，增生算于和单调型算子的值域： 1 提高了关于b a n a c h 空间中m 一增生算子扰动值域的一些结论。创新点：在证明过 程中构造一个同伦，这比使用y o s i d a 逼近简单的多。改变定理2 1 的一些条件，得到下 面的几个定理： 命题2 1 设丁：o ( r ) cx 斗2 。是i t i - 增生的，( t + ，) 。1 是紧的，g 是x 的有界开子集。 设c ：d ( t ) c 3 g - - - x 在2 2 t + i x d 仃) n 石) 上对某五 0 使得c ( 2 2 t + 1 ) - 1 是紧的且 c ( d ( r ) n 百) 有界，那末下面结论成立： a ) 如果p z ，设存在z d ( t ) n g 和常数五 0 使得对每个z d ( 丁) n 粥及 f i x l l - r ，( v + 2 c x p ，) 0 对所有v e3 t x ，_ ，e g ( x z ) 及 0 成立，那末 p ( 2 t + a t c 仃) n g ) 。 b ) 如果a ) 中不等式由( v + 一p ，) o 代替，那末p ( 3 t + _ t c x d p ) n 苍) 。 定理2 3 设丁：d ( 7 1 ) c x 斗2 。是m 一增生的，( 丁+ ，) _ 1 是紧的。设c ：d ( r ) c _ x 使得0 2 t + i ) - 1 ：x x 对z 0 是紧的。设p 工且存在一个有界开集gc x ， ze d ( t ) c 、g 使得c ( d ( 7 1 ) n 石) 是有界的，且( v + 川五一p ，- ，) 0 对所有的 x d ( r ) r 、a o ，v 五投和_ ，g ( x z ) 及 0 成立，那末p o - t + c ) ( d 仃) n g ) 。 定理2 4 设7 1 ：d ( t ) c _ 2 。是m - 增生的，p + ，) 。是紧的。设c ：d ( 丁) _ 彳有界， 使得0 2 t + i ) - 1 ：x x 对某五 o 是紧的。设p x ，存在一个常数r o 和z d ( r ) 使 ：导| | z f | 0 成立，那末存在_ 】c d ( r ) 使 得p 2 t x + l t c x 且0 x z 0 r 。 问北大学理学硕士学位论文 这里，r = 泓i i c u + o r - 十五0 i v 。i + l l p l l ) + l l z l l 且v 0 托。 2 我们利用s 型映射拓扑度，导出了伪单调映射扰动的拓扑度。并讨论了该拓扑 度对算子值域问题的应用。主要有下面的定理： 定理3 1d e m i 一连续伪单调映射紧扰动的拓扑度d e g ( t + b ，c ，p 1 具有以下性质： ( 1 ) 若d e g ( t + 曰，c ，y ) 0 ，贝4 y ( r + 8 ) c 。 ( 2 ) c lc c , c 2c c 是两个互不相交的开集，使得y 芒( 丁+ b ) ( _ c 1u c 2 ) ，则 d e g ( t + b ，c ，y ) = d e g ( t + b ，c l ，y ) + d e g ( t + b ，c 2 ，y ) 。 定理3 2 设x 和是局部一致凸b a n a c h 空间，t ：d = d ( t ) _ f 是d e m i 一连续单 调映射，b ：x j x + 是紧映射，若存在正数a ，b ，r j 使得 戤+ 卜6 取岭4 + rv x o ( r ) ，i i x l l - b 则+ ，( o ) c ( t + b ) ( d r 、b b ( o ) ) a r ( r + 8 ) = f 定理3 3 设和x + 是局部一致凸b a n a c h 空间，t ：d = d ( t 、斗x 是d e m i 一连续 单调映射，b ：z _ z 。是紧映射，若存在a 1 ，b 0 ，使得 i i 戤+ b x l l i i b x l l - + l i v x e a 毋( o ) n d 则s s ( 丁+ 口) ( d n 岛( o ) ) 。 参考文献 参考文献 1 】a l i k a k o sn ，r o s t a m a i nr l o w e rb o u n de s t i m a t e sa n ds e p a r a b l es o l u t i o n sf o rh o m o g e n e o u se q u a t i o n s o f e v o l u t i o ni nb a n a c hs p a c e s j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 8 2 ( 4 3 ) ：3 2 3 3 4 4 【2 b a r b uvn o n l i n e a rs e m i g r o u p sa n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb