（基础数学专业论文）弱极限度量奇点的角度.pdf

摘要 本文研究的问题是陈秀雄教授将经典的单值化定理推广到带边曲面中产 生的在推广经典的单值化定理的过程中，我们需要知道在一定的曲率积分的 限制条件下，曲面上一个r i e m a n n 度量序列的极限性质对一个r i e m a n n 度量 序列的弱极限，一般存在有限个奇点( b u b b l e 点) 对每个奇点，我们可以定义奇 点的角度在极限度量不退化的情况下，奇点的角度必然为零此时我们称该 奇点为度量的c u s p 奇点本文我们将证明这个结果：当极限度量不退化，则该 度量只有c u s p 奇点这个结果对于将经典的单值化定理推广到带边曲面是非 常重要的 关键词：b u b b l e ，c u s p 奇点，奇点的弱角度，b u b b l e 树 1 1 1 a b s t r a c t t h ep r o b l e mt h i sp a p e rn e e d st os o l v ei so r i g i n a t e df r o mt h ew o r ko fp r o f e s s o r c h e nx i u x i o n g h ea i m e dt og e n e r a l i z et h ec l a s s i c a lt m i f o r m i z a t i o nt h e o r yt ot h e s u r f a c ew i t hb o u n d a r y i nt h ep r o c e s so fg e n e r a l i z a t i o n ，t h ep r o p e r t i e so ft h el i m i t o far i e m a n nm a t r i cs e q u e n c eo nas u r f a c ei si m p o r t a n t f o rt h ew e a kl i m i to fa r i e m a n nm e t r i cs e q u e n c e ，t h e r ee x i s t sf i n i t es i n g u l a r i t i e s ( b u b b l ep o i n t ) g e n e r a l l y f o re v e r ys i n g u l a r i t y , w ec a nd e f i n et h ea n g l eo ft h es i n g u l a r i t y w h e nt h el i m i t m e t r i ci sn o ts i n g u l a r ，t h ea n g l em u s tb ez e r o t h e nw ec a l lt h es i n g u l a r i t ya st h e c u s ps i n g u l a r i 钾o ft h em e t r i c i nt h i sp a p e r ，w ew a n tt op r o v et h ef o l l o w i n gr e s u l t ： w h e nt h el i m i tm e t r i ci sn o tz e r o t h e nt h em e t r i ch a so n l yc u s ps i n g u l a r i t i e s t h e r e s u l ti si m p o r t a n tf o rt h eg e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s s i c a lu n i f o r m i z a t i o nt ot h es i l l - f a c ew i t ht h eb o u n d a r y k e yw o r d s ：b u b b l ep o i n t ，c u s ps i n g u l a r i t y ，w e a ka n g l e ，b u b b l et r e e 致谢 科大七年的学习生活在这篇文章中告一段落，它是我在科大学习的缩影 科大良好的学习生活环境让我受益匪浅三年以来，陈卿教授以其良好的几何 直观和严谨的治学引导我走进了美妙的几何殿堂，并且悉心指导我怎样学好几 何陈秀雄教授去年的暑期讨论班让我了解了本文的问题在两位教授的帮助 及其指导下，本文得以完成特别是你们的数学洞察力和思考问题的想法，引导 我粗窥微分几何的门径 七年的学习生活有无数美好的回忆感谢数学系所有的老师和同学们和 你们一起，我度过了愉快充实的大学时光特别感谢班主任黄稚新老师在生活 上无微不至的关怀，最后，父母为我的成长付出了无数的心血父母和家人的 爱永远是我生命中最有价值的财富 第一章前言 经典的单值化定理说：在紧致无边的r i e m a n n 曲面上，对任意的r i e m a n n 度量，都会有常曲率度量与之共型等价单值化定理无疑是经典复分析几何中 非常漂亮和重要的定理于是，很多人都想把经典的单值化定理推广到带边曲 面过去，主要想法是研究曲面上带奇点的常曲率度量存在与否的问题( 最早 的工作见于 1 1 和 1 0 ) 此后，又出现了很多这方面的工作；例如， 2 ) 4 】， 3 和 9 1 这种典型的方法的缺陷在于，g a u s s 曲率是度量的二阶微分算子，刻画奇点 的条件等价于在无穷小阶的条件下刻画奇点附近的度量及其度量的导数，而带 奇点的常嗌率曲面方程是过定的椭圆方程这种方程的解的存在或不存在性一 般没有清晰的结论， 对于这个问题，陈秀雄采取的方法源自于c a l a b i 的工作”给定一个r i e - m a n n 曲面n 及其n 上的h e r m i t e 度量g o ，对q 上的度量g ，如果曲面上存在 光滑的函数e 2 p 使得g = e 2 9 9 0 ，我们就称g 和g o 共型等价考虑q 上所有和 g o 共型等价的度量组成的空间9 ( q ) 对任意的9 9 ( q ) ，定义g 的能量函数 e ( 夕) = k 2 d g ， j i l k 是g 的g a u s s 哇| j 率在面积确定的条件下 ， a ( g ) = 匆= c o n s t ， j z 考虑能量函数的变分问题能量函数的驻点称为“极好，的h e r m i t e 度量( 参照 k a h l e r 流形上叛好”的k 茜h l e r 度量) ，它的e u l e r - l a n g r a n g e 方程是 一p = k e 2 ( p ，如果g = e 2 al d z l 2 由c a l a b i 的一个定理，无边r i e m a n n 流形上满足这个e u l e r l a n g r a n g e 方程的 度量一定是常曲率的这个结果和经典的单值化定理是一致的从而，为了将单 值化定理推广到一般的带边流形，陈秀雄研究了9 ( q ) 中能量函数的变分问题 在这个问题的框架下，陈秀雄研究了6 ( a ) 中任意由有限能量和面积度量组成 的子集的弱紧性问题一般情况下，对于一个有有限能量和面积的度量序列 肌，n n ) ，存在一个弱极限度量g ，在n 去掉有限个点的任何紧子集内，g n 弱收敛到g ，极限度量g 的一个重要特征就“b u b b l e ”现象( “b u b b l e ”现象最初 是s a c k s 和u h l e n b e c k1 9 7 9 年在f 1 2 1 中提出的；在那篇文章中，他们研究了两 个球面之间的调和映射存在的问题) 关键的一点在于非紧性总是和孤立奇点 2 0 0 4 年 中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 第一幸前言 ( b u b b l e 点) 上能量密度的集中有关对于每一个b u b b l e 点，在每一个以该点为 圆心的同心圆上对共型参数作平均，称这个极限角度( 如果有定义) 为b u b b l e 点的弱角度如果b u b b l e 点弱角度为0 ，就称该b u b b l e 点为弱的c u s p 奇点关 于b u b b l e 点，有一个很有趣的性质：如果弱极限度量g 0 ( 度量不退化) ，b u b b l e 点一定是弱的c u s p 奇点在【7 】中，在去掉有限个c u s p 奇点的r i e m a n n 曲面上， 陈秀雄对所有的“极好的h e r m i t e 度量进行了分类： 定理1 设g 是q p l ，p 2 ，p 。 ( o f l = 口) 上一个钗好”的h e r m i t e 度量，且有 有限的能量和面积假定g 所有的奇点都是弱的c u s p 奇点，则： 如果x ( a ) 0 ，则k 是负常数 2 如果n 3 以及x ( q ) = 2 p 事面，则耳是负常数 3 ，如果n = 2 以及x ( q ) = 2 p 5 缸面，则不存在极好”的h e r m i t e 度量 4 ，如果n ：l 以及x ( n ) = 2 停面j ，则存在唯一的极好”的h e r m i t e 度量，它 由面积唯一确定，而且一定是旋转对称的 上叙结果是如下定理的关键，这个定理是将经典的单值化定理推广到一个带边 r i e m a n n 曲面： 定理2 ( 5 】) 假设o f t 由有限条光滑的简单闭曲线构成，蜘是n 上任何光滑的 r i e m a n n 度量，则存在一个嗷好”的h e r m i t e 度量g = e 2 9 9 0 ，它的面积等于 卯的面积，而且 幽n = 鬻乩 这里杀是a q 的单位外法向偏导数 这个定理证明的想法是，在9 ( q ) 中，一个r i e m a n n 度量序列( 鲰 使得能量函 数e ( 9 ) 取得极小值，则这个序列必然收敛到一个光滑度量否则，如果该序列 不收敛，极限度量必然存在b u b b l e 点由弱紧性定理以及锻女于，的h e r m i t e 度量( 只有弱的c u s p 奇点) 的分类，陈秀雄构造了一个新的度量序列，它没有 b u b b l e 点但是能量却更低( 5 ) 因此，任意极小化能量函数的度量序列不能含 有b u b b l e 点从而这样的度量序列必然收敛到一个光滑的度量 如果弱极限度量g 0 ，即度量不退化，那么该度量盼任何奇点一定是弱的c u s p 奇点在陈秀雄推广经典的单值化定理的框架中，这个有趣的性质非常重要 它是卧 7 和【8 j 8 中的一个技术性引理，因为证明过程复杂，涉及到很多分析和 几何的技巧，所以没有给出证明本文的目的就是给出这个引理的完整的证明 第二章问题的分析表述 在一个坐标卡( d ，z ) 上，任何度量可表示为 g = e 2 。 ( d x 2 + d y 2 1 它的曲率为： = 一箬 ( 2 0 1 ) ( 2 0 2 ) 一个度量称为有有限的能量和面积，当且仅当下叙的条件成立： e 2 9 d z d yc 1 ， z 警蛐仍 钽删 这里c l ，c 2 是两个固定常数 一个度量序列 鲂 ，其中g n = e 2 “( d x 2 + d y 2 ) ，有有限的能量和面积，当且仅当 存在c 1 ，c 2 ，对任意的q o 。，不等式( 2 0 3 ) 成立从现在起，我们总是用 ) 或 者( 鲰) 表示有有限能量和面积的度量序列 对任意d 的子集q ，定义n 上度量扣 的能量和面积如下： a 。( 奶q ) = e 2 9 d x d y ， ：z 警蜥 犯删 ( 妒，q ) 5 厶专等如匆 0 度量应该有“0 ”面积和0 能量对应一0 度量的参数函数q o 是一0 0 ， 从而，定义a 。( 一o 。，n ) = 琏( 一0 0 ，n ) = 0 为了表述方便，我们把o 。加到函数 空间h 2 , 2 ( q ) 得到的函数空间记为宜翟( n ) 对一个度量序列 妒。) h 2 , 2 ( q ) ， 如果满足下叙两个条件之一( 两个条件是互斥的) ，我们就称 ) 在z 程( q ) 中 弱收敛到妒o ： 1 ( 极限度量退化) ：如果c p oi 一。，则q o 。在n 的任何紧子集内一致收敛到 2 i 极限度量非退化) ：如果妒o h 2 , 2 ( q ) ，则在巧警( q ) 中( ) 弱收敛到妒o 这 里弱收敛就是在函数空间珥2 。, 2 ( q ) 中依测度收敛 定义1 点p 称为度量妒的b u b b l e 点，如果对任意的正数r ，有 i m i n r 正加，掣蛐。， 3 2 0 0 4 年中国科学技术大学硕士学位论文 第4 页 第二章问题的分析表述 l i m i n f e 2 “如国卢 0 ， “1 j d ，( p ) 这里d r 0 ) 表示以p 为圆心，r 为半径的邻域圆盘其中a ，卢是正常数 满足上叙条件的最大的n ，卢就是能量和面积函数在p 点的集中为了使得叙述 清晰，我们重叙 6 】6 中的三个定理， 定理3 设 ，n 是日2 ，2 ( d ) 中有有限能量伤和面积c 1 的度量序列则 存在 的子列f 铷，j ，以及这个字列的有限个b u b b l e 点 p l ，p 2 ，p 。) ( o m 铲) ，和极限度量伽崴：( d 诤l ，p 2 ，p 。) ) ，使得在巍：( d 妇1 ，i 2 ，p 。) ) 申? 妒j 妒o 定理4 设 等价的，即有 ， f 劬r 1 i 鼽= e 9 n ( “9 “。9 ) r l d o e ，v n j o 由引理2 ，如果e n ，可以选择靠使得 ， j a d r l 鼽= e 蛳p 。o s 9 ，7 8 m 。) rr d o 如 j 0 以及 i o d 6 。i ，。= ，f 。o i r e ￥, n ( 6 nc o s # , s ns i n 8 ) 6 n d o = e 对度量序列重新参数化，得到： 州z ) = 妒( 如- z ) + l o g 如，v 0 的选取因为如一g oi ne 警( d 扫) ) ，我们称曲面( g o ，口扫 ) 及 曲面( j o ，s 2 。，q l ，q 2 ，) 在p 和z = o 。上“单薄地”连接 引理3 如果极限度量9 0 ，奇点的弱角度q 存在，有限，而且o 0 渤 御 研 钟 砷 砷 鲇 母 0 o n m & 0 0 p 慨 似 江 2 0 0 4 年中国科学技术大学硕士学位论文 第8 页 第三章n e c k 和几个引理 证明在极坐标参数( r ，0 ) 下，我们有 a 2 鲰z 。，幽。21 z ”，l i + r a 。j f 。( 屏妒( r c o s o , r s i n 0 ) = l i m 舛( r ) + 1 由引理1 ，弱角度存在而且有限假设口 0 ，从而有西( r ) 假设r r 0 ，有 西( r ) + _ 三 0 ， r + 1 ) d 0 ( 3 0 1 0 ) r + 1 0 ，r 充分小 ( 3 0 1 1 ) 则对0 r 1 t 2 z j 2 ( 9 ，( r ) + ；) = ( 妒( r z ) + l o g r 2 ) 一( 9 ( r - ) + l o g r l ) 一+ + o 。 矛盾， 定义4 假定 妒。) 是d 上有有限能量和面积的度量序列设p = 0 是d 上唯 一的b u b b l e 点，在 b l o w i n gu p ”过程中，我们可以在n e c k ( r 1 ，r 2 ) 定义p 的外角 0 ： f 肛，熙k 曲) ”n 如果极限存在，外角是定义合理的这里女如是测地曲率 引理4 沿用定理4 的符号，如果极限度量or 重新参数化后的，不退化p o 一o o ) ，外角p 存在且有限进一步有p 0 证明由卢定义，我们有 ， 胪，熙溉k 洲如一，撬k 如果面的极限不是0 ( 如一o o ) ， 广 多= 一l 骢厶“k g o d j o 由引理1 ，卢定义合理而且有限同引理3 的证明完全一样，有卢0 注记2 外角卢可以认为是 。o ) 在“b l o w i n gu p ”过程中的弱角度降实上，因为 曲面定向的关系，一卢是f o o ) 的弱角度j 当极限度量退化，弱角度还是可以定义，只是无法判断它的正负 2 0 0 4 年中国科学技术大学硕士学位论文 第9 页 量三兰翌! 竺兰兰尘! ! 兰 引理5d 上有有限能量和面积的度量序列 如= e ”( d x 2 + d y 2 ) ) ，p = 0 是唯 一的b u b b l e 点，如果极限度量在b u b b l e 点退化，则p = 0 处的弱角度存在 证明我们只要证明下叙极限存在 ( 3 0 1 3 ) 对任何0 r l r 2 ， 忻屏打e 渊一 = r r 2 g , 2 1 r ( 屏r 2 ( c 耳o s o , r 2 s i n o ) - r 2 + 1 ) d o - f o o , r l s i n o ) r l + 1 ) d o r ) d o d r 。； 2 。r 0 2 = 咖d o d r 掀”辔撕f 0 新沙删打 = ( r l ，r 2 ) a n ( r l ，r 2 ) - - 9 0 如- - + 0 0 ) ( 3 0 1 4 ) 从而，极限存在弱角度a 定义合理 积 鼽 + 如 叩 力辞 珥打 上z 热熙 蜀卅 = | 1 a 第四章定理的证明 4 1 极大极小值不等式 为简单起见，我们考虑单位圆盘上的度量序列 g n 在点程( d 伽) ) 上弱收 敛到g o ，且g o 仅在p 上有唯一的b u b b l e 点在n e c k ( r l ，”2 ) 上，度量序列在同 心圆周上有下叙的平均性质， 引理6 ( 极大极小值不等式) 对于有有限能量和面积的度量序列 g n = e 2 ”( d x 2 十 匆2 ) ) 弱收敛到硫；( d o ) 上的度量g = e 2 9 ( d x 2 + d y 2 ) ，2 - 6 在p = 0 上有唯 一b u b b l e 点在颈n e c k ( r l ，r 2 ) 上吕用第三节“b l o w i n g 叩”过程的符号，存在 常数e ( 0 ，1 ) 如和r 无关j 使得 ，| m a x 口( 妒n ( r c 0 8 口，r s i n 0 ) + l o g r ) i 1 。冬1 面顽石瓦磊巧丽两干i 丽1 鼍l 证明在p 点附近对度量序列重新参数化 如( z ) = 妒( 如z ) + l o g 靠 ( 4 1 1 ) 靠( z ) = e 2 n ( 。) l d z l 2 = 鲰( 如z ) ( 4 1 2 ) 对于度量妒，曲，由引理1 有 ( 妒( r ) + l o g r ) + 国妒( r c o s 0 ，r s i n 0 ) + l o g r a ( 乒( r ) + l o g r ) + c 4 ( 4 1 3 ) 、 及 ( 西( r ) + l o g r ) + 魄p c o s 口，rs i n 0 ) + l o g r 曼p ( ( r ) + l o g r ) + 舔，( 4 1 4 ) 口 其中常数a ，p ( 0 ，1 ) 对于r 1 充分小，n ，r 2 充分大，我们有 ；( ( r 1 ) + l o g r l ) - - c 3 妒。( 刚m s i n o ) + l o g r l a ( ( r 1 ) + l o g r l ) + 吼 ( 4 1 5 ) 及 三( 磊( r 2 ) + 1 。g r 2 ) + c 5 ( r 2c 0 8 0 ，r 2s i n 口) + l o g r 2 p ( 函。( r 2 ) + l o g r 2 ) + c 6 ， p ( 4 1 6 ) 1 0 2 0 0 4 年中国科学技术大学硬学位论文第1 l 页 g 四章定理的证明4i 极大极小值不等式 其中常数q ，既，魄都和r 无关不等式( 4 1 | 6 ) 意味着 吉( 9 n ( r e 。如) + l o g ( r e 如) + 魄妒n ( r e s nc o s ，r 2 d n s i n 0 ) + l o g ( r 2 。如) p ( ( r 2 如) + l o g ( r e 如) ) + ( 4 1 7 ) 由( 4 1 5 ) 和( 4 1 7 ) ，我们得到( 对于r i 充分小，mr e 充分大) ： 1 2 i 燮m i n o 等篇c o s 0 糍r ls i n 崭器l o g r l1 鸭m ， l。( r 1 ，) +) l 、1 、7 及 芝1max而o(pn而(r2百6ncoso丽,re五5nsino矸)+log(ire-丽6n)2 m i n o ( 妒 c o s 0r 2s i n 0 l o g ( r e| 1 ( 4 _ 1 9 ) i。( r 2 “， 如 ) +如) ) i 、 、 这两个不等式表明极大极小值不等式在颈的两个边界圆周上成立 以下，我们将用h a d m a r d 三圆定n i i e n 在整个颈上极大极小值不等式也成立 作参数变换“= l o g rl o gv - t - y 2 一，0 = t a n 一1 墨则d o ) 变成无穷圆环 ( “，o ) 1 0 0 ，取r - 充分小，r 2 ，n 充分大，我们有 名阿。出。一。| e ，l 丘一。矗d s n p i 0 ，则存在圆周h = r 3 一使得 幽。= 芸 ( 4 2 2 ) 我们可以取r 3 ，。是满足( 4 2 2 ) 的最大半径定义 9 ( r ) 2 寺上o ( r c o s 9 , r s i n 9 ) 硼 一 及 芦。( r ) = j z 2 “妒。( r 。s g , r s i n o ) d p 我们有 ，等。z 虬砌拶 j j 7 3 n l ：i 7 l 沙q t 啪棚 e 2 9 “r ( 屏9 n r + 1 3 d r( 4 2 3 ) e 2 ( 9 什1 0 ( 屏乒。+ ) d r + 1 0 9 r ) f “厂冬渺 1 2 丌 丌仃一2 2 0 0 4 年中国科学技术大学硕士学位论文 第口幸定理的证明 第1 4 页 42 定理的证明 由极大极小值不等式( 引理6 ) ，很容易得到 e 2 ( 酣l 0 9 1 n ( 去z 2 丌少栅m 删疤 ( 4 2 4 ) 这里c ( 0 ，1 ) 是引理6 中的常数，因为在“b l o w i n gu p 过程中有 e(+109刊r-dor27r 0 ，当r l 叶0 ，r 2 _ + 。，n - o 。时，则 r 厶础附。e 2 。r d r d o - r 。 c a 卫。， 运用极大极小值不等式，我们有 厶，。；i ：l ；，e 2 p n 。r d r d s - + 。 c a z ， 另一方面，对于边界为i z i = r l 和i z i = r 3 ，。的圆环，由g a u s s b o n n e t 定理， l l = nk g 。d s n - 丘旧。，。+ 厶辄蛎= 。 c a 2 s ， 侣是 ( 妣) 2 霹蛾 妣 ( 4 2 9 ) j 7 3 n i z l 1i r 3 ，n 咤 0 ，考虑q 1 的弱角和外角对 0 1 ，伪) 以及关于q 1 的重新参数化过程， 如果角0 ，由情形2 中( 1 ) 的讨论，a l = 0 ，矛盾从而卢1 0 ，我们就可以继 续像卢 0 一样讨论，在g l 的重新参数化过程中，我们会得到b u b b l e 点q 1 1 以 及它的弱角和外角对 a 1 1 ，角l ，而且a 1 1 0 同理，5 1 1 0 蕴涵0 1 l = 0 从而 卢1 1 0 这样，我们可以继续得到这样的弱角和外角对因为外角卢 0 意味 着重新参数化后的度量为0 ，即极限度量是b u b b l e 树分解中的g h o s t 顶点从 而，如果a 0 ，我们在b u b b l e 树分解中将得到一个g h o s t 顶点的无穷序列这 和b u b b l e 树分解中，g h o s t 顶点的个数必然有限矛盾从而，在这种情形下，我 们也证明了a = 0 显然，如果b u b b l e 树分解中有g h o s t 顶点，则由上叙讨论知 必有无穷多g h o s t 顶点，这和g h o s t 顶点数有限矛盾 综上，我们完成了定理的证明 参考文献 1 ec a l a b i ，“e x t r e m a lk s k f l e rm e t r i c s ”i ns e m i n a ro nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y v 0 1 1 6 a n i lo fm a t hs t u d1 0 2 ，p r i n c e t o nu n i vp r e s s ，p r i n c e t o n ，1 9 8 2 ，2 5 9 2 9 0 f 2 ec a l a b i ，c o n s t a n tc u t l v a t u r em e t r i cw i t ht h r e ec o n i c a ls i n g u l a r i t i e si ns 2 ，1 9 9 3 ，p r i r a t ec o m m u n i c a t i o n f 3 a ，c h a n ga n dpc y a a g c o n f o r m a ld e o r m a t i o n so m e t r i c so ns 2 ，jd i f f e r e n t i a l g e o m 2 7 ( 1 9 8 8 ) ，2 5 6 2 9 6 f 4 1w c h e na n dgl i ，c l a s s i f i c a t i o no fs o l u t i o n so fs o m en o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ， d u k em a t h j6 3 ( 1 9 9 1 ) ，6 1 5 6 2 2 5 1x xc h e n ，e z t r e m a lh e r m i t i a nm e t r i c so nr i e m a n n i a ns u r l a c e s ，i n t e r n a tm a t hr e s n o t i c e s1 9 9 8 ，7 8 1 7 9 7 6 j xx c h e n ，肌o l