（基础数学专业论文）系统箭图代数的hochschild上同调群.pdf

中文摘要 摘要 系统箭图代数是一类非常重要的代数，线性动力系统的等价类双射地对应于 系统箭图的有限维表示的同构类李龙才等人对系统箭图所对应的三点代数的表 示型进行了完全的分类，得到了极大t a m e 型系统箭图代数与极d x w i l d 型系统箭图 代数的列表本文主要讨论极大t a m e 型系统箭图代数与极d 、w i l d 型系统箭图代数 的h o c h s c h i l d 上同调性质 b a r d z e l l 对直向箭图的零关系代数的极小投射双模分解进行了细致分析本 文利用b a r d z e l l 的方法，首先构造了极大t a m e 型系统箭图代数与极d x w i l d 型系统箭 图代数的极小投射双模分解，并基于此投射分解，利用组合的方法，清晰地计算了 极大t a m e 型系统箭图代数与极d 、w i l d 型系统箭图代数的各阶h o c h s c h i l d 上同调空 间的k 维数，从而使我们对这类代数的同调性质有了进一步的了解 关键词：h o c h s c h i l d 上同调群；系统箭图代数；极小投射双模分解 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t s y s t e mq u i v e ra l g e b r ai saq u i t ei m p o r t a n tc l a s so fa l g e b r a s t h ee q u i v a l e n c e c l a s s e so fad y n a m i c a ls y s t e ma r eo n e t o o n ec o r r e s p o n d e n c ew i t ht h ei s o c l a s s e so ft h e f i n i t e d i m e n s i o n a lr e p r e s e n t a t i o n so ft h es y s t e mq u i v e r l il o n g c a ie ta 1 c l a s s f i e da l l t h es y s t e mq u i v e ra l g e b r a sa c c o r d i n gt h e i rr e p r e s e n t a t i o nt y p e ，a n df o u n dt h el i s to f s y s t e mq u i v e ra l g e b r a so fm a x i m a l t a m er e p r e s e n t a t i o nt y p ea n dt h o s eo fm i n i m a lw i l d r e p r e s e n t a t i o nt y p e i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t et h eh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yp r o p e r - t i e so ft h es y s t e mq u i v e ra l g e b r a so fm a x i m a lt a m er e p r e s e n t a t i o nt y p ea n dm i n i m a l w i l dr e p r e s e n t a t i o nt y p e b a r d z e l lg a v et h ee x p l i c i td e s c r i p t i o no fc o n s t r u c t i o no fm i n i m a lp r o j e c t i v eb i m o d u l er e s o l u t i o n so fm o n o m i a la l g e b r a sw i t hd i r e c t e dp a t h s i nt h i st h e s i s ，u s i n g b a r d z e l l sm e t h o d ，w ef i r s tc o n s t r u c tt h em i n i m a lp r o j e c t i v eb i m o d u l er e s o l u t i o n so f t h es y s t e mq u i v e ra l g e b r a so fm a x i m a lt a n l er e p r e s e n t a t i o nt y p ea n dm i n i m a lw i l dr e p r e s e n t a t i o n 哆p e t h e nb ym e a n so fc o m b i n a t o d c sw ec a l c u l a t ee x p l i c i t l yt h ed i m e n - s i o n so fa l lh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yg r o u p so ft h es y s t e mq u i v e ra l g e b r a so fm a x i m a l t a n l er e p r e s e n t a t i o nt y p ea n dm i n i m a lw i l dr e p r e s e n t a t i o nt y p e t h u sw eg e taf u r t h e r u n d e r s t a n d i n go ft h eh o m o l o g yp r o p e r t yo ft h o s ea l g e b r a s k e yw o r d s ：h o c h s c h i l dc o h o m o l o g y ；s y s t e mq u i v e ra l g e b r a ；m i n i m a lp r o j e c t i v e b i m o d u l er e s o l u t i o n 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体己经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 论文作者签名：绒昔丹 签名日期：砷年r 月2 7 c 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 论文作者签名：孤以妈 签名日期：弘1 年岁成7 1 日 导：舡闭 签名日期。卞r 月详日 第一章绪论 第一章绪论 1 1h o c h s c h i l d ( 上) 同调群 代数的同调与上同调理论是2 0 世纪4 0 年代发展起来的一门重要数学分 支近年来，有限维结合代数的h o c h s c h i l d 上同调群与上同调环得到广泛地研 究，并在数学及物理的很多领域扮演着重要的角色h o c h s c h i l d 同调与上同调 理论，尤其是低维的同调群和上同调群在代数表示论中具有十分重要的作用： g e r s t e n h a b e r ：在文献【1 】中证明了二阶上同调群h h 2 ( a ) 控制了代数a 的形变理论， 而一阶上同调群日日1 ( 人) 与代数人的g a b r i e l 箭图顶点的可分性质如单连通性密切 相关 2 1 ，h a p p e l 等人证明了代数闭域上的有限表示型代数是单连通的当且仅当它 的a u s l a n d e r 代数的一阶上同调群为零 a 1 人们也猜想对于代数闭域上的有限维代 数，如果它的一阶上同调群消失，那么它的g a b r i e l 箭图没有定向圈但这是不正确 的，b u c h w e i t z 等人举出了反例【4 】，于是人们又猜想倾斜代数是单连通的当且仅当 它的一阶上同调群消失，这对t a m e 倾斜代数证明来说是正确的【5 】而同调群与代 数的整体维数及定向圈密切相关【6 一 设a 是域k 上的有限维结合基本( b a s i c ) 代数( 含单位元1 ) ，a e = a o n 知a 是a 的 包络代数，其中a o n 是a 的反代数m 是k 上有限维a 一人一双模，贝j j h o c h s c h i l d 复 形c 。= ( c t ，) i e z 定义如下： c = o ，v i 0 其中a 剑表示七上的张量积ao 人o o 人( 共有i 次) ，映射为 d o ：m _ h o m k ( a ，m ) ，d 0 ( m ) = 【一，m 】，其中 _ ，叫( o ) = a m - m a ，v a a ； ：一+ 1 由下述法则给出：v f ，a 1 圆a i + 1 舻( 件1 1 ， i ( d f ) ( a lo a i + 1 ) = a l y ( a 2o oa i + 1 ) + ( - - 1 ) i f ( a 1o o + lo o j = l a i + 1 ) + ( - - 1 ) i + l y ( a lo oa i ) a i + 1 直接代入验证可知+ l = 0 由此定义 日( a ，m ) = 日( c ) = k e r d i i m c 矿， v i z 1 湖北大学硕士学位论文 称为人的系数在m 中的第i 次h o c h s c h i l d 上同调群 若取m = a ，则记( a ) ：= h ( a ，a ) ，称为a 的第i 次h o c h s c h i l d 上同调群此 上同调群由h o c h s c h i l d 于1 9 4 5 年引入【8 】 而h o c h s c h i l d 同调群并非h o c h s c h i l d 本人所引进，它首先出现在书【9 】中：c a r - t a n 和e i l e n b e r g 整理和归纳t h o c h s c h i l d 的理论，并且给出了此理论的某种对偶，即 代数的h o c h s c h i l d 同调群理论考虑h o c h s c h i l d 复形 其中 令 _ a 。( 件1 ) 土a 。t d i - 1 生apa 土a 乌0 ， 凰( a ) = k e r d l i m d i + l ，i 0 ， 则 鼠( a ) 竺r o e 。( 人，a ) 竺d e x t 爻。( a ，d ( a ) ) ，d = h o m k ( 一，后) ， 称为人的第i 次h o c h s c h i l d 同调群 从而代数人的第i 阶h o c h s c h i l d 同调群与上同调群也可以利用导出函子来计 算： 日日( 人) = e x 嘎。( a ，a ) 与日凰( a ) = r o e 。( 人，人) 在1 9 9 4 年出版的书【1 0 】中，w e i b e l 用更新的同调代数工具整理和归纳了代数 的h o c h s c h i l d 同调与上同调群，并且总结了它们在由c o n n e s 发展起来的循环同调 与上同调理论中的重要应用【l l j l l h o c h s c h i l d 同调群与上同调群既非范畴意义下的对偶，也非向量空间意 义下的对偶尽管h o c h s c h i l d 同调和上同调群之间有一公式：日印( 人，x ) 垒 日凰( a ，d x ) ，其中x 是任意一个a a 双模，d = h o m k ( 一，后) 是平凡对偶但这 对我们计算h o c h s c h i l d ( 上) 同调群并没有多大帮助某些代数的h o c h s c h i l d 同调群 可能较易算出，但是它的h o c h s c h i l d 上同调群却可能难以计算，反之也可能发生 h o c h s c h i l d 同调群矛l l h o c h s c h i l d 上同调群反映了一个代数不同侧面的性质，因此， 2 + 吼毗 。圆口 d 一+ + 毗 pp + 吩 oq口 一 l一 ；m = +啦oo d 畋 第一章绪论 分别研究代数的h o c h s c h i l d 同调群和上同调群是非常必要的 从理论上来说，我们可以通过h o c h s c h i l d 构造的标准投射分解来计算代数 的h o c h s c h i l d ( 上) 同调群，但用这种方法计算量是非常大的，所以就需要构造一 种更适合计算的投射分解b a r d z e l l 对零关系代数构造了一个很好的投射分 解，称为b a r d z e l l 投射双模分解【1 2 1 ，该投射分解可以用来计算一类零关系代数 的h o c h s c h i l d ( 上) 同调群尽管这样，一般情况下计算代数的h o c h s c h i l d 同调与上 同调群仍然是比较困难的但一些特殊的代数类，如外代数、截面代数、单 项式代数等的h o c h s c h i l d 同调群已被计算【1 3 _ 1 6 】；某些特殊代数的h o c h s c h i l d 上同 调群也已被计算，如有限维遗传代数【17 】、i n c i d e n c e 代数【1 8 1 、具有狭窄箭图的代 数1 1 7 , 1 9 、根方零代数【2 0 l 、截面代数【2 1 - 2 3 j 、具有n o r m e d 基的特殊双列代数【2 4 】等 1 2 系统箭图代数 微分方程 ，帮= f x ( t ) + g u ( t ) 【可( 亡)= h x ( t ) 给出了一个线性时不变动力系统= ( g ，只日) ，其中z ( 亡) k n ，u ( t ) 护， v ( t ) 妒是向量型变量，g ，e 日分别是n m ，n n ，p n 阶矩阵h a z e w i n k e l 首先 注意到【2 5 】每一线性时不变动力系统= ( g ，只日) 恰好对应于如下系统箭图q 的 维数向量为m ，n ，p ) 的表示 q 匕q 三 123 然而，用表示理论的方法讨论动力系统的相关问题的文献不多在2 0 0 1 年，韩阳用 箭i 虱( q u i v e r ) 的表示理论给出任意维数系统空间中所有正规点的完全刻画，证明 了t a n n e n b a u m 关于“矩阵具有极大秩为正规性的必要条件”的猜测，给出系统 空间中所有预稳定点的描述，并引入了线性动力系统的维数向量的一般分解这 - - g e n e r i c 性质【2 6 1 线性动力系统的等价类双射地对应于系统箭图的有限维表示的同构类，但注 意到系统箭图是所谓的w i l d 箭图，因而系统箭图的表示的分类问题是没有希望的 3 湖北大学硕士学位论文 然而，李龙才等人1 2 7 】运用覆盖理论、单点扩张、退化理论、稳定等价等经典的 代数表示论方法，对系统箭图所对应的三点代数的表示型进行了完全的分类，得 到了极大t a m e 型系统箭图代数与极d w i l d 型系统箭图代数的列表本文将初步探 讨极大t a l n e 型系统箭图代数屯和极小w i l d 型系统箭图代数巧的h 0 c h s c t l i i d 上同调 性质 1 3 本文主要研究工作思路与论文内容组织 本文主要讨论极大t a m e 型系统箭图代数和极d x w i l d 型系统箭图代数 的h o c h s c h i l d 上同调性质有以下两个方面的内容： 一、利用b a r d z e l l 的方法，本文构造极大t a m e 型系统箭图代数九和极d x w i l d 型 系统箭图代数r f 的极小投射双模分解； 二、在极小投射双模分解的基础上，本文得到和r f 的上同调复形，基于此 复形，我们用组合的方法清晰地计算了凡和r j 的各阶h o c h s c h i l dt - 调群的维数 本文按如下形式组织：第二章主要介绍极大t a m e 型系统箭图代数和极 d x w i l d 型系统箭图代数，第三章主要对极大t a m e 型系统箭图代数的h o c h s c h i l d 上 同调群的维数进行计算，第四章主要对极d x w i l d 型系统箭图代数的h o c h s c h i l d 上 同调群的维数进行计算 4 第二章系统箭图代数 2 1 预备知识 第二章系统箭图代数 在本文中，k 表示代数闭域，a 表示一个连通的有限维基本( b a s i c ) k 一代数， s t j a 同构于一个由带关系的箭 訇( q u i v e r ) 定义的代数，即a 笺q j ，这里q 是a 的箭 图，是q 的路代数k q 的一个允许理想 定义2 1 1 【2 a l 一个箭图q = ( q o ，q 1 ；0 ，亡) 是一个有向图，其中q o 是顶点的集合， 在这里将一直是自然数集n 或者它的子集，q 1 是箭向的集合，o ，t 是关于q o 和q 1 之 间的映射，也就是说任何箭向q 从d ( q ) 开始到亡( a ) 结束，我们可将这一关系描述为： d ( q ) 与芒( q ) 对任意i q o ，若不存在以i 为起点的箭向，称i 为q 的汇点；若不存在以i 为终 点的箭向，称i 为q 的源点如果q 的基础图( 也就是不考虑方向的无向图) 是连通 的，就说q 是连通的在q 中，如果q o ，q 1 都是有限集合，n q 是有限的 q 中的一条非平凡的路是指箭向的序列z = p l 化p m ，m 1 ，并且对1 i m 满足t 慨) = d 慨+ 1 ) ，我们说上述路z 的起点为o ( p 1 ) ，终点为( p 仇) 对于每个 顶点i ，用e 来表示起点和终点都在z 的平凡的路通常符号d ( z ) 和t ( z ) 分别用来表 示路的起点和终点。对于非平凡的路，如果o ( z ) = t ) ，就称z 为一个有向圈称 只包含一个箭向的有向圈为环( 1 0 0 p ) 路p 的长度z 0 ) 是挪中箭向的个数，例如， 若p = p l p 2 p 3 ，n t ( p ) = 3 特别地，对任意i q o ，规定l ( e i ) = 0 设茁= t t ；1a i p i ， 其中a t k o ，p i q ，如果存在u ，口q o ，使得d 慨) = u 且亡慨) = v ，i = 1 ，2 ，t ， 我们称z 为一致( u n i f o r m ) 的 定义2 1 2 1 2 s 1 设q 是一个箭图，我们定义q 的路代数k q ：k q 是以q 的所有路作 为基构成的向量空间路p 1 ，化的乘法定义为： t l p l 纯， p 1 化= 【o ， 当亡( p 1 ) = d ( 仡) 时； 当t ( p x ) d ( 助) 时 箭图在代数表示论中起着非常重要的作用l 捌近年来，很多数学家开始借 助于箭图来研究代数结构，例如，c i b i l s 和r o s s o 用箭图来研究h o p 玳数与量子 群 3 0 , 3 1 】，同时还用来研究测度论和s t r i n g 理论 3 2 , a s 5 湖北大学硕士学位论文 设a = k q h ，q = ( q o ，q 1 ) 为代数人所对应的箭图我们用m o d a ( i n d a ) 表 示有限维左( 不可分解) 人模范畴若对任意维数n 0 ，存在有限个a 一忌纠一双 模尬，m 2 ，( 这些模作为左七模是自由的) ，使得任意n 维不可分解a 模都 可同构于某个尬。知ms ，这里s 为某个单而m 模，则称a 为t a m e 表示型若存在有 限生成人一k ( x ，) 一双模m ，m 作为右k ( x ，) 模是自由的，使得函子mo 知( 础) 一作 用在m o d k ( x ，y ) 至u m o d a 上保持不可分解同构性，则称人为w i l d 表示型若除此之 外，函子m 七霉，们一是完全的，则称人为严格w i l d 表示型阻一3 7 1 d r o z d 证明：一个有 限维基本( b a s i c ) k 一代数( 七为代数闭域) ，或是t a m e 的，或是w i l d 的，二者只居其一且 必居其一 本文主要研究极大t a m e 型系统箭图代数赴与极大w i l d 型系统箭图代 数l 的h o c h s c h i l d 上同调性质。 2 2 系统箭图代数 一个域k 上的线性时不变动力系统为映射组( g ，f 日) ，其中f ：驴_ 驴，g ：k m _ k n ，h ：驴_ 护均为k 线性映射线性时不变动力系 统= ( g ，e 嚣) 可以用微分方程组壁群= f x ( t ) + 魄( ) 和移( ) = h x ( t ) 表示，其 中x ( t ) k n ，u ( t ) k m ，u ( t ) k p 是向量型变量，g ，f ，日分别是几m ，n n ，p x n 阶 矩阵h a z e w i n k e l 首先注意到【2 5 1 每一线性时不变动力系统= ( g ，e 日) 恰好对 应于如下系统箭图q 的维数向量为m ，n ，p ) 的表示 o t 名一q 三 12 3 线性动力系统的等价类双射地对应于系统箭图的有限维表示的同构类，但注 意到系统箭图是所谓的w i l d 箭图，因而系统箭图的表示的分类问题是没有希望的 此后，李龙才等人吲运用覆盖理论、单点扩张、退化理论、稳定等价等经典的 代数表示论方法，对系统箭图所对应的三点代数的表示型进行了完全的分类，得 到了极大t a m e 型系统箭图代数与极d x w i l d 型系统箭图代数的列表， 设a = k q i 是系统箭图代数，在同构和对偶下a 为t a m e 表示型当且仅当j 对 应于表t ，a 为w i l d 表示型当且仅当，对应于表： 6 第二章 系统箭图代数 ( 1 ) 厶= ( 口2 ) ； ( 2 ) 2 = ( q 3 ，肛，p q 王，) ； ( 3 ) j 1 3 = ( 肛，q 2 王，肛口2 ，q 3 ) ； ( 4 ) 厶= ( 肛q ，q 2 z ，q 4 ) ； ( 5 ) 5 = ( q p q ，q 仇) ，( m 5 ) ( 1 ) = ( 0 1 3 ，p ，q 2 ) ； ( 2 ) 2 = ( q 3 ，q ) ； ( 3 ) 厶= ( q 3 ，p q 2 ，q 2 王，肛q ) ； ( 4 ) 厶= ( o t 4 ，p a 3 ，肛工，q 工，) ； ( 5 ) 5 = ( 口4 ，弘口2 ，a 2 弘口p ) ； ( 6 ) 6 = ( o g 5 ，胆2 ，肛，q ) 本文考虑极大t 锄e 型系统箭图代数与极小w i l d 型系统箭图代数，首先构造了 它们的极小投射双模分解，并由此清晰地计算了它们的各阶h 0 c h s c t l i l d 上同调群 的维数，从而对这类代数的上同调性质有更进一步的理解 7 湖北大学硕士学位论文 第三章极大t a m e 型系统箭图代数f l 勺h o c h s c h i l d 上同调群 3 1 极小投射双模分解 这一节我们将利用b a r d z e l l 的方法构造极小投射双模分解b a r d z e l l 对直向箭 图的零关系代数进行研究。通过道路的相伴序列构造集合a p ( n ) ，从而得到极小 投射双模分解【1 2 1 而本文的系统箭图q 含有循环圈，因此我们把道路按直向箭图 展开，从而利用b a r d z e l l 的方法构造了极大t a m e 型系统箭图代数几的投射模，进而 得到九的极小投射双模分解 设k 是域，q = ( 骗，q 1 ) 是一个箭图，其路代数为后q 设x ，y 是由一些路组成 的集合，记集合x y = ( 6 ，p ) xx y io ( b ) = d ( p ) ，t ( b ) = t ( p ) ) ，且记k ( x y ) 为 以集合x y 作为基的k 一向量空间在本文中，我们总假设路的合成采用从左到 右的顺序 在本文中，系统箭图q 的顶点集为q o = 1 ，2 ，3 ) ，箭向集为q 1 = p ，o t ， 由文献 2 7 1 知i 极大t a m e 型系统箭图代数凡= k q i i 所对应的理想1 1 = ( a 2 ) ，厶= ( q 3 ，p ，p q 王，) ，毛= ( p 扩，q 2 ，p q 2 ，q 3 ) ，4 = ( p q ，q 2 q 4 ) ，5 = ( q 王，肛q ，口m ) ，( m 5 ) 设鼠为气的一组k 一基，记e 1 ，e 2 ，e 3 分别为对应于顶点1 ，2 ，3 的本原幂等元，则 b 1 = e l ，e 2 ，e 3 ，p ，o t ，p ，a ，p q ，p q 正，) ，d i m k a l = 1 0 ； 岛= e 1 ，e 2 ，e 3 ，p ，o t ，正，p q ，o l i ，o t 2 ，# o z 2 ，0 1 2 ，p q 2 z ，) ，d i m k a 221 2 ； 玩= e l ，e 2 ，e 3 ，p ，q ，# o l ，q o t 2 ，脾王，) ，d i m k a a = 1 0 ； b 4 = e 1 ，e 2 ，e 3 ，p ，q ，1 ，p 王，o i l 2 ，乜2 ，o t 3 ) ，d i m k a 4 = 1 0 ； b 5 = e l ，e 2 ，e 3 ，肛，q ，p 正，a 2 ，q 3 ，q m 一1 ) ，d i m a a 5 = m + 5 下面我们来构造如的极小投射双模分解设越e 一_ q o po 知凡是a i 的包络代数， 记o ：= o 七，设砭：= l ia i o ( p ) ot ) 凡，其中a 只) 的构造【1 2 】如下：a p t ( 0 ) = e l ，e 2 ，e 3 ，a 只( 1 ) = p ，o t ，) ， 对于a 1 ，a r ) = q n ) 2 ) 对于a 2 ，a b ( 2 ) = q 3 ，肛王，p q ) ，当n 3 时， 若n 为奇数，a p 2 ( n ) = q 擎) ， 若孔为偶数，a 岛( n ) = q 警) 8 第三章极大t a m e 型系统箭图代数的h o c h s c h i l d 上同调群 对于a 3 ，a b ( 2 ) = p o t 2 正，p a 2 ，o t 3 ，当n 3 时， 若n 为奇数，a p 3 ( n ) = 胆学王，p q 学，q 学王，a ￥) ， 若n 为偶数，a p 3 ( n ) = 胆下3 n - - 4 ，肛q 学，q 擎，q 警) 对于a 4 ，a p 4 ( 2 ) = p a ，o t 2 q 4 】，当n 3 时， 若n 为奇数，a r ( 几) = p a 2 加2 ，p q 2 舻4 王，口2 俨1 ，0 1 2 2 正，) ， 若仡为偶数，a r ( n ) = 肛q 2 肛3 ，# o r 2 4 王，o t 加，o t 2 n _ 2 正，) 对于a 5 ，a p s ( 2 ) = 【肛q ，o t l s ，q m ) ，( m 5 ) ，当n 3 时， 若n 为奇数，a p s ( n ) = 胆学，脾学+ 1 ，q 学“，q 学z ，) ， 若n 为偶数，a p s ( n ) = p q 也产+ l ，胆迎笋，q 警，q 妲挚+ 1 王，) 对任意p n a 只( n ) ，定义s u b ( , p n ) = 矿- 1 a 只m 一1 ) ：矿_ 1 为矿的子路) 设仃为奇数，矿a r ( n ) ，则s 扎6 ( 矿) = 衍，赡- 1 ) ，其中计_ 1 a 只( 佗一i ) q = 1 ，2 ) ，且存在唯一的子路避和研使得矿有如下分解：矿= 衍- 1 避= 三；班n 这时矿“a p i ( n + 1 ) ，8 u b ( p n “) = 衍，赡，赡 ，其中p n + 1 = 易碍脚u = 1 ，s ) ，这里易和心为力相对于矿+ 1 的补子路 定义醴：砭一砭一1 如下： 磋( o ) ot ) ) = l ；q 亡) 一o ( p n ) o 磁， l ( 。扩1 ) 。古扩1 ) ) = 晚圆肌 i = l 则由文献【1 2 】即得赴在越上的极小投射双模分解： ( p ，) 一珞。垒群旦旦磋旦砰旦焉一0 3 2h o c h s c h i l d 上同调群 用函子日d m a e ( 一，凡) 作用于凡在人e 上的极小投射双模分解( ，扩) ，得到 ( 尸“，0 _ 孝至砰兰彬譬翌搿鱼磁。一， 9 湖北大学硕士学位论文 这里坟= h o m $ ( p i 。，a i ) 引理3 2 1 上同调复形( p “，6 + ) 笺( m “，7 “) ，其中鸠：= k ( b i a p i ( n ) ) ，且 对任意的( 6 ，p n ) 最a p i ( n ) ，当n 为奇数时， 帮( 6 ，p n 一1 ) = ( l ；6 ，p n ) 一( 6 硝，矿) ， 矿e a p l ( n )q n e a b ( ，| ) 其中6 b ，矿跑遍所有满足矿= l 2 p n 一1 的a 只( 仃) 中的路，矿跑遍所有满足矿= 矿- 1 避的a p i ( n ) r 扣的路 盘l ( 6 ，矿) = ( o j b 乒, j ，矿+ 1 ) ， 矿+ 1 e a p i ( n + i ) 其中矿+ 1 跑遍所有满足矿+ 1 = 岛矿心的4 只( 忍+ 1 ) 中的路 证明由于 群= h o m a $ ( p n ，屯) = h o m a ：( 气d ( p ) 。舌妇) 九，屯) p e a 只( n ) = i ih o m a ( a 。( p ) qt ) 凡，丸) 垡i i 。o ) 几t p ) ， 所以 露垒k ( b j a 只) ) 微分砰可由上述同构及极小投射双模分解( p ，) 中对应的映射得到证毕 由引理3 2 1 可以看出，要想算出r 的维数，只需算出向量空 间k ( b , a p , ( 孙) ) 的维数即可 i j l i 里3 2 2 设i 鼠舭只 ) i 为向量空间七( b i 胆只( 礼) ) 的维数，则 l 4 嚣= 0 ； i b , a p l ( n ) i = 6 扎= l ； 【2 亿2 i 5 礼= 0 ，2 ； i b 2 1 1 a p 2 ( n ) i = 9 肛1 ； 【3 n 3 1 0 第三章极大t a m e 型系统箭图代数的h o c h s c h i l d 上同调群 岛 b 4 | a p 3 淤r n = 0 ： 礼= 1 ； n 2 n = 0 ： n = 1 ，2 ； n 3 1 岛，肚酬= m + 2 n n = 掣0 2 ； 证明我们仅证明a 3 的情形，其它情形可类似地证明此时 b 3 a 昆( o ) = ( e 2 ，e 2 ) ，( q ，e 2 ) ，( q 2 ，e 2 ，) ，( e l ，e 1 ) ，( e 3 ，e 3 ) ， b 3 a 岛( 1 ) = ( p ，p ) ，( p q ，p ) ，( e 2 ，q ) ，( o t ，q ) ，( q 2 ，q ) ，( ，) ，( q 王，) ) ， b z a p z ( 2 ) = ( 肛q 工，p ) ，( p ，p q 2 ) ，( p q ，肛q 2 ) ，( v ，a 2 ) ，( q q 2 王，) ，( e 2 ，q 3 ) ，( q ，q 3 ) ，( q 2 ，q 3 ) ) ， 当n 3 ，且为奇数时 b 3 a p z ( n ) = ( 肛q z ，p q 学正，) ，( p ，p q 学) ，( p a ，p q 字) ，( 正，q 学王，) ， ( 叫q 学工，) ，( e 2 ，q 学) ，( q ，q 学) ，( a 2 ，q 学) ) ， 当礼4 ，且为偶数时 b z a p 3 ( n ) = ( p q z ，肛q 3 n z - - 4 j 、, ，( p ，p q 墅乒) ，( p q ，p q 墅乒) ，( q 墨要乒) ， ( q q 等产王，) ，( e l ，q 警) ，( q ，q 警) ，( 口2 ，q 警) ) ， 由此即得该引理证毕 我们将b j a p i ( n ) 中的基按上述证明中基出现的先后顺序定序，记微分在 这种定序基下的矩阵仍为呓，接下来我q , - 1 以求出矩阵的秩 引理3 2 3 设r a n k r * 为矩阵呓的秩，则 i ，3 n = 1 ； r a n k v * 1 = 1 佗2 且为偶数； l 0 7 1 , 3 且为奇数 ，iif1一，i-，1【 湖北大学硕上学位论文 r a n k r * 2 = r a n k r * 3 = r a n k r * 4 = r a n k r ：5 = 死= 1 ： n = 2 ： 死4 且为偶数； n 3 且为奇数 佗= l ： 死2 且为偶数； 佗3 且为奇数 死= 1 ： 佗= 2 ： 死4 且为偶数； 佗3 且为奇数 n = 1 ： 讫= 2 ： n 3 证明我们只证明a 3 的情形，其它情形类似可证 由于露皇后( 鼠a p i ( n ) ) ， 设入b 3 ，当竹= 1 时，由引理3 2 1 我们可以得到对应的映射：百3 ( a ，e 2 ) = ( p 入，p ) + ( q a ，q ) + ( 一a q ，q ) + ( 一a 王，正，) ，贯3 ( a ，e 1 ) = ( 一a p ，p ) ，霄3 ( a ，e 3 ) = ( z ，a ，工，) 可得矩阵贯3 有如下形式： 所以r a n k - r i - 3 = 3 100一l0 010o0 00000 00000 o000o 一1 000l o一1o0 0 当仡= 2 ，同样可得呓3 ( a ，卢) = ( 入，p 王，) + ( 入q 2 ，p q 2 ) ，呓3 ( a ，q ) = ( a q 王，q 2 ) + ( q a 王，o z 2 王，) + ( p 入q ，乒a 2 ) + ( p q 入，p q 2 ) + ( a q 2 ，o l 3 ) + ( q a a ，a 3 ) + ( q 2 a ，q 3 ) ，呓3 ( 入，王，) = 1 2 4 3 1 0 3 2 4 3 l 2 3 2 l 2 liji-、，j l 、 第三章 极大t a m e 型系统箭图代数的h o c h s c h i l d 上同调群 ( 从，p ) + ( q 2 a ，0 1 2 z ，) 则矩阵呓3 有如下形式： 所以r a n k r ；3 = 2 010 0 0 0l 0 o 0 0 0 0 0 0 0 20 o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 00 0 0 0 0 o o 0 0 0000 0 0 3 0 0 0 0 当n 3 ，且为奇数时，3 ( 入，p 口下3 n - - 5 ) = ( 一a 胆学王，) + ( 一入q ，肛q 学) ， 矗3 ( 入，q 学) = ( u a ，肛q 学) + ( q a ，口学王，) ，矗3 ( a ，q 墨等墨) = ( 砧，p q 学) + ( - a v ，q 学) + ( q 入，q 学) 十( - a a ，口学) 则矩阵吒3 有如下形式： 所以r a n k r * 3 = 4 当佗4 ，且为偶数时，3 ( a ，肛q 掌) = ( 入口王，胆擎工，) + ( , x a 2 ，肛口擎) ， 3 ( a ，q 学王，) = ( p q a ，p q t 3 n - - 4 王，) + ( q 2 入，q 擎王，) ，3 ( 入，q 学) ：( 砧肛口学正，) + ( p a 口，p q 助产) + ( p q a ，p q 曼塑尹) + ( a q 工，q 曼墨尹，) + ( q a 口皇= 呈王，) + ( a q 2 ，q 丁3 n ) + 1 3 c c c 0 a a a 0 o o l o o o o o o 1 o o o o o o l 0 0 o 0 0 o 0 0 o o 0 1 0 0 0 0 o 0 0 0 0 0 o o o o o o o o d d 3) 湖北大学硕士学位论文 ( q a0 f ，q 警) + ( q 2 入，q i 3 1 , 1 ) 则矩阵3 有如下形式： 01 0o 0 0 0 0 0 0 0 0 oo 0 0 0 0 00 0 2 0 0 02 0 0 0 0 0 3 10 0 0 0 0 0 o 0 0 0 0 o0 0 0 所以r a n k r 丢3 = 2 证毕 由前面的三个引理，我们可以得到下面的定理： 有 定理3 2 4 设赴= k q i i 为极大t a l n e 表示型系统箭图代数，则 d i m k h l ( a 1 ) d i m 七h o ( a 2 ) d i m k h n ( a 3 ) d i m 知h o ( 人5 ) = 2 ，d i m k h 竹( a 1 ) = l ( n 2 o rn = o ) ； = 1 ，d i m k h n ( a 2 ) = 2 1 ) ； = 2 ；d i m k h n ( a 4 ) = 3 ； = m + 1 ，d i m k h n ( a 5 ) = m l ( n 1 ) ； 证明由j f p ( 凡) = k e r r ：i + l ，m 及击m r = d i m k e r r * i + l + d i m l m r 奢+ l ， d i m k h n ( 凡) = d i m k e r t , 善1 一d i m i m r * = d i m p * 一d i m l m r * 一击m j m 车1 = i b i a p i ( n ) l r a n k v ：一r n n 后矗车1 ， 由引理3 2 2 及引理3 2 3 ，直接代入计算即可得证。证毕 1 4 1 o 0 o 0 o o 0 0 o o o 0 0 o 0 第四章 极d 、w i l d 型系统箭图代数的h o c h s c h i l d 上同调群 第四章极d 、w i l d 型系统箭图代数的h o c h s c h i l d 上同调群 4 1 极小投射双模分解 这一节我们将利用b a r d z e l l 的方法构造极小w i l d 型系统箭图代数r j 的投射模， 进而得到r f 的极小投射双模分解 由文献【2 7 】知，极d w i l d 型系统箭图代数d = k q i b 所对应的理想1 1 = ( q 3 ，l z v ，q 2 y ) ，1 2 = ( q 3 ，q 正，) ，厶= ( q 3 ，p q 2 ，( x 2 王，l 上a v ) ，厶= ( o t 4 ，p o e 3 ，乒正王，a v ) ， 1 5 = ：( q 4 ，p a 2 ，0 1 2 v ，p q z ，p ) ，6 = ( q 5 ，肛q 2 ，p 王，q 王，) 设。为r ，的一组k 一基，记e 1 ，e 2 ，e 3 分别为对应于顶点1 ，2 ，3 的本原幂等元，则 g = e l ，e 2 ，e 3 ，p ，q ，o l b ，p a ，0 1 2 ，p a y p a 2 ) ，d i m k f l = 1 1 ； c y 2 = e 1 ，e 2 ，e 3 ，p ，o l ，q ，肛正，o z 2 ，0 1 2 王， ，d i m k f 2 = 1 0 ； 岛= e l ，e 2 ，e 3 ，p ，q ，肛q ，q ，o t 2 ，p 王，) ，d i m k f 321 0 ； a = e 1 ，e 2 ，e 3 ，p ，q ，肛q ，肛q 2 ，q 2 ，q 3 ) ，d i m k f 4 = 1 0 ； 侥= e l ，e 2 ，e 3 ，p ，q ，p q ，q q 2 ，o z 3 ) ，d i m k f 5 = 1 0 ； g = e 1 ，e 2 ，e 3 ，p ，q ，