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并联机器人及并联微动工作台研究 摘要 本文结合一种平面3 - r r r 并联机器人的研制，对其运动学、静力学和动 力学问题进行了全面的研究。首先根据机器人的运动约束条件建立了其运动学 模型，进行了位姿反解、正解，并用几何法确定了其工作空间；利用雅可比矩 阵的概念建立了输入输出速度之间的关系，在此基础上提出了位姿反解的唯一 性规定和位姿正解的区域搜索法，消除了位姿反解过程中产生的复解问题，也 使位姿正解更简单而全面。 论文随后提出了奇异点阈值的概念，利用此概念进行机器人位姿的奇异性 判断，并利用m a t l a b 仿真软件将奇异点在工作空间内的分布情况可视化、直观 化。运用雅可比矩阵的条件数指标对机器人在工作空间内的精度性能进行了衡 量，并提出了雅可比矩阵的2 范数指标，以衡量并联机器入运动精度对输入误 差的敏感程度。文章还建立了结构参数误差模型，提出了结构参数的识别算法， 以消除结构参数误差对机器人精度的影响。 论文还提出了p c 机计算生成运动数据、单片机根据数据执行控制的合理 的并联机器人运动控制方案，这种方案具有计算速度快、结果直观而形象等特 点，且微控制器的重新编程容易，使系统具有较好的柔性。g u i 的使用则使运 动的模拟和数据的生成更加便利，界面也更为友善。 最后，以平面3 - r r r 并联机器人的性能研究和系统研制为基础，文章根据 条件数指标，对并联微动工作台进行了结构优化设计，使之满足各项同性要求， 从而确定了微动台的理论精度。此外，还对微动台的运动控制方案给出了建议， 为并联微动台的成功研制奠定基础。 关键词：并联机器人，奇异性，各项同性，并联微动台 r e s e a r c ho np a r a l l e lm a n i p u l a t o ra n dp a r a l l e l m i c r o - m o t i o ns t a g e a b s t r a c t w i t l lt h ed e v e l o p m e n to fap l a n a r3 - r r rp a r a l l e lm a n i p u l a t o r , k n i e m a t i c s t a t i ca n d d y n a m i cp e r f o r m a n c eo ft h i sm a n i p u l a t o ri ss t u d i e di nt h i st h e s i s k i n e m a t i cm o d e li s f i r s t l yd e r i v e db a s e do nt h ec o n s t r m n tc o n d i t i o n so f p a r a l l e lm a n i p u l a t o r , i n v e r s ea n dd i r e c t p o s i t i o na n a l y s i s i sd o n ea sw e l l ，a n dw o r k s p a c ei s c o m p u t e dt h r o u g hag e o m e t r y m e t h o d o l o g y r e l a t i o n s h i pb e t w e e ni n p u ta n do u t p u tv e l o c i t i e si se s t a b l i s h e de m p l o y i n gt h e c o n c e p to fj a c o b i a nm a t r i x au n i q u e n e s sd e f i n i t i o ni sm a d et oa c h i e v ee x c l u s i v ei n v e r s e p o s i t i o ns o l u t i o n ，a n dar e g i o ns e a r c h i n ga l g o r i t h mi si n v e n t e dt oo b t a i nc o m p r e h e n s i v e d i r e c tp o s i t i o ns o l u t i o n se f f i c i e n t l y a s i n g u l a r i t yt h r e s h o l dc o n c e p ti st h e nb r o u g h tf o r w a r dt oe s t i m a t et h es i n g u l a r i t yo f p a r a l l e lm a n i p u l a t o r , a n dv i s u a l i z et h ed i s t r i b u t i o no fs i n g u l a r i t ys p o t si nw o r k s p a c e a c c u r a c yo fp a r a l l e lm a n i i ) u l a t o ri se s t i m a t e db yc o n d i t i o nn u m b e rc r i t e r i o n ，a n da2 - n o r m c r i t e r i o ni sb r o u g h ti nt oe v a l u a t et h em o t i o na c c u r a c yu n d e rt h ei n f l u e n c eo fi n p u te l l o r a s t r u c t u r ee r r o rm o d e li sc r e a t e dt or e v e a lt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ns t r u c t u r ep a r a m e t e re r r o r a n do u t p u te r r o r , a n dan e wa l g o r i t h mo fs t r u c t u r ep a r a m e t e rc a l i b r a t i o ni si n t r o d u c e dt o e l i m i n a t et h ei n f l u e n c eo f s t r u c t u r ee r r o r ar a t i o n a lc o n t r o ls t r a t e g yi sa d o p t e dt od r i v et h ep a r a l l e lm a n i p u l a t o r ，n a m e l ym o t i o n d a t aw o r k i n go u tb yp ca n dc o n t r o ls i g n a lg e n e r a t e db ym c u ，a n dt h i ss t r a t e g yp o s s e s a d v a n t a g e ss u c ha sc o m p u t a t i o nt a k e sl e s st i m e ，t r a j e c t o r yi sv i s i b l e ，a n dr e p r o g r a m m i n go f m c ui se a s i e r , w h i c hm a k et h i ss y s t e mm o r ef l e x i b l e g u i sa r cc r e a t e dt of a c i l i t a t e k i n e m a t i c ss i m u l a t i o na n dm o t i o nd a t ag e n e r a t i o n ，a n dt h ei n t e r f a c ei st h e r e f o r ef r i e n d l y f i n a l l y , b a s e do ns t u d i e so fp l a n a r3 - r r rp a r a l l e lm a n i p u l a t o ra n dd e v e l o p m e n t ，a s t r u c t u r eo p t i m i z a t i o ns t u d yo fp a r a l l e lm i c r om a n i p u l a t o ri sd o n eu n d e rt h ec r i t e r i o no f c o n d i t i o nn u m b e r , i no r d e rt om a k ei ti s o t r o p i ca n da c h i e v eh i g hr e s o l u t i o na sp o s s i b l e ， t h e o r e t i c a l p r e c i s i o ni st h e ng i v e nb yc o m p u t a t i o n f u r t h e r m o r e ，a d v i c ea b o u tc o n t r o l s t r a t e g yo fm i c r om a n i p u l a t o ri sg i v e nb a s e do nc o m p u t a t i o n a l la b o v ew o r kp a v e st h e w a yf o rt h es u c c e s s f u lr e s e a r c ho f p a r a l l e lm i c r o m o t i o ns t a g e k e y w o r d s ：p a r a l l e lm a n i p u l a t o r ；s i n g u l a r i t y ；i s o t r o p y ；p a r a l l e lm i c r o - m o t i o n s t a g e 插图清单 图2 1 3 - r r r 并联机器人结构简图7 图2 2运动支路l 示意图8 图2 3反解得到a 两个可能的解1 0 图2 - 4支路1 约束下a 点的可达位置13 图2 5o = 0 时的工作空间，1 3 图2 - 6 西= 丌时工作空间最小1 4 图2 7边界奇异1 6 图2 8位形奇异1 1 7 图2 9位形奇异2 1 7 图3 1静止状态下力和力矩的输出2 0 图3 2杆a 、b 。和运动平台受力图2 1 图4 1m a t l a b 主窗口2 7 图4 2规定p a 逆时针方向的a 。为唯一解2 8 图4 3m a t l a b 绘制的机器人位姿2 9 图4 - 4反解迭代法计算得到的正解数值解3 0 图4 5 a 反解迭代法计算得到的最终位姿3 0 图4 5 b 真实位姿3 0 图4 - 6对t 中进行区域搜索3 1 图4 70 o 2 n 、o y 0 时，( 2 8 ) 有两个不同的实解，此时机器人处于工作 空间之内：a ? + 研一口= 0 时，( 2 - 8 ) 有一个唯一的实解，此时机器人处于极限位 置，即工作空间的边界；4 2 + 研一口 0 时，( 2 - 8 ) 无实解，机器人处于不可达位 姿。利用作图法表示上述约束，则得到下图所示的结果： 图2 - 4 支路1 约束下a 点的可达位置 如图4 所示，铰链a 的可达位置在以p 点为圆心、半径分别为i a i + b l i 和l a l - b 1 i 的两个圆之间。因此，g 点的可达位置在以0 l ( 只一qc o s ( 屈十研，只一e 。s i n c f l 。+ 西) ) 为中心，半径分别是l a l + b l l 和l a l - b l l 的两个圆之问。推广到三个运动支路，同时 满足三个支路的约束的区域即为此3 - r r r 并联机器人的工作空间。此外还可以 得知，当a i = b i 时，l a l - b l i = o ，机器人的工作空间为三个大圆的共有区域，不再 受n d , 圆的影响。现取a i = b i = 2 5 0 ，c i = 3 0 0 ，e i = 1 0 0 和中= 0 ，用绘图法表现机器 人的工作空间，如下图所示： 图2 - 5d 扛o 时的工作空间 从上文中圆心0 i 的坐标表达式可知，工作空间受到中取值的影响，且咖= 0 时工作空间最大，中= 丌时工作空间最小。图5 即该并联机器人的最大工作空 间，现再取a i = b i = 2 5 0 ，e i = 3 0 0 ，e i = 1 0 0 和西= 兀，用作图法得到最小工作空间， 如图6 所示： 图2 - 6 咖= n 时工作空间最小 实际上工作空间是以x 、y 、西为坐标的一个三维空间，以上“最大最小” 的说法仅是从x 和y 坐标出发进行衡量的。三维工作空间的表示将在第四章予 以详细说明。 2 2 运动学分析 2 2 1 雅克比矩阵 雅可比矩阵又称为一阶影响系数矩阵【35 1 ，是机器人输入输出速度的传递矩 阵，是机器人研究中的一个重要概念。它不仅可以用来求解机器人的运动速度， 还能揭示并联机器人的其他运动性能，比如奇异性、各项同性等。除此之外， 在深入研究雅可比矩阵的基础上还能进一步进行静力学和动力学分析，因此雅 可比矩阵成为诸多学者研究并联机器人过程中必不可少的一部分。 式( 2 2 ) 反映了a l ，b t ，e 1 ，c 1 以及矢量o g 构成的运动支路l 的约束关系， 将该式的两边同时对时间求导，则可以得到： ( 五一c lc o s o c 。+ p lc o s 以+ 西) 一口c o s b 】b 一函p ls i n + 西) + 或口ls i n o ij + ( 另一c 。s i n a 。+ qs i n ( f i t + 垂) - a ts i n b l 电+ 函qc o s + 中) 一反qc o s 只j = 0 ( 2 - 1 9 ) 对运动支路2 、3 进行同样的处理，可得： b c zc o s a 2 + p ：c o s 魄+ 西) 一吼c o s 吼b 一函乞s i n 魄+ 西) + 幺d 2s i n 吼j ， + b c ：s i n a ：+ e ：s i n 魄+ 西) - a z $ i n 幺l 句+ 函e ：c o s ( f l ：+ 西) 一幺d ：c o s 吃l = 0 r 2 2 0 ) b qc o s a 3 + 岛c o s 慨+ 咖) 一0 3c o s 日3 如一西岛s i n 慨+ 西) + 反qs i l l 岛j + b 另一c , s i n a ，+ 岛s i n ( f 1 3 + 审) - - c ) s i n 幺p ，十函岛c o s ( j 色+ 口) 一o , a 3 c o s 0 , i = 0 ( 2 2 1 ) 考虑到上述各项的物理意义，可以定义： 6 。= g z 一乞c o s a f + p # c o s ( b f + 西) 一口，c o s 0 ， ( 2 2 2 ) 6 二= g ；一c fs i n a , + qs i n + 西) 一qs i n 0 , ( 2 2 3 ) b i x 、b i ，分别代表b i 在x 轴和y 轴上的投影，同样， a n = 口，c o s 0 3 ( 2 2 4 ) a t v = qs i n 0 3 ( 2 2 5 ) = e jc o s ( f l , + 西) ( 2 2 6 ) 气= qs i n + t i ) ( 2 2 7 ) 分别代表和a j 在e i 在x 轴和y 轴上的投影。 将式( 2 2 2 ) ( 2 2 7 ) 代入式( 2 1 9 ) 一( 2 - 2 1 ) ，再写成矩阵形式，可得： j 。文= jo 趣q 2 8 ) 其中 旧 童= ig 引 = a l i b i y a l y b l z 0 o o a 2 ，b 2 ，一a 2 y b a ， 0 e ：，b l ，一e l y b l ，l e 2 ，b 2 ，一e 2 ，也，i 。 e 3 x b 3y e s y b 3 ； o 0 盘h 屯，一a 3 y b s ， 式( 2 - 2 8 ) 亦可写成： 取2 q( 2 - 2 9 ) 和 文= ，叫口( 2 3 0 ) 两种形式，其中 j = 止1 以( 2 3 1 ) ，= 1 以( 2 3 2 ) 由此可见。得知机器人的位姿和输入速度之后，可以利用( 2 - 3 0 ) 方便的解 得其输出速度；反之，得知机器人的位姿和输出速度之后，利用( 2 - 2 9 ) 亦可立 即得出其输出速度。雅可比矩阵随着并联机器人的位姿变化而变化，机器人在 助如 z j j魏如以 p。l = 正 1j q晚岛 l | i 吁 工作空间中不同点处具有不同的雅可比矩阵，因此在不同的位姿下机器人具有 不同的运动学性能，这是设计并联机器人和规划运动轨迹时需要注意的。 2 2 2 奇异性 机器人运动到某些位姿时，其运动性能会迅速恶化，无法正常工作，这种 位姿被称为机器人的奇异位形。奇异位形问题是并联机器人研究中的一个重点， 当机器人处于奇异位形时，运动性能受到很大影响，其自由度可能增加，也可 能减少1 6 】，这对机器人的载荷能力、刚度都有着很大的影响。很多学者在研究 并联机器人过程中都对奇异性问题有过专门的论述。f i e h t e r 3 6 1 和黄真【3 7 1 等分别 利用不同的数学工具证明：s t e w a r t 并联机器人在运动平台相对于固定平台转过 9 0 。时处于奇异位形。g o s s e l i n l 3 9 l 等将机器人的输入和输出速度关系写成 a x + b y = 0 的矩阵形式，再根据a 和b 的奇异条件，将奇异位形分为边界奇异、位 形奇异和构型奇异。在此利用g o s s e l i n 的方法。通过对j x 和j q 的奇异性分析 来分析并联机器人的奇异形位问题。 1 )当j q 的行列式值为0 时，机器人处于边界奇异。而由 1 q = 口l ，6 i ，一n l y 6 l ，0 0 一a 2 ，6 2 ， 00 0 i 0 i ( 2 - 3 3 ) 口3 h y n ，h 。 的形式可以知道，使j q 的行列式值为0 ，则需要使口。虬一口。，6 1 ，或4 ：，6 ：，一a ：，6 2 ，或 口，岛，一a 3 ，也，为0 。一6 打即矢量q 和6 f 的乘积当q 和b t 之间的夹角为0 或7 【 弧度时，该项为0 。此时机器人的一个或多个臂处于完全展开或完全折起的状 态，机器人处于工作空间的边界，如下图所示： p 图2 7 边界奇异 在此位姿下，曰t 的瞬间输入并不会影响机器人的瞬间输出，也就是说此 时机器人只有两个有效输入，机器减少一个自由度。体现在式( 2 2 8 ) q ，即输 入口中反的大小变化不会改变机器人的输出哥。 1 6 2 ) 当j x 的行列式值为0 时，机器人处于位形奇异。矩阵 jl = e l ：6 i v e 2 # b 2 y 一 巳，5 3 ，一 ( 2 - 3 4 ) 在不满秩时行列式为oo 注意到该矩阵的最后一列代表矢量g ，和6 j 的乘积，这样。 当e 和岛在同一条直线上的时候j x 的行列式为0 。此时机器人的三个构件b l 、 b 2 和b 3 的延长线交于同一点，如下图所示： 图2 - 8 位形奇异1 此时，即使将构件a l 、a 2 和a 3 锁定，机器人仍然可能存在图中箭头所示的 微运动，此时机器人增加了一个自由度，在这种位姿下机构抗拒力矩变形的能 力很差，在规划工作轨迹时应予以避免。除此之外，当j x 的前两列线性相关时 它同样是不满秩的。这时构件b l 、b 2 和b 3 平行，如下图所示： p 图2 - 9 位形奇异2 此位姿下机器人可能存在图中箭头所示的微运动，抗拒该方向上的作用力 的能力很差，同样在轨迹规划时应予以避免。 2 2 3 各项同性和条件数 除了奇异性之外，并联机器人研究中另一个重要问题是各项同性条件。 s a l i s b u r y t 3 9 1 和方跃法【2 1 】等用雅克比矩阵的条件数作为机器人各向同性的衡量 指标，并通过计算表明：当雅克比矩阵的条件数达到最小值1 时，机器人是各向同 性的，且机器人的精度受到结构误差和输入误差的影响最小。a n g e l e s l 4 0 1 和 g o s s e l i n 4 1 1 等应用这一概念对机器人进行了优化设计。随后，g o s s e l i n 【4 2 1 针对条 件数的局限性，又提出了全局条件数指标指标，以评价机器人在整个工作空间的 运动性能。赵新华【4 3 1 等以局部条件数和全局条件数为指标进行了3 r t t 并联机 器人的参数优化。 下面通过计算证明各项同性条件对机器人性能的影响。并联机器人的输入 输出速度之闽的关系如式( 2 2 9 ) 和( 2 3 0 ) 所示。然而由于误差的存在，实际的雅 可比矩阵和输入速度与各自的名义值均不相同，因此实际的速度传递关系为： 戈+ 越= u - 1 + ，- 1 地+ 口)( 2 3 5 ) 将上式展开并略去高阶项，可得： 戈+ 越= ，一香+ 。1 0 + j 一的 r 2 _ 3 6 1 再将( 2 3 0 ) 带入( 2 3 6 ) ，变为： 越= 。口+ j _ 口 ( 2 3 7 ) 对( 2 3 7 ) 两边取谱范数，得到： 蚓i ：= 一讥+ 炉乩 ( 2 - 3 8 ) 根据矩阵论【4 ”，有如下关系： ：炒1 1 1 2 ：+ 旷| | 2 i i 蚓： 亿。，、 再对( 2 2 9 ) 的两边取谱范数，得到： i i o l l ：= ： 亿4 且有： ：- 1 1 4 ： 由( 2 - 3 9 ) 和( 2 4 1 ) 可以得到如下关系： 镣咀半i o l l 川训： ：一l ： ”叫1 2 ( 2 - 4 1 ) ( 2 - 4 2 ) 整理得到： 镣刮一札i l 圳：( 锊臀 ( 2 4 3 ) 可见，输出误差受到结构参数误差j - l 和输入误差x q 的影响，而上述误 差的放大系数是忙。m i ，而此系数就是矩阵j 的最大特征值和最小特征值的 比值，即条件数。条件数的最小值为1 ，此时称矩阵满足各项同性条件。若在 全部工作空间内对条件数积分，则可以得到全局条件数，用以衡量机器人在工 作空间内的整体误差传递情况。 值得注意的是，由于矩阵j x 的第三列和前两列具有不同的量纲，因此在 进行条件数的求解时应当先对运动约束条件进行归一化【4 3 处理。运用此方法可 以进行并联微动台的优化设计，具体见第六章。 第三章静力学和动力学 并联机器人的静力学分析和动力学分析是了解机器人工作性能不可或缺 的一部分。静力学问题主要是静止状态下输入输出力i 力矩之间关系的研究和 机器人刚度的研究，而并联机器人动力学研究的主要是机器人运动过程中位姿、 速度、加速度和力，力矩之间的关系。对上述两个问题的研究决定了机器人的工 作性能、控制方案的制定以及系统的研制，本章将立足于位姿分析和运动学分 析的结果对这两个问题进行研究。 3 1 静力学分析和刚度分析 3 i i 静力学分析 并联机器人在静止状态下输入输出力i 力矩的传递性能是静力学研究的主 要内容。下面将利用雅可比矩阵对这一问题进行分析。 p 图3 - i静止状态下力和力矩的输出 机器人静止在图3 ，l 所示的位姿，有广义力输出f = f x ，f y ，n n 为了产生 此输出，系统的广义力输入是力矩t = 卜l ，t 2 ，q 卜静力学的主要问题就是已知 位姿和广义力输出f ，求力矩t 。假设该机构所有构件均在水平面内以忽略重力 的影响，则由刚体运动学可知，静止状态下被动构件b i 仅受到两个作用力，作 用点分别为b i 的两个端点，作用方向恰好相反，都沿作用点指向另一端点。而 杆a i 和动平台同杆b i 之间的作用力是上述两个力的反作用力，这样可以得到图 3 - l 中所有构件的受力关系，将a 。、b i 和运动平台虚拟拆开，则可以得到受力 关系图： p 根据力的合成，可以得到如下关系 f 1 + f 2 + f 3 = 【工，】 f 1 e i + f 2 e 2 + f 3 e 3 = n 而由于力矢沿杆b i 的方向作用，式( 3 - 1 ) 和( 3 2 ) 又可以写为： ) 。+ 童1 l + 3 。= l ) 。y + f 2 b 2y + a y = ， ，= n 将式( 3 3 ) 、( 3 - 4 ) 和( 3 5 ) 写成矩阵形式，得到 a 。 6 l b l y b l e l 。6 l ，一p ，6 l ， a b 2 ，6 3 。l b 2e 2b 2e 3 ，b 3e3，。，ll丢j3=乏 ， l i ? i 6 3l l 二i 卜i ，一，一，6 3 ，l jl 几j b ：屯 j 而由杆a l 静止，可以得到 ，r l = f 1xa l 即： ( 3 1 ) ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) ( 3 5 ) ( 3 - 6 ) ( 3 7 ) 瓦一 生 一一曩 一气一 ， 铲z 盟 将其推广到另外两臂，再代入( 3 - 6 ) ， 以及： 6 1 ： a , , b l ，一q ，6 l ； 钆 口l ，6 i ，一a l y b l ， q ；甄，一p l ，6 i ， b ly a l y b l l 塾! a 2 _ r b 2 ，一a 2 y b 2 z 6 2 ， 口：，6 2 ，一q ，6 2 ： e 2 ，6 2 ，一乞，熟， 口2 ；b 2 ，一矗2 ，玩。 6 3 ：l 篆a3a 3 b 3e 3 卧 6 3 ，”l ，屯，一 ，6 3 ，i f 二2 ，一，6 3 ，l l 3 0 a 3 , b 3 ，一q ，屯j b 2 ， a 2 ，b 2 y a 2 y b e ； 6 2 。 哆，6 2 ，一口2 ，6 2 ， e 2 , b 2 y e 2 y b 2 x 口2 ；6 2 ，一a 2 , b 2 ， b 3 ， a 3 ，6 3 y a 3 y b 3 ； b 3 y a 3 ，屯，一口3 ，6 3 ， e 3 , b 3 ，一e 3 ，6 3 ， a 3 ，6 3 ，一q ，6 3 ， ( 3 - 8 ) zi l ( 3 - 9 ) 玎j ( 3 - 1 0 ) 这样就建立了输入力矩和输出力力矩的静力学关系。将式( 3 9 ) 同( 2 - 2 8 ) 和( 2 3 1 ) 比较，可以知道式( 3 9 ) 左边的第一个矩阵就是雅可比矩阵j 的转置阵j t ，这样 可以将( 3 - 9 ) 和( 3 10 ) 重写为： 和 北 = u 。1 y x ， ” ( 3 - 1 1 ) ( 3 - 1 2 ) 3 1 2 刚度分析 在机器人保持某一位姿，输出力和力矩的时候各构件实际上会发生微小 的位移。假设三个主动铰的输入力矩是t = 【t 1 ，t 2 ，t 3 】，杆a i 产生的变形是 d q = 【a 0 1 、d o2 、4 口3 】。则有如下关系： f = 列g( 3 - 1 3 ) 钆一一一一一一 f r f 拦0 0 k鲷3lj f = 秽i x , ( 3 1 4 ) ( 3 - 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) k = 7 j( 3 1 9 ) 是机器人的刚度系数矩阵。将雅可比矩阵和其逆阵的具体值代入，即可以完成 机器人的刚度计算。 3 2 动力学分析 3 2 1 动力学分析方法介绍 并联机器人动力学分析的方法主要有牛顿欧拉方程法【4 5 。4 叭、达朗伯原理 法4 7 4 8 1 、拉格朗日法【4 9 5 0 】，等。其中使用牛顿欧拉法建立动力学方程会出现 副反力，较为繁琐，在不需要求解各铰链受力的情况下并不适宜使用；拉格朗 日法需要大量的矩阵运算和求偏导的运算，计算量大；这里使用达朗伯原理( 虚 功原理) 法对平面3 - r r r 并联机器人的动力学问题进行分析。 3 2 2 达朗伯原理法 假设该并联机器人的所有构件处于水平面内，则机构不受重力的影响。并 联机器人的虚功原理公式为： 曲7 r + 舐；e + 舐j 丘= o ( 3 - 2 0 ) 其中 亏2 引 n z ， 表示构件a i 或b i 质心的惯性力和惯性力矩。相应地， e = 吲 ( 3 - 2 2 ) 表示运动平台的惯性力和惯性力矩，缸：、苏j 和曲7 分别代表运动平台、各 构件和输入杆的虚位移。 进一步的，运动平台的虚位移和输入杆虚位移的关系是： 6 9 = j p 6 x p ( 3 2 3 ) 而各构件a i 和b i 与输出虚位移的关系是： 奶= 以出。( 3 2 4 ) 其中j 。和以分别表示运动平台和各构件的质心与输入之间的运动传递矩阵。 将( 3 2 3 ) 和( 3 - 2 4 ) 代入( 3 - 2 0 ) ，可以得到： 、 睇i 彤f + e + 刀声i = o ( 3 2 5 ) i 而上式对于任意的虚位移舐：都成立，所以有： f + e + r 亏= o ( 3 - 2 6 ) 再对上式变形，得到： 厂、 r = 一7 l 丘+ r 亏l ( 3 - 2 7 ) f 利用( 3 2 7 ) 目p 可解得机器人的输入转矩。 对于平面3 - r r r 并联机器人，比较( 2 - 2 9 ) 和( 3 2 3 ) 可知，j 。即为该并联机 器人的雅可比矩阵，。而，可以通过下面的一系列计算得到： 对于某位姿下的3 - r r r 并联机器人，根据式( 2 2 9 ) 可由输出速度 阮g 弘函1 r 解出输入速度h ，幺，晓f ，谚的表达式为： q = 1 g x + j f 2 6 少+ 以3 西( 3 2 8 ) 由此可以计算出点d 、e 、f 的速度： 昝 假设杆见均匀，则其质心在杆的中点处。 圪，= 9 q 2 ( 3 2 9 ) 可以计算出皿的质心速度： ( 3 3 0 ) 而杆q 的角速度是砖，则q 的广义运动速度为h 2 ，反靠2 ，o , 1 ，这样得到构件 a t 运动速度与输出虚位移速度的关系： 1j l 2 3 口 口 口 q眈见 e i n 。2 e 口。2 口 l 以，2 厶2 一， = l 一a 。2 以：吼2 一， l 以。一：一， 则杆q 的速度传递矩阵，为 j m = j t p ，| 2 j t p ；| 2 以 j | p | v 2 j t p 。 2 以： j i p ，| 2 0 ，2 厶 点a 、b 、c 的速度也可以计算得到： 圪 圪 圪 g k + 6 y + 西e l g k + g y + ( j 声x e 2 酝+ + 垂岛 ( 3 3 1 ) ( 3 - 3 2 ) ( 3 - 3 3 ) 这样，根据刚体的速度合成定理，杆鱼的质心速度为： k ，= 0 氪+ 6 少+ 西q + b a , ) 2 f 3 3 4 ) 而杆鱼的角速度可以根据刚体运动合成定理求得： = 协+ a y + a q 一谚q 冲f |( 3 - 3 5 ) 则包的广义运动速度为l 竺兰尝，鱼兰警，l ，得到构件6 f 运动速 l - - j 度与输出虚位移速席的关系： g k + 西p 驴+ q 口妒 2厶 c y + 西气+ b 口h 2二 6 譬+ g y + 庐e f o t a ， 1 b i i 则杆鱼的速度传递矩阵z 为： 以。= 1 七j n a 口j 僧a 9 l a h 2 i a t j t l i b i i ， 1 + j s 2 2 1 一n l j n i b i i ( 3 3 6 ) ( 3 - 3 7 ) 函匆函 l扪j _ 蠡白西 墓土例 羞土m ” 竽差丌 l l 一 半羔丌 l 一 1 一 式( 3 2 8 ) 对时间求导可得： 只= z ，g x + j , 2 c y + z 3 西+ 以l g x + j 。：g y + z ，西 即杆口，的角加速度。在此基础上求得杆q 质心的加速度为： 矿 r a l ：眵m + 谚 玛) 】2 而点d 、e 、f 的加速度则为： 巧 ( 3 3 8 ) f 3 3 9 ) ( 3 4 0 ) 式( 3 - 3 4 ) 对时i 司求导司以得到杆匆的质心加速度： 吃。= 慨+ 匆+ 函e i + 0 ( 0 i c i ) ) 2( 3 - 4 1 ) 式( 3 - 3 5 ) 对时间求导以求得杆6 j 的角加速度： 瓯= 慨+ 8 y + 6 q + 西p q ) 一茸a t 一4 x a , ) ) i b i i ( 3 - 4 2 ) 杆q 和趣相对自身质心的转动惯量分别是： l=m“w12(3-43) 和 j m = 磁m | 6 i 1 2 1 2( 3 4 4 ) 其中肌。和分别是杆q 和匆的质量。 在此基础上可以求出杆a i 、杆鱼和运动平台相对于各自质心的惯性力矩： = 一j 。丸一乜。吼) ( 3 4 5 ) 行町= 一l ，也，一q ，也，)( 3 4 6 ) = - i ，函一西0 ，西) ( 3 - 4 7 ) 同样可以求得杆口，、6 j 以及运动平台的惯性力： z，=一mai矿rai(3-4s) 兀= 一m 拼k 。 p = 一mp v 将以上各项代入( 3 2 7 ) 即可解得并联机器人的输入转矩。 将在第四章给出。 ( 3 4 9 ) f 3 - 5 0 ) 其数值运算结果 d 窖 x 一帆“幌蛾， q见岛 + + + q 吒q x ：q以幺 第四章仿真分析和误差溯源 相对于串联机器人，并联机器人具有运动反解简单、精度高、剐度大、动 力学性能好等优点。对并联机器人运动学性能的分析是并联机器人研究中的重 点内容。本文的第二章和第三章完成了平面3 - r r r 并联机器人的约束方程建 立、位姿正反解、工作空间的绘图法求解、雅可比矩阵的建立、奇异性和各项 同性条件的分析，以及动力学模型的建立等工作，本章将在上述工作的基础上 利用m a t l a b 软件进行运动学和动力学仿真，以计算出机器人的各种运动学和动 力学性能，并将计算结果图形化、直观化地表达。 4 1 运动学仿真 4 1 1 仿真工具m a t l a b 简介 m a t l a b 名字是由m a t r i x 和l a b o r a t o r y 两个词的前三个字母组合而成的。 它是m a t h w o r k s 公司于1 9 8 2 年推出的套高性能的数值计算和可视化数学软 件。自从问世以来，m a t l a b 就以强大的数值计算能力著称。经过十几年的完善和 扩充，现已发展成为线性代数课程的标准工具。由于它不需定义数组的维数， 并给出矩阵函数、特殊矩阵专门的库函数，使之在求解诸如信号处理、建模、 系统识别、控制、优化等领域的问题时，显得大为高效和方便，这些优点是其 它高级语言所不具备的。m a t l a b 的主要特点如下： 1 ) 语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。 2 ) 运算符丰富。 3 ) 既具有结构化的控制语句。又有面向对象编程的特性。 4 ) 程序限制不严格，程序设计自由度大。 6 ) 图形功能强大，数据的可视化非常简单，等等。 由于上述优点，使用m a t l a b 进行机器人的运算和仿真十分方便，且计算速 度快、计算结果易于图形化，因此这里选用m a t l a b 作为机器人的仿真计算软件。 图4 - 1m a t l a b 主窗口 2 7 4 1 2 位姿反解和唯一性规定 现设定平面3 - r r r 并联机器人的结构参数值： a l = a 2 = a 3 = 2 5 0 m m b l b 2 b 3 2 5 0 r a m c l c 2c 3 3 0 0 m m e i = e 2 = e 3 = 1 0 0 m m ( 在本章和后面的章节中，若不加说明，机器人的结构参数均如上所设) 求解 该并联机器人在( 5 0 ，2 0 ，- n 4 ) 位姿下的输入( 口1 、0 2 、曰3 ) 。在m a t l a b 中编制 程序实现式( 2 - 8 ) 、( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 的约束模型，则可以计算得到机器人的输入： 0 i = 1 6 9 6 2 6 ，- 0 2 1 0 1 5 5 口2 = 一2 3 5 7 7 7 ，1 5 9 8 2 8 0 3 = 0 0 1 8 8 4 1 4 ，- 2 1 1 4 1 2 值得注意的是，解得的输入都有两个值，这一点在第二章已经予以分析。 因此，对于三路输入，可能的组合就有2 3 = 8 种。为了避免这种复解，现规定： 在进行位姿反解的时候，式( 2 8 ) 、( 2 - 9 ) 和( 2 1 0 ) 中的- 4 - 号仅取“+ ”号进行计算。 这样，位姿反解公式变为： 蚪t a n _ 1 尘擎 将此关系反映在图中，即：在a l 、a 2 、 q b 、r c 的逆时针一侧作为机器人的输入。 ( 4 1 ) a 3 的两个可能的位置中，仅取p a 、 a p 图4 - 2 规定e a 逆时针方向的a 。为唯一解 由于机器人的运动具有连续性，进行了“逆时针唯一解”规定之后，机器人 在运动过程中杆a l 、a 2 、a 3 不会由p a 、q b 、r c 的逆时针侧突变到顺时针侧。 除了机器人到达工作空间的边界、某条臂处于完全伸张收缩状态的时候这种逆 转才有可能出现，但是在轨迹规划的时候总是避免机器人到达工作空间的边界 点的，因此只要合理规划t 作路径即可认为这种位姿反解的唯一性规定是稳定 的。 遵循上述唯一性规定，可在m a t l a b 中编程绘制出此时的3 - r r r 并联机器 人位姿： 图4 - 3m a l l a b 绘制的机器人位姿 4 1 3 位姿正解的数值解法 1 ) 反解- 迭代法。在第二章中，位姿正解问题是用多项式消元法解决的， 然而这种方法十分复杂、计算量大，而且会产生多个解，因此这种方法并不适 合于工程计算。对于6 自由度的s t e w a r t 平台，在已知其输入的情况下利用相 对简单的位姿反解和迭代计算可以求得机器人位姿的数值解 2 0 】，该方法同样适 用于平面3 - r r r 并联机器人。其计算流程如下： 假设真实位姿为 g x ，g y ，o 】_ 【5 0 ，5 0 ，l 】，按照上述方法进行迭代计算， 箕结果如图4 - 4 和4 5 所示： 删 躲 蜮 盘 迭代次数 图4 4 反解迭代法计算得到的正解数值解 图4 5 a 反解迭代法计算得到的最终位姿图4 5 b 真实位姿 反解迭代法得到的最终输入是【1 1 9 0 5 ，3 0 18 8 ，0 5 8 1 7 】，而由真实位姿 反解得到的真实输入也是【1 1 9 0 5 ，3 0 l8 8 ，0 5 8 1 7 】，但反解迭代法得到的位 姿输出和真实位姿并不相同，这是因为该方法得到的正解具有唯一性，并不能 计算得到所有真实解。 2 ) 区域搜索法。在遵循4 1 2 的唯一性规定的前提下，作者提出了种区 域搜索算法，可以得到所有可能的正解，思路如下： 由于输入【口l 口2 口3 】已知，则可以计算得到点d 的位置；若再确定o 和 杆a l 和b l 之间的夹角t ，则机器人的位姿 g x ，g y ，m 】即可解出；o 的取值范 围是0 0 2 n ，而根据唯一性规定，t 取值范围是0 丫 兀。建立m 叫二维空间， 对该空间中0 0 2 r c 且o t 兀的区域计算g x 和g y ，再反解得到和g ，可以 得到各点的初次搜索误差s = 一只) 2 + 暇一只r 。对取得极小值的点附近的区 域细化搜索，并重复上述计算，直到小于预设的误差为止。 p 图4 - 70 中电、o q 时g 点可能的位置 经计算，初次搜索得到的第一个极小值在t = 2 2 5 3 1 、0 = 3 4 2 7 2 处取得， 此时咣= 3 0 15 6 ，叫一0 5 7 8 7 ，= 1 9 0 8 9 x 1 0 一；第二个极小值在7 = 1 3 9 6 3 、o = 1 0