（基础数学专业论文）不动点理论和临界点理论在泛函微分系统中的应用.pdf

论文蘧嚣： 专业； 博士生： 捂蛩教褥： 不魏煮理论藕癯眷轰理谂在泛滋微分系统串靛瘦弱 基础数学 舒小保 徐逡通 中文摘要 本博士论文用不动点理论和临界点理论研究了泛函微分系统的解的存谯性，周期性和 德蘧薅题。零文掰释结果撵广了已有文献中裙成的结论，全文共为蕊章。 第一章，瓣述阉惩产生瓣爨史磐景、发展瑗姨及零文瓣主要工佟。 第二章，酋先建立一种新的q u a s i b a n a c h 空间，利用压缩不动点理论研究了一类孵 滞状态相关的中立型泛函微分方獠解的存在性，把h a r ip k r i s h n a n 【1 12 0 0 2 年关于时滞 状态攘关弱瓣游泛螽微分方程熬穰瑾结鬃推广戮辩游状态稿笑懿串立型泛函微分方程； 另外，利用k r a s n o s e l s h i i 不动点定理研究了一类具有分布滞器的无穷时滞的中立型菇维 周期微分系统周期解的存在性和啦性，推广了曹进德，李水昆1 9 9 7 年猩文f 3 4 1 和贺明 秘在1 9 年文 3 7 撵应结鬃。 第三章，建立一种薮的b a n a c h 空闯，在建嵌的几令特涨锥上，逯过a v e r y - p e t e r s o n 不动点定理，讨论了几类泛函微分方稷边值闯题存在至少三个厩解的充分条件。把 z h a n g b i n gb a i ，y i f uw a n g ，w e i g a og e2 0 0 4 年猩文f 7 1 关予常微分方程边值问磁的三解 定理推广要q 泛嫡微分方程边馕闯题躲三孵定理。 第四章，利用线指标理论，研究几类非自治二阶常微分方程非0 边慎问题，得出了 j 逝类边德阔题商2 n 个解，和无穷多个解的充分条件。把p h r a b i n o w w i t z 6 5 1 关于0 边 馕阀题察微分方程的多重鳝窍关结果推广耍边臻条终 一，赶( 1 ) q - f ( 1 ) = 0 ，葬褥嬲 了存在多重解时，参数口，需满足的范围；另外，剥用m o r s e 理论研究了一类常微分方 糕边值l 酬箧存在至少三个解的充分条件。 第纛章，麓次运惩磊掇掭臻燮了一类二除混合登泛丞镦努方程豹瘸黧解，得出了存 在至少2 扎个周期解和无穷个周期解的结果。不同于其他方法如不幼点理论，繁含度璎 论，博立叶级数等只髓得到至少个周期解的结果。如王根强，燕居让2 0 0 4 年在文f 1 2 5 ， 磐渣平，葛浯嚣2 0 0 4 冬在文f 1 2 3 等等，帮是应麓了耋会度嚣论褥出了一类二阶滋函锾势 s x b 0 2 2 1 1 1 6 3 。c o m 第i 爱，共1 2 0 页淳圭学位论文 中文摘簧 方程存在至少有一个餍籁解静结栗。 关键词：不动点，锥理论，泛函微分方程，临男点，z 2 不变群指标，m o r s e 理论， 边德问题，周期解。 s x b 0 2 2 1 1 6 3 氇 第i i 页，共1 2 0 凳 博壬学位论支 荚文攮簧 t i t l e ； a p p l i c a t i o n so ff i x e dp o i n tt h e o r ya n dc r i t i c a lp o i n t t h e o r yt of u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m s m a j o r ；p u r em a t h e m a t i c s n a g l e ：x i a o - b a os h u s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rx uy u a n t o n g a b s t r a c t t h i sp h d t h e s i si sm a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h ea p p l i c a t i o n so ff i x e dp o i n tt h e o r y a n dc r i t i c a lp o i n tt h e o r yt op e r i o d i c i t ya n de x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l s y s t e m sa sw e l la sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fs e c o n do r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m s t h er e s u l t so ft h i sr e p o r ti m p r o v e ，e x t e n d ，u n i f ya n dc o m p l e m e n tan u m b e ro fe x i s t i n g r e s u l t s t h i sp h d t h e s i si sc o m p o s e do ff i v ec h a p t e r s i nc h a p t e rt ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dt h er e c e n td e v e l o p m e n to f p r o b l e m st ob es t u d i e d ，a n dm a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa x ea l s ob r i e f l yi n t r o d u c e d i nc h a p t e ri i ，b yu s i n g 触e dp o i n tm e t h o d 、w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s0 f s o l u t i o n sf o rs t a t e - d e p e n d e n tn e u t r a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m so nq u a s i b a n a c hs p a c eo fw ee s - t a b l i s h ，g e n e r a l i z et h er e s u l ta b o u ts t a t e - d e p e n d e n td e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m so fh a r ip k r - i s h n a n 1 】i n2 0 0 2 i na d d i t i o n ，b yk r a s n o s e l s h i i 觳e dp o i n tm e t h o d ，w es t u d yt h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rc e r t a i nk i n d so fn e u t r a lh i 曲e rd i m e n s i o n a lp e r i o d i c d i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hf i n i t ed e l a y , e x t e n dt h er e s u l t so fc a oj i n d ea n dl iy o n g k u ni n 1 9 9 7 3 4 ja n dh u om i n g k ei n1 9 9 9 3 7 i nc h a p t e ri i i ，b yan e wf i x e dp o i n tt h e o r e mo nc o n ei n t r o d u c e db yr i a v e b ya n d a 。 c p e t e r s o n ，o nn e wb a n a 出s p a c ea n dc o n e so fw ee s t a b l i s h ，w eo b t a j ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o rt h ee x i s t e n c eo f 戚l e a s tt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fc e r t a i n k i n d ss e c o n do r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t r i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o ra c l a s so f t w o - p o i n tb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m so f n o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fz h a n g b i n g b a i ，y i f uw a n g ，w e i g a og e2 0 0 4i nf 7 1 】b ee x t e n d e dt of u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m s s x b 0 2 2 1 1 6 3 c o m 第i n 燹，共1 2 0 页 搏圭学位论支 英文摘要 i nc h a p t e ri v 。b ym e a t so fv a r i a t i o n a ls t r u c t u r ea n d 殇g r o u pi n d e xt h e o r y , w eo b t a i n 2 no ri n f i n i t en o n t r i v i a ls o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rak i n d ss e c o n d - o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，g e n e r a l i z et h er e s u l t so fm u l t i p l es o l u t i o n sf o r0 - p o i n tb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m ss e c o n d ，o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fph r a b i n o w w i t z 6 5 】t o b o u n d a r yv a l u et ，( o ) 一a l u ( 1 ) 十( 1 ) = 0 ，a n dg e tt h eb o u n do ft h ep a r a m e t e ro 1w h e n t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m se x i s tm u l t i p l es o l u t i o n s ；i na d d i t i o n ，b ym o r s et h e o r y , w eo b - t a i nt r i p l es o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rac l a s ss e c o n d - o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s c h a p t e rv ，b ym e a n so fv a r i a t i o n a ls t r u c t u r ea n d 忍g r o u pi n d e xt h e o r y , s t u d i e dt h e e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rac l a s ss e c o n d - o r d e rm i x e dd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，b ed i f f e rf r o mm e t h o d so ff i x e dp o i n tt h e o r y , t h ec o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y , f o u r m ra n a l y s mm e t h o de t c ，a n do b t a i n2 no ri n f i n i t en o n t r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o n st h a ta r e n o tc o i n n l o no n ep e r i o d i cs o l u t i o n sb yo t h e rm e a n sf o rt h es y s t e m s 。f o re x a m p l e “l 氍 g e nq i a n gw a n g ，j ur a n gy a ha n d 【1 2 3 ls h ip i n gl u ，w e ig a og en s et h ec o i n c i d e n c e d e g r e et h e o r yg e ta tl e a s to n ep e r i o d i cs o l u t i o nf o rs o m es e c o n d - o r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s + k e yw o r d s ：f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m s ，p e r i o d i cs o l u t i o n 敛e dp o i n tm e t h o d ， b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，c o n e ，c r i t i c a lp o i n t s ，v a r i a t i o n a ls t r u c t u r e ，岛g r o u pi n d e xt h e o r y , m o r s et h e o r y s x b 0 2 2 1 1 6 3 c o r f l 第i v 页。熊1 2 0 页博壬学位论文 第一辜综述 第一章综述 不动点理论和临界点理论是非线性分析的重要方法。在讨论微分方程的边值阏题，周 期解等定性理论的时候，往往有两种思路：第一种思路是，能否将微分方程转化为等价 熬蘸势方程，然爱瘸不动煮定理 0 ( 1 1 1 ) l ( # ) = 簪( 穆，毋【一矿，翻 电予状态是耀关豹苓缝象状态独变时滞( 帮r 为常数) 薅榉建立c - t , o ( 逡续邈数空 间) 终为状态空阙，从蕊苓能找到援应等徐戆积分方程。怎样找到耀瘫等徐静辍分方穆? 臻么摆农嚣越的蓥要阀霆楚建立瑟豹空闼。h a l e 帮l a d e i r a 4 】蘑空窝w 1 ，”磺究了方覆 ( ) = ，譬8 ) ，x ( t 一力) 虽然在f 4 】辩滞参数p 蕊不是时溺也不是状态糯关辩滞豹，健穗们指出的空澜w 1 m 怒 替常有麓静对予状态辐关辩滞酌辩滞帮中立登方程。h a dpk r i s h n a n 在文f l j 嗣空阏 1 ，。研究了状态稽关时滞蠡哿辩滞方程( 1 1 1 ) 解静存在维一性定理和逾原煮处存在解豹不 稳定流形。 定义1 1 1 掏 设e 怒线髋空间，其有范数和进一步定义集含b r ，一 z e ：n ( x ) 冬研，r 0 ( b r ，n 相对于范数( ) 怒以原点为球心冗为半径豹球) ，若对于任 意确定常数诧( 嚣_ r ，n ，1 ) 是一个完备的度囊空间，那么称e 是q u a s i - b a n a c h 空间。 令w l , 。o - t 4 ，o 】怒由绝对连续泛函组成的线性空间一且对于w 1 ，。【r ，0 】任意的元素 咖：f _ 矿，0 r 的导数怒本性有界的。 由范数 ( ) = 1 1 1 1 。= i 妒( 一p ) l + e s s s u p o e _ r * o l l ( p ) l 和 r o l 莎 一l l c t l l = l 多( r + ) l + 7l ( s ) | 壁s 定义翡q u a s i - b o n a c h 空阕，记海w 1 滞。 s x b 0 2 2 1 舔1 6 3 t o m 第2 页，共1 2 0 贾 博士学位论文 第一霉缘逮 定义1 1 。2 【1 l 蛾字= 多w 1 一卜广，翻) ：馥s ) 一0v s f 一矿，0 1 ) ，其中蛾爹翼骞 如下范数l b = fi ( s ) 旧s 和i t 世l l 挈一e s s s l l p 。f 0 ，。“( s ) i 。 令 a ( a ，声) = 垂w 譬字( 【一r ，8 1 ) ：| | l | 挈声 ， b ( a ，廖) 一 拳呶字( f r + ，羽) ：l i 垂1 1 ：多 很容易得出当 0 ，使得初德问题f 1 1 2 ) 在 区间 0 ，a l 中存在唯一一个勰鬈瓯莎) 。 于是问题自然出来了： ( 1 ) 对于时滞状态相关的中立型泛函微分方程，怎样才能转化为相应的等价积分方 程? ( 2 ) 能否用同样的直接套用h a r ipk r i s h n a n 建立的q u a s i - b a n a c h 空闻，将时滞状 态相关的中立型泛函方程的初值问题建立相应的等价积分方程，然后用不动点理论来诋 鞠裙蕊瓣题簿豹存鸯难一攘。 s x b 0 2 2 1 1 6 3 c o i n 第3 茭，共1 2 0 熨 莲士学经凳支 1 1 用不动点定理研究一类时滞状态相关的中立型泛薅微分方程梁的稳在性 在第二章第一节攫，讨论了下面一类时滞状态相关的中立型滋函方程 茁7 ( t ) = ，( 茹( ) ，z 0 一r ) ，x 一r ) ) ，r r ( 童 ) )( 1 1 3 ) 的初值问题，通过建立一种新的q u a s i * b a n a c h 空间，对上述问题绘一个肯定的回答。 s x b 0 2 2 1 1 6 3 。c o m 第4 页，共1 2 0 页 博士学位论史 ! ! 二= 二兰塞i 釜。：。：，。：。：。，。：。：。：! = = ! ：。 l 。2用不动点定理磁究一类具鸯分布滞量的 高缝周期微分系统的周期解 微分系统的周期解理论具有重要的理论意义和嶷际意义，文【3 2 3 5 】研究了周期微 分系统。 z 7 0 ) = a ( t ，( t ) ) z 0 ) + f ( t ，x ( t r ) ) ( 1 2 1 ) 得到了一些保证系统( 1 2 1 ) 的周期解存在的充分条l 牛，最近文【删又研究了如下具有分 布滞耋豹微分系统。 ，o ) = a ( t ，茁( t ) ) z ( t ) + ，( t ，s ，z ( t - 4 - 8 ) ) d s ( 1 2 2 ) 的周娟解的存在性积全髑吸弓l 性。 文【3 7 】佟者研究了巾立型高维趱斓微分系统 暑扛o ) + c z o r ) ) = a ( t ，嚣( t ) ) 。( t ) + ，( t ，x t ) ( 1 , 2 3 ) 震期解静窍在性。但其您疆夔条箨 较强，不窖鬓缎验窝剥露，与文溶2 3 翻熬条传不 一致，因为在方程( 1 2 3 ) 中，令c 一0 并不能导出文【3 2 3 5 】的结论。 以上结论自然可以提出下面的两个闻题。 阏蘧1 髓否将文羚司楚象舞减骚搜宅与文1 3 2 3 5 1 豹条终耀一致? 问题2能否将上嘲的有关结论推广到无穷时滞的中立型高维周期微分系统? 因此本文第二章第二节研究了比系统( 1 2 2 ) 戢( 1 2 3 ) 更广泛的一类分奄滞燕的中立 鍪赛维璃麓微分系统，帮 面d ( z ( t ) + 伽。一r ) ) = a ( t ，z ( 亡) ) 茁( t ) 十，( t ，s 1 茹( t + s ) ) d s ( 1 - 2 4 ) 其中常数r r ，慨z ) 露彤，a ( t ，譬) 为连续矩阵，s ，。) r 一。，o l 静，f ( t ，s ，鬈) 是砸篷连续涵数向量，| ，擘焉x ) l d s 关于( ，髫) r 1 现一象收敛。熬中r 1 ，d 1 分别为r ，舻中的任一紧集，对任意( t ，。) r r “，a ( t + t ，$ ) = a ( t ，。) ，又对任意 ( t ，s ，。) r ( 一。，q t p ，f ( t + z 岛g ) = ( t ，s ，茹) ，t o 为常数。方程( 1 2 4 ) 不仅形式 复杂丽且潋r 芝0 为r r ，我们在掰鹃无穷维空鞠中，使瘸不旗点理论得到了其周期解 的存在性和唯一性的一必新结果，改进和推广了文f 3 2 3 7 1 的相应结论。 s x b 0 2 2 1 1 6 3 c o r n第5 页，共1 2 0 甄 博士学位论支 1 3 用锥上的不动点定理研究一焱泛函微分方稳昀三个正解 l ，3 用锥上的不动点定理礤究一类泛函微分方程的三个正解 锥上不动点理论是a 线性分析中j 常活跃的一个分支，锥上不动点定理一般从以下两 种思路来研究的，一种怒从锥上确定的半序关系中，用单调性米确定不动点，如利用常 凳懿擎谖穗簿子不动点定淫，单谲减辣子举动点定疆亵滢舍革溺算子不动煮定瑾确定算 子方程的唯解，或利用上下解方法确定算子方程的多重解等等用的都是这种方法。另 一种是利用拓扑性质来确定算子方程的不动点，如拓扑度方法，迭合度方法，不动点指 数等等蘩凳建这秘方法。 本文主掰是利用不动点指数理论建立起来的不渤点定理来讨论泛函微分方棍的三个芷 解。不动点搬数建立不动点理论基础楚不动点指数的可解性即；羲i 泌，职x ) 0 ，则a 在玎中至少有一个不动赢和下瑶豹掰个弓| 理。 引理1 3 1 f 9 5 l 设x 魑实b a n a c h 空间e 的一个收缩核，爿1 是x 的个有界凸收 缭孩，y 怒x 静錾空嚣集虽vc 禹，a ：墨一x 垒连续，锻x t ) cx l ，劳显a 在 墨y 上没有不动点，则必有i ( a ，v x ) = t 。 引理1 3 2 1 7 3 1 设x 燎是实b a n a c h 空间e 的一个非空有界闭凸集，又设a ：x x 全连续，那么i ( a ，x ，x ) 一1 。 利用不动点指数理论建立起来的有关三个不动点理论首先魁数学家l e g g e t t - w i l l i a m s 7 9 】引入的l e g g e t t w m i a 积l s 的不动点定理，和r 1 a v e r y 分别在文 7 3 和 7 5 l 建立的不 动轰定理( 它是l e g g e t t - w i l l i a m s 懿不翻熹定理赘攘广形式) 。 2 0 0 1 年，r i a v e r y 和a c p e t e r s o n 在文 7 3 】利用新的r i a v e r y 不韵点定理，研 究了离散的二阶非线性熬分方程的边饿阚题 2 茁秘一1 ) + ，( 茹。) ) = 毽 骥陋+ 轧6 + 朝 ( 1 3 2 ) lz ( n ) = o = 茁( 6 十2 ) 褥出了边值闻题( 1 3 2 ) 黧少存在三个厩解的充分条佟。 2 0 0 4 年，z h a n g b i n gb a i ，y i f uw a n g 和w e i g a og e 在文【7 1 】中，运用新的氛i a v e r y 不动点定理研究了二阶非线性常微分方程的边值问蹶 l 嚣”辞+ q ( t ) f ( t ，茹。肇) ) 一0 ，0 t l f 1 3 。3 ) l 笛( o ) = 0 = 茁( 1 ) s x b 0 2 2 1 1 6 3 c o m 第6 廷，共1 2 0 黉 博士学位论文 第一攀综述 襄边壤超题 l 茹”( t ) + q ( t ) f ( t ，z ( t ) ，( ) ) 一0 ，0 t 1 ( 1 3 ，4 ) i 茹( o ) = 0 = 一( 1 ) 德翻褥出了滋值秘题( 1 3 3 ) 帮( 1 3 4 ) 至少存在三个藏解的充分条讳。 在本文第三章，磺究3 - 黔棼线蛙泛函微努方穗 z ”0 ) + q ( t ) f ( t ，石0 ) ，一8 一r ) ) = 0 ，0 t 0 f 1 3 5 ) 分别在边值条件 f 譬 ：毒( t ) ， i 螂) _ o 和 f 霉t ) = 善( t 昊 l 邶) ：o - - 9 - t 0 ， ( 1 , 3 6 ) - - t 曼0 ， ( 1 3 7 ) 下，褥出了边值问题( 1 3 5 ) 一( 1 。3 6 ) 和边值问题( 1 3 5 ) 一( 1 3 7 ) 至少存在三个正解充分 条终。 熨进一步，本文褥出t - - 阶非线性泛函微分方程 。”( ) 十q ( t ) f ( t ，。0 ) ，z ( t r ) ，一0 ) ) = 0 ，0 t 0 ( 1 3 8 ) 分另g 农边值条件( 1 3 6 ) 和( 1 3 7 ) 下至少存在三个正解的充分条件。 s x b 0 2 2 1 1 6 3 c o r n 筹7 贾，共1 2 0 炎 薅士学盈论文 1 4 临界点理论和历指标在泛函微分系统中的应用 1 4 临界点理论和易指标在泛函微分系统中的应用 变分法和l 临界点理论广泛应用于数学，物理，生物，经济和工程技术。通过泛函极 小寻找临界值至少已有三百年的历史。而现代变分法处理非线性问题最初是g b i r k h o f f 在1 9 1 7 年引入，他的极小极大原理是临界点理论的基础，他的结果很快被他的学生m m o r s e 推广和发展。 极小极大原理是寻找泛函临界点非常有效的方法，在应用到具体的泛函时，往 往涉及到在相应映射簇下不变的集簇的构造。具体地说，设x 是一个b a n a c h 空间， i ：x r ，r 是x 的一个子集簇，圣是x x 的一个映射簇，且r 关于垂是不变 的，即v a 1 1 ，v 妒垂，妒( a ) f 。令 c 2 瓣泌啦) 如果一o 。 c 0 使得i t o b ，a ； ( 1 2 ) 存在8 x o b p 使得，( e ) s0 羹拜j 至多存在一个箍器德e 理，鱼 。2 g i n r f 。m 9 a 聱x ，l | ) i ( 铤( 。) ) 其中 f 一 雪e ( 【o ，l 】，x ) l g ( o ) = 0 ，g ( 1 ) 一e 1 9 7 8 年，r a b i n o w i t z 尊簪由路雩l 理攫广至l 环绕形式，绘鸯著名静鞍点定理参蔸醐) 。 厢来，b e n c i 与r a b i n o w i t z 【5 1 】、张恭庆 5 2 t 、田刚瞄趔及倪维明黔】等谗多学溪讨论了 山路引理的各种变化形式并对般的环绕fl i n k i n g ) 夥式给出各种临界点存在性定理。 这样，环绕形式藏菇强夸较大理论孛构造集簸靛一个主要方法。稻霜遮一方法，包括 r a b i n o w i t z 、c l a r k e 、e k e l a n d 及忿以明在虎的诲多数学家对h a m i l t o n 系统周嬲解与次 调和解进行了研究。 下灏简单介绍一下多重临界点的确定方法。 流形上的舆有菜种对称性的泛灞有较为丰富的临界点理论，因此可以利用与_ i 客流形戏 与这终惩瓒( 每对豫蛙提联系酶撵震群) 鞠关戆代数按羚苓变量来确定泛蘧熬滚癸值， 从而估计临界点个数。其中心定璐是l j u s t e r n i k - s c h n i r e l m a n n 重数定理。它不假从极小 极大原疆产生出磕界值，而且借助前面掇到的不变量进一步刻划出对应予这个临界值的 臻要点集懿大小。冀孛l j u s t e r n i k - s c h n i r e l m a n n 茨畴数理论1 4 7 1 被认为怒求多茧癌彝患 的最原始的形式。 后来为了得到更多的临界点，c o f f m a n 【5 5 】于1 9 6 9 年引入彩群的指标，即亏格( g e n u s ) 。1 9 5 6 冬，k r a s n o s e l s k i i 鸯一个美予亏格豹等徐定义洚礤箕等价瞧亩r a b i n o w i t z 绘出【5 7 】，乙群作用下不变的几何指橼理论t 最初出e k e l a n d - ql a z r y 弓l 入i 嘲。之 厢，m i c h a l e k ( 1 9 8 9 ) f 5 9 及剐嘉荃与王恣强( 1 9 9 3 ) 【6 0 】分别给出不同的定义用来研究j # 鑫治h a m i l t o n 系绫靛次调霸解静存在往。关予凡谤攒标理论豹一般定义参觅i 6 l b 一般 紧致l i e 群作用下不变的几何指标理论参见 6 2 】。借助于王恣强 6 3 l 建立的磊形式瓣 b o r s o k - u l a m 定理，徐远通激授在文【6 6 中建立了种新的磊几何指标理论，利用这一 理论，褥裂曼多翡稳赛点。 s x b 0 2 2 1 酶1 6 3 。c o m 繁9 炎。共1 2 0 页 薄壬擎往论交 1 4 临界点理论和玩指标在泛函微分系统中的应用 1 9 8 6 年p h p l a b i n o w w i t z 6 5 】利用磊指标研究了边值问题。 川+ f ( t ，u o ) ) _ 0 ，吣k 1 ( 1 4 1 ) 【u ( o ) 2 “( ”) = 0 他得出了边值问题( 1 ) 的能量泛函为 ，w1 j ( u ) = 【；l q ) 1 2 一g o ，u ) ) 1 出，乱目0 ( o ，1 ) ( 1 4 2 ) 这里a ( t ，乱( t ) ) = 片“( t ，v ) d v 。而哪( o ，1 ) = 埘2 ( o ，1 ) 作为通常的s o b o l e v 空间是一个 ( 叩) ：厂( t ) ，( t ) d t ，11u11：(”lu(t)12疵)11(t)dt ( u ， ) = ( 咖- ，= ( 2 疵) 一 j oj 0 ( f ( u ) ， ) = f 7f ( t ，u ( t ) ) v d t p mt rn ( 札一k ( u ) ， ) = 钍一k ( 让) m t ) d t2e ( t ) 口，( t 皿一 k m ) d r ( j 0 j0 。) 0 j = z 。( t ) ( t ) 出一【k ，( u ) 1 ，( t ) l j + z ”【k ，( - u ”( t ) d t = 小咖心胪o ”，。州t ) ) 吣v u , v ee 设k ( t ，8 ) 是边值问题( 1 4 1 ) 的g r e e n 函数，则 坤一= 睽羔兰 而算子k f u = fk ( s ，t ) ( s ，( s ) ) 于是有j 7 ( 钍) = u k f ( u ) 结合边值问题( 1 4 1 ) 的g r e e n 函数，利用易指标，得出边值问题( 1 4 1 ) 的多重解。能否用临界点和易指标来研究二 iu l ( t ) 一钍( t ) + ，( t ，u ) ) = 0 ，0 一；以及o l 0 ， 使得 0 a ( t ，让) = 坤，v ) d v ；u 坤，钍( ) ) ，v i u ( 驯兰a ； j 0 ” ( i v ) ( t ，u ) 关于u 是奇函数 那么，边值问题( 1 4 3 ) 有无穷多个不同的非平凡解 进一步，本文把上述问题推广到更一般的s t u r m l i o u v i l l e 型二阶边值问题。 f 差) 象u 训细) = o ， 一可m 扩o - 沅2 m 丽以及n 。， 使得 。 2 使褥 r 1 ， a 1 ，v a ) u l + 圪2 ( t ，1 , 1 ，u 2 ) u 2 卢f ( t ，札l ，抛) ，v ( u i ，钍2 ) 0 都么方程( 1 4 5 ) 有茏穷多个两期为研7 - 的菲平凡周期解。 圆射，本文研究下嚣懿二黪滋会型泛逶徽努方程 z ” 一下) 十a 0 ) o ，茹0 ) ，x ( t f ) ，茹 一2 r ) ) = 0 一r ) 。( 1 。4 。7 ) 得出了方程( 1 4 7 ) 有2 n 个周期为研r 的j 平凡周期解的充分条件。 遵一步，本文磷究了更为一般的二阶泛丞微分方穰 盘”器一8 t ) + ，8 ，茹( 黟，卫擘一r ) ，x ( t 一2 r ) ，$ 器一2 s r ) = 0 弗 ( p ( 幻z 7 0 7 _ ) ) 7 一q ( t ) x ( t r ) 十a 0 ) ，o ，z ( t ) ，霉0 一r ) ，x ( t 2 7 ) ) = 0 静多耋髑鬻解。 圭予上述缱累总是先找到孛阕逶数f ( t ，g ( e ) ，嚣馨f ) ) ，农来礁定二泠潺含鍪泛番微分 方程给具体应用带来了不便，为了直接找到变分框架去掉中间泛函f ( t ，搿( t ) ，石( t 一7 ) ) ， 从丽使定理1 4 3 的条件简傀和实耀。本文将在第五章第二节作进一步研究。 s x b 0 2 2 1 1 6 3 c o m 繁1 3 黉，共1 2 0 蔓 薅圭学位论文 1 5m o r s e 壤论的应用 l 。5m o r s e 理论的应用 临界点理论的基本手法是通过考察函数的水平集厶，随a 变化时，其拓扑结构的变 化，来判定临界点的存在性和估计临界点的个数。m o r s e 理论则熙深刻地揭示出临界点 戆洼态是惫梯影嫡瘩乎集变恁豹。蓄建我爨把塞平鬃与窀阕涯豹藏照联系越来，挺一会 个胞腔粘合并在一起，得到的整体性结论表现为下列m o r s e 不等式： m 0 岛 m 1 一m 0 蕊一编 m n 一砥一t + t - 一f - 1 ) 8 m o & 一磊一t + 一一+ f - 1 ) 8 岛， 其中慨是紧流形m 上任意光滑非退化函数，的m o r s e 指标为k 的临界点的个数，而凤 是流形m 的b e t t i 数。由m o r s e 不等式及其极限形式结含代数拓扑的知识可以彳舄啦m o r s e 壤论懿一些麓本鳝栗，零惩m o r s e 毽谂戆结论和方法爵渡褥密咒令旗赛焘存在豫定理，毽 括三解定理，分歧定理，渐近线算子a # 平凡解的判定，以及用卡积判定临界点的极小极 大定理。 本文将壤第遥章第三麓研究一类二狳鬻微分方稷避壅瓣题静三令解。 在第四拳篇一，二节，用慌界点和编指标研究了边值问题( 1 4 1 ) ，( 1 4 3 ) 以及( 1 4 4 ) 的多重解，对于此类边傻闲题能否熙m o r s e 理论寒解决，是攥程露翦的阅鼷。我们用 m o r s e 理论研究了下蔼豹簿单形式，至予其谴形式艨慧榉处理，逐不知道。 i “”0 ) + a f ( t ，缸( t ) ) = 0 ，0 篓t 7 r ，a 0 ( 1 5 1 ) l 锃( = 铭( 霄) = 0 边值闯题( 1 5 1 ) 主要是利掰下面随三赭存在定理 定理1 5 1 1 1 9 】设，魁h i l b e r t 空间四上的一个a 2 的实值函数，满足p s 条件，并 基是下半露器瓣。又设，窍一令非遂能熬，； 极，l 、，其有穷指糖静姨赛点x 。，粼，至少 有三个嵇界点。 s x b 0 2 2 1 1 6 3 ，c o m 第1 4 页，共1 2 0 燹 搏士学位论支 第一章稼逑 l 。6 本文的主要工作 不动点理论与所谯空间有密切的关系，第二章第一节，建立了新的q u a s i - b a n a c h 空 间y l t 。，猩新的q u a s i 。b a n a c h 空间v 1 t 。中得出了时滞状态相关的中立型溅函微分方程 裙僮逮戆 z 7 ( t ) = ，( z 0 ) ，冀壮一r ) ，霉0 一r ) ) ，r = = r ( 。( t )