（应用数学专业论文）积分方程的legendre多小波解法.pdf

宁夏人学硕士学位论文中文摘要 摘要 工程中的许多问题都可以转化为积分方程的求解但是积分方程的求解一直是个难题，在许多 情况下寻求其解析解几乎是不可能的，所以必须研究其数值解近些年来，随着小波理论的发展及 其在数学和工程领域的广泛应用，利用小波求解积分方程成为人们研究的热点问题许多学者利用 小波函数作为基底并结合g a l e r k i n 方法或配置方法将积分方程离散为一般的代数方程组来求解， 由于离散后的方程组系数矩阵是稀疏的，与传统的算法比较该方法不但计算量小，而且具有较高的 精度 本文主要研究利用小波方法求解非线性积分方程、f r e d h o l m 积分方程、v o l t e r r a 积分方 程、f r e d h o l m 积分一微分方程和h a m m e r s t e i n 积分方程我们针对不同的方程给出数值算例，给出 的数值算例其计算结果表明所提出的小波g a l e r k i n 方法非常有效而且具有更高的精度 全文共分为三章，内容安排如下： 第一一章绪论介绍了小波理论在求解积分方程方面广泛的应用、本文的研究工作以及预备知 识 第二章详细介绍了l e g e n d r e 小波的构造及其算子矩阵的计算方法主要考虑利用l e g e n d r e 小 波求解一般形式的非线性f r e a h o l m 积分方程和v o l t e r r a 积分方程，并给出当参数m 取不同值时 所得到的数值解从而我们可以看到随着参数m 取值的增大，方程数值解的精确度越来越高 第三章详细介绍了l e g e n d r e 多小波的构造及其算子矩阵的计算方法主要考虑利用l e g e n d r e 多小波求解第二型f r e d h o l m 积分方程、第一型和第二型v o l t e r r a 积分方程、第二型f r e d h o l m 积 分微分方程以及h a m m e r s t e i n 型积分方程通过数值算例，我们将l e g e n d r e 多小波方法与其它小 波方法进行比较。从而可以看到我们提出的l e g e n d r e 多小波方法是稳定的而且具有更高的精度， 尤其当积分方程解是线性的时，这种方法更有效更精确 关键词：积分方程，小波，g a l e r k i n 方法，配置方法，算子矩阵 宁夏大学硕上学位沦文英文摘要 m a n yp r o b l e m si nt h ef i l e d i sv e r yd i f f i c u l t i nm a n yc a s e s s t u d yt h en u m e r i c a ls o l u t i o n so f a b s t r a c t o n s ，b u ti t w es h o u l d fw a v e l e t s t h e o r ya n di t sw i d ea p p l i c a t i o n si nt h ef i e l do fm a t h e m a t i c sa n de n g i n e e r i n g ，s o l v i n gi n t e g r a le q u a t i o n s b yu s i n gw a v e l e t sm e t h o dh a sb e e nv e r yp o p u l a r t h ew a v e l e t sf u n c t i o n sa r cu t i l i z e da sab a s i sb yu s i n g g a l e r k i nm e t h o do rc o l l o c a t i o nm e t h o dt or e d u c et h ei n t e g r a le q u a t i o n st oas y s t e mo fa l g e b r a i ce q u a t i o n s b ym a n ys c h o l a r s a f t e rd i s c r e t i n g 。t h ec o e f f i c i e n t sm a t r i xo fe q u a t i o n ss y s t e mi ss p a r s e c o m p a r e d w i t ht h ec o n v e n t i o n a lm e t h o d s ，t h ec o m p u t a t i o n a lc o s to fw a v e l e t sm e t h o di sv e r yl o wa n dt h en u m e r i c a l r e s u l t so ft h i sm e t h o di sm o r ea c c u r a t e t h es o l u t i o n so fn o n l i n e a ri n t e g r a le q u a t i o n s ，f r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n ，v o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n ， f r e d h o l mi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dh a m m e r s t e i ni n t e g r a le q u a t i o nb yu s i n gw a v e l e t sm e t h o da r e m a i n l ys t u d i e di nt h i sp a p e r t h en u m e r i c a le x a m p l e so fd i f f e r e n tk i n d sa r cg i v e n n 圮n u m e r i c a lr e s u l t s o fe x a m p l e ss h o wt h a tt h em e t h o dw h i c hw ep r o p o s e di sm o r ee f f i c i e n ta n di t sa c c u r a c yi sh i g h e r t h i sp a p e rc o n t a i n sf o u rc h a p t e r sa sf o l l o w ： c h a p t e r1i st h ei n t r o d u c t i o n t h ew i d ea p p l i c a t i o n so fw a v e l e t st h e o r yf o rs o l v i n gi n t e g r a le q u a t i o n s ， t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ra n dt h ep r i m a r yk n o w l e d g ea r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2w ei n t r o d u c et h ec o n s t r u c t i o no fl e g e n d r ew a v e l e t sa n dt h ec o m p u t a t i o n a lm e t h o do fi t s o p e r a t i o n a lm a t r i x ，n l en u m e r i c a ls o l u t i o n so ft h eg e n e r a lf o r mo fn o n l i n e a rf r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n a n dv o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o na r ec o n s i d e r e d t h ed i f f e r e n tn u m e r i c a ls o l u t i o n sa r eg i v e nw h e nt h ev a l u e o fmi sc h a n g e d w ec a nf i n dt h a tt h en u m e r i c a ls o l u t i o n so ft h ei n t e g r a le q u a t i o n sa r em o r ea c c u r a t e w i t ht h ev a l u eo fmb e c o m eh i g h i nc h a p t e r3w ei n t r o d u c et h ec o n s t r u c t i o no fl e g e n d r em u l t i w a v e l e t sa n dt h ec o m p u t a t i o n a lm e t h o d o fi t so p e r a t i o n a lm a t r i x t h es e c o n dk i n df r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n t h ef i r s tk i n dv o l t e r r ai n t e g r a le q u a - t i o n ，t h es e c o n d 虹n dv o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n ，t h es e c o n dk i n df r e d h o l mi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n dh a m m e r s t e i ni n t e g r a le q u a t i o na r es o l v e db yu s i n gt h el e g e n d r em u l t i w a v e l e t sm e t h o d t h r o u g h t h en u m e r i c a le x a m p l e s ，w ec o m p a r e dt h el e g e n d r em u l t i w a v e l e t sm e t h o dw i t ho t h e rw a v e l e t sm e t h o d s w ec a nf i n d t h a tt h ep r o p o s e dl e g e n d r em u l t i w a v e l e t sm e t h o di ss t a b l ea n dh a v eh i g h e ra c c u r a t ed e g r e e e s p e c i a l l yw h e nt h es o l u t i o no ft h ei n t e g r a le q u a t i o ni sl i n e a r , o u rm e t h o di sm o r ee f f i c i e n ta n dm o r e a c c u r a t e k e yw o r d s ：i n t e g r a le q u a t i o n s ，w a v e l e t s ，g a l e r k i nm e t h o d ，c o l l o c a t i o nm e t h o d ，o p e r a t i o n a lm a t r i x 一i l 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了谢意 研究生签名： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，u p ：学校有权保留送交 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位 论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名： 导师签名： 时间：沸月p 日 时 间：加罗年多月占e l 。 一一面一 盘幽 越牡 一 一 宁夏人学硕上学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 小波在数值计算方面的应用 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 是在f o u r i e r 分析的基础上发展起来的- i 1 新兴学科，近十几年 来得到了飞速的发展作为一种新的时频分析工具的小波分析，目前已成为国际上极为活跃的研究 领域它在保留了f o u r i e r 分析优点的同时，又弥补了f o u r i e r 分析不能刻画三2 以外的函数空间以 及不能做局部时域分析等不足，因此在理论分析及实际应用上得到了蓬勃发展小波分析对数学和 工程应用的发展都产生了深远的影响它广泛应用于信号处理、图像处理与分析、语音识别与合 成、量子场论、地震勘探、c t 成像、机器视觉、自动控制、天体物理、分形等领域随着小波应 用的广度和深度的进一步拓展，某些方面已取得了传统方法无法达到的效果 在数学领域，小波理论有着十分重要的应用小波分析是数值计算强有力的工具之一，能简捷 有效地求解偏微分方程和积分方程，亦能很好地求解线性问题和非线性问题，极大的丰富了数值分 析方法的内容 1 - 5 】如b e y l i n - c o i f m a n r o k h l i n 的论文为利用小波方法与边界元方法求解偏微分 方程提供了标准利用小波方法分析数学中“处处连续但处处不可导”问题也特别有效文献f 4 】 提出了求解常系数微分方程的s o b o l e v 正交小波有限元方法，在文献【5 】中介绍了b u r g e r s 方程的 小波精细积分算法所以利用小波方法对积分方程、微分方程以及积分一微分方程进行数值计算 成为近年来许多科学工作者的研究课题h a a r 小波、d a u b e c h i e s 小波、l e g e n d r e 小波、l e g e n d r e 多小波、c o i f m a n 小波、c a s 小波等都成为求解积分方程的有利工具，计算结果非常令人满意 f 6 q 5 】小波求解积分方程的主要思想是：利用小波函数作为一组基底将积分方程离散，这样就将原 来的积分方程转化为一般的代数方程组，从而大大降低了求解难度采用正交小波基函数的优点在 于小波级数点态收敛；小波基更局部化，可以更好地处理边界影响：小波可以使用较少的系数来表 示一个函数 h a a r 小波是出现最早、形式最简单的一种小波在利用h a a r 小波求解积分方程方面，许多学 者做了很多研究工作f 6 0 3 】1 9 7 6 年，l y n c h r t f l 4 】通过去掉无理数和引进二元积分将h a a r 变换 有理化，称之为有理h a a r 小波，它保存了h a a r 小波所有的性质，成为新的有效求解工具相应的函 数称为有理h a a r 函数( 记为r h ) 利用有理h a a r 小波k m a l e k n e j a d 和em i r z a e e 1 0 】求解了第二 型f r e d h o l m 积分方程；yo r d o k h a n i 1 1 1 求解了f r e d h o l m v o l t e r r a - h a m m e r s t e i n 型积分方程；我国学 者姜国【1 2 | 。刘志国等【1 3 】分别求解了第一型v o l t e r r a 积分方程和第二型f r e d h o l m 积分方程 h a a r 小波虽然形式简单，但是它并不连续1 9 8 8 年由d a u b e c h i e s 构造的紧支集正交小波即连 续d a u b e c h i e s 小波【1 5 】也被许多学者应用于求解不同类型的积分方程p 6 8 1 我国学者j i n y o u x i a o 等人p t 将d a u b e c h i e s 小波进行周期化，求解了线性、非线性和奇异的第二型f r e d h o l l m 积分方程这种方法的优点在于利用周期化的d a u b e c h i e s 小波对函数离散时我们可以精确得 到方程中未知函数展开式的系数，而不必通过内积计算，不但计算量低而且精度很高此外k m a l e k n e j a d 等 1 6 , 1 8 l 构造了d a u b e c h i e s 区间小波，并用于研究非线性h a m m e r s t e i n 型积分方程和 形如正u 卯( p ) f ( z ) o ( x ) d z ，( 其中0 ，讲，砂是尺度函数，妒是小波函数) 的积分方程的数值解 法 在众多小波函数中，l e g e n d r e 小波以其形式简单且数值求解方程时计算精度较高而得到广泛 宁夏大学硕上学化论文第一章绪论 的应用【1 9 2 9 l e g e n d r e 小波是由l e g e n d r e 多项式通过伸缩变换和平移变换得到的一族连续正 交函数许多学者将它用于求解积分方程如k m a l e k n e j a d 和s s o h r a b i 求解了第一型f r e d h o l m 积分方程【1 9 】，并对第一型积分方程会出现的病态问题作了深入研究，给出了解的收敛性证明：k m a l e k n e j a d 等人还求解了第二型f r e d h o l m 和v o l l t e r r a 积分方程1 2 0 l ；s y o u s e f i 求解了第一型和第 二型a b e l 积分方程【2 l i l e g e n d r e 小波在数值计算方面的广泛应用不仅体现在对积分方程的求解， s y o u s e f i 还将l e g e n d r e 小波用于求解l a n e e m d e n 型微分方程 2 4 1 ；而m t a v a s s o l ik a j a n i 和a h a d tv e n c h e h 则求解了积分一微分方程 2 5 1 ；m r a z z a g h i 和s y o u s e f i 推导了l e g e n d r e 小波算子矩 阵，并利用算子矩阵方法求解了微分方程和变分问题 2 6 - 2 7 1 ，都取得了令人满意的结果 2 0 0 5 年，外国学者ym a h m o u d i 2 2 l 发表的一篇文章给予我很大的启发作者利用l e g e n d r e 小 波g a l e r k i n 方法求解了第二型非线性f r e d h o l m 积分方程和v o l t e r r a 积分方程，即采用l e g e n d r e 小 波函数将非线性积分方程离散为非线性方程组求解，并且给出当参数m 取不同值时方程的数值 解。从中我们可以看到随着参数m 取值的增大，方程数值解的精确度越来越高2 0 0 7 年，海南师 范大学的龚文发【2 8 - 2 9 】在他发表的论文和研究生毕业论文中继续y m a h m o u d i 的课题研究，构造 了空间卵【口 6 1 ( 即限制在区间【n ，b l 内次数不超过k 的分段多项式构成的空间) 上的一类标准正 交l e g e n d r e 小波基，并利用所构造的l e g e n d r e 小波基求解了第二型非线性f r e d h o l m 积分方程和 v o l t e r r a 积分方程，并且对所提出的方法进行收敛性分析得到了解的误差估计在这两篇文章中作 者都指出他们所采用的l e g e n d r e 小波g a l e r k i n 方法还可以推广应用，例如求解更一般形式的非线 性积分方程，或者应用于求解第二型f r e d h o l m 和v o l t e r r a 非线性积分方程组、线性和非线性积分 微分方程( 组) 所以这是我选题的一个霞要来源 2 0 0 7 年，浙江大学的两位学者韩丹夫和尚绪风f l 利用ek h e l l a t 和s y o u s e f if 3 l l 在求解热 传导方程中所采用的l e g e n d r e 多小波求解了第一型f r e d h o l m 积分方程在这篇文章中，作者将 得到的数值计算结果与利用l e g e n d r e 小波求得的数值计算结果进行比较，显示出他们所采用的 l e g e n d r e 多小波方法具有更高的精度这使我受到了很大的启发。既然l e g e n d r e 多小波方法具有 良好的精确度，我就应该尝试利用它求解其它类型的方程这也是我选题的另一个来源从文章所 展示的数值算例我们可以看到，利用l e g e n d r e 多小波求解积分方程具有比其它小波方法更高的精 确度尤其是当方程的解是线性的时，逼近效果会更好 除了上述小波函数以外，c a s 小波f 3 2 一删、c o i f m a n 小波阻一a s l 、c h e b y s h e v 小波 阳一矧、h e r m i t et r i g o n o m e t r i c 小波- 4 2 l 等也被人们应用于各种方程的数值计算中，充分显 示出小波理论应用的广泛性，也显示出小波具有其它数值计算方法所无法比拟的优越性 1 2 本文的主要工作 全文共分为三章，内容安排如下： 第一章绪论介绍了小波理论在求解积分方程方面广泛的应用、本文的研究工作以及预备知 识 第二章详细介绍了l e g e n d r e 小波的构造及其算子矩阵的计算方法主要考虑利用l e g e n d r e 小 波求解般形式的非线性f r e d h o l m 积分方程和v o l t e r r a 积分方程，并给出当参数m 取不同值时 所得到的数值解从而我们叮以看到随着参数m 取值的增大，方程数值解的精确度越米越高 第三章详细介绍了l e g e n d r e 多小波的构造及其算子矩阵的计算方法主要考虑利用l e g e n d r e 一2 一 宁复大学硕士学位论文 第一荦绪沦 多小波求解第二型f r e d h o l m 积分方程、第一型和第二型v o l t e r r a 积分方程、第二型f r e d h o l m 积 分微分方程以及h a m m e r s t e i n 型积分方程通过数值算例，我们将l e g e n d r e 多小波方法与其它小 波方法进行比较，从而可以看到我们提出的l e g e n d r e 多小波方法是稳定的而且具有更高的精度， 尤其当积分方程解是线性的时，这种方法更有效更精确 1 3 第一型算子方程的投影方法 这一节我们介绍解算子方程的投影方法以第一型f r e d h o l m 积分方程为例，考虑方程 z 6 北) d t = m ) ，z 川 ( 1 1 ) 上述方程的算子方程形式为 a y = f ， ( 1 2 ) 其中a ：x _ y 定义为 ( a y ) ( z ) = f b k ( z ，t ) 可( t ) d t ，z 【口，6 1 在投影方法中，a 是一个b a n a c h 空间x 到另一个b a n a c h 空间y 的算子，假设，y 为已知函数， 可是方程的待定函数 考虑算子方程，求解y 使得 a y = l 。 一般情形下，x 和y 是无限维空间为了求方程的数值求解，我们只能在空间x 的一个有限维子 空问求解，使得在一定条件下近似满足方程也就是说，设 ：n ) 是空间x 的一个子空间 序列，我们求解y n 墨；使得误差 在一定意义下近似为零 1 3 1g a l e r k i n 方法 ：= a 跏一， 我们令x = y = l 2 【o ，1 】，( ，) 表示定义在空问x 上的内积我们设是空间x 的有限 维子空间序列，并且d i m ( x n ) = d ，l 。我们假设 k = 聊n 痧l ，如，如。) ， 其中 咖 垒l 是正交小波基，孙凡是方程的近似解则我们可将蜘表示成为 d n ( ) = 哟咖( t ) j = t 一3 一 宁夏大学硕士学位论文第一章绪论 将上式代入方程( 1 1 ) 中，我们得到下面的式子 缸) = z 6 ( z ，t ) ( t ) 出一，( z ) d “ k ( x ，) a j j ( t ) d t 一，( z ) ，o z b ， ( 1 3 ) j = l 其中称为方程( 1 3 ) 的余项，它的算子方程形式为 r n = k 弧一| 为了确定函数鼽的未知系数，要求r n 在如下意义下近似为零： 这样我们就得到了方程组 ( r n ，也) = 0 ，i = 1 ，2 ，厶，n 1 d “ a j ( k c j ，九) = ( ，僦i = 1 川2 一，d n ， 或者可以表示为如下方程组的算子形式 其中 1 3 2 配置方法 a a = 成 a 巧= z 6z b 后( z ，) t ( t ) 咖( z ) d t d z ， 屈= z 6 ，( z ) t ( z ) d z ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 我们仍考虑算子方程( 1 2 ) ，g a l e r k i n 方法要求( r 。，如) = 0 ，i = 1 ，2 ，d n ，n 1 ，与g a l e r k i n 方法不同，配置方法需要选取配置点 x i i = l ，使得方程( 1 3 ) 在配置点处满足 ，6 r 。( 瓤) = k ( x i ，t ) 铷( t ) d t f ( x i ) ，a ，b d n = k ( x i ，t ) a 3 咖j ( t ) d t - f ( x i ) 。n j = l = 0 ，口z b ， i = 1 ，2 ，厶，n 1 ( 1 7 ) 一4 6 上 宁夏犬学硕上学位论文第一章绪论 这样我们就得到了方程组 d f i ，b k ( x t ，t ) 咖j ( x i ) d t = f ( x i ) ，江l ，2 ，d n ， ( 1 8 ) 彳= l j 口 或者可以表示为如下方程组的算子形式 其中矩阵a 的元素 a a = p ， a 玎= z 6 后( 玩，t ) 咖( 如) d t ，i ，j = 1 ，2 ，d n ， ( 1 9 ) 反= ，( 戤) ，i = 1 ，2 ，靠 闵此，无论是采用g a l e r k i n 方法还是配置方法。我们都将原来的积分方程离散化为一般的代数 方程组，从而大大降低了积分方程的求解难度 一5 一 宁夏大学硕士学化论文 第一：章非线性积分方程的l e g e n d r e 小波方法 这一章 即第二型非 分方程的l e g e n d r e 小波方法 利用l e g e n d r e 小波求解更一般形式的非线性积分方程。 如h + 久胁埘瞽张小咄纠， 亿， 和第二型非线性v o l t e r r a 积分方程吝友承目而矽? ， 和第二型非线性积分方程 及劢玺7 而缈专f ， 可( z ) = m ) + 入卜( z ，t ) i 哪圳d t ，卫刚， ( 2 2 ) 。o l i = ij 其中n 为任意正整数，参数入，自由项函数，( z ) l 2 ( 【n ，6 j ) 是已知函数，核函数k ( x ，t ) l 2 ( 【o ，6 1xh6 1 ) 也是已知函数，y ( x ) 是方程的待定函数 2 1 l e g e n d r e 小波及其函数逼近 近年来，小波已经广泛应用于自然科学和工程的各个领域小波是由一个被称作母小波的函数 妒( ) 通过伸缩和平移变换得到的一族函数当伸缩参数。和平移参数b 连续变化时，我们得到如下 的连续函数 妒a t b ( t ) = i 。i 砂( 了t - b ) 6 r ，a o l e g e n d r e 小波“，。( t ) = 妒( 七，亢，m ，t ) ( k = 2 ，3 ，允= 2 n 一1 ，n = 1 ，2 ，3 ，2 知一1 ) 有四个变 量，其中m 是l e g e n d r e 多项式的阶数，t 是时间它们在【0 ，1 ) 区间上定义如f 妒。，m c t ，= + ) 2 2 ，m ( 2 t 一亢) 亢一1碗+ l 可。 彳， ( 2 3 ) 其它 其中l m ( t ) 是权函数u ( ) = 1 时的m 阶l e g e n d r e 正交多项式，而且满足递推公式 l o ( t ) = 1 ， l l ( t ) = t ， l 州( t ) = i 2 m 玎+ 1 t l m ( t ) 一鼎l 。一t ( t ) ，m = l ，2 ，3 ， 从而l e g e n d r e 小波集构成了空间l 2 ( f o ，1 】) 的基 易证饥m ( t ) 构成l 己。【0 ，1 1 的标准正交小波基，即 c 矽n m c t ，m ，t t ，= ( m ，n ) = ( m ，) ， ( m ，礼) ( m ，n ，) 宁夏大学硕士学位论文 第一章非线性积分：b - 稃的l e g e n d r e 小波皇盗 事实上，对于给定的正整数k ，当7 , n 7 时，显然有( j n r h ( t ) ，讥，m ，( t ) ) = 0 当n = n 7 时， 2 1 1 函数逼近 ( 饥m ( t ) ，饥，仇，( t ) ) = 0 1 仉( ) 妒竹，m ，o ) d t ： 厂商2 皇l m ( 2 k t - 2 n + 1 ) 2 喜l ，m ( 2 七t 一2 n i + 1 ) d t ，素告 = 圳删出 = r m 一- 7 壬甜m t 我们利用上面所构造的l e g e n d r e 小波基对方程( 2 1 ) 和( 2 2 ) 中的未知函数、核函数和自由项 函数分别进行离散 自由项函数，( z ) l 2 ( 【0 ，1 1 ) 可以表示为 其中 o。a0 ，( z ) = ，。怯，m ( z ) ， ( 2 4 ) n = l ，n = 0 c n 。m = ( ，p ) ，妒n ，m ( z ) ) ， ( 2 5 ) ( ，) 表示空间l 2 ( 【o ，1 1 ) 中的内积 如果将方程( 2 4 ) 中的无穷序列截断，那么方程( 2 4 ) 可以近似表示为 2 k l f 一1 ，( z ) 竺c 竹，m 妒n ，m ( z ) = c t 皿( z ) ， ，i = 1m = o 其中c 和皿( z ) 是2 七一1 m 1 阶矩阵，其形式为 ( 2 6 ) c=i t , o , c 1 1 ，c 1 ，m 一1 ，c 2 0 ，c 2 ，m l ，c 2 ，o ，c 2 一，m 一1 1 t 全【c l ，c 2 ，c 2 k i m 】r ， ( 2 7 ) 皿( z ) =渺1 0 ，妒1 l ，仇，m 一1 ，如o ，锄，m l ，如 ，o ， 沙2 k - l , m l 】t 全【妒1 ，也，3 2 1 t - 1 m r 核函数k ( x ，t ) 工2 ( i o ，1 】1 0 ，1 】) 可以近似表示为 ( 2 8 ) 七( z ，t ) 竺皿r ( z ) k 皿( ) ， ( 2 9 ) 一7 一 宁夏人学硕j ：学位论文 第一章非线性积分方程的l e g e n d r e 小波方法 其中k 是2 k 一1 mx2 一1 m 阶矩阵，且矩阵k 中的元素 甄，j = ( 饥( z ) ，( k ( z ，t ) ，奶( t ) ) ) 未知函数箩 ) 的i 次幂可以近似表示为 f o i 扩( z )= 8 1 暑( z ) + n 2 y 2 ( z ) + + o 。3 ”( z ) t = l = n l 【y t 皿( z ) 】+ n 2 【y t 皿( z ) 】2 + + 口竹【y t 皿( z ) 】n = o l h t 霍( z ) + 0 2 珂t 卫( z ) + + 磁t 田( z ) = 毗【f 丁皿( z ) 】， ( 2 1 0 ) 其中是一个列向量，其元素为向量y 中元素的i 次齐次非线性组合向量 称为函数矿( z ) 的i 次幂操作向量 2 1 2l e g e n d r e 小波算子矩阵 方程( 2 8 ) 中l e g e n d r e 小波基向量霍0 ) 的变上限积分可以表示为 小) d t = p q ， ( 2 1 1 ) 其中p 是2 k - 1 mx2 k - 1 m 的反对称矩阵，称为向量皿( z ) 的变上限积分的算子矩阵( 参见文献 【2 6 】) ， ， 1 爿。万 一8 一 h h h h lh 0工 ( 2 1 2 ) 一 一 一 一 为 式 日?：o o 和 日：o o 臁 l o ；o 0 l，、和 一一 日 p 阵矩阶m m 中药 伫 阵矩在 、lilll-一、 o o ；o o o ；0 2 o ；0 ，fi-iii_-il-li一 主星叁兰堡圭兰笪堡茎一 第：章l t - 线性积分方程的l e g e n d r e 小波方法 和 r 1 l 。万 两个l e g e n d r e 小波向量函数乘积具有如下性质 皿0 ) 霍t ( t ) c = d 丁霍( t ) ，( 2 1 3 ) 其中c 是个由( 2 。7 ) 给出的向量，0 是2 k - z mx 2 k - z m 阶的l e g e n d r e 小波向量函数乘积算子 矩阵( 见文献【2 6 - 2 7 ) 方程( 2 8 ) 中l e g e n d r e 小波基向量雪( t ) 乘积的积分可以表示为 ，l j = 雪( t ) 雪t ( t ) d t ， ( 2 1 4 ) ，0 其中j 是单位矩阵 2 2 非线性f r e d h o l m 积分方程的l e g e n d r e 小波g a l e r k i n 方法 我们将利用2 1 节构造的定义在l 2 ( i o ，1 1 ) 空间的l e g e n d r e 小波基给出求解第二型非线性 f r e d h o l m 积分方程小波g a l e r k i n 方法数值算例表明利用小波g a l e r k i n 方法求解第二型非线性 f r e d h o l m 积分方程能得到原方程的高度精确的数值解 不失一般性。我们考虑方程( 2 1 ) 中参数a = 1 ，积分区问f 8 ，珂为i o ，l j 的情形，即 ，1rn1 可( z ) = 他) + 正k ( x ，t ) l 吼卿) ld t ，z 【o ，1 1 ， ( 2 1 5 ) 。”li=ij 其中自由项函数，扛) 三2 ( 【0 ，1 】) 是已知函数，核函数七缸，t ) 工2 ( 【0 ，1 】x 【0 ，1 1 ) 也是已知函数， 芗0 ) 是方程的待定函数，绍是个正整数 我们对核函数( z ，t ) ，自由项函数，( 2 ) ，待定函数y ( z ) 和警1n t 矿( ) 进行逼近，得 ，( z ) 2 皿t ( z ) 只3 ，( 卫) 2 皿丁( z ) r 老( z ，t ) 2 圣r ( z ) k 霍 ) ， nl r l 哪( t ) = 。t r ( t ) k ， l=】扛：i 一9 一 ( 2 1 6 ) 宁夏人掌帧t 学位论文 r 弟草q p - 2 戋代秋分力枉明l e g e n d r e ，j 、投力纭 其中p 是一个列向量，其元素为向量y 中元素的i 次齐次非线性组合向量野称为函数y i ) 的i 次幂操作向量 根据方程( 2 1 5 ) 和上述记号，方程( 2 1 5 ) 可以近似表示为 叭妒= 暇z 肌f o iq t 删” 塾啪f 卜 = 州丁k ( 小蝴舳t ) 垫f = 皿t ( z ) f + 皿r ( z ) k 啦f = 皿t ，( f + k 砉。t k ) t 2 。，7 ， l = i， 从而方程f 2 1 5 1 可以离散化为代数方程组 n l ，= f + k 毗k ( 2 1 8 ) i = 1 差三国喜五三。，：一封，) z 夏1 0 ， 仍= 、6 ( 4 z 一1 ) ，) z 石， 惦= 俩【一1 ) 2 一封，j 箍v 7 6 ( 4 x 魏扎卜1 砂6 = 一3 ) ， 百z 妒7 = 、1 0 【i ( 4 z 一3 ) 2 一】，i 珂= 俩 + 墒；+ 俑 2 俩1 抛+ y 2 y 3 2 俩1 驰+ 狮十；饰谵 堋+ 向；+ 佩 2 v 夏y 4 y 5 + y s y 6 2 , a u a u + 亏2 谵+ ；以砩 l o 和 其中 瑶= 2 耖 + 圣笋3 i + 6 y 1 秒；+ 6 y y 3 2 + 亟笋谚秽3 譬! ，+ 6 y 2 1 y 2 + 了6 6 62 3 2 + 丝铲矽1 秒2 啦 挈旌+ 学可1 可；+ 6 y y 3 + 下6 6 2 2 剪3 2 谚+ 奎乒镌+ 6 y 4 y ；+ 6 y 4 y 2 + 亟字可；6 譬可；+ 6 可i 秒5 + 等蜘镌+ 丝：乎驰秒5 蜘 挚鳐+ 笔竽谚蜘+ 6 y i y 6 + 等醒舶 例2 1 求解第二类非线性f r e d h o l m 积分方程 可( z ) = ，( z ) + f o x t 2 ( y ( z ) + y 2 ( ) ) d t ， m ) - 1 n ( 州) + ( 萼l n 2 等一2 3 i n 22 ) z ( 2 1 9 ) 方程的精确解为y ( x ) = l n ( x + 1 ) 表2 1 和图2 1 分别给出了k = 2 ，m = 3 和七= 2 ，m = 4 时的 数值解和图像 表2 1例2 1 的数值计算结果 一】1 一 宁夏人学硕上学化论文第二章非线性积分方程的l e g e n d r e 小波方法 图2 1 例2 1 的数值解 例2 2 我们考虑下列第二类非线性f r e d h o l m 积分方程 如，= f c x ) + f 0 1 毗防，卜 ( 2 2 0 ) 其中 m ) e x _ ( 三e 2 + 言e a + 磊4 9 k 方程的精确解为妙( z ) = e z 表2 2 和图2 2 分别给h j 了七= 2 ，m = 3 和k = 2 ，m = 4 时的数值 解和图像 表2 2 例2 2 的数值解 一1 2 一 宁夏人学硕上学位论文 第。：章非线忭积分方程的l e g e n d r e 小波方法 图2 2 例2 2 的数值解 上述计算结果表明，随着l e g e n d r e 小波参数m 的增大，方程数值解也越来越精确，表明我们 所提出的方法的有效性 2 3 非线性v o l t e r r a 积分方程的l e g e n d r e 小波g a l e r k i n 方法 不失一般性，我们考虑方程( 2 2 ) 参数a = 1 ，积分区问f a ，6 】为【o ，1 】的情形，即求解力程 咖h + f o 。k c z , t ) 争以小啪讣 亿2 - ， 我们仍对核函数七( z ，t ) ，自由项函数， ) ，待定函数耖( z ) 和：la i y ( t ) 进行逼近，得 ，( z ) 竺雪t ( z ) e3 ，( z ) 2 皿t ( z ) k k ( x ，t ) 2m 丁( z ) k 皿( t ) ， n n e 口t 矿( t ) = 。t 旷( t ) f ， t = 1i = 1 其中k 是一个列向量，其元素为向量y 中元素的i 次齐次非线性组合 一1 3 一 z 霉七c z ，t ，( 耋n t s ，c t ，) d t ，z n 竺上旷( 班唰i孵m = 1 a i 9 2 t ( = 州k ( 小籼舳t ) 塾 = 里t ( 。) k z z 。t 尘 ) m t ) 耳d t + z 。n 2 皿( ) 皿? ( t ) wd t + + 上。口n 雪( ) 皿? ) 瑶d t = 皿t ( z ) k z 2n t 曰r 皿( t ) d t + z 2 。2 露r 皿( dd t + + z 0 za n 露t 皿( t ) d 刁 = m t ( z ) k n i 露tf ( t ) d t 二一1 ，0 = 叭班宝。；露t 州n ( 2 2 2 ) 从而得知方程( 2 2 1 ) 可以离散化为代数方程组 皿? ( z )