（基础数学专业论文）关于novikov代数的一些结果.pdf

摘要 本文我们主要给出了一些关于n o v i k o v ，p o i s s o n 代数的分类和单无限维n o v i k o v 代数的结果并且介绍了n o v i k o v 代数的形燮理论，苇珏李代数粳联系，我们绘邀了 典激李代数上的代数的具体实现方法本文主要构成如下； 在绪论中会缨了有关谖题鸷景及n o v i k o v 代数的一些基本定义与性质， 第一节我们介绍了特征0 域上的有限维左n o v i k o v 代数的结构理论 第二节我们蕾先给出了n o v i k o v 代数鹩形交理论，并强指出n o v i k o v p o i s s o n 代数实际上是其交换结合代数结构与n o v i k o v 代数结构的一个相容形变+ 再次； 我们讨论了怎样对n o v i k o v * p o i s s o n 代数进行分类作为一个例子，我们给出了2 维n o v i k o v - p o i s s o n 代数的分类 第三节我们介绍了n o v i k o v 代数。并给出了典型李代数上的n o v i k o v 代数的 其傣实褒穷法， 第四节研究了特征0 域上的无限维n o v i k o v 代数，给出了n o v i k o v 代数的 一鍪荦性命题，通过扩张基域晦方法构造了一类单n o v i k o v 代数 1 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ew i l lm a i n l y 番v es o m er e s u l t so n t h ec l a s s i f i c a t i o no fn o v i k o v p o i s s o na l g e b r a sa n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rd e t e r m i n i n gt h es i m p l i c i t yo f i n f i n i t ed i m e n t i o n a ln o v i k o va l g e b r a s c h a r a e t e r i s t i c0 w ea l s oi n t r o d u c et h e d e f o r m a t i o nt h e o r yo fn o v i k o va l g e b r a s i nr e l a t i o nw i t hl i ea l g e b r aw es h o wh o w t oc o n s t r u e n o v i k o va l g e b r ao v e rd a s s i c a ts i m p l el i ea l g e b r a s o m eb a s i cc o n c e p t s o fn o v i k o v a l g e b r a s w i l lb er e c a l l e di nt h ei n t r o d u c t i o n i ns e c t i o n1 ，w ei n t r o d u c e t h es t r u c t u r eo ff i n i t ed i m e n t i o n a ll e f tn o v i k o va l g e b r ao fc h a r a c t e r i s t i c0 i ns e e t i o n2 ，t h eg e n e r a ld e f o r m a t i o nt h e o r yo fn o v i k o va l g e b r a si 8i n t r o d u c e d s oi tw i l t b ee a s yt os h o wt h a tt h ec o m m u t a t i v ea s s o c i a t i v eo p e r a t i o ni nan o v i k o v p o i s s o n a l g e b r ai s 建c o m p a t i b l eg l o b a ld e f o r m a t i o no f t h ea s s o c i a t e dn o v i k o va l g e b r a w e a l s od i s c u s sh o wt oc l a s s i f - yn o v i k o v w p o i s s o na l g e b r a s a n da 8a ne x a m p l e ，w ew i l l g i v et h ec l a s s i f i c a t i o no f2 - d i m e n t i o n a ln o v i k o v - p o i s s o na l g e b r a s i ns e c t i o n3 ，w e i n t r o d u c eg e l l a n d * d o f f m a na l g e b r aa n ds h o wh o wt oc o n s t r u c tn o v i k o va l g e b r a o v e rc l a s s i c a ls i m p l el i ea l g e b r a ，i ns e c t i o n4 ，w ew i l lg i v es o m es u f f i c i e n tc o n - d i t i o n sf o rd e t e r m i n i n gt h es i m p l i c i t yo fi n f i n i t ed i m e n s i o n a ln o v i k o v a l g e b r a s ! o f c h a r a t e r i s t i c0 w ea l s oc o n s t r u c t c l a s so fs i m p l en o v i k o va l g e b r a sb ye x t e n d i n g 强eb 豁e e l d 。 。 2 绪言 变分法几乎魁与微积分的诞生同时问馓的微分学中处理的极值问题擞要是 几个独立变鬟韵函数酶极德问题，组变分法中处理的极值问题则蔻以泛函为其考 察对象的自从j o h a n nb e r n o u l l i ，j a c o bb e r n o u l l i 以及l e u l e r 等探讨交势法的 种种具体问题以来及至1 7 6 0 年，j l l a r g r a n g e 与力学桐联系引进了变分问题 鳃般处理方法。微分学以及变分法经历了 弋数他熬过程霹褥到影式微分学f t h e f o r m a lc a l c u l u s ) 和形式积分学( t h ef o r m a lc a l c u l u so f v a r i a t i o n s ) ，从而我们研以利 曩鬻鸯痰效翡代数王其开骚避一爹瓣辑究王终当然这氇擦凌了我数学鸯痔静发 展这在上世纪七十年代，i mg e l f a n d ，l a d i k i i ，i y a d o r f m a n 等的工作【l 】，f 2 l 中都有程妤的体现 哈密顿算子是形式变分学中一类重要的算子。本文所讨论的n o v i k o v 代数结 构就是i m g e l f a n da n di y a d o r f m a n 【3 3 在研究具有性质王幻= k c i j k u ：1 + d 女鞋f 鑫，女c ，岛女= 锡+ 冀洳的算予是否是埝密壤舞子辩产生戆，荚俸戆 讲，以为结构常数定义代数l = l ( e o ，e l ，) 中的乘法运算“。”： e i 。e j = q j k e 女 珏为h a m i l t o n 葵予警显仅囊运葵“0 ”游怒； ( n o b ) 0e = ( a oe ) o 6 定义设三整域f 上魏线毪签闯，整五上有二元运算”0 ”满足 5 则称( l ，。) 为n o v i k o v 代数 1 9 8 7 孥，e ， 。z o i m a n o v 溺开始了霹n o v i k o v 栽数斡氍突，德搔出特鳋0 壤 上的单有限继n o v i k o v 代数是一维的，在代数学中，结构和分类阻繇一直是代数 学象最关心鹃窝题。劐疆翦洚壹，般鹭n o v i k o v 代数静鳍梅稻分类还菠裔系统 的理论1 9 9 2 年，j 。m o s b o r n 5 】，完成了特征零域上的具有搭等元的笼限维 莩n o v i k o v 代数静努类稻特征p 蠛上的其商幂等元韵有限维单n o v i k o v 代数的 分类1 9 9 5 年，镣捷乎 7 l 发展了艟懿理论，绘爨了特征p 静健数翅城上醣单 n o v i k o v 代数的完众分类自承铭f 8 】1 9 1 ， 1 0 】对低维n o v i k o v 代数做了一泶列的 工佟，如低维n o v i k o v 代数懿分类和实理等簿。徐晓乎在梅遗n o v i k o v 找数的张 量积时引出了n o v i k o v p o i s s o n 代数的概念f 1 1 1 定义设怒域f 上静缓注空商，鼠li 有二元运算( 五，。) ，( 三，) 是交 换缝合代数，( l ，o ) 是n o v i k o v 代数且对任意嚣；y ，毒l 毒： 0 y ) 。z = 卫( y 0 2 ) ( 搿0y ) 、。一zo ( y g ) = ( ”。) - z yo ( 搿g ) 裂称为 n o v i k o v - p o i s s a n 德数。 n o v i k o v 代数的模理论也取得了非常丰富盼结果 本文我们主要输出了一蕉关于n o v i k o v - p o i s s o n 代数的分类和单无限维n o v i k o v 代数黪结暴并且分缨了n o v i k o v 代数靛形变骥论；秘挛代数耀联系，我翻绘蹬了 典型李代数上的n o v i k o v 代数的具体实现具体地讲，我们在第一节介绍了特征 0 城上翡毒隈缝童n o v i k o v 代羧戆终梅理谂第二磐鼗镪蓄先跨凄了n o v i k o v 我 数的形变理论，并麒指出n o v i k o v - p o i s s o n 代数实际上是其交换结合代数结构与 n o v i k o v 代数结筠懿一卜趣骞移交，再次，我捐讨论了怎样对n o v i k o v - p o i s s o n 代 数进行分类。作为一个倒予，我们给出了2 缎n o v i k o v - p o i s s o n 代数螅分类+ 第 6 三节我们介绍了g e l7 f a n d d o r f m a n 代数，并给出了典型李代数上的n o v i k o v 代数 的具体实现方法第四节我们研究了特征0 域上的无限维n o v i k o v 代数，给出了 n o v i k o v 代数的一些单性命题，通过扩张基域的方法构造了一类单n o v i k o v 代数 本文总假定f 是特征为零的代数闭域，用c 表示复数域。 1 特征0 域上的有限维n o v i k o v 代数 【4 j 讨论了特征。域上的有限维右n o v i k o v 代数这一节我们讨论了特征0 域上的有限维左n o v i k o v 代数 定义一个非结合代数a 是左n o v i k o v 代数如果它满足： ( 。，y ，z ) = ( y ，x ，。) ( z y ) z = ( x z ) y 其中( 2 5 ，y ，z ) = ( x y ) z 一。( 可z ) 一个非结合代数a 是毫n o v i k o v 代数如果它满足 z ( y z ) = y ( x z ) 其中( z ，y ，：) = ( # ) z z ( 0 2 ) 、 定义 对于。a ，定义左乘算子如和右乘算子兄为 l ( g ) = x y ，见( ! ，) = y x ，y y a 方程( 1 ) ，( 2 ) 表明 r r 。= 马r 。，l ：= r v l 。，垤，y ，a 7 n ) c i ) 对于任意右乘算子r 。，如果存在札n ，满足磁= 0 ，则称a 是右幂零n o v i k o v 代数如果 ，1 2 是4 的右幂零理想，则，l + 如也是a 的右幂零理想从而一 个有限维n o v i k o v 代数存在唯一个极大右幂零理想( 4 ) 如无特别说明，今后本文所指的n o v i k o v 代数均指左n o v i k o v 代数 例设v 是一个实向量空间 定义 a=v o r = ( u ，a ) i k r ( ”，a ) 。( w ，卢) = ( 卢”，卢a ) 可以验证是一个n o v i k o v 代数 定理1 1 任意一个有限维n o v i k o v 代数a 存在根空间分解a ；o a 。，a a + ，其中a n2 n a i r b 一( 。) ( 6 ) i 卅”o = 0 ，3 n n ，v b a ) 且有a 。是a 的理想，a 。如= 0 ，a 卢 证明我们可以证明 【r b o ( 6 ) 。明) ”l z = l z r b a ( b ) i d “一r a i l 。，风】【r 6 一“( 6 ) t d m 1 对于任意n 九，。a ，下面证明l 。，兄a 。事实上，3 n n ，满足 r b n ( 6 ) i 明“。= 0 则有 r b a ( b ) i d ”l 。茁= 弘b 一0 f ( 6 ) i d 】n o ：0 ， 忍一a ( b ) i d “+ 1 见石= 忍一a ( b ) i d 1 如o = 上z r 6 一( 6 ) i d j ”+ 1 n 一礼【三。，风h r 6 一。( 6 ) i d ”o = 0 定理1 2 假设a = a 。，扎= d i m a 记t r ( o ) = t r ( 兄。) ，则有t r ( z ) t r ( ) = n t r ( z g ) 且有a n ( a ) ! f 证明设e 一，e 。是a 的一组基则有 8 f 0 1 0 m 扎a 。叭。：j t r ( r 凰) = t r ( r 。) = t r ( x y ) = n o ( x y ) = 礼n ( z ) ( 可) ，t r ( r ) t r ( r 。) = n 。( ) n n ( 茁) = t r ( 可) t r ( z ) ， 从而有 t r ( x ) t r ( y ) = t r ( 。g ) 设，= a a it r ( a ) = o ) ，则有j 是a 的一个理想，i = ( a ) 如 果n = 0 ，则有a = ( a ) ，a 是右幂零的如果a 0 ，则有a i 是交换，从 而是结合的，下证它是一个域事实上，对于任意一个a i 的非零理想b i ，有 ，cbc a ，3 b 0 ，6 b ，蚝( a ) ，r b 是可逆的则j e n d f a ，满足 r b 咖= c r b = i d ，r b = 曲，对于任意的a a ，a = 咖- 1 ( o ) ：o b 因此有b i = a i ，也就是a 1 只有两个理想0 和a i 这样我们就证明了a i = a n ( a ) 是 一个域，a n ( a ) ! f 定理1 3有限维n o v i k o v 代数可以分解为其理想的直和a = o 。a ，其中对 于每个a 它或者是右幂零的或者a ( a ) = f 2 ， 关于n o v i k o v - p o i s s o n 代数的一些结果 2 1 n o v i k o v 代数的形变理论 在这一节里，我们要给出交换环f 上的n o v i k o v 代数的形变理论设a 是交换环f 上的n o v i k o v 代数，则有a 是f 一模，我们可以得到一个f i t 一模a 【叫= a o f f t 事实上，a 嘲是一个f 嘲一模也就是a 问= 啦纠n z + ，a i 舢代数a 是a 嘲的一个子模，我们可以通过线性扩张a 的乘积的方法得到代数a 阿设有 9 、， q 眈 兄吼 ，一 乘法算子n ：a i r o f a i r _ a 其定义为形式和 0 4 a ，b ) ；口o ( ，b ) + o l ( o ，b ) t + 2 ( n ，b ) t 2q - 因为我们可以定义f i t 上的算子口，所以我们只要考虑a ，b a 我们进一步假 设每个o 。是一个线性映射：a o a _ a a o ( a ，b ) = a b ( 4 上的乘法) 所以当 t = 0 时它实际上是a 的乘法算子 定义交换代数f 上的n o v i k o v 代数a 的单参数形变是形式幂序列和o = 墨。只其系数属于h o m r ( a o a ，a ) 且满足o o ：a o a _ a 是a 上的乘法 算子 如果这一形变还满足 0 4 0 , ( a ，6 ) ，c ) 一口( n ，( 6 ，c ) ) = 血( a ( 6 ，n ) ，c ) 一“( 6 ，q ( o ，c ) ) 。( ( 血，6 ) ，c ) = a ( o ( 凸，c ) ，b ) v a ，6 ，c a ， 则称它是n o v i k o v 的我们称a i r 】= ao fs i t ( 其乘法算子由a 来定义) 为 n o v i k o v 代数a 的形变 定义n o v i k o v - p o i s s o n 代数a 是一个具有两个乘法算子“，0 ”的向量空 间，且满足( a ，- ) 构成一个交换结合代数，o ) 构成一个n o v i k o v 代数，且满 足 ( z y ) o 。= z ( 可。z ) ，( zo 寸) z z0 ( ”z ) = ( g o z ) z g0 ( z z ) 定义g e l f a n d d o r f m a n 代数是一个具有两个乘法算子“。”的向量空 间，( a ， ， ) 构成一个李代数，( a ，o ) 构成一个n o v i k o v 代数，且满足相容条 件 。，y oz 一 。，z 】oy + ( g 。y ，z 】一【z o z ，y 一z 。 y ，z = 0 称( a ，o ) 为李代数( a ， ，】) 上的n o v i k o v 代数 1 n 例1设( a ，“1 ，q 。) 是一个n o v i k o v p o i s s o n 代数( a ，d 1 ) 构成一个交换 结合代数，( a 口。) 构成一个n o v i k o v 代数。定义d ：a 纠o p ：】a t - a 凸：= o l 0 + a l t 很容易验证( a c 。) 构成一个n o v i k o v 代数，也就是( a o ) 是( a ，0 幻) 的形变。 这表明了n o v i k o v p o i s s o n 代数实际上是其交换结合代数结构与n o v i k o v 代数结 构的一个相容形变 例2 设( a ，o l ，蛳) 是一个g e l f a n d - d o r f m a n 代数，( a ，盘i ) 构成一个i i e 代数， ( a ，o ) 构成一个n o v i k o v 代数，定义a ：a t t i t a t 一a h a = o 十a l t 很容易验证( a q ) 构成个n o v i k o v 代数，也就是( a o l ) 是( a ，a ) 的形变 2 2 关于n o v i k o v p o i s s o n 代数的一些结果 在这一节里，我们将要讨论怎样对n o v i k o v p o i s s o n 代数进行分类，作为一个例 子，我们给出了2 维n o v i k o v p o i s s o n 代数的分类 到目前为止，n o v i k o v p o i s s o n 代数还没有一个系统的理论，甚至在低维的情 况下也未有这是因为低维n o v i k o v 代数的分类目前才进展到3 维然而我们可 以通过做n o v i k o v p o i s s o n 代数的张量积得到一些有趣的高维的n o v i k o v p o i s s o n 代数，从而为进一步的研究提供例子 对于任意两个n o v i k o v p o i s s o n 代数( a 1 ，- ， ) 和( a 2 ，- ， ) ，我们可以在a 1 0 a 2 上定义两个算子- 和 ，使得( a loa 2 ，十) 构成一个n o v i k o v p o i s s o n 代数1 1 1 ： ( x l x 2 ) - ( 1 y 2 ) = ( x l - y 1 ) o0 2 ( z l x 2 ) ( y lo 2 ) = ( x l y 1 ) o ( x 2 y 2 ) + 扛l 对任意筑，y ：a 。i = 1 ，2 1 1 抛)( 1 ) 1 ) o ( x 2 + 2 ) ，( 2 ) 事实上，为了应用方便，方程( 1 ) 一( 2 ) 可以用线性变换( 或矩阵) 来表示设 ；，臻分裂表示n o v i k o v 代数( a ，+ ) 懿志乘露右黎算予；芝，琏分裂裳嚣交换 结合代数( a ，) 的左乘和右乘算子，也就是： ；( 可) = 2 7 $ ，矗；( ) = y 搿，l i ( y ) = x 鲈，兄：( ) = y 茹，比，y a ( 3 ) 予是方程1 ) 一2 ) 等徐予下甍方獠： 工：。6 = l ： 瓦+ l ：o 珑；域。沪蝶圆吃+ 玩。臻；( 4 ) l a m b = l j 固上；吃圆5 = r ：o 月；，( 5 ) 对任意静醢a 1 ，b a 2 在方程右透崮现的。寝示的怒张量空间上的两个线髋 变换的张量积我们知邋两个线性变换 和 的张量积为； ( o ，2 ) ( 。o6 ) = ，1 ( o ) ，2 ( 6 ) 搴实上，对任意的a ，c a l ，6 ，de ；a 2 ，可 以得委； 己：。( c d ) = = 扣ob ) 十( c o d ) = a 水c ) ( b d ) + ( n - c ) o ( 6 聿d ) = ：( c ) l b ( d ) 十三：( c ) p l ；( d ) 拦( 三：o l b + l a 圆二；) ( 。od ) ： 旁l | i 设 e l ，； g = 1 ，2 ) 莛n o v i k o v - p o i s s o n 健数( 鱼，女，。) 懿一缀基+ e * 弓= 警- c 咎e t ，e 5 - e ；= ：。，呓通过方程( 4 ) ，我们可以得到一个四维的 n o v i k o v 代数萁寇义为： e ；o8 ，e ；oe l ，谚oe ；，e ；oe i 赡8 2 = 定义两个n o v i k o v p o i s s o n 代数( 鱼， ，) 斌鸯是强梅酶警整佼警密线性阕 构映射f ：a l 叶a 2 ，满飓 f ( a b ) = ，( n ) 十，( 6 ) ，( n 6 ) = f ( a ) - ，( 6 ) ，v a ，b a 1 1 2 礤辔诺甾 硪娥磁以 + + + + )粥澎甏皤蟹勤鹱瓣麓埘搿整搿啊 8 哦娥磁嘣 j + + + + 辔璎礤磋培嚼 q 磅吗吐 u “h 鞋 “镰嗜季 +料逆露遐 j+ 鸳唆溪麓 札錾豁日畦磅畦 d d 弋埘搿覆xw 二广哦娥露峨 2十，f 畸，呓。，l；一；一， 蠼鹾瞬谚畦商d哇哇畦 设( a h * ，) 和( a 2 ，十，- ) 是两个n o v i k o v p o i s s o n 代数通过方程( 1 ) ，( 2 ) ，我 们可以得到下列结果： ( a ) ( a 1 0 a 2 ，十，) 和( a 2 0 a 1 ， ，) 是同构的其同构映射为：7 _ ：a 1 0 a 2 - a 2o a 1 ，z ( aob ) = b 圆a ，v a a 1 ，b a 2 ( b ) 如果( a ，* ) 和( a 2 ，+ ) 是交换的n o v i k o v 代数，则有( a 。oa 2 ， ) ( 由方 程( 2 ) 给出) 也是交换的 ( c ) 如果( a 1 ， ) 和( a 2 ，) 是两个结合的n o v i k o v 代数则l 固a 2 ) ，t ) ( 由 方程( 2 ) 给出) 也是结合的，如果v x ，y ，z a ；，我们有 ( d ) 所谓的l i e p o i s s o n 代数( a ，- ) 是一个具有线性算子 间，且满足( a ， ， ) 构成一个l i e 代数，( a ，) 构成一个交换结合代数 容条件： 。，y 。 = z ，y 】z + y 【z ，z 】，v z ，y ，z a 可以验证( a ， ，- ) 是l i e p o i s s o n 代数当且仅当 z ( 9 。z ) = 茁( y z ) ，v x ，y ，z a 其中【z ， 一= z 十y y 女z ( 6 ) 的向量空 同时有相 ( 8 ) 事实上，我们可以由交换结合代数出发来构造n o v i k o y p o i s s o n 代数例如 设( a ，) 是一个交换结合代数，d 是它的一个导子定义乘法运算为 o $ 6 = a d b 则( a ，十) 是一个n o v i k o v 代数这一n o v i k o v 代数结构最初是由s 出的徐晓平证明了( a ，+ ，- ) 是一个n o v i k o v p o i 8 s o n 代数 1 3 ( 9 ) g e l f a n d 给 从上一节我们知道n o v i k o v 代数的形变理论和n o v i k o v p o i s s o n 代数有十分 密切的关系白承铭f 9 证明了维数3 的n o v i k o v 代数可以由n o v i k o v 代数( 由 方程( 9 ) 给出) 和它们的相容形变实现 因为在一个n o v i k o v p o i s s o n 代数里面有两种乘法运算，所以要得到它的完 全分类并不容易， 在一般情况下，对具有两个代数运算的代数系统进行分类，可以按下列步骤： 第一步：使用结构常数对其中一个代数系统进行分类； 第二步：对于已经固定的第一个代数系统，在第二个代数系统里确定其相容 的结构常数； 第三步：在第二个代数系统里对这些相容的结构常数进行分类 在这里，我们特别指出，在第二个代数系统里描述其同构关系的线性同构映 射必须属于第一个代数系统的同构群里面 对于一个n o v i k o v p o i s s o n 代数来说，因为其交换结合代数的结构相对n o v i k o v 代数的结构要简单，所以我们固定n o v i k o v 代数( 其低维分类在 8 已经给出) ，然 后对其相容的交换结合代数进行分类 设 e i ) 是n o v i k o v p o i s s o n 代数( a ， ，) 的一组基则( a ， ，) 由形式矩阵 决定： ，楚。c f t e k 。c 、 ( a ，；) = i l ， ：lc ：1 e k 警lc 。k 。v k ，冬，d - e k 。吮。e k 、 ( 4 ，) = l l ，( 1 1 ) ：。破。e k ：。碟。e k 其中e i e j = ：1c ；j e k ，e 。e j = ：1 鸥e k 对于固定的，+ ) ，( a ，) 里的元素应该满足下列方程； 屹= 哆。，曲稚= 颤，p = 1 ，礼；( 1 2 ) 1 4 ( 1 3 ) 从2 维n o v i k o v 代数的分类 8 可以得到其对应的同构群基于这些结果和 直接的计算，我们可以得到2 维n o v i k o v p o i s s o n 代数的分类如下表：( m ，佗c ) c h a r a c t e r i s t i c a u t o m o r p h i s m c o m p a t i b l e c h a r a c t e r i s t i c c h a r a c t e r i s t i c m a t r i x ( a ， )g r o u pa u t ( a ， ) m a t r i x ( a ， ) m a t r i x ( a ， ) a l , a 1 2 ) ( ：趴( ：) ， c 叫( ：) 0 2 l。2 2 ，a l la 1 2 、，e l0 、r e l0 、 ( 2 1 1 a 2 2 一 d 2 l。2 2 ，0e 2 ，1 0o ( z 1 2 a 2 2 0 0e l le le 2 c 删( ：) 卜1 1 o 1 f 0 m e 2 、r 00 、r o e l 、 ( 2 2 1 以五， l m e 2n e l + m e 2 l 0m e l e 1e 2 a l l 0 c h a r a c t e r i s t i ca u t o m o r p h i b m c o m p a t i h i e c h a r a c t e r i g t i c c h a x a c t e r i s t l c | m a t r i x ( ，十)g r o u pa u t ( a ， 】 m a t r i xf 1 m a t r i x ( a ，+ ) 旧，( 。0 ：) ( 8 j 17 ) r 0 m e l 、 ( 2 。笔) ，( 2 军：。) o l l 0 ? 7 1 e i7 1 e 1 + m 曲 卜，( 言三) ( ：) ( 12 ：)( 12 。) ，( 仇圳 ( ：j ) c 嘲( ：，) ( 譬：) ( 12 。)( 智2 ：) ，( ：2 ：) n 1 1 0 c ( ：笔) ( 17 ) r 0 f i l e 2 1 ( 2 ，：) ，( 2 。j 。) n 1 1 o m 8 2n e l 十m e 2 ( n 4 ) ( ：) ( ：芸：)f o ? 。l1 ( 2 。鬻) ，( ：) n 0 t t l e ln 8 l + m e 2 j cn 5 ) ( ：。：。：) ( 。：。：)( 0 。髯k 。)( 2 。篡：) ，( ：。) ，( 暑割( 8 j 17 )r o m l 1 ( ：。勰) ，( 2 军嚣。) i 0 ，ln 1 1 0 m o ln 8 1 + m e 2 注解1 把上表的特征矩阵( 4 ，) 和2 维n o v i k o v 代数的实现 9 】， 1 0 进行 比较，我们可以看出许多n o v i k o v p o i s s o n 代数不能从方程( 9 ) 得到事实上， n 。v i k 。v p 。i s s o n 代数( 一4 ，+ ) ( t 3 ) 和，) = ( o 。m + e m l 。) 就是一个例子 1 5 佗 l p ， 。m = 最 d 。 4扎l i | p 芬 一 嚷 叮 。吼 = 瑶 嘭 一 p 拙 d 。出 注解2 通过上表和例( 1 ) 1 给出的公式，我们很容易得到两个n o v i k o v p o i s s o n 代数的张量积，其n 。v i k 0 v 代数结构是4 维的例如，( t 3 ) 型，) = ( ：。：) 和型( n 5 ) ( 一4 ，) = ( m 0 ，e 1m 7 7 2 乜1 e i ) 的张量积的特征矩阵是 ，0 00 t i 2 e l 、 1 00 0 ”2 , e i + t i l e 2l 1 0 ( m m ，) e l 0 7 1 l e 3 i m e lm e l + ( 仇一m ) e 2 0 m ( e z 十e 4 ) 但是，对这些特征矩阵进行分类并不容易( 这甚至是不必要的) 因为对于两个n o v i k o v p o i s s o n 代数( a i ， ，- ) 任意的同构映射f ：a lo a 2 一a lo a 2 未必存在两个同构 映射 ：4 。- - + a 满足f = o ，2 3 李代数上的n o v i k o v 代数 从第二节中我们知道，我们可以由交换结合代数来实现代数特征为0 或p 5 的代数闭域上的有限维单李代数的分类已经完全给出 2 2 那么能否从李代数 出发来实现n o v i k o v 代数呢? 鉴于这个思想，徐晓平引出了g e l f a n d d o r f m a n 代 数的概念( 2 3 】在第二节我们也指出了g e l f a r t d d o r f m a n 代数实际上是n o v i k o v 代数的形变为了保持本文的完整性，我们将介绍一下如何由李代数出发来构造 n o v i k o v 代数 定义设t 是李代数( g ，【，】) 的一个线性变换，且满足 【t ，t g = t t x ，引+ t 陋，t y l ，v z ，y g( 1 ) 则称为上的一个典型r 一矩阵 定理31 如果t 为李代数( g ， ) 上的一个典型r 一矩阵，且满足 t x ，t y 】= 扛，t 2 乩v x ，y g( 2 ) 定义x 。y = t x ，纠一f t z ，乩则( g ，o ) 为一个g e l f a n d d o r f m a n 代数，也就 是( g ，。) 为李代数( g ，【，】) 上的n o v i k o v 代数 1 6 推论3 2 如果李代数( g ， ，】) 上存在非平凡n o v i k o v 代数，则t 一定不 是满射证明可以证明t ( g ) og = o 事实上，。oy = t x ，y 】一 儿，y = t x ，引+ t x 矗t x ，y 】+ t y ，z 3 _ 0 ，v x ，y g 定理33特征为0 或p 5 的代数闭域上的有限维非零李代数上存在非平 凡n o v i k o v 代数 命题3 4设a 是w i t t 代数，则a 上存在非平凡n o v i k o v 代数证明定 义x i 。码= ( j + 1 ) z i + j ，直接验证得，o ) 为g e l f a n d d o r f m a n 代数 例lg = s f “+ 1 ，f ) ( 1 1 ) 上的非平凡n o v i k o v 代数 g 是单李代数，且有根子空间分解 h = d i a g ( x t ，x 2 ，魏+ 1 ) l x l + + z h i = o ) 记凡一a ，2 砸 玎( 蜀。一易，) ，则a i 一九+ = 币b ( 最t 一旦+ 1 i + 1 ) ，( 1 isf ) 为 h 的一组基 + = 九一a j 1 i f + 1 ) ) ， 肌一, k j 2 f e 0 从而m = ( a 。一a 件l ，( 1s is f ) 1 厩，( i j ) 为g 的一组基取h o = a l a 2 ， 则可计算得 = f + g = f h 。+ f 如+ f e , 2 + f e l f + f 毋l 。 i 2l 士2i 2i 2 令”o = e 2 1 + e 3 4 ，显然 球墨， ：一击e 2 t o ， 1 7 如 嘞 +h | | g 数代于 n阻盯c其 取n = m 一 玩4 ) ，令v 为以n 为基的向量空间，显然 f v o + h o ，g cv f v o ov = g 定义线性变换t e n d f g t ( v ) = 0 ，t ( v o ) = h o 则t 满足方程( 1 ) ，( 2 ) ，定义z 。y = t x ，圳一 t x ，引则有u o 。如= t ，】一 t v o ，v o = 一 o ，v o 0 从而( g ，。) 为g 上的一个非平凡n o v i k o v 代数 例2 g = s o ( 2 1 + 1 ，f ) ( 1 1 ) 上的非平凡n o v i k o v 代数 g 是单李代数，且有根子空间分解 其c a r t a n 子代数 g = h + g 。 q 击 h = d i a g ( o ，x l ，x t ，一x l ，- ，一x t ) x t f ) 记九= 可者= 巧( f 1 + n + t e t + l + 订+ l + t ) ，贝0a = a t a “1 ( 1si 冬? 一1 ) ，n f = 九为 h 的一组基 咖+ = a k ( 1 k 茎f ) ，a 。一a j ，九+ a j ( 1 i j f ) ) g ，= f w ，m = e l + i ，1 一e 1 ，f + 1 “，1 i l 目一a ，= f k ，k = e t ，1 + i 一肠+ 1 + | l ，1 is l g ，一= f a i j ，a i j - - e l + i l + j 一蜀+ 1 + j l + ，1 t ，js f g ，+ j = f b 巧b i j = 最十们+ l + j e 1 + j f + l + l ，1 i ，j ? 9 一( ：+ ，) = f c , j ( 乃= 毋+ 1 + 1 + 一蜀+ 1 十，1 + t ，1 i ，j f 从而m = o 。( 1 i f ) ；b 。j ，c i j ( 1 茎i j f ) ；姒，k ( 1 i f ) ；a 。j ( 1 i js2 ) ) 为g 的一组基取h o = 。“则可计算得 k = f h 。+ g _ f h o + f b i l + 1 i t - 1 f g z + ef a f + + 1 。s f 一11 i 2 1 1 s i s z 一1 f a u + f 川+ f 1 i l - - l 令7 j 0 = w t + a 1 2 ，显然 球， h o , v o 一丽b w o 取= m 一 a 2 ) ，令v 为以n 为基的向量空间，显然 f v o + h o ，g 】ck f v o o v = r g 定义线性变换t e n d f g t ( v ) = 0 ，丁( u o ) = h o 则t 满足方程( 1 ) ，( 2 ) ，定义z 。y = t x ，引一 t x ，】则有 o 。 o = t v o ， o t v o ，v o = 一 h o ，咖】0 从而( g ，。) 为g 上的一个非平凡n o v i k o v 代数 例3 g = s p ( 1 ，f ) ( 1 1 ) 上的非平凡n o v i k o v 代数 g 是单李代数，且有根子空间分解 其c a r t a n 子代数 g = 日+ 乳 n e 西 h = d i a g ( x l ，x l ，- - x 1 ，一x 1 ) x f ) 则。= 九一- 、i + 1 ( 1 i 1 1 ) ，啦= 2 a l 为h 的一 妒+ = 2 a k ( 1 曼ksf ) ，扎一a j ，九+ a j ( i 冬i _ l i 其乘法运算由。i = ( j + 1 ) 。州决定 ( 4 2 ) a 具有一组基( z 。) 其中口跑遍f 的一个加法群，其乘法运算由 z 。x a = ( 卢+ 6 ) 。+ 口决定 ( 43 ) a 具有一组基( z 蛳) 其乘法运算由 。，t z 卢，z = c 卢+ 6 ，( 七喜2 ) z 。+ 卢，e + z + ( 。+ ：一1 ) 。+ 卢，t + r 一 决定其中。跑遍f 的一个加法子群，k 跑遍非负整数集z + 一个很自然的问题就是它的逆命题是否正确在这一章里我们给出了肯定的 答案为了证明这一点，我们先证明具有代数结构( 1 ) ，( 2 ) 或( 3 ) 的n o v i k o v