（应用数学专业论文）三维空间中的分形插值曲线及其计盒维数.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文的主要工作是定义并研究三维空间中一类曲线的变差，导出这类曲线计 盒维数的计算公式，给出三维空间中分形插值曲线的构造方法，研究其变差性质， 从而计算出这类分形插值曲线的计盒维数。文章首先介绍了几类性质较典型的分 形函数并介绍它们的图像的计盒维数或h a u s d o r f f 维数定理。其次，简要介绍了 已有的一元函数及其图像的研究成果，包括一元函数的变差，以及根据曲线的变 差性质给出一元函数图像的计盒维数。在此基础上，将二维推广到三维，定义并 研究了三维空间中曲线的艿变差，从而导出计盒维数的公式，根据维数定理，确 定两空间函数和的图像的计盒维数，计盒维数大的函数图像在两空间函数和的 图像的计盒维数中起决定性作用再次，介绍了一元分形插值函数及其图像的研 究成果，包括迭代函数系统、分形插值函数及相关的基本概念，自仿射插值曲线 的计盒维数，插值曲线的一些性质。从而给出三维空间中的分形插值曲线的构造 方法，研究了三维空间中分形插值曲线的万变差性质，由此得到了计算三维空 间中分形插值曲线计盒维数的公式。 关键词：变差、计盒维数、函数图像、三维空间中的分形插值曲线 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , 万o s c i l l a t i o no fc u r v ei n3 - d i m e n s i o n a ls p a c ei sd e f i n e da n d s t u d i e d , t h e no b t a i nd i m e n s i o nf o r m u l a t i o n f r a c t a li n t e r p o l a t i o n c l g v ei n 3 - d i m e n s i o n a ls p a c ei sc o n s t r u c t e d a n di t s8 - o s c i l l a t i o np r o p e r t i e sa r es t u d i e d ，o n t h eb a s eo ft h e s eo b t a i nt h em e t h o do fc a l c u l a t eb o x d i m e n s i o no ff i a c t a l i n t e r p o l a t i o nc u r v ei n3 - d i m e n s i o n a ls p a c e f i r s t l y , s o m et y p i c a lf r a c t a lf u n c t i o n sa n d t h e i rb o x - d i m e n s i o no rh a u s d o r f fd i m e n s i o na r ep r o p o s e d s e c o n d l y ，t h ef r u i t so f f u n c t i o n a l d i g r a p hi n2 - d i m e n s i o n a ls p a c e a b o u t 万- o s c i l l a t i o no fc n l w ei n 2 d i m e n s i o n a ls p a c ea n di t sd i m e n s i o na r es u m m a r i z e d o nt h i sb a s e ，2 dt o3 d ， 8 一o s c i l l a t i o no fc u r v ei n3 - d i m e n s i o n a ls p a c ei sd e f i n e da n ds t u d i e d ，t h e no b t a i n d i m e n s i o nf o r m u l a t i o n a c c o r d i n gt ot h i sd i m e n s i o nt h e o r e m ，t h eb o x - c o u n t i n g d i m e n s i o no ft h ed i g r a p ho ft h es r mo ft h et w of u n c t i o n si n3 - d i m e n s i o n a ls p a c ei s e s t a b l i s h e d t h em a x i m u mb o x - c o u n t i n gd i m e n s i o no ft h et w of u n c t i o n a ld i g r a p h s p l a y sad e c i s i v ep a r ti nt h eb o x c o u n t i n gd i m e n s i o no ft h ed i g r a p ho ft h es u m o ft h e t w of u n c t i o n si n3 - d i m e n s i o n a ls p a c e t h i r d l y , r e s u l t so ff r a c t a li n t e r p o l a t i o nf i m c t i o n i n2 - d i m e n s i o n a ls p a c ea r ei n t r o d u c e d , i n c l u d i n gi t sb a s i cc o n c e p t ，d i m e n s i o n , a n d p r o p e r t i e s a n dt h e nf r a c t a i n t e r p o l a t i o nc t l r v ei n3 - d i m e n s i o n a ls p a c ei sc o n s t r u c t e d n s 占一o s c i l l a t i o np r o p e r t i e sa r es t u d i e d ，o nt h eb a s eo ft h e s eo b t a i nt h em e t h o do f c a l c u l a t eb o x d i m e n s i o no f f r a c t a li n t e r p o l a t i o nc u r v ei n3 - d i m e n s i o n a ls p a c e k e y w o r d s ：o s c i l l a t i o n ；b o x - c o u n t i n gd i m e n s i o n ；f u n c t i o n a ld i g r a p h ；f r a c t a l i n t e r p o l a t i o nc u r v ei n3 - d i m e n s i o n a ls p a c e n 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密西 学位论文作者签名：季两 。，厶年，二月彤日 指导教师签名：j 多乏p7 j 一g 年，夕月，6 日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：否拎 日期：弦年，月，多日 江苏大学硕士学位论文 绪论 分形理论萌芽于1 9 世纪末2 0 世纪初，成为一个独立的学科则是在2 0 世纪 7 0 、8 0 年代，是非线性科学中一个活跃的数学分支。其研究的对象是在非线性 系统中产生的不光滑和不可微的几何形体，这些几何体表面上复杂无序，但实际 上都存在着某些内在规律，分形理论为研究分析这些不规则现象提供了新的方 法。因此，近年来分形不论是在理论上还是在应用上都取得了迅猛发展。 函数是刻划事物形貌和运动规律的有力工具，因此函数分形性质的研究一直 受到广泛的重视。文志英川研究了平面上连续函数的变差，而且研究了连续函数 的变差的性质并给出平面上连续函数图像的计盒维数的计算公式。冯志刚给出了 计盒维数定理的严格证明，并根据这个定理讨论了两个函数的和、差、积、商 的计盒维数，确定了其与这两个函数图像维数之间的关系，计盒维数大的函数图 像在两条空间函数和、差、积、商的图像的计盒维数中起决定性作用。本文定 义并研究了三维空间中曲线的万变差，从而导出计盒维数的公式，根据维数定理， 确定两空间函数和的图像的计盒维数，计盒维数大的函数图像在两条空间函数 和的图像的计盒维数中起决定性作用。 传统的数学插值函数或蓝线( 面) 拟合函数都是用一组基函数的线性组合来 表示的，通常用的基函数为多项式，有理数或三角函数等初等函数，而分形插值函 数目前是由迭代函数系统实现的。b a r n s l e y 通过研究一类迭代函数系的吸引子， 得到分形插值函数的概念。冯志刚从研究连续函数变差的性质入手，得到了平面 上一类分形插值函数变差的一些性质，对这类分形插值函数变差给出了估计。应 用这些结论，并通过含有变差的计盒维数计算公式，用变差代替维数定义中的最 少盒子数，直接得到分形插值函数图像的维数定理。本文给出三维空间中的分形 插值曲线的构造方法，研究了三维空间中分形插值曲线的艿变差性质，由此得 到了计算三维空间中分形插值曲线计盒维数的公式。 分形插值特别适用于模拟和逼近那些表现出强烈波动性的酋线图形，如山 脉、地形、材料断口等，它给出了一种拟合数据的新思想为逼近论开辟了崭新的 研究领域但是目前对分形插值曲线的研究都局限于平面曲线，至今尚没有发现 江苏大学硕士学位论文 空间分形插值曲线的研究，这些表现强烈而粗糙的曲线往往存在于三维空间中， 并不是在平面上，因此，研究三维空间的分形插值曲线具有十分重要的现实意义。 本文主要作了以下几个方面的工作：一，定义一般的三维空间中的分形曲线 的变差。二，推导出三维空间中的分形曲线的变差的若干性质。三，根据三维空 间中的分形曲线的变差的性质以及连续函数的盒维数的计算公式得到三维空间 中一类分形插值曲线的盒维数所满足的方程。 正文部分共分为五章。其内容安排如下：第一章，介绍了几类性质较典型的 分形函数，并介绍它们的图像的计盒维数或h a u s d o r f f 维数的相关定理；第二章，简 要介绍了已有的一元函数的研究成果，包括一元函数的变差，以及利用一元函数 的变差性质给出一元函数图像的计盒维数：第三章，定义一类空间曲线的变差， 推导出一类空间分形曲线的变差的若干性质，从而导出一类空间曲线图像的计盒 维数的公式；第四章，介绍平面上分形插值函数图像的研究成果，包括迭代函数 系统吸引子的存在唯一性，插值曲线的基本概念，自仿射插值曲线的计盒维数， 插值曲线的一些性质；第五章给出三维空间中的分形插值曲线的构造方法，研究 了三维空间中分形插值曲线的艿变差性质，由此得到了计算三维空间中分形插 值曲线计盒维数的公式三、五两章是本文的主要研究成果。结束语中我们对本 文的主要工作内容进行了简要总结，并展望了将来有待进一步深入的课题和研究 方向。 2 江苏大学硕士学位论文 第一章分形函数综述 本章介绍几种性质较典型的分形函数，并介绍它们的图像的计盒维数或 h a u s d o r f f 维数的一些定理首先介绍一下h a u s d o r f f 维数与计盒维数的基本概念 ( 1 ) h a u s d o r f f 维数 h a u s d o r f f 维数有着严格的数学定义： 设 u ) 是的一个万一覆盖，j 0 ，万 0 ，令 - i x e ) = i n f i u , i 。： v ) 。蔓b e 0 f 1 8 一覆盖) ， * z l 这里1 u l = s u p d ( x ，y ) ：z ，y ，满足下列两个条件： 川s 8 且u u , 3 e 注意到作为万的函数，弼( e ) 单调不减，从而当万专0 时，它趋于一个极限 日( e ) 2 脚磁( e ) 则日。( e ) 称为e 的s 一维h a u s d o r f f 预i 度。它可能为零，正有限或正无穷。如果存 在这样一个s 的临界值使得日( d 从无穷跳跃到零。对此临界值称为集合e 的 h a u s d o r f f l 数，记为d i m he o d i m h e 见上图，其精确定义如s d i m _ l 】re = s u p s ：h ( ) 0 = s u p s ：h ( d = c o = i n f s ：h ( d o o ) = i n f s ：h ( d = o 虽然h a u s d o r f f 维数是分形理论中一个最基本的分形维数，具有重要的理论 意义，但直接利用h a u s d o r f f 维数的定义来计算一个分形的维数却是复杂和困难 的。尤其是它的下界难以严格的加以证明。 江苏大学硕士学位论文 ( 2 ) 计盒维数 虽然h a u s d o r f f 维数在理论上严格，但是计算起来却非常困难，只是极小一 部分分形能够算出它们的h a u s d o r f f 维数，这给分形的研究和应用带来很大的障 碍。为此人们又引进了计盒维数( b o x c o u n t i n g 维数) 的概念，人们通常说的分形 维数( f r a c t a ld i m e n s i o n ) 就是指的这一维数。 设e 为掣中的任意有界子集，如果极限 l i ml o gn , ( e ) 8 “一l o g p 存在，则称此极限为e 的计盒维数( 分形维数) ，记作d i m 。e 。其中m ( e ) 是下列数 中的任意一个： i ) 覆盖e 的半径为s 的最小闭球数； i i ) 覆盖e 的边长为占的最小的立方体数； i i i ) 与e 相交的s 一网立方体的个数； ) 覆盖e 的直径最大为占的集的最少个数； v ) 球心在e 上，半径为f 的互不相交的球的最多个数。 另外，在上面极限中，只要考虑通过任一满足气+ 。c 气的递减序列& ，趋于零 时的极限即可，其中0 c 1 ，例如：& = ，；又例如：& = 托 盒维数不仅便于实际应用，而且具有重要的理论意义，可以很方便的用盒维 数表明分形的不规则性。可以证明，盒维数给出h a u s d o r f f 维数的一个上界估计， 同时一些集合的盒维数和维数相等。 1 1w e i e r s t r a s s 函数 由文献 1 知道，分形( 极限) 函数，可以从一个分形初函数五出发，通过 一系列变换( 相似变换、仿射变换或拟似变换) 和迭代得到，这里的分形初函数 五一般是一些性质较好的连续函数。 如仿射函数：设f o ( x ) 是 o ，1 】上的分段光滑连续函数，在x y 平面上，取压 缩仿射映射= 竹，j = l ，2 ，) ， 4 江苏大学硕士学位论文 僻( 计针乩z ， 屯为水平x 方向的压缩比，巳为垂直y 方向的压缩比，o 1 ，令u o = 五，u i = 伊) = c f o ( a 工) ，i 1 ， l 于是，= 及，专 厂即为拟周期函数。 特别地，取石( x ) = s i n x ，t = 2 7 r ，c = 2 s - 2 , 1 s 2 ，则厂( 工) = a “冲s i n ( 2 x ) 即为w e i e r s t r a s s 函数 图iw e i e r s t r a s s 函数 定理1 1 1 设形o ) = a ”2 c o s ( ；t ，) ，1 j 1 为w e i e r s t r a s s 函数，则 d i m p r ( 形) = d i m b r ( 形) = 5 1 2b e s i c o y i t c h 函数4 b e s i c o v i t c h 函数b ( ，) = 五_ 2 c o s ( 乃，) 1 - 1 ，0 七s 2 4 1 ，有 岛( r ) 一心( 参) = 2 一( r ( 2 “( f 一寺) ) 一巧( o ) ) 亦即r a ( t ) 在区间l ，上的变化相同，它们与心( f ) 在区间，上地变化仅相差一个 园子2 ” 由引理1 立即得到下述推论： 推论1 3 1设j 为任一珂阶2 一进区间，则 6 江苏大学硕士学住论文 定理1 3 1 定理1 3 2 r a f ) 心护等，等】 设兄( ，) 为r a d e m a c h e r 函数，则 d i m 。r ( r ( ，) ，) = d i m b r ( r ( f ) ，d = 2 - s 设a b ( x ) 存在且对任意x ，a r l ( x ) - 0 ，增量x o + ) 一x ( f ) 服从均值是零，方差是h 2 。的 正态分布，所以 眦( ) 叫惦功邓厅) - 1 2 h - u e x p ( 券) 咖 可以证明，对0 ( a ( 1 ，满足( f b m ) 条件的过程是存在的 分数布朗图的几乎必然维数可用与严格布朗情形类似的方法来决定 命题1 4 1 设o ( “口，以概率l ，对指数为口的布朗样本函数石： o ，1 】专r ，存在 某 o 及6 0 ，若俐 0 ，t e ，记0 ，j ( r ) 为函数厂在点f 的j 一振幅，即 3 昂，f ( t ) 一蕊f ( t ) i 。吲黑，眇) 一( ，) i re，pe! 设 口，b c i ，函数厂在h 6 】上的万一变差。， 口，6 】定义为f 的艿一振幅在 【口，b 】上的积分： v f a a ，6 】。tq 8 ( t ) d t 帕 在不产生混淆时，简单地记为巧 函数在i _ k 的总变差定义为02 警厂( ) 一g 厂( ) 2 2 一元函数变差的若干引理 为了证明一元函数图像的性质，冯志刚吲首先给出了若干引理： 引理2 2 1 ( i ) 对所有，上的连续函数f ( t ) 及任意万 0 ，下述称述等价： ( a ) j = 0 ， ( b ) 对任意f ，0 ，o ) = o ， ( c ) o ) 在，上为常数； ( i i ) 对任意的常数c l ，乞， 州= 吩。 9 江苏大学硕士学位论文 ( i i i ) 5 一，d + 正# d + d 令晟为，上的连续函数， 厶= s u p 。弘( x ) 1 ，m h = i n l 川矗( 工) b 引理2 2 2 f ，g 均为，上的连续函数，则 m f 5 一m 9 6 s y f 9 6 d - 蕊b r ( g ，) ，则对 任意的常数a , b ，a 0 ，我们有： l i m ! ! 兰哗：! ：! 型：l i m ! 竺生丛 s 呻o l o g d d ol 0 9 6 l o g ( a v ：, 一+ b v g , 8 ) ：丽煦 8 - - * 0 l 0 9 5 i q l 0 9 6 2 3 一元函数图像的维数定理 文志英在【4 中介绍了计盒维数的一个等价定义： 命题2 3 1 设e 为r 4 中的非空有界子集，则 一d i m s e ：l i m s u p 掣：l 曲s u p 掣 一t 0 9 6 h o t 0 9 5 ：l i m s u p 丝堕盟：l i m s u p ( d 一堕! 鲤当 ，。k l 0 9 2 c o l 0 9 8 7 其中c o a e ) 表示e 与k 阶2 迸立方体相交的个数由于这个原因阂可斯基维数亦 称为计盒维数此外，若将上列等式中的上极限用下极限代替，则我们得到下计盒 维数而且研究了一元函数的性质，给出了一元函数图像的计盒维数的计算公式， 即： 定理2 3 1 设厂：i 哼r 为连续函数，则 面。f ( f ，耻l i m s u p ( 2 一掣) 江苏大学硕士学位论文 d i m 以加= n 睁( 2 - 堡肇笋) 为证明此定理首先给出了一个引理： 引理2 3 1 设f ：，寸r 为非常数连续函数，则 。t _ v ( ds 万2 虬( r ( 厂，d ) 5 f ( 耽 其中m ( e ) 表示与集合e 相交的艿一网中的元素个数 冯志刚6 1 给出了上述引理的一个反例，令厂( f ) = e l ，te 【o ，l 】，c 0 ，对任意的占， 0 ( 8 ( i 2 ，经过验证，上述引理的右端不等式不成立，为了证明定理2 3 i 仍然是成立 的，冯志刚6 1 首先证明了下述引理： 引理2 3 2 设：，寸r 为非常数连续函数贝u 对任意的o 一d i m 口i _ ( 既，) ，k = 1 ，2 , - - - , 力，并且c o o ，q ，k = l ，2 ，厅均为常数，则 有： d i m a f ( c o f + q g l + c 2 9 2 + + q 岛，1 ) = d i m s f ( f , ，) d i _ m m 口r ( c o f + c i g i + c 2 9 2 + + 厶岛，1 ) = d i _ m m 口f ( f ，d 江苏大学硕士学住论文 定理2 4 3 令厂，g 均为，上的连续函数，并且设d i m 。f ( f ，) d i m s f ( g ，i ) ， g ( x ) o , x i 则 d i m b f ( f g ，一) = d i m a f ( f ，) d i m 8 r ( 厂g ，i ) = 塑8 f ( f ，i ) 定理2 4 4 令厂为，上的连续函数，并且f ( x ) 0 ，x i ，则 d i m a f ( 1 f ，) = d i m s f ( f ，) 些8 f ( 1 f ，? ) = d i m 日f ( f ，d 推论2 4 5 厂，g 均为，上的连续函数，并且g ( x ) o ，x i 劂 ( a ) 若d i m m 日f ( f ，d d i m s f ( g ，i ) ，有 d i m s f ( f g ，) ：d i m s f ( f ，i ) d i m 日r ( ，g ，) = d i m 口f ( f ，i ) ( b ) 若d i m 口f ( f ，) o ， t ， 记0 ，d ( t ) ，o s 。( t ) 分别为函数，g 在点r 的万振幅，即： d ，胪浑几) 。品邝”) = 州翟。n ) 一他) | q ，一( t ) 2 溉g ( r ) 蓐g ( ，”) - 州咖s u p 。n ，i g ( f ) 一g ( f ”) i r t ， i - g i 设 口，6 】，三维空间中曲线的万一变差吩船j 口，6 】定义为： ， 口，明2 1 ：d ，8 ( t ) o s ( t ) d t 在不产生混淆时，简单的记为船，j 曲线l 的总变差定义为：姆2 ( s u p f ( ) 一普( ) ) 普g ( ) 一警g ( ) ) 3 2 一类空间曲线维数定理的证明 为证明一类空间曲线的维数定理，首先给出下面的引理： 令r e f a g ，) = f ，厂( r ) ，g ( r ) ，f d 是三维空间中曲线l 的图像 引理3 2 1 设，：i 哼rg ：i r 均为i 上任意区间内都不为常数的连续函数 江苏大学硕士学位论文 则： 虬( f ( f a g ，功s 殓型锷孚盟型m d 其中以( e ) 表示与集合e 相交的万一网中的元素的个数 证明：( 1 ) 令万 o ，定义一个集合l ( ，a 吕，) ： r j ( ，a g ，i ) = ( f ，y ，z ) l ( t ，y ) e f j ( 厂，) ，( f ，z ) r 5 ( g ，) ) 平面上集合l ( ，) ( 凡( g ，) ) 构造如下：对v ( f ，y ) f ( 厂，) ( v ( f ，z ) r ( g ，) ) 以f 为中心，作长为2 万的水平线段，然后保留其横坐标在0 与1 之间的部分，再取所有 这样的水平线段的并，即得平面上的f 8 ( 厂，) ( r 。( g ，) ) 将其沿着z ( y ) 轴展开即得 三维空间中的r ；( 厂，) ( r 。( g ，) ) ( 2 ) 下面证明a g , s ( ，) = r ( l ( f a g ，功 设( r ，y ，z ) 是r 5 ( f a g ，) 中的任意一点，则存在t o i ，使p - t oj 6 且 y ；厂( f 0 ) ，z = g ( f o ) ，从而l ( f a g ，) 是横坐标为t i , n n ) b o 5 ( f ) 哝d ( f ) 的垂直 于横坐标的长方形的并( 其中d ，( f ) ，q 。( r ) 的中点均不必在r ( f a g ，) 上) ，对此 面积从0 到1 积分，即得： r ( r d ( f a g ，) 户fd ，( ，) d g j ( f ) a t 由于f ，g 均为任意区间均不为常数的连续函数，故 f ( r j ( f a g ，= f 0 ，d ( f ) 。g j ( t ) d t = 椰( ，) ( 1 ) ( 3 ) 设幺( f ( f a g ，f ) ) 为岔的万一网中与f ( f a g ，f ) 相交的立方体构成的集合， 设( r ，y ，z ) l ( f a g ，) ，由( 1 ) ，存在( t o ，y ，z ) f ( f a g ，) ，4 媚i t - t o i 艿，从而： r j ( 厂a g ，) c 以( f ( f a g ，) ) t o ( a 5 ( f ( f a g ，) ) + ( 万，0 ，o ) ) u ( 4 ( r ( 厂 g ，d ) + ( 一占，0 ，o ) ) 故由( 1 ) 式， w ( ，) 3 l 3 ( , 4 8 ( f ( f a g ，) ) ) 2 3 8 3 n a ( f ( f a g ，呦 左端不等式得证，下证右端不等式： 定义集合 1 4 江苏大学硕士学位论文 f a ( f a g ，d = ( r ，y ，：) ：3 y o ，z o 使得( f ，y o ，白) r j ( f a g ，) 并且 则几乎处处有 l y - y 0 1 - - 巧，z - - z o i 占 f a ( f a g ，) = ( o ，y ，z ) ：t ，岛i ， t - t o i 艿， y - f ( t o ) i 6 ，l z - g ( t o ) i - 8 根据前面同样的讨论，类似有 。( f a g ，) 是横坐标为r ，面积为 ( q ，+ 2 j ) ( q j + 2 万) 的垂直于横坐标的长方形的并，因此集合n ( ，d 的体积 为： r ( 亡5 ( f a g ，) ) = f ( d ，5 ( f ) + 2 a ) ( g ，d ( r ) + 2 8 ) d r 2 巧懈。( ，) 十2 万( 。( d + 名。，( ，) ) + 4 8 2 f ，f v ( f ，y ，力4 ( r ( f a g , h ) ，jt o i ，f m l , - , o t - 艿并且l y 一厂( 岛) i 万，i z - g ( t o ) i d - 面b r ( f 2 a 9 2 ，) ，那么对于任意的常数a 和b ，我们有： 磐坠缉碰= 而l i m t o g骅l o g 0 ( 6 ) j od 6 甄堕铲= 甄警 证明：z ，五，g ，g ：均为i 上任意区间都不为常数的连续函数，令 垒心= 丛8 f ( f a g l ，) ，d a g ：= d i m b r ( l a 9 2 ，) 据定理3 2 2 ，对于任意占，满足0 占 ( 旦 幅一五，z 懈) 2 ，存在一个 a ( 0 a 1 ) ， 使得当0 万 。一警 砜托 注意到l 0 9 8 艿 卫岫嘲，幢 j 3 一。丘懈蚓， 从而有：o 业 m 。“”卜2 8 ( 8 ) 江苏大学硕士学位论文 因此 脚纽= o 有 “幅 ( 9 ) 所以磐掣l o g：尝掣：躲訾o i z 5 川 d舢1 0 = 臣d 5 卅j ( 6 ) 式得证，同样可证明( 7 ) 式引理3 3 2 得证 3 4 一类空间曲线变差的性质 下面给出一类空间曲线变差的若干性质： 引理3 4 1 ( 1 ) 设p ( ，) ，q ( t ) 是，上的任意区间都不为常数的连续可微函数，则： o w ( ，) 4r 学陬f ) l 黑笋j “( f ) m 万 ( 2 ) 设l ( t ) = a t + b ，( f ) ，g ( r ) 均为三( d 上任意区间都不为常数的连 续函数，则： 忡( ，) 2 寺_ 栉( ( d ) l a i 证明：( 1 ) 根据万一振幅的定义以及微分中值定理： d ，5 ( ，) q ，5 ( ，) 2 s u p i p ( r ) 一，( ，“) f s u p i q ( t ) 一口( r ) i r l - g l t d ，+ 5 1 n ，。r r 可卜j + j n 2 s u p i p ( 孝) ( r f ) l s u p l q ( 善) ( p - t ) l r r e t j p j n 。r , w 可t - s d + 8 f l l - 2 w 导x l p 训艿2 x l q ( ) | 护4 m 。a x i p ( f ) | r 警觚) i 万2 4 警帆f ) ir 学l 研( f ) i 占 其中孝 t - 8 ，t + 8 n i ，所以 o a ( i ) 4 m a x l p ( 0 1 学 q ；( 0 1 1 1 1 8 ( 2 ) 因为 o , t , 6 c t ) o g 触2 雠m 沪 毕m p m 翠舭( r 沪蓐舭( 一) ) 1 7 却 盏占 面 一 崦 孵 江苏大学硕士学位论文 一忡s u p p f ( x ) - | r 似翠c g ( x ) - k 骣i a g x ” f e ( ，) re(，)tel(1)xel(1) 。哆w ( x ) q 摊( x ) ( 其中x ，z ”( ，) ) 所以 k m m 。( ，) = f u ( r ，。，( t ) d t = f d ，怫( 三( f ) ) d g 帏( 三( r ) ) 防 2 奇d r “舳2 寿巧蝴( 删 引理3 4 1 得证 引理3 4 2 设( f ) ，g ( r ) 均是，上任意区间都不为常数的连续函数， 0 = x o 墨 2 的情形 引理3 4 2 得证 3 5 一类空间曲线的维数性质 根据维数定理3 2 2 ，下面确定两空间函数和的图像的计盒维数，计盒维数大 的函数图像在两条空间函数和的图像的计盒维数中起决定性作用 定理3 5 1 z ，五，g 。，9 2 均为i 上任意区间都不为常数的连续函数，令 d i _ _ _ m m 8 ( r ( a g l ，功 c l i m b ( r ( f 2 a 9 2 ，j ) ) ，则： d i m 8 1 1 ( ( 彳+ f z ) a ( g l + 9 2 ) ，) = d i m 口r ( 彳a 蜀，d ( 1 0 ) d i m 口r ( ( 石+ 五) a ( & + 9 2 ) ，) = d i m 8 r ( z a g l ，i ) ( 1 1 ) 证明：由( 5 ) ( 8 ) 可知，3 8 0 ，使得k 啊) ( g l + 9 2 ) o z ，五，g 。，g ：均为i 上任意区间都不为常数的连续函数，贝f j f , + 五，g + 亦均 为i 上的任意区间都不为常数的连续函数，利用定理3 ，2 ，2 ，可以计算 r ( ( z + f 2 ) a ( g l + 岛) ，) 的维数再根据引理3 3 1 ( b ) 和3 3 2 ，我们有： 面以( 彳+ 五) a ( 9 1 + 9 2 ) ，d = 甄( 3 一型鼍焉等世) 辨甄( 燮皆o g ) = 甄( 3 - o g 挚 5 、 一l 万 d 、 l 万 另一方面而。r ( ( z + 石) 人( + ) ，d = 甄( 3 一竺型i 笔；( 鱼业) 3 + 丽i ! ! 丛匕堑生二幺缝：立：面i ( 3 一l o g v , g , s ) # 一l o g 万 5 、 1 0 2 万 等式( 1 0 ) 得证，同样可证得( 1 1 ) 定理3 5 1 得证 推论3 5 2 令f ，g ，五，g k ，k = 1 ，2 ，力均为i 上任意区间都不为常数的连续函 数，令 d i m r n 口f ( f a g ，i ) d i m s f ( f k a g k ，) ，k = 1 ，2 ，一j 栉并且吒，磊o ，q ，喀， k 。l ，2 ，力均为常数，则： d i m s f ( ( c o f + c i z + c 2 f 24 - + 厶) a ( d o g + d t g t + d 2 9 24 - + 以) i ) 江苏大学硕士学位论文 = 一d i m 口f ( f a g ，j ) d i m a f ( ( c o f + c 1 ；+ c 2 五+ + 0 z ) a ( d o g + d l g l + 如+ + 以邑) ，i ) = d i m 8 r ( f a g ，i ) 3 5 本章小结 本章定义一类空间曲线的变差，推导出一类空间分形曲线的变差的若干性质， 从而导出一类空间曲线图像的计盒维数的公式，根据维数定理，确定两空间函数和 的图像的计盒维数，计盒维数大的函数图像在两条空间函数和的图像的计盒维 数中起决定性作用。 江苏大学硕士学位论文 第四章平面上的分形插值函数 b a r n s l y 通过研究一类迭代函数系的吸引子，得到分形插值函数的概念本章 主要介绍平面上分形插值函数的概念及若干结论 4 1 分形插值函数p 1 给定闭区间，= 口，6 】令a = x 0 五 h = 6 是，的一个分划，其中n 2 令，m ，朋是任意一组实数记k = l x r 记- - - i x , - p t 】，i = 1 ，2 ，n 令厶是，专的一个压缩同胚，满足条件 ( ) 。t l ，厶( h ) 2 t ， 并且对某个0 t 1 ，此时( 4 2 3 ) 的解s ( 1 ，2 ) 对于任意给定的p ，q r ，我们称 p ，p + g ，g + s 】为一个s 正方形设。是 g 的一个覆盖，如果m 的元素都是正方形，则称是g 的一个f 正方形覆盖用 撑。表示中的元素个数，记 ) = r n i n 挣由i m 是g 的一个s 正方形覆盖 由盒维 数的定义，可知 a i m s g = 。l i r a 鬻， ( 如果这个极限存在) 对于自仿射分形插值函数的盒维数，( s ) 不容易估计，因此我们需要引入一 种新的覆盖 对于任意给定的p ，g r 以及n n ，我们称矩形r = p ，p + 占】【g q + 船】为 一个g 柱，称以为r 中的占正方形个数，记为n ( r ，占) 给定两个占柱蜀，是，如果 r 。瞻，只+ f 】 吼，吼+ 一s 】，i = l ，2 ，则我们称f a 一致i 为r 和而之间的横向距离 江苏大学硕士学位论文 设甲= 墨，是，| ，足 是g 的一个覆盖，如果所有的足都是f 柱，并且任意两个 f 柱之间的横向距离大于占2 ，那么称甲是g 的一个柱覆盖，并以 投( v ，占) = ：。捍( 足，g ) 表示掣中不同s 柱所含有的f 正方形个数的总和令 n ( 8 ) = r a i n n ( q j ，p ) l 甲是g 的一个醴主覆盖l ，下面的引理说明了( 占) 与( s ) 的 关系： 引理4 2 2 对任意0 占 o ，使得对任意o 占 1 并且 ( t ，只) i f = o ，1 ，n 不共线，那么d i m 。( g ) 就是满足 ：。旧i q 1 = 1 的惟一解s ；不然，d i m 。( g ) = l 4 3 平面上分形插值函数的万一变差性质 求分形图像的维数是分形理论研究的一个重要内容，现在大部分都是算的计 盒维数，一般都是按照它的定义证明的，即找出覆盖图像的最少盒子数 冯志刚1 3 1 从研究连续函数变差的性质入手，得到了平面上一类分形插值函数 变麓的一些性质，对这类分形插值函数变差给