（基础数学专业论文）变系数椭圆方程四面体有限元的超收敛.pdf

摘要 对于三维变系数椭圆问题，本文利用b u b b l e 函数性质和单元合并技 术，导出了四面体二次元第一型弱估计此外，本文给出了离数导数 g r e e n 函数的w 1 l 半范估计最后，证明了有限元解t l h 和相应插值兀2 u 在 r 范数意义下有超逼近 第一章主要介绍本文需要用到的基本定理，常用的记号以及模型问 题第二章介绍了四面体二次有限元方法，讨论四面体二次有限元的第 一型弱估计，第三章讨论有限元的逐点超逼近 关键词：四面体有限元；超收敛；超逼近；离散导数g r e e n 函数 a b s t r a c t f o rt h eg e n e r a ls e c o n d - o r d e rv a r i a b l ec o e f f i c i e n te l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi nt h r e ed i m e n s i o n s ，u s i n gp r o p e r t i e so ft h eb u b b l ef u n c t i o na n d c a n c e l a t i o no fe l e m e n t st e c h n i q u e s ，w ed e r i v et h ew e a ke s t i m a t eo ft h ef i r s t t y p ef o rt e t r a h e d r a lq u a d r a t i ce l e m e n t s i na d d i t i o n ，t h ee s t i m a t ef o rt h e w i , l s e m i n o r mo ft h ed i s c r e t ed e r i v a t i v eg r e e n sf u n c t i o ni sg i v e n f i n a l l y , w ep r o v et h a tt h ed e r i v a t i v e so ft h ef i n i t ee l e m e n ts o l u t i o nu ha n dt h e c o r r e s p o n d i n gi n t e r p o l a n t1 - h u - a r es u p e r c l o s ei nt h ep o i n t w i s es e n s eo ft h e l o o - n o r l t l i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m ee l e m e n t a r yt h e o r e m s ，u s u a ln o t a t i o n sa n d m o d e lp r o b l e m sn e e d e di no t h e rc h a p t e r s i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s s t e t r a h e d r a lq u a d r a t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h ew e a ke s t i m a t eo ft h ef i r s t t y p e f o rt h et e t r a h e d r a l q u a d r a t i cf i n i t e e l e m e n ti sd e r i v e d p o i n t w i s e s u p e r c l o s e n e s so f t h ef i n i t ee l e m e n ts o l u t i o ni sd i s c u s s e di nc h a p t e r3 k e y w o r d s ：t e t r a h e d r a lf i n i t ee l e m e n t s ；s u p e r c o n v e r g e n c e ；s u p e r c l o s e n e s s ； d i s c r e t ed e r i v a t i v eg r e e n sf u n c t i o n i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：古a 杆趴叼年t 月 西日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密留 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名： 功乃税日期：丑棒7 月夕g 日 导师签名： 葫1 修 日期：叼年，月矽日 变系数椭圆方程四面体有限元的超收敛 日i j吾 有限元方法是解偏微分方程的一种行之有效的数值方法，广泛应 用于科学与工程计算各领域；有限元方法只是推广的r a y e l g i h - r t i z - g a l e r k i n 方法，可视为g a l e r k i n 方法的特殊情形，不同于经典的 g a l e r k i n 方法，有限元法使用分片多项式为试探函数，由于剖分灵活 使有限元法比差分法更容易处理复杂的边界问题，但其又继承了差分 法稀疏矩阵的特点因此较之经典的g a l e r k i n 方法可谓青出于蓝，所 以自其出现以来就成为工程界广泛使用的方法在有限元误差分析 中逐点误差估计意义重要，为工程界所接受有限元超收敛研究一直 是有限元理论中一个重要研究课题 随着超收敛的发展，对于一维和二维问题，离散g r e e n 函数的估 计和两个基本估计( 弱估计) 已为人所知( 参见 2 0 ) ，超收敛研究也很完 善然而对于三维有限元问题超收敛结果不多，原因之一是三维区域 复杂，缺乏对称性对于三维有限元，目前已有些超收敛结果( 见 1 1 8 】) 其中四面体无的超收敛结果可见 3 、【4 】、 6 】- 8 】、 1 1 】、 1 2 、 1 5 】、 1 7 、 1 8 】，但文 1 2 】获得的是关于p o i s s o n 方程四面 体二次元的超收敛结果，本文讨论一般变系数椭圆方程，导出了四面 体二次元逐点超收敛估计 变系数椭圆方稃四面体有限元的超收敛 1 1 有限元方法介绍 1 基础知识 有限元方法是当今工程分析中获得最广泛应用的数值计算方法 其基本思想的提出，可以追溯到c o u r a n t 在1 9 4 3 年的工作，1 9 6 0 年 c l o u g h 首次正式提出了“有限单元法”这个名称 2 2 】伴随着计算机 科学和技术的飞速发展，有限元方法作为工程分析的有效方法，在理 论、方法的研究、计算机程序的开发以及应用领域的开拓诸方面取得 了根本性的发展 有限元方法的出现，是数值分析方法研究领域内重大突破性的进 展，它的应用涉及到了一切工程行业和科技领域，成为了一个超行业、 跨学科的新的学科 1 2 常用记号和s o b o l e v 空间 设f 2 e r d ( d 维欧氏空间) 为一有界开域，我们规定： p k ) ：q 上的完全k 次多项式空间； c ) ：q 上的全体连续函数的集合； 2 ) ( 1 p ) ：q 上全体p 次绝对可积的l e b e s g u e 可测函 数的集合，它按范数 ， 1 i l u l l o , p 皿= ( f l u ( x ) l vd x ) f 高校教师在职硕士毕业论文 构成一个b a n a c h 空间； r ) ：q 上全体本质有界的可测函数的集合，它按范数 u l l 。，o o ，力= m e n s i n ( f f ) ：。x s e n u p f l u ( z ) i 构成一个b a n a c h 空间； c m ( 互) ：q 的闭包上的直到m 次导数连续的函数的集合，它按 范数 i l u l l c m = m a 跏xm 删餮。l d a u ( x ) i 构成一个b a n a c h 空间； w m , p ( a ) 表示通常的s o b o l e v 空间，且 w m ，p ( f 2 ) 三( 杪：d 瑾w e l p ( f 2 ) ，i 口i m ) 其中m 0 为整数，口= ( 口1 ，口2 ，嘞) 为重指标，= 口1 + 0 1 2 + + ，d 口杪为1 7 的分布导数，1 p 0 0 这个空间依范数 i i m 私n = ( i 勘脚附x ) - ，l p o o i i m 鸬n = 离翌m ( 蹬。淤譬i d 口杪( 功i ， p = o o 构成一个b a n a c h 空间此外，对于这个空间，还有下面的半范： 唧旷( i 勘咖阳x ) - ，l _ p o o m n = l 毋呈蔫m ( 雅。测d 口v ( z ) i p = o 。 留( 力) 按范数| | 1 i m , p x 2 的闭包记为w o m ，p ) ，显然 w o m ，p ( 门) cw m ，p ( 力) 变系数椭圆方稃四面体有限元的超收敛 另外，我们还简记 h m ( 门) = w m 2 ( n ) ， i i 1 i m ，2 = i i 1 l m ，2 ，2 h 酽( 力) = 仇伊2 ( 力) ， i i m ，n = i i m ，2 皿 h m ) 和w ) 依范数i i i i m 力构成h i l b e r t 空间 1 3 几个基本定理 定理1 1 ( s o b o l e v 积分恒等式) 设f 2cr d 为有界开域，且存在闭球sc f 2 ，使得q 关于s 中每一点 都是星形的，u c m ) ，那么u ( 戈) 可以表示成如下形式 诹卜y , l a ( u ) x a + f r 1 石l 暑q 口哆瑚均油， 其中2 口( u ) 是c m ( n ) 上的线性泛函 f 口( u ) = f ( a ( y ) u ( y ) d y ， 而五( ) ，) ，l 口l 仇一1 是) ，的连续有界函数，q 口( 五) ，) ，i 口i = m 是x 和y 的有界的无限次可微函数此外 吲l = 防玎) _ ，圳q 设x 和y 为两个b a n a c h 空间，如果xcy 且存在常数c 使得 1 7 i f y c l l v l l x ， v 1 7 x 那么就称x 被嵌入在y 中，用符号xqy 表示若嵌入映射是紧的，则 用符号xq cy 表示 高校教师在职硕士毕j i k 论文 定理1 2 ( s o b o l e v 嵌入定理) 对所有整数m o 和所有的p 1 ， ，有 w m ，p ( 力) l 上，p ) ，芦1 = 石1 一詈，如m p d ； w m ，p ( n ) ql q ( f 2 ) ，v q 1 ，0 0 ) ，如m p = c f ； w m , p ) q c 上，q ) ，v 1 q p ，1 = 石1 一了w t ，女 jm p d ； w m ，p ( q ) ql q ( a f 2 ) ，当m p 0 ，使得 却c 却+ i j ： u d s l ) ，u 炉，l ( z 一毛) 3 a z 妒s ( p ) = ( z 一 ) 3 h 一1 ( 4 肛1 1 ) s e 冼 + z 3 h 一1 ( 1 4 肛6 ) + ( z 一 ) 3 4 一1 弘3 ：t - ( z - h ) 3 4 h - l l a 4 + ( z h ) 34 h - 1 ( 6 一肛1 ) ( 1 3 ) 于是 最后 + ( z 一笏3c - 4 h - i 卫3 ，+ ( z 一鲁) 3c - 4 h - 1 1 4 ， = 3 2 2 - 3 勉+ 扣 如= f g a ( 3 2 2 - 3 比+ 乏1 哟d y = 盖 ( 1 4 ) 丘= 厶沁3 姜c p p s ) 3 城d y 飞1 ( z 一磊) 3 a z 砂s ( p ) = ( z 一，1 ) 3 h 一1 ( 4 y 4 1 ) 于是 + z 3 h 一1 ( 1 4 y 8 ) + ( z 一九) 3 4 h 一1 n ( 1 5 ) + ( z 一笏3c - 4 h - l y 3 ，+ ( z h ) 34 h - 1 c 帕刊 + ( z 一兰) 3 4 一1 + z 3 c - 4 h - l y 6 ， = 3 2 2 - 3 地+ 扣 扣，上凰( 3 2 2 - 3 比+ 乏1 2 ) d y = 一丽h s ( 1 6 ) 由( 1 0 ) ，( 1 2 ) ，( 1 4 ) ，( 1 6 ) 可得i ( z 3 ) = 0 ，即t i ( z 3 ) ；0 2 当u = x = x y z 时， h = 上，妙1 d 3 y 刁。荟( p - p s ) 3 a z d p s d 矿 = 石1 上。荟沪瑚( y 训( z _ 砒姒州旷 ( 1 7 ) 由( 1 ) 和( 2 ) 可知 弋1 ( x x s ) ( ) ，一y a ( z 一毛) 屯咖s ( p ) = x y ( z 一2 h ) h 一1 ( 4 a 2 1 ) + x y ( z - h ) h q c l 4 a 3 ，+ ( x 一匀( y 一勺( z 一萼) 4 。a 1 + ( z 一笏( y 一孔叫( 枷。切( z 一萼) 4 一( 卜 + g 一鲁) y ( z 一萼) 4 q 厶+ ( x 一匀y c z 叫c 枷以 h = 淞y 一知非羔 ， 此外 如= 厶昙。3 c z y 刁。s 罗冼( p - p s ) 3 a z q ) s c p ，d y = 丢厶萎”砧刊沪鹕纵州y ， 由( 3 ) 和( 4 ) 可知 y ( x x s ) ( y - y s ) ( z 一磊) 屯妒s ( p ) j 一 = ( x 一 ) ( y 一 ) ( z h ) h 一1 ( 4 m 1 1 ) + ( z h ) ( y h ) z h 一1 ( 1 4 “6 ) 3 0 妙 1 2 一 y x 一 琨 于是 最后 + ( x 一鲁) ( ) ，一鲁) c z 一九，4 一1 “3 + ( x - ，t ) ( y 一鲁) ( z 一 ) 4 一1 弘4 + ( x - ) ( ) ，一 ) ( z 一兰) 4 一1 ( 弘6 一弘1 ) + ( x 一笏( y 一孤一兰) c 枷- 1 肛3 ) + ( x - 的( y 一笏( z 一笏c 蛳- 1 3 4 ) = x y 一三h 一砂+ 扣 = 一乏h 一砂+ i 肛 b = 吾扣一砂+ 秒1 渺= 盏 ， 厶= 脖3 z ) 荟( p - 妒蝴渺 = 丢上4s e j 4 ( x z s ) ( y 一始) ( z 一磊) 吃砂s ( p ) d y ( 2 1 ) 由( 5 ) 和( 6 ) 可知 x 1 ( x x s ) ( ) ，一强) ( z 一毛) 吃妒s ( p ) = ( x h ) y ( z h ) h 一1 ( 4 y 4 1 ) + ( x - h ) ) ，z 一( 1 4 怕) + ( z 一勺y ( z m y 3 + ( z 一兰) y ( z 一易c 枷。耽川z 叫yg 一兰) 4 一c 怕一r 4 ) + ( x - ，( y 一笏( z 一兰) 4 一地叫( y 一舡枷q r 6 ) = x y h y 于是 丘= 丢l ( x y 一妙) d y = 7 2 0 由( 1 0 ) ，( 1 8 ) ，( 2 0 ) ，( 2 2 ) 可得i ( x y z ) = 0 ，即t 1 ( x y z ) = 0 3 当u = z = x 2 z 时， ( 2 2 ) = 睁13 咖荟耻耵渺 = j 1 上，乏”2 ( z _ 砒们渺 ( 2 3 ) 由( 1 ) 和( 2 ) 可知 弋_ 弋 ( 戈一x s ) 2 ( z z s ) o z 咖s ( p ) = x 2 ( z 一2 h ) h 一1 ( 4 a 2 1 ) s c o t t 撑( z 叫一( 1 - 4 , 1 3 ) + ( z 一抓z 一韵4 一a 1 + ( x 一孔z 叫( - 4 h - 1 ；q m 2 ( z 一萼) 4 一吐) + ( x 一笏2 ( z 一萼) 4 h - t ；t 4 + ( x 一兰) 2 c z 一 ，c - 4 h - i ；t 4 ， 此外 厶= 珊 扣拈而h s ( 2 4 ) 如= 正3 1 d 3 ( x 2 z ， 咿砂 3 2 xh 1 2 2 x = 是于 = 三厶蠢沪2 沪砒纵州矿- ， 由( 3 ) 和( 4 ) 可知 1 1 ( x x s ) 2 ( z 一瓦) 屯妒s ( p ) 于是 最后 = ( x 一 ) 2 ( z h ) h 一1 ( 4 1 1 1 ) 4 - ( x 一九) 2 z h 一1 ( 1 4 m 6 ) + ( x 一翁2 ( z 叫4 h - 1 比3 + ( x 叫2 ( z 叫4 一p 4 他叫2 ( z 一鲁) 4 一c 胪+ ( x 一匀2 ( z h ) ( - 4 h - 1 比3 ， 如= 三驴一扣秒1 = 一面h 5 ， 厶= l 吾。3 ( x 2 z ) s 以( p - p s ) 3 0 z d 2 s ( p ) d y = 三l 乏沪妁2 ( z _ 砒删批( 2 7 ) 由( 5 ) 和( 6 ) 可知 1 1 ( z x s ) 2 ( z z s ) o z g , s ( p ) = ( x 一 ) 2 ( z 一九) h 一1 ( 4 y 4 1 ) + ( x - - h ) 2 z t 一1 ( 1 4 诧) + e 一翁z ( z h ) 4 一1 y 3 3 3 ) 铲 扒列 ，： 12 p 件 x 、 ；一7 的 3 2 一 一 z p x + ( x 一勺2 ( z h ) ( - 4 h - l y 3 川x 叫2 ( z 一兰) 4 一c 地训 + ( x - ) 2 ( z 一匀4 一y 6 + ( x 一 ) 2 z ( - 4 一r 6 ) = 戈2 一三3 搬+ 三1 ，t 2 于是 如= ；驴一扣护1 渺= 一面h 5 ( 2 8 ) 由( 1 0 ) ，( 2 4 ) ，( 2 6 ) ，( 2 8 ) 可得i ( x 2 z ) = 0 ，即n 2 z ) = 0 4 当u = x = x z 2 时， = 上，d ( x z 2 ) 。j ，c p b ，3 以咖s c p ，d y = 1 上。乏沪砧”她姒州n ， 由( 1 ) 和( 2 ) 可知 气1 ( x x s ) ( z z j ) 2 吃咖s ( p ) = x ( z 一2 ，t ) 2 h 一1 ( 4 a 2 1 ) s e t t t 于是 + z ( z - 2 h 翔_ 1 ( 1 - 4 , t 3 ) + ( x 一翁( z 一警) 2 4 一a 1 + ( z 一鲁) ( z 一 ) 2 ( _ 4 h - 1 九) + z ( z 一2 4 h - 1 ( a 3 一a 2 ) + ( 戈一孤一韵24 一”( x 一扣叫2 c - 4 h - l l t 4 ， = 2 x z 一乏5 ，t x 厶= 三上。c 2 x z 一兰舭，d y = 3 6 0 ( 3 0 ) 此外 岛= 睁13 2 ，。善p 咿渺 = j 1 正。乏沪砧m ( p ) 以 ( 3 1 ) 由( 3 ) 和( 4 ) 可知 y ( x - x a ( z - z d 2 0 z 魄( p ) j 一 s 6 a 3 于是 最后 = ( z 一 ) ( z 一 ) 2 h 一1 ( 4 1 1 ) + ( z h ) z 2 h 一1 ( 1 4 肛6 ) + ( z 一兰) ( z h ) 2 4 h - 1 , u 3 + ( x 一 ) ( z 一 ) 2 4 ，l 一1 p 4 + c 二一九，( z h ) 24 h - 1 c p 6 一弘1 ，+ ( z 一鲁) ( z 一鲁) z c - 4 h - l p 3 ， 地叫( z 一匀2 ( - 4 h - l p 4 ) = 一互3 2 x z 版一2 h z + = 一互版一+ 乏胪 如= 三小一乏3 k 蚴z + 扣d y = 一丽h 5 ( 3 2 ) 厶= l 丢。3 c x z 2 ，s z 巩( p - p s ) 3 0 z 砂s c p ，d y = 吾l 乏沪瑚卜妒渺邓3 ， 由( 5 ) 和( 6 ) 可知 3 5 t ( z x s ) ( z 一磊) 2 以妒s ( p ) = ( z 一 ) ( z 一 ) 2 h 一1 ( 4 r 4 1 ) s e 3 4 + ( x - m 2 一( 1 4 y 8 ) + ( z 一兰) ( z 一妒4 一n + ( z 一笏( z 一2c - 4 h - l y 3 川z 叫( z h ) 2 4 h - 1c 怕训 + ( z 一九) ( z h ) 2 4 h - l y 6 + ( z 一九) z 2 ( - 4 h - 1 y 6 ) = 2 x z _ 2 3 _ h x 一2 h z + i 3 h 2 二二 于是 如一( 芝3hx一2勉+芝32xz-哟肚旦2 4 0 ( 3 4 ) 如= j l 芝q 抄椰= 一 ( 3 4 ) 由( 1 0 ) ，( 3 0 ) ，( 3 2 ) ，( 3 4 ) 可得j ( x z 2 ) = 0 ，即t l ( x z 2 ) = 0 当u = z = y z z 时， h = 饽13 酽咖荟c 卜秽一渺 = i 1 ，丢旷砒刊榔渺- ， 由( 1 ) 和( 2 ) 可知 x 1 ( y y s ) 2 ( z z s ) o z 咖s ( p ) = y 2 ( z 一2 h ) h 一1 ( 4 a 2 1 ) s e j i + y 2 ( z 叫一( 1 - 4 j 1 3 ) + ( y 一抓z 一警) 4 一a 1 + ( y 一孔z 叫( - 4 h - 1 2 1 ) + y 2 ( z 一萼) 4 一喝) + y 2 ( z 一萼) 4 一a 4 + y z ( z 叫( 枷4 础) 于是 = y 2 一乏1 y = 泌y 2 一拶1 拈一面h s ( 3 6 ) b = 。d ( y 2 z ，荟旷驴螂渺 = 三厶荟旷砒叫渺 ， 由( 3 ) 和( 4 ) 可知 一( z 一毛m 舻) = ( y 一九) 2 ( z h ) h 一1 ( 4 肛1 1 ) + ( ) ，一 ) 2 z h 一1 ( 1 4 1 2 6 ) + ( y 一兰) 2c z 一 ，4 h - 1 比s + ( y 一匀2c z 一 ，4 一1 肛4 + ( y - h ，2 ( z 一兰) 4 一1 c 弘6 一肛1 ，+ ( y 一鲁) z ( z h ) ( - 4 h - i i s ， + ( y 一兰) z ( z h ) ( - 4 h - 1 1 4 ， 一兰砂+ 扣 最后 b = 三厶( y 2 一乏3 妙+ 乏1 2 = 丽h 5 ( 3 8 ) 3 7 耻f e i d 3 ( y 2 z ) 乏”咿蝴渺 = 三* s e j 4 c y 一强，2 c z 一磊，也砂s c p ，d y 由( 5 ) 和( 6 ) 可知 、- 1 ( y 一强) 2 ( z z s ) o z l f ，s ( p ) = y 2 ( z 九) 一1 ( 4 y 4 1 ) s , 7 4 于是 + y 2 z ，l 一1 ( 1 4 y 8 ) + y 2 ( z h ) 4 h 一1 耽 ( 3 9 ) + y 2 ( z - h ) ( - 4 h - l y 3 ) + y 2 ( z 一耋) 4 一1 c y 8 一r 4 ) + ( y 一h2 ( z 一兰) 4 h 一1 + ( y 一_ ) h2 z ( 一4 一1 y 6 ) = y 2 一三妙 如= j 1 - l y 2 一三妙) d 矿= 7 2 0 由( 1 0 ) ，( 3 6 ) ，( 3 8 ) ，( 4 0 ) 可得i ( y 2 z ) = 0 ，h p r l ( y 2 z ) = 0 6 当u = z = y z 2 时， h = 睁3 2 ，丢肚耵渺 = 1 正。乏 叫沪轷脚- 由( 1 ) 和( 2 ) 可知 t 1 ( ) ，一y a ( z 一磊) 2 也咖s ( p ) = y ( z 一2 ) 2 h 一1 ( 4 a 2 1 ) s , 7 1 + y ( z - 2 h 婀- 1 ( 1 - 4 a 3 ) + ( y 一孤一警) 2 4 一a 1 3 8 ( 4 0 ) ( 4 1 ) + ( ) ，一笏( z 叫2 ( - 4 h - 1 , t 1 ) + y ( z 一_ 警) 2 4 h - 1 ( 妒锄 + yz - - 萼) 24 一”y ( z 叫2 ( - 4 h - 1 一t 4 ) s = 2 y z 一万h y 于是 = 三c ( 2 ) ，z 一乏5 砂) d 矿= 一一h 5 7 2 0 ( 4 2 ) = 玑2 ) ，z 一乏砂) d 矿一一- ( 4 2 ) b = 脖3 ( y z 2 ) 荟( p - 秽螂砂 = 三厶荟旷删z _ 炒 ， 由( 3 ) 和( 4 ) 可知 t 1 ( y y a ( z z s ) 2 以钆( p ) = ( y 一 ) ( z 一九) 2 h 一1 ( 4 肛1 1 ) + ( y h ) z 2 h 一1 ( 1 4 弘6 ) + ( y 一兰) c z 一 ，2 4 h - l l t l 3 - - ( y 一兰) c z 一 ，2 4 一1 肛4 也叫( z h ) 2 4 h - 1 c 胪m + ( y 一匀( z 一孔- 4 h - 1 比3 ， + ( y 一兰) ( z 一笏z c - 4 h - 1 1 4 ， = 2 y z - 乏3 砂一2 舷+ 乏3 2 3 9 最后 如= 吾扣1 3 妙嘞z + 扣拈一丽h 5 ( 4 4 ) 厶= 1 d 3 ( y z 2 ，乏”驴渺 = 三上4s e d 4 c y 一强，c z z j ，2 屯妒s c p ，d y c 4 5 ， 由( 5 ) 和( 6 ) 可知 t 1 ( y 一强) ( z 一磊) 2 ( p ) = ) ，( z 一 ) 2 h 一1 ( 4 y 4 1 ) + y z 2 h 一1 ( 1 4 y 8 ) + y ( z h ) 2 4 九一1 y 3 + y ( z 一2c - 4 h - i f 3 ，+ y ( z h ) 2 4 h - 1c 怕刊 + ( y 一h ( z h ) 24 h - i f 6 + ( y 一hz 2 ( - 4 h - l y 6 ) = 2 y z 一三1 妙 于是 厶= 淞y z 一知一旦2 4 0 ， 由( 1 0 ) ，( 4 2 ) ，( 4 4 ) ，( 4 6 ) 可得i ( y z 2 ) = 0 ，即瓦( y z 2 ) = 0 7 当u = z = x i y j ，0 f ，j 3 ，且f + 歹= 3 时，在单元厶上 a z 尺1 = 。d 3 ( x y o ( x i y ( p b ) 3 以咖s ( p ) a z 尺1 = 石3。艺( p b ) 3 以机( p s e & = c y ( x - x s ) i ( y - y s ) ja z 九( p ) j - _ _ _ s j 1 其中c = 1 ，或c = 三 插值形函数咖s ( p ) ，s , 9 1 ，满足 a z 4 , 1 2 + 也1 3 = 0 ，屯咖2 4 + 也3 4 = 0 ， 屯咖2 + 吃咖3 + a z 咖2 3 = 0 ， a z 咖1 = 以咖4 = 屯咖1 4 = 0 由插值节点b ，s 巩的坐标易见o ：r 1 = 0 ，从而h = 0 在历上 =三ds(xiyj)y(pb)3屯cpsa：nl x i y( p ) = 石(2 ( p b ) 3 屯( p s e j s = c y 一岛) ( y 一强) ，也c o s ( p ) j _ _ j s e j 3 其中c = i ，或c = ：1 插值形函数佻( p ) ，s j 3 ，满足 吃妒1 3 + a z 妒3 6 = 0 ，以妒1 4 + 屯妒4 6 = 0 ， a z 妒1 + 吃妒6 + a z 妒1 6 = 0 ， 吃妒3 = 吃妒4 = 屯妒3 4 = 0 由插值节点b ，sej s 的坐标易见a z n l = 0 ，所以如= 0 在历上 以尺1 = 主d 3 ( x ) ，j ) ( p b ) 3 吃妒s ( 尸) l、1 o厶一 = c 其中c = 1 ，或c = 吾 s e j 4 y ( x - x , y ( y - y s ) ，a z 叽( p ) r s j 4 插值形函数机( p ) ，se 巩，满足 吃t f ，3 4 + 屯砂3 8 = 0 ，也妒4 6 + 以砂6 8 = 0 ， 屯妒4 + 吃矽8 + 屯妒4 8 = 0 ， 4 1 屯1 f j 3 = 以矽6 = 屯1 f 3 6 = 0 由插值节点b ，s 3 4 的坐标易见a z r l = 0 ，所以如= 0 由上述可得j ( x y j ) = 0 ，即乃( 戈y 1 ) = 0 0 f ，歹3 ，且f + 歹= 3 根据1 - - , 7 ，我们得到当x 是g 上的三次单项式时，n = 0 所以， 对于任何z 乃( g ) ，都有 7 1 ( 柏= 0 证毕 4 2 参考文献 【l 】j h b r a n d t sa n dm 鼢晓e k ，h i s t o r ya n df u t u r eo fs u p e r c o n v e r g e n c ei nt h r e ed i m e n s i o n a l f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s c ，p r o c e e d i n g so f t h ec o n f e r e n c eo nf i n i t ee l e m e nm e t h o d s ：t h r e e d i m e n s i o n a lp r o b l e m s ，g a k u t oi n t e r n a t i o n a ls e r i e sm a t h e m a t i cs c i e n c ea p p l i c a t i o n ，g a k - k o - t o s h o ，t o k y o ，1 5 ( 2 0 0 1 ) ，2 2 _ 3 3 【2 】j h b r a n d t sa n dm 酣伲e k ，g r a d i e n ts u p e r c o n v e r g e n c eo nu n i f o r ms i m p l i c i a lp a r t i t i o n so f p o l y t o p e s j ，i m ajn u m e ra n a l2 3 ( 2 0 0 3 ) ，4 8 9 - 5 0 5 【3 】j h b r a n d t sa n dm 1 r d i 艺e k ，s u p e r c o n v e r g e n c eo f t e t r a h e d r a lq u a d r a t i c 论e l e m e n t s j 。j c o m p u tm a t h2 3 ( 2 0 0 5 ) 。2 7 3 6 【4 】陈传淼四面体线元的应力佳点【j 】湘潭大学学报，1 9 8 0 ，3 ：1 6 - - 2 4 【5 】陈传淼有限元方高精度构造理论 m 】长沙：湖南科技技术出版社，2 0 0 1 【6 】l c h e n ，s u p e r c o n v e r g e n c eo f t e t r a h e d r a ll i n e a rf i n i t ee l e m e n t s j ，i n t e r n a tjn u m e ra n a l m o d e l 3 ( 2 0 0 6 ) ，2 7 3 - 2 8 2 7 】g g o o d s e l l , g r a d i e n ts u p e r c o n v e r g e n c ef o rp i e c e w i s el i n e a rt e t m h e d r a lf i n i t ee l e m e n t s c 】， t e c h n i c a lr e p o r tr a l - 9 0 - 0 31 ，s c i e n c ea n d e n g i n e e r i n gr e s e a r c hc o u n c i l , r u t h e r f o r d a p p l e t o nl a b o r a t o r y , 19 9 0 【8 】g g o o d s e i l , p o i n t w i s es u p e r c o n v e r g e n c eo ft h eg r a d i e n tf o rt h el i n e a rt e t r a h e d r a le l e m e n t j ， n u m e r i c a lm e t h o d sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s1 0 ( 1 9 9 4 ) ，6 5 1 - 6 6 6 【9 】v k a n t c h e va n dr d l a z a r o v , s u p e r c o n v e r g e n c eo f t h eg r a d i e n to fl i n e a rf i n i t ee l e m e n t sf o r 3 dp o i s s o ne q u a t i o n c ，b s e n d o v , e d i t o r , p r o c e e d i n g so ft h ec o n f e r e n c eo n o p t i m a l a l g o r i t h m s ，b u l g a r i a na c a d e m yo f s c i e n c e s ，s o f m ，1 9 8 6 ，l a p 1 7 2 - 1 8 2 【1 0 】林群，严宁宁高效有限元构造与分析【m 】保定：河北大学出版社，1 9 9 6 【ll 】r c l i na n dz m z h a n g , n a t u r a ls u p e r c o n v e r g e n tp o i n t si n3 df i n i t ee l e m e n t s j ，s i a m jn u m e ra n a l4 6 ( 2 0 0 8 ) ，1 2 8 1 - 1 2 9 7 【1 2 刘经洪，朱起定三维二次有限元梯度最大模的超逼近 j 】数学物理学报，2 0 0 6 ，2 6 a ( 3 ) ： 4 5 8 4 6 6 【1 3 】j h l i ua n dq d z h u ，m a x i m u m n o r ms u p e r a p p r o x i m a t i o no f t h eg r a d i e n tf o rt h et r i t i n e a rb l o c kf i n i t ee l e m e n t j ，n u m e r i c a lm e t h o d sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s2 3 ( 2 0 0 7 ) ， 15 0 1 - 1 5 0 8 4 3 【1 4 】j h l i ua n dq d z h u ，p o i n t w i s es u p e r c l o s e n e