（基础数学专业论文）具有高阶交换子的marcinkiewicz积分的一些有界性.pdf

摘要 论文主要研究了一类具有齐性核的m a r c i n k i e w i c z 积分高阶交换子芦覆。的 一些有界性问题通过h e r z 型h a r d y 空间的原子和分子分解理论。利用高阶 交换子肛m 6 的口有界性结果，证明了具有齐性核的m a r c i n k i e w i c z 积分高阶 交换子尼6 是从加权h e r z 型h a r d y 空问到加权h e r z 空间有界的，以及其在 h e r z 型h a r d y 空间和加权h e r z 型h a r d y 空间中的有界性文章主要包括下面 几个部分 在第一章中，主要介绍了具有齐性核的m a r c i n k i e w i c z 积分高阶交换子肛置6 及相关函数空闯的基本定义等概念，并简单介绍了其在h e r z 型h a r d y 空间上 有界的一些已有的结论和研究背景 在第二章中。利用加权h e r z 型h a r d y 空间h 。t t 、r 拈a , p 叭( u 1 ，u 2 ) 的原子分解特 征，证明了具有齐性核的m a r c i n k i e w i c z 积分高阶交换子p & 6 从加权h e r z 型 h a r d y 空间疗 ：品( l ，忱) 到加权h e r z 空间”p ( u l ，o ) 2 ) 的有界性，并得到了 其端点估计 在第三章中，一方面，利用h e r z 型h a r d y 空间k 荽晶( r “) 上的分子 分解理论，证明了具有齐性核的m a r c i n k i e w i c z 积分高阶交换子弘黥在h e r z 型h a r d y 空间日磁品( r n ) 上的有界性；另方面又利用加权h e r z 型h a r d y 空问畦；：，l ( 1 ，w 2 ) 上的分子分解特征证明了该算子在h e r z 型h a r d y 空间 ：品1 ，0 2 ) 上的加权有界性 关键词，m a r c i n k i e w i c z 积分；高阶交换子；h e r z 型h a r d y 空间；权函 数；有界性 a b s t r a c t h 1t h i st h e s i s w es t u d i e ds o m eb o u n d e d n e s so fm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a l s o nh o m o g e n e o u sk e r n e lw i t hh i g ho r d e rc o m m u t a t o r s 肛覆6 u s i n gt h ea t o m i c a n dm o l e c u l a rd e c o m p o s i t i o n so fh e r z - t y p eh a r d ys p a c e s ，a n db yt h eb o u n d e d - n e s so fl 4o ft h eh i g ho r d e rc o m m u t a t o r s 肛孙，w eo b t a i nt h eb o u n d e d n e s so f m a r c i n k i e w i c zi n t e g r a l so i lh o m o g e n e o u sk e r n e lw i t hh i g ho r d e rc o m m u t a t o r s p 器：bf r o mt h ew e 远h t e dh e r z - t y p eh a r d ys p a c e st ot h ew e i g h t e dh e r zs p a c e s a n di t i sp r o v e dt h a tt h eh i g ho r d e rc o m m u t a t o r sp 跫6a r eb o u n d e do nt h e h e m - t y p eh a r d ys p a c e sa n dt h ew e i g h t e dh e r z - t y p eh a r d ys p a c e s t h et h e s i s c o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gp a r t s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a l s o nh o m o g e n e o u sk e r n e lw i t hh i g ho r d e rc o m m u t a t o r s 蛾6a n ds o m es p a c e s a n dr e c i t es o m ek n o w nc o n c l u s i o n si nt e r m so fh e r z - t y p eh a r d ys p a c e sa n d s o m eb a c k g r o u n d i i lt h es e c o n dc h a p t e r b yt h ea t o m i cd e c o m p o s i t i o no fh e r z - t y p eh a r d y s p a c e s ，i ti sp r o v e dt h a tt h ew e i g h t e db o u n d e d n e s so fm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a l s o nh o m o g e n e o u sk e r n e lw i t hh i g ho r d e rc o m m u t a t o r sf r o mh e r z - t y p eh a r d y s p a c e s 日蚝盎( u l ，忱) t oh e r zs p a c e s 砰巾( u 1 ，忱) i nt h el a s tc h a p t e r 。b yt h em o l e c u l a rd e c o m p o s i t i o no ft h eh e m - t y p eh a r d y s p a c e s ，i ti so b t a i n e dt h a tt h eb o u n d e d n e s so fm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a l so n ，h o - m o g e n e o u sk e r n e lw i t hh i g ho r d e rc o m m u t a t o r s 旌6o nt h eh e r z - t y p eh a r d y s p a c e s a n dt h es i m i l a rr e s u l t so ft h ec o m m u t a t o r s 肛显6o nt h ew e i g h t e dh e r z - t y p eh a r d ys p a c e sa r ed i s c u s s e d k e yw o r d s ：m a r c i n k i e w i c zi n t e g a l ；h i g ho r d e rc o m m u t a t o r ；h e r z - t y p e h a r d ys p a c e ；w e i g h t e df u n c t i o n ；b o u n d e d n e s s 青岛大学硕士学位论文 学位论文独创性声明 本人声明，所里交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。 文中依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可论文内容未包含法 律意义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申 请的论文或成果 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的切责任和后果 论文作者签名。 习五日期： 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本 人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名 单位仍然为青岛大学 本学位论文屑于。 保密 口，在 年解密后适用于本声明 不保密日 ( 请在以上方框内打。v ”) 论文作者签名。l 刁血 日期：逊t 乡 导师签名。茎兰绝日期：翘；重：! ( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及任何个人不得擅自使用) 青岛大学硕士学位论文 引言 l i t t l e w o o d p a l e y 理论在调和分析中占有很重要的地位一方面这类函数 有许多独特而有趣的性质；另一方面，它们在奇异积分、乘子理论等研究中扮 演着重要的角色作为经典的l i t t l e w o o d p a l e yg 函数的类似，m a r c i n k i e w i c z 引进了一维的m a r c i n k i e w i c z 积分p ( 厂) ，其定义如下t p ( ，) ( z ) ：( z 舌_ 兰兰二三二2 _ ! = _ ! 罢f 二兰型d t ) 1 7 2 ， 其中 f ( x ) = f ( t ) d t m a r c i n k i e w i c z 猜测其妒有界性成立z y g m u n d 利用复变的方法证明了m a r c i n k i e w i c z 的猜测成立 。 1 9 5 8 年，s t e i n 在文献 1 】中引进了一种新的l i t t l e w o o d p a l e y 函数，并研 究了它的性质它是一维m a r c i n k i e w i c z 积分的高维推广，其定义为： 时= e o l 。掣他胁睁， 其中q ( z ) 是r n 中的零次齐次函数，且满足b 。一。q ( z ) 如= 0 我们知道，一些经典算子与b m o 函数或l i p s c h i t z 函数生成的交换子在偏 微分方程中有着广泛的应用因此，研究这些交换子在某些空间上的有界性是 一个十分有意义的问题近年来，m a r c i n k i e w i c z 积分算子及其交换子以及相 关问题都得到广泛研究，并取得了丰硕成果，尤其是当核函数的尺寸条件改变 时，m a r c i n k i e w i c z 积分算子及其交换子在l e b e s g u e 空间，h a r d y 空间以及 h e m 型h a r d y 空间和各种加权空间上的有界性都得到深入发展这里，我们将 研究的就是一类带齐性核的m a r c i n k i e w i c z 积分的高阶交换子p 显b ( ，) 在h e r z 型h a r d y 空间的有界性问题 所谓带齐性核的m a r c i n k i e w i c z 积分的高阶挛换子肛强6 ( ，) ，其定义为： 硒= ( a 如) | 2 2 ， 引言 其中 = l 1 ) 是指； ( i ) 吣) 酬酽- 1 ) ，( i i ) 1 学谢 o o ， ( 1 2 ) 其中( 6 ) = s u p 【 i q ( 肛) 一q ( z ) 1 9 d x 1 q 且p 是单位球面s 几一1 上的旋转， i p l = i lp i 叭函数q ( z ) 满足l i p a ( o 口1 ) 条件是指存在正数m ，使得对 于任意的z ，y s 加1 ， fq ( z ) 一q ( 可) i mz yi o 定义1 1m a r c i n k i e w i c z 积分定义为： p ( ，) ( z ) = ( z 暑l ! 三一= 三三2 _ 二竺玉嘉二掣d t ) 1 7 2 ， 其中 f ( x ) = f ( t ) d t 第一章背景知识 高维m a r c i n k i e w i c z 积分算子p n 首先是s t e i n1 9 5 8 年在【1 】中引进的： 定义1 2 时妒( ol 。掣砌川2 舻 其中q ( z ) 是r n 中的零次齐次函数，且满足厶一。f l ( z ) d z = 0 这里将研究带齐性核的m a r c i n k i e w i c z 积分的高阶交换子弘乳( 厂) 的些性 质，pm b ( ，) 定义如下； 定义1 3 晦( ，) = ( 0 如) 1 2 2 。 3 ) 其中 t i z ) = 丘- 训s 。詈兰弄娑( c i ( 。) 一6 ( 矽) ) m ，( y ) 西，6 ( z ) b m 。( 职) 仇n 齐次h e r z 空间及齐次h e r z 型h a r d y 空间的定义分别为： 定义1 4 设口r ，0 p ，g 齐次h e r z 空间霹伊( 舻) 定义为： 砑护( r n ) = ，l l ( x n o ) ：l i 刘船， ， 其中 i l f l l k 孑1 旷( 奄皇2 脚刈渺，广 1 叫= i 2 脚慨此( 叫) ， 弗= 一 而舶= x q 表示集合瓯= b l , b k 一1 的特征函数，b k = z r n ：蚓冬2 七) 定义1 5 设o p o 。，1 q o o ，口n ( 1 一言) ，g ( ，) 为g r a n d 极大函 数，则齐次h e r z 型h a r d y 空问日辩护( r n ) 定义为： 日霸巾( r n ) = ，s ( r - ) ：a ( ) 碍护( r ) ) ， 且 川h 哿- - ( r n ) = 忪( 川i 船，( r n ) 4 青岛大学硕士学位论文 1 2已有的主要结果 这节我们简单介绍关于m a r c i n k i e w i c z 积分及其具有齐性核的m a r c i n k i e - w i c z 积分高阶交换子的一些已有结果和相关的背景知识 1 9 5 8 年，s t e i n 在文献【1 】中证明了如果q 是连续且满足l 咖a ( o o t 1 ) 条件，那么高维m a r c i n k i e w i c z 积分算子l q 是( q ，q ) 有界的( 1 q 2 ) ，同时 也是弱( 1 , 1 ) 的 文献【2 l 中，作者证明了如果q c 1 ( 伊- 1 ) ，那么触2 是( g ，q ) 有界的 ( 1 g 。o ) 文献【3 】、【4 】建立了一类粗糙核m a r c i n k i e w i c z 积分的有界性有关结果 还被进步推广到乘积空间( 参见文献p 7 j ) 在文献f 8 】、【9 ) 中，作者分别用不同的方法改进了上述结果，他们证明了 如果q h 1 ( 铲- 1 ) ，其中1 ( 驴- 1 ) 为单位球面上的h a r d y 空间，则算子脚 仍旧在l q 中有界主要结果如下： 定理1 1设q 是r n 中零次齐次函数且满足( 1 1 ) ，如果q h 1 ( 伊- 1 ) ， 那么对1 q 0 ，使得 一 i l 藤( ，) i i q ci l 川。 1 9 9 0 年，在文献 1 0 】中，作者证明了如果q ( z ) 满足l i p ( o o 1 ) 条 件，则砘6 在l q ( u ) 上有界( 1 g 。o ) ，在相同条件下，文献 1 1 】证明了肛墨6 在l q ( w ) 上有界 2 0 0 3 年，丁勇等改进了上述结果，其主要内容如下： 定理1 2 【1 2 l 设q l ( r - ) 且满足( 1 1 ) ，m n ，b ( z ) e b m o ( r ) ，则对于 1 口 0 ，使得 0 鼹6 ( ，) i i q cl l 川口 2 0 0 3 年。在文献【1 4 】中。作者利用原子分解的方法证明了娥6 ( ，) 在h e r z 型h a r d y 空间上的有界性，并得到了其端点估计，其主要结果如下。 定理1 3 设b ( z ) e b m o ( r n ) ，0 1 ，0 p ，1 g ，且 扎( 1 - i 1 ) q 珐且 5 第一章背景知识 坼( d ) 满足 厂1 尝甜 。， l 一，z ， - ( r r 1 o 6 1 + 5 一 ( 1 4 ) 那么交换子斑6 ( ，) 是从日雄a ，护, p ( p ) 到留p ( 础) 的有界算子 通过对m a r c i n k i e w i c z 积分的考察，可以看出其表现出来的性质与c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子有许多相同之处，在研究方法上也相似受到c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子及其交换子有界性研究的启发，以及h e r z 型h a r d y 空间的原子和分子分解特征，本文在第二和第三章中主要研究具有齐性核的 m a r c i n l d e w i c z 积分高阶交换子凰6 从h e r z 型h a r d y 空间到h e r z 空间的加权 有界性，及其在h e m 型h a r d y 空间上的有界性和加权有界性 6 青岛大学硕士学位论文 第二章p 跫6 从h e r z 型h a r d y 空间 到h e r z 型空间的加权有界性 本章我们将在文献【1 4 】的基础上，进步研究具有齐陛核的m a r c i n k i e w i c z 积分高阶交换子腽b 的加权有界性 2 1 基本概念及主要结果 为了方便，我们首先给出加权齐次h e r z 空间及加权齐次h e r z 型h a r d y 空 间的定义 定义2 1 f 1 3 】设a 豫，0 p o 。，l q ，u 1 ，0 ) 2 为舯上的非负函 数，则加权齐次h e r z 空间砰p ( w l ，0 ) 2 ) 定义为； 砖p ( u l ，忱) = f 巩( r n 【o ) ，吨) ：l l 川船二加) 。o ) ， 其中 l l f l l 蔚，柏) = u - ( b k ) 一- i i f x k 崆。) ) m 七z 显然。当u l = 0 3 2 = l 时，埒p ( u 1 ，0 3 2 ) = 蛳巾( 舭) 定义2 2 【1 3 】设u 1 ，u ) 2 a l 权函数，0 p 。o ，l g o 。，a 仃( 1 一言) ，c ( f ) 2g r a n d 极大函数，则加权齐次h e r z 型h a r d y 空间日 护( u 1 ，忱) 定义另；， h 譬p ( u l i “忽) = 歹( r n ) ：g ( ，) 写p ( u 1 ，“，2 ) ) 且 ， i l f l l 砖，岘) = | i g ( 州i 船，( u 。) 显然，当0 3 1 = 屹= 士耐，。h 砖p p l ，娩) = 口靖巾( r n ) ， 定义2 3设a r ，0 p 。1sq o o ，l ，0 3 2 a 1 ，n ( 1 一言) 口 ，称a k 为中心( 口，g ；l ，地；扩) 原子，如果它满足下述条件： 7 第二章肛跫6 从h e r z 型h a r d y 空间到h e r z 型空间的加权有界性 ( 1 ) s u p pa kcb k ； ( 2 ) i i 口蠡们) w l ( b k ) 一昙； ( 3 ) 丘。a k ( x ) d x = 丘。a a ( x ) b ( x ) d x = = 丘。a 七( x ) b m ( x ) d x = 0 类似于文献【1 3 】中对加权h e r z 型h a r d y 空间的原子刻画，我们可以得到 如下结论： 定理2 1 设be b m o ( r ) ，0 p 。，1 q 。，d 几( 1 一三) ，缓增广 义函数f 属于加权齐次h e r z 型h a r d y 空间日程器( u 1 ，u 2 ) ，当且仅当在分布意 义下它可分解为f = a k a k ，其中每个a k 为中心( a ，q ；w 1 ，w 2 ；b m ) 原子，且 k = - o o i p 。o 进一步 k f f i - h 锚帅) 曲f “m 痧 其中下确界取遍，所有的上述分解 下面给出本章的主要结果，即具有齐性核的m a r c i n k i e w i c z 积分高阶交换 子肛跫6 ( 厂) 从h e m 型h a r d y 空间到h e m 空间的加权有界性： 定理2 2 设6 ( z ) e b m o ( r ) ，0 e l ，1 g ，0 p o 。，且 几( 1 一石i ) 口 q ) j j - 蚺( 6 ) 满足( 1 4 ) ，那么交换子p 仇b ( ，) 是从日蟛a , p 。( u l ，w 2 ) 到雄，p ( w l ，忱) 的有 界鼾g g 0 成6 ( 删i 砖- ，( u ：) sc l i 川h 碟魏，地) - 如果对p 的范围适当加以限制，在端点口= 凡( 1 一 ) 处，可以放松对( 6 ) 的要求。得到下面的结论： 定理2 3 设6 ( z ) e b m o ( r n ) ，0 e q ) 且坼( 回满足 z 1 华【i o g 一砸 溉 一z ， 那么，交换子p 墨6 ( ，) 是从日譬 护( 1 ，忱) 到薪1 一 p ( 。，) 的有界算子 8 青岛大学硕士学位论文 定理2 4 设6 ( z ) b m o ( r n ) ，p = i n i n 丢，e ) ，其中e ，p 忍叼，q 的要求同定 理2 2 ，如果坼( d ) 满足 f 0 1w r ( 6 ) , z 叼昙】m 吼d 弛 ( 2 2 ) 那么，交换子魍6 ( ，) 是从日譬号弗0 ；1 ，( m 2 ) 到砖1 一 十鼬0 2 1 ，( m 2 ) 的有界 算子 2 2 定理的证明 在定理的证明过程中将会用到下面几个引理： 引理2 1 【l l 】设be b m o ( r n ) ，1 0 使得 引 a o r ，那么有 吐陋rj 筹一鼢班c 护仃t 警+ k * 竽哪 下面我们利用加权h e r z 型h a r d y 空问的原子分解理论证明定理2 2 和定 理2 3 定理2 2 的证明设厂日k - a , p m ( u 1 ，忱) ，由定理1 知，= 町，其 中吩是支集为岛= b ( o ，) 的中心( g u l ，眈；6 饥) 原子，并且i 如i p 。o 第二章p 跫b 从h e r z 型h a r d y 空间到h e r z 型空间的加权有界性 注意到0 p o 。，有 峪。( 删b u 。) = p - ( 驯钆繇( m 此( 老= - - o o o o 。 = f ( 鼠) 】翮廊( a j ) x 七1 1 2 口) 七= 一2 f f i - o o o 。 sc p ( 吼) 1 等( l 沁l i | p 跫6 ( a j ) x 七i i 凹。z ) ) p ( 2 3 ) k = 一o oj = k - 2 k - - 3 + c p l ( 鼠) 】警( i ) , j l l l # n 1 6 ( a j ) x 七i i l q ( w 。) ) p 七= 一 歹= 一 ；i + i i ， 其中淑表示集合瓯= 取取一- 的特征函数由0 3 1 ，u 2 a i 及引理2 1 ，峨b ( ，) 的加权l q 有界性可得： ， c p ( b 知) 】警( 1 如1 1 1 1 l 厶- ( u 。) ) p 七= ：哩： ，2 一2 c p - ( 圾) j 譬( f 知f p - ( 马) 】一詈) p 当0 1 时。由h 6 1 d e r 不等式及引理2 2 ，有 1 0 青岛大学硕士学位论文 j r c 鼠) 】警( 吲p 马) 】- 舞) ( p - ( 易) 】_ 岳) 号 舛鱼弘阿搿曩薹：c 瑞两争 c ( n p 2 ( 州烨) ( 2 ( k - j ) 孚) 乡 ( 2 5 ) j + 2 c l 计2 ( k - j ) 6 叩 纠时( ；1 + 歹1 = 1 ) 对于i i ，由q 的定义知，对于七3 + 孑且z c k ，y 马，有例一 i z y i 2 七，i 晚l 2 h ，于是 = 【厶( ol 。掣【6 ( 圹啪) 1 仇响) d y l 2 势蚓 sf 厶( 竹l 。掣叭小地删删万d t 捌 + 【厶( f1 名刊 。孚与鲁似。) 一地胪吩( 芗) 勿 2 万d t 尸忱( z ) 酬 因为川一i z 一乩且j 赤一丽1j 研c l v l ，所以有 汐( 厶 厶掣1 6 ( 旷m i ( 丘刊 纠咖。砉出) 5 圳( z ) 捌) 。 蚓厶南( 加( 卜训陬沪卯俐9 w 2 d x 删厶南i 小( 删) 坳m m 训训酬； = c ( 巩+ ) ， ( 2 南厶6 ( 耖) 咖) 第二章峨b 从h e r z 型h a r d y 空间到h e r z 型空间的加权有界性 下面分别估计巩，巩对u 1 使用m h l l 哪僵k 积分不等式，有 仉 c e s s i n f 戚。忱( 删；2 i 2 州n + 厶l a j c y ) 1 ( 厂l q ( z 一耖) l 口i b ( $ ) 一b j l 9 m d z ) ；d 耖 j c k g l e s si n f z c k 0 2 2 ( 训吉2 娩吐加蚂1 上。姒们l 【厶m 叫) i 仫p f 1 6 ( z ) 一吩i 即南如p 一劫 sg e s si n f 霉q 眈( z ) p 2 2 “坞z 。l q ( 训【厶i q ( 。一删7 如1 ； 【( 。| 6 ( 。) 一墨i 即面r 矧i i1 r + ( f c 。i j c ；k k 一嘞l 弘者出) 卜吾】匆 c c 2 2 一知加+ 吾) 2 如l | l q l i 矿( s ，i 一- ) 0 e 胬i i 心霉c k u 2 ) 1 ( 1 鼠l 吉一寺i l b l l b ”m o ( 2 ) 一 + b 七i 一 ：( 七一歹) m l 例l 蛋们俾n ) ) 口l a j ( y ) l d y c ，2 2 一居( n + ) 2 n 壬2 h ( 一吾) ( 七一歹) 仇0 q k ，( 舒一z ) l l b l l 詈 m d ( 即) ( 2 。7 ) f 哿】 肛丽 c ，2 2 一七_ + ) 2 七n 2 知n ( 一 ( 七- j ) m i l q i i l r s 靠一t ) 1 1 6 l | z o ( i p ) 【哥】；小协 c ，2 2 一七( n + ) 2 知n 2 凫n ( ”) ( 尼- 2 m i l a l l l r ( 伊) l l b l l 答m o ( - 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