（应用数学专业论文）粗糙集拓扑性质研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 p a w l a k 最初提出的粗糙集模型是以等价关系为基础的。等价关系是一种 很特殊的二元关系，在很多实际问题中，对象之间的等价关系很难构造，或者 对象之间本质上没有等价关系，所以p a w l a k 粗糙集模型的推广是有意义的研 究课题。 y y y a o 等在粗糙集中引进了拓扑空间的概念，从而使借助拓扑学的方 法研究粗糙集理论成为可能。本文首先讨论了p a w l a k 粗糙集模型中上、下近 似算子的拓扑性质。目前文献中所建立的粗糙拓扑空间，其中的开集是精确 集。本文构造了近似空间中粗糙集构成的拓扑空间，讨论了该拓扑空间的结 构，给出了内部、闭包的刻划方法，并构造了拓扑基。 在p a w l a k 粗糙集模型中，上、下近似算子的定义有两种形式，在等价关 系下，这两种定义是等价的，类似的，基于一般二元关系的粗糙集模型中， 近似算子的定义也有两种形式，而在非等价关系下，二者一般是不等价的。 其次，本文讨论了基于一般二元关系的粗糙集模型中近似算子的几种定义、 这几种定义下近似算子之间的联系以及各自的拓扑性质，构造了相应模型中 粗糙集构成的拓扑空间并研究了该空间的结构，最后讨论了覆盖粗糙集和变 精度粗糙集的拓扑性质。 关键词粗糙集；拓扑空间；近似算子；内部；闭包 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t p a w l a kr o u g hs e tm o d e li sb a s e do n e q u i v a l e n c er e l a t i o n e q u i v a l e n c er e l a t i o ni sa s p e c i a lr e l a t i o n ，i ti sd i f f i c u l tt oc o n s t r u c te q u i v a l e n c er e l a t i o na m o n go b j e c t se v e n t h e r ei sn oe q u i v a l e n c er e l a t i o ni nt h er e a ll i f e s oi ti sm e a n i n g f u lt og e n e r a l i z e p a w l a kr o u g hs e tm o d e l y y y a os t u d i e dt h er e l a t i o n s h i po fr o u g hs e t sa n d t o p o l o g i c a ls p a c e s ，w h i c h r e s u l t e df o rs t u d y i n gr o u g hs e t sw i t ht h et o p o l o g i c a lm e t h o d i nt h i sp a p e r , w e s t u d yt h et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so fl o w e ra n du p p e ra p p r o x i m a t i o no p e r a t i o n s t h e o p e ns e t so ft h er o u g ht o p o l o g i c a ls p a c ea r ed e f i n e ds e t si nt h er e f e r e n c e s c u r r e n t l y t h e r e f o r et h ep a p e rc o n s t r u c t sat o p o l o g i c a ls p a c eo fr o u g hs e t sa n d d i s c u s s e si t ss t r u c t u r e ，g i v i n gt h ei n t e r i o ra n dc l o s u r e o p e r a t i o n s ，c o n s t r u c t i n gt h e b a s eo ft h et o p o l o g i c a ls p a c e i nt h ep a w l a kr o u g hs e t m o d e l ，t h el o w e ra n du p p e ra p p r o x i m a t i o n o p e r a t i o n sh a v et w od e f m i t i o n s ，u n d e re q u i v a l e n c er e l a t i o n ，t h et w od e f i n i t i o n s a r et h es a m e ，b u tt h e ya r en o tt h es a m eu n d e rg e n e r a lb i n a r yr e l a t i o n s os e c o n d l y t h ep a p e rd i s c u s s e st h es e v e r a ld e f i n i t i o n so fr o u g hs e t su n d e rg e n e r a lb i n a r y r e l a t i o n ，t h er e l a t i o n s h i po ft h e r ea p p r o x i m a t i o no p e r a t i o n sa n dt h e i rt o p o l o g i c a l p r o p e r t i e s ，t h e nw es t u d yt h et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so fr o u g hs e t su n d e rg e n e r a l b i n a r yr e l a t i o n ，l a s tt h ep a p e rs t u d i e st h et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so fc o v e r i n gr o u g h s e t sa n d v a r i e t yp r e c i s i o nr o u g hs e t s k e y w o r d sr o u g hs e t s ，t o p o l o g i c a ls p a c e s ，a p p r o x i m a t i o no p e r a t i o n s ，i n t e r i o r , c l o s u r e 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论 文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密团，使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：雪耀凤 日期：聊，2 ，l 指导老师签名：亭免 日期：细刀，2 ，7 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作 所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 、目前文献中所建立的粗糙拓扑空间，其中的开集是精确集。本文构造 了近似空间中粗糙集构成的拓扑空间，讨论了该拓扑空间的结构，给出了内 部、闭包的刻划方法，并构造了拓扑基。 2 、在p a w l a k 粗糙集模型中，上、下近似算子的定义有两种形式，在等 价关系下，这两种定义是等价的，类似的，基于一般二元关系的粗糙集模型 中，近似算子的定义也有两种形式，而在非等价关系下，二者一般是不等价 的。本文讨论了基于一般二元关系的粗糙集模型中近似算子的几种定义、这 几种定义下近似算子之间的联系以及各自的拓扑性质，构造了相应模型中粗 糙集构成的拓扑空间并研究了该空间的结构，最后讨论了覆盖粗糙集和变精 度粗糙集的拓扑性质。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 粗糙集理论概述 第1 章绪论 二十世纪七十年代初，波兰科学学院、华沙大学的学者组成了研究小组， 开始了对信息系统逻辑特性的长期基础性研究。针对从实验中得到的以数据 形式表述的不精确、不确定、不完整的信息和知识，进行了分析，这一研究 成为粗糙集理论产生的基础。1 9 8 2 年z p a w l a k 发表了经典论文r o u g hs e t t l l ， 宣告了粗糙集理论的诞生。由于最初的研究大多是以波兰文发表的，因此在 当时并未引起国际上学术界的重视，研究地域局限于东欧各国。到了八十年 代末，这一理论终于引起了各国学术界的注意，许多数学家、逻辑学家和计 算机研究人员对粗糙集理论和应用产生极大兴趣并做了大量研究工作。1 9 9 1 年z p a w l a k 出版的专著“r o u g hs e t ，【4 】成为粗糙集理论研究的第一个里程碑。 1 9 9 2 年应用专著【2 】的出版对这一时期的工作成果作了极好的总结，也进一步 促进了粗糙集理论的应用扩展。1 9 9 2 年，第一届关于粗糙集理论的国际学 术会议在波兰召开；1 9 9 5 年，a c mc o m m u n i z a t i o n 将其列为新浮现的计算机 科学的研究课题；1 9 9 8 年，国际信息科学杂志( i n f o r m a t i o ns c i e n c e s ) 还为 粗糙集理论的研究出了一期专辑。这些表明了粗糙集理论与应用的研究有着 广泛的发展前景。 1 1 1 粗糙集模型的推广 p a w l a k 粗糙集模型的推广一直是粗糙集理论研究的主流方向，目前主要 有一般二元关系下的粗糙集模型、变精度粗糙集模型、模糊粗糙集模型、概 率粗糙集模型、覆盖粗糙集模型等。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 1 1 2 不确定性问题的理论研究 粗糙集理论中知识的不确定性主要由两个原因产生：一个原因是直接来 自于论域上的二元关系及产生的知识模块，即近似空间本身。从这个角度看， 处理知识的不确定性方法往往用信息熵来刻画，知识的粗糙性实质上是其所 含信息多少的更深层次的刻画【刀，不少学者在这方面做了研究工作【7 ，8 1 。粗 糙集理论中知识不确定性的另一个原因来自于给定论域里粗糙近似的边界， 当边界为空集时知识是完全确定的，边界越大知识就越粗糙或越模糊。一些 学者引进了粗糙熵e ( 石1 的概念来刻画x 的不确定性r 7 1 。寻求一个合适的度 量来刻画知识的不确定性也是粗糙集理论研究的一个重要方向。 1 1 3 粗糙集与其他处理不确定性问题理论的关系 粗糙集理论与其他处理模糊性或不确定性方法的理论研究主要集中在它 与概率统计、模糊数学、d s 证据理论和信息论的相互渗透与补充。 在信息系统中，知识库的知识的类型一般有两类：一类是知识库中所有 对象的描述是完全已知的，p a w l a k 粗糙集模型和一般二元关系下的粗糙集模 型就是属于这一种；另一类是知识库中对象的描述只有部分是已知的，只能 通过训练样本所提供的信息类刻画概念，抽取样本时应符合统计规律性，因 此概率统计与粗糙集理论的结合就显得非常自然。 模糊集理论和粗糙集理论在处理不确定性和不精确性问题方面都推广了 经典集合论，具有一定的相容性和相似性，然而它们的侧重面不同。模糊集 通过对象关于集合的隶属程度来近似描述，而粗糙集通过一个集合关于某个 可利用的知识库的一对上、下近似来描述；模糊集强调边界的不分明性，而 粗糙集强调对象间的不可分辨性；模糊集研究的是不同对象间的隶属关系， 粗糙集研究的是不同类中的对象组成的集合关系；模糊集的隶属函数大多是 由专家凭经验给出，带有很强的主观性，而粗糙集的粗糙隶属函数的计算是 从被分析的数据中直接获得的，非常客观。目前所见的模糊粗糙集模型【5 ，6 ，1 4 j 和粗糙模糊集模型是二者结合的成功范例。 粗糙集理论与d s 证据理论在处理不确定性的问题方面其产生和研究 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 方法是不同的，但却有某种相容性。粗糙集理论中的下近似和上近似的概率 恰好分别是d s 证据理论中的信任函数和似然函数【5 , 9 1 ，然而生成信任函数 和似然函数的基本概率分配函数( 即m a s s 函数) 方法是不同的，前者来自于 系统中数据本身，比较客观，而后者往往来自于专家的经验，带有很强的主 观性，粗糙集理论与d s 证据理论有很强的互补性。 1 1 4 算法研究 粗糙集理论中有效算法研究是粗糙集在人工智能方向上研究的一个主要 方向。粗糙集理论在人工智能的应用上主要有两大类：一类是无决策的分析， 内容主要包括数据压缩、约简、聚类与机器发现等；另一类是有决策分析， 内容主要包括决策分析、规则提取等，也涉及对原始数据的预处理，如数据 压缩与约简等。目前，粗糙集理论中有效算法研究主要集中在导出规则的增 量式算法，约简的启发式算法，粗糙集基本并行算法【l o 】以及与粗糙集有关的 神经网络与遗传算法等【l l 】。这些研究的成功应用有的已经获得了商业价值。 1 1 5 粗糙集与其他数学理论的联系 随着对粗糙集理论研究的不断深入，它与其他数学分支的联系也更加紧 密。例如，从算子的观点看粗糙集理论，它与拓扑空间、数理逻辑、模态逻 辑、格与布尔代数、算子代数等联系较为紧密；从构造性和集合的观点来看， 它与概率论、模糊数学、证据理论、图论、信息论等联系较为密切。粗糙集 理论研究不但需要以这些理论作为基础，同时也相应地带动这些理论的发展。 目前，数学理论与粗糙集理论结合起来进行研究已有文章出现，如“粗 糙逻辑” 1 3 a 4 “粗糙理想”、“粗糙半群” 1 2 1 等等。随着粗糙结构与代数结构， 拓扑结构，序结构等各种结构的不断整合，必将不断涌现出新的富有生机的 数学分支。 作为人工智能和认知科学中新的研究热点，粗糙集理论的有效性已被计 算机学科的基础研究人员所认可。目前，粗糙集理论已经在机器学习、知识 获取、决策分析、数据库知识发现、专家系统、决策支持系统 1 5 , 1 6 j 7 】、归纳 推理、模式识别、智能控制等领域得到了广泛应用。到目前为止，关于粗糙 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 集理论与应用方面的文章很多，有关书籍也正在陆续出版。一些粗糙集理论 与应用综述方面的文章详细介绍了粗糙集理论在各个阶段理论研究与应用研 究方面的成果。 1 2 本文的学术背景和写作动机 自从1 9 8 2 年p a w l a k 提出了粗糙集的概念以来，无论是在理论方面还是应 用方面，关于粗糙集的研究都有很多出色的工作，文献【2 0 2 1 乜2 3 】研究了粗 糙集的代数结构，文献【2 4 】研究了粗糙集的可测结构，y y y a o 等在粗糙集中 引进拓扑空间的概念，从而使借助拓扑学的方法研究粗糙集理论成为可能。 在p a w l a k 粗糙集模型中，论域上的等价关系起着至关重要的作用，基于等 价关系形成的划分，构造了论域上的上、下近似算子，用于刻画不精确概念， 并进而研究相应的知识约简与知识获取问题。但在很多实际问题中，对象之 间的等价关系很难构造，或者对象之间本质上没有等价关系。为了推广粗糙 集理论的应用范围，人们从不同的角度出发，对p a w l a k 粗糙集模型进行了 多种形式的推广，相继出现了变精度粗糙集模型、程度粗糙集模型、模糊粗 糙集模型、基于一般二元关系的粗糙集模型、基于覆盖理论的粗糙集模型等。 本文首先讨论了p a w l a k 粗糙集模型中上、下近似算子的拓扑性质。目前 文献中所建立的粗糙拓扑空间，其中的开集是精确集。本文构造了近似空间 中粗糙集构成的拓扑空间，讨论了该拓扑空间的结构，给出了内部、闭包的 刻画方法，并构造了拓扑基。其次，本文讨论了基于一般二元关系的粗糙集 模型中近似算子的几种定义、这几种定义下近似算子之间的联系以及各自的 拓扑性质，构造了相应模型中粗糙集构成的拓扑空间并研究了该空间的结构， 最后讨论了覆盖粗糙集和变精度粗糙集的拓扑性质。 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 第2 章预备知识 本章介绍拓扑学和粗糙集的基本知识，作为后面各章节的基础。 2 1 拓扑学基本知识 2 1 1 拓扑空间与邻域 定义2 1 【2 8 】设x 是一集合，r 是x 的一个子集族。如果r 满足以下条件： ( 1 ) x ，a t ； ( 2 ) 若么，b t ，则爿nb t ； ( 3 ) 若互t ，则u 彳t ， q 则称丁是x 的一个拓扑。 如果r 是集合x 的一个拓扑，则称偶对( x ，乃是一个拓扑空间，或称集 合x 是一个相对于拓扑r 而言的拓扑空间；或者当拓扑丁早已约定或在行文 中已有说明而无须指出时，称集合x 是一个拓扑空间，此外丁的每一个元素 都叫做拓扑空间( x ，丁) ( 或x ) 中的一个开集。 定义2 2 设( x ，乃是一个拓扑空间，x x ，若u x 满足条件：存在 一个开集v t 使得x vsu ，则称u 是x 的一个邻域。点x 的所有邻域构 成的x 的子集族称为x 的邻域系。易见，如果【厂是包含着x 的一个开集，那 么它一定是x 的一个邻域，称u 是点x 的一个开邻域。 2 1 2 导集，闭集，闭包 定义2 3 设x 是一个拓扑空间，彳sx ，如果点戈x 的每一个邻域u 中 都有彳中异于x 的点，即u l q ( a 一缸) ) a ，则称点x 是集合彳的一个凝聚点 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 或极限点。集合彳的所有凝聚点构成的集合称为彳的导集，记作d ( 彳) 如果 x a # nx 不是彳的凝聚点，即存在z 的一个邻域u 使得u n ( a 一缸) ) = a ， 则称x 为彳的一个孤立点。 定义2 4 设x 是一个拓扑空间，a x ，如果彳的每一个凝聚点都属于 彳，即d ( 彳) a ，则称彳是拓扑空间x 中的一个闭集。 定理2 1 设x 是一个拓扑空间，彳石，则彳是一个闭集当且仅当么的 补集彳是一个开集。 定理2 2 设x 是一个拓扑空间，记f 为所有闭集构成的族，则 ( 1 ) x ，g f ； ( 2 ) 如果彳，b f ，则a u b f ；( 从而如果4 ，4 ，以f ，刀l ，则 4 u4 u 4 l f ) ( 3 ) 如果g 互互f ，贝0f 7 a f a t 2 1 定义2 5 设x 是一个拓扑空间，a x ，集合彳与么的导集a ( a ) 的并 a u d ( a ) 称为集合彳的闭包，记为彳 定理2 3 拓扑空间x 的子集么是闭集的充要条件是彳：j 定理2 4 设x 是一个拓扑空间，则v a ，bsx ，有： ( 1 ) 西= 囝： ( 2 ) a c _ 一a ： ( 3 ) 不万：一au b ； ( 4 ) 2 a ：一a 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 定理2 5 拓扑空间x 的任何一个子集彳的闭包彳都是闭集。 定理2 6 设x 是一个拓扑空间，f 是由空间x 中所有闭集构成的族，则 对于x 的每一个子集么，有a = nb ，即集合彳的闭包等于包含彳的所 b e ，一2 爿 有闭集之交。 由上面定理可见，么是一个包含着彳的闭集，它又包含于任何一个包含 4 的闭集之中，在这个意义下可以说：一个集合的闭包乃是包含着这个集合 的最小闭集。 定义2 6 设j 是一个集合，映射，：p ( x ) 专e ( x ) 如果满足条件：对于 任意a ，b 尸( x ) ， ( 1 ) c ( f 2 j ) = f 2 j ； ( 2 ) a c ( 彳) ； ( 3 ) c 。( a u b ) = c ) uc ) ； ( 4 ) c 0 + 6 0 ) - c ( 么) ； 则称为集合石的一个闭包运算。( 以上四个条件通常称为k u r a t o v s k i 闭包公 理。) 定理2 7 设x 是一个集合，c ：p ( x ) 专e ( x ) 是集合x 的一个闭包运算， 则存在x 的唯一一个拓扑丁使得在拓扑空间( x ，乃中对于每一个asx 有 c ( 彳) = a 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 2 1 3 内部，边界 定义2 7 设x 是一个拓扑空间，彳x ，如果彳是点x x 的一个邻域， 即存在x 中的一个开集y 使得x v a ，则称点x 是集合彳的一个内点，集 合么的所有内点构成的集合称为集合么的内部，记作彳o 定理2 8 设x 是一个拓扑空间，a x ，则彳o = ( 彳) ，因此彳一( 彳o ) 定理2 9 拓扑空间x 的子集彳是开集的充分必要条件是a = a o 定理2 1 0 设z 是一个拓扑空间，对于v a ，b x 有： ( 1 ) x o = x ； ( 2 ) a2a o ； ( 3 ) ( a n b ) o = a o n b o ； ( 4 ) a 0 0 = a o 定理2 1 l 拓扑空间x 的任何一个子集彳的内部彳。都是开集。 定理2 1 2 设x 是一个拓扑空间，丁是x 的拓扑，则对于x 每一个子集 彳，a o =ub ，即集合彳的内部等于包含于么的所有开集之并，也可以 b e t ，口 说一个集合彳的内部乃是包含于彳的最大开集。 定义2 8 设x 是一个拓扑空间，彳x ，x x ，如果满足条件：在x 的 任何一个邻域【厂中既有彳中的点又有彳中的点，既有u na 9 又有 【厂n ( a ) 0 ，则称x 是集合彳的一个边界点。集合彳的全体边界点构成的 集合成为集合彳的边界，记作a ( 么) 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 2 1 4 基与子基 定义2 9 设( x ，r ) 是一个拓扑空间，b 是丁的一个子集族，如果r 中每 一个元素( 即拓扑空间x 中的每一个开集) 是b 中某些元素的并，即对于 每一个u t ，存在b 。sb 使得u = ua ，则称b 是拓扑r 的一个基，或称b e b l 是拓扑空间x 的一个基。 定理2 1 3 设x 是一个集合，b 是x 的一个子集族，如果b 满足条件g ( 1 ) ua = x ： a a b ( 2 ) 如果4 ，4eb ，则对于坛4n 4 ，存在a b 使得x a 4n4 ； 则x 的子集族r = gx l 存在_ cb f f 得u 2 竖。么) 是集合x 的唯一一个 以b 为基的拓扑；反之，如果x 的一个子集族b 是x 的某一个拓扑的基，则 b 一定满足条件( 1 ) ( 2 ) 。 定义2 1 0 设( x ，d 是一个拓扑空间，9 是r 的一个子族，如果缈的所有 非空有限子族之交构成的集族，即 b = sn 叉n n 瓯i 墨缈，i = 1 ，2 ，n ；n 瓦) 是拓扑丁的一个基，则称集族缈是拓扑丁的一个子基，或称集族缈是拓扑空 间的一个子基。 2 1 5 连通空间 定义2 1 1 设彳，b 是拓扑空间x 中的两个子集，如果 ( a n b ) u ( b n a ) = a ， 则称子集彳和曰是隔离的。 定义2 1 2 设x 是一个拓扑空间，如果x 中有两个非空的隔离子集4 和 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 占使得x = 彳u 雪，则称x 是一个不连通空间；否则称x 是一个连通空间。 定理2 1 4 设x 是一个拓扑空间，则下列条件等价： ( 1 ) x 是一个不连通空间； ( 2 ) x 中存在两个非空的闭子集彳和召使得彳n 刀= a 和x = 彳ub 成 立： ( 3 ) x 中存在两个非空的开子集彳和曰使得彳nb = 囝和x = 彳u 曰成 立： ( 4 ) x 中存在着一个既开又闭的非空子集。 定理2 1 5 设x 是一个拓扑空间，则下列条件等价： ( 1 ) x 是连通的； ( 2 ) x 内同时为开集与闭集的子集只有x 与空集； ( 3 ) x 不能表示为两个非空隔离子集之并。 2 1 6 分离性公理 定义2 1 3 设x 是一个拓扑空间，如果x 中任意两个不同的点中必有一 个点有一个开邻域不包含另外一个点，则称拓扑空间x 是一个t o 空间。 定义2 1 4 设x 是一个拓扑空间，如果x 中任意两个不同的点中每一个 点都有一个开邻域不包含另一个点，则称拓扑空间x 是一个石空间。 定义2 1 5 设x 是一个拓扑空间， 个开邻域使得这两个开邻域互不相交， 间或z 空间。 定义2 1 6 设x 是一个拓扑空间， 包含这个点的闭集都各有一个开邻域， 个正则空间。 定义2 1 7 设x 是一个拓扑空间， 如果x 中任何两个不同的点各自有一 则称拓扑空间x 是一个h a u s d o r f f 空 如果x 中的任何一个点和任何一个不 它们互不相交，则称拓扑空间x 是一 如果x 中的任何两个互不相交的闭集 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 各有一个开邻域并且这两个邻域互不相交，则称拓扑空间x 是一个正规空 间。 定义2 1 8 正则的互空间称为互空间，正规的互空间称为互空间。 2 2 粗糙集基本知识 粗糙集理论是一种新的处理不确定性知识的数学工具，其主要思想就是 在保持分类能力不变的前提下，通过知识约简，导出问题的决策或分类规则。 基于等价关系的p a w l a k 粗糙集模型是粗糙集理论的基础，其它模型都是在该 模型的基础上推广得到的。本节介绍p a w l a k 粗糙集模型相关的定义和性质。 2 2 1 知识与知识库 粗糙集理论认为知识是对对象进行分类的能力。设所讨论的对象的集合 为u ，称u 为论域。若xcu ，则称x 为一概念( 形式概念) 。若干概念构 成的集合称为一个知识。以下仅讨论对论域u 形成划分的知识，因此，一个 知识就是u 上的一个等价关系。称二元组k = ( u ，孵) 为一个知识库，其中【厂为 论域，贸是u 上的若干等价关系构成的集合。 对于知识库k = ( u ，孵) ，若尸吼且p a ，则n p 称为p 上的不可区分 关系，记为i n d ( p ) ，即i n d ( p ) = i q e 对于x u ，月吼，- e x 且= y v l ( x ，y ) r ) 为x 在r 2 t i 拘等价类。 商集u r = 【x k l x u ) 中元素称为尺初等概念，u r 称为一个知识。 f f i t - p 冬9 1 ，显然有 x k ( p ) 2g x k ，商集u f 耐( 聊称为u 关于尸的基 本知识，也称为p 基本集，其中元素称为p 基本概念。 设k = ( u ，p ) ，k = ( u ，q ) 是【厂上的两个知识库，若i n d ( p ) ci n e ( q ) ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 则称p 比q 细，或q 比p 粗。此时，每一个q 等价类是若干p 等价类之并。 若i n d ( p ) = i n d ( q ) ，则称k 与k 等价，记为k 兰k 2 2 2p a w l a k 粗糙集模型上、下近似的定义及相关性质【h 4 】 设u 是一个非空有限集合，尺是u 上的一个等价关系，称缈，r ) 为 p a w l a k 近似空间。对于任意x u ，x 关于近似空间( u ，尺) 的下、上近似分 别定义为： 墨( x ) = 伽l 【x ksx ) ， r ( x ) = x i 【x 】rn x a ) 定理2 1 6 称缈，尺) 为p a w l a k 近似空间。对于任意x u ， ( 1 ) x 为r 可定义集垦( x ) = r ( x ) ； ( 2 ) 彳为尺不可定义集墨( x ) r ( x ) 集合的不精确性是由于边界域的存在而引起的。集合的边界域越大，其 精确性越低。为了更精确地表达这一点，可以引入精度的概念。由等价关系r 定义的集合x 的近似精度为 口( x ) ：坦型， 、7 i 尺( x ) l 其中x g ，lxi 表示集合x 的基数。 精度口( x ) 用来反映知识x 的完全程度。显然，对每一个尺和x u 有 0 口( x ) 1 当a ( x ) = l 时，工的尺边界域为空集，集合x 为尺可定义的； 当a ( x ) 劢 分别是内部算子和闭包算子，由( 6 ) 知道，f 和c 定义了同一个拓扑空间， 我们称之为等价关系r 导出的拓扑空间，记为( u ，瓦) 设缈，瓦) 是等价关系r 导出的拓扑空间，则有以下的定理： 定理3 2b = 【x k 卜u 是，瓦) 的一个基，疋中每一集合既开又闭。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 定理3 3 ，瓦) 既是正则的又是正规的。 证明：任取( u ，瓦) 中一点x 与闭集a ，x 彳，则由定理3 2 ，有彳是 开集，显然 x 】r 一彳，【石k 既开又闭，么m r ， x k n 【x k = a ，故 ，瓦) 是正则的。 类似可证，瓦) 是正规的。 定理3 4 设( u ，瓦) 是等价关系尺导出的拓扑空间，则( u ，瓦) 是 h a u s d o r f f 空间当且仅当 x 】矗= x ) 证明：必要性： ( u ，瓦) 是胁船如够的，则 x ) 是闭集，由定理3 2 ，缸) 也是开集，b = i x rl z u 是基，则必有某一眇】矗伽) ，显然，i x 矗= 耐 充分性： x 】 = x ) ，v x ，y u ，x y ，则有【x 】r = 扛 ，l y 】足= ) ， 【x khe y 且= 缸) n y ) = 囝，则( u ，瓦) ：是h a u s d o r f f 的。 定理3 5 设缈，瓦) 是等价关系r 导出的拓扑空间，则( u ，瓦) 是互的当 且仅当 x 】只= x ) 如果( u ，瓦) 可度量化，则( u ，) 是正的，故i x 矗= 缸) 一般的，瓦) 不可度量化。 定理3 6 设，) 是等价关系尺导出的拓扑空间，疋) 是连通的当 且仅当尺为u u 证明：假设( 【厂，疋) 是连通的，由定理2 1 5 中的( 2 ) ，u 中同时为开集与 闭集的子集只有u 与空集g ，又由五中任意集合都是开且闭的，则由( 【厂，瓦) 的定义只能有r = u x u 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 6 页 3 2 等价关系下粗糙集的拓扑性质 上节讨论的拓扑空间( u ，疋) 中的开集是由近似空间中的精确集构成的。 本节将讨论近似空间中的粗糙集构成的拓扑空间。 定义3 1 设( u ，r ) 是一个近似空间，在p ( u ) 上定义二元关系“ 为： x y 当且仅当星( x ) = 星( y ) 且尺( x ) = r i ：1 0 显然，是p ( u ) 上的等价关系，按此等价关系将p c u ) 分成等价类，所有等 价类的集合记为： 尸( = t x l 。i x 尸( u ) ) ， 其中 x 】。= y 尸( u ) i x 】，) 是包含x 的等价类，称尸髟中的元素为粗糙集。 定义3 2 设z o 是 【x kx e u ) 的一个选择函数，即从每一r 一等价类中选 取一个元素构成的集合，对于任意x p ( u ) ，定义： x = g ( x ) u ( ( r ( x ) - a ( x ) ) nz o ) = r ( x ) n 哩( x ) uz o ) 定理3 7x 一【x 】。，即星( x 一) = 墨( x ) ，r ( x 彳) ；r ( x ) 证明：根据石一的定义有： 墨( x , 4 ) = 盈( r ( x ) n ( 墨( x ) uz o ) ) = r ( x ) n 也悠( x ) u z o ) ) = 尺( x ) ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 尺( 置) = r ( 垦( x ) u ( ( r ( x ) 一叁( x ) ) n z j ) ) = 墨( x ) ur ( ( r ( x ) 一垦( x ) ) nz o ) = 墨( x ) u ( 尺( j r ) 一星( x ) ) = 页( x ) 定理3 8 令= 髟l 石尸) ) ，则 ( 1 ) 对于任意以，匕n ，一u 匕n ； ( 2 ) 对于任意x _ ，l n ，x r l 匕n ； ( 3 ) 彩，u n ； ( 4 ) 若x 是r 可定义集，则x 一= x 证明：( 1 ) 令s = 扛u i i r x l r l = 1 ) ，由墨( x ) u 墨( y ) 冬页( x ) u 页( y ) 以及 “r ( r ) u r ( y ) ) 一( 星( x ) u 星( y ) ) ) n s g ( ( r ( x ) 一墨( x ) ) u ( 尺( 】，) 一墨( y ) ) ) n s = ( ( 尺( x ) - _ r ( x ) ) f l s ) u ( ( r ( 1 9 一星( y ) ) n s ) = o ， 根据定理2 1 8 ，存在z u 使得星( z ) = 星( x ) u 星( 】，) ，r ( z ) = r ( x ) ur ( y ) ， 于是 z j = 墨( z ) u ( ( 尺( z ) 一星( z ) n z j ) = 尺( z ) n 瞧( z ) u z j ) = 似( x ) u 尺( 聊) n 悠( x ) u 叁( 即) ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 8 页 lu 】；= = ( r ( x ) n 选( x ) u z o ) ) u ( r ( 】，) n 哩( 】r ) uz 0 ) ) = ( ( 尺( x ) n ( 墨( x ) u z j ) ) u r ( 】，) ) n ( ( r ( x ) n 值( x ) u z j ) ) u ( 墨( 】，) u z o ) ) = ( r ( x ) u r ( y ) ) n 迅( x ) u z ou r ( r ) ) n ( r ( x ) u r ( y ) u z on 迅( x ) u 星( 】，) uz 0 ) = ( r ( 石) u r ( 】，) ) n 退伍) u 星( d uz 0 ) ， 故x 彳ul = z n ( 2 ) 令s = x 【厂| l 【x 】r l = 1 ) ，由墨( x ) n 堡( 】，) s 页( x ) n 页( y ) 以及 ( ( 尺( x ) n r ( 功) 一( 堡( x ) n 垦( 】，) ) ) n s ( ( 尺( x ) 一垦( ? f ) ) u ( r ( y ) 一星( 】，) ) ) ns = a ， 故存在zsu 使得叁( z ) = 墨( x ) n 星( 1 ，) ，r ( z ) = r ( x ) n r ( 功，于是 乙= r ( z ) n 迅( z ) u z o ) = ( r ( x ) n 尺( 】厂) ) n ( 迅( x ) n 墨( 聊) u z 。) = r ( x ) n r ( y ) n ( 墨( x ) u z o ) n 哩( 】，) u z o ) = tn 匕 从而x _ nl = z n ( 3 ) g 彳= 彩，吮= u ( 4 ) 若x 是r 可定义集，则r ( x ) = 墨( x ) ，根据定义有x 彳= x 由( 1 ) ( 2 ) ，n 对于集合的并交运算是封闭的。 由以上的定理可得如下定理3 9 ： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 定理3 9 设( u ，r ) 是近似空间，u 为非空有限集，则是u 上的一个拓 扑空间。 定理3 1 0 令= i x p ) ) ，则 ( 1 ) 对于任意x z o ，似_ = x ) ，故 曲是开集，即 x ) n ； ( 2 ) 对于任意x u ，f ( x ) = 墨( x ) u ( xnz o ) ； ( 3 ) 对于任意xc _ u ，c ( x ) = xu 泳( x ) 一z 。) ； ( 4 ) u 缸) 卜z o ) 是拓扑的一个基。 证明：( 1 ) 对于任意x z o ，若陋】矗i = l ，则【x 】r = 缸 ，此时 缸) _ = 墨( 伽) ) u ( ( r ( 缸) ) 一墨( x ) ) ) n z o ) = 墨( 缸) ) = x ) ； 若l x 】r l 1 ，则墨( 缸) ) = f 2 j ，r ( x ) ) = 【x 】且，此时 似= 星( 耐) u ( ( 尺( z ) 一宣( x ) ) ) n z 。) = x 】rn z o ， 又因为x z o ，故缸) 一= 【x 】只nz o = 缸) ( 2 ) 要证明( 2 ) ，需要证明如下三点： ( i ) 墨( x ) u ( x n z o ) 石； ( i i ) 星( j ) u ( 石nz o ) 是开集，即星( 工) u ( x n z o ) n ； ( i i i ) 若y n 是开集，且】，x ，则】，r _ ( x ) u ( xnz o ) ( i ) ( i i ) 显然成立。 ( i i i ) 因y 是开集，故存在z 尸( 【厂) ，使得 】，= 乙= 凰2 9 u ( 似z ) 一虽z ) ) n z o ) 由】，x ，可得墨( z ) sx ，从而 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 星( z ) = 墨( 墨( z ) ) 星( 。r ) 墨( x ) uz 。， 又因 y = 凰z ) u ( ( 礅z ) 一亟z ) ) n z o ) = 且z ) u ( r ( z ) n ( 凰z ) ) n z o ) = 墨( z ) u ( r ( z ) n z o ) ， 故r ( z ) n z o 互堡( u n z 0 ) = x n 也( u z o ) ，于是尺( z ) n z o 虽幻u z o ， 从而】，= 墨( z ) u ( r ( z ) nz o ) 墨( x ) uz o ，再由y x ，可知 】，xn ( 丛( x ) uz o ) = 星( x ) u ( xnz o ) ， 于是，我们证明了凰固u n z o ) 是含于x 的最大开集，即 f ( x ) = 星( x ) u ( xnz o ) ( 3 ) 根据( 2 ) 及对偶性有 e ( x ) = f ( 石) 一( ( 石) n 悠( 一j ) u z 。) ) = x u ( 墨( x ) n ( z o ) ) = x u ( 一( x ) n ( z o ) ) = x u ( _ ( x ) 一z o ) ( 4 ) 显然，n 中每个元素都是一些等价类和z o 中的某些元素的并，所 以u x ) 卜z 0 ) 是拓扑的一个基。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 1 页 第4 章一般二元关系下的粗糙集与拓扑空间 本章介绍一般二元关系下粗糙集、覆盖粗糙集以及变精度粗糙集的拓扑 性质。 4 1 一般二元关系下的粗糙集 本节介绍一般二元关系下粗糙集的基本概念。 定义4 1 设【，是任一非空有限集，天是u 上的一个二元关系，则称 a = ( u ，r ) 为一个广义近似空间。 定义4 2 设a = ( u ，r ) 是一个广义近似空间。对于任意x ，y u ，若x r y ， 即( x ，少) r ，则称x 是y 的前继( p r e d e c e s s o r ) ，y 是x 后继( s u c c e s s o r ) ， 记足( x ) = y u x r y ，r p ( x ) = u l 廊) 称r 是串行的，若对于任意 x 【厂，r ) a ；称尺是逆串行的，若对于任意x u ，砂u 使得x r ( 少) ； 称r 自反的，若对于任意x u ，x 咫( x ) ；称r 对称的，若对于任意x ，y u ， 菇b ( 少) ，则y 咫( 曲；称尺是传递的，若对于任意x ，y u ，y e r s ( x ) ， 则足( j ，) r s ( x ) ；称尺是欧几里德的，若对于任意石，y u ，y r s ( 功，则 b ( x ) s 玛) 定义4 3 对于”u ，a = ( u ，尺) 中x 的下、上近似分别定义为： 婴( x ) = 缸u i 足( x ) x ) ，a p - - - ；( x ) = x e v r s ( x ) n x ：0 ， 如果印，- ( x ) 一a p r ( x ) ，则称x 是粗糙集。 定理4 1 1 2 6 a = 缈，r ) 是广义近似空间，对于任意x ，y u 有以下性质： 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 2 页 ( 1 ) a p r ( x ) = 一a p r ( x ) ，a p r ( x ) = a p r ( x ) ； ( 2 ) a p r ( u ) = u ，a p r ( o ) = f 2 j ； ( 3 ) a p r ( x ny ) = a p r ( x ) n a p