（基础数学专业论文）一致john域和双曲余弦不等式.pdf

摘要 为了研究复平面c 上的b i - l i p s c h i t z 映射单叶性问题和近似理 论，1 9 6 1 年，j o h n 引进了一类域此类域于1 9 7 8 年被s a r v a s 和m a r t i o 命名为j o h n 域；为了推广a h l f o r s 关于拟圆中共形映射单叶性等性质 的研究，1 9 7 8 年，s a r v a s 和m a r t i o 提出了一类新的域：一致域作 为一致域的推广，v 弛越芭定义了一致j o h n 域同时，作为双曲度量 的推广，g e h r i n g 和p a l k a 于1 9 7 6 年引入拟双曲度量由于这些域及 拟双曲度量与分析、几何等领域研究的密切联系，从而引起了人们的 极大关注 本学位论文的研究主要包括两个方面：第一，利用拟双曲度量、 绉度量、p - a p o l l o n 度量等来刻画一致j o h n 域第二，讨论拟双曲 几何的有关性质以及双曲余弦不等式本文由三章构成，具体内容如 下： 第一章，主要介绍研究问题的背景和得到的主要结果 第二章，主要研究了p - a p o l l o n 度量和一致j o h n 域的关系：利用 p - a p o l l o n 度量得到了一致j o h n 域的一个充要条件，并且构造两个例 子说明此充要条件中有关系数的不可去性 第三章，研究了拟双曲几何中的相关性质：得到了欧氏几何中对 应的p a p p u s 公式、s t e w a r t 定理、l a g r a n g e 定理，并建立了双曲余弦 不等式此不等式给出了k l a n 公开猜测的肯定解决 关键词：拟双曲度量、a p o l l o n 度量、矿- a p o l l o n 度量、一致域、 一致j o h n 域、p a p p u s 公式、s t e w a r t 定理、l a g r a n g e 定理 a b s t r a c t i no r d e rt oi n v e s t i g a t et h ep r o p e r t i e so fi n j e c t i 访t ya n da p p r o x i m a t i o no f b i - l i p s c h i t zm a p p i n g s ，i n1 9 6 1 ，j o h ni n t r o d u c e dac l a s so fd o m a i n si nc w h i c h w a sn a m e da sj o h nd o m i a n sb ys a r v a sa n dm a r t i oi n1 9 7 8 i no r d e rt og e n - e r a l i z ea h l f o r s s t u d yo nt h ep r o p e r t i e so fi n j e c t i v i t yo fc o n f o r m a lm a p p i n g si n q u a s i d i s k s ，i n1 9 7 8 ，m a r t i oa n ds a r v a si n t r o d u c e dac l a s so fn e wd o m a i n sw h i c h a r el l n i f o r i nd o m a i n s a st h eg e n e r a l i z a t i o no fu n i f o r md o m a i n s v 苴i s 赳苴d e f i n e d t h eu n i f o r m l yj o h nd o m a i n s i n1 9 7 6 ，a st h eg e n e r a l i z a t i o no ft h eh y p e r b o l i c m e t r i c ，g e h r i n ga n dp a l k ai n t r o d u c e dt h eq u a s i h y p e r b o l i cm e t r i c t h e s ed o - m a 血l sa n dt h eq u a s i h y p e r b o l i cm e t r i ca r ec l o s e l yr e l a t i v et ot h er e s e a r c hi nt h e f i e l d so fa n a l y s i sa n dg e o m e t r y , a l lo fw h i c hc r e a tm u c ha t t e n t i o n t h es t u d yo ft h i st h e s i si n c l u d e st w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，w ec h a r a c - t e r i z eu n i f o r m l yj o h nd o m a i n si nt e r mo fq u a s i h y p e r b o l i cm e t r i c ，为m e t r i c ； p - k p o l l o nm e t r i c i nt h es e c o n dp a r t ，w ed i s c u s st h ec o r r e s p o n d i n gp r o p e r t i e s o fq u a s i h y p e r b o l i cg e o m e t r ya n dt h eh y p e r b o l i cc o s i n ei n e q u a l i 匆t ht h e s i s c o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i ti sa r r a n g e da sf o l l o w s i nc h a p t e ro n e w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fo u rr e s e a r c hp r o b l e m sa n d s t a t eo u rm a i nr e s u l t s i nc h a p t e rt w o ，w es t u d yt h er e l a t i o n sb e t w e e np - a p o l l o nm e t r i ca n du n i - f o r m l yj o h nd o m a i n s w eg e tan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ru n i f o r m l y j o h nd o m a i n sb yu s i n gp - a p o l l o nm e t r i c f u r t h e r m o r e ，w ec o n s t r u c tt w oe x - a m p l e st os h o wt h a tt h ec o r r e s p o n d i n gc o n s t a n ti no u rr e s u l tc a i l tb er e m o v e d i nc h a p t e rt h r e e ，t h ea t t e n t i o ni sc o n c e n t r a t e do ns o m ep r o p e r t i e so fq u a s i - h y p e r b o l i cg e o m e t r y w eg e tc o r r e s p o n d i n gp a p p u s f o r m u l a ，s t e w a r tt h e o r e m ， l a g r a n g et h e o r e ma n de s t a b l i s hah y p e r b o l i cc o s i n ei n e q u 址匆w h i c h 百、髑e d , a f f l r m a t i v ea n s w e rt oo n eo fo p e np r o b l e m sr a i s e db yk l d n k e yw o r d s ：q u a s i h y p e r b o l i cm e t r i c ，a p o l l o n i a nm e t r i c ，p - a p o l l o nm e t - i i t i c ，u n i f o r md o m a i n ，u n i f o r m l yj o h nd o m a i n ，p a p p u s sf o r m u l a ，s t e w a r tt h e o - r e m ：l a g - r a n g et h e o r e m i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 彳完耳励矿年j 一月1 日，、fnii v o 、 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密b ( 请在以上相应方框内打。 丹) 作者签名：彰劣孑日期：如2 鼋年3 一月“日 导师签名：zi i 厶杳弘 日期：加r 口年f 月；f 日 一致j o h n 域和双曲余弦不等式 成 1 绪论 本章介绍研究问题的背景和得到的主要结果此章由以下三节构 1 1 双曲度量、拟双曲度量、如度量、a p o l l o n 度量以及a p o u o n 内度量、a - a p o l l o n 度量 设d 是复平面c 上的一个单连通真子域对任意z d ，其双曲 密度函数定义为 p d ( z ) = 舶( 9 ( z ) ) l 夕7 ( z ) l ， 其中细( z ) = 2 ( 1 一i z l 2 ) 为单位圆盘bcc 上的双曲度量函数，g 是d 到单位圆bcc 上的共形映射 对任意z l ，勿d ，它们在d 中的双曲度量定义为 h d ( z l ，勿) = i n f p d ( z ) l d z l ， u ，口 其中下确界是针对d 中所有连接z l 和z a 的可求长曲线o l 所取我们 称达到下确界的路径为双曲测地线我们知道d 中任意两点之间的 双曲测地线是存在且唯一的( c f 【1 】) 设d 是空间舯中真子域令q 是d 中的一条可求长曲线，则曲 线o l 的拟双曲长度定义为 t k ( a ) = l d s 面， 其中d ( z ，a d ) 表示点z 到d 的边界a d 的距离( 如果没有特别申明， 我们取此距离为e u c l i d 距离) 对任意z 1 ，z a d ，它们在d 中的拟双曲度量k ( 孔z 2 ) 定义为 k ( z 1 ，勿) - i n q f t k ( a ) ， 1 硕士学位论文 其中下确界是针对d 中所有连结z 1 与z 2 的可求长曲线a 所取，并称 达到下确界的可求长曲线o l 为d 中连结z l 与勿的拟双曲测地线 为了讨论高维拟共形映射中的r i e m a n n 映射定理，g e h r i n g 和p a l k a ( 【2 】) 于1 9 7 6 年给出了拟双曲度量的定义在【3 中，g e h r i n g 和o s g o o d 讨论了拟双曲度量和一致域之间的关系，得到了一致域的几个特征， 同时也证明了拟测地线在完备度量下是存在的，并且指出每一条拟测 地线的子曲线还是拟测地线 下面，我们介绍如度量及其相关度量( c f 【2 】) 对任意z 1 ，勿d ，定义如( z l ，z 2 ) 为 如c 施，勿，= ，。g ( 1 + i i 厕z l - z 2 1 ) ( 1 + 三是妻j 参) 对任意魂，勿d ，它们之间的p d 度量定义为 p d ( z l ，2 2 ) = i n f d i a m ( a ) ：o tcd 是连结z 1 和z 2 的可求长曲线) ， 其中d i a m ( a ) 表示口的直径 对w c o d ，如果在d 中存在一条以w 为端点的半开的可求长曲 线q ，则我们称w 是可求长可达点由此，我们定义 4 d = a d ：w 是可求长可达点) 若用肋取代如度量中的e u c l i d 度量，则得到度量 j b ( 撕) - l 。g ( 1 + 辆p o ( z l , z 2 ) ) ( 1 鸩t g g , - 砑渤) 八j 我们将在第二章中讨论为度量和b 度量之间的关系 作为双曲度量的推广，b e a r d o n 于1 9 9 8 年引进了a p o l l o n 度量( 【4 】) 设d 是空间时中真子域对任意魂，勿d ，定义 a d ( z l ，z 2 ) = s u pl o g ( 1 z l ，z a ，w l ，w 2 t ) ， 埘1 ，w 2 e o d 2- 一致j o h n 域和双曲余弦不等式 其中 1 劫一w 】l | 勿一毗1 z l ：z 2 ，w l ：w 2 12 访= ；前嗣 口d 是度量当且仅当d 的补集不包含在一个n 一1 维的球面里( 【4 ，定 理1 1 】) 在接下来的讨论中，我们总假设a d 是度量，并称此为a p o l l o n 度量显然，口d 度量具有m s b i u s 不变性在 4 中，b e a r d o n 对此度 量的性质进行了大量的研究随后，g e h r i n g 、h a g 、s e i t t e n r a n t a 、 h 泌t 6 、i b r a g i m o v 等对a p o l l o n 度量的性质以及它与拟共形映射的关 系等进行了深入细致的讨论，见【4 一【1 1 】 根据定义，下面的关系是显然的： 作为p d 度量的推广，我们给出p - a p o l l o n 度量而的定义 对任意z 1 ，z 2 d ，定义 a s ( z 1 ，z 2 ) =s u pl o g ( z l ，z 2 ，狮1 ，忱i p ) ， 其中 勿，埘，忱l = 面p d ( 瓦z , , 面w 1 ) 石p d 瓦( z a , 面w 2 ) 1 2 一致域和一致j o h n 域 靴中域的几何特征和分析性质是人们非常关注的问题关于这 方面的研究已有许多，尤其是对j o h n 域和一致域的相关研究，见【3 】， 【1 2 卜【17 而一致j o h n 域作为一致域的推广，它的性质特征引起了人 们的关注 a h l f o r s 讨论了拟圆( 即单连通的一致域) 中映射的单叶性( 1 8 】) 为 了进一步研究这种性质，m a r t i o 和s a r v a s 在【1 2 中提出了一致域的概 念 定义1 2 1 设d 是r n 中的域，若存在常数c 0 满足对任意z 1 ， 勿d ，存在d 中连结它们的可求长曲线7 ，使得对任意2 - y ，均有 2 ( 7 ) c l z l 一勿i ，拦器重( 7 【乃，2 i ) c d ( z , a d ) ， 3 硕士学位论文 则称d 为c 一致域，其中它( ，y ) 表示曲线7 的e u c l i d 长度，y 【刁，2 i 指曲 线，y 中以勿和名为端点的子曲线，d ( z ，o d ) 表示点z 到o d 的e u c l i d 距离 我们称这种定义为一致域的长度定义m a r t i o 在 1 9 】中给出了一 致域的另一种定义 定义1 2 2 设d 是舯中的域，若存在常数c 0 满足对任意z l ， 勿d ，存在d 中连结它们的可求长曲线7 ，使对任意2 ，y 有 d i a m ( 7 ) ci z l 一勿i ，皿 nd i a m ( 7 z j ，2 1 ) scd ( z ，a d ) ， j 一，_ 则称d 为c 一致域 我们称此定义为一致域的直径定义上述两种一致域定义的等价 性证明见【1 9 】伊一致域在一般情况下简称为一致域关于一致域的 其它形式的定义，参见【2 0 若用p d 度量代替定义1 2 1 中的e u c l i d 度量，则得到一致j o h n 域 的定义 定义1 2 3 设d 是渺中的域，若存在常数c 0 满足对任意z l ， z 2 d ，均存在d 中连结它们的可求长曲线，y ，使得对任意名7 ，均有 i ( 7 ) c d d ( z l ，忽) ，磐轵z ( ，y 【勿，2 4 ) c d ( z ，o d ) ， j 一_ 则称d 为c - 一致j o h n 域 由【3 知，定义1 2 1 中的曲线，y 能用拟双曲测地线代替 肛拟圆周( 简称为拟圆周) 是指单位圆周在全平面彭= r 2t j 【o 。) 上k 拟共形映射下的像我们称肛拟圆周所包含的域为k - 拟圆 ( 简称为拟圆) 关于矿= 黔u ) 中弘拟共形映射的定义和相关性 质，参见【2 1 】和【2 2 】弘拟球是指单位球在矿上的弘拟共形映射下 的像很显然，拟球一定是一致域，并且复平面中一个单连通的真子 域是拟圆当且仅当它是一个一致域( 【1 6 ) 利用拟圆周的一些性质，m a r t i o 和s a r v a s 在 1 2 中证明了r 2 上j o r - d a n 域是一致域当且仅当它的边界是拟圆周g e h r i n g 也证明了r 2 上 4 一致j o h n 域和双曲余弦不等式 j o r d a n 域是一致域当且仅当它是拟圆作为上述结果的推广，g e h r i n g 和h a g ( 2 3 ，定理3 1 0 和定理4 1 】) 证明了r 2 中一个有限连通域d 是 一致域当且仅当存在常数k ，使得a d 的分支要么是一点，要么是一 个k 拟圆周 利用拟双曲等度量来刻划一致域已有大量的研究成果，见f 1 2 ，1 6 ， 1 8 ，2 0 】如g e h r i n g 和o s g o o d 利用拟双曲度量和如度量的关系得到如 下结果： 定理g o ( 【3 ，推论1 】) 础中的域d 是一致域当且仅当存在一个常 数c ，使得对任意z 1 ，z a d ，均有b ( z l ；z a ) c j g ( z l ，z 2 ) 尽管定理g o 中不等式在【3 中的形式是b c j d + d ，但这两种 形式是等价的( 7 ，1 3 】) 关于定理的运用，见【1 4 】 利用度量h d 、a d 和拟圆的关系，g e h r i n g 和h a g 得到了以下结 果 定理g h ( 【6 】) 设d 是复平面c 上的单连通双曲型域，则d 是拟 圆当且仅当存在一个正常数c ，使得对任意z l ，z a d ，均有 ，场( 2 1 ，z 2 ) ca d ( z l ，钇) 一个自然的问题是：对一致j o h n 域是否有类似上面两个定理成 立? k i m 对此进行了讨论，并得到了以下结果： 定理k i m ( 1 2 4 ) 若d 是舯上的一个真子域，则d 是6 一致 j o h n 域当且仅当存在常数c ，使得对任意z 2 d ，均有 k d ( x l ，x 2 ) ：c 歹刍( z 1 ，z 2 ) ， 其中常数b 和c 是互相依赖的两个常数 我们也对此进行了研究并得到： 引理1 2 1若d 是础上的一个真子域，则d 是b 一致乃梳域当 且仅当存在两个常数c 和d ，使得对任意z 1 ，z ：d ，均有 幻( z l ，勋) c j 5 ( z 二，现) + d ， 其中常数c 和d 仅仅依赖常数b ，常数b 仅仅依赖于常数c 和d 5 硕士学位论文 定理1 2 1若d 是黔上的一个真子域，则d 是b 一致j o h n 域当 且仅当存在两个常数c 和d ，使得对任意z 。，x ：d ，均有 k d ( 2 ；1 ，z 2 ) ca s ( x 1 ，2 ；2 ) + d ， 其中常数c 和d 仅仅依赖常数b ，常数b 仅仅依赖于常数c 和d 我们也通过例子证明，定理2 1 1 中的常数d 是不可去掉的 推论1 2 1设d 是复平面c 上的单连通真子域，则d 是6 如m 圆 当且仅当d 是一个c 一一致j l d 概圆，其中b 和c 是两个仅仅彼此依赖 的常数 推论1 2 2j o r d a n 域d 是复平面c 上的拟圆当且仅当d 和d + = 虿西是一致j o h n 圆 1 3 拟双曲几何 共形不变度量在函数论中起着重要的作用，其中单位球b 。或半 空间h 上的双曲度量h d 就是一种共形不变度量在平面情形时，双 曲度量在所有的双曲区域都有定义但是在高维情形双曲度量并不 是在所有区域都存在为了讨论高维拟共形映射中的r i e m a n n 映射定 理，1 9 7 6 年，g e h r i n g 和p a l k a ( 【2 ) 首次给出了拟双曲度量的定义， 同时也证明了测地线在完备度量下是存在的，还指出每一条测地线的 子曲线还是测地线在 3 】中，g e h r i n g 和o s g o o d 讨论了拟双曲度量 和一致域的关系，得到了一致域的一些特征 下面我们介绍一些定义和记号 对任意的z ，y d ，记 y h x ，y ( 或7 k x ，可 ) 为d 中连结z 和y 双曲 测地线( 或拟双曲测地线) 对任意的z ，! ，z d ，记z h ( x jy ，z ) ( 【0 ，丌】) ( 或k ( x ，y ，z ) ) 为双曲测地线恤【掣，z 】与讹 剪，z 】( 或拟双曲测地线v k u ，x 】 与7 k y ，2 1 ) 的夹角 6 一致j o h n 域和双曲余弦不等式 定义1 3 1 设z ，y ，z 是r 2 o ) 中不同的三点，我们称7 k x ，胡u 讯b ，2 4ut d z ，z 】为以测地线7 k x ，引，讥【可，2 4 和饥【z ，纠为三边的测地三角 形t z ，y ，z 被称为测地三角形t 的顶点我们定义r 2 【o 】被测地三 角形t 包围的点的集合为测地三角形t 的内点集 如果测地三角形丁的内点集是单连通的，我们就称t 为拟双曲 三角形七( z ，y ，z ) ；其余的情形均称为拟双曲三角形z ( z ，y ，z ) 定义1 3 2 设z ，y ，z ，u 是r 2 o ) 中不相同的点我们称7 k x ，y 】u 讯阿，2 iu 讹k 让】u 饥【仳，叫为以测地线他陋，可】，饥b ，2 j ，饥p ，t 和佻陋，翻为 四条边的拟双曲四边形，其中七x ，y ，h ) 和t ( 可，z ，u ) 是拟双曲三角 形如果拟双曲四边形围成的区域是凸集，则这个拟双曲四边形称为 凸拟双曲四边形 众所周知，勾股定理、余弦定理等结果是欧式几何中的重要工具 b e a r d o n 证明了双曲几何中的余弦定理等定理在【2 5 中k l d n 同样也 考虑了拟双曲几何中的拟双曲勾股定理、拟双曲余弦定理等定理公 式 定理k 1 ( 余弦定理) 设z ，y ，z 是r 2 o ) 中不相同的点 ( i ) 对于拟双曲三角形七( z ，y ，z ) ，则有 七2 ( z ，y ) = 七2 ( z ，z ) + k 2 ( 可，z ) 一2 k ( x ，2 ) 七( y ，z ) c o sz k ( y ，z ，z ) ； ( i i ) 对于拟双曲三角形i ( z ，y ，z ) ，则有 七2 ( z ：y ) = k 2 ( z ，z ) + k 2 ( 可，z ) 一2 k ( x ，名) 恐( 秒，名) c o s z k ( y ，z ，z ) 一4 7 r ( 7 一口) ， 其中a = ( z ：o ，y ) 定理k 2 ( 内角和定理) 设z ，y ，z 是r 2 o ) 中不相同的点若 2 ，y ，z 组成一个拟双曲三角形七( z ，y ，z ) ，则+ 嘶+ 叱= 7 r 若z ，y ，2 组成一个拟双曲三角形；( z ，y ，z ) ，则+ + a ：= 3 7 r 定理k 3 ( 勾股定理，正弦定理，余弦定理) 设z ，y ，z 是r 2 o ) 中不相同的点对于拟双曲三角形七( z ，y ，z ) ，勾股定理，正弦定理和 余弦定理均成立 7 硕士学位论文 特别地，对于拟双曲三角形a k ( z ，y ，z ) ，且l k ( y ，z ，z ) = 考，则有 七2 ( ，z ) = k 2 ( x ，y ) + 七2 ( z ，z ) 对于拟双曲三角形a k ( x ，y ，z ) ，有 k ( z ，y ) 七( ，z ) 忌( z ，z ) - - - - _ _ - - - ：= 一：= ：_ - - - - - _ 一 s i n 口。s i n 咖。蕾 和 七2 ( z ，y ) = 七2 ( z ，z ) + 七2 ( y ，z ) 一2 k ( z ，z ) k ( v ，z ) c 0 80 e ： 定理k 4 设z ，y ，z 是r 2 【o ) 中不相同的点对于拟双曲三角形 ( z ，y ，z ) 且a = z ( x ，0 ，可) ，有 七2 ( z ，y ) = k 2 ( z ，z ) + 七2 ( y ，名) 一2 k ( z ，z ) k ( y ，z ) c 0 8 鲍一4 7 i - ( r 一理) 定理5 ( 海伦公式) 设z ，y ，z 是r 2 ( o 】中不相同的点若a k ( x ，y ，z ) 是一个拟双曲三角形，那么a k ( x ，剪，z ) 的拟双曲面积是 v s c s 一七( z ，y ) ) ( s 一七( 矽，z ) ) ( s k ( z ，z ) ) ， 其中s = 丝越掣乎盥丝 定理k 6 设z ，y ，z ，u 是r 2 【o ) 中不相同的点若x y z u 是一个凸 拟双曲四边形，那么它的拟双曲面积是 、( p k v ) ( p 一克妒) ( p 一七孔) ( p k ) 一v k 七：缸七懈c 。s 2 鲁学， 其中k = k ( a ，6 ) ，p = 纽也掣：吐坠，= l k ( u ，z ，分) 和叱= 么( ，z ，让) 定理k 7 设z ：夕，z ，札是r 2 【o ) 中不相同的点若x y z u 是一个凸 拟双曲四边形，则它的拟双曲面积是 查! 兰：坐! 兰：兰! 墅旦 2 其中0 是饥【z ，z 】和饥u 】两条测地线的夹角 对此，我们进行了进一步研究，得到如下结果 8 一致j o h n 域和双曲余弦不等式 定理1 3 1 ( p a p u s 公式) 设z ，y ，2 是r 2 o 中不相同的点若七( z ，y ，z ) 是一个拟双曲三角形， 七( 可，m ) = k ( m ，z ) ，其中m 是测地线五。 o 【夕，司 的中点，那么 七2 ( z ，y ) + k 2 ( z ，z ) = 2 ( k 2 ( z ，仇) + k s ( y ，m ) ) 定理1 3 2 ( s t e w a r t 定理) 设z ，y ，z 是r 2 o ) 中不相同的点若七( z ，y ，z ) 是一个拟双曲三角形，且乱是拟双曲测地线饥b ，z 】上的点，那么 磋v k ：u + 磋：k 弘一磋u ：= k 也u ， 其中k = 七( 口，6 ) 定理1 3 3 ( 欧拉定理) 设z ，y ，z ，“是r 2 o ) 中不相同的点若z y z u 是一个凸拟双曲四边形，m 是测地线饥陟，2 j 的中点，且竹是饥h 叫 上的点及k ( n ，u ) = 2 k ( m ，佗) ，则 七2 ( z ，孔) + k 2 ( z ，y ) + k 2 ( x ：z ) = 七2 ( n ，锃) + k 2 ( 扎，y ) + k 2 ( 佗，z ) + 3 k 2 ( x ，佗) k 1 6 n 在【2 5 中证明了舻中的拟双曲余弦不等式，并提出了以下 公开问题： k 1 6 n 猜测：若m d h d ，k d 】，对于所有的z ，y ，2 d ，不等式 m 刍( 。，y ) m 刍( z ，2 ) + m 刍( ，2 ) 一2 m d ( 弘z ) m d ( 乙z ) c o s m ( y ，乞z ) 是否成立呢? 在第三章中，我们主要研究了上述公开问题，得到： 定理1 3 4若dcr 2 是一个单连通双曲区域，则对任意的z ，y ，z d ，均有不等式 h 刍( 。，y ) 刍( z ：z ) + 2 刍( y ：z ) 一2 h d ( z ，z ) d ( y ，z ) c o sz h ( y ，z ，z ) 此外，我们通过例子证明当仇d = k d 时，不等式对一般的域d 不一 定成立于是，我们彻底解决了k l a n 猜测 9 硕士学位论文 2 一致j o h n 域中的拟双曲测地线 2 1 引言 一致j o h n 域是介于一致域和j o h n 域之间的一类域 k i m 在 2 4 】 中对此做了大量研究工作，给出了如下特征： 定理k 若d 是职上的一个真子域，则d 是6 一致j o h n 域当 且仅当存在一个常数c ，使得对任意z 2 d ，均有 b ( z l ，x 2 ) cj b ( 。1 ，z 2 ) ， 其中b 和c 是两个仅仅彼此依赖的常数 关于一致域g e r i n g 和o s g o o d 证明了以下定理 定理g o ( 3 】) 若d 是拟上的一个真子域，则d 是一致域当且 仅当存在两个常数c 和d ，使得对任意z ：d ，均有 七d ( z 1 ，z 2 ) c j d ( = i ，z 2 ) + d ， 其中常数b 仅仅依赖于常数c 和d ，常数c 和d 仅仅依赖常数b 对于一致域的特征还有以下结果： 定理b 若d 是瞅上的一个真子域，则d 是6 - 一致域当且仅当 存在两个常数c 和d ，使得对任意z 2 d ，均有 b ( z l ，z 2 ) ca d ( x l ，z 2 ) + d ， 其中常数b 仅仅依赖于常数c 和d ，常数c 和d 仅仅依赖常数b 同样，人们自然会问对于一致j o h n 域，是否有类似结果成立? 我 们的结果如下。 定理2 1 1若d 是舭上的一个真子域，则d 是b 一致j o h n 域当 且仅当存在两个常数c 和d ，使得对任意z 。，z ：d ，均有 b ( z l ，x 2 ) cn 刍( z 1 ，x 2 ) + d ： 其中常数c 和d 仅仅依赖常数b ，常数b 仅仅依赖于常数c 和d 】0 一致j o h n 域和双曲余弦不等式 为了证明定理2 1 1 ，我们首先证明如下结果： 引理2 1 1若d 是r n 上的一个真子域，则d 是b 一致j o h n 域当 且仅当存在两个常数c 和d ，使得对任意z 2 d ，均有 k d ( x l ，x 2 ) sc 幻刍( z l ，x 2 ) + d ， 其中常数c 和d 仅仅依赖常数b ，常数b 仅仅依赖于常数c 和d 同时我们构造例子说明，定理2 1 1 中的常数d 不可去 推论2 1 1设d 是复平面c 上的一个单连通真子域，则d 是b - j o h n 圆当且仅当d 是c 一致j o h n 圆，其中b 和c 是两个仅仅彼此依赖的 常数 推论2 1 2j o r d a n 域d 是复平面c 上的拟圆当且仅当d 和d + = 虿万是一致j o h n 圆 2 2 定理的证明 为了证明引理2 1 1 ，我们需要以下几个引理 引理2 2 1( 陋叼) 对于任意常数c 1 和z 0 ，均有 l o g ( c x + 1 ) l o g ( x + 1 ) 引理2 2 2 ( 【2 明) 设dcr n ，对于d 中任意两点x l ，现，均有 k ) ( x l , 啦| 1 0 9 端| 引理2 1 1 的证明和( 3 】中定理1 和定理2 的证明方法类似 引理2 1 1 的必要性证明若d 是6 一致j o h n 域，则由定理k 可知 存在常数c 和，使得对于任意x 。，z ：d ，均有 1 1 硕士学位论文 七d ( 五，勋) c j s ( x 1 ，x 2 ) 因此对任意d 0 ，均有 七d ( z 1 ，茁2 ) c j s ( x , ，z 2 ) + d ( 2 2 1 ) 引理2 1 1 的充分性证明对于d 中的固定两点z 1 ，z 2 ，若( 2 2 1 ) 成立， 令7 是d 中连结z 。和z ：的拟双曲测地线我们假设 下面我们来证明 d ( z l ，o d ) d ( x 2 ，o d ) 2 m - - i n l , 2 之( ，y 【奶，司) cd ( z ，o d ) ( 2 2 2 ) 和 ( 7 ) c i x l z 2 1 ( 2 2 3 ) 令 7 = s u p d ( x ，o d ) ，2 p d ( x a ，z 2 ) ) 我们分两种情形讨论： r d ( x z ，a d ) 和 r d ( x l ，o d ) ( 2 2 4 ) 首先我们假设，一 d ( x ，a d ) 设卢是连结z 。和x 2 的线段，那么 r = 2 p d ( x 1 ，z 2 ) ，并且对于z p ， x l - - x 2 l 三出烈x l ：o d ) d i s t ( 。，c o d ) 因此有 z 2 吾( z 1 ，互1 d ( z 1 ，a d ) ) cd 1 2 一致j o h n 域和双曲余弦不等式 及 2 ( p ) = i x l x 2 i = p d ( ：e l ，z 2 ) ：pcd 则对所有的z ：均有 霹2 ( 卢( 巧，z ) ) 三2 ( p ) = i x l - - z 2 i 三d ( z ：c o d ) 因此( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 成立 假设( 2 2 4 ) 成立由紧性可以知道存在点x 0 7 满足 r s u p d ( z ，a d ) = d ( z o ，o d ) ，j = 1 ，2 令是满足 2 j d ( x j ，扣) r 的最大整数，并且令协是曲线y c z j ，卸) 上巧到$ o 方向第一个满足 d ( 协，a d ) = 2 1 j d ( x j ，a d ) 的点显然，我们可以得到 d ( y j ，a d ) r 2 d c y j ，c o d ) ( 2 2 5 ) 我们首先来证明当j = 1 ，2 时，有 “z c “7 c x 勺j ：三b e z ：a o 。d ) ：z 7 。巧，协， c 2 2 6 ， l ，z ) y d ( z ，z 7 ( 巧，协) 、7 显然，我们仅仅需要考虑当j = 1 ，m - l 时的情形我们在7 ( 宅，y 。) 上选取一列点z 1 ，锄。+ 。使得忍= 现且乃是7 ( z 1 ，y 1 ) 上从z 1 到y l 第一个满足 d ( z j ，a d ) = 夕d ( z l ，a d ) ( 2 2 7 ) 的点 显然+ 1 = y - 固定歹并且令 t = 群 硕士学位论文 若z 7 ( 乃，乃十1 ) ，贝0 d ( x ，8 d ) d ( 勿+ 1 ) = 2 d ( z j ，a d ) 因为，y 是一条拟双曲测地线，从而得到 t 2 1 , d s 研= 2 b ( z j , z j i 1 ) ， 其中竹= - r ( z j ，乃+ 1 ) 由 ，、 绉( z j ) z j + i ) s1 0 9 ( 捌+ 1 ) 1 。g ( t + 1 ) 和( 2 2 1 ) 可以得出 委k d ( z j ，刁+ 1 ) c l o g ( e 譬( + 1 ) ) c ( e 譬( 亡+ 1 ) ) i 和 若t 1 ，由上述不等式我们可以得到 因此 ts2 b ( 勿，z j + i ) 2 c ( e 譬( t + 1 ) ) 2 c ( e i d2 t ) i 1 t 8 c 2 e ：6 ， b ( 乃，勿+ 1 ) c ( 2 6 1 e d cj i l 6 ， ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 若t 1 ，则亡 6 ，( 2 2 9 ) 成立若z ，y ( 乃，狲1 ) ，则根据引理2 2 2 我们有 o l 。g 锗七。( z ，刁十1 ) b ( z j , z j + 1 ) 再由( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) 我们得到 2 ( 7 ( 乃，乃+ 1 ) ) d ( 乃，a d ) ，( 2 2 1 0 ) id ( 乃+ 1 ，a d ) e b d ( z ：a d ) ，z 一y ( 乃，乃+ 1 ) ， 。 其中j = 1 ，m 1 1 4 一致j o h n 域和双曲余弦不等式 因此由( 2 2 7 ) 和( 2 2 1 0 ) 知 t n lr n l 2 ( 7 ) = 醐刁，勿+ - ) ) g d ( 勺，a d ) j = lj = l = 6 ，( 2 m 1 1 ) d ( x l ，o d ) e d ( y l ，o d ) ， 于是( 2 2 6 ) 的第一个不等式成立若z 7 ( z ，u 1 ) ，那么存在j 1 ，2 ， ，m 1 ) 使得z 7 ( 乃，弓+ 1 ) 再由( 2 2 7 ) 和( 2 2 1 0 ) ，我们得到 3l 州z - ，z ) ) = 2 ( ，y ( 五，旎+ ) ) 6 ，d ( 旎，a d ) 讧l扛1 6 ，d ( 刁+ l o d ) g e y d ( x ，o d ) 由此证明( 2 2 6 ) 接下来我们证明当d ( 可。，o d ) sd ( y 2 ，o d ) 时，有 “，y ( 可1 沈) e 矿d ( l 0 d ) ( 2 2 1 1 ) i d ( y 2 ，a d ) e b d ( x ，o d ) ，z 7 ( y 1 ，抛) 、 。 我们不妨假设y 。y 2 若 r = s u p d ( x ，o d ) ， 令 t = 糍群 如果x ，y ( l ，垅) ，则有 d ( z ，9 d ) r 2 d ( y x ，o d ) 根据( 2 2 5 ) 和类似( 2 2 1 0 ) 的证明，我们可以用勿和刁+ 。分别替 换y l 和抛得到( 2 9 ) 若 硕士学位论文 则由三角不等式、( 2 3 ) 和( 2 4 ) 可以得到 p o ( y 1 ，y 2 ) 2 ( ，y ( z l ，1 ) ) + 2 ( ，y ( 现，抛) ) - i - p d ( z 1 ，z 2 ) b d ( y l ，a