（应用数学专业论文）一致cantor集的minkowski容度.pdf

硕士学位论文 m a s 下e r st h e s i s 摘要 对于i t 中一些集合的m i n k o w s k i 维数，已经得到了一些令人满意的结 果，但是对于与此密切相关的m i n k o w s k i 容度，所得到的结果还相当的不完 善一个集合的m i n k o w s k i 容度在什么情况下是正有限数、什么情况下是0 或+ o 。，这常常是人们关心或感兴趣的问题特别地，l a p i d u s 在研究关于 分形鼓的w e y l b e r r y 猜想时，把有关的l a p l a c e 方程特征值个数的估计问题 变成了计算其分形边界的m i n k o w s k i 容度的问题，对有关集合的m i n k o w s k i 容度的研究就成了不可忽视的工作，这对研究w e y l - b e r r y 猜想具有非常重 要的作用和意义而且l a p i d u s 还解决了直线r 上一类紧子集的m i n k o w s k i 可测性，对礼= 1 的情形证明了修正w e y l b e r r y 猜想的正确性，并且与谱几 何、分形几何和r i e m a n n 函数之间建立了不可思议的联系，并说明了三分 c a n t o r 集不是m i n k o w s k i 可测的华中师范大学的陈世荣副教授系统地研究 了区闻【0 ，1 】内的可数点集，确定了这类集合的m i n k o w s k i 维数以及它们的 m i n k o w s k i 容度 在本文，我们研究了一致c a n t o r 集，给出了它的一些基本性质，并具体的计 算出了它的h a u s d o r f f 测度以及上m i n k o w s k i 容度m + ( d ，f ) 和下m i n k o w s k i 容度坛p ，f ) 即：m 4 ( d ，f ) 2 而j 高譬打而和尬( d ，f ) 2 烈1 而2 d ) 1 一。 从而推出一致c a n t o r 集的m i n k o w s k i 容度是不存在的，用一种新的方法解决 了它不是m i n k o w s k i 可测的 关键词：m i n k o w s k i 可测；m i n k o w s k i 容度；一致c a n t o r 集 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t n o ws o m eg o o dr e s u l t sh a v eb e e no b t a l n e df o rt h em i n k o w s k id i m e n s i o n o fs o m es e t si na n b u ts o m er e s u l t so ft h em i n k o w s k ic o n t e n t so ft h es e t s a r en o tv e r yp e r f e c t t h em i n k o w s k ic o n t e n t so ft h es e t sm a yb ei n f i n i t eo rf i - n i t e ( p o s s i b l yz e r o ) ，w h i c hi sc o n c e r n e db ym a n ys c h o l a r s ，e s p e c i a l l y , l a p i d u s t r a n s f o r m e dt h ep r o b l e mo fe s t i m a t i n ge i g e n v a l u en u m b e r so ft h el a p l a c e s e q u a t i o ni n t ot h ep r o b l e mo fc a l c u l a t i n gt h em i n k o w s k ic o n t e n to nt h ef r a c t m b o u n d a r i e s ，w h e nh es t u d i e dt h ew e y l b e r r yc o n j e c t u r eo f t h ef r a c t a ld r u m i t i sv e r yi m p o r t a n tt os t u d yt h em i n k o w s k ic o n t e n t so fs o n i cs e t s ，e s p e c i a l l yf o r t h er e s e a r c ho ft h ew e y l - b e r r yc o n j e c t u r e l a p i d u sh a dp r o v e dt h em i n k o w s k i m e a s u r a b i l i t yo fs o m ec o m p a c ts u b s e t si nr a n dp r o v e dt h em o d i f i e d v e y l - b e r r yc o n j e c t u r ei nt h ec a s en = 1 m o r e o v e r ，h ee s t a b l i s h e d ，i nt h ep r o c e s s ， s o m eu n e x p e c t e da n di n t r i g u i n gc o n n e c t i o n sb e t w e e ns p e c t r a lg e o m e t r y ，f r a c t a l g e o m e t r ya n dt h er i e m a n nz e t af u n c t i o n a tt h es a m et i m et h i si si nc o n t r a s t t o7 e x c e p t i o n a l ”c a s e sw h i c hh a p p e nt oi n c l u d et h eu s u a lm i d d l et h i r dc a n t o ts e t s h o w nb yl a p i d u sa n dp o m e r a n c en o tt ob em i n k o w s k im e a s u r a b l e a s s o c i a t ep r o f e s s o rs h i r o n gc h e ni nc c n ua l s os t u d i e dt h ec o u n t a b l es e t si n t h ei n t e r v a lf 0 ，1 a n do b t a i ni t sm i n k o w s k ic o n t e n ta n dd i m e n s i o n ， i nt h ep a p e rw es t u d yt h eu n i f o r mc a n t o rs e t s w ef i r s t l yg i v es o m e p r o p e r t i e so fm i n k o w s k ic o n t e n ta n dc a l c u l a t ei t sh a u s d o r f fm e a s u r ea n du p - p e ra n dl o w e rm i n k o w s k ic 。n t e n t s t h a t i s ，m + ( d ，f ) 2 丽r e 云( 1 看- c 萨万和 尬( d ，f ) = 古( 考) 1 。d t h u sw ee a s i l yo b t a i nt h a t t h em i n k o w s k ic o n t e n t o ft h eu n i f o r mc a n t o rs e t sd o e sn o te x i s t t h e r e f o r ew eo b t a i nt h a ti t i sn o t m i n k o w s k im e a s u r a b l eb yan e wm e t h o d k e yw o r d s ：m i n k o w s k im e a s u r a b l e ；u n i f o r mc a n t o rs e t ；m i n k o w s k i c o n t e n t i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 祷锌 日期：2 0 畦年s 月2 s 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 作者签名：替锌导师签名：澎 日期：2 0 0 s 年j 月2 f 日 日期：口) 。年厂月l 1 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本 人的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章 程，中的规定享受相关权益。回童迨塞握童后进卮；堕篁生；旦二生；旦三生 筮查! 作者签名：蒋锋 作者签名：褥晖 日期：】o 髀孓1 月2 j 日嚣乏噬籀 日期：代年月 自 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 引言 自然界中出现的诸如云层边界、山脉的轮廓、雪花、海岸等等“不规则” 的几何形体，都难以用经典几何中的直线、光滑曲线、光滑曲面来描述，而这 些不规则的集合往往能够提供许多自然现象的更好描述2 0 世纪8 0 年代由 b b m a n d e l b r o t 所创立的分形几何提供了研究这类不规则几何对象的思想、 方法和技巧特别近年来，这一学科在数学、物理、化学、生物、医学、地质 等学科获得巨大成功同时，不同学科中提出的大量问题刺激了分形几何的深 入发展 在1 9 1 0 年，德国数学家f h a u s d o r f f 开始了奇异集合性质与量的研究， 提出分数维概念1 9 2 8 年g b o u l i g a n d 将m i n k o w s k i 容度应用于非整数维， 由此能将螺线作很好的分类1 9 8 2 年，m a n d e l b r o t 的新著一自然界的分 形几何，将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它 比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等 为避免这一缺陷，c t r i c o t 引入了填充维数随之，在理论研究上，各种分 形维数的理论计算、估计、分形重构( 即求一动力系统，使其吸引集为给定分 形集) 、j 集和m 集及其推广形式的性质和动力学特征成为数学工作者们十 分活跃的研究领域，而多重分形理论的完善以及如何用这些理论来解决实际 问题也引起科学家们广泛的兴趣近年分形理论应用的发展远远超过了理论 的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求，对m i n k o w s k i 容度 的研究，就对研究w e y l b e r r y 猜想具有重要的作用和意义 首先b r o s s a r d 和c a r m o n a 在【1 中通过反例已基本上说明了w e y l b e r r y 猜想的最初形式是错误的，并建议用m i n k o w s k i 维数代替h a u s d o r f f 维数来 研究鼓的边界问题从而l a p i d u s 在f 2 1 中利用m i n k o w s k i 维数修正了w e y l b e r r y 猜想( m w b ) ，即：如果n 是具有m i n k o w s k i 维数d m 一1 ，n ) 的分 形边界r ，并且r 是m i n k o w s k i 可测的，那么当a - + 。时， n ( r ) = 妒( a ) 一靠d 订( d ；r ) a d 2 + o ( a d 2 ) 1 硕士学位论文 m a s t e r st 腿s l s 其中妒( a ) = 2 丌) ”玩f q 。a ”，2 ，口是仅依赖于n ，d 的正常数从而把有关 的l a p l a c e 方程特征值个数的估计问题变成了计算其分形边界的m i n k o w s k i 容度的问题在f 2 】中，l a p i d u s 还利用m i n k o w s k i 维数建立了特征值的可数 函数的渐进性，解决了w e y l b e r r y 猜想的部分结果在d i r i c h l e t 和n e u m a n n 边界条件下，这些估计是合理的，并且可以推广到高阶椭圆算子上( 可能具有 非光滑系数) ，而且在【2 中给出的反例在m i n k o w s k i 维数下其估计是较精确 的 进一步地，在 3 ，4 】中，l a p i d u s 和p o m e r a n c e 证明了n = 1 的情形， 解决了直线上一类紧子集的m i n k o w s k i 可测性，并且与r i e m a n n ( 函数建立 了关系，这是很难预料的，也是让人感兴趣的特别地，对r 上一类集合的 m i n k o w s k i 可测性问题，f a l c o n e r 利用离散动力系统理论给出了一种简单的 证明方法其结论是：设j 是r 中有界闭区间， 厶 茫】是，的不交开子区 间，并且满足j 矗j j 厶+ ，和f ，f = i 厶f 定义紧集f = 八u 厶则对所有 k = l = 1 的0 1 时修正w e y l b e r r y 猜想不再成立，其中的反例进一步地表明了分形鼓的m i n k o w s k i 维数 和m i n k o w s k i 容度求解的重要性因而，对有关集合的m i n k o w s k i 容度的研 究就成了不可忽视的工作在 6 】中，l a p i d u s 在研究分形鼓，特别是对分形 带的研究，引入了一类合适的非幂函数的纲函数，并推广了m i n k o w s k i 容度 使问题得到了更为精确的估计 在国内，武汉大学的陈化教授首次证明了高维分形鼓的w e y l b e r r y 猜想 在m i n k o w s k i 框架下不再成立，并证明了弱形式下的w e y l - b e r r y 猜想，给出 了必要和充分条件，得到了一般分形鼓边界的m i n k o w s k i 维数是谱不变量， 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 还深入研究了谱渐近的第二项精确估计( 见【2 4 】) ，华中师范大学的陈世荣副教 授系统地研究了区间 0 ，1 内的可数点集，确定了这类集合的m i n k o w s k i 维 数以及它们的m i n k o w s k i 容度( 见f 2 3 1 ) 在本文中，我们首先给出了m i n k o w s k i 容度的一些基本性质，并给出了一 致c a n t o r 集的构造及其h a u s d o r f f 维数和测度；最后主要研究了一致c a n t o r 集的m i n k o w s k i 容度，并具体的计算出了它的上m i n k o w s k i 容度m + ( d ，f ) 和 下m i n k o w s k i 容度必( d ，f ) 即；m + ( d ，f ) = 焉= 高攀三婺f 面和眠( d ，f ) = 、 h m _ l o 击( 尝) 1 - d ，其中f 表示一致c a n t o r 集，d 表示其h a u s d o r f f 维数和m i n k o w s k i 维数，即d = 一鲁擘从而用一种新的方法显示了一致c a n t o r 集不是m i n k o w s k i 可测的，特别是三分c a n t o r 集不是m i n k o w s k i 可测的这也正好再次验证了 l a p i d u s 在【4 】中的结论然而，对于齐次c a n t o r 集( 见【2 1 ，2 2 】) 的上和下 m i n k o w s k i 容度的具体值日前还没有研究，这还有待进一步的研究和思索 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 记号和定义 首先，我们提出一些在本文中将要遇见的数学记号和定义。 设点集a 是n 维欧氏空间i p 中的子集，则称d i a m a = s u p d ( x ，y ) ： z ，y a ) 为点集4 的直径；当d i a ma 0 的闭球和开球分别为 b ( x ，r ) = 酣：d ( x ，y ) o ) b o ( z ，r ) = g r ，：d ( x ，y ) 0 ，对于f p 中的有限或可数子集族 阢) ( i = 1 ，2 ，) ，如果它满足下述两条性质：任一以的直径不超过j ，即d i a m 玩d ； 并且它们的并覆盖e ，即ecu u i ，则称 阢 为e 的一个5 一覆盖 ； 设0 曼s 0 按照方法i i ( 见1 16 】) 构造外测度 冗i ( e ) = i n f ( d i a m u i ) 5 ： 阢 垃t 为e 的j 一覆盖 i 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 这里的i n f 表示对e 的所有的6 取下确界当6 减少到0 时，w ；( e ) 是单调 非减的，从而当6 - - 4 0 时，它趋于一极限 花5 ( e ) 2d l i 。m o “；( e ) 这是个b o r e l 正则测度，我们称。( e ) 是e 的s 一维的h a u s d o r f f 测度 由此导出e 的h a u s d o r f f 维数的定义； d i m h e = i n f s ：咒8 ( e ) o ) = s u p s ：“5 ( e ) = o o ) = i n f s ：咒8 旧) = o 关于h a u s d o r f f 测度和维数的性质及其讨论可以详见【1 0 ，2 0 1 1 2 p a c k i n g 测度和维数 设e 础，则弥一族中心在e 内，半径最多为d 的有限或可数个互不 相交的球族 甄) ( i = 1 ，2 ，3 ，) 为e 的一个d 填充 对6 0 ，0 茎s 0 ，我们用记号e ( f ) 表示覆盖f 的直径d i a m ( f ) e 的闭球的最小个数 如果fcr ，则( f ) 表示覆盖f 的直径d i a m ( f ) e 的闭球的最小个 数 定义1 3 1 我们分别称 ( f ) = i i m s u p l o = g n i 五( f 一) e - - + o + ，( 1 1 ) 一i u s 和 卵h 酷笔警， ( 1 。) 为f 的上m i n k o w s k i 维数和下m i n k o w s k i 维数；如果a ( v ) = 6 ( f ) ，记此公 共值为d i m b f ，称为f 的m i n k o w s k i 雍数即 d i m 且f ：l i m l o g _ n e ( f _ ) ，( 1 3 ) e - + o + 一l o g e 定义1 3 2 设d 0 ，我们分别称 m + ( 。，f ) = 1 絮p 盟p n - d ， ( 1 4 ) h u t 6 硕士学位论文 m a s t b r st h e s i s 和 尬( d ) f ) - 1 恕粤 ( 1 5 ) 为f 的d 一维上m i n k o w s k i 容度和d 一维下m i n k o w s k i 容度 如果m + ( d ，f ) = 尬( d ，f ) ，记此公共值为m ( d ，f ) ，即 m ( d ，f ) _ 州l i m 盟p n - d 我们称之为f 的d 一维m i n k o w s k i 容度，如果0 m ( d ，f ) + o 。，则称集 合f 是m i n k o w s k i “可测的”( 或“可容的”) 由m i n k o w s k i 维数定义我们可以得到下面的性质 性质1 3 3 ( 1 ) l 妞他( f ) 矿= + 。，如果s ( f ) 证明( 1 ) 反证法假设 l i m i n f ，f f ) 8 = o 0 和序列 “ 女1 _ 0 使得 从而 于是有 腿女( f ) e k 5 “+ c o l o g 札 ( f ) l o g ( e o + o ) 一s l o g e k l o g _ n 一( f ) l o g = ( e 0 + 一a ) + s l o g e k l o g s k 7 ( 1 ( 1 6 ) 7 ) ( 1 8 ) 又由于a 0 e + o + 则存在e o 0 和序列 ) 垃l 叶0 使得 从而 于是 腿女( f ) 岛8 o e 0 l o g k 。( f ) l o g ( e o + o t ) 一s l o g c k l o g 肛。( f ) l o g 女 _ 二l o g ( 丽5 0 + a ) + s 又由于a 0 ，则在( 1 1 0 ) 式两端取上极限可得 s 1 i ms u p e _ 0 + l o g 。( f ) l o g k 8 冬a ( f ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 这与8 a ( r ) 相矛盾 因此 所以由( 1 1 1 ) 式可得 l i r as u p 札( f ) ，= o = 0 ( 1 1 1 ) 5 _ 十o + 躲腿( f ) 矿= 0 由m i n k o w s k i 容度的定义我们立刻可以看到下述性质是成立的 性质1 3 4 i ) 如果d ( f ) ，则m ( d ，f ) = o ； i i ) 如果f e ，贝4 对任意的d 0 ，有 i 矿( d ，f ) m 4 ( d ，e ) ，旭( d ，f ) 以( d ，e ) 口 由这个性质，我们只需对满足d 茎d 的d 研究且疋( d ，f ) 和 m + ( d ，f ) 就足够了特别，如果d i m b ( f ) 存在，即咿) = j ( f ) = d i m b ( f ) ， 则我们仅需研究m , ( d i m b ( f ) ，f ) 和m + ( d i m 口( f ) ，f ) 就够了 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 一致c a n t o r 集 2 1 一致c a n t o r 集的构造 设o 去和i o = 0 ，1 ，m 为大于或等于2 的正整数对任意k 1 ， 记女= “ 1 ，i 2 ，i k ) ：1 i j m ，1 j 女) 令= u k ，其中 b 三0 o 约定为空集若仃= ( c r l ，( 7 2 ，o k ) ，7 _ = ( 7 - 1 ，t 2 ，t r n ) m ，记 口十r = ( 口l ，0 - 2 ，一，巩，q ，7 - 2 ，) 设，= l ：o - ) 是j 的闭子区间 族，它满足： ( i ) 如= i o ； ( i i ) 对任意七1 ，盯- 1 ，厶“( 1 i m ) 是厶的闭子区间，记其从 左到右的排列为k t ，珐，l + 。，任意两个相邻的闭子区问的间隔长度相 等，记此间隔长度是弧，并且+ ，的左端点与的左端点重合，厶，。的右 端点与厶的右端点重合； ( i 扰) 对任意k 1 ，口七一l ，l j m ) 有赞= f 记咒( f ) = u 厶，称紧集f ( f ) = nf k ( f ) 为由m ，确定的一致c a n t o r a e z k 三u 集，称氕( ) = l ：盯b ) 为f 的阶基本区间 也就是说，在如中间挖掉( m 一1 ) 个长度均为原区间长度的生m - 丛1 倍 的开区间，记剩下的m 个长度为的闭区问依次为 ，1 ( f ) ，厶，。( f ) ，且 使得最左边闭区间的左端点与厶的左端点重合，最右边闭区间的右端点与 矗的右端点重合，然后在每个闭区间五，l ( ) ，五，。中间分别挖掉( m 一1 ) 个长度均为原区间长度的i 筹倍的开区间，记剩下的m 2 个长度为2 的 闭区间依次为是，- ( 0 ，五，2 ( ) ，1 2 ：f 1 $ 2 ( ) 如此继续下去，在第n 步我们 就能够得到m 8 个长度为p 的闭区间厶( f ) ，j = 1 ，2 ，一，m “这里，如果 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 我们记f 0 = 厶，日( ) = ，- ( ) u 五，：( ) ，r ( ) = u _ 厶，j ( ) ，则有 j 一1 f ( ) = nf n ( ) 闭子区间厶，j ( ) ，j = 1 ，2 ，m “也就是一致c a n t o r 集 n = l f ( ) 的第礼级= 1 ，2 ，) 基本区间 注：m = 2 ，f ( ：) ，n n ，通常称为扎分c a n t o r 集，特别，当m = 2 时， f ( ) 就是我们熟知的三分c a n t o r 集( 如图1 ) 图1 三分c a n t o r 集f ( ) 2 2 一致c a n t o r 集的性质 则 马( ) 一一易( f ) 引理2 2 1 如果集合e c r “且d i m h e 1 ，则e 是全不连通的 证明设z ，y 是e 中不同的两点，定义映射 f ：r ，_ o ，+ o o 】，f ( z ) = l z z | ，( z ) 一，( 伽) l f z w 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 从而由h a u s d o r f f 维数的l i p s c h i t z 不变性可以得到 d i m u f ( e ) d i m h e 1 于是f ( e ) 为r 中1 一维h a u s d o r f f 测度或长度为0 的子集，故而有稠密 余集选取r 使r 隹f ( e ) 且0 r n ，使得 f ( o l x 。，+ l + ( 1 0 1 ) x 。) n l n ，使得 ( 0 2 x 。：+ l + ( 1 0 2 ) x 。) n 2 n l n ，使得 因此 所以 f ( o 女x 。+ l + ( 1 一o k ) x 。) g ( 钆) + 1 。l i m + 。：( 0 k 。n * + 1 + ( 1 一a k ) x n e ) = 一。2 。 l i n l i n f ，( z ) = a z - 十0 + 。、 i i ) 设一o o 0 , 0 0 ，v j 0 ，| 。o ( 0 ，1 ) ：0 x o d 使得 ，( 。o ) a g o 1 4 硕士学位论文 m a s 髓r st h e s i s 特别地，取矗= m i n ，y k 一1 ) ，| 鲰( 0 ，1 ) ：0 n ，使得 i ( o l z , 。+ l + ( 1 0 1 ) x 。) g ( 0 1 ) 一e 对如，有礼2 礼1 n ，使得 ，( 0 2 x n 2 + l + ( 1 0 2 ) x 。：) g ( 0 2 ) 一e 如此下去，则对靠，有 扎 凡2 礼l n ，使得 f ( o k x 。+ l + ( 1 6 k ) z 。k ) g ( o k ) 一 由于y k = o k x n k + l + ( 1 一以) 。t ，贝4n g o g ( 以) 一e 取e = ；因此 。一i 1 印 9 ( 口) i n f 9 ( 口) ：口( o ，1 】 o 一互印 9 【巩) 2 9 【即：口( 0 11 j 这是矛盾的，故而1 ) 成立 2 ) 由于a = i n f 9 ( 0 ) ：日( 0 ，1 m 我们有v 日，g ( e ) a 和魄 0 ，3 0 0 ，使 得 g ( 0 0 1 a + 特别地，取e = 两1 ，( 女一2 ，3 ，- ) ，j0 k 使得。一开1 礼2 n 1 n ，对0 k ，使得 。一去 9 ( 巩) 一六 y ( o k x n l , + l + ( 1 一靠) ) 9 ( 以) + 六 。+ 刍 令y k = o k x 。+ l + ( 1 一o k ) x 。 ，贝0o 一击 扎2 n l ，使得 因此 所以 f ( o k x 。+ 1 + ( 1 一o k ) x 。 ) g ( a k ) 一1 1 i mf ( e k x n k + 1 + ( 1 一e k ) x 。) = + = b r - - 4 , + 。o l i ms u p ，( z ) = b z + o + i i l 设一o o 0 , 0 z 0 ，j z o ( 0 ，1 ) ：0 x 0 6 使得 ，( 。o ) b + e o 特别地，取如= m i n ，y k 1 ) ，刁玑( o ，1 ) ：0 n 女 n 2 扎1 n ，使得 f ( e k x 。+ l + ( 1 一p ) z 。k ) 9 ( 6 k ) + e 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由于y k = 如马；4 + 1 + ( 1 一o k ) x 。，贝b 十e o b 一 特别地，取= 开1 ，( 七= 2 ，3 ，) ，j 靠使得b + 六 g ) b 一两1 于是3 n , 取 凡女 礼2 扎1 n ，对以，使得 6 + 去 9 ( o k ) - 嘉【 f ( o k x n k + l + ( 1 一以) z 。) 9 ( 以) 一面1 玎 6 一去 令y k = 巩z n 。十1 + ( 1 一巩) z 。，则b + 嘉 f ( y k ) b 一击 因此 引理3 1 2 设 女+ l i m + 。f ( y k ) = 郎，= 箸f 如果t 1 ，m 2 ，则 0 0 ， 于是 h ( t ) = m 。一( m 一1 ) t 一1 0 ， 即 因而 所以 即 t ( m 一1 ) m 一1 ，( t 一1 ) ( 1 一m ) m 一m 鲋h ：智 掣卜， t ( m 一1 ) ( 1 一t ) ( 1 一m ) 】一( m 。一1 ) ( m 。一m ) 一1 2 1 万丽丽= 习了一 0 0 g ( t 1 1 3 2 主要结果 定理3 , 2 1 设f 为一致c a n t o r 集，则 1 8 口 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 和 m + ( d ，f ) = 竺! ! 二璺 ( m 一1 ) 1 - r “c 1 。d 尬( d ，f ) = - ( 1 而2 d ) 1 _ d ( 3 3 ) ( 3 4 ) 其中d = 一锻为一致c a n t o r 集的m i n k o w s k i 维数 证明考虑一致c a n t o r 集f ( f ) 的p 平行体 b ( ) = z r ：lz yj p ，y f ) ，( 3 5 ) 用iai 表示acr 的l e b e s g u e 测度定义 = 1 。 ，n + l 而1 - m 4 事1n 警) 舻0 】l ，。， ( 3 。) 则当p j o = 眺岩1 ，1 2 署) 时 m 一 m l ，1 o b ( f ) l = m + 2 m p = m 幢+ 2 p ) 当p = 陲2 丝m - - i ，署) 时 日( ) i _ m 2 2 + 2 m 2 p = m 2 ( 2 + 2 p ) 般地，当p 以= ；。+ 1 丢筹，；p l m - 篮i ) 时， 即 则 日( ) 净m 1 ( 1 + 2 p ) 三4 k + 1 2 警m1 p 兰2 一箸1一“、m 一 ( 3 7 ) 易( ) i = m 1 ( 亭+ 2 p ) ( 3 8 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 同时，p 可以写成 p = ( 1 一p ) 护+ 1 丝m , - - 14 - e e 。晋，0 目 1 ， = ；p 等睦+ ( 1 一) 明 则由( 3 8 ) 和( 3 9 ) 有 i 马( ) i = 扩1 矿阱箸+ 警( 1 一f ) 卅 和 ! 墨f i u 一 竺! ! 二2竺! ! ! ! 二竺盟 p 1 4 i m e ( m 一1 、i 。t s l1 m 一- m 1 j 1 1 一d 胯+ ( 1 一f ) 刎1 一幽m e 为此我们引进函数 首先， ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 朋，2 蔷篙器，唧n 慨 加) 2 燕“， m ，2 者蒿蔫q 对f ( e ) 求导数 八仆坠业蔫等鬻逖型 + 塑篱- i - 等篱幽畦( 1 一) 刎2 + 谱 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 令，( p ) = 0 ，即 ( 1 - m ) f m ( 1 + l l o 。g g m ，) ( 、1 一毒) + ( 1 一m ) ( 1 一) 一( 1 一m ) ( 1 + l 1 0 0 9 9 r a ，f f 、1 一) 目= 。 ( 3 1 6 ) 解方程( 3 1 6 ) 得，( p ) 的唯一驻点o o = 巡号嵩斋等学( 3 - 1 7 ) 2 矿i 西f i 阿历_ 一 p 。， 代入函数f ( 0 ) 得 m ，：糍 而怎 h 锻 = 滞1 嘏 1 d 慨 ( 一) d 【( 1 一d ) ( m 一1 ) f j 。一7 令t 一虽- - l o g m ，0 f 击，则( 3 1 8 ) 式可以化成 舳，：箸 訾r 由引理3 1 2 ，我们就有 f ( o o ) 1 因此 m + ( 。，f ) 2 矿瓦m ( 1 焉- -