（基础数学专业论文）两个函数的极小极大定理以及对拓扑交性质的讨论.pdf

摘要 极小极大定理作为博弈论的基本原理，首先由v o n n e a m a n n 于1 9 2 8 年给出。 此后，人们得到了各种形式的结果。两个函数的极小极大定理是非合作博弈的数 学模型，在数学形式上它是一个函数的极小极大定理的推广。与一个函数的极小 极大定理相同，两个函数的极小极大定理一般也是涉及三个假设条件：集合的拓 扑结构，函数的连续性和函数的凹凸性。第一个两个函数的极小极大定理由k y f a n 于1 9 6 4 年给出。 本文首先在拓扑空阔和区间空间的基础上，将c a o - z o n gc h e n g 的涉及区间 空间的两个函数的极小极大定理推广为非线性两个函数的极小极大定理。我们的 结论中，函数的凹凸性条件涉及了函数值单调变换和函数值混合方法，而且单调 变换不再要求具有连续性，混合方法也被进一步改进。最后，依据拓扑空间的连 通性，我们分别讨论了拓扑空间中集族的有限交性质和无限交性质成立的充分条 件与必要条件。本文分为三章，第一章介绍了极小极大理论的进展以及本文的背 景知识：第二章给出并证明了带有单调变换的两卜函数的极小极大定理；第三章 给出了关于拓扑交性质的讨论，并根据前人的工作对拓扑交性质进行了分析和总 结。 质 关键词拓扑空问：区间空间：单调变换：连通性；无限交性质；有限交性 a b s t r a c t t h em i n i m a xt h e o r e m ，w h i c hi st h eb a s i ct h e o r yo ft h eg a m e t h e o r nw a sf i r s t l y p r o v e db yv o nn e u m a n n i n19 2 8 t h ev a r i o u sp r o d u c t i o n sa b o u tm i n i m a xt h e o r e m h a v eb e e no b t a i n e ds i n c et h e n t w o f u n c t i o nm i n i m a xt h e o r e mi st h em a t h e m a t i c a l m o d eo ft h en o n - c o o p e r a t i o n a lg a m et h e o r y , w h i c h g e n e r a l i z e so n e - f u n c t i o nm i n i m a x t h e o r e mi nt h em a t h e m a t i c a lf o r m j u s ta s o n e f u n c t i o nm i n i m a x t h e o r e m ， t w o 。f u n c t i o nm i n i a m a xt h e o r e mg e n e r a l l yi n v o l v e st h r e e a s s u m p t i o n s ：t o p o l o g i c a l s t r u c t u r eo fs p a c e ，t h ec o n t i n u i t ya n dc o n c a v i t yo ff u n c t i o n s t h ef i r s tt w o f u n c t i o n m i n i m a xt h e o r e mw a s f i r s t l yp r o v e db yk y f a ni n1 9 6 4 i nt h i st h e s i s ，o nt h eb a s eo f t o p o l o g i c a ls p a c ea n di n t e r v a ls p a c e ，w eg e n e r a l i z e c a o z o n gc h e n g st w o - f u n c t i o nm i n i m a xt h e o r e m si n v o l v i n gi n t e r v a l s p a c e s t o n o n l i n e a rt w o f u n c t i o nm i n i m a xt h e o r e m s i no u r r e s u l t s ，t h ec o n c a v i t ya n dc o n v e x i t y o ff u n c t i o n si n v o l v em o n o t o n et r a n s f o r m so ff u n c t i o n a lv a l u e sa n dm i x e dm e t h o d so f f u n c t i o n a l v a l u e s m o r e o v e r ，t h em o n o t o n et r a n s f o r m sn e e d n tc o n t i n u i t ya n dt h e m i x e dm e t h o d si s i m p r o v e df u r t h e r a tl a s t ，w ed i s c u s ss u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n so ff m i t ei n t e r s e c t i o na n di n f i n i t ei n t e r s e c t i o no ft h e f a m i l yo f s e t si nt o p o l o g i c a ls p a c eb yv i r t u eo fc o n n e c t i o no f t o p o l o g i c a ls p a c e s t h i st h e s i si s c o m p o s e do ft h r e e c h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c e t h e d e v e l o p m e n t o f m m i m a x t h e o r ya n dt h eb a c k g r o u n dk n o w l e d g eo ft h i sa r t i c l e i nc h a p t e rt w o ，w eg e t a n d p r o v et w o f u n c t i o nm i n i m a xt h e o r e m si n v o l v i n gm o n o t o n et r a n s f o r m s i nc h a p t e r t h r e e ，w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft o p o l o g i c a li n t e r s e c t i o n ，a n da n a l y z et o p o l o g i c a l i n t e r s e c t i o nb yv i r t u eo f p r e v i o u sr e s u l t s k e y w o r d s ：t o p o l o g i c a ls p a c e ；i n t e r v a l s p a c e ；m o n o t o n et r a n s f o r m ；c o n n e c t i o n ； i n f i n i t ei n t e r s e c t i o n ；f i n i t ei n t e r s e c t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名燃日期 呻占琴 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：! 塾盔、导师签名：盈莹垒日期 护f | c 。占男 1 1 概念和符号 第1 章绪论 假设z 和y 是两个非空的集合，“：x x y 斗r 。如果x 是一个拓扑空间， 而且对任意的，。r ，集合扛z ：u ( x ，_ y ) r 是x 中闭子集，则称“在x 上是上 半连续的；若一。在y 上是上半连续的，则称”在y 上是下半连续的。 y 是线性空间的凸子集，函数“在y 上是拟凸的，如果对于任意的r ( 0 ，1 ) 和 任意的m ，y ：y ，存在乃y ，使得“( x ，y 3 ) m ( x ，y 。) + ( 1 一f ) “( x ，y 2 ) 对于所有 的。x 成立；如果一 在x 上是拟凸的，那么“在x 上就是拟凹的。函数“在 y 上是伪凸的，如果对于任意的x x 与任意的，r ，l y ：u ( x ，y ) ，) 是y 中的 凸子集：如果一“在x 上是伪凸的，那么“在z 上是伪凹的。 函数“在y 上是向上的，如果对任意的 0 ，存在万 0 ，使得对任意的 y 。，y 2 y ，存在儿y ，有 f v x x u ( x ，y 3 ) m a x u ( x ，y i ) ，“( x ，y 2 ) 1 k ( j ，y 。) 一秘( x ，y 2 ) ；s u ( x ，y ，) s m a x 缸( x ，y ，) ，“( x ，y ：) j 一6 如果一“在x 上是向上的，那么“在卫上是向下的。 函数“在y 上是弱向上的，如果对任意的y l , y ：l ，存在y ，l ，使得 f v x ，u ( x ，y 3 ) m a x u ( x ，y 1 ) ，“( x ，y 2 ) 1 “( x ，_ y ，) “( x ，j ，：) = = 甜( x ，y ，) 0 ，存在占 0 ，使得对任 意的y l , y ：y 和任意的爿中的紧子集k ( 其中z 要求是一个拓扑空间) ，存在 y ，y ，使得对于所有的x x “( x ，y 3 ) _ m a x u ( x ，m ) ，u ( x ，弘) ) 而且对于所有的_ ) ，ek ：卜( x , y ，) 一“( t y ：) l 占) u ( x ，y 3 ) m a ) 【缸( 墨y 1 ) ，u ( x ，y 2 ) ) 一万 函数”在y 上是有限弱向上的，如果对于任意的有限子集爿ex 和所有的 y 】，y 2 y ，存在y 3 y ，使得 如果一“在x 上是有限弱向上的，那么“在x 上是有限弱向下的。 p ：r 2 斗兄是一个连续函数，如果对于每一个变量函数p 都是递增的，而且 p ( a ，丑) = 当五时， m i n x ， “：= i n f i 笋u ( x ，y ) ，妒( r ) s r 和p ( f ) ，。假设下面的条件成立： ( 2 3 ) 对任意y 】，“( ，y ) 与v ( ，y ) 在x 上是上半连续的：对任意x ， u ( x ，) 在y 的任意区间上是下半连续的： ( 2 4 ) 对任意的2 1 ，y 2 】，和任意的_ y 涉。，y 2 1 ， 妒( “( x ，y ) ) s m a x u ( x ，y 1 ) ，e o ( x ，y 2 ) ) ) 对任意的工x 成立： ( 2 5 ) 对任意的一，z ：x 和任意的y 中的有限子集a ，存在x 使得， 釜窒尘鍪堡些塑窒兰。一 矿( ，y ) ) m i n g ( u c x l ，j ，) ) ，v ( x 2 ，j ，) ) 对任意的y a 成立 并且对任意的y 扣a ：v ( x 。，y ) v ( x ：，y ) ， y ( x 。，y ) ) m i n 咿( u ( x ，y ) ) ，v ( x ：，y ) ) 那么两函数极小极大不等式成立，即：“+ v 。 设h ：x 】，辛r 。对任意y y ，y 中任意有限子集a 和任意，r ，记 q h ( y ) = x x ：自( 工，y ) r ) c ， ( y ) = 扛x ： ( x ，y ) r c ，h ( a ) = o c ，厅( y ) y e a 为了证明定理2 2 1 ，我们先证明下述引理2 2 1 和引理2 2 2 。 引理2 2 1 ：设是一个紧拓扑空间，y 是一个非空集合。设u ，v ：x y _ 火使 得对任意的y y ，“( ，y ) 在彳上是上半连续的。：r 斗r 是单调增函数且对任 意的f “，y ( r ) t 。假设定理2 2 1 的条件( 2 5 ) 满足。那么对任意的y y 和任意的r r ， c ，v ( y ) 庐j c ，u ( y ) 驴 证明：假设存在y y 与，r 使得c ，v ( y ) 妒，但c ，“( y ) = 。取c ，v ( ) ，) ， z j 满足“( 而，y ) = m ，。a 。x “( x ，y ) 。由于“( z ，y ) m i n g r o 。，y ) ) ，v ( 屯，y ) ) m i n 扣“( x 。，_ ) ，) ) ，y ( v ( x ：，y ) ) ) 由y 的单调性知y ( x 。，_ y ) ) | i ，以( x ，y ) ) 。再由y 的单调性知“x o , y ) “( 而，y ) 。但是这与“x i y ) = m ，。a ，x “( x ，y ) 相矛盾。因此， c ，v ( y ) jc ，“( y ) 庐 引理2 2 1 得证。 引理2 2 2 ：在定理2 2 1 的条件下，对任意， r 相矛盾，从而证明了白，庆l l l t l ；是p ，y ：1 中的闭子集。同理，我们也可以证 明：是p ，y ， 中的闭子集。 但陟，y ： 是连通的，不能表示成两个不相交的非空闭集的并。从而我们证明 了存在) ，。e 陟，y 。1 使得( 2 3 ) 成立。因此， c ，u ( y o ) n c ，u ( y 1 ) c ，u ( y o ) n c ，v ( y 2 ) 由于对任意y 】，“( ，y ) 与v ( ，y ) 在x 上是上半连续的，于是d 。- _ c ，“( ) n c , u ( y 1 ) 与d 2i - c ，u ( y o ) n c ，v ( y 2 ) 是x 中的闭子集，且存在x 1 d l 与x 2 d 2 使得： “o - ，y z ) = m ，。a q x “( 。，y 2 ) 与“( x 2 ，y ) _ m ，。a d l x “( x ，y 1 ) 令爿= 饥，y i ，y ：) ，依据定理2 2 1 的条件( 2 5 ) 知，存在x ，使得 对所有的y a ， y ( “( x 。，y ) ) m i n ( “( x l ，y ) ) ，v ( x 2 ，y ) 而且对任意的y b a ：p ( “( z i ，y ) v ( x 2 ，y ) ， 妒( “( x 。，y ) ) m i n g t ( u ( x 。，y ) ) ，v ( x ：，y ) ) 那么p ( x 。，y 。) ) m i n ( x 。，y 。) ) ，v ( x ：，y 。) ) m i n y ( x 。，y 。) ) ，y ( v ：，y 。) ) ) m i n c ( r ) ，p ( r ) ) = y ( ，) 。 由妒的单调性知，“( ，y 。) ，即有： x o c ，“( y o ) cc ，u ( y 1 ) nc ，v ( y 2 ) 从而d 1 或x 。d 2 。 假设x o d l ，注意到x 2 c ，v ( _ y 2 ) 与而d 1 ，从而由( 2 1 ) 知z l 茌c ，v ( y 2 ) 。 于是有： v ( x 2 ，y 2 ) r k x j ，y 2 ) “( 工】，y 2 ) 与 v ( x 2 ，y 2 ) 】；c ，( v ( x2 ，y 2 ) ) l 】f ，( v ( x l ，y 2 ) ) y ( 一，y 2 ) ) 依据定理2 2 1 的条件( 2 5 ) 知， y ( “( x o ，y 2 ) ) m i n p ( u ( x i ，y 2 ) ) ，k x 2 ，y 2 ) m i n g ( u ( x l ，y 2 ) ) ，p ( v ( x 2 ，y 2 ) ) ) 由y 的单调性知u ( x o ，y 2 ) u ( x 。，y ：) ，这与u ( x 。，y ：) 是d l 上的最大值相矛盾。 假设x o d 2 ，由( 2 1 ) 有c ，u ( y 1 ) ，即， u ( x o ，y 1 ) 。“。于是 ，妒( r ) y ( 工o ，y 1 ) ) m i n ( x l ，y 1 ) ) ，v ( x ：，y 1 ) 由于u ( x l ，y 】) r ，妒 ( x 1 ，) ，1 ) ) y ( r ) ，从而有v ( x 2 ，y 1 ) m i n 矿( u ( x ，y 1 ) ) ，v ( x 2 ，y 1 ) ) = v ( x 2 ，y 。) “( x 2 ，y 1 ) v ( u ( x 2 ，y 1 ) ) 由y 的单调性知u ( x o ，y 1 ) u ( x 2 ，y i ) 。这与“( x 2 ，y ) 是d 2 上的最大值相矛盾。 由于d ，与d ：都存在矛盾，所以( 2 1 ) 式的假设是错误的。从而g 1 6 理2 2 2 得证。 以下应用引理2 2 1 与引理2 2 2 ，我们给出了定理2 21 的证明。 定理2 2 1 的证明：由于x 是紧的，而且对任意的y y ，v ( ，y ) 在x 上是上半连 续的，因此我们只需证明对y 中任意有限子集a 与任意的r “，下式成立即可 c ，v ( 4 ) 矿 以下对a 中元素的个数应用归纳法，证明上式成立。 当a 是单点集时， c ，v ( y ) 3 c ，u ( y ) 妒 当a 包含两个元素时，令a = 侈，y ： 。由引理2 2 2 有： c ，v ( 爿) = c ，v ( y 1 ) n c ，v y 2 ) c ，u ( y 1 ) n c ，v ( y 2 ) 矿 假设对任意的元素个数为”的有限子集a 与任意的， “，有c ，v ( 4 ) 。 但存在某一个集合e 其元素个数为n + l 与某一个d 0 使得盘 口+ s “，则 因此存在y y ，使得 i n f s u p u ( x ，y ) m l n u ( x l ，y ) ，v ( x 2 ，j ，) ) 那么两个函数极小极大不等式成立，即：“v 。 注：如果将推论2 2 1 中的条件( 2 7 ) 中的条件增强为 对任意的儿，y 2 】，和任意的_ y 陟，y ：】， v ( x ，y ) m a x u ( x ，y i ) ，v ( x ，y 2 ) ) 对任意的x x 成立 ( 即将不等式左端函数“改为较大的函数v ) ，即得文献 3 3 中的定理1 。于是文 献 3 3 1 中定理1 是推论2 2 1 的特例。 如果x 和】，都是区间空间，则定理2 2 1 中条件( 2 3 ) 可用与条件( 2 2 ) 相“对称”的形式给出，此时两个函数的极小极大定理仍然成立，既下述定理 2 2 2 和定理2 2 3 。 + 定理2 2 2 ：设x ，y 是两个区间空间且x 是紧的。设“，v ：x y 斗r 且满足在 j 。y 上v 。妒，：矗_ r 是两个单调增函数，且满足：对任意的企。“，妒( f ) f 和妒( r ) ，。假设下面的条件成立： ( 2 9 ) 任意y e y ，“( ，y ) 与v ( - ，y ) 在x 上是上半连续的：而且对任意x x ， u ( x ，) 在y 中的任意区间上是下半连续的： ( 2 1 0 ) 对任意的m ，y ：y 和任意的y p 。，y ：】， p ( “( x ，y ) ) m a x u ( x ，y 1 ) ，妒( v ( x ，y 2 ) ) ) 对任意的x 成立： ( 2 1 1 ) 对任意的z - ，z ：x 和任意的x k ，x ： y ( “( z ，_ y ) ) m i n g ( u ( x i ，y ) ) ，v ( x 2 ，y ) 对任意的y 】，成立。 胃口么“v 。 1 9 定理2 2 3 ：设爿，y 是两个区间空间且_ 是紧的。“，v ：x y 斗r 且满足在x y 上“v 。假设下面的条件成立： ( 2 1 2 ) 对任意y y ，“( ，y ) 与v ( ，y ) 在z 上是上半连续的，而且对任意 z z ，u ( x ，1 ) 在y 中的任意区间上是下半连续的； 。 ( 2 1 3 ) 对任意的“，一：y 和任意的y p 。y ：】， u ( x ，y ) m a x u ( x ，咒) ，v ( x ，y 2 ) 对任意的x x 成立： ( 2 1 4 ) 对任意的一，x ：x 和任意的x k ，x ：】， “( t j ，) m i n u ( x ；，力，v ( x ：，j ，) 对任意的y y 成立。 那么“ v 注1 。定理2 , 2 2 和定理2 , 2 3 是等价的。事实上，取妒与矿为恒同映射， 由定理2 2 2 可推得定理2 2 、3 ，即定理2 2 ，3 是定理2 2 。2 的特例。反过来，若定 理2 2 2 的条件( 2 1 0 ) 成立，即：对任意的m ，y ：y 的y b 。，y ：】， 妒( “( x ，y ) ) s m a x u ( x ，一) ，p ( v ( z ，儿) ) 对任意的。z 成立 由妒的性质知，妒0 ( x ，y ) ) m a x 扫( “( z ，y 。) ) ，妒( v ( x ，y ：) ) 对任意的z x 成立，从 而“( 。，y ) m a x 4 ( z ，y ，) ，v ( x ，y 2 ) 对任意的x x 成立，此即定理2 2 3 的条件 ( 2 - 1 3 ) 。同理定理2 , 2 2 的条件( 2 1 1 ) 蕴含定理2 2 3 的条件( 2 1 4 ) 。因此由 定理2 2 3 可推出窟理222 在定理2 2 3 中，若将条件( 2 1 3 ) 中的不等式左端函数“改为较大的 即得文献 3 3 j 中的定理2 。于是由定理2 2 3 可推出文献【3 3 】中定理2 。 由注1 0 知，我们仅需证明定理2 2 3 ，而定理2 2 3 的证明建立在下述引理2 23 和引理2 2 4 基础之上。 引理2 2 3 ：在定理2 2 3 的条件下，对任意的， “+ 与任意的儿，y ：】，我们有 c ，u ( y 1 ) n c ，v ( y 2 ) 庐 证明：假设存在y i ，y 2 y 与r “使得 c ，u ( y 1 ) n c ，v ( y 2 ) = ( 2 - 4 ) 依据定理2 2 3 条件( 2 1 3 ) ，并应用与引理2 2 2 中类似的讨论，我们有：对任 意的y b 。，y ：】 c ，u ( y ) cc ，u ( y 1 ) u c ，v ( y 2 )( 2 - 5 ) 而且存在乩 y 。，y ：】，使得 c ，u ( y 1 ) n c ，u ( y o ) 妒c ，u ( y o ) n c ，v ( s 2 ) 选取x - d - ：= c ，“( y ，) n c ，“( ) 与x ：d ：= c ，“( ) n c ，v ( j ，：) 。依据定 理2 2 3 的条件( 2 1 4 ) 知，对任意的x kx 2 】，及对任意的y b ，_ y ：】有， “( x ，y ) m i n 缸( x l ，y ) ，v ( x 2 ，y ) ) 特别地， u ( x ，y o ) m i n u ( x l ，y o ) ，v ( x 2 ，y 。) r 由( 2 5 ) 有b ，x ：】cc ，“( 儿) c d l u d 2 。由于d 。- - 与d ：是两个非空的闭子集， 而k 。，x ：】是连通子集，从而 c ，u ( y 1 ) nc ，v ( y ：) 2 l 这与( 2 - 4 ) 相矛盾，于是引理2 2 3 得证。 为了证明定理2 23 的需要，我们引述文献 3 3 中一个引理如下 引理2 2 4 ( 3 3 】) ：设x 是区间空间，y 是一非空集合。“，v ：x y 斗r 且满足在 x y 上“蔓v 。假设定理2 2 2 的条件( 2 1 1 ) 满足，那么对任意的y y ，y 中 任意的有限子集a 与任意的r “，我们有： c ，“( y ) n c ，v ( 4 ) jc ，u ( y ) m c ，“( 爿) ( 2 6 ) 定理2 2 3 的证明：由于爿是紧的，而且对任意的y y ( ，y ) 与v ( ，j ，) 在上是 上半连续的，因此只需证明对任意的y y ，y 中任意有限子集a 与任意的 ， “，下式成立： c ，u ( y ) n c ，v ( a ) 以下对a 中元素的个数应用归纳法证明上式。 当a 为单点集时，由引理2 2 3 可得： c ，u ( y ) n c ，v ( a ) ( 2 7 ) 假设当a 包含 个元素时，( 2 7 ) 式成立。但存在某一y 中的子集e 其元素 个数为n + l ，且存在某一y y 与某一个， “，使得 c ，u ( y ) mc ，v ( e ) = 令e = a u y ， 且y 。a ，则 c ，“( y ) n c ，v ( y 1 ) n c ，v ( 彳) = 庐 依掂定理2 2 3 的条件( 2 1 3 ) 知，对任意的z b ，y 及对任意的x x u ( x ，z ) m a x u ( x ，y ) ，v ( x ，y 1 ) ) 因此对任意的z e y ，y ，】 c ，u ( z ) c ，u ( y ) uc ，v ( y 1 ) ( 2 8 ) 从而有： c ，u ( z ) n c ，v ( a ) c ( c ，u ( y ) n c ，v ( 彳) ) u ( c ，v ( y i ) n c ，v ( 4 ) ) ( 2 - 9 ) 而且依据归纳法假设，注意到对任意的口r 满足r ，相矛盾说明了气。，因此j 。是b ，y 1 】中的闭子集。同理，可以证明 ，：是陟，y 。】中的闭子集。但b ，y ，】是连通的，不能表示为不相交的两个非空闭集j ， 和：的并。从而存在虬b ，y ，】使得( 2 1 1 ) 式成立。 令d = c ，u ( y 。) n c ，v ( 爿) ，d i = c ，“( y ) n d 与d 2 = c r v ( y ) n d 。依据( 2 9 ) ( 2 - 1 1 ) 与( 2 8 ) ，我们有 由于d 。，从而 由引理2 2 4 ，有 d c d lu d 2 ，d j d 2 ，与d ln d 2 = c ，u ( y 。) n c v ( 一u 扣 ) c ，u ( y 。) n c ，“o u ) ) 妒 选取一c ，u ( y 。) n c ，“u 移 ) c d 与x ：d 2 。依据定理2 2 3 的条件( 2 1 4 ) 知，对任意的x k ，工：】及任意的y e y ， “( x ，y ) m i n u ( x l ，y ) ，v ( x 2 ，_ y ) ) 因此，k 。，屯】c d c d 。ud 2 。由于d l 与d ：是两个非空不相交的闭集，这 与i x 。，x ： 的连通性相矛盾。因此对任意的y y ，y 中任意有限子集爿与任意的 ， “+ ，( 2 - 7 ) 式都成立。定理2 2 3 得证。 2 3 本章小结 这一章，我们回顾了几个概念，给出并证明了定理2 2 1 和定理2 2 3 。定理 2 2 1 的结论是建立在拓扑空间和区间空间基础上的，而定理2 2 3 的结论是建立 在两个区间空间基础上的。同时我们还指出了定理2 2 2 和定理2 2 3 是两个相互 等价的定理。 当单调变换p 和y 都取恒同映射时，由定理2 2 1 我们可以得到文献 3 3 中的 定理i ，由定理2 2 2 或定理2 2 3 我们可以得到文献 3 3 中的定理2 。 3 1 预备知识 第3 章关于拓扑交的讨论 假设正y 是两个非空集合，：一j2 是一个非空的集值映射a 如果对任 意的x - ，h 鼻，0 妒( t ) ，我们称y 具有有限交性质；如果3 y ( x ) ， 我们称y 具有无限交性质。假设置y 是两个非空集合。f ( x ) 表示x 中所有有 限予集构成的集族。2 。表示x 中所有子集构成的集族。如果4 是x 的一个子集， 4 。= 缸x ：x 彳) 表示a 在中的补集。对于矿：x 斗2 7 是个集值映射，定 义映射y + ：y 斗2 。，其中y ( y ) = 扛z ：ye 妒( x ) ) 。 w u m l 第一次将连通性引入到极小极大理论的研究中。假设z ，y 是两个非 空集合，：x 】，一只，极小极大定理是在一定的条件下面的等式成立： i n f ，s u p f ( x ，y ) = s u p i n f 。f ( x ，y ) y e l l e xi e x 非f 现在，连通性方法已经成为研究极小极大理论的很重要的方法和手段。在本章， 我们依据拓扑空间的连通性，分别讨论了拓扑空间中的集族有限交与无限交成立 的充分条件和必要条件。我们的结论推广了w u m 】，j , k i n l d e r t “1 ，文献 4 2 和 s s i m o n s m l 的相关结论。我们先来回顾一下本章用到的主要的概念，详细的内 容请参见文献d 7 。 定义3 1 1 设z 】，是拓扑空间， y ：j2 r 称为在x 。处上半连续，如果 对少( ) 的任意给定的邻域v c 】，存在的邻域u ，使得y ( c v ：称矿在 x 处下半连续，如果对任意的与y ( ) 相交开集v c y ，存在的邻域u 使得当x u 时，就有y ( x ) n v 。称y 上( 下) 半连续，如果在x 的每一 点处是上( 下) 半连续的。 则 文献 3 7 中给出并证明了y 上( 下) 半连续的一组等价形式 ( i ) p 上半连续的充分必要条件是开集的原象为开集，即任给开集vcy y 。1 ( 矿) = x x ：( x ) c v 为中的开集： ( i i ) y 下半连续的充分必要条件是闭集的原象为闭集，即任给开集s 匕】， 则 为x 中的闭集。 3 2 定理及其证明 妒_ 1 ( s ) = x x ：p ( x ) c s j k i n k l e r 1 给出了个纯拓扑条件下的无限交结论，其中要求映射是上半连 续的，而且映射被赋予了紧性。文献【4 2 证明了映射的紧性不是必须的，我们的 结论也不要求映射具有紧性。为了证明下面的定理3 2 1 ，我们首先给出文献 4 1 中的一个引理和文献 4 2 】中的一个两点交非空的结论( 文献 4 2 】中的定理2 ) 。 引理3 2 1 ( j k i n k l e r ， 4 1 】) ：假设j 是一个拓扑空间，y 是一个非空集合。 v ：x 斗2 是一个集值映射。则下面的结论是等价： ( 3 1 ) 对任意的b 2 7 ，集合2 y ( y ) 在z 中是连通的或空的； ( 3 2 ) 对任意的x ，x ：x ，存在连通子集c 3 h ，x ： ，使得 对所有的x c ，y ( z ) c ( _ ) u 少( z 2 ) ； ( 3 3 ) 对任意的序对( x 。，x 2 ) x x ，集合扛x ：( x ) 亡( _ ) u y ( x 2 ) ) 在x 中 是连通的。 引理3 2 2 ( 4 2 】) ：假设咒y 是两个拓扑空间，y ：寸2 7 是一个非空的集值映 射。如果满足下列条件： ( 3 4 ) y 是上半连续的，而且对任意x x ，妒( x ) 是y 中非空开( 或闭) 的连 通子集： ( 3 - 5 ) 对任意的曰2 7 ，集合2 妒( y ) 在中是连通的或空的。 则集组渺( x ) ：xe z 具有两点交性质，即 对任意的x lx 2 x ，p ( _ ) n p ( x 2 ) 。 下面我们就给出一个关于有限交成立的充分条件的结论定理3 2 1 及其 证明。 定理3 2 1 ：假设z 】，是两个拓扑空间，妒：x _ 2 7 是一个非空的集值映射。如 果满足下列条件： ( 3 6 ) y 是上半连续的，而且对任意的x x ，y ( x ) 是y 中的非空开子集； ( 3 7 ) 对任意的a f ( x ) ，集合n 矿( x ) 在y 中是连通的或空的： ，e a ( 3 8 ) x 寸4 j ? n g j b 2 7 ，集合盆y ( y ) 在中是连通的或空的。 则集族砂( x ) ：xe z 具有有限交性质，即对任意的x l 一，x 。，有 2 少( 一) 证明：应用归纳法进行证明。不妨假设对任意的_ ，x 。x ，n n ( x 。) ，其 中月nl f l n 2 。下面证明：对任意的x l r ，x x ，”n n ( x ，) 定义映射：x - 2 ，对任意的x x ， y ( x ) 2 口矿( z ，) n y ( x ) 由归纳假设，对任意的x x ，y ( x ) 妒。令爿= _ n 盆- i y ( x ，) ，由于有限开集的交 仍为开集，a 是y 中的开子集。假设g 是y 中开子集，x x 且满足妒( x ) n 爿c g ， 于是 y ( x ) c g u a c ，i n t ( y ( x ) ) c i n t ( g u a c ) 由于妒( x ) 是y 中的开子集，因而 p ( x ) c i n t ( g u 4 。) 注意到y 是上半连续的，n 此g e x 的一个开邻域( x ) ，使得对任意z ( x ) ， y ( z ) c i n t ( g u a 。) c g u 4 。 即： 矿( z ) n a c g 因此y 是上半连续的，而且对任意的x 肖，( z ) 是j ，中的非空开子集。依据 条件( 3 7 ) 与任意的x x ，y ( x ) ，我们有对任意的x x ，y ，( x ) 在y 中 是连通的。依据条件( 3 8 ) 与引理3 2 1 ，我们有对任意的