（基础数学专业论文）关于pi证明的若干注记以及逻辑公式的真度理论.pdf

关于p i 证明的若干注记以及逻辑公式的真度理论 秦晓燕 摘要归结原理是定理自动证明的重要工具归结的目的在于用归结原理 证明子句集s 不可满足p i 证明是谓词逻辑归结证明的一种重要类型，其中p 指关于谓词符号( p r e d i c a t es y m b 0 1 ) 的一种顺序，i 是指某一个特定的解释但 是在目前所见的许多文献中对p i 推理的定义还有一些不妥之处，没有确保其中 的每一步归结都是p i 归结本文给出了一种新的p i 推理的定义。弥补了这一缺 陷，并且对p i 归结的完备性定理证明所需要的引理给出了两种简化证明 关于区分命题逻辑中公式可靠程度的思想早在1 9 5 2 年就由r o s s e r 与t u r e - q u t t e 提出，多年来许多学者从不同的角度提出了确定这类公式真确程度的方法 建立了积分语义学之后，王国俊教授在经典的二值命题逻辑中建立了命题的真度 理论随后李骏基于相同思想给出了l u k a s i e w i c z 多值命题逻辑与标准序列逻辑 系统中公式的真度理论本文也提出了g s d e l 和k l e e n e 三值命题逻辑系统中命 题的一种真度理论以上各种真度理论都是在命题逻辑中给出的，对于谓词逻辑 而言，建立公式的真度理论要复杂得多本文首次在这方面作了讨论，在二值谓 词逻辑中，定义了公式的一种相对真度然后提出了公式的准真度理论，为二值 谓词逻辑中的近似推理理论提供了一种可能的逻辑框架 文章的主要内容如下： 第一部分：作为预备知识，给出了p i 冲撞的定义，d a v i s 与p u t n a m 规则， 以及一些相关概念然后指出了原有p i 推理定义的不妥之处，给出了修正后的 定义最后对p i 归结的完备性定理证明所需要的引理给出了两种简化证明 第二部分；基于均匀概率的思想，给出了g s d e l 和k l e e n e 三值命题逻辑系 统中公式的真度理论在g 3 系统中得出：真度为1 等价于公式为重盲式，但是 真度为0 并不等价于公式为矛盾式；在k 3 系统中虽然没有重言式和矛盾式，但 是真度值可以取到0 ，并且0 和1 都不是孤立点最后分别在两个系统中证明了 真度的广义m p 规则与广义h s 规则是成立的 第三部分。研究二值谓词逻辑中公式的真度首先提出了一阶语言的一类特 殊解释( 这类解释的论域都是非空有限的) ，然后在每个特殊解释中基于均匀概率 的思想定义了二值谓词逻辑中公式的相对真度紧接着，在相对真度的基础上提 出了公式的准真度定义，讨论了逻辑有效公式与真度为1 的公式，矛盾式与真度 为0 的公式之间的关系，按照公式的准真度对全体谓词公式进行了分类最后给 出了它的广义m p 规则与广义h s 规则 理提供了一种可能的逻辑框架 关键词：p i 归结；三值命题逻辑； i i 这样就为二值谓词逻辑中公式的近似推 谓词逻辑；相对真度；准真度 s o m en o t e sa b o u tp ip r o v i n ga n dt h e o r yo f t r u t hd e g r e e so f l o g i cf o r m u l a s q i nx i a o y a n a b s t r a c t ：r e s o l u t i o np r i n c i p l ei sa z li m p o r t a n tm e a n s o fa u t o m a t i cp r o v i n g o ft h e o r e m t h ep u r p o s eo ft h er e s o l v i n gi st op r o v ew i t hr e s o l u t i o np r i n c i p l et h a t t h es e to ft h ec l a u s e ssi su n s a t i s f i a b l e p ip r o v i n gi sa ni m p o r t a n tt y p eo fr e s o l u t i o n p r o v i n g i np r e d i c a t el o g i c ，w h e r epd e n o t e sa no r d e ro ft h ep r e d i c a t es y m b o l s ，a n di d e n o t e sas p e c i f i ci n t e r p r e t a t i o n b u t ，a st ot h ed e f i n i t i o no fp ir e a s o n i n g ，t h e r ea r e s o m ed e f e c t si nt h ep r e s e n td o c u m e n t s ，w h i c hc a n tg u a r a n t e et h a te v e r yr e s o l v i n gi s ap ir e s o l v i n g i nt h ep r e s e n tp a p e r ，an e wd e f i n i t i o no fp ir e a s o n i n gi sp r o p o s e di n o r d e rt om a k eu pf o rt h ed r a w b a c k ，a n dt w os i m p l i f i e dp r o o f so ft h e e m m an e e d e d i nt h ep r o o fo ft h ec o m p l e t e n e s so fp ir e s o l v i n ga r ep r o v i d e d e a r l yi n 1 9 5 2r o s s e ra n dt u r q u e t t ep r o p o s e dt h ei d e ao fd i s t i n g u i s h i n gr e l l a b i l i t i e so ff o r m u l a si nt h ep r o p o s i t i o n a ll o g i c ，a n dt h i si d e aw a sd i s c u s s e da n d d e v e l o p e db ym a n ys c h o l a r sf r o md i f f e r e n tp o i n t so fv i e w a f t e rt h ei n t e g r a t e d s e m a n t i ct h e o r y ，p r o f e s s o rw a n g g u o j u np r o p o s e dt h et h e o r yo ft r u t hd e g r e eo f f o r m u l a si nt w o - v a l u e dp r o p o s i t i o n a ll o g i c l a t e r ，b a s e do nt h es a m e i d e a l ij u ng a v e t h et h e o r yo ft r u t hd e g r e e so ff o r m u l a si nm a n y - v a l u e dl u k a s i e w i c zp r o p o s i t i o n a l l o g i ca n dc a n o n i c a ls e q u e n c el o g i cs y s t e m i nt h ep r e s e n tp a p e r ，w ep r o p o s eak i n d o ft h e o r yo ft r u t hd e g r e e so ff o r m u l a si n3 - v a l u e dg s d e la n dk l e e n ep r o p o s i t i o n a l l o g i cs y s t e m t h ea b o v ea l lt h et h e o r yo ft r u t hd e g r e e so ff o r m u l a sa r ep r o p o s e di n p r o p o s i t i o n a ll o g i c a st op r e d i c a t el o g i c i ti sm u c hm o r ec o m p l e xt of i n dat h e o r y o ft r u t hd e g r e e so ff o r m u l a s t h ep a p e rf i r s tc o n s i d e r si ti nt h i sf i e l d i nt w o - v a l u e d p r e d i c a t el o g i c ，w ed e f i n eak i n do fr e l a t i v et r u t hd e g r e e so ff o r m u l a s ，t h e np r o p o s e t h et h e o r yo fq u a s i t r u t hd e g r e e so ff o r m u l a s ，t h u sak i n do f p o s s i b l el o g i cf r a m ei s p r o v i d e df o rt h et h e o r yo fa p p r o x i m a t er e a s o n i n gi nt w o v a l u e dp r e d i c a t el o g i c t h em a i nc o n t e n to ft h ep a p e rr u n sa sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，a sp r e p a r a t o r yk n o w l e d g e ，t h ep a p e rg i v e st h ec o n c e p to f p ic l a s h ，t h ed a v i sa n dp u t n a m r u l e ，a n ds o m ec o r r e l a t i v en o t i o n s t h e nw ep o i n t o u tt h ed e f e c t si nt h eo r i g i n a ld e f i n i t i o no fp ir e a s o n i n g ，a n dg i v et h er e v i s e do n e a tl a s t ，w eg i v et w o s i m p l i f i e dp r o o f f o rt h en e c e s s a r yl e m m ai no r d e r 幻p r o v et h e c o m p l e t e n e s st h e o r e mo fp ir e s o l v i n g i i i i nt h es e e o u dc h a p t e r ，b a s e do nt h ei d e ao fe v e n l yd i s t r i b u t e dp r o b a b i l i t y ，w e p r o p o s et h et h e o r yo ft h et r u t hd e g r e e so ff o r m u l a sr e s p e c t i v e l yi n 3 - v a l u e dg 5 d e l a n dk l e e n ep r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e m s m o r e o v e r ，w ep r o v et h a tt h et r u t hd e g r e e b e i n g1i se q u i v a l e n tt ot h et a u t o l o g y a n dt h et r u t hd e g r e eb e i n g0i s n te q u i v a l e n t t ot h ec o n t r a d i c t i o ni ng 3 。a n dt h e r ee x i s t s af o r m u l aw h o s et r u t hd e g r e ei s0 t h o u g ht h e r ei sn ot a u t o l o g ya n dc o n t r a d i c t i o ni nk 3 ，f u r t h e r m o r e0a n d1 a r e n t i s o l a t e dp o i n t s a tl a s t ，w ep r o v et h a tt h eg e n e r a l i z e dm pr u l ea n dh sr u l eo ft h e t r u t hd e g r e eh o l dr e s p e c t i v e l yi nt h et w os y s t e m s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h et r u t hd e g r e e so ff o r m u l a si nc l a s s i c a l p r e d i c a t el o g i cs y s t e m f i r s t l yw ep u tf o r w a r dac l a s so fs p e c i a li n t e r p r e t a t i o n s o ff i r s to r d e rl a n g u a g e ，w h o s ed o m a i n sa r ea l l n o n e m p t ya n df i n i t e t h e n ，b a s e d o nt h ei d e ao fe v e n l yd i s t r i b u t e dp r o b a b i l i t y , w ed e f i n ear e l a t i v et r u t hd e g r e e so f f o r m u l a si nt w o v a l u e dp r e d i c a t el o g i ci ne v e r y s p e c i a li n t e r p r e t a t i o n ，a n dt h eq u a s i t r u t hd e g r e e so ff o r m u l a sc o m eo nt o po ft h er e l a t i v eo n e m o r e o v e rw ed i s c u s st h e r e l a t i o nb e t w e e nt h et r u t hd e g r e eb e i n g1a n dl o g i c a l l ye f f i c i e n t f o r m u l a ，a n dt h e t r u t hd e g r e eb e i n g0a n dc o n t r a d i c t i o n t h e nw e c l a s s i f ya l lt h ep r e d i c a t ef o r m u l a s a c c o r d i n gt ot h eq u a s i t r u t hd e g r e e s a tl a s tw eg i v et h eg e n e r a l i z e dm pr u l ea n d h sr u l e t h u sak i n do fp o s s i b l el o g i cf r a m ef o ra p p r o x i m a t e r e a s o n i n go ff o r m u l a s i nt w o v a l u e dp r e d i c a t el o g i ci s p r o v i d e d k e y w o r d s ：p ir e s o l v i n g ；3 - v a l u e dp r o p o s i t i o n a ll o g i c ；p r e d i c a t el o g i c ；r e l a t i v et r u t hd e g r e e ；q u a s i t r u t hd e g r e e i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容步 ，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：盔塑叁垫日期：业! ! ：生 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；f i - 权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：壅蓝壑日期；型：竺 日吕 归结原理是由j a r o b i n s o n 于1 9 6 5 年提出的，它提供了证明予句集s 不 可满足的一种有效方法，是定理自动证明的重要工具【l 】虽然它有计算量大的缺 点，但其形式化的方法仍在运用】归结证明就是用归结原理证明予句集s 不 可满足p i 证明是谓词逻辑归结证明的一种重要类型，其中p 指关于谓词符号 ( p r e d i c a t es y m b o l l 的一种顺序，i 是指某一个特定的解释但是在目前所见的许 多文献中( 比如，文献【4 ，5 】) ，对p i 推理的定义均有一些不妥之处，其问题在于没 有确保p i 推理中的每一步归结都是p i 归结在本文第一章中，给出了一种新的 p i 推理的定义，弥补了这一缺陷，并且对p i 归结的完备性定理证明所需要的引 理给出了两种简化证明 z a d e h 于1 9 7 3 年在文献 6 】首次提出了模糊集思想的近似推理理论，正如 d u b o i s 等人在文献 7 】中所指出的，z a d e h 的方法不同于人工智能领域所倡导 的方法：人工智能学科强调符号操作，它扎根于逻辑之中，以语构的形式展开自 动推理而根本不看重数值计算但基于模糊集的方法自然是离不开数值计算的， z a d e h 的方法在于将二者相结合2 0 世纪7 0 年代末，p a v e ! k a 开创了将模糊 集思想融于严格的逻辑演算之先河 8 】只是他并未继续展开对诸如f u z z ym o d u s p o n e n s 等模糊推理的研究p a v e l k a 的研究受到了广泛的关注 9 - 1 s 1 ，近年来已有 大量的基于模糊集的数值计算并兼顾逻辑演算的文章发表 1 6 - - 1 8 】其实，近似推理 并不一定要与模糊集理论相联系比如，文献 1 9 】在二值逻辑的框架下提出了一 种基于相似度的近似推理理论文献 2 ) - 2 3 中所讨论的近似推理的主体部分也 不依赖于模糊集理论就命题逻辑而言，王国俊教授在连续值赋值域的情形下， 利用积分方法建立了公式的积分真度理论 1 2 , 2 1 】，随后又基于均匀概率的思想在二 值命题逻辑中提出了命题的真度理论1 2 4 接着，在文献【2 5 与【2 6 1 中李骏分别给 出了l u k a s i e w i c z1 1 一值命题逻辑和标准序列逻辑系统岛中的真度理论这样就有 了命题逻辑中公式真确程度的精确刻画，并且为近似推理提供了一种更为合理的 逻辑框架本文第二章基于同样的思想给出了g s d e l 与k l e e a e 三值命题逻辑系 统中的真度理论，从而为这两个系统中的近似推理提供了一种可能的框架 经典二值命题逻辑，多值命题逻辑以及连续赋值域命题逻辑中命题的真度 理论都得到了较完善的发展，但是在谓词逻辑这一领域，关于公式真度问题的研 究要复杂得多，关键在于谓词逻辑中一阶语言解释的任意性使之超出了集合的范 围，因而在命题逻辑中的方法无法用于谓词逻辑那么能否在某种“近似”的意义 l 下专门考虑论域有限的解释呢? 答案是否定的h i l b e r t 曾经举出如下公式a + ( 了z ) 尸扛，z ) v ( | z ) ( 刍掣) ( | z ) ( p o ，y ) ap ( y ，名) - 1 p ，z ) ) v ( j z ) ( v ) _ 1 p 扫，z ) 公式a 虽然在任意有限解释下都是真公式，但是在无限解释下却不一定是真公 式( 参看文献 2 7 】) 从而这个公式并不是逻辑有效公式不过，如果对于任意有 限解释，公式都是真公式，那么这个公式显然也是一个相当好的公式本文在第 三章首先提出了一阶语言的论域为非空有限集的一类特殊解释，以有限的均匀分 布概率空间的可数无穷乘积为工具引入了谓词公式的相对真度概念，然后在此基 础上提出了谓词公式的准真度理论，证明了相关性质，给出了m p 规则与h s 规 则，并对全体谓诃公式之集按照公式的准真度进行了分类 2 第一章关于p i 证明的若干注记 归结原理是由j a r o b i n s o n 于1 9 6 5 年提出来的【1 i 它是一种从子句集s 出 发逐步制作出新的所谓归结式来，最终导致矛盾式的出现以完成证明的方法p i 证明是归结证明的一种重要类型，这里的p 是指谓词符号( p r e d i c a t es y m b 0 1 ) 的 一种顺序，i 是指一个特定的解释但是在目前所见的许多文献( 比如文献 4 ，5 ) 中对p i 推理的定义均有一些不妥之处，没有确保p i 推理中的每一步归结都是 p i 归结本章正是针对这一问题，给出了一种新的p i 推理的定义，弥补了这一 缺陷，并对p i 归结的完备性定理证明所需要的引理给出了两种简化证明 1 1 预备知识 定义1 1 1 2 s 一阶语言c 含有以下符号： ( i ) 变元符号；z l ，x 2 ，； ( i i ) 某些个体常元o f ； ( i i i ) 某些谓词符号a ? ； ( i v ) 某些函数符号卵； ( v ) 连接词：_ + 与，； ( v i ) 标点符号：( ，) ，； ( v i i ) 量词符号t v 定义1 1 2 1 2 8 设c 是一阶语言，则c 中的项( t e r m ) 定义如下 ( i ) 变元和中的个体常元是项 ( i i ) 设厅是中的n 元函数符号，t l ，t 。是项，则圩( t ( i i i ) c 中的项均由( i ) 与( i i ) 的方式生成，其全体之集记作丁 定义1 1 3 【2 8 1 设c 是一阶语言，雀是中的k 元谓词，t 1 ， 的项，则称带( 1 ，“) 为c 中的原子公式( a t o m i cf o r m u l a ) 又， 公式( w e l lf o r m e df o r m u l a ) 定义如下： ( i ) 原子公式是合式公式； t 。) 是项 ，如是c 中 中的合式 ( i i ) 如果a 与b 是合式公式，则、a ，a 叶b 与( 比) a 也都是合式公式； 3 ( i i i ) 合式公式均由( i ) 与( i i ) 的方式生成 合式公式也简称为公式以后将用，誓表示全体公式之集，显然，语言c 中的谓 词符号越多，c 中的公式也越多但它总是可数集在不必要明确c 时，我们 把，_ c 简写为芦又，恐中的公式也叫c 中的公式 定义1 1 4 2 8 】c 中的原子公式及其否定叫做文字( 1 i t e r a l s ) ，有限多个文字的 析取叫子句( c l a u s e s ) 。只含一个文字的子句叫单子句 定义1 1 5 1 2 s 】设a ，则a 可化为s k o l e m 标准形，其母式为一合取范式， 且各合取项不含相同变元每个合取项都是一个子句称这些子句之集s 为a 的 子句集 定义1 1 ，6 2 8 】设s 是有限子句集，h 是s 的h e r b r a n d 域 ( i ) 设p 是s 中的一个原子公式，把此公式中的变元用h 中的元素去代换， 所得不含变元的原子公式称为s 的一个基原子( g r o u n da t o m ) s 的基原子的全体 之集叫s 的h e r b r a n d 基( h e r b r a n db a s e ) ( i i ) 设c 是s 中的一个子句，把c 中变元用h 中的元素去代换，所得不含 变元的子句c 口qc 的一个基例( g r o u n di n s t a n c e ) ，如果把s 中谓词符号的解释仍 用该符号表示，则任取赋值“，u ( g ) 就是c 的基例g 也叫s 的基例 规则1 1 7 ( 重富式删去规则) p 8 将s 中的重言式删去后得子句( 基例) 集s 7 ， 则s 不可满足当且仅当不可满足 规则1 1 8 ( 单文字规则) 2 8 】设s 含有单子句的基例l ，从s 中删去含有l 的 基例，得一基例集则 ( i ) 若s = 矾则s 是可满足的 ( i i ) 若d ，从的各子旬中删去，三后得基例集s ”，则s 不可满足当 且仅当。不可满足 规则1 1 9 ( 纯文字规n ) e 2 8 】称子句集s 的某基例中出现的文字l 为纯文字， 如果一二不在s 的基例中出现删去s 中含有l 的基例得一基例集s 。设s 7 0 ， 则s 不可满足当且仅当不可满足 规则1 1 1 0 ( 分离规则) 设 s = a 1 v l ，a 。v l ，b 1v ，三，鼠v ，l ，r ， 4 这里l 与- ，l 都不在a 与b j 中出现( i = 1 ，m ；j = 1 ，) 设 & = t a l ，a 。，r ) ， 岛= b 1 ，r 一，玩，r ) ， 则s 不可满足当且仅当s - 与s 2 都不可满足 定义1 1 i i 2 s 1 设有子句集 f 1 j 一，) ，其中各予句中出现的谓词符号 的全体已经排好了顺序p i 是一个解释如果 ( i ) 丑不是关于解释i 的真公式( i = 1 ，m ) ( i i ) 把记为髓，由忍与蜀可以归结出r + i ( i = 1 ，m ) ( i i i ) 当由冠与毋归结出尼+ t 时，毋中被消文字中的谓词符号是且中各 谓词符号中序号最大者 ( i v ) 且时l 不是关于i 的真公式， 那么称 e l ，) 为关于p 与i 的语义冲撞( s e m a n t i cc l a s h ) ，简称p i 冲 撞，冠什1 叫 e l ，) 的p i 归结式又，称n 为核( n u c l e u s ) ，称毋为电 子( e l e c t r o n s ) ( i = 1 ，m ) 这种归结方式叫p i 归结 5 1 2 关于p i 证明的若干注记 定义1 2 1 设s 是子旬集，i 是一个解释，p 是s 中出现的谓词符号的一 个排序，s 的p i 推理是这样一种推理：推理中的归结全是p i 归结，p i 归结可 以用到s 中的子甸以及前面作p i 归结时所得出的p i 归结式。用p i 推理得出空 子旬口的过程叫s 的p i 证明 例1 2 2 设子句集s = p v q ，一pvq ，pv ，q ，一pv q ) ，i = p q ) ， 谓词符号的排序为q u ( b ) = 1 当且仅当1 u ( b ) ，即u ( b ) = 1 因此 t ( a - b ) = p ( v ex l l _ u ( b ) = 1 ) ) = 卢( ( v x l v ( b ) = 1 ) ) = 下( b ) 同理， t ( b _ a ) 7 - - p ( v x i v ( b ) v ( a ) = 1 ) ) = 肛( v x v ( b ) _ 1 = 1 ) ) ， 由命题2 1 9 ( i i ) ，v v q ，v ( b ) _ 1 = 1 因此 t ( b - - - + a ) = p ( v x i v ( b ) _ 1 = 1 ) ) = u ( x ) = 1 命题2 1 1 1 设a f p ) ， ( i ) a 是重言式当且仅当7 _ ( a ) = 1 ； ( i i ) 若a 是矛盾式，则t ( a ) = 0 但反之不成立 证明( i ) 设a 是重言式，则由式( 2 1 2 ) 知【a 】= x ，从而t ( a ) = 1 否则，若 a 不是重言式，a = a 仇l 】- 一，p i 。) ，则有u q 使v ( a ) 1 设钉涵。) = u 。( 南= 1 ，n ) 则有泓l 一，让。) 粤e ，这里e 由式( 2 1 3 ) 确定因为 1 ( t 址t ) ( 地n ) ) = ( 护 所以 1 ( 胁。# c t 。) ( e ) 1 一( 言) ” 】3 从而由式( 2 1 1 ) 及( 2 1 4 ) 知肛( 【川) 1 ，从而r ( a ) 1 ( i i ) 当a 是矛盾式的时候，根据定义2 1 5 ，显然有r ( a ) = 0 又，当r ( a ) = 0 时，a 不一定是矛盾式例如取公式 a = 扫- - 2 p ) a ( 2 妒_ p ) 我们可以验证： v v q ，v ( a ) = u ( ( p - - + 2 、p ) ( 2 、p p ) ) = ( u 0 ) - - + u ( 2 、p ) ) a ( v ( 2 - 、p ) - - 7u ( p ) ) 由命题2 1 4 知道， v ( 2 - 、p ) = 2 v ( - p ) a1 = 2 ( 1 一- ( p ) ) a 1 从而我们有： v ( a ) = u ( p ) _ 2 ( 1 一t j ) ) a 1 ) a ( 2 ( 1 一u 0 ) ) a 1 - u ) ) 1a u ( p ) ，0 s - ( p ) 2 ( 1 一u ( p ) ) a 1 u 扫) ，0s 1 ，v ( p ) 2 ( 1 一u ( p ) ) a 1 ，1 ) ，u ；0 或j 1 ， 0 ，u ( p ) = 1 这样，若我们取t ，n ，使得 ( p ) = ；，则u ( a ) = 0 从而，公式a 不是矛盾 式但是，由上面关于赋值的讨论，我们也有： r ( a ) = p ( v x i u q ，v ( a ) = 1 ) ) = 0 也就是说，公式a 虽然不是矛盾式，但是其真度为0 在二值命题逻辑中，v a f ( s ) ，r ( 一a ) = 1 7 - ( a ) 成立，但是在三值系统 中这个式子不成立然而我们可以证明在g 3 中有如下事实： 命题2 1 1 2 y a f ( s ) ，总有：r ( 2 - , a ) - - 7 1 一r ( a ) 证明由命题2 1 4 知： v a f ( s ) ，r ( 2 ，a ) = p ( v 。y f u q ，v ( 2 - 、a ) = 1 ) ) = p ( v x i q ，2 ( 1 一u ( a ) ) a1 = 1 ) = 肛( v x 1 q ，v ( a ) = i 1 或u ( 4 ) = 0 t ) = 1 一弘( v x i 口q ，v ( a ) = 1 ) ) = 1 7 - ( a ) 1 4 叫名蚴 在g 3 中，真度m p 规尉与t - i s 规贝h 及交推理规则都是成立的 命题2 l 1 3v a ，b ，g f ( s ) ，o z ，口【0 ，1 1 ( i ) 若，( 4 ) a ，丁( a b ) 卢，则7 _ ( b ) a + _ 臼一1 ； ( i i ) 若t ( a b ) a ，丁( b g ) 芝卢，贝0 丁( a c ) a + 卢一1 ； ( i i i ) 若_ r ( a b ) a ，下( a g ) 卢，贝0f ( a 一口 c ) o t + p 一1 在证明命题2 1 1 3 之前，我们首先给出一个引理， 引理2 1 1 4 v a ，b ，c l = t o ， ，1 ，一b c = 0 _ b ) ( o _ c ) 证明容易验证： ( 口叶a ( o _ c ) f1 ，n 6 ac ， 1 a b c ，q ( 6 ac 加vc ) 【6 c ，也6 v c ， j1 ，6ac ， i6 c ，o b c o _ b ac 命题2 1 1 3 的证明( i ) 和( i i ) 的证明与( i i i ) 相似，我们只证( i i i ) 令 k = v xj q ，v ( a b ) = 1 ) ， 蚝= v x l u q ，v ( a _ c ) = 1 ) ， 则7 _ - + b ) = p ( m ) ，7 ，- + g ) ；p ( k ) 显然有 1 p ( m u k ) = 肛( m ) + 卢( y 2 ) 一p ( h n k ) 从而 肛( mny 2 ) “( m ) + 肛( 托) 一1 a + 卢一1 令y = v x f q ，v ( a - - i b a a ) = 1 ，则丁似- b a e ) = 卢