（工程力学专业论文）结构拓扑优化中若干问题的研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 拓扑优化是当今结构优化领域内最具挑战性的课题。所谓拓扑优化就是要在给定 的约束条件下，在一块预先给定的设计区域中决定最优的材料分布方式或者构件之间的 最优连接关系。它是工程师对产品进行创新性概念设计的有力辅助工具。尽管在众多学 者的不懈努力下，这一领域的研究已经取得了很大的进展，但仍有一些问题值得进一步 深入探讨。本文就其中的强奇异性拓扑优化问题以及尺寸、形状以及拓扑联合优化问题 作了探索性的研究。 本论文首先讨论了当拓扑设计变量取其临界值时，问题的优化模型和计算模型会同 时发生的不连续变化的强奇异问题。详细论述了此类拓扑优化问题与仅具有弱奇异性的 拓扑优化问题之间的本质区别。通过具体的例子，说明了此类优化问题的具体特点并给 出了可能的解决方案。这些讨论有助于深入认识拓扑优化中广泛存在的奇异最优解现 象。 本论文的第二部分发展了一种尺寸、形状以及拓扑联合优化的数值方法。通过同时 引入拓扑描述函数以及厚度分布函数作为设计变量，实现了在优化模型中同时包含尺 寸、形状以及拓扑信息。在敏度分析的基础上，采用数学规划法求解此类问题，得到了 厚度分布和边界形状都得到优化了的材料分布方式。文中所给出的数值算例，证实了所 提出方法的有效性。 关键字：拓扑优化，奇异最优解，约束连续性，拓扑描述函数 曾庆强：结构拓扑优化中若干问题的研究 s t u d yo ns o m ep r o b l e m so ft o p o l o g yo p t i m i z a t i o n a b s 订a c t t o p 0 1 0 9 yo p t i m i z a t i o n i sn o wam o s tc h a l l e n g i n gt o p i ci nm ef i e l do fs 扛1 l c 删 o p t i r l l i z a 廿o n t 0 p 0 1 0 9 yo p t i m i z a t i o na i m sa tf i n d i n gm eo p 石m a ld i s t r i b u t i o no f m a t e r i a i si i la p 碥s c r i b e dd e s i g nd o m a i l la n d 也eo p t m 氇tw a yo fc o m p o n e mc o n r 诧c 丘o ni n ad i s c r t e s t 兀l c t l l r e i ti sav a i u a b l et 0 0 1f o rd c s i g n e r ss i n c ei tc a np r o v i d en o v c lc o n c 印t l l a ld e s 培n s 舢血o u 曲al o to fa c h i e m e mh a v eb e e nm a d ei nt o p o i o g yo p t m z a t i o n ，出e r ca r es t i l ls o m e p r o b l e m sn e e d 蛐e re x p i o r a t i o n s i nm i st h e s i s ，吐1 e t o p i c sa b o u ts t r o n gs i n g u l a r i t y p h e n o m e n a a n du n i f i e ds i z i n 吕s h a p ea n dt o p o l o g yo p t i n l i z a t i o na r ed i s c u s s e d i nt h ef i r s tp a no f t l l i sn l e s i s ，w ed i s c u s s e dm es t r o n gs i n g u l a 订t yp h e n o m e mi ns t m c t 【l r a l t o p o i o g yo p t i n l i z a n o n ，w ep o i n t e do u tt h em a i nd i s t i n c t i o n sb e t w e e ns t r o n gs i n g u l 耐t y p r o b l e m si nt o p 0 1 0 9 yo p t i m i z a 石o n 觚dt h o s ew h i c ho n l yh a v ew e a ks 洒g u l 州t i e s w e i 1 1 u s t r a t et h ei n 仃i n s i cf c a n l r e so fs t r o n gs i n g u l a r i 可p h e n o m e n o nm r o u g hc o n c r e t ee x a 玎叩1 e s a n ds u g g e s t e dt h ep o s s i b l ew a y st os o l v et h i sl ( i n do f p r o b l e m i nt h es e c o n dp a no ft h i st h e g i s ，w ed i s c u s sm en u m e r i c a lm e t h o d sf o ru n i f i e ds i z i n 岛 s h a p ea n dt o p 0 1 0 9 yo p t i i i l i z a t i o n i no u rp r o b l e mf b 衄u l a t i o n ，b o t ht o p 0 1 0 9 yd e s c r i p t i o n 缸l c t i o n ( t d f ) a n d 血et h i c k n e s s 缸1 c t i o na r eu s e da sd e s 咖v 撕a b l e s i i lm i sw a y ，s i z e ， s h a p ea n d o p 0 1 0 9 yi n f o 肌a t i o na r ea l li n c l u d e di n 也eo p t i m i z a t i o nm o d e l t h e 叩t 疏i z a t i o n p r o b l e mi ss o l v e db ym a t l l e m a t i c a lp r o g r a m m i n ga p p r o a c hw i t ht 1 1 eu s e do fs e n s i t i v i t y i n f o m a t i o n n u m e r i c a le x a r n p l e si l l u s 仃a t et h ee f f e c t i v e n e s so f t l ep r o p o s e da p p r o a c h k e y w o r d s ：t o p o i o g yo p 廿m i z a t i o n ，s i n g u l a ro p t i m u m ，c o n s t r a i n tc o n t i n u i t y ，t o p o l o g y d e s c r i p t i o nf u n c t i o n i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：鼬睨碰笸竺 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 勰定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名 导师 鲎煮墨虽 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 本章主要介绍结构拓扑优化的基本概念，理论，方法及其研究进展。其中特别详细 地介绍了目前拓扑优化的若干主流方法，包括均匀化方法、变密度法以及水平集方法等。 1 1 结构优化与结构拓扑优化 结构优化简单来说就是在满足一定的约束条件下，通过改变结构的设计参数，以达 到节约原材料或提高结构性能的目的。 结构优化问题有包含三个基本要素：目标函数、设计变量和约束条件。目标函数是 用来衡量结构“优劣”的指标；设计变量是可供设计人员调整的结构的参数；约束条件 则是对设计变量的限制。结构优化的任务，就是对于一个结构，寻求设计变量的最优值， 使其既满足约束条件又使得目标函数最优。 结构优化是从2 0 世纪6 0 年代开始随着计算机技术和有限元方法迅速发展起来的一个力 学分支，研究如何为工程师提供可靠、高效的方法以改进结构的设计，有很强的应用背景， 经过各国学者的不懈努力，其基本理论和求解手段己经逐渐成熟，随着有限元技术和计算 机技术的发展，以及不断增长的市场需求的推动，结构优化技术有了飞速的发展，并且 有了很多成功的应用，在航空航天、汽车制造等很多行业，对产品进行结构优化目前已 经成为生产过程中一个必须的而且是至关重要的环节。目前众多的大型商业c a e 软件 如o p t i s t n l c t 、a n s y s 、n a s 订a n 等，都提供了结构优化的功能。 根据结构优化问题的特点，通常将结构优化划分为尺寸优化、形状优化、拓扑优化 等层次。尺寸优化的设计变量是板的厚度，二力杆的截面积以及梁截面的高度等结构的 尺寸参数，尺寸优化的目的是要在满足结构的力学控制方程，边界条件以及诸多性态约 束条件的前提下，寻求一组最优的结构尺寸参数，使得关于结构性能的某种指标函数达 到最优。板在体积约束下，使得柔顺性最小的最优厚度分布设计，桁架结构在应力、位 移约束下的重量极小化设计，b e m o u l i 梁在体积约束下，使得基频最大化的最优高度分 布设计都属于此类优化设计问题i l i 。 曾庆强：结构拓扑优化中若干问题的研究 s t r t l c t u r a ld e s j g n 3s c f x p r t ， ! ! e j j x s i z n g ( ) pe l m j z a i j o n m j c k n r a0 】a kur m c m 断1 e 1 w l d ，t w l d m - m d i 3 吖i c “m * “0 0 lah 由m s b l p eo m 泣a t i o n - l h l i c l l 日n c t 曲0 d e 。1 叩o l o 盯。p i i 眦z a f i o n j n 们k ro r h oe s c 椰“斛r d f 卅n 圈1 1 结构优化的三类 f l g 1 1s t r u c t u a ld e s l g n3g e t so fp r 口b l e 形状优化的优化变量为杆系结构的节点坐标或连续体的边界形状。形状优化力图通 过调整结构的内外边界形状，来达到改善结构性能，节省材料使用的目的。如果结构的 边界形状可以用一条曲线( 曲面) 的方程来描述，那么形状优化的目的就是要求得最佳边 界形状所对应的曲线( 曲面) 方程。对于大多数实际的形状优化问题，结构的边界形状常 常采用一组适当的基函数( 如b ，s p l i m 函数) 并附加一些可以自由变化的参数来描述，此 时，这些自由参数就可以选作形状优化的设计变量。对于平面桁架结构，节点的位置亦可 以作为形状优化的设计变量，变化节点的位置坐标可以大大改善结构的力学陛能。 而对于结构拓扑优化来说，其所关心的是离散结构中杆件之间的最优连接关系或连续 体中开孔的数量及位置等。拓扑优化力图通过寻求结构的最优拓扑布局( 结构内有无孔洞， 孔洞的数量、位置、结构内杆件的相互联接方式) ，使得结构能够在满足一切有关平衡、应 力、位移等约束条件的情形下，将外荷载传递到支座，同时使得结构的某种性能指标达到 最优。拓扑优化的主要困难在于满足一定功能要求的结构拓扑具有无穷多种形式，并且这 些拓扑形式难以定量的描述即参数化。 大连理工大学硕士学位论文 目前，形状优化和尺寸优化的研究相对比较成熟，而拓扑优化的难度则相对较大。 著名力学家p r a g e r 和国际结构和多学科优化学会前主席r d z 、，a n y 认为，结构拓扑优化是 结构力学中最富挑战性的一类问题，长期从事结构优化设计研究的础r s c h 也认为拓扑设 计问题是结构优化任务中最困难的问题。 虽然结构拓扑优化设计的难度很大，但是它能在工程结构设计的初始阶段为设计者 提供一个优化的概念性设计，因此与尺寸优化和形状优化相比，拓扑优化能够带来更大 的经济效益，所以愈来愈多的学者开始致力于这方面的研究，已经成为当今结构优化设 计研究的一个热点。经过近十几年来的努力，已经取得了一系列重要进展，出现了一批 有效的拓扑优化方法，并且己经在航空、航天、土木建筑以及机械设计等各个领域内得 到了成功的应用。般说来，结构拓扑优化的研究主要可以分为连续体( 平面膜、板壳、 三维实体等等) 和离散体结构( 刚架、网架、桁架等等) 拓扑优化两大方面，如果采用有限 元手段对结构分析以及优化的控制方程进行离散( 当然这种离散必须保证问题的本质特 性能够得以保持) ，那么连续体结构的拓扑优化问题也就可以在有限维空间中进行，这 样所得到的结果将是原来位于无穷维空间中的精确解的一个有限维近似。因此从这个意 义上来讲，针对离散结构的拓扑优化研究是非常有意义的。但是，桁架结构的拓扑优化 允许在结构中删除和增加某些杆件和节点，这使得设计变量、约束条件以及有限元模型 在优化过程中不断变化，从而给优化问题的求解带来很大困难”l 。 1 2 结构拓扑优化的研究进展 1 2 1 离散结构拓扑优化 结构拓扑优化的历史可以追溯到1 9 0 4 年m i c h e l l 提出的桁架理论，但这一理论只能用 于单工况并依赖与选择适当的应变场，1 9 6 4 年d o m ，g o m o 巧，g r e e n b e 玛等人提出了求解 离散的杆系结构拓扑优化问题的基结构方法。所谓基结构就是在预先给定的结构节点集 合中，把所有结构节点之间都用杆件相连而得到的结构。该方法的基本思想是：从基结 构的模型出发，应用优化算法( 数学规划法或准则法) 在满足某些约束条件的前提下， 允许杆件面积可以连续变化将一些不必要的杆件从基结构中删除( 例如那些截面积达到 曾庆强：结构拓扑优化中若干问题的研究 零或下限的杆件) ，并认为最终剩下的杆件决定了结构的最优拓扑。采用基结构方法， 可以将桁架拓扑优化形式上当作杆件截面优化来处理【3 】。 d o b b s 以及f e t t o n 使用最速下降法求解了多工况、应力约束下桁架结构的拓扑优化 问题。s h e n 和s c h r n j d t 采用分枝定界法求解在应力和位移两类约束下桁架结构在多工况 作用下的最优拓扑。l 洳c h 针对离散结构的拓扑优化问题| 4j ，提出了一种两阶段算法， 第一阶段以赘余内力和杆件截面积为设计变量，忽略变形协调条件和位移约束，将问题 简化成容易求解的线性规划问题，求出解的下界。第二阶段考虑全部约束，在己得到的 拓扑下解非线性规划，得到杆件的截面面积。 近年来，许素强和夏人伟以及g d e r s o n 、p a k 、h a j e l a 等采用遗传算法对桁架结构拓 扑优化设计进行了探索性研究。程耿东等i sj 使用模拟退火算法，求解桁架结构拓扑优化 的全局最优解。他们构造了一个双重控制m e 拄o p o l i s 准则处理应力约束，提出了一个基 于力平衡的启发式准则，以实现优化过程中单元的自动增删。孙焕纯旧7 。8 1 等人提出了 离散变量拓扑优化的序列二重二级优化方法。 1 2 1 连续体结构拓扑优化方法 1 2 11 均匀化方法 均匀化方法是7 0 年初期主要由法国和前苏联学者所发展起来的一种用于求解具有 周期性快变系数偏微分方程的数学理论。在8 0 年代初期，这种方法开始被计算力学工 作者所注意，它的基本思想是：通过引入联系宏微观尺度的小参数并对小参数进行多重 尺度展开，来实现具有不同分辨率的尺度分离。这一数学工具后来被b e n d s o e 和k i k u c h i 引入结构拓扑优化的研究。他们将为微结构模型引入拓扑优化的问题例式，把描述微结 构的尺寸参数作为设计变量，然后利用均匀化技术获得材料的等效力学参数，近而通过 响应分析和敏度分析通过微结构参数的自然退化来实现结构的拓扑变化。均匀化方法后 来被许多作者推广并应用于各种拓扑优化问题，取得了巨大成功。 1 212 变密度方法 连续体结构变密度法的基本思想是人为地引入一。种假想的密度可变的材料，采用材 料的密度作为拓扑设计变量来实现结构的拓扑变化( 如设计区域中某点密度值为0 则认 大连理工大学硕士学位论文 为此点无材料；否则认为此点有材料) ，同时通过人为假定的材料宏观弹性常数与其密 度之间的某种非线性关系对o 1 之间的密度值进行惩罚，以使优化结果尽可能具有非0 即1 的密度分布。有关这方面的最新进展，可以参见e s c h e r a u e r 和0 1 h o f r 最近发表在 a 口口l i e dm e c h a n i c sr e v i e w 杂志上的长篇综述文章。 1 2 1 3 水平集方法 水平集方法( l e v e ls e tm e m o d ) 是国外学者s e t h i a n 和o s h e r 于1 9 8 8 年提出的一种用 于追踪运动边界的数值方法1 9 ”】，在图像处理、流体力学等方向有着广泛的应用。2 0 0 0 年s e t l l i a n 和w i e g m a n n 首次把水平集方法引入结构优化领域。 采用水平集方法求解结构拓扑优化问题的基本思路是引入一个水平集函数 = ( x ，f ) ，然后采用如下的方式对结构的拓扑形式加以描述： 撼，五 ( x ，f ) 图1 2 设计区域和水平集函数 f i g i 2d e s i g nd 。m a i na n d l e v e ls e tf u n c t i o n 曾庆强：结构拓扑优化中若干问题的研究 这里q 代表结构实体材料所占有的区域；s 是其边界，s = f ( x ) = x i ( x ，f ) = o j ， 在二维问题中为零等值线，三维问题中为零等值面，本文中所有研究都在二维问题中展 开，但是水平集方法推广到三维问题是非常直接和容易的；d 是一个计算区域，它包含 了结构在优化过程中可能占有的一切构型，参见图1 2 。 采用水平集方法求解拓扑优化问题最大的优点在于它可以用一种隐含的方式灵活 地描述结构的拓扑变化。所有有关结构拓扑和结构边界的信息都体现在了这个水平集函 数之中。在整个结构优化过程之中，我们无需显式的提取出结构的边界。 1 3 本文的主要工作 本论文对结构拓扑优化的两个问题进行了研究。首先讨论了当拓扑设计变量取其临 界值时，问题的优化模型和计算模型会同时发牛的不连续变化的强奇异问题。详细论述 了此类拓扑优化问题与仅具有弱奇异性的拓扑优化问题之间的本质区别。通过具体的例 子，说明了此类优化问题的具体特点并给出了可能的解决方案。这些讨论有助于深入认 识拓扑优化中广泛存在的奇异最优解现象。 本论文的第二部分发展了一种尺寸、形状以及拓扑联合优化的数值方法。通过同时 引入拓扑描述函数以及厚度分布函数作为设计变量，实现了在优化模型中同时包含尺 寸、形状以及拓扑信息。在敏度分析的基础上，采用数学规划法求解此类问题，得到了 厚度分布和边界形状都得到优化了的材料分布方式。文中所给出的数值算例，证实了所 提出方法的有效性。 大连理工大学硕士学位论文 2 拓扑优化奇异最优解历史与研究现状 本章将拓扑优化奇异最优解的研究历史与现状作系统性的介绍。 2 1 奇异最优解的发现 奇异最优解现象最早是由s v e d 和g i n o e s i ”l 发现的。他们用数学规划法求解一个三 秆桁架的拓扑优化设计，发现从任意的三杆桁架基结构初始设计出发，迭代都收敛到三 杆的局部最优设计，而问题的全局最优解却是一个两杆桁架。i ( i r s c h l l 31 4 1 8 等在对网架 结构的拓扑优化设计进行研究时也发现了类似现象。 s v e d 和g i n o e s 考虑的是如下的优化问题：所考虑的三杆桁架如图2 1 所示。所受 的三种工况下的荷载分别为只= 4 0 ，只= 3 0 ，只= 2 0 ，各杆的许用应力为 h i 5 “c r 2 2 0 ，i 叮“5 ，而e = 1 o ，p l = p 2 = 1 o ， = 1 o ，要求在满足各杆应力约束的前 提下，寻找结构的最优拓扑，使得结构的总重量最小。 b - ! l ， 、 j j i h f z 图2 ，l 三杆桁件的基结构 f i 9 2 1t h r e e b a rt r u s sg r o u n ds t r u c t u r e 曾庆强：结构拓扑优化中若干问题的研究 他们采用传统的数学规划算法求解这样的问题，结果发现如果在非退化设计空间中 无论如何选取初始设计，都仅仅能得到如图2 2 a 所示的解答，与此相应的结构重量为w = 1 5 9 8 。而由枚举法可知问题的全局最优解其实是一个如图如图2 2 b 所示的两杆桁架， 相应的结构重量是w = 1 2 8 1 4 。 式乒 棚 图2 2 a 局部最优拓扑 f i 9 2 2 an o n o p t i m a lt o p o l o g y 气 。揪 、 蝴街 、 图2 2 b 全局最优拓扑 f i 9 2 2 bo p t i m a lt o p o l o g y 长期以来，很多研究者一直认为奇异最优解是孤立于可行域之外的最优解。硒r s c h i “ 曾给出了一个富有启发性的算例来说明奇异最优解现象。如图2 1 3 所示的三杆桁架， 承受一个竖直向下的集中力荷载。设1 、2 、3 杆的截面积分别为一t ，4 z ，呜，而2 杆和3 大连理工大学硕士学位论文 杆具有相同的截面积一z2 正。这里各个杆件的长度分别为厶2 厶2 厶，杨氏模量e = 1 0 各杆的许用应力均为2 0 0 0 为了研究结构的最优拓扑所可能具有的各种形式，作者考虑了如下形式的目标函数 z = a a l + 爿2 这里a 为一个非负的任意参数 采用通常的数值优化算法求解上述问题，作者发现，a 3 时得到的最优解则对应于图2 1 4 中的b 点，相应的有一，= o ，0 ，爿：= 1 5 ，然而在b 点处，由于4 = 0 o ，即1 杆己经不存 在了，那么关于它的应力约束不应再予以考虑，这样当护3 时，真正的最优解实际上应 该处于设计空间中的c 点。作者同时认为，c 点似乎是设计空间的一个孤立点，在某些 情况下，它将是优化问题的一个奇异最优解。作者同时断言很难甚至不可能通过通常的 数值算法得到这样的奇异最优解。h a n g f l 7 1 在其专著中也认为很难通过设计变量的连续变 化求得奇异最优解。 图2 3 三杆桁架基结构 f i 9 2 3t h r e e _ b a rt r u s sg r o u n ds t r u c t u r o 曾庆强；结构拓扑优化中若干问题的研究 a 图2 4k i r s c h 文章中错误地的可行域表示 f i 9 2 4f e a s i b l ed o m a i nk i r s c h so 口o i n i o n 但是后来的研究却表明：奇异最优解其实并非设计空间中的一个孤立奇点。而是通 过低维子域与可行域的其它部分相连通的。程耿东等首先指出了这一点。在程和蒋的工 作中，作者首先引入了杆件极限应力的概念。它等于当桁架某根杆件的断面积趋于零而 其他杆件的断面积保持不变时，该杆件应力的极限值由于杆件的极限应力通常为非零 有限值，而断面积为零的杆件应力在物理上并不存在，所以杆件的应力函数在零断面积 处是不连续的，如果定义断面积为零的杆件应力为极限应力，虽然在数学上恢复了应力 函数的连续性，但与断面积为零的杆件应力约束并不存在或应力约束自动满足的事实是 矛盾的，正是这一矛盾，使得采用基结构方法求解离散结构拓扑优化问题时可能出现奇 异最优解。通过进一步分析，作者还指出：奇异最优解所对应的设计点并非是设计空间 中的孤立点，而是位于设计空间中某个低维退化子域的端点，整个设计空间仍然是连通 的，其形状就像一个水母，由若干个不同维数的可行子区域组成。 在程和蒋的文章中讨论了如下的一个拓扑优化问题。如图2 5 所示的四杆桁架， e = 1 o ，l = 1 0 ，工况如表2 ，1 。各杆许用应力均为5 0 。其中1 杆和3 杆具有相同的截面 积4 ；，而2 杆和4 杆具有相同的截面积一：。考虑此结构在应力约束下的重量最小化的拓 扑优化问题。如果令1 杆和3 杆的密度为c ，而2 杆和4 杆的密度为c ，那么问题的 目标函数可以写为： 大连理工大学硕士学位论文 w = 2 c 1 爿1 + 2 c 2 爿2 图2 5 四杆桁架基结构 f i 9 2 5f o u r - b a rt r u s sg r o u n ds t r u c t u r e 表2 1 四杆桁架问题的工况 t a b l e2 ll o a dc a s eo ff o u r _ b a rt r u s s jl 23 。_ 。_ - _ _ - - - 。_ 。_ - _ _ _ _ _ _ _ _ 1 - ，- _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ _ - - _ _ _ _ _ - _ _ 一 p硼 3 嵇2 0 d 稍孵 1 3 ，5 罩= 蔫口薯品嵩葛麓蓝罱- - 静 图2 6 四杆桁架的可行域 f i 9 26f e a s i b l ed o m a i nf o u r b a rt r u s s s ( 2 1 ) 对照图2 4 和图2 6 ，我们可以清楚地看到，二者的形状虽然貌似相象，但实际上却 有很大的不同。因为如图2 7 所示，问题的奇异最优解实际上并非是设计空问中的一个 曾庆强：结构拓扑优化中若干问题的研究 孤立的可行点，如果设计变量的尺寸上限足够大，它与可行域的其它部分实际上是互相 连通的。这就是说所谓的奇异最优解实际上并不奇异，只不过在它的附近可行域的形状 相当病态而己，整个设计空间仍然是连通的，其形状就像一个水母，由若干个不同维数 的可行子区域组成。 对于奇异最优解的重新认识，为有效地克服奇异最优解给结构拓扑优化所造成的困 难提供了新的思路。在程耿东等人的工作中，作者还指出：恢复应力约束函数在杆件零 截面积邻域附近的连续性，是解决奇异最优解给结构拓扑优化所造成的困难的关键所 在。这个论断为以后的研究工作提供了重要的启示。这一工作也同时提示人们注意到由 于奇异最优解的存在，并不是在所有的对于处理尺寸优化问题十分有效的优化算法中， 只要给予杆件的截面积一个很小的下限就可以用来正确地求解所有约束形式下的拓扑 优化问题，也不是只要把解题的规模变得很大就算己经解决了拓扑优化设计中所有的问 题。拓扑优化之所以还没有取得与尺寸优化一样的成就是因为有其特殊的困难。 程耿东和郭旭| 18 l 以网架和波纹板的拓扑优化为例对结构拓扑优化中的若干概念提 出了一般性的定义，根据设计变量的变化是否引起结构拓扑的变化，将结构优化问题中 的设计变量分为拓扑设计变量和非拓扑设计变量；当拓扑设计变量取某个值时，结构拓 扑发生变化，作者把这个值定义为该拓扑设计变量的临界值，当某个拓扑设计变量在其 临界值附近变化时，结构拓扑发生变化，该优化问题的约束集也可能发生变化，某些约 束或从约束集中退出，或加入约束集，或其函数值出现间断，这些约束定义为与该拓扑 设计变量相关的约束，在此基础上作者给出了结构拓扑优化存在奇异最优解的条件，根 据这一条件人们可以用较简单的办法判断一个问题是否可能存在奇异最优解，并决定采 用相应的算法，例如对于平面板架，固定粱的宽度，以梁的高度为设计变量，则受到应 力约束的拓扑优化并没有奇异最优解，对于这类问题可以采用对设计变量加一个很小的 非负的下界将其转化为普通尺寸优化问题。 大连理工大学硕士学位论文 2 2 拓扑优化问题的分类 已有的研究工作表明，结构拓扑优化问题的求解常常会受到奇异最优解现象的困 扰。所谓奇异最优解是指一个位于可行空间中某个低维退化子域端点处的全局最优解。 这种现象的存在往往使得传统的优化算法不能收敛到问题真正的最优解。一般来说，根 据奇异与否以及奇异性的程度如何，我们认为可以把结构拓扑优化问题分为三类 2 ，2 1 无奇异性的拓扑优化问题 在此类优化问题的可行区域中，不会存在位于低维退化子域端点处的奇异最优解。 体积约束下离散以及连续体结构整体柔顺性最小的拓扑优化；杆件拉压许用应力相同的 桁架结构在应力约束以及单工况外荷载作用下重量极小的拓扑优化：采用截面高度作为 拓扑设计变量，应力约束下网架结构重量极小的拓扑优化；频率约束下重量极小的拓扑 优化都属于此类问题。对于这类问题，可以通过对拓扑设计变量引入一个很小的下限， 把拓扑优化转化为尺寸优化问题来求解。可以证明：随着拓扑设计变量的下限逐渐趋近 于零，尺寸优化问题的最优解将会收敛于原来拓扑优化问题的最优解1 ”j 9 1 。 2 2 2 弱奇异的拓扑优化问题 对于此类拓扑优化问题，其全局最优解将位于可行域中某个低维退化子域端点。此 时，在全局最优解附近的可行区域将具有如图l 所示的病态的形状。已有的研究结果表 明，传统的基于梯度的优化算法很难得到这样的最优解7 1 1 8 w 图2 7 具有奇异最优解的可行域 f i g ，2 7f e a s i b l ed o m a i nw i t hs i n g u l a ro p t i 口u 阻 曾庆强：结构拓扑优化中若干问题的研究 产生这种现象的根本原因在于当拓扑设计变量趋近于其临界值时，优化问题中的拓 扑相关约束函数往往会产生不连续的跳跃，也就是说问题的优化模型将会产生不连续的 变化”j 。因为在某些情形下，优化模型的连续性可以通过合适的约束放松技术予以恢复， 因此常常把这种奇异性称为弱奇异性。采用杆件横截面积作为拓扑设计变量的桁架结构 应力约束下重量最小的拓扑优化：采用采用截面宽度作为拓扑设计变量，应力约束下网 架结构重量极小的拓扑优化；连续体结构在应力约束下的拓扑优化都属于此类问题。 2 23 结构拓扑优化中的强奇异性现象 如果在优化过程当中，不仅问题的优化模型，而且相应的计算模型也会发生不连续 的变化，那么这样的问题就属于具有强奇异性的拓扑优化问题。与前两类拓扑优化问题 相比，这类拓扑优化问题具有更高的求解难度。这是因为单纯使用基于约束放松策略的 正则化技术还不足以克服此类优化问题中所固有的困难 此类优化问题中的强奇异性来源于杆件屈曲长度的跳跃现象，将在第三章中详细分 析探讨并将通过具体的算例来对拓扑优化中的强奇异性现象予以说明。 2 3 奇异最优解给拓扑优化问题带来的困难 连续体结构的拓扑优化问题的求解都必须借助于有限元手段进行离散，因此可以预 见，在对连续体结构受应力等局部性约束的拓扑优化问题进行求解时，也将面临离散结 构的拓扑优化问题奇异最优解所造成的下述困难。 2 3 1 使得传统的解决拓扑优化问题的算法不再有效。 长期以来，对于离散结构的拓扑优化问题人们常常从基结构的优化模型出发，采用 尺寸优化的算法进行求解。 基于这样的拓扑优化模型，人们常用尺寸优化的算法来进行求解拓扑优化问题。仍 以析架结构的拓扑优化设计为例，我们可以采用每根杆件的横截面积作为设计变量，并 限定其取值范围，然后利用尺寸优化的算法对问题进行求解，如果在最后的优化结果当 中，某些杆件的截面积达到了其下限值零，则可将其从结构中删除，从而实现结构的拓 扑变化。 但是值得指出的是，由于在优化过程当中，为了考虑结构的拓扑变化，杆件的截面 大连理工大学硕士学位论文 积允许取零值，在数值计算的过程当中将出现一些难以克服的困难。最为显然的是，假 若在基结构的某个节点处，与其相连的所有杆件的面积都为零( 即意味着均被删除) ，那 么在结构总刚度阵中的主对角线上将会出现零元素，在这种情况之下，除非采取特殊的 技巧，否则将无法进行正常的结构分析。考虑到这样的因素，人们提出了一个修正的办 法，即令每根杆的取值范围为爿占，这里的是一个小的正数。并且认为如果在最后的 优化结果当中，某些杆件的面积达到了其下限6 ，则认为其对结构的承载能力几乎没有 贡献，可以将其从基结构中删除。这种传统的e 算法一直被从事数值优化的研究者们所 采用，利用这种算法求解结构的拓扑优化问题确实也得到了一些很好的结果。但是正如 程和蒋在后来的研究中所指出的那样，如果问题的最优解是一个奇异最优解，那么这种 方法并不总是有效的。 2 3 2 使得通常的数值优化算法，很难收敛到真正的最优点。 由于奇异最优解附近可行域的测度为零，常常使得一般的数值优化算法很难收敛到 真正的最优解，而往往终止于一些伪最优解，即如图2 6 中所示的g 点。 曾庆强：结构拓扑优化中若干问题的研究 3 拓扑优化结构拓扑优化中的强奇异性问题 如果在优化过程当中，不仅问题的优化模型，而且相应的计算模型也会发生不连续 的变化，那么这样的问题就属于具有强奇异性的拓扑优化问题。与前两类拓扑优化问题 相比，这类拓扑优化问题具有更高的求解难度。在下文中，我们将详细地就这一点展开 讨论。 3 。1 桁架结构在局部稳定性约束下的拓扑优化 此类优化问题中的强奇异性来源于杆件屈曲长度的跳跃现象。考虑如图3 1 桁架结 构( a c h t z 蟾e r ，1 9 9 9 ) 。 p 图3 14 杆桁架结构 f i 9 3 1f o u r b a rt r u s ss t r u c t u r e 一个竖直向上的集中力作用在节点b ，节点a ，c 和d 的位移被限定为零。 f 。= l ，j - 1 ，4 ，目= 4 5 0 。杆件的横截面积和内力分别为。和吼，涪1 ，4 。利用对称性， 大连理工大学硕士学位论文 我们有：q = 口。考虑在应力以及局部稳定性约束作用下结构重量最小的拓扑优化。问 题的约束条件可以表示为： 以及 一盯j d j 吼盯y 口。，f = 1 一，4 ( 3 1 ) g 。一s f n ? ( 2 ) ，如r g ，s o ，f = l ，4 ( 3 2 ) 这里置= 丌2 巨，是f 杆的惯性矩。不失一般性取 e = 易= e 3 = 4 = l ，西= 一秽= 1 o ，s f = s = 石2 ，口；= l ，f = 1 ，4( 3 3 ) 由计算可知：此问题的全局最优解为： 口l = 1 0 ，口2 = 1 0 ，口3 = 口4 = 0 o o ，纾么= 2 0( 3 4 ) 从工程角度来看，这个解实际上是不可接受的。因为这样的结构在整体上是不稳定 的。为了得到一个具有整体稳定性的最优设计，可以把中间铰去掉并将1 和2 两根杆合 并为一根杆。经过这样的处理，杆件中的内力分布是不会改变的。但是，正如z h o u ( 1 9 9 6 ) 等所指出的那样，经过这样处理所得到的结构，其最优性实际上是无法确认的。因为合 并之后的杆件其屈曲长度较之合并以前有了一个有限大小的跳跃。也就是说合并之后的 杆件由于其长度增加了一倍，因而在此杆内力没有改变的情况下将无法满足局部稳定性 约束。 这里，在杆件合并前后问题的优化模型发生了一种不连续的突变。而这种不连 续性在不修改问题优化模型的前提下是无法通过约束放松技术解决的。这种现象的产 生，本质上是由于在优化模型中没有将结构的整体稳定性约束考虑进去所造成的。我们 将在后文中继续讨论这个问题。 3 2 桁架结构应力约束下以杆件节点位置作为设计变量的拓扑优化 考虑如图3 2 示的8 杆桁架。目标是在应力约束条件下同时优化结构的拓扑和形状 以使得结构的重量极小化。我们选择每根杆件的横截面积以及节点3 和节点4 的水平坐 曾庆强：结构拓扑优化中若干问题的研究 标作为拓扑设计变量。每根杆件拉压许用应力的绝对值均为1 0 。结构在节点6 处受到 一个竖直向下的集中力荷载。我们认为：如果在最后的优化结果中某根杆件的截面积或 者长度达到了一个很小的下限值，则其可以从基结构中被删除，从而实现了结构的拓扑 变化。 图3 28 杆桁架基结构 f i g 3 28 _ b a rt r u s sg r o u n ds t r u c t u r e 图33 退化的4 杆桁架结构 f i 9 3 3d e g e n e r a t e d4 一b a rt r u s ss t r u c t u r e 由结构分析可以得到每根杆件的内力分别为 l = 1 一d ，2 = o ，3 = 一1 ，4 = 一( 1 一d ) 大连理工大学硕士学位论文 r 一r 一 眠= 1 + d 2 ，6 = 1 ，7 = 1 + ( 1 一d ) 2 ，8 = o ( 3 5 ) 对于每个固定的d ，o d l ，所考虑的桁架结构是一个静定结构。因此相应的最优 设计必然是一个满应力设计。对于每个固定的d ，相应的杆件的最优截面积为： 口y 7 ( d ) = l d ，口尹( d ) = 0 ，口尹( d ) = 1 ，8 尹7 ( d ) = l j 口，= 正瓦万，以( d ) = 1 ，口尹( d ) = 再而，口( d ) = o( 3 6 ) 根据上面的结果，对于固定的d ，o d ( 1 ，可以得到最优目标函数的表达式为 厂印( d ) = ( 1 一d ) d + d + ( 1 一d ) 2 + 1 + d 2 + l + 1 + ( 1 一d ) 2 = 2 d 2 2 d + 5( 3 7 ) 而最优的d 可以通过求解如下的优化问题得到 疗玎dd ：1 1 i n ，。，( d ) ：2 dz 唰+ 5s o d 1 此优化问题的最优值为：m i n ，”= 厂”( 1 2 ) = 4 5 。同时还有l 胁，= 1 蛔”= 5 o 。 以上讨论了o d i 的情形。下面来讨论对应于d = 1 的极限情形。此时的结构应该 如图3 所示。这个四杆桁架可以看作是当j 哼l 时，将极为接近的节点4 和6 ，3 和5 和 并为一个节点，将原来8 杆基结构中的几乎重叠的6 ，7 ，8 三根杆件合并为一根杆件， 同时将非常短的2 和4 两根杆件删除而得到的。 对于这样得到的退化四杆桁架，其各杆的内力分别为： l = 一l ，2 = 压，3 = o ，4 = o 相应的最优杆件的横截面积为： ( 3 9 ) 曾庆强：结构拓扑优化中若干问题的研究 a ，= l ，4 罗= j ，口尹= o ，d = o( 3 1 0 ) 而最优的结构重量值为 厂”( o ) = ”( 1 ) = 1 + 1 + 拒压= 1 + 2 = 3 o( 3 1 1 ) 图3 4 给出了结构的最优重量与几何参数d 之间的关系。值得注意的是在退化的4 杆 桁架中，杆件4 的内力是为零的。但是在原来的8 杆桁架结构中，当d r l 时，无论节 点4 和节点6 如何接近，杆件6 和杆件7 中的内力总是不等于零的。对于每个固定的d ， 节点4 和节点6 的竖向位移为： 一：圭麓e 4 ，圪：杰m 丙i 叵4 ( 3 1 2 ) 这里丙；和丙? 分别为杆件4 和6 在虚荷载作用下的内力。假设所有杆件的横截面积均为 l ，则有； _ ( d ) ；圭j 丙麓e 4 ：( 一1 ) ( 一d ) + ( 1 + d z ) m ( 3 1 3 ) 以及 圪( d ) ：窆l 丙? e 4 ：( 1 一d ) ：d + d + ( 1 一d ) ，+ ( 1 + d ：) ”+ ( 1 + ( 1 一d ) ：) m ( 3 1 4 ) 这样就有：卿_ ( d ) = 1 + 2 ”2 辫圪( d ) = 3 + 2 ”2 。这意味着无论节点4 和节点6 如 何接近，它们的竖向位移总会存在一个有限的间断! 大连理工大学硕士学位论文 。 5 0 4 - 5 3 0 图3 4 最优结构重量与d 的关系 f i g 3 40 p t i m a ls t r u c t u r a lw e i g h tv s d 由以上分析可以发现：问题的全局最优解实际上对应于一个退化的四杆桁架。它们 分别由图3 4 中的a 点和b 点来代表。值得指出的是：如果从介于0 和1 之间的初始d 值开始寻优过程，这样的全局最优解是无法采用通常的基于梯度信息的优化算法得到的 ( 事实上优化算法往往收敛到c 所对应的结构拓扑) 。因此它们属于奇异的全局最优解。 此例中所遇到的奇异性现象从本质上来说不同于由应力约束所引发的奇异性。后者是由 于优化模型在拓扑设计变量临界值处的不连续性所造成的。而上文中所讨论的不连续性 实际上是由于结构的计算模型在d = o 和d = 1 发生了突变引起的。由前面的分析知道， 无论结构中两个节点之间的距离如何小，其传力路经与节点合并之后所得到的退化结构 的传力路经是有本质不同的。这种不连续性是无法通过约束放松技术加以克服的。因此， 如果在拓扑优化模型中采取结构的几何参数作为拓扑