（流体力学专业论文）Boussinesq近似与赤道Beta平面近似类方程组的解析解计算.pdf

摘要本论文应用分层理论所提供的方法，研究了大气科学中两种非常重要的近似：b o u s s i n e s q 近似与赤道卢一平面近似类的方程组。通过分析这类方程组的拓扑学性质，来研究它们的稳定性以及各种定解问题的适定性。对于适定的定解问题，在解析函数类空问中给出了其准确解的具体的求解方法；对于不适定的定解问题，如果有解，也给出了构造其形式解的方法。本文的主要结果如下：1 ) 证明了在y 方向上均匀的带有运动粘性项以及热耗散项的两维非静力、b o u s s i n e s q 近似的x z 面上两维旋转流体的控制方程组在c 2 函数类中是一个不稳定的方程组。2 ) 如果以瑞利摩擦来代替粘性的影响，以牛顿冷却来代替热量的耗散，则所获得的一个新的方程组在c 1 函数类中是一个稳定的方程组，给出了其解空问的构造和各种定解问题的适定性的判别方法。并分析了这种简化的合理性以及方程组的稳定性发生变化的根本原因。最后对于其c a u c h y 问题，我们给出了具体的计算实例。3 ) 5 x x t j 静力平衡的条件下，一个无粘、绝热的三维b o u s s f n e s q 近似的方程组。特别地，研究了它的c a u c h y 问题并给出实例，以与非静力平衡的情况进行比较。4 ) 对于赤道一平面近似的浅水方程组和热源强迫的热带环流方程组，重点研究了它们的解空间构造，并给出了各种适定的定解问题在解析函数类空间中准确解的具体的求解方法，并编制程序去计算其级数解。关键词：b o u s s i n e s q 近似；卢一平面近似：分层理论；定解问题；c a u c h v问题；稳定性：适定性a b s t r a c tt h i sp a p e r , a p p l y i n gt h et h e o r yo fs t r a t i f i c a t i o n ，d e v o t e st ot w ok i n d so fa p p r o x i m a t ee q u a t i o n s ：t h eb o u s s i n e s qa p p r o x i m a t et y p ee q u a t i o n sa n dt h ee q u a t o r i a l一p l a n ea p p r o x i m a t et y p ee q u a t i o n s ，w h i c ha r ev e r yi m p o r t a n ti nt h ea t m o s p h e r i cs c i e n c ew es t u d yt h es t a b i l i t ya n dt h ew e l l p o s e d n e s so ft h ep r o b l e mf o rd e t e r m i n i n gs o l u t i o nb ya n a l y z i n gt h et o p o l o g i c a lp r o p e r t yo ft h e s ee q u a t i o n sw eg i v et h es o l u t i o na p p r o a c ho fe x a c ts o l u t i o ni 1 1d e t a i li nt h ec l a s so ft h ea n a l y t i cf u n c t i o n sf o rt h ew e l l p o s e dp r o b l e ma n dt h em e t t 【o d so fc o n s t r u c t i o no ft h ef o r m a ls o l u t i o n sf o rt h ei l 】一p o s e dp r o b l e m t h em a i nr e s u l t sc a nb es t a t e da sf o l l o w s ：1 i ti sp r o v e dt h a tt h et w o d i m e n s i o n a ln o n h 3 7 d r o s t a t i cb o u s s i n e s qe q u a t i o n so nt h ex zp l a n ew i t ht h ek i n e t i cv i s c o u st e r ma n dt h et h e r m a ld i s s i p a t i v et e r ma r eu n s t a b l ee q u a t i o n si nt h ec2f u n c t i o nc l a s s 2i fw er e p l a c et h ei n f l u e n c eo ft h ek i n e t i cv i s c o u st e r mb yr a y l e i g hf r i c t i o na n dt h et h e r m a ld i s s i p a t i v et e r mb yn e w t o nc o o l i n g ，t h en e wg e n e r a l i z e de q u a t i o n sa r es t a b l ee q u a t i o n si nt h ec 1 f u n c t i o nc l a s s t h ec o n s t r u c t i o no ft h es o l u t i o ns p a c ea n dt h ed i s c r i m i n a t i n gm e t h o df o rw e l l p o s e d n e s so ft h ep r o b l e mo fd e t e r m i n i n gs o l u t i o na r eg i v e nt h er e a s o n a b l e n e s so fs i m p l i f i c a t i o na n dt h ef u n d a m e n t a lr e a s o no ft h ec h a n g e so fs t a b i l i t ya r ea n a l y z e d t h ec a s e sa r eg i v e nf o rt h ec a u c h yp r o b l e m si nd e t a i l 3 t h et h r e e d i m e n s i o n a lb o u s s i n e s qe q u a t i o n sw i t hn o v i s c o s i t ya n da d i a b a t i cu n d e rt h eh y d r o s t a t i ce q u i l i b r i u ma r es t u d i e d ，e s p e c i a l l y , t h ec a u c h yp r o b l e m sa r ei n v e s t i g a t e da n dt h ec a s e sa r eg i v e ni no r d e rt oc o m p a r i s o nw i t ht h o s eu n d e rt h en o n h y d r o s t a t i ce q u i l i b r i u m 4 t h ec o n s t r u c t i o no f t h es o l u t i o ns p a c ef o rs h a l l o w - w a t e re q u a t i o n so nt h ee q u a t o r i a l 一p l a n ea n dt h ee q u a t i o n sa b o u tt h et r o p i c a lc i r c u l a t i o nt oh e a t i n ga r em a i n l ys t u d i e dt h es o l u t i o nm e t h o do fe x a c ts o l u t i o ni nt h ea n a l y t i cf u n c t i o nc l a s sa n dt h ec o m p u t a t i o n a lp r o c e d u r et ot h es e r i e ss o l u t i o na r ee x p r e s s e df o rt h ew e l l p o s e dp r o b l e m k e y w o r d s ：b o u s s i n e s qa p p r o x i m a t e ；8 一p l a n ea p p r o x i m a t e ；s t r a t i f i c a t i o nt h e o r y ；t h ep r o b l e mo fd e t e r m i n i n gs o l u t i o n ；c a u c h yp r o b l e m ；s t a b i l i t y ；p o s e d n e s s原创性声明本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究丁作。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名：纽盏日本论文使用授权说明期：蚀6 堕j 鱼旧本人完全了解上海大学有关保留、使用学位沦文的规定，即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。( 保密的论文在解密后应遵守此规定)签名：_ j 址导师签名：邋日期：蚀盗! 鱼m第一章引言1 1大气运动方程组及其简化天气和气候的变化是和大气运动紧密联系在一起的，为了能够比较准确地预报出天气的变化以及气候的改变，有必要对反映大气运动的基本方程组进行理论上的定性分析与研究，并对它进行数值模拟。大气运动是在特定的环境中发生的，所以可以在事实的基础上对它做出一些假设! l 一9 。首先，在研究地球的宏观运动时，可把大气视为可压缩的连续流体。表征大气运动状态和热力状态的各种物理量，例如大气运动的速度、气压、密度和温度等，一般认为是空间点和时间的连续函数，并且经常假设这些场变量的各阶微商也是空间点和时间的连续函数。因为大气是可压缩流体，当大气受热时，温度场的变化会引起气压场的变化，从而也会导致大气运动的变化，反之亦然；所以大气的动力学过程和热力学过程是紧密联系，相互影响，相互制约的。因而可以广泛应用流体力学和热力学原理来研究大气运动的具体规律。由于大气是在地球上运动的，所以我们还应注意到地球大气本身的一些特性。大气是重力场中旋转流体，地球大气时时受到重力场作用，所以大气的水平尺度以千公里计，而铅直尺度仅为十公里，这决定了在大尺度大气中，铅直方向上的速度远远小于水平方向上的速度。通常我们还把大气当作层结流体，有时还必须考虑到大气中含有水份以及大气的下边界是不均匀的等一些特点。根据这些基本假设以及地球大气运动的特点，从支配大气运动状态和热力学状态变化的基本定律( 牛顿第二定律、质量守恒定律、热力学能量守恒定律、气体实验定律等) 出发，我们就推出于空气( 即不考虑降水等) 在局地直角坐标系下的大气运动基本方程组为：坐：一亘一土即一2 而。矿+ 户，d t口罢+ 印旷扎( 1 1 )1 9 = 加丁，c ，鲁一警等趣其中算子v ，旦分别表示为v = 怯弓，斟旦：a ，+ 矿v ：旦+ 。旦+ 。拿+ w 昙，( 1 2 )d ta to x却瑟这里旷= 0 ，v ，w ) 为大气流体的速度；季为重力，它是地心引力和惯性离心力的合力；p 为气体压强，一! 跏为气压梯度力；曼为地球自转角速度，一2 而旷为科里奥利氏( c o r i o l i s ) 力，它是由于地球自转以及空气微团与地球有相对运动而产生的，因为它垂直于旷，对空气微团运动不作功，所以它只改变速度的方向，不改变速度的大小。户为单位质量空气微团所受的分子粘性力；p 为流体密度，r 为气体常数，r 为温度，c p 为定压比热；圣：辈为非绝热加热率，对于不考a t虑水汽的干空气，它是己知函数。上述的控制方程组是一个复杂的非线性系统，所以在实际的应用和理论分析上，我们常常根据尺度分析以及气象观测的资料，对这一方程组进行各种各样的简化，以了解某一特定的天气现象。本论文主要考虑b o u s s i n e s q 近似与赤道一平面近似这两种在大气科学中比较典型的近似，下面我们分别介绍这两种近似。1 2b o u s s i n e s q 近似b o u s s i n e s q 近似 1 0 ，1 1 实质上是对大气运动进行热力学简化，它是基于以下基本假设的基础之上：1 在运动方程中部分考虑密度扰动的影响，即只保留与重力相耦合的密度扰动项；2 在连续性方程中忽略密度扰动影响，当作不可压缩流体处理；3在状态方程和热力学方程中考虑密度变化的影响，但视密度变化仅为位、温变化的结果，而不考虑压力的作用，即取p = 一万等。上海大学博十论文如果在运动方程中的垂直运动方向一hb f i 去i d w 一项，则方程变为! 呈一g ：o ，我们称它为静力平衡近似；它表明在铅直方向上气压梯度力与pt j p重力基本上相平衡，适用于大中尺度的大气运动。如果在运动方程中的垂直运动方向上考虑掣一项，方程则为_ d w ：一土罢一g ，我们称它为非静力平衡近似cll。dtpd d。它一般适用于中、小尺度的强烈积云对流、龙卷风等现象。在大气科学中，b o u s s i n e s q 类近似的方程组主要用于研究锋的生成与发展以及确定锋面的位置 1 0 。大气中的锋是天气学中最经典的概念之一，所谓锋是指大气中强的水平温度梯度、较大的静力稳定性和较大的气旋性涡度的狭长地带。锋面附近常有比较剧烈的天气变化和气压系统的发生发展，了解和正确预报锋的生、消活动，就必须对b o u s s i n e s q 类近似的方程组本身的性质有所了解。本文主要研究两种非静力b o u s s i n e s q 近似的方程组以及一种静力b o u s s i n e s q 近似的方程组，通过对这类方程组的拓扑学性质的研究和分析，以了解这类方程组初或边值问题的适定性及其局部解的情况。非静力b o u s s i n e s q 近似的x z 面上两维旋转流体的控制方程组为：加。a加_ a十“罢+ w 老= 一昙( 寺 + 声+ k 嚣窘+ 硝鲁8 z缸a z舐l 见j 。缸22o x + w o a v z 一舡+ k 茜豢十k m v 百6 32 v o z ，0 x以嬲o wo wo wo to xo ze ea 9a eo t彘o z坐+ 坐：o 舐瑟等窘m 窘，。，其中p 。是常参考位温，p ，是参考密度，f 是柯氏参数，0 为位温对0 。的偏差足，k 乞分别为动量在水平方向和垂直方向的运动粘性系数，k 等，k ：分别为热量在水平方向和垂直方向热耗散系数，“，v 分别为水平方向上的速度分量，w 为锚直方向上的速度分量。k，+臼一：占扩一如g 一吃。hk、lj+岳塑酽a 一瑟hhk兰塑茎兰塑圭堕壅如果以瑞利摩擦来代替粘性的影响，以牛顿冷却代替热量的耗散，在这利吖段发下，所讨论的与程将具有以下形式：g。u+“石gtdi+w；=一瓦0(石potj + 声+ 膏。“，舐出舐ld “l 空+“豢十w罢：一扣+即，ota r”。百01w+“面ow+w塑=一言(寿)+虿98z占+ 丘w百棚面+ ”一瓦l 素+ 万女，w等栅罢+ w 罢：k z o ,瓦州。面+ w 瓦2熹+ 雾观( 1 4 )其中臼s 是常参考位温，p ，是参考密度，厂是柯氏参数，口为位温对口，的偏差，和尼。分别为瑞利摩擦系数和牛顿冷却系数，其余符号为气象上的常舰含义。最后，我们考虑在无粘、绝热的条件下，一个三维静力、b o u s s i n e s q 近似的方程组为：詈+ “赛+ v 考+ w 警+ 罢一声= 。，喜+ “罢+ v 多+ w 笔+ 考+ 办= 。，等+ “警+ v 号+ w 瓦0 0 = 。，s ，瓦a 一百g 口= 。，3 u 加o w一 “a xa va z0其中厂是柯氏参数，o o 是参考位温，臼为位温对哦的偏差，为地转位势，其余符号为气象上的常规含义。1 3 赤道p 一平面近似当把地转参数厂= 2 qs i n 妒在纬度吼处泰勒展开时，则有f = + 缈+ 高次项4( 1 6 )海大学博士论义这单已设在妒= 处厂0 三2 q s i n 妒o ，卢* = 垒竽( 1 7 )如果我们取一级近似就有f = t o4 - 缈，我们称它为一平面近似 2 ，3 。如果在低纬度赤道地区，这时f o = 0 ，则有f = 励，就称它为赤道一平面近似，这一近似常用于低纬大气动力学研究。一般将赤道南北3 0 7 s 一3 0 。n 之间的地区称为赤道区或热带区，相当于南北半球两个副热带高压所在的纬度之间的地区。这个地区有两个地球物理特征：( a ) 在赤道区的柯氏力很小，在赤道上为零；( b ) 整个热带地区的3 4 是辽阔的海洋，水汽的供应非常充足。这两个特征对大气和海洋的运动产生了深远的影响。第1 个特征使得大尺度运动的地转关系不能成立，赤道地区的波动和中高纬度地区的波动不同，它包括k e l v i n 波、r o s s b y 波以及混合波等。第2 个特征有两个方面的作用，一是积云对流旺盛，非绝热作用非常重要；二是热带海洋对全球气候的重要影响，如e n s o 和南方涛动现象等。在热带大气中经常有强大的积云对流和海温异常，它们形成热带大气中的热源，对于热带大气和海洋的运动产生广泛而深远的影响。现在我们主要用赤道卢一平面的浅水模式来研究这类热力强迫的热带环流问题。在浅水模式中，取厂= 缈，可得赤道一平面的浅水模式为塑+ 。丝+ 。塑一跏。：一型，+ “十v 一p y v = 一，e t酞一a x却a v西。a 融8 x两一巩j型+ 。型+ 。型+ f 丝+ 生1 ：o西舐匆7l 舐砂( 1 8 )从赤道卢一平面的浅水模式出发，在动量方程中引进摩擦作用，在连续方程中引进加热作用，并以b ，少)j 易将方程无量纲化可得f = f q 2 p c丝+ u 丝一三v 。：一生一剁，a f缸2 。苏。旦! + u ! ! + 土v “：一望一删西觑2 。却望十u 望+ 塑+ 堡q 印西舐舭却( i 9 )( 1 1 0 )其中s 是和摩擦及冷却有关的无因次时间尺度倒数，u 为基本平流项，其余符号为气象上的常规含义。第三式中的加热率q 前面的负号表示这个方程描写低空运动时，当q 0 则有低空辐合，气压下降。不同作者利用这一简单的方程组，讨论了风场和气压场对热力强迫的响应问题。1 4 研究近况在对大气运动方程组的研究中，通过不同角度的近似和简化，已经得到了反映不同特征的、类型各异的一系列近似方程组。在对各类近似大气运动方程组的研究中，目前仍以数值模拟和数值计算为主要的方法，以了解某一特定的大气现象，例如能量守恒型差分格式和反扩散差分格式，c u l l e nmjp 等 1 2 1 4 运用这一格式对b o u s s i n e s q 类方程组进行了研究以确定锋的生、消和锋面的位置；国内伍荣生、季仲贞、王斌、谈哲敏等f 1 5 - 2 3 1 做了一系列的工作，并取得了一定的成果。由于大气运动方程组的复杂性，对于大气运动方程组定解问题的适定性研究这方面的工作仍然较少。在国内，顾震潮 2 4 于1 9 5 8 年最早对大气运动方程组的初值问题作了适定性研究；随后，曾庆存 1 于1 9 7 9 年使用s o b o l e v 空间的特性对一些类型的大气运动方程组的初值问题的适定性作了研究。在上世纪八十年代，穆穆【2 5 考察了r i e m a n n 流形上广义涡度方程的初边值问题，证明了斜压准地转准无幅散模式初边值问题整体光滑解的存在唯一性。在上世纪九十年代，李建平、丑纪范等 2 6 2 8 运用无穷维动力系统的理论和方法对大气动力学方程组大时间形态解的全局渐近行为上作了一系列的研究：郭柏灵、袁光伟 2 9 运用谱上海大学博士论文方法、非线性g a l e r k i n 方法和抛物型奇异积分算子，研究了用涡度表示的b o u s s i n e s q 方程的两维周期初值问题和具有数据的b o u s s i n e s q 方程的初边值问题，并得到了两类特殊的b o u s s i n e s q 方程( 在上2 n c 。空间和4 空问匕) 存在弱解的条件。在国外，卜世纪八十年代，agg i l l 等 3 0 - 3 4 运用抛物柱函数( 即w e b e r 函数1 的形式研究了热源强迫的热带环流问题的适定性以及特定问题的解析解计算，巢季平f 3 5 ，3 6 又进一步发展了这以方法并用于研究e i n i n o 现象一 二世纪九十年代，rt e m a m 和j t r i b b i a 等f 3 7 0 9 运用正交模方法研究了在b o u s s i n e s q 类近似的方程组的自由边界问题的适定性。，从上世纪七十年代开始，人们就试图借助e h r e s m a n n 空间的基本理论，把偏微分方程问题转化为相应的拓扑学问题( 代数拓扑和微分拓扑) ，从所给的微分方程出发，构造两个流形序列，然后对这两个流形序列构成的纤维丛进行分层，结论是：如果横截层非空，那么所论方程是稳定的。当初始条件所对应的末方程落入横截层时，可以将相应的唯一稳定解用收敛级数的形式表示出来。而当横截层为空集时，则所给方程不存在任何( 不低于方程的阶数) 稳定解。在上世纪八十年代，应用分层理论研究了流体力学中著名的n a v i e r - s t o k e s 方程和e u l e r 方程，并提出“方程的稳定性”的概念，这些结果均发表在专著 4 0 中。在上世纪九十年代应用分层理论对n a v i e r s t o k e s 方程以及各种n a v i e r - s t o k e s 方程的变形形式进行了更进一步的研究，并取得了一系列的研究成果 4 1 5 2 】。在本世纪初，分层理论又进一步发展到对大气运动基本方程组进行定性分析，并能对适定的问题进行局部解析解的计算 5 3 6 7 1 。1 5 本文主要工作本论文的选题主要来源于国家十五重大研究计划一全球变化及其区域响应的课题动力学模型中的非线性偏微分方程性质( 9 0 4 1 1 0 0 6 ) 和上海市科委重点项目中小尺度天气预报模式的理论和数值研究( 0 2 d j l 4 0 3 2 ) ，并已经取得了部分成果，这些结果发表和即将发表在文献 6 2 6 7 中。本论文把分层理论应用到大气科学中的基本运动方程组的定性分析与研究上，研究了在现实生活和科技中迫切需要研究的课题，同时取得了一定的成果。首先，从数学角度考虑了大气运动方程组各种简化的合理性，并以带有粘性的二维非静力b o u s s i n e s q 近似的方程组为例，证明了如果以r a y e j g h 摩擦来代替粘性的影响、以n e w t o n 冷却代替热量的耗散，方程组的稳定性以及方程组在某一超曲面上定解问题的适定性均发生变化，并分析了发生变化的原因。其次，还发现在b o u s s i n e s q 类近似的方程组中，静力平衡和非静力平衡对c a u c h y 问题适定性的影响，并通过具体的解析解计算实例进行了阐述。最后，对于赤道口一平面近似类的方程组，我们编制了具体的计算程序去计算它的适定的定解问题。本文的结构安排如下：第二章，介绍分层理论的基本概念，并且以赤道一平面的无量纲线性浅水方程组为例展示了分层理论在大气运动基本方程组理论分析中的应用以及具体的分析和计算过程。第三章，分别考虑了带有粘性的二维非静力b o u s s i n e s q 近似的方程组，用r a y l e i g h 摩擦来代替粘性的影向、以n e w t o n 冷却代替热量的耗散的情况下，方程组的稳定性以及方程组在某超曲面上定解问题的适定性均可能发生变化，并分析了发生变化的原因。第四章，研究了在无粘、绝热的条件下，三维静力平衡的b o u s s i n e s q 近似的方程组各类初边值问题的适定性，并和第三章中非静力平衡的情况进行比较。第五章，简单地列出用赤道卢一平面近似的浅水方程以及带有热源和耗散的情况下，方程组各类定解问题的适定性及其判别方法，这也是首次用分层理论对热带大气的运动方程组的各类定解问题进行适定性分析。最后，我们在附录中对适定的定解问题给出具体的计算程序。：! 塑查兰堡1 笙兰第二章分层理论与偏微分方程2 1e h r e s m a n n 空间定义2 l 1发x r ”是掣中的一个点，对应厂：r ”。r ”1 是在点x 处女次化0 1连续可微函数，即厂c ，汜c ：，。( r ”，r ) = ( 厂，x ) i 厂( x ) = u ，x 只”，u r ，c ，( 2 1 )对于( 厂，x ) ，( g ，x ) e 。( rn ，r ) ，在。，f ) 上的一个等价关系定义如下：若厂“( x ) 2g ( o ( x ) ，( 0 i 茎k ) ，则称厂g ，容易验证它是c ：。( j r “，r ) 的一个等价关系。定义2 1 2用t ，i 。( 尺”，r “) 表示商集c ：。( rnr “) ，称为在点x 处的阶无穷小j e t 空间，其中u = 厂( x ) r ，它的元素，即一个等价类眇，x ) ，称为，在点x 处的七阶无穷小j e t ，记为z 厂或( x ) 。点x s 届“称为z 厂的源，= 厂( x ) r “称为z 厂的终结，j ( 只”，r “) = u ，：，。( r “，r “)( 2 2 )i x ，u k r ”月称为r ”到r “的k 阶e h r e s m a n n 空间；特别地，对于= 0 时有，。( r ”，r m ) ：r w r m ，并约定j “( r ”，r “) = r ”。例2 1设厂= x ，g = x2 + x ，h = x e ，则对任意正整数k ，都有( ，j ) ，( 占，j ) ，( ，x ) c i 。( 月，尺) ，因为厂( o ) = g ( o ) = ( o ) ，厂( o ) = g ( o ) = ( o ) ，所以在c j 。( r ，五) 中厂g h 。但广( o ) g ”( o ) = ”( 0 ) ，故在c o , 。( r ，尺) 中，g 一 但，不等价于g 和 。而在c i 。忸，r x k 3 ) 中，厂，g ， 则互不等价。现在我们引入e h r e s m a n n 空间局部坐标的概念，记x = ( 。一，x 。) r ”，u = ( u 1 ，“。) r ，( 2 3 )并引进名首指茄i ii 一海大学博一i 论文，= ( 1 ，n ) ， = ( 五，五。) ，l 丑l = z i + 五兄。o ；( 2 4 )、j 二j 一= ( l 厂，) ：r “- - 尺，f c “；记“，( x ) = ，( x ) ，一p j 。( x ) = j ；( x ) ，z = ，z ，”，l 旯i t ；( 。s )对每。个f ( 1 i m ) ，将p ：。随1 按字典排列法升序排列，然后对于每一个g ，x 。，“一，“。，p 1 ，一，p ? ，p ，i ：，p ：) r 心，l = ”+ c 二女，( 2 6 )决定了j ( r ”，r “) 中的一个元素( 等价类) ( 厂，x ) 】，也即得到了r 机与，( r ”，r ”) 之间的局部微分同胚关系。于是将仁l ，一，吒，“一，“。，p ，一，簖，p - ，p 善) 称作为 ( 厂，x ) e ，。陋”，r ) 的局部坐标，其中i ，伍“，r ) 是一个维数为。的流形。现在我们考虑把偏微分方程组作为e h r e s m a n n 空间的子集，设d觚，霄g q 9 1 ，等，觚，z 一， 篝) _ o ，( 2 ，)沈，“= 2 ，蕊，埠) ：o。舐：。为一个女阶偏微分方程组，这里x = ( 。l ，。) r ”为自变量：u = ( “】，一，“。) r 为未知函数。很显然，上述方程组是e h r e s m a n n 空间i ，陋”，尺“1 的一个子集，这个子集由对应，：l ，c r ”，r7 ”) 呻0 ，i = l ，2 ，g ；( 2 8 )的零点，。1 ( 0 ) ( 1 i g )矿( ，) = _ 。1 ( o ) = 忉l 厂) = o e ，k ”，r l厂= ，l ) ：，( 月n ，r ”) 一r 。，d = v ( ) = 矿( 工) n y ( 厶) n n 矿l( 29 )来表示。在方程组( 27 ) 中，每一个方程；( 卢) = 0 都是。维空间，( j r ”，r ) 中的一个超曲面，整个方程组就是这些超曲面的交集。可以把它记作d = h i m , m = o ，l ( 7 ) = 0 ，l o ( z t ) = o ，( r ”，r ) ，( 2 i 0 )也就是晚，一个女阶偏微分方程组就是。维空间j - ( r ”，r ) 中的一个子集。例2 2在低纬度热带大气动力学中，赤道口一平而浅水方程组被广泛地用于研究热带大气大尺度运动的现象，例如：厄尔尼诺和南方涛动，大尺度的热带环流以及赤道波的非线性相互作用等。在这一章，我们将通过对赤道口一平面无量纲线性浅水方程组具体而详绌地讨论，并给出整个求解过程，来描述运用分层理论去求解偏微分方程的具体方法和步骤。这个方程组的无量纲形式为：da “a 西一v v + 23 t。a xa va 击+ v “+ 西。却a d0 “西2 _ 一+ 8 t融跏( 2 1 1 )其中0 ，v ) 是x ，y 方向无量纲的速度分量，是无量纲的重力位势。现在记( 五y ，t ) = b ! ，屯) r3v ，( “，v ，妒) = 0 ，“：，“，) r3 = z ，( 2 1 2 )并将方程组( 2 11 ) 看作e h r e s m a n n 空问d 1 ( 矿，z ) 的一个子集，使用e h r e s m a n n 空问l ，1 ( ，z ) 的局部坐标，将方程组( 2 1 1 ) 改写成：d ：p ：+ p 卜x 2 = 0a ：p ；+ p ；+ ! z f 】= 0a ：p + p ；+ p ；：0 ，将( 2 1 3 ) 的左侧分别记为i ，j ， ，a ，对应工：i ，1 ( 矿，z ) 斗r 分别定义为；( 卢) = p ；+ p 一五：“：，( 2 1 3 ) ( 卢) = p ；+ p i + x ：眠，工) = p ? + p ；+ p ；( 2 1 4 )其中卢= b 。，x ! ，z ，“，“：，“，p l ，p ；) i ，1 ( y ，z l1 2 1 5 )则有d = 厂。( o ) = 矿u ， ， l厂= ( ，厂2 ，a ) ：j 1 ( y ，z ) 斗r3 ( 2 1 6 )现在考虑不同阶数e h r e s m a n n 空间之问构建起来的各种对应关系，对于e h r e s m a n n空间，其主要的对应关系分别为典则对应，g h r e s m a n n 对应以及e h r e s m a n n 对应的逆对应，下面我们分别具体地给出它们的各种对应形式。定义2 1 3对应髓：j ( r “，r “) 斗r “俾“，r “) ( k 一1 ) 称为从厂( 掣，r ”) 空间到j “( 足”，r ) 空间的典则投影或典则对应，如果= ( x ，u ，。p ，p ：) j k ( r ”，r ) ，a ：一( 卢) = ( x ，u ，p 羔) j k ( 凡”，r ) ，( 2 1 7 )其中= 女1 ，h = k 。在典则对应下，( j ( r ”，r ”) ，j ”，r ) ，a ：) 构成一个局部平凡的纤维丛空问。其秩为n k = ”+ m c ：j ( 尺“，r “) 为丛空间，i ，“( 尺”，月) 为底空间，“：为丛投影。并由定义可知“：一。( ，( r “，r ) ) = j 一( r ”，r ) ，k o ；a ：( ，。( 尺”，r ) ) = ，o ( r ”，尺) = r ”r ，足o ；1 ，出：( ，。( r ”，r ) ) = j “( r ”，r ) = r ”，k 1 ( 2 1 8 )有了典则对应的定义之后，下面我们分别给出e h r e s m a n n 对应p 和e h r e s m a n n 对应的逆对应e 。的定义。定义2 ，1 4e h r e s m a n n 对应p 的定义如下：p ：n 1 ( 且”，r ) ，1 ( 且”，( 矗”，月”2 ) ) ，( 2 1 9 )设_ 。j “1 ( 尺“，r “) ，记口，( 叩。) = x 。r ”，对于_ 。的一个代表( 厂，x 。) ：“f ( x 。) = 叩。，定3 7 1 1 。在对应p 之下的像为g ( v 。) = 1 夕( x 。) ，这里夕= l k 厂：r ”斗。俾”，r “) 是连带于厂的k 阶典则截口，即7 。d ：= d m _ ，口：。夕= d ( 2 2 0 )定义2 1 5e h r e s m a n n 对应的逆对应e 。1 的定义如下：设d = 矿( z ，z ) j ( r ”，r “) ，其中f = ( z ，石) ：j ( 月“，r ”1 ) 寸r 。，以e ，( ，) 表示复合对应p ：。l ，。g ：，t + z ( r 一，r m ) 斗e ，( r 一，j t ( r ”，r m ) ) 鸳j ，( 月一，r ) p z r ，r( 2 2 1 )的第j 个分量。则e - 1 ( ，i ( r ”，d ) ) = y ( e ，e ，( e ) ) j 川( r ”，r ”) ，( f = 1 f ，= 1 n ) ( 2 2 2 )现在我们就有了e h r e s m a n n 空间的概念以及在这个空间上所建立起来的各种对应关系，并能把偏微分方程或方程组转化成e h r e s m a n n 空间中的一个子集，下面我们将在e h r e s m a n n 空间中具体地讨论偏微分方程的各种拓扑学性质以及相应的解空间构造。2 2 准本方程与本方程定义2 2 1将拓扑空间( 或微分流形) 以及连续对应( 或同态) 组成的序列只称为一个链：x ：x 屿x h 坞x t 一2 寸- j n 五号一，( 2 ，2 3 )一! 堡查兰堕：! 笙兰一为了表达匕的简便，有时也把链记成z + = u x ，。如果对任意i 都有一lk z 女，g i = 兀l ，f 2 2 4 )则糊it ：k 马k j _ 苎q k 一： 斗y o 马y - ，( 22 5 )为x + 的一个子链。如果在链z + 中对任意豇都有 ( 。) = x k1 成立，则称- 是饱和的。x +的最大饱和子链称为凰的饱和，记为s ( x + ) ，或者( x 。) 4 。电就是说，工+ 中的任意个饱和予链，必定也是s ( x + ) 的子链。定义2 2 2设一个t 。阶偏微分方程组de ，k ( r “，r “) ，以此出发，记上t ( d ) = 口 ( d ) ，k k o ；k ( d ) e - 1 ( 八月”，三t ( d ) ) ) ，k ；( 2 2 6 )并记由此得到的一系列空间的子集为d ：f l 。( 口? 。( d ) ) ，( r “，r “) ，一1 ；2 2 7 一l 虫s h这样就得到+ ( 月”，r ”) 的一个子链：d ：d i 玛d ：一， d ：玛d ：，( 2 2 s )这个子链就称为d 的准本方程，其中的每一个d ：则称为d 的尼阶准本方程。定义2 2 3设d ，t 俾一，r ) 是一个七阶偏微分方程组，d ：是它的准本方程，称d ：的饱和( 即最大饱和子集) d + ：d + ：d 岛斗d h d o 玛d 1 1 ，( 2 2 9 )为d 的本方程，如果它满足：i 口：，( d 。) = d 。，k o ；i l 任何满足口盆；汹+ ) ：或一，忙o ) 的d ：的子链西+ ，必有西+ d 。因为d ：的饱和一般记为( d ：) * ，所以这里d 。= ( d ：) 8 。在d ，中，每一个d * 称为d 的t 阶上海火学博 1 论文本方程。显然成立以下包含关系d + d 。l ，。( r “，r ) ，d 女d ：j ( r ”，r )( 2 3 0 )定义2 2 4设d ，如( r ”，r ) ，由d 出发，求得d 的准本方程d ：，在d ：中取定d ：。，并从它出发，求出它的准本方程( d ：洲) ：。如果存在非负整数，使得j ( d ：“) + 2 ( d ：( 2 3 1 )l 【d ”。) 。( 巩+ 。) ：( 三)则称d 是l 一简单的。特别地，当工= 0 时，即d = d ：时，称d 是简单的。对于一个偏微分方程组d j 。陋“，r ”) ，它的l 一简单性质与方程组的稳定性有着紧密的联系。例3 考虑赤道口一平面无量纲的线性浅水方程组d 的本方程和准本方程，它的本方程d + 与它的准本方程d ：重合，即d + = ( d ：y = d ：。证明：根据准本方程j p ：的定义，我们首先计算方程组( d ) 的准本方程。首先易得i m a ：。( d ) = a ! ，仁：( d ) ) = j - i 妒，z ) = y ，i m 口：( d ) = j o ( 矿，z ) = v z ，i m a ：( d ) = _ d ；( 2 - 3 2 )因此，对于f - 一1 , 0 ，1 ，2 ，上，( i m 口! ( d ) ) = l ，( i m a j ( d ) ) = j7 ( y ，z ) ，则可推得当一1 l 时，d ：，= v ，d 涪- ，。( 矿，z ) = v zd i = v i l 。口? ( d ) ) = d ，当k 2 时，d ，= n 三：陋口? p ) ) = 矿( 。( ) ，兀)一i ! f s ld 。= n 上。( t m 口j ( d ) ) = v ( e 。，。( 厂，)1 5 ，- 斗e h 1 )山p 。女+ 山p 。“山p 。，( 2 5 5 )岷“( d ) 斗“t ( d ) 斗一呢 。( d )是d 的典则系统，对纤维空间p 。，。：e 。( d ) j “。( d ) 分层如下岷。( d ) = u s a + ( d )( 2 5 6 )目。记e o ( d ) = p ：，t ( s o ，t ( d ) ) ；p ：卅= p o - i , * l 。j 。( d ) ，则e 一，t ( d ) = u e l m ( d ) 。而且对每一个q ，p h 。：e 。q 。( d ) 寸s i 。( d ) 都是局部平凡的纤维空间，其维数为g 。将p ，。= u p 0 ”：e 。，。( d ) = u e , i _ m ( d ) 斗u s ：。，+ ( d ) = 。( d )( 2 5 7 )口口称为d 的( h l ，女) 阶典则分层。瓦。( d ) = 形。( 矿，z ) 一峨。( d ) 称为d 的( 月一1 ，七) 阶陷阱。定义2 4 3设d 呈jk o ( 矿，z ) ， - 一e 。t - i , t oi ( d ) 是e 一，( 矿，z ) 中使p 。的纤维f 横截于空间g ：一，( t d k ，) ，一( 。) d h 的子集s ：。“一( d ) = p ，。，( e ：。( d ) ) “h z ( d )( 2 5 8 )斗斗州ppp艮山! ：塑奎兰塑：! 堡兰一一一为d 的( n l ，女。一1 ) 阶横截层。定义2 4 4设d 至，* n ( y ，z ) 是一个。阶偏微分方程组，它的本方程为d + =而且尸。：e 。( d ) 斗形，“( 矿，z ) 己分层为wi a ( 矿，z ) = _ 。( d ) u f h 。( d ) = ( 丫s ： * ( d ) ) l j t “t ( d ) ，2 5 9 )如果对每一。p s i _ 。( d ) 彬。( d ) g ：一，( t j 。( 矿，z ) ) ，存在唯一的偏微分方程组e ( s f 。( d ) ) 八，。( 矿，z ) ) ，( 2 6 0 j使得n m 。：一“( 矿，z ) 是e ( s 2 。( d ) ) 的解，并且满足玩一+ t ( ) s q ( d ) ，则( s 0 。( d ) ) 称为s i 。，。( d ) 的末方程。这里死也+ 。：斗g ：一，( ( 矿，z ) ) 是y 一。+ ，的诱导对应。定义2 4 5设f y 0t o ) 是一对c 。嵌入：盯。： v ，o ： ，。( 矿，z )并且满足条件f 2 6 1 )盘身。y o = 盯o ，y ：。：o ，v ( oe i 。( ，b 是，h ( 矿，z ) 的微分理想子代数)( 2 6 2 )如果存在嵌入y ：_ j k 。+ i ( 矿，z ) ，使得髓暨+ t 。y ：y 。，d 身f 。y ，g o , t 0 0 9 = o ，v + 。；( 2 6 3 )则称y ，是仃。和氏的一个提升。例4 赤道卢一平面无量纲线性浅水方程组d 的( 2 ，k 一1 ) 阶的典则分层为。妒，z ) = 吼卜( d ) u 正。( d )( 2 6 4 )= s ；。( d ) u s ；卜( j 9 ) u 正卜( d l其中纤维空间p ：。：e ；。( d ) _ 醚。( d ) 其纤维的维数等于1 ，而( 2 ，女一1 ) 阶横截层s ；。) ，n w ! 。( 矿，z ) 的个稠密开子集，并且虞扣：e ；“( d ) 斗s ；，“( d ) 是一个解析同胚。证明：为了证明上述典则分层的结果，我们首先考虑典则系统中的。( v ，z ) ，它被一组开覆盖所覆盖：。( y ，z ) = u ，u v ：u u ，积1 ) ，( 2 6 5 )其中u ，= gt ( _ = 1 ，2 ，3 ) 是g ；“杪，z ) ) 的三个开集，g ：g ；( 7 y 1 1 ( y ，z ) ) 斗g ；0 y “( 矿，z ) ) = g 2 ( 丁y l( 2 6 6 )而_ 曼g ：盯y ) 是g ：口y ) 的开集，它由v