（应用数学专业论文）延迟微分方程特征值的数值方法.pdf

j l i l l lli lli i l li l l ll liil y 18 0 5 7 6 8 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 。 学雠文储躲筮盛蕴日期 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论 文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盈垄廷 指导教师签名： 日 期：呈垒z 型二堂s ? c ， 日期： 工作单位： 通讯地址： 学位论文作者毕业后去向： 电话： 邮编： ，一 1 - ab s t r a c t t h i si sa no v e r v i e wa b o u tn u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h ee i g e n v a l u e so fd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( d d e s ) w ec o n s i d e rt h ea p p r o x i m a t i o no fe i g e n v a l u e sf o r t h el i n e a rd d e f y o ) = l y ( t ) + m y ( t f ) t 0 ， 【y ( f ) = 妒( f ) ，f - - f ，o 】 w ef i r s tr e g a r dt h ed d ea sa na b s t r a c tc a u c h yp r o b l e m 。t h e nt h es e m i d i s c r e t e d i f f e r e n c es c h e m e ，t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nr e p r e s e n t a t i o no fad d e ，t h e f o r w a r dd i s c r e t i z a t i o no ft h es o l u t i o no p e r a t o r ，t h er u n g e - k u t t a ( r k ) m e t h o do f t h es o l u t i o no p e r a t o ra n dt h ep s e u d o s p e c l r aa p p r o x i m a t i o nf o rt h ee i g e n v a l u e s b a s e do nt h es o l u t i o no p e r a t o ra n di n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro ft h es e m i g r o u p d e f i n e db yt h es o l u t i o n sa r ed i s c u s s e d t h el a s t p a r to ft h et h e s i si s b a s e do nt h el a m b e r twf u n c t i o n ，a na n a l y t i c a p p r o a c hf o rt h el i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht r i a n g u l a r j z a b i em a t r i c e s a sc o e f f i c i e n t s h e r ew ec o n s i d e rs o m en o t e sr e g a l i n gt h es p e c i a lc a s ew h e r e t h es p e c t r u mo ft h ed d e ( 1 1 5 ) c a nb ee a s i l y e x p r e s s e dw i t h af o r m u l a c o n t a i n i n gam a t d xv e r s i o no ft h el a m b e r tw f u n c t i o n 摘要 这是一篇讨论时滞微分方程特征值问题数值方法的综述文章。考虑如下时滞微 分方程 l y ( f ) = l y ( o + m y ( t - 0t 0 【y o ) = 9 ( f ) ，t 一f ，0 】 特征值的近似方法。 首先，通过将上述时滞微分方程表达为抽象的常微分方程，并基于此线性时滞 微分方程的解算予以及由其解定义的强连续班半群的无穷小生成子，讨论了其特征 值逼近的半离散化格式、龙格库塔算法以及伪谱近似等。 在文章的最后部分，当线性时滞微分方程的系数矩阵可同时三对角化时，我们 利用l a m b e r tw 函数考虑了时滞系统特征值问题的显式表达。 i i r 一 t a b l eo fc o n t e n t s a b s t r a c t i 摘要i l c h a p t e rl i n t r o d u c t i o n 1 1 1 d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d t h e i rh i s t o r y 1 1 2 a p p r o x i m a t i o nm e t h o d sf o rt h ee i g e n v a l u e so fd d e s 4 c h a p t e r2 n u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h ee i g e n v a l u e so fd d e s 6 2 1d d e sa sa b s t r a c tc a u c h yp r o b l e m s 6 2 1 1 p d e - r e p r e s e n t a t i o no f ad d e 1 2 2 2f o r w a r dd i s c r e t i z a t i o no f t h es o l u t i o no p e r a t o r 13 2 3t h er u n g ek u t t am e t h o d 15 2 4 p s e u d o s p e c t r a la p p r o x i m a t i o n 18 2 4 1n ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ra p p r o a c h ( i g a ) ：18 2 4 2t h es o l u t i o no p e r a t o ra p p r o a c h ( s o a ) 1 9 c h a p t e r3a p p r o a c hf o rt h el a m b e gw f u n c t i o n 21 c o n c l u s i o n 2 5 r e f e r e n c e s 2 6 a c k n o w l e d g m e n t 3 0 i i i _ 东北师范大学硕士学位论文 c h a p t e r 1i n t r o d u c t i o n f fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a f f o n sa n dt h e i rh i s t o r y d e l a yd i f f e r e n t i a ie q u a t i o n s ( d d e s ) d e s c r i b eal a r g ea n di m p o r t a n tc l a s so f d y n a m i c a ls y s t e m s t h e ya r ee q u a t i o n si nw h i c hat i m ed e l a ya p p e a r sj nt h e s t a t e t h e yg e n e r a l l yp r o v i d et h eb e s ta n ds o m e t i m e st h eo n l yr e a l i s t i cs i m u l a t i o n o fo b s e r v e dp h e n o m e n a p a r t i c u l a r l y ，p h y s i c a ls y s t e m sh a v ep r o p e r t i e sw h i c h n e e dj n f o r m a t i o nn o to n l yf r o mt h ec u r r e n ts t a t eb u tf r o mt h ep r e v i o u ss t a t et ob e m o d e l e da c c u r a t e l ya n dt h i sc a nb ed o n eb yu s i n gd e l a yd i f f e r e n t i a ie q u a t i o n s f i r s to r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a ie q u a t i o n sc a nb ew r i t t e na s y ( ，) = f ( t ，y ( ，) ，y ( t - r ) ) ， 0( 1 1 1 ) i fi th a so n ed e l a yt e r mo n l y h e r ey ( f ) d e p e n d so nt h ev a l u eya ts o m et i m e t fi nt h ep a s ta sw e l la sd e p e n d i n gu p o nt h ec u r r e n tv a l u eo fya n do t h e r f u n c t i o n sa tta sd e t e r m i n e db yf o rm ) r eg e n e r a l l y ，w h e r et h ef u n c t i o n d e p e n d so nm o r et h a no n er e t a r d e da r g u m e n t ，t h e ni tc a nb ew r i t t e na s y ( f ) = f ( t ，y ( ，) ，y ( t - r i ) ，y ( t - r 2 ) ，y ( t - r ) ) i fi th a sm o r et h a no n ed e l a yt e r m ，w h e r e ，i ：l 2 力a r ed e l a y s t h er a t eo f c h a n g eo ft h es o l u t i o na tt i m et i sn o to n l yd e t e r m i n e db yt h es o l u t i o na tt i m et b u ta tv a r i o u st i m e sf 一，t - z t h a ti st h es o l u t i o nd e p e n d so ni t sh i s t o r y t h ec o m p l e x i t yo ft h ed e l a yd e t e r m i n e st h et y p eo fe q u a t i o n t h ed e l a yc a nb e c o n s t a n t ( c o n s t a n td e l a yc a s e ) ，f u n c t i o no ff ( v a r i a b l ed e l a yc a s e ) ，f u n c t i o no f b o t hya n df ( s t a t ed e p e n d e n tc a s e ) d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw e r ei n i t i a l l y i n t r o d u c e di nt h e18 m c e n t u r yb y l a p l a c ea n dc o n d o r c e t ( s e e 【4 1 】) h o w e v e rt h er a p i dd e v e l o p m e n to ft h et h e o r y a n da p p l i c a t i o n so ft h e s ee q u a t i o n sd i dn o tc o m eu n t i la f t e rt h es e c o n dw o r l dw a r ， a n dc o n t i n u e s t o d a y n u m e r i c a lm e t h o d sa r ei n v a l u a b l et o o l sf o ro b t a i n i n gi n f o r m a t i o na b o u te x a c t s o l u t i o n st op r o b l e m s h o w e v e r ，s o m ed d e sh a v es m o o t hs o l u t i o n sw h i l eo t h e r s m a yh a v es o l u t i o n sw h i c hs u f f e rt r a n s i t o r yd i s c o n t i n u i t i e s t h e s et y p e so fd d e s m i g h tf a v o rt h eu s eo fa d o p t e di i n e a rm u l t i s t e pf o r m u i a ( l m f ) m e t h o d 1 nc o n t r a s t ， o n e - s t e pm e t h o d ，e s p e c i a l l yr u n g e k u t t a ( r k ) m e t h o d sa r ep a r t i c u l a r l ys u i t e dt o d d e sf o rw h i c ht h e r ea r en os m o o t h i n go fd e r i v a t i v e sa n dt h u sm a yr e q u i r e r e p e a t e ds t e p s i z ec h a n g i n g t h ed e c i s i o no nw h i c ht y p eo fm e t h o di sb e s tf o r s o l v i n gd d e sd e p e n d so nw h e t h e ro n ei sc o n c e r nw i t ht h eg e n e r a id d e so r s p e c i a lc l a s s e so fd d e s t h ef i r s ta p p r o a c h e st ot h en u m e r i c a ls o l u t i o no fd d e si nt h es i m p l e rn o ns t a t e d e p e n d e n td e l a yc a s eg oa sf a rb a c ka st h e19 5 0 sa n dc h a r a c t e r i z e db yt h e d i r e c ta p p l i c a t i o no fw e l l - k n o w nf o r m u l af o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( o d e s ) ， e s s e n t i a l l yl i n e a rm u l t i s t e p ( l m ) m e t h o dt ot h ee q u a t i o n i y ( f ) = f ( t ，y ( f ) ，y ( t f ( f ) ) ) ，t o t f ， l y ( f ) = 伊( f ) ，t t o t h ef u n c t i o ny ( t ) ，r e p r e s e n t ss o m ep h y s i c a lq u a n t i t yt h a te n v o l v e so v e rt i m e t h ed e r i v a t i v ey ( f ) d e p e n d so np a s tv a l u eo fy ( t ) 伊( f ) r e p r e s e n t st h ei ni t i a l f u n c t i o n 2 东北师范大学硕士学位论文 i np a r t i c u l a r ，as e tv = t o ，f l ，t = f ， o fm e s hp o i n t sw a sa s s u m e dt oe x i s t