（基础数学专业论文）多复变中全纯函数空间上的几个问题.pdf

摘要 本论文研究了多复变全纯函数空间上的几个问题。全文由四章 组成。 第一章，主要对全纯函数空间上一些问题的历史背景与主要结 果进行综述 第二章，证明了g l e a s o n 问题在c n 中以单位球为支撑集的函数 空间f ，q ，s ) 上是可解的 第三章，探讨了c n 中单位球上函数空间f ( p ，q ，s ) 和其他一些函 数空间的相互关系，并证明了0 s 扎时f ( p ，q ，s ) 是空间p 毫半的 真子空间 第四章，讨论了单位圆盘上z y g m u n d 型空间汐与b l o c h 型空间 卢q 之间以及z y g m u n d 型空间汐与b e t 型空间卵之间的点乘子，并 给出了相应的充要条件 关键词：f ( p ，q ，s ) 空间；b l o c h 型空间；单位球；包含关系，g l e a s o n 问题；z y g m u n d 型空间；b e r 型空间；点乘子；单位圆盘 a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw em a i m yc o n s i d e rs o m ep r o b l e m so nh o l o m o r p h i cf u n c t i o n s p a c e so nc n t h et h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fo u rs t u d y i n gp r o b l e m sa n d s t a t eo u rm a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w ep r o v et h a tt h eg l e a s o n sp r o b l e m ( b ，a ，f 0 ，q ，5 ) ) i s s o l v a b l ef o ra n yf i x e dn b i nc h a p t e r3 ，w eg e ts o m ei n c l u s i o nr e l a t i o n sb e t w e e nf ( p ，q ，8 ) s p a c ea n d s o m eo t h e rf u n c t i o ns p a c eo nt h eu n i tb a l lo fc n m e a n w h i l e w ep r o v et h a t 口十n 十l f p ，q ，8 ) cp f w h e n0 ssn i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h ep o i n t w i s em u l t i p l i e r sb e t w e e nz y m u n dt y p e s p a c e sa n db l o c ht y p es p a c e s ( r e s p z y m u n dt y p es p a c e sa n db e rt y p es p a c e s ) o nt h eu n i td i s k k e yw o r d s ：f ( v ，q ，s ) s p a c e ；b l o c ht y p es p a c e s ；u n i tb a l l ；i n c l u s i o nr e l a t i o n ； g l e a s o n sp r o b l e m ；z y g m u n dt y p es p a c e ；b e rt y p es p a c e ；p o i n t w i s em u l t i p l i e r s ； u n i td i s k i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：翔亚班 勿年多月夕日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密囹 ( 请在以上相应方框内打” ”) 作者签名： 导师签名： 幽互弧 弓军 矽绰6 月二日 h 年b 月乙日 多复变中全纯函数空间上的几个问题 1 绪论 对于v ( v ，q ，s ) 空间的研究起源于上世纪九十年代，到目前为止已 有许多数学工作者对其进行过探讨( 如文献【l 】，【2 】，【6 】，【1 1 】 【1 2 】，【1 3 】7 【14 ， 3 6 】 等) ，与其相关函数空间的研究更是举不胜举( 如文献 1 】- f 3 8 】等等) 。 设x 是域q c n 上的一个全纯函数类，所谓x 上的g l e a s o n 问 题( q ，b ，x ) 是指：对任意b = ( b 1 ，k ) q 和任意满足f ( b ) = 0 的 ，x ，是否一定存在函数9 1 ，9 n x 使得，( z ) = 乏：( 强一b k ) g k ( z ) i = l ( z q ) ? g l e a s o n 问题的主要难点取决于函数空间x 以及x 的支撑域q 和 点b q g l e a s o n 问题首先是在球代数中提出的，即情形q = b 、b = 0 和x = a ( b ) ，后来逐步扩展到许多具有不同支撑域的典型函数空间 上，从横向和纵向给出了不少好的结果，如r u d i nw 在文献【5 】中 讨论了( b ，0 ，c 。( b ) ) 、z h uk h 在文献【2 5 】中研究了( b ，0 ，a v ( b ) ) 和 ( b ，0 ，卢) 、o r t e g aj m 在文献 2 6 】中就b e r g m a n - s o b o l e v 空间上探讨了 g l e a s o n 问题等。最近，任广斌和史济怀在文献f 2 7 】中就单位球上的混 合模空间( p 1 ，g 1 情形) 给出了g l e a s o n 问题的可解性，接着刘永 民在文献 2 8 】中进一步完善了【2 7 】的结果，更可喜的是胡璋剑在文献 ( 2 9 】中证明了以凸域q 为支撑集的混合模空间上就所有0 p ，gso 。 情形g l e a s o n 问题都是可解的此外，k e r z m a nn 和n a g a la 在文献 【3 0 】以及a h e mp 和s c h n e i d e rr 在文献【3 1 】中分别就以伪凸域为支 撑域的l i p s c h i t z 空间和c 七空间探讨了g l e a s o n 问题，任广斌和史济 怀则在文献【3 2 】中就卵形域q q 为支撑集的加权b e r g m a n 空间上考虑 了问题( q 口，0 ，匙)( 1 一1 ) 、b m o a 空间、b l o e h 空间、日2 空间、d i r i c h l e t 型空间、b e s o v 空间、l i p s c h i t z 空间、b l o e h 型 空间以及q 空间等都可以在f ( p ，q ，s ) 空间中选取特殊的参数得到， 如果在f ( p ，q ，s ) 空间上给出了g l e a s o n 问题的可解性，就相当于在一 系列空间上解决了g l e a s o n 问题的可解性问题那么g l e a s o n 问题在 单位球为支撑集的f ( p ，q ，s ) 空间上的可解性究竟如何呢? 本文第一部 l 硕士学位论文 分主要解决这个问题主要结果如下： 定理2 3 1设0 p o 。、0 8 。o 、m a x - n 一1 ，一s 1 ) q + n + 1 且s 扎时，f ( p ，q ，s ) = a i _ 卫詈丝； ( 4 ) f ( 2 ，1 一n ，n ) = b m o a ； ( 5 ) f p ，p ，0 ) = 佛； ( 6 ) 当p n 时，f p ，p n 一1 ，0 ) = 岛； ( 7 ) 当q 一1 时，v ( 2 ，q ，0 ) = d t 一口； ( 8 ) v ( 2 ，1 ，0 ) = h 2 定理3 3 2设0 p o o 、m a x 一n 一1 ，一8 1 ) q o 。，则当 0sssn 时f 0 ，g ，s ) 必是p 掣的真子空间。 函数空间乘子理论的研究已有很长的历史，乘子理论对于更有 效的解决g l e a s o n 问题和加权复合算子问题、拓展函数空间和研究函 数空间的许多基本性质等都有相当的作用，因此历史上研究乘子理 论的数学工作者大有人在，就其点乘子而言不少结果已被给出( 例 如【l 】 8 】一 9 】，【17 】，【2 2 】- 【2 4 】，【3 4 卜 3 7 】，等) 最近，对b l o c h 空间，z y g m u n d 型空 2 多复变中全纯函数空间上的几个问题 间，b e r 空间的乘子分别在【9 】， 3 5 和 3 8 】等文献中被讨论本文第三部 分讨论单位圆上z y g m u n d 型空间汐与b l o c h 型空间卢q 之间以及汐 与b e r 型空间之间的点乘子。其结果如下： 定理4 3 1 设0 p 。o ，0 q o o ，则妒是汐到伊点乘子当且 仅当 ( 1 ) 当0 p g + 1 时，妒三0 ( 3 ) 当p = 2 且口= 1 时，妒h 且 s u p ( 1 - m log南批)i 1 时， s 锄u p ( 1 一i z | 2 ) 口l o g 亡评批) l 2 且p 2 且p = q + 1 时，妒h 定理4 3 2 设0 p o o ，0 q o o ，则妒是伊到伊点乘子当且 仅当 ( 1 ) 当0 p p + 1 时，妒z q - p + 1 ( 6 ) 当p 1 且q = p + 1 时，妒h 定理4 3 3 设0 p o o ，0 q 。o ，则妒是z p 到卵点乘子当 且仅当 3 硕士学位论文 ( 1 ) 当0 p 2 时，砂卵 ( 2 ) 当p = 2 时， s z u e d p ( 1 一m g l o g 南) i o o 工一i z l _ ( 3 ) 当2 p q + 2 时， s u p ( 1 一i z l 2 ) q + 2 一pi 妒( z ) i q + 2 时，砂兰0 定理4 3 4 设0 p o o ，0 q p + 2 时，妒晖p _ 2 ( 2 ) 当q p + 2 时，妒兰0 ( 3 ) 当q = p + 2 时，妒h 4 多复变中全纯函数空间上的几个问题 2 g l e a s o n 问题在多复变f ( p ，q ，s ) 空间上的可解性 2 1 基本定义 设b 表示c n 中的单位球；h ( b ) 和h 。( b ) 分别表示b 上全纯函 数全体和有界全纯函数全体；咖为b 上正规化的l e b e s g u e 测度、如为 b 的边界& 上正规化的旋转不变测度，分别满足钉( b ) = 1 和盯( & ) = 1 定义1 设0 q o 。，如果厂h ( b ) 且l i l 口= s u p ( 1 一2 ) ni v ，( z ) l o o ， z e b ，、，、 一一 就称，属于b 1 0 c h 型空间伊，这里复梯度v ，( z ) ：( 是盟，o 。f ( z ) ， 给予范数l i i t 胪= i ，( o ) i + i i i t a 后伊是一个b a n a c h 空间，当口= 1 时 就是b l o c h 空间p 定义2 设一1 口 o o 、0 p o 。，定义加权b e r g m a n 空间如 盯| i a = ( 肚胪蜊) 5 ) ， 这里d v n ( z ) = c 口( 1 一2 尸d r ( z ) ，常数气满足d v a ( z ) = 1 当口= 0 jb 时啦就是b e r g m a n 空间舻 定义3 设a b ，妒。是b 上的一个自同构，满足( o ) = a ， 妒。( 口) = 0 ，妒口= 妒：1 对0 p o 。，0 s 。， 一1 q + s o 。， 一1 q + n o o ，若，h ( b ) 且 圹似0 ) l 儿s u p zi v m 妒( 1 邛1 2 ) 口( 1 咄如) 1 2 ) 5 州2 ) ) ； 伽z = h0 = z 中文本 硕士学位论文 文中将用记号c 来表示与变量z , w ，o 无关的正数，c 可以与某些 范数或有界量有关，不同的地方可以代表不同的数；“e f ”表示 比较，即存在正的常数a 。和a 2 使得a - 曰f a 2 e ，径向导数 删= 骞勺鼢 2 2 一些引理 引理2 2 1 设0 p 。o 、0 8 o 。、m a x - n 一1 ，一8 1 ) 0 ，在文献【2 】中已经证明，我们仅需要证明 情形8 = 0 给定0 ，_ o 1 ，对任意n b ，当z d ( a ，r o ) = 2 ：l 妒口( z ) i t o 时，由文献【2 2 】中( 2 2 ) ( 2 3 ) 式有 而1 - r o ( 1 - 1 邛阻戡( 1 - l n l 2 ) ， ( 2 2 1 ) 而1 - r o ( 1 - l 口1 2 ) 1 1 一 n ，则对任意，p 鼍1 血和口b ，由文【5 】中命题 1 4 1 0 得 l v ，( z ) l p ( 1 一l z l 2 ) 口( 1 一i p 。( z ) 1 2 ) 8d v ( z ) jb ：厂匝继罢掣荽学d r ( 2 ) 2 厶1 = 乙i 邓f 纠 i i 川三掣z 爿錾掣酢，i i 三掣 多复变中全纯函数空间上的几个问题 这表明，f q ，s ) 且i l f l l p 加肿) c i l f l l 口墨铲 弓i 理2 2 2 1 1 7 1设w b 、口1 3 、一1 6 o o 、0 r 。、0 t o o 、n + 1 r + t 一石 。o 记 = z 旺捌斜酢! j ( 1 ) 当r 一6 钆+ 1 时， l ，口可可羽两；哥f 丽 + ( 1 一i a l 2 ) 一6 一n 一11 1 一 i ( 2 2 3 ) ( 2 2 。4 ) ( 3 ) 当r 一6 扎+ 1 一j 扎+ 埘，l ，口f 石j 异而莉； ( 4 ) 当一6 n + 1 r j 时，l ，a 百= 同可j 二考可= 砑 2 3 主要结果和证明 定理2 3 1设0 p 。o 、0 s ( 9 0 、i t i b , x 一t , 一1 ，一s 1 ) o ) 根据 文献【5 】中命题1 4 1 0 可知，当口 p a = p 盯白一1 ) 时， 日( z ，伽) h p ( w ) d v 口( ) jb = z 芒器妣( 邮两耘= c 8 多复变中全纯函数空间上的几个问题 由h s l d e r 不等式司得 i v a 知，( z ) p ( z 日( z ，) 胪( 枷) d ( 伽) ) 多( 上日( 名，加) 呻( 叫) l v ，( 硼) i pd 钌q ) ) s c 脚) ( 上酢川护( ) 阿( 训a ( 加) ) ( 2 3 4 ) 当0 s q + 竹+ 1 时，选取0 矿 m i n 生坠生三竺，生业】， 则0 8 q + s p a 就有 i x t a k f ( z ) p ( 1 一i z l 2 ) 9 ( 1 一i 够a ( 名) 1 2 ) 8d v ( z ) jb c z 胪( z ) ( f bh ( z ，叫) 矿p ) i v ，( 加) p 如a ) ) ( 1 - 2 ) 9 ( 1 一l 妒口( 圳2 广幽( z ) =c乞一p(叫)iv，(叫)ip(厶ri二-=三j丢=i：霎芸兰三；1车器d口(z)d(加) c fh - ( 伽) l v ，( 叫) p 币f = 下可巧i 三望妄i 宴茬兰研d ( 加) c d v f ( w ) l p ( 1 一坩) 9 ( 1 一眦叫) 1 2 ) 8d v ( w ) ci i f l l 暑) 当5 g + 礼+ 1 时，可选取o m a x q + s p a , q + 礼一妒 ，那么由 ( 2 3 3 ) 一( 2 3 4 ) 式、f u b i n i 定理、引理2 2 2 中的( 2 2 4 ) 式以及( 2 3 1 ) 式 1 h 0 就有 i v a k f ( z ) l p ( 1 一1 名1 2 ) 。( 1 一i 妒n ( z ) 1 2 ) 8d v ( z ) l ，b c p c 训v 他炉ud 蒜霁并州名，) 妣c 埘， s c z 护( 训v 似冲f 丽亲音墼丽研妣( 叫) +c z 护( 训v 他沪f 雨鬲等芒去万阿州删) ci f ll ；p 庙。，+ cil f ll ；伪岛。，上塑二二也尘；三三兰羞 声羔# d u ( 加) cf f t l ， 硕士学位论文 ( i i ) 情形0 m a x p + g + s ，p + 口+ n ) 设r ( 叫) = 差( 埘f 五南( 江1 ，2 柚) 由文献【4 】中引理2 1 5 可得 i 尻( 口) l ( 1 一i 叫1 2 ) 口d v ( w ) sc1 1 只l i n ， ( 2 3 5 ) jb 另一方面，由于a i20 ( i = 1 ，2 ，n ) 时有 、乞 而口，+ + 口n ，( n - + + n n ) p 嵋+ + 嚷 从而( 2 3 3 ) 和( 2 3 5 ) 式结合上式就可得 v a k ，( z ) l p cl j 乞i r ：= _ ： 斋d v q ( 训) ) p c p c 喜慨噱，= c 上f i 而南( 喜l 差c 酬p ) 妣扣， c 上瓦黠划订 ( 2 3 6 ) 因此，当0 s q + s + n + 1 一p 日寸，由( 2 3 6 ) 式和引理2 2 2 中的( 2 2 3 ) 式结合q k p ( q + n + 1 ) 一n 一1 可得 i v a 七f ( z ) j p ( 1 一i z l 2 ) 口( 1 一( 名) 阿d v ( z ) jb c ：i r ：_ ： 鼍；d u 口，( 伽) ( 1 1 名1 2 ) 9 ( 1 一i 妒d ( z ) 1 2 ) 5d u ( z ) =c-乞iv，(硼)ip(j乞r二=一：三j吾：三兰彳；笔三三享彳id口(z)du口，(加) c fl v 伽妒f 丽而芸拦杀砑蛳( ) s c 丘l v f ( 伽) p ( 1 一i 叫1 2 ) 。( 1 - l 妒口( 伽) 1 2 ) 。幽( ”) c i i f lj ：- ( p 口 。) 1 0 多复变中全纯函数空间上的几个问题 _ _ _ _ _ - _ _ - - _ - _ - _ _ - - - _ _ _ - _ _ - - _ - _ _ _ _ - - - _ _ - _ - _ _ _ _ _ - _ - - _ - - _ - _ - - - - _ - - 一i i i i i _ - _ - _ - _ _ - _ - _ _ - _ - - _ 一 当s g + 凡+ 1 时，若p n + p a m a x q + s + n + 1 一p ，2 n + q + 1 一p ) ， 则由( 2 3 6 ) 式和引理2 2 2 中的( 2 2 4 ) 式结合( 2 3 1 ) 式可得 l v a k f ( z ) p ( 1 一i z l 2 ) 。( 1 一i ( 名) 阿如( z ) jb c zl v 他妒f 丽而墨拦每丽帆( 伽) + c 上阿( 训p 两万毒苌硒讥( 埘) c ilfll；甑。力+c，ii慨玑。，上史二=-坚等；兰专长三专爿善善筹咖(埘) cm i ；。) 当s = q + n + 1 时，由于口+ s - 1 ，从而可选取8 1 = 三、8 2 = 2 s 、z ：警使得0 s l 一1 、z 1 和 s 2 一s 8 1 知+ s 2 x 7 = 8 利用h 6 l d e r 不等式和引理2 2 2 可知，只要p n + p a q + 5 2 + t i , + l p 就有 + 正巧击第p n + 塑p a + p 品a 州z ) _ ，日1 1 一 l1 1 一 1 2 s 。7 专。1 1 一 i ”却a + p j 而_ ) 面：! 丑一 礼+ s 时，由上述不等式、( 2 3 - 6 ) 式、( 2 3 1 ) 式，文献 5 中命题1 4 1 0 结合= p ( 口+ n + 1 ) 一n 一1 和s = q + n + 1 1 1 ，ri 硕士学位论文 有 i v a k f ( z ) l p ( 1 一i z l 2 ) 。( 1 一i 妒凸( 名) 1 2 ) 5d 钉( z ) ，b c fl v 他胪f 丽而黑拦岳砑( 伽) + c | 阮船。以缈警篆第字州， cm 瞄。) 凼此，对所有情形有 止i v a k f ( z ) l p ( 1 一i z l 2 ) g ( 1 一眦z ) 阿咖( z ) ci l y l i ；) ，岸 一一 这表明a 七是f ，q ，s ) 空间上的有界算子 当b 0 时，由于 f ( z ) = ，( z ) 一，( 6 ) = 0 1d ；，【6 + t 。一6 ) 】) 出 = ( z k k ) d k f b - 4 - t ( z 一6 ) 】d t = ( 钆一b k ) a 七m ) k = 1 ，0 一k = l 。 类似( 2 3 3 ) 式的证明可得 i v a k f ( 纠c 上瓜丽书掣b 饥( ”) 赤e 黑w 辫两妣( 以 。- 。- 。- - 。_ _ - _ 一- 。_ - _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - _ _ - _ 。_ - _ 一，z 7 ， it ，i 一 ( 1 一1 6 1 ) n + 口i ，b1 1 一 i n + 口+ 1 ”、“广 其余的证明完全同b = 0 的情形对于情形m 2 ，类似文献【3 3 】的 定理5 采用归纳法即可得证 1 2 多复变中全纯函数空间上的几个问题 3 超球上r ( p ，q ，s ) 空间上的几个问题 3 1 基本定义 设b 表示c n 中的单位球、d 表示复平面上的单位圆；h ( b ) 和 日( b ) 分别表示b 上全纯函数全体和有界全纯函数全体。 对0 o c o o ，定义b l o c h 型空间如下： p 口：f f ：f 何( b ) 且i i ，i l 胪：i f ( 0 ) l + s u p ( 1 一1 名1 2 ) ai v f ( z ) i o 。 l z e b j 这样定义的俨是一个b a n a c h 空间，当a = 1 时为b l o c h 空间，当 0 口 1 时等同于l i p s c h i t z 空间a 1 一n 设a b ，g ( z ，a ) = l o g ( z ) 1 1 ，这里妒。是b 上的一个m s b i u s 变换，满足( o ) = a ，妒。( n ) = 0 ，= 1 ；设幽为b 上正规化 的l e b e s g u e 测度，缸为b 的边界岛上正规化的旋转不变测度。对 0 p o o ，0 s o 。，一n 一1 q 。o ，一1 q 十8 o o ，如果f h ( b ) 且 i i ，i l f 函，毋。) = i f ( o ) l + s u p i v f ( z ) l p ( 1 一i z l 2 ) 。旷( z ，口) d r ( z ) p o 。， l a e bj b j 称，属于函数空间f ( p ，q ，s ) ，当p = 2 ，q = 0 时称为q 。空间 本文中名= ( 名1 1 一，) ，w = ( w l ，) ， = 勺功文中 j = l 将用记号c 来表示与变量z 、加无关的正数，c 可以与某些范数或有界 量有关，不同的地方可以代表不同的数；“e f 表示比较，即存在正 的常数a 1 和a 2 使得a l e f a 2 e ；径向导数r f ( z ) = 勺老( 名) 3 2 f ( p ，q ，s ) 和一些函数空间的关系 引理3 2 1 设0 p o o ，0 s 。o ，m a x 一n 一1 ，一s 1 ) q o o ， 1 3 硕士学位论文 若，f s ) ，则，p 学且口学c i v i l f t ) 证明见前面引理2 2 1 则 定理3 3 1 设0s8 、0 p o 。、m a x 一扎一1 ，一8 1 ) q + n + 1 且s n 时，f ，q ，s ) = a 1 一q + n 。+ l ； ( 4 ) f ( 2 ，1 一n ，n ) = b m o a ； ( 5 ) f ( p ，p ，0 ) = 理； ( 6 ) 当p 佗时，f ( p ，p n 一1 ，0 ) = 岛； ( 7 ) 当q 一1 时，f ( 2 ，q ，0 ) = d l 一口； ( 8 ) f ( 2 ，1 ，0 ) = h 2 证明( 1 ) 从仉空间的定义可得。 ( 2 ) 从引理2 2 1 知，当f f ( p ，口，s ) 时有f 卢鼍芦，且 m i 口旦学c i l f l l f 廖a ) ；反过来，对任意，! ! 学p a 2 班y , n b ， 由文献 5 】5 中命题1 4 1 0 知 i v ，( z ) l p ( 1 一i z l 2 ) 口( 1 一i 妒口( 彳) 1 2 ) 8d r ( z ) l ，b ：厂盟学芒掣黑 业d ”( z ) 厶i l 一 1 2 8 r7 l i 川三掣上叫錾掣酢劁川三乎 这表明，f ( p ，q , s ) ，且| l ，i l f 。) c i l f l l 口哔z ( 3 ) 由文献【4 】中定理7 9 和定理7 1 知，f 人a 当且仅当 s u p ( 1 一2 ) 1 - 口i v f ( z ) i o o ( 0 q 1 ) ，再结合范数等价定理可 z b 1 4 多复变中全纯函数空间上的几个问题 得。 ( 4 ) 由文献f 4 】中定理5 1 4 知，f b m o a 当且仅当 s。ubp，8上里j!i兰舄三竺之三己圭宅掣du(名)。 同时类似文献f 6 j 中引理2 3 的证明过程有 j-=s口ubp，廖j!：兰；!：；=；i警dr(z) o 这里。i r i c h l e t 型空间定义可见文献【8 】或【9 】，= 踹， a = ( q l ，口竹) ，l a i = 口1 + + 口t i ，q ! = 口11 0 21 o t n ! ， z 口= 才1 孝2 辔 1 5 硕士学位论文 由于l ：i f ( o ) l + f s u p | ! i v y ( z ) 1 2 ( 1 一汗) ad r ( z ) 专和 l i 川2 = i ，( o ) i + s u p ，l 冗，( z ) 1 2 ( 1 一l z l 2 ) ad v ( z ) 都是范数，且l l 州。s l a e b - ，bj m i z ，由范数等价定理知| i 1 i 。和2 等价，故结论成立 ( 8 ) 从( 7 ) 的推证有di r f ( z ) 1 2 ( 1 一i z l 2 ) d v ( z ) 1 6 q 1 2 = i l f l l 备。 。9 l a l o 再通过等价范数知结论成立 由上述定理知道，f ( p ，q ，s ) 是p 鼍产的子空间，且当s n 时 f ( p ，q ，s ) = p 学，但当0 s 佗时，f 0 ，q ，s ) 应该是p 乎的真子 空间，这可从f ( 2 ，1 一n ，n ) = b m o a 是b l o c h 空间的真子空间看到一 些端倪由于所有形如( z ) = j l - 面五j ，( q + n + 1 p 时 ( 1 一 ) ， 1 ) 以及t d z ) = l o gf _ 杀( q + n + 1 = p 时) ( = 1 ) 的函数已检 验不出f ( p 忍s ) 和卢学之间的差异其实的确有下列定理： 定理3 3 2 设0 p o o 、m a x - n 一1 ，一s 一1 ) 1 时，取函数 由文献【1 0 】中定理2 1 知夕卢学( d ) ，且对一切七 1 ，2 ，) ，当 1 一万1 l 一南时i v r ( 圳= i g ( 圳 l ( 1 一 z l l 2 ) 学 由于( 1 - i z l 2 ) 学嗍2 ) l ( 1 - 钟) 乎比1 ) i 1 1 9 1 1 卢掣( 。) ， 即f 乎 1 7 矿1 呼 + ” 学 “ p 脚 = 乱 = f 硕士学位论文 对0 r 1 时 i v f ( r 毒) l pd 口 ) = ( 礼一1 ) ( 1 一i z l l 2 ) n 一21 9 ( r 名1 ) l pd v ( z 1 ) js 。 j d 一1 ) ( 1 - 2 ) 俨2 叭) pz，)o d v ( 一1o i - l i t 喜厶等梅簪蚓 善上。f 希匆丽州忽) 从而对任意n b 以及0 s 1 7 , 有 j v f ( z ) i p ( 1 一汗) 口矿( 石，a ) d v ( z ) jb 厂婴蝼黑掣芒掣d u ( z ) 二厶 2 3l l 一 i 知。1 7 与竽丘l v 酬p ( 1 叶1 2 ) q + 训z ) = 学f 0 1t 2 n - 1 ( 1 硼相d r 厶脚钏p 毗) c l ( 1 一i o l 2 ) 。一- 1 ( 1 一r 2 ) 8 铲1d r = o o 号f 不属于f ( p ，q ，s ) ， j 0 即f ( p ，口s 1 为口学的真子空间 1 8 南南 多复变中全纯函数空间上的几个问题 4 z y g m u n d 型空间、b l o c h 型空间、b e r 型空间之间的点 乘子 4 1 引言 设d 为复平面上的单位圆，a d 为d 的边界；h ( d ) 表示d 上解 析函数全体 设0 q o o ，如果，h ( d ) 且i l 川。= s u p ( 1 一h 2 ) 2l ，化) i o 。，就 称，属于b l o e h 型空间伊。众所周知，给予范数m b = i ，( o ) i + i i f l l 口 后伊是一个b a n a c h 空间，当q = 1 时为b l o e h 空间p 对0 p o 。，定义d 上的z y g m u n d 型空间汐是h ( d ) 中的满 足l i 川p = s u p ( 1 一l z l 2 ) p l f ( 名) l 。o 的函数的全体，记 l 州z p = i ，( o ) f + l ，。( o ) i + 1 1 1 1 1 p 设0 p 。，如果，h ( d ) 且i i f l l h 尹= s u p ( 1 一2 ) p1 ，( z ) l 0 0 ， 就称，属于b e r 型空间醪众所周知，穹是一个b a n a c h 空间 设x 、y 为b 上两个全纯函数空间，如果对一切，x 都有 妒，y ，就称妒为空间x 到y 的一个点乘子，这些点乘子的全体记 为m ( x ，y ) 文中将用记号c 来表示与变量z 、1 1 ) 无关的正数，c 可以与某些 范数或有界量有关，不同的地方可以代表不同的数；“e p 表示比 较，即存在正的常数a l 和a 2 使得a 1 e f a ：e 4 2 预备知识 叭剖c l l f l l z , 2 索喜 硕士学位论文 引理4 2 2 1 3 5 设0 p o o ，z p ，则 i c l l f l l z , 0 p 1 引理4 2 3 删设0 p o o ，伊，则 l c l l f l l a p0 p 1 引理4 2 4 设0 q o o ，n ( o ) 则1 1 = s u p ( 1 一h 2 ) 4 i ，( z ) l o o ：d 当且仅当2 = s u p ( 1 一h 2 ) 升1 l ，心) l + i 厂( o ) l o o ，且 1 2 z e d 证明在文献 1 4 】的引理2 1 中取妒( z ) = 0 结合引理4 2 3 立即可 得。 4 3 主要结果 定理4 3 1 设0 p o 。，0 q o o ，则妒是汐到伊点乘子当且 仅当 ( 1 ) 当0 p q + 1 时，妒三0 ( 3 ) 当1 9 = 2 且q = 1 时，妒h 且 型1 一汗) l o g 南肌) i = 尬 1 时， 掣1 一m 9 l o g 南批) i = m 2 2 且p 2 且p = q + 1 时，妒h o o 证明( 1 ) 若妒p 口，对任意f z p ，当0 p 1 且g p 一1 时， 由引理4 2 1 4 2 4 可知， j i 妒，i b 。= i f p 刀( o ) j + s u p ( 1 一l z l 2 ) 口i 妇刀( 名) i z d i 门( o ) i + s u p ( 1 一l z l 2 ) 叮 1 9 ( 名) ，( 名) i + i ( z ) 妒( z ) l z e 3 ， si 【妒门( o ) l + c s u p ( 1 一i z l 2 户【i 妒。( z ) i + i 妒( z ) l 】i l l l z ， 儿妒月( o ) i + c l i 垆l l 厣一1 l f l l z , 当p = 1 且g 之p 一1 时， i i 妒，i l p 。= l 眙，】( o ) i + s u p ( 1 一i z l 2 ) q l q a f 7 ( z ) i si 眵，】( o ) i + s u p ( 1 一i z l 2 ) 。 i 妒( z ) ，( z ) i + i ，7 ( z ) 妒( z ) i ， “妒门( o ) i + c s ：u 。p ( 1 一i z l 2 ) 叮i p 7 ( z ) l + s ；u 。p ( 1 一1 2 1 2 ) 。l 。gt = 彳砰：d；d上一i z i _ l 陋卅( o ) l + c i i 妒l i 伊i l f l l z , 当1 1 时，若( 4 3 2 ) 式成立，则 i i 妒，i i 伊= i 【妒厂】( o ) i + s u p ( 1 一l z l 2 ) a i p 门7 ( z ) i ：d i 妇门( o ) i + s u p ( 1 一i z l 2 ) 9 【l 妒( z ) ，( z ) i + i ，7 ( z ) 妒( z ) l z d i 妒，】( o ) l + c s 。u 。p ( 1 一i z j 2 ) 9 i1 0 9 丁= 彳矛妒( z ) l + s ：u 。p ( 1 一1 名1 2q - 2 + 1