（基础数学专业论文）两类奇异非线性sturmliouville问题的正解.pdf

东北大学硕士学位论文 摘要 两类奇异非线性s t u r m l i o u v i l l e 问题的正解 摘要 由于广泛的应用背景，近来有不少工作考察了s t u r m l i o u v i l l e 问题 f 一( 上p ) ( x ) = f ( x ，妒( z ) ) 0 并且 u - - - o + “ l i ms u p 盟 丑成立，则s t u r m l i o u v i l l e 问题至少存在一个正解，其中 是相应 的线性算子的第一正特征值，推广了姚庆六，张国伟等的结果 关于f ( x ，妒( 石) ) 是不可分离变量情形的奇异非线性s t u r m l i o u v i l l e 问题，本文 在f ( t ，u ) 向( f ) m ( “) ，h ：( 0 ，1 ) 斗【0 ，+ 。o ) 连续，m ： 0 ，+ o 。) 斗 0 ，+ o 。) 连续的条件下， 利用锥理论和不动点指数理论得到了正解存在定理：如果 l i mu p 半 聊 或者 熙s u p 掣 帆 成立，则s t u r m l i o u v i l l e 问题至少存在一个正解，其中 是相应的线性算子的第一 正特征值，推广了毛安民，薛美等的结果 关键词奇异非线性s t u r m l i o u v i l l e 问题，全连续，正解，锥，不动点指数 i i ， j i 坠主塑主芏堡塑查 垒旦! ! 坠里! p o s i t i v es o l u t i o n so ft w o s i n g u l a rn o n l i n e a r s t u r m l i o u v i l l ep r o b l e m s a b s t r a c t t h ep o s i t i v es o l u t i o n so f t h es i n g u l a rn o n l i n e a rs t u r m l i o u v i l l ep r o b l e m s | _ ( l g o ) ( x ) = f ( x ，g o ( x ) ) 0 a l a n dl i ms u p 丛尘 【0 ，+ 。) i s c o n t i n u o u sa n d m ： 0 ，+ c o ) 寸【0 ，+ o o ) i sc o n t i n u o u s t h ee x i s t e n c er e s u l t s o f p o s i t i v es o l u t i o n sa r eg i v e nb ym e a n so f t h ec o n et h e o r ya n d t h ef i x e dp o i n ti n d e x ：i f 姆s 叩掣 m 熙s u p 掣 m ， _ + o “ 1 。 i i i 东北大学硕士学位论文a b s t r a c t i ss a t i s f i e d ，t h e nt h es t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e mh a sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n ，w h e r e i st h e f i r s t e i g e n v a l u e sc o r r e s p o n d i n gt o t h er e l e v a n tl i n e a r o p e r a t o r s t h e c o n c l u s i o n se s s e n t i a l l ye x t e n da n di m p r o v et h em a i nr e s u l t so fm a oa n m i na n dx u e m e i k e y w o r d ss i n g u l a r n o n l i n e a rs t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e m s ，c o m p l e t e l yc o n t i n u o u s o p e r a t o r , p o s i t i v es o l u t i o n s ，c o n e ，f i x e dp o i n ti n d e x 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取 得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：刮b 泛 曰期：萨搬矿o 驴 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位 论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师同意网上交流，请在下方签名；否则视为不同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 东北大学硬士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，其主要原因 是因为它在各种实际问题中有着非常重要的作用 d h i l b e r t 在1 9 0 4 年首先利用积分方程来研究常微分方程两点边值问题，它是 h i l b e r t 最有价值的成就之一从这个工作开始，利用积分方程来研究微分方程，成 为微分方程理论中最重要和最基本的方法之一【l l s t u r m l i o u v i l l e 问题( 简称s l 问题) 缘起于十九世纪初期时j f o u r i e r 对热传导 问题的数学处理中十九世纪三十年代，c s t u r m 和j l i o u v i l l e 把f o u r i e r 的方法进 行了一般性的讨论，他们所得的结果，后来成为解决一类数学物理方程定解问题的 理论基础， 2 j 1 1引例 物理学、力学、工程力学甚至经济学等许多问题都可以归结为偏微分方程的定 解问题所谓定解问题就是把某个偏微分方程和相应的定解条件( 初始条件和边界 条件) 结合在一起 只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为初值问题( 或称c a u c h y 问题) ；反 之，没有初始条件，只有边界条件的定解问题称为边值问题；既有初始条件又有边 界条件的问题称为混合问题 从微积分学得知，在计算诸如多元函数的微分及重积分时总是把它们转化成 单元函数的相应问题来解决与此类似，求解偏微分方程的定解问题也是要设法把 它们转化为常微分方程下面举一个例子来说明 例子【3 设有一均匀细杆，长为f ，两端点的坐标为x = 0 与x = f ，杆的侧面是 绝热的，且在端点z = 0 处温度是零度，而在另一端x = ，处杆的热量自由发散到周 围温度是零度的介质中去( 注意在杆的_ c = 删的截面上，外法线方向就是x 轴的正 方向) ，已知初始温度分布函数为妒( d ，求杆上的温度分布规律 这个问题也就是要考虑下列定解问题： 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 詈甜窘，“圳， “( o ，f ) ：o ，掣攀+ 触( ，f ) ：o ， ( 1 1 1 ) 僦 u ( x ，0 ) = 妒( x ) 我们用分离变量法来解这个问题首先求出满足边界条件而且是变量被分离 形式的特解设 u ( x ，f ) = 丑( x ) r ( f ) ， 代入( 1 1 1 ) 中的第一个方程，得 丁7 ( ，) x ”0 ) -一 a 2 t ( t )o ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 上式左端不含有x ，右端不含有r ，所以只有当曲端均为常数时才口 能相等令此 常数为一芦2 ( 见【3 】中的讨论) ，则有 焉= 鬻一胪 ( 1 ，挪 a 2 f o )x ( x ) 。 从而得到两个线性常微分方程 j r o ) + a 2 卢2 r ( ) 2 o ， ( 1 1 5 ) i x ”( x ) + 卢2 x ( x ) = 0 事实上，对于任意的二阶线性常微分方程边值问题： 害蝎( 警+ 【c 棚( 枷锁破 ( 1 - 1 6 ) d 1 p ( d ) + f 1 6 0 ( d ) 2 叩i ，n 1 7 1 【口2 妒( 6 ) + 2 p ( 6 ) = 叩2 ， 、 其中a ：，声：，吼( f - 1 ，2 ) 均为给定的实常数；c t ) ，c ：( z ) ，6 ) ，厂( x ) 均为给定的实函 数：而旯一般是复参数如以函数 p ( x ) ：e 胁“ ( 1 1 8 ) 乘以式( 1 1 6 ) 的两端，则可化成如下形式的方程 d _ p ( x ) 皇呈】+ 【g ( 石) + ，枷( z ) 】妒= g ( x ) ( 1 1 9 ) a x戚 如b e s s e l 方程 蔓坐苎童! ! ! 主兰堡堕查一 苎二主壁垒 x2 y ”+ 妙+ ( | | 2 x 2 一肛2 ) y = 0 ， f 1 1 1 0 ) 可写为 忑dk 安一譬y + k 2 x y - o ( 1 1 1 1 ) 又如l e g e n d r e 方程 ( 1 一x 2 ) 一。2 x y + ，( z + 1 ) y = 0 ， f 1 1 1 2 ) 可写为 要f ( 1 - - x 2 ) 当+ 琊+ 】抄：0 ， ( 1 - l ，1 3 ) 钡 积 方程( 1 1 9 ) 称为s t u n n l i o u v i l l e 方程，而边界条件( 1 1 7 ) u - j 改写为 隹舞：踹妒翟毫( 1 1 1 4 p ( b ) c p r ， 【口2 妒( 6 ) + 卢2( 6 ) = 2 求方程( 1 1 9 ) 之满足条件( 1 1 1 4 ) 的非零解问题，通常称作为s t u r m l i o u v i l l e 边值问 题，简称作s l 问题使( 1 1 9 ) 和( 1 1 1 4 ) 有非零解的旯值，均称为该问题的特征值， 而对应的非零解则称为该问题的对应于旯的特征函数 1 2 主要结果 关于s t u r m l i o u v i l l e 问题的研究结果，与本文有关的主要有： 、关于负指数e m d e n f o w l e r 方程 z ”( ，) + p ( t ) x “( ，) = o ，( 0 ，1 ) ，( 1 2 1 ) 其中p ( f ) c ( o ，l 九p ( t ) o ，t ( 0 ，1 ) ，a r ，许多作者已作了一些研究 5 1 ， 6 1 ，1 7 ， 8 1 。 考虑方程( 1 | 2 1 ) 和边界条件 a x ( o ) - b x 7 ( o ) = 0 ，c x ( 1 ) + 凼7 ( 1 ) = 0 ，( 1 2 2 ) 其中， a 0 ，b 0 ，c 0 ，d 0 ，口+ b 0 ，c + d 0 ，p = t i c + 口d + b c 0 当旯0 ， p ( f ) c 0 ，l 】时，边值问题( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 是非奇异的，这方面的结果可在文【4 中找 到当p ( t ) 在t = 0 和t = 1 处不连续( 包括p ( t ) 在( 0 ，1 ) 中无界的情形) ，或者 b d = 0 ，五 0 时，边值问题( 1 2 ，1 ) 和( 1 2 2 ) 是奇异的。而且，在特殊情形： b = d = 0 ，z 0 下，t a l i a f e r r o 在【5 】中用打靶法研究了奇异边值问题( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 有c o ，1 】正解的存在性和唯一性在【9 中，作者利用上下解方法和不动点理论给出 3 查些垄兰翌主主堡堡墨 苎二主竺堡 _ - _ _ _ _ _ - h _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - h - _ _ _ _ - - - _ _ _ _ _ - - _ - _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ - 一 一 了负指数e m d e n - f o w l e r 方程奇异边值问题( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 有- c o ，1 】和c 1 【o ，1 i e 解 存在的充分必要条件 二、关于如下的奇异非线性二阶两点边值问题 鼢a u ( o ) 黑f l u 答缆0r u 0 ( 1 。) i 赫：0 ， z 固 ( 一 7 ( o ) = ，+ 函7 ( 1 ) = ， 、 其中，口，y ，占0 ，p = 吖+ r p + 8 a o ；h ( t ) 允许在t = 0 和，= 1 处奇异，近年来， 许多作者 1 0 - 2 5 1 利用上下解方法和s c h a u d e r ，s 不动点理论也作了不少工作，研究了问 题( 1 ，2 。3 ) 的正解存在性不过这些工作是在f ：【0 ，+ m ) 斗【0 ，+ m ) 连续的条件下展 开的1 9 7 9 生j zt a l i a f e r r o 嘲与最近韦忠礼【9 1 在( j ) = ( 五 o ) 的情况下获得了边值问 题( 1 2 3 ) 的正解，其中不仅允许 ( r ) 在t = 0 ，t = 1 处奇异，而且允许l i m + ，( s ) = 佃， 甚至允许i i mf ( s ) 不存在 在 2 6 】中，作者得到了边值问题( 1 2 3 ) 在f ：( o ，+ 0 0 ) 斗( o ，+ o o ) 连续的条件下， 关于厂满足次线性增长条件的存在性定理：如果l i m 盟：佃并且l i m 丛堕：o 成 立，则边值问题( 1 2 3 ) 至少存在一个正解 在 2 7 】中，张国伟得到了边值问题( 1 2 3 ) 在f ：( 0 ，+ 。) 呻( o ，+ ) 连续的条件 下，与相关的线性算子所对应的第一正特征值 有关的存在性定理：如果 1 i m i n f f ( s ) 并且l i ms u p 丛堕 成立，则边值问题( 1 2 3 ) 至少存在个正解 f _ o + jp s 三、最近，张国伟在 2 8 中研究了如下一般的奇异非线性s t u r m l i o u v i l l e 问题 i 一( 三妒) ( x ) = ( x ) ，( p ( x ) ) ，0 a ”“ 似u 、 ( 超线性情形) 或者 姆唧掣铂怛钏“引“目 l i m 血f 盟 元 ：。u p 血 a 并且l i ms u p 丛堕 a 成立，则奇异 “_ + 0 7 “ o u 非线性s t u r m l i o u v i l l e 问题( 1 2 4 ) 至少存在一个正解 这一部分研究了可分离变量情形的s t u r m - l i o u v i l l e 问题，推广了 2 6 ，【2 7 ， 2 8 的结果 五、在 2 9 q h ，作者研究了如下的奇异边值问题 ”+ 厂( f ，“) = 0 ，0 0 ；f ( t ，x ) p ( 啪( x ) ，p ：( 0 ，1 ) 一【0 ，+ o o ) 连续，q ：【0 ，+ m ) - - 9 【o ，+ c o ) 连续利用锥理论和不动点指数理论得到了边值问题 f 1 2 5 1 的正解存在结果：如果 蜒紧l i mu p 掣 m i , m l l i m 。i n f 粥，m ，掣 ( 1 z - 6 ) 或者 0 - l i r as u p 盟 m u - q p + 。u ，耶磐咄圳掣忡 ( 1 2 7 ) h 成立，则边值问题( 1 2 5 ) 至少存在一个正解 六、本文在第四章中研究了如下一般情形的s t u r m l i o u v i l l e 问题 f 一( 三妒) ( x ) = f ( x ，p ( x ) ) ，0 0 ，x ( 0 ，l 】； ( 4 )v ( x ) c 2 o ，1 】是一个减函数，v ( x ) 0 ，x 0 ，1 ) ； ( 5 )6 ( x ，y ) 有连续的偏导数g ：，g 二； ( 6 )对于固定的y i ，g ( x ，y ) 满足 l g ( x ，y ) = 0 ，当x y ，x 1h 寸， r l ( g ) = r 2 ( g ) = 0 ，当y ( a ，b ) 时； ( 7 )当x = y 时g ：有第一类间断点，并且 啄y + 0 ，y ) - g ：( y - 0 , y ) 一高“吼6 ) ； ( 8 ) f o 是一个正常数 9 东北大学硕士学位论文 第二章预备知识 引理2 1 0 1 刀假设齐次边值问题( 2 7 ) 只有零解，又设，( x ) c ( o ，则下列结 论成立： ( i )边值问题( 2 6 ) 存在唯一的解 ( i i )若函数y ( x ) 由 j ，( x ) = g ( x ，y ) f ( y ) d y ( 2 9 ) 确定，则必有y ( x ) c2 ( n 并ny ( x ) 是边值问题( 2 6 ) 的解 ( i i i )若y ( x ) c 2 ( ，) 是边值问题( 2 6 ) 的解，则y ( x ) 必满足( 2 9 ) 1 0 。 量翌生兰堂壁兰! 兰笙兰墨 苎三主墨三! 坌童奎重塑堕型 第三章 关于可分离变量的情形 3 1 引言 考虑如下可分离变量情形的s t u r m - l i o u v i l l e 问题 f 一( _ 尹) ( x ) = 玉( x ) ( 妒( x ) ) ，0 p ( x ) m m - 1 | | p i i x ( 1 一j ) ； ( 3 ，1 7 ) 东北大学硕士学位论文 第三章关于可分离变量的情形 所以 一妒k j p ( x ) m m l | | 一妒| | x ( 1 一x ) = m m 一1 | | 妒| | x ( 1 一x ) ，( 3 1 ，8 ) 0 m m 1 p | lx ( 1 一z ) ，v x 【o ，1 1 ( 3 1 9 ) 故 j | p i fo ( 3 1 1 0 ) 因此 妒= o ( 3 1 1 1 ) 本章的基本假设： ( h 。) h ：( 0 ，1 ) 斗【o ，+ 。o ) 连续( ( x ) 允许在x = 0 ，x = 1 处奇异) ， ( x ) 不恒为零， 并且 f g ( x ，x ) ) d x + 。0 ( 3 1 1 2 ) ( h 2 ) f ：( 0 ，+ 。o ) 一 0 ，+ o o ) 连续，并且对于任何的0 c d 0 ，x ( o ，1 ) ，并且满足( 3 1 1 ) ，则称妒是( 3 1 i ) 的一个正解 引理3 1 1 t 2 8 】若g r e e n 函数g ( x ，y ) e h 式( 3 。1 3 ) 定义，则下述结论成立： ( 1 ) 若卢。：o ，则( 3 1 1 2 ) l h ( x ) d x + m ； ( 2 ) 若崩= o ，反0 ，贝l j ( 3 1 1 2 ) 甘f x h ( x ) d x + 叫 ( 3 ) 若届0 ，卢：= o ，则( 3 1 1 2 ) 畚f ( 1 - x ) h ( x ) d x + o 。； ( 4 ) 若卢，= ：= 0 ，n ( 3 1 1 2 ) f z ( 1 - x ) h ( x ) d x + o o 注 由引理3 1 1 可以得知，为了验证式( 3 1 1 2 ) 是否成立，实际上不必给出 一1 2 东北大学硕士学位论文第三章关于可分离变量的情形 g r e e n 函数的具体表达式 3 2 全连续的证明 由( h 2 ) 知：对任意的妒k c ，明，存在卅o n ，使得 腓s u p 训k g ( y ，y ) h ( y ) f ( c p ( y ) ) d y 1 ( 3 钏 因此， m 。s u 。pl ( 卅0 ) 向( y ) 厂( p ( 力) 咖s m s u pi ( m o ) g ( y ，y ) h ( y ) f ( q a ( y ) ) d y d 1 ； (322)l d p e r 【c 4 【卅0j p e 足h 】 故f ，、 ( y ) - r ( 妒( y ) ) 咖存在而在p ，竺里二与上， ( y ) 和厂( 妒( y ) ) 均连续，因此 4 ( ”o 】 m 0m o f 自( y ) ，( 妒( y ) ) 砂存在 令 口够) ( = f g ( x ，y ) h ( y ) f ( c p ( y ) ) d y ，x o ，l 】 ( 3 2 3 ) 引理3 2 1 若( 日1 ) ( 日：) 成立，则对任意的0 c d + o 。，算子 a ：k c ，d 】专k 证明设p k c ，d 】，由k c ，川的定义可知： 伊( x ) m m 。! l f 工( 1 一x ) ，x 0 ，1 】； ( 3 2 4 ) 并且 c 妒f i 兰d ( 3 2 5 ) 于是，对自然数n 2 ，有 棚一t c 。三。型妒( x ) 矗，x 堕】( 3 2 6 ) 记 且= m a x p c 等d ， 旺2 利用( 詹，) 和( 幺) ，由( 3 。2 1 ) ，( 3 ，2 ，6 ) 和( 3 2 7 ) 有 肿s u p ，。】fg ( t y ) ( _ ) i ) 伽( _ y ) ) 咖 1 3 - 燮茎塑主芏堡堕墨 苎三主墨! 坌塞壅兰塑堕兰_-h_-_-_ 一。t ， ，嚣。】cg ( y ，y ) 自( y ) ，( 妒( y ) ) 咖 ，篡 。) g y ，y m m y 胁+ ，嚣卅f r 。o l g ( _ y ， m ( y ) ) 砂 m _ 一 l + r f g ( y ，y ) h ( y ) d y + ，x i o ，l 】 ( 3 2 8 ) 由( 3 2 8 ) 可知a ：k c ，d 】_ c o ，1 由于对任意的p k c ，棚， ( a q 0 ( x ) = f g ( x ，y ) ( y ) ，( 妒( y ) ) 咖 所f ( y ) 厂( 妒( y ) ) 方， ( 3 2 9 ) 而 i i 4 妒l 卜m 。a ；x 。i a ( p ( x ) i m fh ( y ) f ( q ) ( y ) ) d y ( 3 2 10 ) 故v x 0 ，1 ， 4 妒( j ) m m _ 1i i p | | m m 。| | 爿妒| | x ( 1 一x ) ，( 3 2 1 1 ) 所以a ：k c ，d 】斗k 引理3 2 2 若( h ，) ( h ：) 成立，则算子a 的非零不动点即为( 3 1 1 ) 的i t 解 证明若妒是4 的不动点，和引理2 1 0 的方法类似，可得 妒( x ) = r g ( 而y 妒( y ) ，( 妒( y ) ) 咖+ l g ( x ，y ) 而( y ) ，( 伊( y ) ) 砂； ( 3 2 1 2 ) 妒( x ) = f ( 工，y ) 而( y ) 厂( 妒( ) ，) ) 咖； ( 3 2 1 3 ) 妒”( x ) = f g ：( x ，y ) ( ，) ，( 妒( y ) ) 咖一：! 堕! ! ：；! 笋兰堕，( 3 2 1 4 ) 一( 三妒) ( x ) = 一( p 妒”+ p 妒+ q q j ) = 一f 工g ( x ，y ) ( y ) ，( p ( y ) ) 妙+ 矗( x ) ，( 妒( x ) ) = 矗( x ) ，( 妒( x ) ) ， ( 3 2 1 5 ) r ( 尹) = 口fg ( o ，y ) 而( y ) ，( 妒( y ) ) 咖+ 。fg ：( o ，_ y ) ( _ y ) ，( 妒( y ) ) 咖 1 4 东北大学硕士学位论文 第三章关于可分离变量的情形 = i 。r l ( g ) 矗( y ) 厂( 妒( y ) ) a y = o ； ( 3 2 1 6 ) 同理可得r ：( p ) = 0 于是妒是( 3 1 1 ) 的解，并且可知( 伊) ( x ) = 一 ( x ) ，( p ( x ) ) 0 若在( 0 ，1 ) 内，妒( x ) 能取到最小值零，由引理2 6 ，则p ( x ) = o ，x e ( 0 ，1 ) ，这与妒是 a 的非零不动点矛盾于是妒( x ) 是边值问题( 3 1 1 ) 的正解 引理3 2 3 若( 日1 ) ( 日2 ) 成立，则对任意的0 c d + 。o ，算予 a ：k c ，d 斗k 为全连续算子 证明对自然数n ( n 2 ) ，设 吃( x ) = i n f 矗( s ) ， e ： ( z ) ， 型i n f ， o x 三 n 三x s 盟，( 3 2 1 7 ) nn 竺兰x 1 则h 。： 0 ，1 】斗 o ，+ ) 连续，且吃( x ) o ) ，x ( 0 ，1 ) 令 ( 彳。伊) ( j ) = f g ( z ，y ) 吃( y ) ，( 妒( 力) f 扯 ( 3 ，2 1 8 ) 与引理3 2 1 类似，可以证明a 。：k c ，d 】斗k 设 ( j ) =。；m 川从等 ：舯， ) ， s 孙m _ l c k t - ：1 ， 则以：【0 ，+ o o ) 斗【0 ，十o o ) 连续，且：( s ) 蔓( 5 ) ，j ( 0 ，+ o o ) 令 ( 彳。力( 功= lg ( j ，力( ，) 五( 伊( ，) ) 方 ( 3 | 2 2 0 ) 则由引理2 1 ：a h ：k c ，卅斗k 是全连续算子 注意到式( 3 1 1 3 ) 2 乏当s 掰m - i c 冬 时，以( j ) ：厂( s ) 于是 l i m s u pi ia h 妒一a 。妒| | - ”p r h d 】 2 熙m s u p 。矿m 。a xl g ( 圳) 矗n ( y ) ( m ( y ) ) 一五( 妒( _ y ) ) 砂 东北大学硕士学位论文 第三章关于可分离变量的情形 ，l i 职s u p l g(y，y)(y)(，(妒(y)一以(妒(y)dydj p 帅p e 州c 州 2 熙m s u p 棚g ( y ，y ) ( m ( y ) ) 一九( p ( y ) ) 咖 熙，曼暑】( k ) g ( y ，力南( j ，) ( p 抄) ) 咖= o ( 3 2 2 1 ) 所以e h g l 理2 2 知a 。：k c ，d 】专k 是全连续算子 注意到当! 。! 生时，玩( x ) ： ( x ) ，于是有 l i r a s u p0 a 。妒一彳p i | p e k ca l 2 熙脚s u p ，。】躐l g ( 工，y ) ( - h , ( 埘( 删) 砂 溉卿s u p ， l 地y ) ( 一以( y ) ) ，( 删) 咖 熙脚s u p ， ) g ( 川m ( y ) ) 咖= o ( 3 2 2 2 ) 因此，v 0 c d 0 ，使得占l g ( x ，y ) 妒+ ( y ) 占2 g ( y ，x ) ，v 0 z ，y 1 ； ( 2 ) 若x ) = 妒+ ( x ) ( x ) ，则 y + ( x ) ，( 3 3 1 ) h _ 0 。 “ l i ms u p 型 o ，使得当0 甜时， f ( u ) “ ( 3 3 3 ) 由( 3 3 2 ) ，存在0 0 ，使得当z f r 2 时， f ( u ) 以“ ( 3 3 4 ) 定义( 五妒) ( x ) = p 3 , ，( 丁妒) ( x ) ，则正：c o ，1 】_ c 【o ，1 】线性全连续，并且同t 的讨 1 7 翌生壁兰塑兰羔兰笙竺墨一一一 堑三主兰! ! 坌童奎重塑：堕兰 论相同，可知五( 墨) 亡世，墨的谱半径，何) 0 因为五是r 的第一特征值以及 o 吒，使得只要j | 矿忙_ 就有j j 妒旷 吩 根据引理3 2 3 ，算子a ：足【1 ，4 寸k 全连续根据全连续算子延拓定理，延 拓a ( 仍记为a ) ，则a ：瓦n k k 全连续 不妨假设a 在船。n k 上没有不动点，否则定理得证 现在我们证明f ( 一，b 。n k ，足) = o 若妒+ 是r 对应于 的正特征函数，则妒= a 即即对任意的x o ，l 】，有 妒( x ) = z ，f g ( z ，y ) 矗( y ) 伊+ o ) 咖 墩l a ( y ) 妒( y ) 砂， ( 3 3 9 ) 而 i i 妒| | a l mf h ( y ) c p ( y ) 砂( 3 3 1 0 ) 所以 妒( a 狞2 z - ：鼻f - 1l l 妒+ l l = m m 一1l i 伊 m m 一1l l 妒l ix 0 一x 1 ( 3 3 t 1 ) 故伊k 拂 对v 驴铅。n k ，z 0 ，1 ，由( 3 3 3 ) 可得 1 8 东北大学硕士学位论文 第三章关于可分离变量的情形 ( a q o ( x ) = f g ( x ，y ) ( y ) ，( 妒( y ) ) 咖 f g q ，y ) h ( y ) x l 妒( y 汹 = f g ，y ) ( y ) 妒( y ) 砂 = 旯，( r e ) ( x ) 下证 妒一爿p 妒，w p a b 。f 3 k ，2 0 用反证法假设存在a 瓯n 世，u 。0 ，使得 9 0 一彳妒o = o 妒 显然胁 0 ，并且 伊o = 爿+ o 伊o 妒 取 2 = s u p i 妒。伊 ， 则 o 0 ，妒o p * c p + 由于t ( k ) 匕k ，所以 。卢+ 砌= p + 因此由( 3 3 1 2 ) 知： 驴。= a + 。妒 砌。+ a t o q ( p 十芦o ) + 这与口的定义矛盾所以( 3 3 1 3 ) 得证由引理2 4 得 i ( a ，b 。n k ，k ) = 0 - 下证 f ( “，b 。n k ，世) = 1 即证 a ( p 妒，w p 0 b hn k ，1 用反证法若存在p ：0 b 。f l k ，卢，1 ，使得 1 9 ( 3 3 1 2 ) ( 3 3 1 3 ) r 3 3 ，1 4 ) ( 3 3 1 5 ) ( 3 3 1 6 ) ( 3 3 1 7 ) ( 3 3 1 8 ) f 3 3 1 9 ) ( 3 3 2 0 ) ( 3 3 2 1 ) f 3 3 2 2 ) 东北大学硕士学位论文 第三章关于可分离变量的情形 一妒2 = l 妒2 令 蔹q ) = m i n 0 2 0 ) ，毪) ， 则霞o b 。n k i ee ( o ：) =