（应用数学专业论文）拟正则映射与a调和方程很弱解的若干性质.pdf

博十学伊论文 摘要 拟正则映射是复变函数( 或称解析函数，又称正则函数) 的拓广，其在数学、物 理和工程技术中有着比解析函数更广泛的应用这里的拟正则映射就是单( 或双) 特 征矩阵的b e l t r a m i 方程组的广义解 在本文第二章中从退化弱拟正则映射的定义出发，得到了其c a c c i o p p 0 1 i 型估 计由于c a c c i o p p 0 1 i 型不等式蕴含了弱逆h 6 l d e r 不等式，所以这个结果意味着自我 提高的正则性结果与传统方法不同的是，本文并没有应用h o d g e 分解等工具，而 是利用s o b o l e v 的逐点不等式以及m c s h a l l e 扩张定理等结果来进行推导，从而使得 证明中的计算以及指数的估计等方面相对简化 与拟正则映射理论密切相关的4 一调和方程 d i v 4 ( z ，v 钍( z ) ) = 0 其经典弱解的许多性质已经被得到而经典弱解的一个很自然的推广就是很弱解 么调和方程很弱解的性质，尤其是正则性和存在唯一性理论在近些年开始引起人 们的关注并得到广泛的研究 在本文第三章中，我们得到了么调和方程很弱解的比较原理，即在一定条件 下，么调和方程很弱解函数u 1 ，孔2 如果在其定义域s 2 的边界上满足牡1 乱2 的话，则 几乎处处在区域s 2 上就有钆】她成立而且当很弱解函数的可积性指数r 与弱解可积 指数p 相同时，即很弱解成为经典弱解的时候，这个结果与经典弱解的比较原理是 一致的同时，这个结果的一个直接推论就是极值原理 在本文第四章中，我们研究的是4 调和方程相关的单障碍问题的很弱解的性 质利用s o b o l e v 逐点不等式构造出一个全局l i p s c h i t z 连续的函数，由它充当很弱解 定义中的试验函数从而利用经典的m c s h a l l e 扩张定理等结果，我们得到了单障碍 问题很弱解的拟最小化性质，且这一结果与经典弱解的相关结果一致进而我们还 得到了很弱解的么调和方程高阶可积性结果在讨论齐次单障碍问题很弱解的同 时，也给出了与非齐次么调和方程 d i v 4 ( z ，v 乱( z ) ) = d i v f ( z ) 相关的单障碍问题很弱解的拟最小化性质及高阶可积性结果 在本文第五章中，我们研究了双障碍问题的很弱解的性质利用s o b o l e v 逐点不 拟正则映射j 涠千l f 方科很弱解的若干性质 等式以及经典的m c s h a i l e 扩张定理等结：果，我们得到了双障碍问题很弱解的拟最小 化性质，并进而得到了双障碍问题很弱解的正则性结果同时，我们也讨论了非齐 次双障碍问题的很弱解的相关性质，包括其拟最小化性质以及正则性结果最后， 我们讨论了单障碍问题和双障碍问题的关系，并得到了双障碍问题很弱解的一个 收敛的性质 关键词： 退化弱拟正则映射；正则性：c a c c i o p p 0 1 i 型不等式；很弱解；障碍问题 博十学何论文 a bs t r a c t q u a s i r e g u l a rm a 印i n g sa r eg e n e r a l i z a t i o i l so fc o m p l e x 丘m c t i o n s ( a n a l 蛳c 丘1 1 1 c t i o n so r r e g u l a r 凡n c t i o n s ) n e yh a v em o r eb r o a d 印p l i c a t i o l l st h a na n a l 州c 矗m c t j o n si 1 1m a 出e m a t i c s ，p h y s i c sa n de n g i n e e r i n g ，w h e r eq 略i r e g u l a rm a p p i n g sa r eg e m e r a l i z e ds o l u t i o n so f b e l t r a m is y s t e mw i t ho n e ( o rt w o ) c h a r a c t e r i s t i cm a t r i c e s i i lc h a p t e r2 ，w eo b t a i n 也ec a c c i o p p o l i t y p ee s t i m a t eo fd e g e n e r a t ew e 抛yq u a s i r e g u l a rm 印p i n g sb y u s i n gi t sd e 1 1 i t i o n a sw el ( n a w 0 n ec a l le a s i l y0 b t a i l lt l l ew e a l ( 1 yr e v e r s e h 6 1 d e ri n e q u a j i t y 蠡o mn l ec a c c i o p p o l ii n e q u a l i 吼锄dt h e nw ec 锄o b t a i nt h er e g u i a r 耐 r e s u l to fd e g e n e r a t ew e a 】( 1 yq u a s i r 镏j l a rm 印p i n g s w eu s et h ep o i n t _ w i s ei n e q u a l i 砷o f s o b o l e v 缸n c t i o l l s ，m c s h a n ee x t e n s i o n 也e o r e ma i l ds o m ec l o s e l vr e l a t e dr e s u l t st oc o m p l e t eo u rp r o o t h em e t l l o du s e di nt h i sp 印e ri sd i 舵r e n tf r o mt h ec l a s s i c a lo n eo fh o d g e d e c o m p o s i t i o n ，w h i c hm a k e st l l ec o m p l l t a t i o n sa n dm ee s t i m a t e so fe x p o n e n t si nt 1 1 ep r o o f m o r ee a s i l i e r - m a n yp r o p e 代i e so fw e a ks o l u t i o n so f4 - h 锄o n i ce q u a t i o n d i v 么( z ，v 钍( z ) ) = o w n l c nl sc l o s e l yr e l a t e dt oq u a s i r e g u l a rm a p p i n g s ，h a v eb e e n0 b t a 呈n e d an a t u r a lg e n e r a l i z a t l o no tw e a ks o l u t l o ni sv e 拶w e a ks 6 l u t i o n n ep m p e 而e s o f v e 巧w e a ks o l 而o n ，e s p e c i a i v r e g u l a n 巩e x l s t e n c ea i l du l l l q u e n e s s ，h a v eb e e np a i d 砒e n t j o nt oa n ds t u d i e dw i d e l v i nc h a p t e r3 ，w eo b t a i nt h ec o m p a r i s o n p r i c i p l eo f v e 秽w e a ks o l u t i o n so f 4 h a 瑚o n i c e q u a t l o n l f 铆ov e 巧w e a ks 0 1 u t i o n s u 2s a t i s 矗j n g 乱1 乱2o nb o u n d a 拶o f s 2 ，t h e n 乱】 u 2a e i ns2w i t hc e r t a i nc o n d i t i o n s 1 ft h ei n t 神i l i 妙e x p o n e n to fv e 珂w e a k s 0 1 u t i o n si s e q u a lt ot h en a t u r a lo n e ，t i l e nt h i sr e s u l ti sn o t l l i n gb mt 1 1 ec l a s s i c a lo n e m e a n w h i l e ，ad i r e c t r e s u l to f c o m p 撕s o 玎p r i n c i p l ei sm 觚i m a lp r i n c i p l e i nc h a p t e r4 ，w ej n v e s t i g a t et h ep r o p e 啊o f 唧w e a k s 0 1 u t i o n st os i n 烈eo b s t a c l ep r o b l 锄a s s o c l a t e dw l t h 么- h a 咖o n i ce q u a t i o n s b yu s i n g 也ep o i n t 。w i s ei 1 1 e q u a l 时o fs o b 0 1 e v 舳c t l o n s ，w ec o n s t r c u tag l o a b l ec o n t i n u o u s 缸1 c t i o nt oa c ta l st e s t 如c n t i o ni nt h ed e 6 n i t i o n o fv e r yw e a ks o l u t i 0 1 1 s t h e nw e0 b t a j nt h eq u a s i m i n i m i z e r p r o p e r 够a n dh i 曲e ri n t e 黟a b i l 1 锣r e s u l to fv e 巧w e a j cs o l 嘶o n sb ym c s h a n ee x t e n s i o nt h e o r e ma n ds o m ec l o s e 】vr e l a t e d r e s u l t s 。】1 1 er e s u l t sa r ec o i n c i d ew i t ht l l ec l a s s i c a lo n e s m e a l l w h i l e ，、张a l s oo b t a i nt h e s l m l l a rr e s u l t so fv e 巧w e 冰s 0 1 u t i o n so fs i n 9 1 eo b s t a c l ep r o b l e ma s s o c i a t ew i t hn o n h o m o 一 一i u 拟正则映射! j 调币f l 方样很弱解的若干性质 g e n e o u s4 - h a r m o i l i ce q u a t i o n d i v 4 ( z ，v u ( z ) ) = d i v f ( z ) i nc h a p t e r5 ，w es t u d y 也ep r o p e r t i e so fv e qw e a ks o l u t i o n st od o u b l eo b s t a c l ep r o b l e m sa s s o c i a t ew i 也4 - h 删o n i ce q 脚i o n s b yu s i n gt h ep o i n t - w i s ei i l e q u a l i t yo fs o b o l e v f u n c t i o n s ，m c s h a l l ee x t e n s i o nt h e o r e ma n ds o m ec l o s e l yr e l a t e dr e s u l t s ，w ea l s oo b t a i l lt h e q u a s i m i n i m i z e rp r o p e r 妙a n dr e g u l 撕够r e s u l to fv e 巧w e a ks o l u t i o n 。a ts 锄et i m e ，w eo b t a i nr e l a t e dr e s u l t so fn o n h o m o g e n e o u sd o u b l eo b s t a c l ep r o b l e m ，s u c ha sq u a s i m i n i m i z e r p r o p e r 够a n dr e g u l 撕t yr e s u l t i nt h ee n d ，w ed i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e ns i n 9 1 eo b s t a c l e p r o b l e m sa n dd o u b l e0 b s t a c l ep r o b l e n l s ，a n do b t a i nac o n v e 玛e n c ep r o p e 啊o fv e 巧w e a k s o l u t i o nt od o u b l eo b s t a c l ep r o b l e m s 1 ( e y w o r d s ：d e g e n e r a t ew e a yq u a s i r e g u l a rm a p p i n g ；r e g u l a r i 够；c a c c i o p p o i i 哼p e i n e q u a l i 略；v b r yw e a ks o i u t i o n ；o b s t a c l ep r o b l e m 一一 拟正则映射与4 调雨i 方徉很弱解的若于性质 符号表 n 自然数集 r实数集 r 4非负实数集 r “ 扎维实数空间 酞； = z = z 1 ，z 2 ，z n 扎fz o ，i = 1 ，2 ，佗 一v l 博十学位论文 第1 章绪论 1 1 课题的研究意义与历史 高维空间的几何函数论主要考虑单复变函数论中的几何与函数论性质在舻空 间，或更一般的r i e m 砌1 流形上的推广这种推广目前仍为人们所关注，其主要原 因是他在研究过程中的新思想、新方法和得到的新结果在其他领域中有用，而且 这种应用是本质的、重要的 众所周知，复变函数( 或称解析函数，正则函数) 在数学、力学、物理学以及 工程技术中有着广泛的应用f l ，引如何拓广它的应用范围一直是人们关注的单叶 解析函数在平面上的一个自然的拓广为平面上的拟共形映射，即将平面上的无 穷小圆映射为无穷小椭圆的同胚映射它作为平面上b e l t r a l m i 方程的同胚解，已经 被a h l f o r s 和b q ；a r s 虹等数学家研究，它保持了单叶解析函数的许多性质 拟正则映射是复变函数的推广，它去掉了拟共形映射的同胚性要求早在二 十世纪五六十年代，平面上的拟正则映射理论已经被研究，主要结果是平面 上b e l 仃a m i 方程的任何解( 拟正则映射) ，都可以表示为一个解析函数与一个拟共 形映射的复合这样，解析函数恰好是伸张系数为1 的二维拟正则映射另一方 面，l i o u v i l l e 定理断言，维数咒3 的非常数1 拟正则映射是m 6 b i l l s 变换【3 ，即空 间的共形映射非常之少由于空间没有“解析函数”，所以研究空间拟正则映射是 非常必要的 由于拟正则映射满足的条件较弱，这给其性质的研究带来困难空间拟正则映 射与平面拟正则映射在研究方法上又有很大不同，需要较多用到其他数学分支的 理论与方法空间拟正则映射的研究需要用模方法、偏微分方程、s o b o l c v 空间、 微分几何、调和分析等多个学科的方法与结果反过来，拟正则映射的研究方法也 对这些分支的研究与发展提供新的思路例如，n 维空间拟共形映射理论已被广泛 应用于具有广义导数的函数理论【4 ，5 ，6 和具有常负曲率的紧r i e m a i l l l 空间，参见文 献 7 这说明，空间拟正则映射的研究具有广泛的应用前景同时空间拟正则映射 的研究也具有广泛的物理、力学意义例如，拟共形映射和拟正则映射与力学中的 有限变形有内在联系( 参见文献 8 ) 因此，高维空间的拟正则映射与相关问题的理 论结果将对物理学、力学产生深远的影响 平面拟共形映射的研究历史可以追溯到1 9 2 8 年g r o t z s c h 的工作而空间拟共形 映射的概念则是1 9 3 8 年有m a l a v r e l l t i v 首先引入的，他在寻找合适的数学工具来 构造某个水动力系统的数学模型时，引入了空间拟共形映射的概念从二十世纪 拟正则映射! 么调和j 方群很弱解的若干性质 六十年代开始，f w g e h r i n g 与j v 萏s 蕴l 蕴等人对拟共形映射理论进行了系统的研究， 并使之成为数学研究领域中的一个非常重要的分支其中尤为重要的一个结果 是f w g e n g 【9 】建立的逆h c j l d e r 不等式，其研究方法与结果目前被广泛应用于偏 微分方程解的正则性、存在性、唯一性以及稳定性理论研究中 二十世纪六十年代末，苏联数学家r e s h e t l l y a k 开始了空间拟正则映射 ( r e s h e 协y a l ( 称之为具有有界伸张的空间映射) 理论的研究，建立了空间拟正则 映射的离散性和开性等重要性质，见总结性专著 1 0 】稍后的几年里，m a n i o ，r i c k m a n ，v 茬s 萏l 冱等人利用研究拟共形映射的传统方法，即曲线族的模和模不等式等方 法，建立了高维空间拟正则映射的正规族理论、值分布理论等f 1 1 1 2 l 结果 我们知道，空间拟正则映射是b e l t r a m i 方程组的广义解，而b e l 咖l m i 方程组 的强非线性、超定性、非一致性给研究工作带来了极大的困难二十世纪九十 年代初，1 w a i l i e c ，m a r t i n 1 3 1 4 j 等在d 0 n a i s o n 和s u l i i v 觚“拟共形4 维流形工作的 基础上，将奇异积分的c a l d e r o n z g y m u n d 理论、微分几何中的h o d g e 分解( 现称 为1 w a n i e c h o d g e 分解) 理论、觚s s m a n 代数和s o b o l e v 空间的分析方法引入空间拟 正则映射的研究，建立了偶数维弱拟正则映射的l i o u v i l l e 定理，正则性与可去奇 异性等结果，取得了突破性进展之后又利用调和方程，调和分析与偏微分方 程的s o b o l 剀空间方法，将正则性与奇异性推广到任意维数空间上他们的开创 性工作使得拟正映射理论有了进一步的发展拟正则映射的理论与应用问题的 研究成为当代国际热门课题近年来，这一方向有大量的研究成果出现，参见文 献 1 6 ，3 0 ，3l ，9 4 ，9 5 等 空间拟正则映射属于多个分支的交叉学科，它的研究需要综合用到基础数 学中许多学科的研究方法与结果目前，许多国际知名分析学家，如g e l r i n g ，b o i a r s l ( i ，h e i n o n e n ，1 w a l l i e c ，m a 而o ，r i c k m a n ，v 盖s 萏l 萏，d o n a l s o n 和s u l l i v a n 等仍然致力于 本方向的理论研究与应用研究工作国内著名学者，如李忠、陈纪修、伍胜健等 在平面拟共形映射及相关领域，方爱农在高维空间的拟共形与拟正则映射理论的 研究中也取得了举世瞩目的成就平面情形下的拟正则映射，经过a h l f o r s ，b q j a r s k i ， g e l l r i n g 等数学家几十年的研究，使得这一方向的研究结果以相当完美的形式出现 空间拟正则映射的研究刚刚开始，可以预见，在诸多学者的努力下，拟正则映射 理论以及应用问题研究具有良好的发展前景 本文的第二部分是关注于椭圆方程( 方程组) 的经典解( 很弱解) 性质的研 究 椭圆方程是偏微分方程研究中很重要的组成部分我们知道偏微分方程的研究 起源于18 世纪的著名数学家刚e r ，d a l e m b e 咄l a 留a i l g e 以及l a p l a c e 等人的工作而 一2 一 搏十学忙论文 椭圆方程( 组) 是经典的l 印l a c e 方程 血= 玩乱= o 以及p o i n s s o n 方程 乱= ， 的自然推广其研究背景是很深厚的 椭圆方程( 组) 的理论在数学( 如微分几何学) ，物理学( 如电学、热学、光 学、电磁学、天体物理学、量子物理学等) ，工程技术( 如流体力学以及弹性力 学) 理论中，以及很多的实践生活过程中都有着广泛的应用( 参见文 4 0 】) 由 于椭圆方程广泛的研究背景，以及已经得到的其经典弱解，还有经典弱解自然 推广的很弱解的许多良好的性质，特别是很弱解的可积性指数略低于自然可积 性指数，以及很弱解容许解有着更多的奇异性结果( 参见【5 0 ) ，还有椭圆方程 ( 组) 本身就具有与很多物理问题密切的联系，从而使得椭圆方程( 组) 在多年 以来一直得到广泛的关注和研究，其经典弱解( 及很弱解) 的性质更是为许多数 学家所关注并研究( 参见 1 ，8 ，1 2 ，6 9 ，9 9 ) 3，。 对椭圆方程( 组) 的广泛研究主要集中在以下几个方面：解的存在性、解的 唯一性、解的稳定性理论、解的正则性理论、以及其他相关性质的研究对于线 性的椭圆方程古典解的正则性研究的高峰出现在二十世纪三十年代，由著名数学 家s c h a u d e r 【2 3 2 6 等人的一系列文献中达到1 9 5 7 年，eg i o 皤【6 5 】得到了线性方程组 经典弱解的c o 一正则性结果1 9 5 8 年，jn a s h 得出了线性方程经典弱解的( ? 1 正 则性结果他们的工作成果为后面的数学家研究偏微分方程解的正则性理论结果打 下了坚实的基础自这些经典结果出现以后，越来越多的数学家对椭圆型方程( 或 方程组) 的经典弱解的正则性产生了广泛的兴趣，并建立了很多有用的结果 从六十年代开始，越来越多的数学家对如下的多维椭圆方程和方程组- a 调 和方程( 或方程组) 一d i ( a 钾( z ，d 钆) ) + d i ( 乃( z ) ) = o ， 歹= 1 ，2 m 产生了浓厚的兴趣，并得到了一系列的结果f 1 2 ，5 2 6 7 9 6 98 | 其中一个经典的结果 是，在1 9 6 4 年，js e 仃i n 【5 3 】得出了上述a 调和方程组的经典弱解的更高阶的可积性 结果，即其经典的弱解钆w 1 2 和( s 2 ) ，并通过对偶性讨论，得出了实际上原先的 关于经典弱解的假设条件钆w 1 2 ( q ) 可以减弱为u w 1 ，2 椰( q ) 即可这说明， 为了保证椭圆方程组，或者说a 调和方程组的经典弱解的性质，可以在更为广阔 的s o b 0 1 e v 空间中进行讨论而且js e r r i i l 的这一方法对于非线性椭圆方程组的情况 一3 一 拟正则映射与a 调和方样很弱解的若干性质 依然有效在js e r r i n 的结果之后，许多数学家也得到了一系列相关的正则性结果 例如，1 9 8 3 年，mg i a q u i n t a 【4 7 1 得到了方程组 一d a ( a 垆 ，乱) d p ) + d a ( 铲 ) ) = o ， ，j = 1 ，2 在空间w 1 ，2 ( q ) 中的经典弱解u 的c o 一正则性结果，其中a 垆( z ，u ) 关于变量z 和乱 是连续的以及后来在1 9 9 0 年，fs c h u k 研究了形如 n 嵇( z ，乱，d 乱) 钆七= 觑( 髭 ) ) 一g 七p ) ，后= 1 ，2 的方程组，特别的是，其能够改写为如下的形式，即 一现( n 巧( z ，乱，d 钆) d 巧乱七) = 一现( 以p ) ) + 夕七 ) ， 后= l ，2 他待到了上述方程组的l i p s c h i t z 解的梯度的部分h 6 l d e r 连续性以及一正则性结果， 其中，a 巧( z ，乱，d u ) 为c a r a 也e o d o 珂函数，且关于变量z ，乱都是连续的，关于梯度 变量d 乱是l i p s c h i t z 连续的，咒 ) 关于变量z 是指数弘一h i j l d c r 连续的，9 七( z ) 己。( q ) 在js e 玎i n 等人的研究结果的基础上，在1 9 9 3 年，l 咖i s f 4 9 】利用经典的讹i 恤e y 延拓定理以及a 口权函数理论来构造合适的试验函数，得到了如下的高阶椭圆方程 组 ， ( a ( z ，d 研乱( z ) ) ，d n ( z ) ) 如= o ，v = ( 1 ，2 砂) ( 铲( ( ) ) 。 o 在空间w 乏扩6 ( q ，r ) 中的很弱解u 一定在空间i ，1 臀却( q ，r ) 中在这个结果中j l e w i s 首先提出并使用了很弱解这一概念来阐述原来的经典弱解在条件假设降低 后，即很弱解的可积性指数要略低于自然可积性指数这一问题，从而使得椭圆方 程组的求解空间变得更为广阔而且，在这个文献中，jl 洲i s 构造了一个线性的 椭圆方程组的很弱解，从而说明了作为经典弱解的自然推广很弱解是存在的，而 且它并不是原来意义下的经典弱解这使得研究很弱解的性质，并进一步说明很弱 解可能会在什么条件下成为经典弱解就成为一个很有意义的问题 由于很弱解的条件假设要弱于经典弱解，因此些原来处理经典弱解的方法 和手段在处理很弱解的时候出现问题，比如在研究很弱解性质的时候，试验函数 的构造就成为新的研究课题基于此，在1 9 9 4 年厂数学家t1 w a n i e c 和cs b o r d o n e 在 文献 3 1 中利用了经典的h o d g e 分解理论来构造适当的实验函数对很弱解进行了进 一4 一 博十学忙论文 一步的研究，他们得到了如下的a 调和方程组 d i v a p ，d 牡) = 0 在s o b o l e v 空间7 嚣p 一6 ( 【2 ，r ) 中的很弱解乱一定在空间w 甓p w ( s 2 ，r ) 中，从而很 弱解u 一定是经典弱解，其中，a ( z ，f ) 是c 盯a t h e o d o 巧函数，且满足如下的条件： ( i ) l i p s c h 娩型不等式 i a ( z ，) 一以( z ， ) l 6 k 一( i ( 1 f i + | ( 1 ) p 一2 ， ( i i ) 单调性不等式 ( a ( z ，f ) 一a ( z ， 0 ，n e z q ，即，是保向映射 首先，我们给出( 弱) 拟正则映射的经典定义 一一，一 拟正则映射与么调和方稗很弱解的若干性质 定义1 3 1 映射= ( j r l ，2 ，广) 称作区域【2 上的 7 拟正则映射，1 ， ， 如果映射j 满足： ，崔7 ( 哦形) ； “砂翟野i d ，( z ) f l 船| d j r ( z ) l 。e z q ， 满足条件的最小的k 称为 b 、的伸张如果 咚、是同胚的，9 1 j 称其为k 拟共 形映射 定义1 3 2 跌射= ( i 厂1 ，厂2 ，尸) ：器( q ，俨) ，1 g o 。称作区蜘上的 弱k 拟正刚映射，1sk 。，如果映射1 只满足上面的条件( i i ) 事实上，定义1 3 2 中的“弱 的含义是指t 厂的s o b o l e v 可积指数g 小于空 间维数佗的情况，于是k 拟正则映射与弱k 拟正则映射的一个实质区别是 其j a c o b i j ，( z ) 在2 中是否局部可积 拟正则映射与弱拟正则映射有着下面的等价定义 我们称 d 2 ，( z ) d t 厂( g ) = j ；7 订( z ) g ( z ) 。 ( j ) 是钾雏的b e l 仃a m i 方程组，其中g p ) g l ( 礼) 是正定，对称且行列式为1 的n 阶方 阵，且满足一致椭圆型条件 q i i ( g ( z ) 善，) p l l ，芒彤，o a 卢 。 定义1 3 3 釉p ，抛朋j 方程组于勋6 砌空粥警( 2 。胛) 上的广义解为拟正则 映射 定义1 3 4 覆徊p 加溯f 方程组伊于：曲6 d 伽空萄岷警( q ，舻) ，l g o 。上的广义解 为弱拟正则映射 定义1 3 5 掰警( q ，彤) 为拟正则映射，如果 ， i d ，( z ) i 礼k 礼竹2 如( z ) ，o e z q 。 ( j ，) 。 9 ， 二 定义1 3 6 掰警( ；2 ，彤) ，l g o o 为弱k 拟正则映射r 如果倒成立 这些定义两两之间是相互等价的，其等价性的推导参见文献【1 0 ，1 4 等需要注 意的是，在应用不同的定义的时候，其伸张可能是不同的于是，在推导与( 弱) 拟 正则映射相关的性质的时候，我们就可以选择不同的定义，以方便我们的推导， 并达到相对理想的结果 t i 砌1 i e c 等人将h o d g e 分解等工具引入拟正则映射的研究，使得空间拟正则映 一8 一 搏十学伊论文 射理论研究得到了一个很大的跨越h o d g e 分解的形式目前有以下三种，即微分形 式，向量以及矩阵的h o d g e 分解，我们将其作为引理给出 引理1 3 1 【1 3 】觑上尸( 卜) ( q ，八 ) ，p 2 ，o p 1 劬，则存在f 一1 形如和2 + 1 形式声使得 2 i ! = 2 1 9 l 筘u = d a + 扩p ，q p l 1 卜9 5 ( s 2 ) 如果是闭的f 即幽= q ) ，郡么 删掣侧u i 曙墨) i 一口 如采是余闭的即口= 妫，那么 扩q | | 掣c l i u 峙万：) l 一口e 、， 这里的常数e = p ( 钆，p ，q ) 引理1 3 2 【8 】勘 m n z 1 ，p 一1 ，则一定 存在函数螺忐( q ) 和一个无敖度向量场厅l 者( q ，俨) ，使得 i v u l 吖v 乱= v 妒+ 并有估计式 ： 恻i 南c 川i v 饥伊s 这里系粼= c ( 扎，n q ) 引理1 3 3 【8 】设0 m o z 1 ，p 一1 ，则一定 存在f 句量函蜘哌5 ( q ) 和一个无敖度矩阵场九己恚( q ，舻椭) ，使得 并有估计式 v 乱l 叫v 锃= v + 日 圳圭e v u 吟吨 ，一e 这里系数e = c ( 礼，nr 2 ) h o d g e 分解是研究( 弱) 拟正则映射以及4 调和方程( 很) 弱解的正则性与唯一性 的重要工具在本文中，我们的证明也对其有多处的借鉴和参考 本文中，我们也将用到s o b o l e v 空间中的一些基本估计式 一9 一 拟正则映射与4 调和方群 艮弱解的若t 件质 引理1 3 4 1 0 】设1 z ) 可 积性理论已经被郑神州，方爱农在文献【2 3 中得到上面定义中弱的含义是指 其s o b 0 1 e v 空间可积性指数口可以小于l ，于是也( z ，门在区域q 上不一定是局部可积 的 p 2 2 引理及主要结果的叙述 若上面的定义2 1 1 中q = 2 = 钾，则厂为a ，拟正则映射拟正则映射的理论研究 起源子1 9 6 6 年r e s h e 协y a ky ug 的工作，参见文献 1 0 近些年的一个突破性的进 展是t 1 w a n i e c 和g m 叭i n 盼1 4 l 的结果他们将微分形式，h o d g e 分解以及调和分析等 工具用于拟正则映射理论的研究，得到了偶数维以及任意维数情况下的一系列重 要结果最近郑神州，方爱农| 7 5 】给出了退化拟正则映射并得到了退化拟正则映射 的( p 2 ) 可积性结果，以及h i l l d e r 连续性结果高红亚，吴泽民在文献 3 5 中将 文献 7 5 】的结果推广到了退化弱拟正则映射上去，并利用h o d g e 分解，逆h i 1 d e r 不 等式等工具，给出了退化弱拟正则映射的正则性结果这里我们将其作为引理形式 给出 引理2 2 1 【3 5 】设非常值向彭w ，2 搀( q ，月n ) ，口，z 似 1 ，j 一1 ) ，1 2 忱，是如 定义2 j j 中所述的退化弱k 拟正则跌射，则存在可积性指数g l = q 1 ( n ，z ，k ) z ，使 得对每一个遐化弱k 拟正则映躺翟1 ( 【2 ，形) ，都衔萎( 1 h 2 ，形) ，驯为遐 化k 拟正则映射 在本章中我们同样是研究退化弱拟正则映射，我们得到了其c a c c i o p p o l i 型不 等式，这个不等式蕴含了弱逆h i l d e r 不等式，由此我们可以得到退化弱拟正则映 射的自我提高的正则性结果 主要定理如下所述 定理2 2 1 非常值句彭酱( 啦舻) ，g 朋似 l ，2 1 ) ，1 2 墨钆，是 如定义2 i 1 中昕述的退化弱k 拟正则映射，则存在藕个可积指数q 坼，l 、k 、 z o 重复这个过程，就可以得到l d 厂( z ) i 的局部可积 性指数能够超越2 ，即，翟( q ，俨) ，故，为退化k 拟正则映射这个具体的过程 可以参见文献 8 因此，要证明定理2 2 1 ，只需要证明( 2 2 1 ) 式即可同时这也说 明定理2 2 1 蕴含了引理2 2 1 的结果 注3 一个处理弱拟正则映射的非常经典的方法是利用1 w a l l i e c h o d g e 分解定理 等一些工具【8 ，3 5 36 | 在本节中，我们利用的是先利用空间中s o b o l e v 函数的点态不等 式来构造一个l i p s c h i t z 连续函数，再利用m c s h a n e 扩张定理的结论，以及相关的一 些结果来进行证明，得到了退化弱拟正则映射的c a c c i o p p o l i 型不等式这个方法相 对与h o d g e 分解的方法，在计算上以及指数的估计上要相对简便一些这种方法最 近被f a r a c o ，z h o n g 在文献 3 7 中用来推到弱拟正则映射可积性自我提高的性质事 实上，这种方法对处理那些可积性指数低于自然可积指数的问题的时候是非常有 效的 下面的引理出自h e d b e 培的文献 3 8 引理2 2 2 ( s o b o l e v 函数的逐点不等式) 设乱 1 ，口( 尼。) ，1 q o ，x 日表示集邰的特征函数，乱b 。表示函数在球岛上的积 分平均，而m 表示h 的h 甜却一l i t n 鲫o o d 最大函数 2 3 主要定理的证明 定理2 2 1 的证明 拟正则 庾射与4 凋手方群很弱解的若干性质 我们取截断函数妒c 铲( b o ) ，这里口o = b ( z o ，r ) c cq 是以。：o 为心，以r 为半 径的球，且满足0 多 ) 1 定义函数9 ( z ) f 9 ( z ) = 【 d t 厂i + | ，ov l ， z b o 0 ，z 舻召。 首先，若映射九= ( 1 ，而2 ，厅2 ) ，2 z 几，是一个属于s o b o l e v 空 间w ，1 2 ( q ) ，尉的映射，而且它的其中的一个分量，比如| 7 尼，1s 尼f ，在区域f 2 的边界a q 上为零，则由s t o k e s 公式，我们得到 厶鼢1 棚，2 删批钲z = ( 一1 ) 七一1 d ( 危知d 厅1 八五藤八八d 八e 竹一z ) ( 2 3 1 ) ：( 一1 ) h 胪搠1 八八蕊”八耐八e 州 ，d q = 0 其中e 钆一z = 如t 】八如i 2 八八如i 川，1 i l i 2 o 均成立 我们将( 2 3 3 ) 的每一项都乘以a 一卜，这里e 的值待定对得到的式子两边同时 对a 从0 到。o 积分，通过交换积分次序，得到 胁吣：忘一吲a 如 纠川加v 似h 一1 c 1