（基础数学专业论文）具有cheegergromoll度量的切丛的几何.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 设( m ，9 ) 为黎曼流形，t m 为其切丛对于t m 上的任意一点p ，u ) 及x ，y 耳m ， 则t m 上的c h e e g e r g r o m o l l 度量为： f 弘口) ( x ，y ) = g p ( x ，y ) ， 瓦，v ) ( x ，y 口) = 0 ，( 0 0 1 ) 【配， ) ( x 甜，y v ) = 砉( ( x ，y ) + 易( x ，u ) ( fu ) ) ， 其中a = 1 + 9 ( v ，秒) ，x ，y 和x 付，y 秒分别为x ，y 的水平提升和竖直提升 本文用活动标架法给出了( t m ，- ) 的数量曲率并在此基础上对( 丁m ，歹) 的数量曲率 进行了讨论，给出了当m 为常截面曲率空间时，( t m ，虿) 的数量曲率与底空问的截面曲率 之间的关系本文主要得到了以下结论： 定理3 2 3 设( m ，g ) 为n 维黎曼流形，s 为m 的数量曲率( t m ，蓟为其切丛，其 中歹为c h e e g e r g r o m o u 度量则( t m ，- ) 的数量曲率为 可= s 一去m p + 掣n 2 + 下- - 3 c t 2 - - 3 0 r + 3 学 注 用r 删和凡。刚简记o7 r 和吃柳。7 r ，其中r 。恻和r 鳓为( m ，g ) 的黎曼曲率 张量移m ，v p 为，v ) 7 1 - - 1 ( 妙) 的局部坐标 定理3 3 2 设( m ，g ) 为具有常截面曲率k 的扎维黎曼流形，( 丁m ，歹) 为其切丛，其 中歹为c h e e g e r - g r o m o l l 度量，则当扎 1 时有： ( i ) ( t m ，蓟具有正的数量曲率当且仅当 心一一、元f 干忑两死+ v z n 2 + 2 n - 4 ( i i ) ( t m ，蓟具有负的数量曲率当且仅当 k ( 一o 。，一3 ) 最后，本文指出了【2 0 】中的不足，并加以修正 关键词：切丛；c h e e g e r - g r o m o l l 度量；活动标架法；常截面曲率；数量曲率 大连理工大学硕士学位论文 g e o m e t r yo ft a n g e n tb u n d l ew i t ht h ec h e e g e r g r o m o l lm e t r i c a b s t r a c t l e t ( m ，g ) b ear i e m a n n i a nm a n i f o l da n dt m b et h et a n g e n tb u n d l eo fm l e t ，v ) b eap o i n to nt h et a n g e n tb u n d l et ma n dx ，y 耳m ，t h e n 歹i sd e f i n e da sf o l l o w i n g ： f 配，口) ( x ，y h ) = 劬( x ，y ) ， 弘口) ( x h ，y 口) = 0 ， 【歹( p ， ) ( x 口，y 口) = 言( 劬( x ，y ) + g p ( x ，口) 劬( r 钞) ) ， ( 0 0 2 ) h e r eq = 1 + g ( v ，移) ，x h ，y 九a n dx 们，y b et h eh o r i z o n t a la n dv e r t i c a lh f to fx ，y i nt h i sp a p e r ，w ed e d u c et h es c a l a rc u r v a t u r eo ft mu s i n gm o v i n gf l a m em e t h o d ， a n dg i v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt mh a v i n gp o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r ea n d n e g a t i v es c a l a rc u r v a t u r ew h e nmh a v i n gc o n s t a n ts e c t i o n a lc u r v a t u r e t h em a i nr e s u l to f t h i sp a p e ra sf o l l o w i n g ： t h e o r e m3 2 3 l e t ( m ，g ) b ea nn - d i m e n s i o n a lr i e m a n n i a nm a n i f o l da n d ( t m ，歹) b et h et a n g e n tb u n d l eo fme q u i p e dw i t ht h ec h e e g e r g r o m o l lm e t r i ci n d u c e db yg t h e n t h es c a l a rc u r v a t u r eso f ( t m ，_ ) i so ft h ef o r m ： 琴：s 一去口m 护+ 等n 2 + 丁- - 3 a 2 - - 3 a + 3 礼+ 丁2 0 1 2 + 2 a - - 4 ， w h e r esb et h es c a l a rc u r v a t u r eo fm r e m a r k ：w es i m p l yd e n o t er 喊 o 曩a n dr 口哟。瓜b yt h es y m b o lr 。嘛 a n dr 。嘲， w h e r er c 删a n d 足咧b et h er i e m a n n i a nc u r v a t u r et e n s o ro f ( m ，夕) 口m ，v pb et h el o c a l c o o r d i n a t eo f ，口) 7 r 以( u ) t h e o r e m3 3 2 l e t ( m ，g ) b ea j ln - d i m e n s i o n a lr i e m a n n i a nm a n i f o l do fc o n s t a n t s e c t i o n a lc u r v a t u r e 仡w i t hn 1 t h e n ( i ) ( t m ，歹) h a sp o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r ei fa n do n l yi f 圪h 一、佗2 + 2 n 一4 ，n + 、佗2 + 2 n 一4 】 ( i i ) ( t m ，歹) h a sn e g a t i v es c a l a rc u r v a t u r ei fa n do n l yi f 仡( 一。，一3 ) i nt h ee n d ，w ep o i n to u tt h ei n c o r r e c t n e s so f 2 0 】a n dc o r r e c ti t k e yw o r d s ：t a n g e n tb u n d l e ；c h e e g e r - g r o m o l lm e t r i c ；m o v i n gf l a m em a t h o d ； c o n s t a n ts e c t i o n a lc u r v a t u r e ；s c a l a rc u r v a t u r e i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：塑堕邋日期：噬生l 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论 文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学 可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：玉删 导师签名：么氢垄圣 且年月卫日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 本文研究背景介绍 几何的观念最初来源于人们对自然空间的直观感受和经验古希腊时期的几何学家欧 几里得首先给出了直观几何的条理化结构，他所编写的几何原本对几何学原理作了系 统的阐述，并开创了公理化的数学研究方法 欧几里得空间曲线和曲面几何的研究始于微积分在几何的应用，e u l e r 和m o n g e 对 微分几何的早期发展作出了重要的贡献g a u s s 关于曲面的理论，建立了基于曲面第 一基本形式的几何，并把欧几里得几何推广的曲面上“弯曲 的几何，使微分几何真正 成为一个独立的学科r i e m a n n 在1 9 5 4 年有名的演讲把g a u s s 的理论推广到高维的空 间，p d e m a n n 几何就此诞生r i e m a n n 的思想引起了许多工作来处理和发展他的新几 何经过c h r i s t o f e l l 、b e l t r a m i 以及随后的b i a n c h i 、r i c c i 和l e v ic i v i t a 等人的努力，微分几何 在1 9 世纪末已成为蓬勃发展的学科 与上述想法不同，f k l e i n 在1 9 7 2 年发表了后人称之为“爱尔朗根纲领 的著名演讲 “最新几何研究的比较评论他的基本思想是把几何看作某个变换群作用下的不变量根 据k l e i n 的思想，有一个变换群就有一个几何与之对应，欧几里得几何就是研究几何图形在欧 几里得变换群下不变的性质和量 e l i ec a r t a n 融合了上述两种观点，以联络为主要几何观念，创立了外微分法，使几何不变 量得以更充分的显示外微分与活动标架法相结合，使得整体微分几何有了突飞猛进的发 展陈省身将e l i ec a r t a n 的方法发扬光大，他关于纤维丛和示性类的理论，建立了微分几何与 拓扑的联系，是一个光辉的里程碑 切丛上的几何研究开始于1 9 5 8 年，s a s a k i 在【1 3 】中首次由底流形的黎曼度量以及其黎曼 联络构造了切丛上的度量夕8 ，即对于切丛的切向量的分解z = x h + y u ，9 8 为 吼( x ，y ) = g s ( x 口，y ) = g ( x ，y ) ，9 8 ( x ，y 口) = 0 吼被广泛的称为s a s a k i 度量关于具有s a s a k i 度量的切丛的研究，d o m b r o w s k i 1 4 在1 9 6 2 年 计算了切丛上的l i e 括号，并对其上的自然近复结构j 进行了讨论在此基础上，k o w a l s k i 1 5 】给出了( t m ，g s ) 上的l e v i - c i v i t a 联络的表达式，并由此给出t ( t m ，夕。) 的黎曼曲率张量 a s o 1 s 、m u s s o 和t r i c e r r i 1 7 1 根据k o w a l s k i 的结果对( m ，夕) 和( t m ，g s ) 之间的关系进行了 讨论，得到了一些结果近年来，b o e c k x 和v a n h e c k e 2 3 1 【2 7 等人开始对具有s a s a k i 度量的切 球丛，即切丛上由长度为r 的切向量所构成的子丛进行了研究，取得了一些进展 切丛上的c h e e g e r - g r o m o l l 度量最先由c h e e g e r 和g r o m o l l 1 8 在1 9 7 2 年提出，但详细的 1 具有c h e e g e r g r o m o l l 度量的切丛的几何 表达式是由m u s s o 和t r i c e r r i 在 17 】中给出其定义为： y ( x y 九 y ( x y y ( x 口y 口 g ( x ，y ) ， 0 ， 丁干南( g ( x ，y ) + 夕( x ，影) g ( 钉) ) s e k i z a w a 1 9 、g u d m u n d s s o n 和k a p p o s 2 0 计算了l 嘶一c i v i t a 联络以及黎曼曲率张量，并对 数量曲率进行了讨论 1 2 本文内容介绍 本文主要是以具有c h e e g e r g r o m o l l 度量的切丛为研究对象，用活动标架法给出了切丛 的数量曲率，讨论了切丛的数量曲率与底流形的关系 第一章首先介绍了本文所讨论课题的历史发展，一些关于该学科领域的国内外学者所 取得的成果，并在最后介绍了本文的主要工作 第二章主要介绍了一些预备知识分别介绍了外微分和黎曼流形的基本知识，流形上 的曲率，以及活动标架法的基本知识 第三章主要是讨论了具有c h e e g e r - g r o m o l l 度量的切丛，用活动标架法计算了切丛的黎 曼曲率张量以及数量曲率，然后对底空间具有常截面曲率的切丛进行了讨论，给出了其数量 曲率与底空间的截面曲率之间的关系 2 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 本章分别简要介绍外微分和黎曼流形的基础知识和曲率，活动标架法的基本知识 2 1 外微分和黎曼流形的基本知识 定义2 1 1 设y 是域f 上的竹维矢量空间，用a ( y ) 记全体反对称的r 阶反变张量的集 合，称反对称的r 阶反变张量为外7 次矢量，空间a r ( y ) 称为y 上的外7 次矢量空间 注记：约定人1 ( y ) = v a o ( y ) = f 定义2 1 2 设是外忌次矢量，叩是外2 次矢量，命 ：警酬) ， 其d 尸a k + t 为反称化算子，则a 叼是( 忌+ z ) 次外矢量，称为外矢量和7 7 的外积 定理2 1 1 外积适合下列运算规律：设，1 ，已a 七( y ) ，叩，r h ，啦a 2 ( y ) ，( a ( y ) ，则有 ( 1 ) 分配律： ( 1 + 已) ar = 1ar 4 - 已a 叼， a ( r h + r 2 ) = 专ar z + 荨ar 2 ； ( 2 ) 反交换律：a 叩= ( 一1 ) 埘r a 荨； ( 3 ) 结合律： ar ) ae = 荨a ( r a ( ) 注记：若，r v = a 1 ( y ) ，则由反交换律有 毒ar = - r a ，a = r a 叩= 0 一般的，如果一个外积多项式含有两个相同的一次因子，则该式必为零 设，：v w 是线性映射，则它诱导出外形式空i h - a ( w ) 到a r ( 驴) 的线性映射，l ， 即：设咿a r ( w 4 ) ，对任意的v 1 ，v r v ，命 ，。妒( 移l ，) f 妒( ，( 秽1 ) ，( 坼) ) 定理2 1 2 设厂：v _ w 是线性映射，则，+ 和外积运算是可交换的即对于任意 的妒a r ( w ) 和妒a 8 ( y + ) 有 ，+ ( 妒a 矽) = ，+ 妒a ，妒 定理2 1 3 矢量v 1 ，钞2 ，v r v 线性相关的充要条件是 v 1a a = 0 记m 上的r 外微分式的集合记作a t ( m ) ，命 a ( m ) = o a r ( m ) ， r = 0 则在a ( m ) 上可以引入外微分运算 定理2 1 4 设m 是n 维光滑流形，则存在唯一的一个映射d ：a ( m ) 一a ( m ) ，使 3 具有c h e e g e r g r o m o l l 度量的切丛的几何 得d ( a 7 ( m ) ) ca 件1 ( m ) ，并且满足下列条件： ( 1 )对任意的u 1 ，u 2 a ( m ) ，d ( w l + u 2 ) = d w l + d w 2 ； ( 2 )设u 1 是7 次外微分式，则 d ( w lau 2 ) = d w la 眈+ ( - 1 ) r 0 3 1ad w 2 ； ( 3 )若厂是m 上的光滑函数，即，a o ( m ) ，则够恰是- 厂的微分； ( 4 )若，a o ( m ) ，贝 j d ( d f ) = 0 如上所确定的映射d 称为外微分 定理2 1 5 ( p o i n c a r e 己j l 理) d 2 = o ，即对于任意的外微分形式u 有d ( 妣) = 0 证 因为d 是线性算子，所以只要取u 是单项式就够了由于外微分d 的局部性，只需设 u = a d u la ad u r 故 凼：如ad u la ad u r 再作一次外微分，利用定理2 1 4 中条件( 2 ) 和( 4 ) ，则有 d ( d w ) = d ( d a ) ad u la a d u r d aad ( d u l ) a ad u w = 0 定理证毕 定理2 1 6 设，：m _ 是从光滑流形m 到的光滑映射，则诱导映射，+ ：a ( n ) _ a ( m ) 和外微分d 是可交换的，即 厂+ 。d = do ，+ ：a ( n ) _ a ( m ) 定义2 1 3 设m 是一个礼维光滑流形，夕是m 上一个光滑的二阶协变张量场如果g 是 对称、正定的，即对于每一点p m ，夕) 是切空间耳m 上的一个对称、正定的二阶协变张 量，则称夕是m 上的一个黎曼度量指定了一个黎曼度量夕的光滑流形m 称为黎曼流形，记 为( m ，夕) ，或简记为m 根据定义，9 ) 是耳m 上的内积( 坳m ) 所以光滑流形m 上的黎 曼度量就是以光滑的依赖于点p 的方式在每一点p m 的切空间乃m 上指定一个内积使之 成为欧氏向量空间特别地，每一个欧氏( 向量) 空间都是黎曼流形 设( u ；) 是m 的一个容许的局部坐标系，则黎曼度量9 有局部坐标表达式： g v = 血。o 心， ( 2 1 1 ) 其中= g ( 昙，刍) c ( 矿) ，= 鲫由定义，在每一点p u ，黝) 是佗阶正定矩 阵如果引入对称化的乘积( 对称张量积) 出。甜= 妄( d 矿q 耐+ 耐od x 4 ) ， n ( 2 1 1 ) 式可写成二次微分形式夕i u = d x d 定理2 1 7 在n 维光滑流形m 上必有黎曼度量 定理2 1 8 设( 旭夕) 是一个扎维黎曼流形，x 芏( m ) 如果( u ；一) 是m 的一个容许坐 4 大连理工大学硕士学位论文 标系，并且x i u = x 杀，则 d ( x i 【，) = ( 嘏+ x q i 七d x 知) o 杀 = ( 篆+ 巧七) k 丽0 d x。【丽+ i ；七 丽 是与局部坐标系选取无关的( 1 1 ) 型光滑张量场于是，如果令 ( d x ) u = d ( x i u ) ， 则d x 是大范围的定义在m 上的( 1 1 ) 型光滑张量场 定义2 1 - 4 设( m ，9 ) 是佗维黎曼流形，x 笺( m ) 由定理2 1 8 在m 上的确定的( 1 1 ) 型 光滑张量场d x 称为光滑向量场x 的协变微分或绝对微分；相应的映射d ：x ( m ) 一 名1 ( m ) 称为黎曼流形( m ，g ) 上的协变微分( 或绝对微分) 算子 注记：定义中z 1 ( m ) ：y - , j m j 2 的( 1 1 ) 型光滑张量场的集合 定义2 1 5 设( m ，夕) 是几维黎曼流形，x ，y 笺( m ) d y x = 研( yod x ) 称为光滑 切向量场x 沿l ，的协变导数或协变微商，其中讲是指张量场关于第一个反变指标和第一个 协变指标的缩并运算 在局部坐标系( u ；) 下，( d v x ) i u 有如下的局部坐标表达式： ( d y 驯u = y k ( 篆+ x ，巧七) 丽0 ( 2 1 2 ) 由此可见，协变微分算子d 又可以视为映射d ：3 6 ( m ) x3 c ( m ) 一y - ( m ) ，其定义是：对任意 的x ，y y - ( m ) ，d ( x ，y ) = d y x 芏( m ) 定理2 1 9 映射d ：y - ( m ) x 笼( m ) 一芏( m ) 具有如下性质：对于任意的x ，z 芏( m ) ，入r ，c 。( m ) ， ( 1 ) d y + i z x = d y x + f d z x ； ( 2 ) d v ( x + a z ) = d y x + a d y z ； ( 3 ) d v ( f x ) = y ( s ) x + f d y x ； 注记：上述定理中的( 1 ) 说明d y x 关于自变量y 具有c ( m ) 线性性质，即d x ：笺( m ) _ 芏( m ) 是( 1 1 ) 型的张量场；而( 3 ) 则意味着，对任意的y 芏( m ) ，映射d y ：x ( m ) 一3 e ( m ) 具 有导算子性质 推论：映射d ：z ( m ) x ( m ) _ 笼( m ) 具有如下性质： ( 1 ) 设x ，rz 芏( m ) ，p m 如果y ) = z ) ，则 ( d v x ) ( v ) = ( d z x ) ) ( 2 ) 设x ，kz 芏( m ) ，p m ，7 ( 亡) ( 亡( 一，) ) 是m 上的一条光滑曲线，使得r ( o ) = p ，r ( o ) = z 0 ) 如果x l r ( t ) = y | r ( t ) ，则 ( d z x ) ( p ) = ( d z y ) ) 5 具有c h e e g e r g r o m o l l 度量的切丛的几何 注记：根据以上推论，可以定义m 上的光滑切向量场x 在一点p m 沿某个切向 量u 耳m 的协变导数； 定理2 1 1 0 设m 为佗维流形，d 为m 上的联络对于任意的x ，y 芏( m ) ，令 t ( x ，y ) = d x y d y x 一，y 】， 则t 是m 上的一个光滑的( 1 ，2 ) 型张量场称t 为联络d 的挠率张量 定义2 1 6 在光滑流形m 上，其挠率张量为零的联络d 称为无挠联络 定义2 1 7 ( 1 ，0 ) 型张量u 的协变微分d w 由下式给出 ( d w 。) ( e 忌，勺) + ( d e j ) ( e k ，。) = 砸；= 0 从而有d o v i = 一心k u o 一般的，设亡是任意的( r ，s ) 型张量场，则亡在局部标架场 e j 及余标架场 ) 的表达式为 t = 亡 k l l 知k s 。“j lo 勺，0 u 詹10 u 七- ， 则亡的协变微分由下式给出： d t = 出2 ：毫oe j lo pe j ，ou ho ou + t ；。r 1 j 。 。d e j l 圆 e j ro u 知1 圆圆u k + 姥：名勺。o od e j ro u 知- o o u + 壤：志勺，o p d w 1p o 叫k + 砣：名e j lo qe j ，ou ho o d o j = ( 出众：耄一班：乏u 2 ，一姥之u ：。+ 亡：? 飞。留1 + 冼墨。4 ) o 勺， o 勺，o o r k lo ou k = 皖：皂， 叫 oe j lo e j ，o u hp ou ( 2 1 3 ) 定义2 1 8 设( m ，夕) 是几维黎曼流形，d 是m 上的一个联络，如果珊= o ，即对于任意 的z 笺( m ) ，都有d z g = o ，则称联络d 与黎曼度量g 是相容的 定理2 1 1 1 设( m ，9 ) 是礼维黎曼流形，则在m 上存在唯一的一个与度量9 相容的无挠 联络d ，称为( m ，9 ) 的黎曼联络或l e v i c i v i t a 联络 对于黎曼曲率张量见侧则有： d ( r 埘o o u 七o u ) = ( d r 巧m 一月而埘u 一忌m 血z u p r 巧州u 孑一r 巧七竹t u p ) 叫o ou 七o u 2 ( 2 1 4 ) = 鼢砒，删 qu 0 u o 从而有 d r t j k z = r 哪触u + r 础z 够尹+ 冗巧州u ? + r 巧知仇u 尹+ r 巧斛， u h ( 2 1 5 ) 2 2 曲率 设( m ，夕) 是佗维黎曼流形，p m ，对于任意的u ，可弓m ，令 i i 乱a 训2 = ( 仳，u ) ( u ，口) 一( 乱，u ) 2 显然，u ，u 共线的充分必要条件是f l ua 秒1 1 2 = 0 设u ，钉耳m 是两个不共线的切向量把让，口在耳m 中所张成的二维子空间记作心a 6 大连理工大学硕士学位论文 钉】，称为黎曼流形m 在p 点的二维截面 如果西， 是心av 】中任意两个不共线的切向量，则有 面= 口i 让+ d ；口，v - - d ! 乱+ d ；口，d e 亡( 弓) 0 从而有 i i 石八石| 1 2 = ( d e 亡( 口；) ) 2 l i 乱a 口1 1 2 和 冗( 面，移，面，功= ( d e 亡( 嘭) ) 2 冗( u ，口，u ，秽) 由此可见，由 ，、 脚m = 锗 ( 2 2 1 ) 定义的量k ( u ，口) 与二维截面 ua 口】的基底无关，因而它是只依赖于二维截面 u 八叫的数量 定义2 2 1 设( m ，9 ) 是扎维黎曼流形，p m ，对于任意的让，秒t p m ，如果 l uav i i 2 o ，则由( 2 2 1 ) 确定的数量k ( “，勘) 称为( m ，g ) 在- p 点沿二维截面 u a 钉】的截面曲率 定义2 2 2 设( 尬夕) 是钆维黎曼流形，如果m 在任意一点p 、沿着任意一个二维截 面i ic 乃m 的截面曲率都等于常数仡，则称( m ，夕) 是有常截面曲率k 的黎曼流形，简称为 常曲率空间 定理2 2 1 设( 旭夕) 是截面曲率为k 的常曲率空间，则在任意一个局部标架场 e j 下，黎 曼曲率张量的分量是 瑞埘= a ( g i k g j | i g g j k ) ， 1 t ，j ，k ，f 佗( 2 2 2 ) 反之，如果对于某个常数圪，黎曼流形( m ，9 ) 的黎曼曲率张量在任意一个局部标架 场 e d t 具有分量( 2 2 2 ) ，则它是以圪为截面曲率的常曲率空间 定理2 2 2 设( m ，9 ) 是钆维黎曼流形， e t 为局部正交标架场，则黎曼流形( m ，夕) 的数 量曲率由下式定义： s 全巧， 巧 其中勘谚= r ( e t ，白，龟，勺) 对于任意的标架场( z d ，有s = g i k 嘞m 其中确础= 冗( 五，玛，五) 2 3 活动标架法 定理2 3 1 ( c a r t a n 弓l 理)设可1 ，v r ；0 3 1 ，坼是y 中两组矢量，便得 叫q = 0 o t - - - - = 1 如果u 1 ，蜥线性无关，则叫a 可表成它们的线性组合 = 口a 卢邯， l q r 7 具有c h e e g e r - g r o m o l l 度量的切丛的几何 并且 q o 猡2q 卢a 注记：c a r t a n 弓 对于( 1 ，o ) 型张量场亦成立 设( m9 ) 是黎曼流形又e 0 是定义在开子集ucm 上的局部标架场， u 0 是与其对偶的 余切标架场令 d e j e = f 0 e 惫，4 = 吃u 知， 贝l j d e i = 田勺 定理2 3 2 设( m ，夕) 是黎曼流形， u ，1 i 佗) 是邻域ucm 上一组n 个处处线性无 关的一次微分式，则在u 上存在唯一的一组n 2 个一次微分式u ? ，使得 f 幽八q ， ( 2 3 1 ) 1 嘞= 9 幻u ? + 仂岛时， 。- 其中是g 关于局部余标架场 叫) 的分量，即 g = g 硒一圆一 定理2 3 3 设硪f 是联络d 的曲率张量兄在局部标架场 e 0 下的分量，即 r ( e k ，e z ) 勖= v l 。3 k z e j ， ( 2 3 2 ) 则有 反彳+ 八u ? = 去r 囊z u 七 u 。 ( 2 3 3 ) 证对于任意的e 七，e l 有 ( 蹦一钟a 以) ( e 七，e 1 ) = e k ( r l ：c ) 一e l ( 吃) 一u 九( 【e 七，e l i ) 略一r 袅吃+ r 袅r 乏屉 在另一方面 r ( e k ，e 1 ) e i = d e k d e l e i d e l d e k e i d 【e 删e t = d 。( 玛勺) 一d 。( 曝勺) 一u ( ，e z ) 勺 = ( e 庇( 瑶) 一e l ( r 毳) + r 袅以一r 袅吃一u ( e 惫，句】) r 囊) 勺 = ( 础一u ? a 以) ( e 知，e 1 ) e j 从而有 ( 叫一u 争a 以) ( e ，e 1 ) = 硪z ， 故有 咖i + 以八u ? = 去硪。u 肘 成立，定理得证 定义2 3 1 2 次外微分式噶= 蹦+ 蠢八u ；称为( m ，d ) 在局部标架场 e 矗下的曲率形 8 大连理工大学硕士学位论文 式 定理2 3 4 设( m ，夕) 是n 维黎曼流形，嘻为曲率形式，则有下式成立： 厂八噶= o ， 、d 嘣= u ；八嗔一q ；八 式( 2 3 4 ) 称为b i a n c h i 恒等式 设碍埘为黎曼曲率张量，则b i o 扎c 九t 恒等式又可写为 9 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 咛诹 + 蛐吩弓弓 大连理工大学硕士学位论文 3 具有c h e e g e r - g r o m o l l 度量的切丛 本章用外微分和活动标架法计算了切丛( t m ，蓟的联络形式、曲率形式以及( 丁m ，功 的数量曲率，并给出了当m 为具有常截面曲圪的黎曼流形时，( t m ，歹) 的数量曲率的表达 式在此基础上对( t m ，功的数量曲率进行了讨论，给出了( t m ，蓟具有正数量曲率和负数量 曲率的充要条件 3 1 c h e e g e r - g r o m o l l 度m 1 8 】 设( 尬9 ) 为黎曼流形，v 为l e v i - c i v i t a 联络，对于切丛上的任意一点，移) ，t m 在，移) 处 的切空间有直和分解 ， ) t m = 日( p ，口) o ，口) 对任意x 耳m 存在唯一的x 皿”) 满足7 r 。x 九= x ，其中7 r ：t m m 为自然 投影，称x h 为x 在，口) t m 处的水平提升；切向量x 的竖直提升为x 口，移) 满 足x ( d 1 ) = x ，其中厂为m 上的函数，d ，为t m 上的函数则x _ x 和x x v 分别 为t p m 至, j ， ) 和t p m 至 j ，钉) 的同构映射从而任意的z ， ) t m 可分解为z = x + y 口 定义3 1 1 设( m ，夕) 为黎曼流形，x ，y 乃m ，t m 上的c h e e g e r g r o m o l l 度量定 义如下： y ( x h , y 歹( x h ，y u y ( x u 。y 口 g ( x ，y 0 ， 三( 夕( x o l ( 3 1 1 ) y ) + g ( x ，钞) 9 ( 秒) ) ， 冥中q = 1 + g ( v ，秒) 设( e 1 ，e ，1 ) 为开集ucm 上的正交标架场，( z 1 ，x n ) 为u 的局部坐标，则可定 义丌1 ( u ) 上的局部坐标系为0 1 ，矿，钞1 ，矿) ，其中 ，移) = p ) ，v i ( p ，v ) = ，u ) 7 1 - - 1 ( u ) ，u = e t 记巧为由v x 勺= 巧( x ) e i 定义的局部1 一形式，则x 的水平和竖直提升为 fx h = x - - i 巧- ( 蹦杀， k x 工2 在7 r - 1 ( u ) 取局部标架场( e 2 ，e ：，e j ! ，e ：) ，则其对偶余标架场为： 7 r u 1 ，7 r + u n ，d v l ，d v n ， 其中为e t 的对偶，d = d v + 7 r + ( r ；) 命题3 1 1 设( m ，夕) 为黎曼流形，则t m 上的c h e e g e r g r o m o l l 度量可写为如下形 氏： 歹= 9 + 南( ( d ) 2 + ( 移m d 口m ) 2 ) ( 3 1 3 ) 具有c h e e g e r g r o m o l l 度量的切丛的几何 则由命题3 1 1 可得 3 2 数量曲率 功= 劈， 玩，n 删= o ， 虱托n 啊= 石1l 吩i + v i v j ) 记= 7 r ，妒“= d ，( 1 i 几) ，以为与- 相容的联络形式贝0 t m 上的结 构方程如下： 曲率形式圣鲁为 对，扩+ 外微分得： 魂d“cba：=毒z夕ccbba西譬ca+, 弛c 铝 西叁= d 砖+ 必 艰 c d 扩+ = 丌4 ( d 巧) 一矿( r ；) 八舻 1 2 a7 1 + 巧) ， 矿( 嘭) + n 卅八丌+ ( 巧) 由( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) - 7 得( t m ，- 0 ) 的联络形式为： 蟛= 矿巧+ 去口m 凡喇t 扩神， 竹t 把 蜉“= 吉矿r 删知扩， m 向 = 去矿弓侧扩， 竹i 托 舻n “+ j = 7 r 巧一 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 矿( 巧) a 扩卅 旷一三+ 字螂州+ 壶p 甜 1 2 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 大连理工大学硕士学位论文 ( t m ，- ) 的曲率形式为： 圣净( 互1 嘞，。+ 去移m 矿t 。+ 去u m 矿t 。) 矿八矿 r 占 e m pc m p 圣? “= + + r 暑 r 删f ，a 计5 ( 主见州 r 8 口”矿r s m i j + 去口m 伊耳删咒咧。) 妒+ r a 妒8 ， + 去u m 护忍一。+ 去 m 矿， c m p m + 等z , 1 2 m v 风嘶) m 矿3 + 圣如= ( 五1 ，tt 去 三口”咒咖m 妃 口”矿r 眺弓p r e + 孬1 m v m v 8 马m r i + 去u m 忍晰) 扩 n + s - i - 去俨马脚印矿八矿， 。b 州n + i = ( 互1 ，。+ 五1 矿。+ 害矿。+ 去俨矿忍马p d 矿 矿 一万2 + a 口矿妒+ ra 州+ pc r n p 竽矿州一字 f v 8 咖凡+ a 矿+ 3 ( 3 2 5 ) 其中，将越o7 r ，斟，po7 r 简记为勘胁r e j k l 护 引理3 2 1 设( m ，夕) 为黎曼流形，( t m ，- ) 为其切丛，其中歹为c 尼e e 9 e r g r o m o l l 度量，则t m 的 黎曼曲率张量为 鬲炉时菘1 删；码时去删( 舰砀z 一t e ) ， 瓦囊咖扩去局嗽岛， 瓦咖眠。州= 夏1 扁坳+ 五ie ( v m v , r k 删i - - v m v k r l 删t ) + 去 瓦，亿卅, k , n + l - - 孬1 矿弓m 觚一去弓抛一去 兄，计j ，n + 知冉+ f = 0 ， 瓦+ ，n 蜘眠州= 字( 办2 嘭一影。够+ v jr + ，毗卅产彳( 扩嘭一u 锄。够 证由 钞m 护( r 七唰局力。一r j m d 马纫。) c 竹l p 口”矿诧删。一去 蜒一甜碍) + 掣 垂鲁= 吾磁c d 咖c 护 。c d 1 3 口m r 础t ， m ( 醴岛一研) ( 3 2 6 ) 三勉 。 具有c h e e g e r - g r o m o l l 度量的切丛的几何 以及 戡日c 。= 磁弘a e 直接计算可得 引理3 2 2 设歹为t m 上的c 危e e 9 e r g r o m o l l 度量，则有 a 憎引 a l = 1v 1v 2 01 + v l v lv l v 2 0v 2 v 11 + v 2 v 2 0v n v lv n v 2 勘n v l v n v 2 v n 1 + v n 口n 1 口1 钉2 u 竹 一钉l10 0 d r 201 0 d v n00 1 1 + v l v l + v 2 v 2 + + v n v nv 1 口2 口n 010 0 001 0 ：1 + v l v l + v 2 v 2 + + v n v n = 0 1 同样方法可得a 的伴随矩阵为 而 00 1 拈要习 1 4 a 一1 ： 1 。 阿一 i 从而有矿栩m 切= 口彤一证毕 定理3 2 3 设( m ，g ) 为黎曼流形，s 为m 的数量曲率，( t m ，歹) 为其切丛，其中d 为 c h e e g e r g r o m o l l 度量，则( t m ，歹) 的数量曲率为 s = s - 石1 秒m 护玎+ 掣n 2 + 丁- 3 a 2 - 3 a + 3 时下2 a 2 + 2 a - 4 ( 3 2 7 ) 证记i = 几十i ，由( 3 2 6 ) 和引理3 2 2 得 可= 虿a c - b d ，b o d = 穸知穸2 勘埘+ 穸南穸7 殇k 7 + 穸守。焉- 2 + 矿雨矿7 瓦丽 = 矿南矿。砀触+ 2 穸七妒夏瓣+ 矿石穸7 瓦孺 = 壤岛鬲觚+ 2 壤( 乜岛一秒。) 再承z + ( 口毹一2 ，锄知) ( q 岛一v j v z ) 再瓣 = 鳓巧一瓦3 口m 矿巧+ 2 ( 去俨矿r 。删巧) 小罐_ y i v k ) ( 字渤铒- 2 a q + 51 v t v k + 掣酲佗一学醴) = s 一石1 钉m 矿+ 竽冉丁- 3 a 2 - 3 a + 3 n + 3 3 常截面曲率情形 2 口2 + 2 a 一4 q 2 引理3 3 1 设( m ，夕) 为具有常截面曲率k 的黎曼流形，( t m ，动为其切丛，其中歹为 c h e e g e r g r o m o l l 度量，则( t m ，虿) 的数量曲率为： 君= 害( ( 1 一口2 + 2 a 2 佗k + 2 ( 6 + ( 扎一2 ) ( 1 + q + q 2 ) ) ) ( 3 3 1 ) 证若( m ，g ) 为具有常截面曲率仡的黎曼流形，则有 此时 s = n ( n 1 ) k ， 勘射= k ( 玑七毋z g “毋七) = k ( 醴岛一霹醴) 否= n ( 死一1 ) 尼一去秒m 矿k ( 劈妒一劈妒) 仡( 劈譬一够鳄) + 三掣佗2 + _ - 3 a 2 - 3 a + 3 n + (卫(1上 2 q 2 + 2 a 一4 = 咖一1 ) 仡一篆( 钆一1 ) ( q 一1 ) + n “- 。l ( 6 + ( 佗一2 ) ( 1 + 口+ 胡) 1 5 口 钞 一 叽碱； 叫 叫 一呵 一：廿 一 ” 一 乞户；一 沪 叫 叫 具有c h e e g e r g r o m o l l 度量的切丛的几何 = 百n - i ( ( 1 一q ) q k 2 + 2 q 2 扎之+ 2 ( 6 + ( 佗一2 ) ( 1 + q + a 2 ) ) ) 卜垫竺里一， 3 卜a 2 n - 巫v ( n 2 + 乏2 n - 器4 ) a 4 + 产1 2 a 2 巫- ( 2 n + 8 ) a p 柚柚 由( 3 3 3 ) 可知，仡l 关于q 单调递减，仡2 关于q 单调递增故当 k t i , 一、n 2 + 2 n 一4 ，竹+ n 2 + 2 n 一4 】 时，对任意的o l ( 1 ，o o ) ，总有否 0 当 k