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股价服从跳扩散的可转换债券定价模型 摘要 可转换债券是一种复合性融资工具，可由债券在一定的时间按照一 定的比例转换成股票，因此兼具债券、股票和期权的特征。对于可转换 债券投资者而言，既可以选择持有债券，要求公司还本付息；也可选择 在约定的时间内将债券转换成标的股票，享受股利分配或资本增值。可 转换债券作为一种金融衍生品种，具有风险低、收益高的特点，近年来 在我国发展十分迅速，市场日益成熟和繁荣。 但是，由于可转换债券引入我国时间不长，市场投资者对其价值还 不是很了解，相关的理论研究还集中在定性分析和条款设计上。在这个 背景下本文研究可转换债券价值，对我国可转换债券市场以及金融产品 的创新都有非常重要的理论意义和现实意义。 本文在传统的b l a c k s c h o l e s 可转换债券定价模型的基础上加以一 定的改进，使可转换债券的定价更准确。本文用跳扩散模型代替传统的 几何布朗运动来描述股票价格运动的过程，把跳扩散模型下的期权定价 方法运用到可转债定价中去。 本文的核心内容由两部分组成。第一部分建立了以股票价格为基础 变量的单因素可转债定价模型。首先利用无套利原理导出可转债满足的 偏微分方程，然后通过迭代法得出定价公式，最后以南山转债为例进行 应用分析。第二部分对第一部分进行拓展，引入随机利率模型，建立以 1 股价服从跳扩散的可转换债券定价模型 股票价格和利率为基础变量的双因素定价模型，利用鞅方法得出定价公 式。但是本文仍没有考虑可转债的转股价格调整条款和转股价格修正条 款，由于这些因素具有极大的不确定性，所以本文也就没有考虑，这将 是未来有待进一步研究方向。 关键词：可转换债券；跳扩散模型；双因素定价 浙江工商人学硕上学位论文 s t u d yo nt h ep ricin gm o d e lo fc o n v e r t lb l eb o n d s b a s e do nj u m pd lf f u slo nm o d e l a b s t r a c t c o n v e r t i b l eb o n d s ( c b s ) a r eak i n do fc o m p l e xf i n a n c i a li n s t r u m e n t s ， t h a te n d o wi n v e s t o r st h er i g h t st oh o l dt h eb o n d st i l lm a t u r i t yo rt ot r a n s f o r m t h eb o n d si n t os t o c k si na c c o r d a n c ew i t hac e r t a i np r o p o r t i o n ，s i n c et h e y c o m b i n et h ef e a t u r e so fb o n d s 、s t o c k sa n do p t i o n s a sc b sh o l d e r s ，t h e y c a nc h o o s et oh o l db o n d sa n da s kt h ei s s u i n gc o m p a n yt op a yi n t e r e s ta n d c a p i t a lb a c k o rt oc o n v e r tt h eb o n d st ot h eu n d e r l y i n gs t o c k st og a i nt h e d i v i d e n da n dp r e m i u m i nc h i n ac b sa sl o w r i s ka n dh i g h - r e t u r nf i n a n c i a l d e r i v a t i v e sd e v e l o p e dr a p i d l y ，c o n v e r t i b l em a r k e tb e c o m e sm o r em a t u r ea n d p r o s p e r o u si nr e c e n ty e a r s h o w e v e rb e c a u s et h et i m ef r o mc o n v e r t i b l eb o n di n t r o d u c e di no u r n a t i o n a lf i n a n c i a lm a r k e tw a ss t i l ls h o r t ，i n v e s t o r sc a n tu n d e r s t a n dt h e i r v a l u ee n o u g h ，a n dt h e r ea r eo n l yaf e ws y s t e ms t u d i e so nc o n v e r t i b l eb o n d p r i c i n g ，t h ep r i m a r i l yr e s e a r c ho nt h ec o n v e r t i b l eb o n ds t i l lf o c u s e d o nt h e q u a l i t a t i v ea n a l y s i sa n dc l a u s ed e s i g n ，p r i c i n gs t u d yw a sn o te n o u g h s ot h e r e s e a r c ho nt h ep r i c i n go fc o n v e r t i b l eb o n dh a sv e r yi m p o r t a n tt h e o r e t i c a l a n d p r a c t i c a lm e a n i n g t oc h i n a sf i n a n c i a lm a r k e ta n dp r o d u c ti n n o v a t i o n 3 股价服从跳扩散的可转换债券定价模型 t h i sp a p e ri m p r o v e st h et r a d i t i o n a lb l a c k s c h o l e sp r i c i n gm o d e lt o m a k et h ep r i c i n go fc b sm o r ea c c u r a t e t h ej u m p d i f f u s i o nm o d e li n s t e a d o ft h et r a d i t i o n a lg e o m e t r i cb r o w nm o t i o nt od e s c r i b et h em o v e m e n to f s t o c kp r i c e ，a n dt h ep r i c i n gm e t h o do fo p t i o n sb a s e do nt h e j u m p - d i f f u s i o n m o d e li sa p p l i e dt op r i c ec b s t h ec o r eo ft h i sp a p e rc o n s i s t so ft w op a r t s f i r s t l yb a s e du p o na u n d e r l y i n gv a r i a b l e s ：s t o c k ，t h es i n g l e f a c t o rp r i c i n gm o d e lo fc b si s d e r i v e dt h r o u g hn o a r b i t r a g ep r i n c i p l e ，t h e nt h ei t e r a t i v em e t h o di sa p p l i e d f o rap r i c i n gf o r m u l a ，f i n a l l ya ne m p i r i c a lr e s e a r c ho nn a n s h a n c b si s c a r r i e do u t t h es e c o n dp a r ti n t r o d u c e st h er a n d o mi n t e r e s tr a t em o d e l ，a n d e s t a b l i s h e st h et w o - f a c t o rp r i c i n gm o d e lo fc b sb a s e do nu n d e r l y i n g v a r i a b l e s ：i n t e r e s tr a t ea n ds t a c k ，u s i n gt h em a r t i n g a l em e t h o df o rs o l u t i o n b u tt h i sp a p e rs t i l ld i dn o tc o n s i d e rt h ec l a u s e so f a d j u s t i n gc o n v e n i b l ep r i c e a n ds o m eo t h e rf a c t o r st h a ti n f lu e n c et h ev a l u eo fc b s t h i si sat a s kf o r f u t u r es t u d y k e y w o r d s ：c o n v e r t i b l eb o n d s ；j u m p - d i f f u s i o nm o d e l ；t w o - f a c t o r sp r i c i n g m o d e l 4 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获 得浙江工商大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 签名：幽垄目整 日期：砂昭年，月岁j 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解浙江工商大学有关保留、使用学位论文的 规定：浙江工商大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定 签名：型塑鳌导师签名： 日趄o 年( 堋? 1 日 浙江工商大学硕士学位论文 第一章引言 第一节研究背景 可转换债券( 以下简称可转债) 是最典型最具有代表性的混合金融产品，自从 1 9 8 3 年美国的n e i ；| n ( o r ke r i e 公司发行世界上第一张可转债以来，以其独特的金融 性质逐渐为投资者们所熟悉并受到了广泛欢迎。2 0 0 7 年肆虐全球金融市场的次级债 风暴，将企业的借贷成本推升至5 年高点，可转债为这些不堪信贷成本重负的企业， 提供更加可行的出路。巴克莱资本的分析师们计算得出，在美国市场发行可转债要 比发行企业债节省2 6 的年化利率，这一利差同比扩大了1 倍。可以说市场波动 培育了可转债市场，使可转债市场已经成为金融市场中不可或缺的重要组成部分。 特别是受中石化发行4 2 亿美元可转债影响，今年亚洲( 不包括日本) 可转债市场 已成为股票资本市场中增长最快的部分。可转债市场在整个亚洲股票资本市场中的 比重增加到3 4 7 ，中国成为今年世界第二大可转债市场，为我国上市公司再融资 及广大投资者都带来了新机会。 一、国外可转换债券市场的发展 美国是最早发行可转债的国家，也是可转债市场比较成熟的国家。根据统计， 从1 9 9 3 年到2 0 0 2 年底，美国可转债市场是逐年上升的。具体来说，在2 0 0 0 年， 美国市场的可转换证券发行规模为6 1 4 亿美元，其中可转债的规模为3 1 5 亿美元， 而同期美国资本市场上的i p o ( 首次公开发行) 规模为9 7 3 亿美元，可转债与i p o 的 融资比例己接近1 ：3 。2 0 0 1 年新的可转换证券超过了1 0 5 0 亿美元，比2 0 0 0 年增 加了6 0 0 多亿美元。在欧洲市场，据摩根斯坦利的统计，自1 9 9 9 年以来，欧洲企 业同时发行股票和可转债两种证券已超过2 3 次，其中可转债的发行价值超过1 2 5 亿美元，股票的发行价值超过2 7 8 亿美元。从总体上看，海外可转债市场的发展主 要呈现了以下的特点t ( 一) 市场规模稳步提高。欧洲市场迅速崛起口可转债市场主要集中在美国、 日本、欧洲和亚洲的一些国家，其中同本在1 9 9 9 年以前，一直是世界上最大的可 转债发行和交易市场。由于泡沫经济的破灭和银行坏帐引起的信用问题，日本可转 债市场的资本规模在最近两年出现了较大幅度的下降。但是美国和欧洲的可转债市 股价服从跳扩散的可转换债券定价模型 场保持了良好的发展势头，市场规模逐渐扩大。目前美国己超过日本并成为世晃上 最大的可转债市场。欧洲更是发展迅猛，现已能与日本平起平坐。而亚洲一些国家 和地区的可转债市场，在经历了金融危机的风暴后，经过短暂的调整，也已恢复到 了危机前的水平。 ( - - ) 发行量和发行规模屡创新高。1 9 9 8 年以后，全球可转债的发行数量和融 资规模呈现了急速扩张的势头，尤其在美国，增长势头十分强劲。根据摩根士坦利 的研究报告，2 0 0 1 年美国共发行了1 0 4 5 亿美元的可转换证券( 其中可转债占了5 0 以上) ，发行数达到了2 1 0 笔，比2 0 0 0 年创记录的6 1 0 亿美元和1 4 6 笔还要分别高 出7 1 3 和4 3 8 。而与1 9 9 8 年的数字相比，2 0 0 1 年的发行量更是3 倍于当年的数 字。欧洲的可转债市场在过去几十年中也取得了突飞猛进的发展。资料显示，2 0 0 1 年，欧洲各国发行的可转换证券( 其中9 5 以上为可转债) 规模为4 7 6 3 7 亿欧元；而 在1 9 9 8 年，这一数字还只有2 7 0 3 5 亿欧元，四年间可转换证券的发行规模增长了 7 6 2 。统计资料同时显示，可转债的发行市场过去主要集中在法国，德国和瑞士； 而最近法国已经一枝独秀，成为欧洲最大的可转债发行地。 ( 三) 交易模式日趋成熟，流通性大为增加。随着可转债吸引了越来越多的融 资者和投资者，可转债的流通性有了很大的好转，其交易模式亦日趋成熟。在美国， 可转债的交易主要是采用做市商制，通过o t c ( o v e rt h ec o u n t e r ，柜台交易) 的方 式，由庄家撮合最高的买价和最低的卖价。为了促进可转债的市场流通性，美国的 可转债被分成了两种：一种是非注册可转债，按美国证券交易委员会( s e c ) 的1 4 4 a 法则发行，只能由有资格的机构投资者) 购买；另一种是在美国证券交易委员会注 册的可转债，广大的普通投资者也可以购买。目前美国8 0 以上的可转债都是经过 注册的，因此，一般投资者也很容易购买到可转债。相比之下，日本的可转债交易 模式与美国有比较大的差别。日本的可转债都是挂牌交易的( l i s t e d ) ，由证券交易 所的电子报价系统自动撮合成交。这种交易模式加快了可转债的流通性，也使日本 成为世界上最活跃的可转债交易市场。目前，日本每年的可转债交易额超过5 万亿 日元( 约合4 0 0 亿美元) ，其中最大的东京证券交易所，每月可转债的交易量可以达 到3 5 0 0 亿日元以上( 约合2 8 0 亿美元) 。 ( 四) 高成长高风险企业热衷发行可转债。海外可转债市场的迅速发展在很大 的程度上与美、欧企业热衷于发行可转债密切相关。由于融资成本低( 其利率比债 浙江工商大学硕 ：学位论文 券的利率低) ，又容易受到投资者的欢迎( 有风险规避作用) ，急需大量资金的高风 险行业企业特别青睐可转债这样一种筹资方式。美国和欧洲市场的数据显示，高成 长高风险性行业( 如i t 和生命科学行业) ，资本密集行业( 如电信和医疗保健行业) 以及成本较为昂贵行业( 如金融和消费品行业) 中的企业，最乐意发行可转债，可转 债的融资活动明显地集中于这些行业。 ( 五) 各大券商积极参与可转债的承销。海外可转债市场的发展与世界级大券 商的积极推动也是密不可分的。特别是最近儿年全球i p o 市场出现急剧萎缩的情形 下，券商们纷纷将眼光放到了迅速发展的可转债承销的业务上。从表1 3 中可以看 出，2 0 0 0 年到2 0 0 1 年，全球十大券商在股票首发的承销业务上大幅下滑，仅有第 一波士顿和美洲银行略有增长；而在可转债的承销领域，则几乎出现了3 0 以上的 增长，所罗门、j p 摩根、u s b 和美洲银行更是增幅翻番。在2 0 0 1 年，十大券商的 可转债承销业务额全部超过i p o 的承销额，像美林、所罗门等券商的业务重心，更 是全部转移到了可转( 6 ) 投资收益可观，促成可转债投资基金蓬勃发展。1 9 9 3 ，年， 有两位美国学者研究了1 9 7 3 年到1 9 9 2 年期间可转债的投资收益情况，发现在这2 0 年间，美国市场上的可转债每年的复合收益率达到了1 1 7 5 ，比同期的标准普尔指 数还要高出0 4 2 个百分点。 这一研究成果引起了众多基金管理人的注意。之后，越来越多的基金管理者将 可转债作为重要的头寸打入资产组合中。随着可转债市场规模的日益扩大和流动性 日益增强，一些专门以可转债作为投资品种的基金出现了。目前海外市场的可转债 基金主要有两类：一类是普通的，以可转债本身作为投资对象的基金，如可转债基 金、可转债共同基金等；另一类是专门将可转债作为避险或套利工具的基金，如可 转债对冲基金，可转债套利基金等。据统计，现在全球专门从事可转债套利的对冲 基金大约有1 2 0 家，规模达到了1 0 0 亿美元。从过去几年的表现来看，这些可转债 投资基金业绩超过了同期股票指数的收益水平。 二、国内可转换债市场的发展 在我国随着股票市场的起步和发展，可转换债券市场也逐步的发展起来。大致 可分为以下几个阶段： ( 一) 萌芽期( 19 9 1 年以前) ：我国可转债市场实践起步于沪深股市开设之时在 国内还没有正式的有关可转债融资的相关文件背景下，一些企业就已经开始尝试可 股价服从跳扩散的町转换债券定价模型 转债融资了。1 9 9 1 年8 月，琼能源在深圳发行了3 0 0 0 万元可转换债券，并于1 9 9 3 年6 月上市交易，最终以3 0 转股成功。同期，成都工益也在沪市作了尝试，于1 9 9 3 年5 月实现转股，1 9 9 4 年1 月3 日上市。 ( 二) 探索期( 1 9 9 2 1 9 9 7 年) ：1 9 9 2 年底，深圳证券交易所上市公司深宝安 发行5 亿元可转换债券，这是我国上市公司发行的第一个可转债，但由于诸多原因， 结果2 7 实现转换，转股以失败告终。国内投资者和发行人对可转债的市场信心大 受打击。国内可转债实践处于停滞。 ( 三) 准备期( 1 9 8 - 2 0 0 1 年) ：以1 9 9 7 年3 月2 5f 1 中国证监会发布的 一1 。 当u o 时，j ，+ s ，即股价在t 时刻往上跳；而当u - i 。 用随机微分方程描述的股价s ，的演化，称为股价遵循跳扩散模型。 跳扩散模型的金融意义：股票价格的总变化由两部分组成。第一种变化是价格 的正常振动，例如供需的暂时平衡，经济前景的变化等，这种变化可以用几何布朗 运动来描述，它具有连续的样本路径。第二种变化是价格的不正常振动，它是由于 重要新信息的到达，对股价产生重大影响，一般来说，这样的信息是关于具体公司 和行业的，对整个市场影响不大，属于“非系统风险 ，这种变化可以通过反映信 息重要影响的“跳跃”过程来刻画。 第三节衍生证券的一般定价方法 衍生证券是指其价值是由另一种证券的价值或金融变量派生出来的证券。它作 为一种新型的金融工具，在金融领域变得越来越重要。 一、根据无套利原理建立随机偏微分方程 1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 衍生证券定价的随机偏微分方程，其推导方法是一 种划时代的突破，极大地推动了衍生证券的发展。除了股票价格服从几何布朗运动 的假设外，b l a c k s c h o l e s 模型还假设股票市场和衍生证券市场符合下面的条件： 允许卖空衍生证券；没有交易费用和税收；所有证券都是高度可分的；在衍生 3 2 浙江工商大学硕上学位论文 证券的有效期内没有股票的红利支付；不存在无风险套利机会；证券交易是连续的； 无风险利率是常数且其期限结构是水平的。 在推导b l a c k - s c h o l e s 定价方程之前，首先给出一个研究随机变量函数行为的 重要定理：i t o 定理。 设变量x 的值遵循i t o 过程： 出= a ( x ，o d t + b ( x , t ) d z ( 3 7 ) 如果g 也是x 和t 的函数，则g 遵循如下i t o 过程： 矗g ：( 丝口+ 箜+ ! 鸳b z ) d r + 箜b d z ( 3 8 ) 、苏o t2 苏2锄 由以上假设及定理，可推导出衍生证券定价的一般方法，过程如下。由假设， 股票价格服从几何布朗运动：d s = # s d t + e s d z 假设f 是依赖于s 的衍生证券的价格。变量f 一定是s 和t 的函数。因此，由i t o 定理得： d f = ( 要芦+ 笪+ ! 窖0 - 2 5 2 ) 出+ o 匀_ 仍出 ( 3 9 ) 、融o t2 苏2 7 苏 构造证券组合兀：卖空一份衍生证券，买进善份股票，那么该证券组合的价值为 n ：一厂+ 笪j 西 d t 时间间隔以后，组合价值的变化为： m ：一万+ 笪出 。 两 从前面的假设可以得出该证券组合的瞬时收益率一定与其他短期无风险证券 收益率相同。如果该证券组合的收益率大，套利者就可以通过卖出无风险证券，然 后用其收入购买该证券组合来获取无风险收益；如果该证券组合的收益率小，套利者 就可以通过卖出该证券组合，购买无风险证券来获取无风险收益。所以结果应该是： d r i = r r i 出 其中r 为无风险利率。再由上面的式子化简整理得出著名的b s 方程： a 玉f + r s 笪o s 专0 - 2 5 2 警一矿= 。 ( 3 1 0 ) 玉2西2 。 本文后面关于可转债定价的偏微分方程，其推导方法基本相同。 股价服从跳扩散的可转换债券定价模型 对于所有以股票价格为基础变量的衍生证券，此方程有许多解。以该方程为基 础再加上特定的边界条件，就会得到特定衍生证券的价格。 二、鞅定价中的重要理论 h a r r i s o n 及k r e o s ( 1 9 7 9 ) 提出了一种求解金融衍生产品的定价方法鞅定 价方法。在鞅定价方法下，证券的价格可由折现该产品未来现金流量得到，且期望 值折现在风险中性下计算。鞅定价方法比随机微分方程简单，也不会涉及复杂的积 分。许多随机微分方程不能求解的问题，鞅定价方法可轻易求解。 下面只是给出本文中用到的一些定理和公式，详细的介绍及数学证明见相关概 率统计之类的教材。 定理1 ( d o l e a n s - d a d e 指数公式) 设x 为一半鞅，令 l = 兀( 1 + a x s ) e 一战( = 1 ) ( 3 1 1 ) o s s t 则对所有的z 上式右端无穷项的乘积对一切t 都绝对收敛，且为适应纯断有限 变差过程，令 乙：e x p 一k 一要防，x 】f ) 兀( 1 + 蝇) e 一峨+ i i 峨2 ( 3 1 2 ) 则z ，为满足以下随机积分方程的唯一半鞅 z ，= 1 + z ，一d x ，一 ( 3 1 3 ) 那么( 3 1 2 ) 式的z ，就成为半鞅x 的d o l e a n s d a d e 指数。 定理2 ( 关于布朗运动的g i r s a n o v 定理) 记形是p 下的一个标准布朗运动。h ，是 ， 一个可料过程，满足j 日，2 d s + o o 。- 令x = - i h ，d 形，若占( x ) 为半鞅( 一个充分条件 r ：是e e x p ( s h ，2 凼) 0 ，由下式定义一个概率测度q ： 等= e x p ( ( 1 卅r + 坼l i l 五) ( 3 1 5 ) 则在q - f ，n 是强度为五篚j p o i s s o n 过程。 第四节基本利率期限结构模型 利率期限结构是某个时点不同期限的利率所组成的一条曲线。因为在某个时 点，零息票债券的到期收益率等于该时期的利率，所以利率期限结构也可以表示为 某个时点零息票债券的收益率曲线。 常见的利率期限结构模型有： 一、v a s i c e k 模型 v a s i c e k 提出，在风险中性世界中，利率变化过程应遵从 d r = k ( a 一，) 出+ o d z ， ( 3 1 6 ) 其中，k 、o 、o 都是常数。r 表示短期瞬时利率，k 表示利率均值回归速度，0 表 示长期均值，o 表示波动率。 v a s i c e k 模型是众多利率期限结构模型中最简单的一个。它假设所有的参数都 是常数，不随时间变化，而且波动率也是一个常数，没有考虑到利率水平对波动率 高低的影响以及波动率本身的g a r c h 效应等。但是它却能够比较好地拟合现实数据。 缺陷是过于简单，没有考虑到利率必须是一个大于0 的正数，因此在模拟过程中就 可能出现利率为负的情况，这不符合现实情况。 二、cir 模型 c o x ，i n g e r s o l l r o s s 在一个跨期的资产市场均衡模型中对利率的期限结构模 型进行了研究，并提出了c i r 模型。具体内容为 股价服从跳扩散的可转换债券定价模型 d r = k ( o - r ) d t + a 4 7 r d z ， ( 3 1 7 ) c i r 模型的优点是它产生于经济中的内在经济变量和总体均衡。因此，它包含了 风险回避、时间消费偏好、财富限制、导致风险补偿的因素和众多的投资选择。尽 管该公式具有众多优点，但是它太复杂，在估算经济参数、风险参数和进行现实预 测方面产生困难。而且他们得出的结论是利率期限结构为平行移动，这是不符合现 实情况的。 三、h o - l e e 模型 h o & l e e 提出了一个基于无套利假设的利率期限结构变动模型，人们称之为 h o - l e e 模型。具体表达式为 d r = a ( t ) d t + o d z ， ( 3 1 8 ) 其中：a ( t ) = e ( o ，t ) + 盯2 t ，f ( 0 ，t ) 表示时刻t 的远期利率，下标t 表示对t 的偏 导数。 h o - l e e 模型用一种比较简单的方式来模拟利率期限结构随时间的可变性，它由 最初的利率期限结构决定，因此是一个相对定价模型。同时最初期限结构的外生性 决定了利率期限结构的变化也是外生的。 四、h uii w hit e 模型 由h u l l & w h i t e 提出，是v a s i c e k 模型的一个扩展 d r = c o ( t ) 一k r ) d t + c r d z ， ( 3 1 9 ) 浙江工商大学硕士学位论文 第四章单因素可转债定价模型 第一节可转债的基本定价模型 令v ( s ，t ) 表示到期时间为t 的可转债在t 时刻的价值，设股票价格s 满足以下几 何布朗运动过程： d s = s d t + c r s d z ， ( 4 1 ) 其中为股票预期收益率，盯为股票价格的波动率，龙，为标准维纳过程。 基于无套利原理，可得出可转债价值v ( s ，t ) 满足以下偏微分方程： _ o v + 瑙_ o v + 一1 仃2 j 2 旦一w ：0 0 ( 4 2 ) 一+ 瑙一+ 一仃j 一w = k 4 z ) a sa s2瓠2 可转债在到期日的终端条件为 v ( s ，丁) = m a x ( m s ，召) ( 4 3 ) 其中b 为可转债的面值，m 为转股比例，即每份可转债转换为股票的股数。 当股价非常高时，投资者肯定会将可转债转换成股票，对应的边界条件为： 1 i m v ( s ，t ) = 嬲 ( 4 4 ) 由赎回条款和回售条款引入的约束条件为： 裟躯豁 ( 4 1 ，( s ，f ) p ( f ) ”。7 其中c ( t ) 和p ( t ) 分别为t 时刻的赎回和回售价格。 可转债具有转换赎回及回售条款，同时具有提前执行的美式期权的特性，而美 式期权的定价尚无解析解，因此可转债定价问题一般求助于数值方法，有二叉树法、 差分法、有限元法等。 第二节股价服从跳扩散的单因素可转债定价模型 一、建立可转债定价模型 由于在现实的金融市场当中存在由于一些重要信息的到达引起股价的不连续 股价服从跳扩散的可转换债券定价模型 变化，令v ( s ，t ) 表示到期时问为t 的可转债在t 时刻的价值，股票价格s 用以下跳扩 散过程来刻画更具有现实意义： 堕上：出+ 仃出，+ “由， ( 4 6 ) s f 其中参数与( 3 6 ) 式中的相同在此不再累述。 首先构造投资组合 h | = v t a t s t ( 4 7 ) ，是t 时刻卖出的股票份额。 由于存在刻划股票跳跃的p o i s s o n 过程，因此希望直接通过a 对冲，使得投资 组合n 在( t ，t + d t ) 是无风险的，这是不可能了! 但是由于跳跃部分来自于具体 公司或行业的新的重要信息的披露，因此它表示为市场无关的“非系统”风险，因 此可以认为投资组合n 。的期望收益率是无风险利率，即 e 汹，) = r h ，旃 ( 4 8 ) 根据模型( 4 6 ) ，在i t ，t + d t 时段内，股价有两种可能： ( 1 ) 若s ，不发生跳，即对于事件缈。，由于 v l = v g ，t ) 因此由肋公式 铘胁以吐妒睁扣2z 萨a 2 v 、| 尸+ ( 罢也) 凼，9 ) ( 2 ) 若s ，发生跳，对于事件国：，有 铘，如：) = v g ，+ ，f ) 一v ( s ，f ) 一，g ，+ 一墨) = v ( ( 1 + “b ，) 一v g ，t ) - a ，u s ， ( 4 1 0 ) 由( 4 8 ) 有 r h ，d t = e 汹，) = - - 础炳，如，) + 2 d t d l - i ，如：) 】 舡础临+ 钟+ ( 知列+ 肋肌蛳h 也训 浙江工商大学硕士学位论文 取 ( 4 1 1 ) 小乱。 在等式( 4 1 1 ) 两边对u 取期望，消去a r t 2 项，并考虑到投资组合( 4 7 ) ，立得 妄+ 三仃2 s 2 窘+ 一舭弦象一( ，+ 五) v + 饵( v ( ( 1 + “b ，) ) = 。 ( 4 1 2 ) 其中k = e 。u ) 设可转债面值为b ，转股比例为m ，则其边界条件满足： v ( s ，r ) = m a x ( b ，m s ) l i m v ( s ，f ) = m s j - * a o ( 4 1 3 ) 二、推导可转债定价公式 可见在跳扩散模型下，可转债的定价模型可以表示为一个带由数学期望产生的 积分项的抛物型方程的c a u c h y 问题( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 。 令 z = l n s ，7 = l n ( 1 + u ) ( - 1 l n b ) 由于z t 2 翌望挚，以及g t i 与乙的相互独一- 1 - 土, j ，则有弘g ) 出，2 服 从( 。，弘2 c s ，出 ，所以 q ( m s7 b ) = 足( 丁一t ) e t ( d 。) 】 其中b 是关于兀( 1 + “，) 分布的期望算子， ( 5 2 6 ) 动 动 2 ， 幽 群 油 ，l ，h。p小。 出 卜 rp，m 一叫纠坼兀邮 m 鲰刚奎 彬 o ， 7 rp， 股价服从跳扩散的可转换债券定价模型 d l = l n m s 兀( 1 + “f ) 即( f ，r )一跏蛐 w 叫= 鼍p 叫h ， 由( 5 2 3 ) ( 5 2 6 ) 两式得 d = b p ( t ，丁) 坟仃一f 溉( ( d 。) ) 一ir ( s ) d s 对于c = e p 0 ： m s r ， 。，冽) ，定义新的概率测度r ，满足 筹阶珈蛐一弘d z , 2 ， ( 5 2 7 ) 令d z ，3 = d z ，2 + o ( t ) d t ，由g i r s a n o v 定理知，z ，3 为概率测度r 下的标准布朗运 动。在概率测度r 下 n，t t x r = x ，n ( 1 + “，) e x p l f o2 ( s ) a s p ( j ) a z ，2 ) i = n ，+ lff c = e v ( p r ( s ) d s 埘s r 州分p 出哿 = e o ( m x r p ( f ，r ) i 。，口1 ) p ( t ，t ) z 雕，占 n r1tt = e q ( 臃，n ( 1 + 甜加x p 砖p 2 0 ) a s p ( s ) 龙，2 ) 。瑚) ) i f f i v + itf = e , ( m s ，兀( 1 + “m r ( 垅s r 口) ( 5 2 8 ) 而用同样的方法可得 r ( m s r b ) = 足( 丁一f 汪i 【( d ：) 】 ( 5 2 9 ) 浙江1 = 商大学硕上学位论文 其中 那么 d 2 = m s 兀( 1 + “f ) b p ( t ，丁)+ 黝帕 n r 。 c = e k ( m s ，兀( 1 + “坟( ，一f 皈( ( d ：) ) 将( 5 2 2 ) ( 5 2 7 ) ( 5 3 0 ) 三式代入( 5 2 1 ) 式得 ( 5 3 0 ) m ，) = 砉巡专盟e - a ( r - o e k ( 卯乃+ 肌j ，密( 1 + “，) ( 啪一b p ( r ，d ( m ) ( 5 3 1 ) 其中 d l = d 2 = 七 聊j 兀( 1 + ”；) b p ( t ，丁)一黝蛐 胁j 兀( 1 + 甜f ) b p ( t ，r )+ 黝蛐 秒( f ) = 扣百巧丽 p ( t ，t ) = a ( t ) e 一寥7 ，万o ，r ) = 竺( 1 a _ e - a ( r - t ) ) ( 即m + ，x 砌一譬) o ) 2 8 2 ( 1 ) a ( t ) = e 口2 4 n 5 5 1 一e 一口( t - t ) 口 股价服从跳扩散的可转换债券定价模型 第六章结论 一、本文的主要研究成果 作为一种衍生金融工具，可转债具有天生的独特优势：发行人可降低财务费 用、合理避税并可延缓摊薄效应；投资人可锁定投资风险，并分享股票价格上涨 的好处。因此，如何准确分析可转债的内在价值具有很强的现实意义。本文将跳扩 散模型应用到可转债的价值分析中，本文主要研究了以下问题： 1 、针对当上市公司有重大信息达到时，股票价格会发生不连续的变化，即跳 跃，本文引入跳扩散模型来刻画这种跳跃的股票价格运动特征，把跳扩散下的期权 定价方法运用到可转债券定价当中，可以更加合理的判断可转债的价值。 2 、基于跳扩散模型，建立了以股价为基础变量的单因素可转债定价模型，用 迭代法得到定价公式。并以南山转债为例用m a t l a b 软件对这一定价模型做了实证检 验，得到的理论价值的走势跟市场价格的走势较相似，并且与传统的b - s 期权定价 方法相比较，得到的理论价值更准确更接近于市场价值。 3 、引入利率期限结构模型，采用v a s i c e k 模型描述利率的随机变化，建立以股 价和利率为基础变量的双因素可转债定价模型，最后用鞅方法得到定价公式。 二、研究展望 由于作者学术水平和专业水准的限制，本文还存在一些不足之处，可以在以 后的研究中得到进一步完善。 首先，在引入跳扩散模型的过程中，对股价跳跃强度五的取值并没有具体的估 计方法。 其次，本文仅对南山转债定价作了实证，随着转债条款的不断创新，又待于对 转债市场上更多的转债品种作研究，以得出更翔实和更有说服力的数据。 再次，本文在建立双因素定价模型中，虽将利率的随机因素引入我国的可转债 定价模型中，更精确的计算了可转债的价值，但利率波动和股价波动的相关性以及 定价公式中的部分参数的估计方法还需要进一步的完善。 此外，本文在进行可转债定价模型分析时，仍没有考虑可转债的赎回和回售以 及转股价格调整条款和转股价格修正条款。公司分拆股票、派发股利、折价发行新 浙江工商大学硕：l 学位论文 股都会对可转债价值产生影响，但是由于这些因素具有极大的不确定性，所以本文 也就没有考虑这将是进一步研究的理论任务。另外可转债的定价还高度依赖于市场 环境和投资者的偏好，单从数学上难以精确的刻画。如期权价格虽然依赖于期权的 理论价值，但在形成过程中投资者的心理预期也常常是影响投资者行为，进而影响 期权价格波动的一个重要因素。因此如何把期权的理论价值和当时的市场情况以及 投资者的心理预期结合起来是可转债定价研究的一个探索方向。 股价服从跳扩散的可转换债券定价模型 附录 【附录1 】股价服从跳扩散下可转债定价模型的计算程序 f u n c t i o ny = c b ( s o ，s ) b = 1 0 2 7 ；m = 1 0 0 1 6 8 9 ；k = 0 1 2 ；t = 5 ；t = 0 ；r = 0 0 3 6 9 ； a = 0 3 5 ；p = 0 0 16 ；q = 0 3 0 9 ； s i g m a = s i g m a 0 ( s ) ； c = a 宰( 1 + k ) 木( t t ) ； y = o ； f o ri - 1 ：4 0 0 ； r l - - r - a 宰l 【+ i 幸( p + q 2 1 2 ) ( t - t ) ； r 2 = s q r t ( s i g m a a 2 + i 牛q 2 ( t - t ) ) ； d l = ( 1 0 9 ( m 木s 0 b ) + ( r l 一0 5 木r 2 2 ) 宰( t - t ) ) ( r 2 木s q r t ( t t ) ) ； d 2 = ( 1 0 9 ( m 幸s 0 b ) + ( r l + 0 5 木r 2 2 ) 木( t t ) ) ( r 2 木s q r t ( t - t ) ) ； d l = n o r m c d f ( d 1 ) ； d 2 - - n o r m c d f ( d 2 ) ； v = c i 宰e x p ( 一c ) 木 m 木s o 牛d 2 + b 木e x p ( 一r l 木( t - t ) ) 木( 1 - d 1 ) f a c t o r i a l ( i ) ； y = y + v ； e n d f u n c t i o ny = s i g m a o ( s ) n = l e n g t h ( s ) ； f o ri = l ：n 1 u ( i ) = 1 0 9 ( s ( i + 1 ) s ( i ) ) ； e n d y = s t d ( u ) 宰s q r t ( n ) ； 【附录2 】股价服从几何布朗运动下的可转债定价模型的计算程序 f u n c t i o ny = c b 0 ( s 0 ，s ) b = 1 0 0 ；m = 1 0 0 1 6 8 9 ；k = 0 1 2 ；t = 5 ；t = 0 ； r = 0 0 3 6 9 ；q = 0 3 0 9 ； r l = l ；r 2 = 1 5 ；r 3 = 1 9 ；r 4 = 2 3 ；r 5 = 2 7 ： s i g m a = s i g m a 0 ( s ) ； d l = ( 1 0 9 ( m 木s 0 b ) + ( r - 0 5 幸q 2 ) 木( t t ) ) ( q 宰s q r t ( t t ) ) ； d 2 = ( 1 0 9 ( m 木s 0 b ) + ( r + 0 5 木q 2 ) 术( t t ) ) ( q 木s q r t ( t - t ) ) ； d l = n o r m c d f ( d 1 ) ； d 2 = n o r m c d f ( d 2 ) ； c f = ：r 1 ( 1 斗t ) + 1 眨( 1 + r ) 2 + r 3 ( 1 + r ) 3 + r 4 ( 1 + r ) 4 + 0 3 + r 5 ) ( 1 十r ) 5 ； c = m 木s o 木d 1 一b 木e x p ( 一r l 宰( t t ) ) 木d 2 ； y = c f + c ； 5 8 浙江工商大学硕士学位论文 【附录3 】模型得到的南山转债具体的理论价值与实际市场价格 南山转债不同跳跃强度下的理论价值 b - s 定价方法 时间 市