（工程力学专业论文）关于弹性偶应力C0和C1理论及有限元.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 传统连续介质力学被成功地用于宏观结构力学性能分析。然而，一系列微观实验表 明尺度效应广泛地存在于微米级的工程问题中。传统连续介质力学无法解释尺度效应， 于是偶应力应变梯度理论就成为力学研究的热点之一。 偶应力理论引入了材料的特征长度，能够在连续介质力学框架内较好的反映材料的 尺度效应。偶应力理论可以分为两大类，一般偶应力理论和约束转动偶应力理论。目前 求解偶应力理论的方法主要是有限元法，对于一般偶应力理论的求解，只需构造c o 连 续的位移单元，于是一般偶应力理论也被称为c o 类偶应力理论；与之对应，约束转动 偶应力理论求解时要构造c 1 连续的位移单元，被称为c 1 类偶应力理论。目前，很多学 者致力于两类理论求解方法的研究，也有学者采用罚函数法来逼近c 1 类偶应力理论。 本文在总结前人研究成果的基础上，对两类偶应力进行了系统的比较和仔细的分 析，对各自的特点进行了叙述。本文对c o 类偶应力理论中的第二剪切模量g a 进行了讨 论，认为对g a 的定义是分清两类偶应力理论界限的关键：如果g a 是严格按照材料特性 定义的常数，此时的理论为真正意义上的c o 类偶应力理论；如果g a 可以随便变化，此 时的理论为c 1 类偶应力理论的罚函数法。采用8 结点等参元和r c t 9 + r t 9 单元分别对 两类理论进行数值模拟，并对计算结果进行了讨论。 关键词：c o 偶应力；c 1 偶应力；材料长度参数；罚函数法；应力集中 关于弹性偶应力c o 和c 1 理论及有限元 o nt w ok i n d so f c o s s e r a te l a s t i c i t ya n df e m a b s t r a c t i th a sb e e np r o v e db ys o m ee x p e r i m e n t sf o c u s e do nm i c r om a t e r i a l st h a tm i c r om a t e r i a l s m a yb ea f f e c t e db ys i z ew h e nc h a r a c t e rl e n g t hi si nt h el e v e lo fm i c r o n t r a d i t i o n a le l a s t i ca n d p l a s t i ct h e o r i e sc a nn o te x p l a i nt h es i z ee f f e c to fm a t e r i a l sb e c a u s et h e r ei sn oc h a r a c t e r i s t i c l e n g t hi nt h e s et h e o r i e s al o to fs c h o l a r st u r nt os t u d yg r a d i e n t c o u p l e s t r e s st h e o r i e si n r e c e n ty e a r s t h e r ea r ep a r a m e t e r st h a tm e a nt h el e n g t hd i m e n s i o n si nt h ec o u p l e s t r e s st h e o r y ，w h i c h c a r le x p l a i nt h es i z ee f f e c to fm a t e r i a l s t h e r ea r e m e a n l yt w ok i n d so fc o u p l e s t r e s st h e o r i e s ， w h i c ha r en o n - c o n s t r a i n e dc o u p l e s t r e s st h e o r ya n dc o n s t r a i n e dc o u p l e s t r e s st h e o r y 1 1 1 e m e a nw a yt os o l v ec o u p l e - s t r e s st h e o r yi st h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d d i s p l a c e m e n tf u n c t i o n s o fc uc o n t i n u i t ya n dc 1 c o n t i n u i t ya r ep r o d u c e dt os o l v en o n - c o n s t r a i n e dc o u p l e s t r e s st h e o r y a n dc o n s t r a i n e dc o u p l e s t r e s st h e o r yr e s p e c t i v e l y i nt h i sp a p e r ，n o n - c o n s t r a i n e dc o u p l e s t r e s s t h e o r yi sc a l l e dc ”t h e o r ya n dc o n s t r a i n e dc o u p l e s t r e s st h e o r yi sc a l l e dc 1t h e o r y t h ec 1 t h e o r yc a l la l s ob es o l v e db yp e n a l t yf u n c t i o n t w ok i n d so fc o u p l e - s t r e s st h e o r ya r ed e s c r i b e di nt h i s p a p e rw i t ht h c i rc h a r a c t e r s r e s p e c t i v e l y 18 - d o fp l a n es t a i ng r a d i e n tt r i a n g u l a rd e m e n ta n d8 - n o d er e c t a n g u l a re l e m e n t a r eu s e dt oc o m p u t et h es t r e s sc o n c e n t r a t i o np r o b l e ma r o u n dac i r c u l a rh o l ei np l a n es t r a i n c o n d i t i o n s o m eo t h e re x a m p l e sa r ea l s oc o m p u t e d 硼1 cs e c o n ds h e a rm o d u l u sg - ai s d i s c u s s e di nt h i sp a p e r k e yw o r d s ：c oc o u p l es t r e s s ；c 1c o u p l es t r e s s ；m a t e r i a ll e n g t hp a r a m e t e r ；p e n a l t yf u n c t i o n ； s t r e s sc o n c e n t r a t i o n 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：日期： 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定力，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：乏垃篁篁 导师签名：辟否童导师签名：辟刁至 型年月堑日 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 1 1应变梯度理论发展的背景、现状及偶应力理论的发展 1 1 1 偶应力理论、应变梯度理论发展的背景 随着材料科学以及计算机辅助设计的发展，涉及到越来越多的微结构、微电子的工 程问题。而在锄纳米级的工程现象中，普遍存在着尺度效应的问题，即材料的力学性能 随着尺寸的变化而变化。材料越小，这种尺度效应越明显。一系列的微观试验对这种尺 度效应进行了描述。颗粒增强金属基复合材料的试验【1 】表明，在保持体积率不变的情况 下减小颗粒尺寸会引起宏观流动应力增加；f l e c k 等在细铜丝扭转试验【2 】中观察到降低铜 丝直径会引起类似的应力强化；s t o l k e n 和e v a n s 在薄梁弯曲试验【3 】中发现了同样的现象。 此外，微纳压痕【4 。7 】，薄膜压痕试验【引，穿孔板受拉伸【9 1 ，多晶材料中的h a l l p e t c h 关系 都表明了尺度效应广泛地存在于微米级的工程问题中。 传统的连续体力学基于均匀化假定，将材料从宏观假定开始一直延伸到微细观乃至 无限小并保持不变，这种理论被成功地用于宏观结构力学性能包括变形和应力的分析。 这种假定隐含了一个概念：一点的应力状态只和该点的材料行为有关，而与邻点无关。 事实上，材料的微细观结构总是不均匀的，含有夹杂，缺欠，微裂纹或晶格存在，由于 这些材料缺陷尺寸都处于纳米级，因此对于宏观力学现象的影响微乎其微。然而当材料 的尺寸降低到锄亚微米量级，材料缺陷的集体行为就会引起缺陷部分各点的力学作用十 分明显，即一点的应力状态受附近点的影响已经不可忽略。因此，我们需要引入一个多 尺度的连续体理论，将传统的连续体理论与微观力学联系起来。而应变梯度理论引入材 料长度，该材料长度与缺陷的尺寸存在一定的关系，因此可以解释尺度效应。此外应变 梯度理论整体结构与传统的连续体力学相当类似，不论在理论的推导还是数值的实现， 相对而言都比较简单。因此最近二十年，应变梯度理论得到了迅速的发展，被广泛应用 于预测微观试验及复合晶体材料的尺度效应，剪切带分析，断裂力学等领域，并且一些 研究者将之应用到混凝土和岩石的变形分析上，也获得了一定的成果。 1 1 2 应变梯度理论的发展及现状 目前的应变梯度理论主要有两大类：一类是在本构方程中引入应变梯度以及与之功 共轭的高阶应力。该理论的前身是1 9 0 9 年c o s s e r a t 兄弟建立的偶应力理论【l 们，其主要 思想为：将弯矩作用引入微元体的平衡，即引入位移梯度场的旋转部分。上世纪6 0 年 代，t o u p i n 11 1 ，k o i t e r 1 2 】和m i n d l i n 1 3 】对之进行了引申，本构方程中引入应变梯度，不仅 关于弹性偶应力c o 和c 1 理论及有限元 与微观曲率有关而且与法向应变梯度有关。在此基础上，f l e c k 和h u t c h i n s o n 从几何必 需位错和统计存储位错的角度出发，发展了偶应力塑性理论【1 4 】和应变梯度塑性理论【1 5 】， 引入了高阶应力与高阶应变，该理论便于有限元的理论实现，并且可以解释一系列微观 试验的尺度效应。1 9 9 9 年，g a o 和h l l a n 寸1 6 1 7 】基于n i x 和g a o 1 8 】发展的位错模型，提出 了一种基于位错机制的应变梯度塑性理论，即m s g 理论。该理论通过一个多尺度、分 层次的框架，将宏观塑性理论和位错理论有机的联系起来。由于f l e c k h u t c h i n s o n 框架 及g a o h u a n g 框架各自的优越性，很多人在此基础上提出了改进的应变梯度理论，例如 s h u 和f l e c k 1 9 】提出的应变梯度晶体塑性理论，h u a n g 2 0 】等提出的c m s g 理论。另一类 应变梯度理论是在屈服函数中引入等效塑性应变的l a p l a c e 算子。这类理论首先由 a i f a n t i s 2 l 2 2 】提出，由于本构关系与平衡方程保持不变，仅修改了屈服函数，结构更为 简单。 由于应变梯度理论的发展仅有二十年的历史，因此存在着很多问题。其一，种类繁 多，应用于工程实践必然遇到很大的问题，因为我们无法确定对于特定的工程问题哪一 种理论更适用。其二，每种应变梯度理论都包含若干材料长度，这些材料长度起到联系 传统连续体力学与微观力学的作用。然而不同的应变梯度理论含有的材料长度的个数及 其材料长度作用的位置都不一样，如f l e c k 的偶应力理论及a f a n t i s 应变梯度理论含有一 个材料长度，而f l e c k 的应变梯度理论含有三个材料长度，这为材料长度的确定增加了 很多困难。b e 西e y 和h u t c h i n s o n 2 3 1 ，s h u 和f l e c k e 2 4 1 ，a b ua 1 r u b 和v o y i a d j i s 2 5 】【2 6 1 均提 出用压痕试验确定材料长度，然而对于相同的材料在不同的加载情况下，材料长度也不 尽相同，而且对于岩石和混凝土材料如何确定材料长度仍然有待解决。 1 1 3 偶应力理论的发展 平面偶应力理论在2 0 世纪初已经出现了，但是由于没有引入本构关系，一直没有 引起足够的重视。在2 0 世纪6 0 年代，由于研究连续介质理论的基本原则，而引起了一 些学者的重视。2 0 世纪9 0 年代，应变梯度理论被提出并逐渐成熟，偶应力理论也是应 变梯度理论之一。 很多学者致力于建立考虑微结构影响的连续介质模型，并取得了丰硕的成果。v o i 昏 在1 8 8 7 年就指出了极化分子中偶应力的存在性。但第一个系统建立考虑偶应力影响的 连续介质模型的是c o s s e r a t 兄弟，1 9 0 9 年，c o s s e r a t 兄弟【l o 】提出微极非线性弹性理论( 一 般偶应力理论) ，该理论中考虑每一个材料粒子作为一个完美的刚性颗粒，变形时不仅 有位移产生，还伴随着转动，每一个微元有6 个自由度，导致了应变和应力张量的非对 称性，该理论被称为c o s s c r a t 理论。此理论为非线性理论，当时被用于分析一些非理想 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 的流体，并分析了一些电子动力学问题，并没有用来分析弹性理论框架下的一些问题。 到了2 0 世纪6 0 年代，一些学者【l l 】将原先的c o s s c r a t 理论加以拓广，仅利用位移矢量来 描述连续介质理论。这样，这一理论在6 0 年代获得了更大的认识和研究，t r u e s d e l 和 t o u p i n 1 1 】从理性力学方法发展了称之为偶应力理论的基本方程。t o u p i n 讨论了在连续介 质中引入高阶梯度的基本原理，假定应变能密度函数不仅依赖于应变而且依赖于转动梯 度，得到线弹性偶应力理论同时，m i n d l i n 2 7 】也给出了线性化的偶应力理论，并用该理 论解释和预测了一些现象。m i n d l i n 认为连续介质中每一个物质点从微观角度可以看作 一个胞元，胞元不仅跟随连续介质作宏观运动和变形，而且自身还有微观位移和微观变 形。由于在该理论中，有材料点的转动与周围物质的转动相等这一条件的约束，t o u p i n 【2 驯 将其称为约束转动的c o s s o r a t 理论，又称之为简化的偶应力理论，在本文中又称其为 c 1 偶应力理论。 在t o u p i n m i n d l i n 偶应力理论中，由于引入转动梯度，在本构模型中自然出现了一 个具有长度量纲的新的材料常数，这个材料常数与材料的微结构有关，这就开拓了研究 考虑微结构影响介质力学的新局面。m i n d l i n 采用二阶应变梯度理论研究了晶体表面， 发现在二阶梯度理论下，内聚力、表面张力和表面能都是自然出现的。由于偶应力理论 预测了材料的许多不同与经典弹性理论的新奇特性，吸引了众多学者涉及这一领域， k o i t e r t l2 】对偶应力理论作了分析，并建议了几个可以验证偶应力理论的试验对偶应力作 了物理解释。s t e i n b e r g 和m u k i t 2 9 】以及a t k i s o n 和l e p p i n g t o n t 3 0 】研究了弹性介质裂尖场的 偶应力效应，获得了一些不同于经典断裂力学的结果。 对于c o 类偶应力理论和c 1 类偶应力理论的关系，文献f 3 1 】给出简单的比较。该文献 认为c o 类偶应力理论在模拟层状岩体变形、特别是引入岩层错动等屈服状态时，比c 1 类理论具有更多的优越性，但是单纯采用c o 类偶应力理论时计算量较大，而c 1 类理论 计算量较小。为了得到较好的效果，该文献建议采用两种偶应力理论结合的方法来求解 层状岩体的变形问题。 1 2 考虑偶应力问题的有限单元法 有限元思想的提出，可以追溯到1 9 4 3 年c o u r a n t 3 2 】的工作，但是当时没有得到广泛 的应用。到1 9 6 0 年c l o u g h 3 2 】处理了平面弹性问题，并第一次提出了“有限单元法”的 名称，人们才开始认识了有限单元法的功效【3 2 】。4 0 多年来，随着计算机技术的发展， 有限元法的理论和应用都得到迅速发展。 有限元法作为一种非常有效的数值方法，已经被工程界普遍接受和广泛使用，在工 程结构和机械系统以及其他工程的数字建模、分析、设计、结构优化和仿真方面都发挥 关于弹性偶应力c o 和c 1 理论及有限元 着重要的作用。经过几十年的发展，有限元法已经趋于成熟。随着计算机硬件的技术的 发展和有限元法分析软件的进步改进，该方法的分析方法和效率也不断提高。 在有限元研究中，以单元节点位移为未知数的单元称为位移元。按照相邻单元间的 位移是否协调，位移元可以分为协调元和非协调元。按照位移函数的阶次位移元可以分 为c o 类单元和c 1 类单元。位移函数的一阶导数连续的单元称为c 1 单元，只需要满足位 移连续的单元称为c o 单元。 将有限元法应用与偶应力理论，困难比较大。对于c 1 类偶应力，要求有限元的单 元列式必须满足c 1 连续。w o o d r d r 3 】以余能原理为基础，将应力函数结合变分原理 提出了一种混合元，利用拉格朗日乘子强迫满足应力边界约束条件。文 3 4 将板壳种有 限元中颇有成效的离散k i r c h h o f f 技巧应用于偶应力问题，提出了离散偶应力单元。文 3 5 利用平面偶应力理论和r e i s s n e r m i n d l i n 板弯曲理论直接的比拟关系得出这两个理论系 统有限元性质的同一性，得到了推导平面偶应力c 1 单元的一般办法。为了避免构造c 1 单元的困难，文 3 6 ，3 7 采用罚函数法，通过引入非协调元和杂交元来解决这个问题，取 得了不错的效果。 目前对于第一类应变梯度理论( 引入高阶应力与高阶应变) ，主要采用满足c 1 协 调条件的单元求解。这种单元的节点参数包含位移及其一阶导数，为了保证收敛性，在 单元的内部边界位移及其一阶导数都必须连续，如z i e n k i e w i c z 3 8 】等提出的矩形单元， s h u 2 4 】等建立的9 - n o d e 和6 - n o d e 偶应力单元，z e r v o s ”】研究厚壁筒局部化使用的满足 1 8 d o f 的薄板单元。此外还有满足c o 协调条件的单元，这种单元的节点参数包含位移 及应变，并将位移与应变独立插值。这类单元有s h u 4 0 等用放松协调性的方法建立的 2 4 5 4 参三角形和四边形单元，s w a d d i w u d h i p o n g 4 i 】等建立的2 0 2 7 n o d e 六面体单元( 采 用离散点约束) 等。对于第二类应变梯度理论( 屈服函数中引入等效塑性应变的l a p l a c e 算子) ，有限元实现多采用位移与塑性乘子的独立插值来实现，其中最为突出的贡献是 d eb o r s t 和p a m i n 的工作【4 2 1 ，他们推导出一种通用的有限元列式，并分别采用c 1 连续性 单元及带有罚函数的c o 连续性单元对之进行实现。应变梯度有限元的研究还处于发展 阶段，应用中还发现了偶应力应变梯度有限元的新困难，计算结果常与有限元网格的划 分关系很大，即所谓网格效应，因此，要研究单元模式，建立有效的应变梯度有限元。 现在建立的不协调的单元函数都只考虑分别满足c o 连续条件和c 1 连续条件，陈万吉【4 3 】 提出了同时考虑c o 和c 1 连续的c o d 分片检验条件，建立的r c t 9 + r t 9 单元可以通过 c o 1 分片检验。对于c 1 类偶应力理论，本文采用r c t 9 + r t 9 单元进行计算。目前基于 大连理工大学硕士学位论文 偶应力的c o 单元主要有p r o v i d a s t 删的三角形单元和张洪武【4 5 】的四边形单元，本文计算 采用的是8 节点四边形单元。 1 3 本文的研究目的及主要内容 1 3 1本文的研究目的 对于偶应力问题，一直存在着两类理论。一类是一般偶应力理论，该理论中微观转 动独立于宏观位移。因此在构造有限元求解时只需要位移连续即可，因此，我们将其称 为c o 类偶应力理论。该理论中有两个材料长度参数，材料长度，和第二剪切模量g a 。另 一类是约束转动偶应力理论，在该理论中，微观转动不是独立的，而是宏观位移的一阶 导数。在直接构造有限单元求解时，需要位移的一阶连续。因此我们将这种理论称之为 c 1 类偶应力理论。该类理论中只有一个材料长度，。c o 类偶应力理论和c 1 类偶应力理论 的区别在于微观转动是否独立，c o 类偶应力理论的微观转动是独立的，可以任意取值； 而c 1 类偶应力理论的微观转动是不独立的，其微观转角等于宏观转角，取决于宏观位移。 虽然偶应力的发展已经近百年，但是目前在工程应用方面依然存在着困难。关于材 料长度卜一直是个难题，g c o 类偶应力理论中还有另一个材料常数g 口也尚未确定。由于 c 1 类偶应力理论中只有一个材料常数，因此在计算过程中试解相对比较容易。所以不少 学者青睐于c 1 类偶应力理论的研究。对于c 1 类偶应力理论类理论，m i n d l i n 己给出了理论 公式，但是到目前为止，只有少数问题给出了考虑偶应力理论的解析解，所以，数值计 算方法就成为利用偶应力理论解决尺度效应问题的有效手段，目前己发展了一些c 1 类偶 应力单元。由于直接构造c 1 连续的单元来计算困难比较大，不少学者也采用罚函数法来 逼近c 1 理论。 本文的目的在于对两种理论的特点进行总结和比较，并对与其相关的有限元进行描 述，并通过数值算例进行讨论。 1 3 2 本文研究的主要内容 1 对偶应力理论进行了详细的描述。 2 对现有的一些偶应力单元进行了简单介绍，包括c m l 连续的b c i z + r t 9 单元c o 连续 的8 节点单元。 3 对两类偶应力理论进行了公式推导。并对c o 理论中的第二剪切模量进行了讨论。 4 计算了带小孔方板的孔边应力集中系数和悬臂梁以及纯弯曲梁的挠度，对数值结 果进行讨论。 关于弹性偶应力c o 和c 1 理论及有限元 2 偶应力理论 偶应力理论中，微元体内每一点上除了位移自由度外，还存在独立的转动自由度， 因而连续体内的转动由宏观转动和微观转动组成。除了经典连续统力学中的应力分量 外，偶应力分量x 也出现在该理论中，如图2 1 。因此当确保微元体转动平衡时，应力张 量可以是不对称的。约束转动的偶应力理论要求其微观转角等于宏观体元的转角。本章 对偶应力理论的平衡方程、应变位移关系、本构关系等进行了系统地说明。 2 1控制方程 2 1 1平衡方程 考虑偶应力后，平面微元体的应力分量在经典弹性理论的基础上增加了偶应力段、 一，如图( 2 1 ) 所示： 图2 1 直角坐标系中的偶应力 f i g 2 1c o u p l es t 陀豁i nq u a d r a n g u l a rc o o r d i n a t e 大连理工大学硕士学位论文 图2 2 考虑偶应力的微元体 f i g 2 2o b j e c tu n d e rc o u p l es t r e s s 由图2 2 中里的平衡f x = 0 ，毋= o 和力矩平衡m o = o ( o 为微元体的形心) 可 ( + 等疋一磅+ ( + 等疋一峨= 。 ( q 十等叫洲v 誓疋妒。 ( 2 1 a ) ( 2 1 b ) 爹p 。岍等，鼢c 亿 ( + 孥氓+ 磅譬一( + 等+ 岐誓= 。 忽略高阶小量，可得微元体的平衡方程： 一a o x + 坠：o 苏 砂 堕+ a a _ _ l ：o 缸 锣 丝o+等+勺一：ox 西 掣p 一7 ( 2 2 a ) ( 2 2 b ) ( 2 2 c ) 关于弹性偶应力c o 和c 1 理论及有限元 其中，对于c 。类偶应力理论，勺。( 2 2 a ) ( 2 2 b ) 与传统连续介质力学中的 平衡微分方程相同。不同点在于( 2 2 c ) 式，传统的弹性本构方程中的剪应力是对称的， 为了直接与此衔接，引入b = 互1 ( + f 声) ，= 丢( 一) ，其中，是剪应力的对称 部分，是剪应力的不对称的部分。对于c 1 类偶应力理论，经过特殊的处理，将剪应力 的不对称部分消去，在计算过程中只考虑剪应力的对称部分。 得： + f 图2 3 剪应力对称和反对称分量合成示意图 f i g 2 3t h ea n a l y s i so ff 由( 2 2 ) 得： 堕+ 堕一一0 1 a ：o ( 2 3 a ) 徼 砂砂 堕+ 堕+ ：o( 2 3 b ) d 瞳 砂 o x 警+ 娑+ 2 ：o ( 2 3 c ) o y 对于c 1 类偶应力理论，将f 口看成是一个不独立的量，将( 2 3 c ) 的带入( 2 3 a ) ( 2 3 b ) 大连理工大学硕士学位论文 等等 2 茜+ a v e = 。 亿4 a ， 苏却、撕 7 誓+ 等2c 争+ 备= 。 亿4 b ， 缸 锣、玉2 叙锣7 这个方程刚好将问题分成两个部分，关于吒，仃v ，的传统的宏观弹性力学方程 和关于心，的细观偶应力弹性力学方程。 在本小节中我们得到了c o 类偶应力理论的平衡方程毒( 2 3 ) 式和c 1 类偶应力理论的 平衡方程( 2 4 ) 式。 2 1 2 几何方程 正应变和切应变与位移之间的关系： 以：丝 ( 2 5 a a a 、) 毛2 _ 占产娑 ( 2 5 b ) 占 ，= i k z 3 d ， ，。，：鲨+ 坐 ( 2 5 c a c 、) 2i + i 只考虑剪应力的对称分量b 时，对微元体发生的作用与经典弹性理论中的剪应力 发生的作用相同，都是使微元体产生相应的剪切变形。剪应力反对称分量在x 轴 方向主应力面上为，y 轴方向主应力面上的为一微元体在吃作用下不再产生剪切变 形，而是使自身发生了微转动彩。这一点正好体现了偶应力理论的本质性问题，即材料 变形时偶应力理论考虑了微粒自身的微转动国。同时也可以认为剪切变形只与剪应力对 称分量有关，反对称分量使微粒发生了微转动，如图2 3 。 由于剪应力反对称分量吃的存在使微元体发生微转动缈，定义了两个弯曲应变分量 ( 曲率) ： 对于c 1 类偶应力理论， 将式( 2 7 ) 带入( 2 6 ) ， z x2 面z y 2 面0 舅dy 微观转角缈和宏观转动矽相等： 国：驴= ( 罢一罢) 2 哕 得到弯曲应变分量： 以= 等= 互1 【甭a 2 v 一矧0 2 u以2 瓦2 互万一丽) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 a ) 关于弹性偶应力c 0 和c 1 理论及有限元 乃= 考= 吉岛一争 ( 2 8 b ) 乃2 万2 i 丽一万) 喵酌j 几何方程中没有出现，是因为它对应的不是一个独立的量，可以由( 2 3 c ) 求得。 于是，本小节中我们分别得到了c o 类偶应力理论和c 1 类偶应力理论的位移应变关系 ( 2 6 ) 式和( 2 8 ) 式。 2 1 3 本构方程 在平面应力问题中，对于各向同性弹性材料，存在这样的应力应变关系： 毛= ( 吒一0 0 v o y ) ( 2 9 a ) 毛2 i 【吒一 l z v 刨 勺= i i ( q 一峨) ( 2 9 b ) 由式( 2 5 ) 消去位移得到应变量( 如，毛，岛) 的相容方程： 婆+ 聋：盟 ( 2 1 0 ) 却2 。缸2 坳 、。7 由式( 2 6 ) 可以得到： 监：盟 ( 2 11 ) 砂 出 对于c 1 理论，由式( 2 5 ) 和式( 2 8 ) 得： 托：挈：! ( 鸳一塑) ：三盟一堕 ( 2 1 2 a ) y = 一= 一i 一- = 一二一二 i z i z aj 以 缸 2 、缸2 缸加72 锄 砂 以= 丝叫1 丽a 2 v a y 2 一鲁a s ) = 鲁一1 2 丝a s ( 2 1 2 b ) ， = 一= 一一l = 二一一i 二i z dj y 、鲫 27 缸 偶应力和曲率的关系为： 以2 石1 段 ( 2 1 3 a ) 乃2 石1 如 ( 2 1 3 b ) 其中b 称为弯曲模量 b ：g 2 ：二生( 2 1 4 ) 2 【l + ，是材料细观结构的长度的度量，可以反映材料细观结构的深层次的本构关系，进 一步对材料细观结构的力学性能产生影响。 大连理工大学硕士学位论文 由式( 2 。3 ) ，( 2 9 ) 和( 2 1 3 ) 得到的应力( 包括偶应力) 应变关系，代入相答方程 ( 2 1 0 ) 、( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 得： 击等( 叫q ) + 而1 爵0 2 ( 吩一峨) - 警m y w $ ( 2 1 5 a ) 而矿叫q ) + 而爵( 吩一峨) 2 酉 沈) 段= 笤2 尝一而1 瓦t 3 ( 一) 】 ( 2 1 5 b ) 约= 扩卜鲁+ 击昙( q 一阳 ( 2 1 5 c ) 综匕所述，对于c 1 类偶应力理论的平面应力问题，本构方程表示为： 其中： 6 = d i o x o y t s 弘x 弘y 对于各项同性材料，弹性矩阵d 为： 纠= x y y 秽 z x z y 乓尝0 00 l d 21 一d 乓乓0 00 1 1 一d 上1 一d z 00竺00 2 ( z + d ， _ r u ， 0004 曰0 00004 b ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 对于c o 类偶应力理论，剪应力一般不对称，所以本构方程比c 1 类偶应力理论多一项， 表示为： 仃：d o 占 ( 2 1 9 ) 此时： ( 2 2 0 ) 毛勺绌以乃吒吩段如 关于弹性偶应力c 0 和c 1 理论及有限元 对于各向同性材料的平面应力问题，弹性矩阵d 为： 蹦= e 1 一t ，2 历 1 一d 2 0 o 0 0 助 1 一d 2 e 1 一d 2 o o 0 o 0 0 e ( 1 + 口) 2 ( 1q - 功 e ( 1 一口) 2 ( 1q - d ) 0 o o0o 00 0 垒! ! 二生 oo 2 ( 1 + 功 墨! ! 型 oo 2 ( 1 + d ) 04 b0 o04 b ( 2 2 1 ) 兵甲口为与材料特性相夫的常数。 对于平面应变问题，将e 换成i e 了，将u 换成忐，并利用g2 夏善而和 名= 百五e ( 而1 - = u ) 丽，其中g 为剪切模量，五为拉梅常数， 。，1 0 c 。类偶应力理论和c 1 类偶应 力理论的本构矩阵分别为： c o 理论： c 1 理论： 岛= 五+ 2 g五0o00 名五+ 2 g000o 00g + g ag g a00 00g g ag + g a00 00004 a 上o 0000o4 g ，z 岛= 五+ 2 g 名 o 0 o 兄0o0 旯+ 2 g00 0 og 00 004 g 1 20 0004 g 1 2 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 在( 2 2 2 ) 式中，由于g 口具有剪切模量的特征，所以有的学者认为它是第二剪切模 量，是由材料性质决定的材料常数。 一1 2 一 大连理工大学硕士学位论文 2 1 4 力的边界条件 考虑偶应力的弹性体在平面问题边界s 的单位面积上作用的面力和面力偶为元，亍y 和砑，由平衡条件得： t x = s i n g 。t y x + g o s g t y2 c o s t z + s i n a 。c r y m = 弘x c o s c t + p ys i n a t r x yc o s g s i n g d s 2 + r y 譬s i n g c o s g d s 2 图2 4 力的边界条件 f j g 2 4b o u n d a r yf o r c e 将= 丢( 勺+ 锄) ，= i 1 ( 一锄) 带入上式，略去高阶小量，可得： t x = s i n g ts s i n g t a + g o s g o t t y = c o s g ts + g o s g t 口+ s i n g o y m = g x c o s g + , y s i n g 2 1 5 几何边界条件 考虑偶应力理论的平面问题几何边界条件可取为： u ：h ：日 【，j 【1 ，j 一1 3 在鼬上 ( 2 2 4 a ) ( 2 2 4 b ) ( 2 2 4 c ) ( 2 2 5 a ) ( 2 2 5 b ) ( 2 2 5 c ) ( 2 2 6 a ) 关于弹性偶应力c o 和c 1 理论及有限元 c 0 = 一c 0 在上 ( 2 2 6 b ) 其中云，；为在鼬上的已知位移，石为在上的已知微转动。舰和构成弹性体 的所有边界。 2 2 关于材料长度 2 2 1 材料长度， 材料长度，( 长度量纲) 是依赖于材料的微结构的特征常数。文献【2 1 细铜丝扭转实验 中，通过试验拟合估计铜的材料长度，= 4 a n 。文献【3 】薄梁弯曲实验中，试验估计镍的 材料长度，= 6 a n ，当所讨论的物理现象的特征尺度远远大于材料的材料长度，时，比 如二者相差至少一个数量级时，应变梯度项的贡献比应变项要小的多，应变梯度效应就 可以忽略不计，应变梯度理论退化为经典连续介质力学理论。当所讨论的物理现象的特 征尺度三( 如小孔半径、波长、裂纹长度等) 与材料长度在同一数量级时，应变梯度效应 就会很大，必须考虑应变梯度项。 对于材料长度，的确定，在文献 4 6 1 中给出了公式 ，：m 2 口2 l 1 2 6 ( 2 2 7 ) o r 。 其中m 为一表示多晶体拉伸流动应力与剪切流动应力之比的系数【4 7 ，棚，可取 m = 3 0 6 ；口是数量级为l 的经验常数；g 是剪切模量；b 为b u r g e r s 向量；仃耐为参考应 力，对于韧性材料，单轴应力应变关系可以写成幂次关系：盯= 盯。，占，为塑性功硬 化指数( 0 n 1 ，n = 1 n ) 。 对于韧性材料可以用如下典型的力学性质进行估算 4 9 1 ：n ：0 2 ，钾：仃y y ：o 2 ， o , e y o r y = 占歹，g y = 3 8 ，1 2 = 1 ，m = 3 0 6 。这里即是屈服应变，】，是杨氏模量。根据 公式( 2 2 7 ) 可以得到韧性材料的材料长度约为，= 2 7 4 0 0 b 。对于铜( b = 0 2 5 5 n m ) ，公 式给出，= 7 n n ，与前面铜丝扭转实验的结果一致，都是微米量级。 虽然有上述经验公式来计算，而且还有其他关于，的提法，但是到目前为止，还没 有明确的工程提法。 2 2 2 第二剪切模量g a 第二剪切模量g a 不同于传统连续介质力学中的剪切模量，而是c o 类偶应力理论中 特有的剪切模量，文献【5 0 l 利用颗粒材料介质方法，通过两种假定，推出两种不同岩层的 大连理工大学硕士学位论文 2 1 4 力的边界条件 考虑偶应力的弹性体在平面问题边界s 的单位面积上作用的面力和面力偶为元，亍y 和砑，由平衡条件得： t x = s i n g 。t y x + g o s g t y2 c o s t z + s i n a 。c r y m = 弘x c o s c t + p ys i n a t r x yc o s g s i n g d s 2 + r y 譬s i n g c o s g d s 2 图2 4 力的边界条件 f j g 2 4b o u n d a r yf o r c e 将= 丢( 勺+ 锄) ，= i 1 ( 一锄) 带入上式，略去高阶小量，可得： t x = s i n g ts s i n g t a + g o s g o t t y = c o s g ts + g o s g t 口+ s i n g o y m = g x c o s g + , y s i n g 2 1 5 几何边界条件 考虑偶应力理论的平面问题几何边界条件可取为： u ：h ：日 【，j 【1 ，j 一1 3 在鼬上 ( 2 2 4 a ) ( 2 2 4 b ) ( 2 2 4 c ) ( 2 2 5 a ) ( 2 2 5 b ) ( 2 2 5 c ) ( 2 2 6 a ) 关于弹性偶应力c o 和c 1 理论及有限元 c 0 = 一c 0 在上 ( 2 2 6 b ) 其中云，；为在鼬上的已知位移，石为在上的已知微转动。舰和构成弹性体 的所有边界。 2 2 关于材料长度 2 2 1 材料长度， 材料长度，( 长度量纲) 是依赖于材料的微结构的特征常数。文献【2 1 细铜丝扭转实验 中，通过试验拟合估计铜的材料长度，= 4 a n 。文献【3 】薄梁弯曲实验中，试验估计镍的 材料长度，= 6 a n ，当所讨论的物理现象的特征尺度远远大于材料的材料长度，时，比 如二者相差至少一个数量级时，应变梯度项的贡献比应变项要小的多，应变梯度效应就 可以忽略不计，应变梯度理论退化为经典连续介质力学理论。当所讨论的物理现象的特 征尺度三( 如小孔半径、波长、裂纹长度等) 与材料长度在同一数量级时，应变梯度效应 就会很大，必须考虑应变梯度项。 对于材料长度，的确定，在文献 4 6 1 中给出了公式 ，：m 2 口2 l 1 2 6 ( 2 2 7 ) o r 。 其中m 为一表示多晶体拉伸流动应力与剪切流动应力之比的系数【4 7 ，棚，可取 m = 3 0 6 ；口是数量级为l 的经验常数；g 是剪切模量；b 为b u r g e r s 向量；仃耐为参考应 力，对于韧性材料，单轴应力应变关系可以写成幂次关系：盯= 盯。，占，为塑性功硬 化指数( 0 n 1 ，n = 1 n ) 。 对于韧性材料可以用如下典型的力学性质进行估算 4 9 1 ：n ：0 2 ，钾：仃y y ：o 2 ， o , e y o r y = 占歹，g y = 3 8 ，1 2 = 1 ，m = 3 0 6 。这里即是屈服应变，】，是杨氏模量。根据 公式( 2 2 7 ) 可以得到韧性材料的材料长度约为，= 2 7 4 0 0 b 。对于铜( b = 0 2 5 5 n m ) ，公 式给出，= 7 n n ，与前面铜丝扭转实验的结果一致，都是微米量级。 虽然有上述经验公式来计算，而且还有其他关于，的提法，但是到目前为止，还没 有明确的工程提法。 2 2 2 第二剪切模量g a 第二剪切模量g a 不同于传统连续介质力学中的剪切模量，而是c o 类偶应力理论中 特有的剪切模量，文献【5 0 l 利用颗粒材料介质方法，通过两种假定，推出两种不同岩层的 大连理工大学硕士学位论文 g a 值，g a = 0 5 g 和g a = 2 g ，其中g 为传统力学中的剪切模量。文献【5 1 ，5 2 引用 g a = 0 5 g 作为g a 的经验值，应用于层状岩体的本构关系中，虽然得出了比较好的效果， 但层状岩层中g a 的确切值至今没有得到。文献【3 1 】针对层状结构岩体，从建立一个标量 出发，推导出二维平面应变状态下第二剪切模量g 口的值，国= 7 5 - o 。目前对于大多数材 料g a 尚未确定。 关于弹性偶应力c o 和c 1 理论及有限元 3 基于偶应力的有限元法 3 1变分原理 3 1 1自然变分原理 讨论一个连续介质问题的“变分原理”首先要建立一个标量泛函n ，它由积分形式确 定： = f ( “，罢，) 撒+ p ( z ，罢，) d r ( 3 1 ) 其中越是未知函数，和e 是特定的算子，q 是求解域。r 为求解域边界。n 为未 知函数“的泛函，随函数砧的变化而变化连续介质问题的解“使泛函刀对于微小的变化 面取驻值，即泛函的“变分”等于零： j l - i = 0( 3 2 ) 这种求得连续介质问题解答的方法称为变分原理或变分法。 在经典的变分原理